2 - Trigonometrik fonksiyonların limitleri.qxp

Trigonometrik Fonksiyonlarýn Limitleri
her üç tarafýn limitini alalým.
TRÝGONOMETRÝK
FONKSÝYONLARIN LÝMÝTLERÝ
lim c os x < lim
sin x
= 1 dir.
lim
x
x→0
Ýspat
x→0
1
C
1 ≤ lim
E
y
x →0
B
sin x
sin x
< lim 1 ⇒ lim
= 1 dir.
x
x
x →0
x →0
sin x
x
= lim
=1
x
x → 0 sin x
1) lim
x
D
cosx
x →0
x
A
lim
1
x →0
sin px
px
p
= lim
=
qx
q
x → 0 sinq x
Yukarýdaki þekilde birim çemberde görüldüðü gibi
2 ) lim
i)
A (ABO) =
=
ii)
A (OA E) =
=
x→0
1
. OA . BD
2
tan px
px
p
= lim
=
qx
q
x → 0 tan qx
3 ) lim
sin px
tan px p
= lim
=
qx
q
x → 0 tan qx
4 ) lim
sin px
tan px p
= lim
=
tan q x x → 0 sin qx q
x→0
1
sin x
1.sin x =
2
2
1
. OA . A E
2
x→0
1
tan x
.1. tan x =
2
2
iii) AOB daire diliminin alaný
Burada üçüncü özellikde 1 ve 2 nin bir
sonucudur gerçekten
π r 2 . x π .12 . x x
A (A OB) =
=
=
2π
2π
2
sin px
sin px
x
lim
= lim
x → 0 sin qx
x → 0 sin qx
x
i, ii ve iii deki alanlarý sýralarsak
sin x x tan x
≤ ≤
2
2
2
sin px
p
x
=
=
sin qx
q
lim
x
x→0
lim
x →0
sin x
c os x
sin x
c os x
sin x ≤ x
,
x≤
sin x
≤1
x
,
c os x ≤
ise c os x <
tan x
x
= lim
=1
x
x → 0 tan x
lim
x→0
sin x ≤ x ≤
sin x
< lim 1
x
x →0
Bu özellikten yararlanýlarak aþaðýdaki sonuçlar elde edilir.
tanx
O
x →0
Örnek 1
sin x
x
*
sin x
<1
x
*
102
lim
sin 3x 3
=
2x
2
* lim
5x
5
=
sin 3x 3
lim
4x
4
=
tan 3x 3
* lim
tan 3x 3
=
7x
7
x→0
x→0
x →0
x →0
Trigonometrik Fonksiyonlarýn Limitleri
*
sin 3x
sin 3x
x
lim
= lim
x → 0 tan 5x
x → 0 tan 5x
x
= lim
x→0
=
sin 3x
3
x
=
=
tan 5x
5
lim
x
x→0
sin 3x
2x
+ lim
tan 5x x → 0 tan 5x
2 3
5
+ =
=1
5 5
5
lim
x→0
Örnek 5
⎛ sin2 2x ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x → 0 ⎝ x. tan 3x ⎠
Örnek 2
⎛ sin2 3x ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x→0 ⎝
x2 ⎠
Çözüm
⎛ sin2 2x
x ⎞
lim ⎜
.
⎟
2
tan
3x ⎠
x→0 ⎝
x
Çözüm
2
⎛
sin 3x ⎞
⎛ sin 3x ⎞
= ⎜ lim
lim ⎜
⎟
x ⎠
x ⎟⎠
⎝ x →0
x→0 ⎝
2
2
x
⎛ sin 2x ⎞
= lim ⎜
⎟⎠ . xlim
x
x→0 ⎝
→ 0 tan 3x
= 3 2 = 9 bulunur.
= 22 .
1 4
tür.
=
3 3
Örnek 3
Örnek 6
⎛ sin 2x ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x → 0 ⎝ x .c os 3x ⎠
⎛ 2x + sin 3x ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x → 0 ⎝ sin 5x − 4x ⎠
Çözüm
Çözüm
⎛ sin 2x ⎞
⎛ sin 2x
1 ⎞
lim ⎜
.
= lim ⎜
⎟
x
c os 3x ⎟⎠
x → 0 ⎝ x .c os 3x ⎠
x →0 ⎝
= lim
x →0
= 2.
Kesirli ifadenin pay ve paydasýný x ’ e bölelim.
sin 2x
1
. lim
x
x → 0 c os 3x
2x sin 3x
+
x
= lim x
4x
x → 0 sin 5x
−
x
x
1
1
= 2. = 2
c os 0
1
sin 3x
x
= lim
x → 0 sin 5x
−4
x
2+
Örnek 4
⎛ 2x + sin 3x ⎞
lim ⎜
limiti kaçtýr?
⎝ tan 5x ⎟⎠
lim 2 + lim
x→0
=
x→0
lim
Çözüm
x→0
⎛ 2x
sin 3x ⎞
lim ⎜
+
⎝ tan 5x tan 5x ⎟⎠
=
x→0
103
x →0
sin 3x
x
sin 5x
− lim 4
x
x →0
2+3
5
=
= 5
5−4
1
Trigonometrik Fonksiyonlarýn Limitleri
Örnek 7
3⎞
⎛
lim ⎜ x.sin ⎟ = lim
x⎠ x →∞
x→∞ ⎝
⎛
⎞
3 xn
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
n
n
x → 0 ⎝ x + sin x ⎠
Çözüm
= lim
t→0
Verilen kesirli ifadenin pay ve paydasýný x n
ye bölelim.
3.
lim
x→0
xn
xn
+
xn
3
=
⎛
sin x ⎞
1 + ⎜ lim
⎝ x → 0 x ⎟⎠
n
=
3
1 + 1n
x→0
sinn x
Çözüm
xn
=
sin3 t
=3
t
lim ( 3x .c ot an 5x ) limiti kaçtýr?
3
1+
1
x
1
x
Örnek 10
xn
xn
= lim
sinn x x → 0
sin3
lim ( 3x.c ot an 5x) = 0. ∞
3
2
x→0
= lim 3x.
x→0
= lim
x→0
1
tan 5x
3x
3
=
tan 5x 5
Örnek 8
Örnek 11
⎡ sin(x − 2) ⎤
lim ⎢
⎥ limiti kaçtýr?
x → 2 ⎣ x2 − 4 ⎦
3x + 6
limiti kaçtýr?
sin( 5x + 10 )
lim
x → −2
Çözüm
⎛ sin(x − 2) 1 ⎞
lim ⎜
.
⎟
⎝ x−2
x + 2⎠
Çözüm
x→2
3
(5x + 10)
3x + 6
= lim 5
lim
x → − 2 sin(5x + 10)
x → −2 sin(5x + 10)
sin(x − 2)
1
= lim
. lim
x−2
x →2
x →2 x + 2
= lim
h→ 0
= 1.
sin h 1
.
h
2+2
1
1
=
4
4
( x − 2 = h de rse k x → 2 iç in h → 0 olur )
=
3
5x + 10
lim
5 x → − 2 sin(5x + 10)
=
3
3
.1=
bulunur.
5
5
Örnek 12
lim
x →m
Örnek 9
3⎞
⎛
lim ⎜ x.sin ⎟ limiti kaçtýr?
⎝
x⎠
sin x − sin m
limiti kaçtýr?
x −m
Çözüm
x→∞
Burada trigonometrik fonksiyonlarda dönüþüm formülünü uygulayalým.
Çözüm
x → ∞ iç in
sin p − sin q = 2.sin
1
→ 0 olduðundan
x
104
p−q
p+q
.c os
2
2
Trigonometrik Fonksiyonlarýn Limitleri
⇒ sin(−1) = −sin1 dir.
Buna göre;
sin x − sin m
lim
= lim
x −m
x →m
x →m
⎛ x −m⎞
⎛ x +m⎞
2 sin ⎜
⎟ .cos ⎜
⎟
2
⎝
⎠
⎝ 2 ⎠
x −m
x → 1 −1 iken − 1 < sin(x − 1) < 0 oldu ðundan
cesin(x − 1)fh = − 1 dir. Buna göre,
⎛ x −m⎞
2.sin ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ . lim cos ⎛ x + m ⎞
= lim
⎜
⎟
x →m
⎛ x − m ⎞ x →m
⎝ 2 ⎠
2. ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
sin cex − 1fh
sin( − 1)
=
c
f
−1
x →1 − e sin(x − 1)h
lim
=
⎛ x −m⎞
sin ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ . lim cos ⎛ x + m ⎞
= lim
⎜ 2 ⎟
x −m
x →m
x →m
⎝
⎠
2
Örnek 15
= 1. cosm = cosm bulunur.
lim
Örnek 13
x →y
sin 3 x − 2
lim
x → 2+
3
limiti kaçtýr?
Çözüm
sin(x − 2)
lim
Çözüm
sin 3 x − 2
3
x → 2+
= lim
x → 2+
= lim
x → 2+
x→2
+
sin(x − 2)
→
lim
( sin x − siny) ( sin x + siny)
3
= lim
3
.
x −2
sin 3 x − 2
3
2 sin
x →y
sin 3 x − 2
3
0
0
3
x −2
3
. lim
3
x → 2+
x −2
x −2
sin(x − 2)
= 1.2.
x − 2 → 0 olup
sin t
.
t
3
lim
t →0
sin(x − 2)
x −y
x +y
x +y
x −y
.c os
. 2 sin
.c os
2
2
2
2
(x − y) (x + y)
⎛ x −y ⎞
x +y
2.sin ⎜
⎟ 2.sin
2 ⎠
⎝
2 .c os x + y .c os x − y
.
= lim
x −y
x +y
2
2
x →y
2.
2
sin(x − 2)
x − 2 = t de rse k
t→0
sin2 x − sin 2 y limiti kaçtýr?
x 2 − y2
x →y
lim
− sin1
= sin1 bulunur.
−1
=
sin t
t
= 1. 1 = 1 bulunur.
Örnek 14
sin cex − 1fh
limiti kaçtýr?
c
f
x → 1 − esin(x − 1) h
lim
Çözüm
x → 1 − iken ce x − 1fh → − 1
105
siny
. c osy . c os 0
2y
2 siny . c osy sin 2y
dir.
=
2y
2y
ALIÞTIRMALAR 3
1.
lim
π
x→
3
Trigonometrik Fonksiyonlarýn Limitleri
1 + 2 c os x limiti kaçtýr?
sin x
6.
4
Cevap:
2.
lim
x→0
⎛ c os 3x ⎞ limiti kaçtýr?
lim ⎜
π ⎝ sin 2x ⎟⎠
x→
4 3
3
Cevap: −
1 + sin x limiti kaçtýr?
c os x
7.
⎛ sin x ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
⎜ x ⎟
−
x →0 ⎝
⎠
Cevap: –1
Cevap: 1
3.
2⎞
⎛
lim ⎜1 + c os ⎟ limiti kaçtýr?
⎝
x⎠
8.
x→∞
⎛ sin 5x ⎞ limiti kaçtýr?
lim ⎜
⎟
x → 0 ⎝ sin 2x ⎠
5
Cevap: 2
Cevap: 2
4.
⎛ x − sin x ⎞ limiti kaçtýr?
lim ⎜
⎝ c os x ⎟⎠
9.
⎛ sin 2x ⎞ limiti kaçtýr?
lim ⎜ 2
⎝ 2x + x ⎟⎠
x→0
x→0
Cevap: 2
Cevap: 0
5.
2
2
⎛
⎞ limiti kaçtýr?
x
lim ⎜
⎟⎠
tan
5x
⎝
10.
x→0
Cevap:
1
5
⎛ x − sin 3x ⎞ limiti kaçtýr?
lim ⎜
⎟⎠
⎝
x
x→0
Cevap: –2
106
Trigonometrik Fonksiyonlarýn Limitleri
ALIÞTIRMALAR 3
11.
⎛ tan 3x ⎞
lim ⎜
⎟
⎝ x .c os x ⎠
16.
limiti kaçtýr?
x →0
⎛ x + sin x ⎞ limiti kaçtýr?
lim ⎜
⎝ x + c os x ⎟⎠
x→∞
Cevap: 3
12.
Cevap: 1
17.
⎛ 3 tan x − x ⎞ limiti kaçtýr?
lim ⎜
sin x ⎟⎠
x→0 ⎝
⎛ 1 − c os 2x ⎞ limiti kaçtýr?
lim ⎜
⎟
x → π ⎝ 1 + c os x ⎠
Cevap: 4
Cevap: 2
13.
18.
⎛ x.sin 3x ⎞
lim ⎜
⎟ limiti kaçtýr?
x → 0 ⎝ tan2 x ⎠
⎛ 1 − sin x ⎞ limiti kaçtýr?
lim ⎜
π ⎝ c os x ⎟⎠
x→
2
Cevap: 0
Cevap: 3
14.
19.
⎛ sec x ⎞
limiti kaçtýr?
lim ⎜
π ⎝ tan x ⎟⎠
x→
⎛ 5x + tan 3x ⎞ limiti kaçtýr?
lim ⎜
⎝ x + sin x ⎟⎠
x→0
2
Cevap: 4
Cevap:1
15.
20.
⎛ 1 − c os 2x ⎞ limiti kaçtýr?
lim ⎜
⎟⎠
x→0 ⎝
x2
lim
x→5
sin(x − 5) limiti kaçtýr?
x 2 − 25
Cevap:
Cevap: 2
107
1
10