MÜHEND˙ISL˙IK FAKÜLTES˙I K˙IMYA MÜHEND˙ISL˙I˘G˙I BÖLÜMÜ

MÜHEND˙ISL˙IK FAKÜLTES˙I K˙IMYA MÜHEND˙ISL˙I˘G˙I BÖLÜMÜ

MÜHENDI·SLI·K FAKÜLTESI·
¼ I· BÖLÜMÜ
KI·MYA MÜHENDI·SLI·G
Matematik-II Dersi Final S¬nav¬
Dersin Kodu
: MAT128
Dönemi
: 2015-2016 Bahar
Tarihi
: 07.06.2016
Saat
: 13.00
Yer
: E10-209 No’lu Salon
Süre
: 80 Dakika
Dersin Sorumlusu : Yrd.Doç.Dr. Hüseyin ALBAYRAK
Not: Çözümlere www.huseyinalbayrak.wordpress.com
adresinden ulaşabilirsiniz.
1(1 5 p ) 2(1 5 p ) 3(1 0 p ) 4(1 5 p ) 5(1 5 p ) 6(1 5 p ) 7(1 5 p )
X
Ö¼
grencinin
Ad¬Soyad¬ :
Numaras¬
:
I·mzas¬
:
Z
2x3 + 16
dx integralini bulunuz.
3
2
Z
Z
Z
Z x 3 4x
8x2 + 16
dx
2x + 16
2+ 3
dx =
dx = 2dx
Çözüm.
x3 4x2
x
4x2
x
4
= 2x ln jxj + + 9 ln jx 4j + c
x
Soru 1.
x3 4x2
2x3 + 16
3
2
2x
8x
2
8x2 + 16
8x2 + 16
A
B
C
=
+ 2 +
2
x (x 4)
x
x
x 4
(x2 4x)
Soru 2.
Z
x3
(x 4)
Z
Z
dx
dx
4
+9
x2
x 4
8x2 + 16 = Ax2 ) 4Ax + Bx 4B + Cx2
A+C =8
4A + B = 0
=) B = 4; A = 1; C = 9
4B = 16
(x2 )
x2 + 7x 2x dx integralini bulunuz.
Çözüm. Tablo yöntemine göre, f (x) = x3
x2 + 7x ve g 0 (x) = 2x olmak üzere
g 0 (x) ve integralleri
2x
f (x) ve türevleri
x3 x2 + 7x
+
3x2
6x
2x + 7
&
&
2
2x
ln 2
2x
(ln 2)2
+
&
6
&
0
Z
x3
(1 0 0 p )
x2 + 7x 2x dx = 2x
x3
x2 + 7x
ln 2
2x
(ln 2)3
2x
(ln 2)4
3x2 2x + 7 6x 2
+
(ln 2)2
(ln 2)3
6
(ln 2)4
+c
Z
sin5 x cos8 xdx integralini bulunuz.
Z
Z
5
8
Çözüm.
sin x cos xdx = sin4 x cos8 x sin xdx
Z
2
t = cos x =) dt =
1 cos2 x cos8 x sin xdx
=
Z
Z
2
=
1 t2 t8 dt =
1 2t2 + t4 t8 dt
Z
t9 2t11 t13
t8 2t10 + t12 dt =
=
+
+c
9
11
13
cos9 x 2 cos11 x cos13 x
=
+
+c
9
11
13
Soru 3.
Soru 4. x-ekseni boyunca [2; 5] aral¬g¼¬na yerleştirilen ve x noktas¬ndaki yo¼
gunlu¼
gu (x) =
x2
merkezini bulunuz.
Z 5
Z 5
1
(x) dx = k
dx = k arctan xj52 = k (arctan 5 arctan 2)
Çözüm. m =
2
x
+
1
2
2
Z 5
Z 5
x
M0 =
x (x) dx = k
dx
2
t = x2 + 1 =) dt = 2xdx
2
Z2 26x + 1
26
dt
k
k
x = 2 =) t = 5
=
= ln jtj
x = 5 =) t = 5
2 5 t
2
5
k
= (ln 26 ln 5)
2
x=
(
3t2
+ 1 (2 t
2
y = 5 2t2
alan¬n¬bulunuz.
Çözüm. x_ = 3t ve y_ = 4t dir.
Soru 5.
x=
S =2
Z3
=2
jyj d` = 2
2
Z3
2
2t2
= 5 [(81
k
olan telin kütle
+1
ln 5
arctan 2)
3) do¼
gru parças¬n¬n x-ekseni etraf¬nda döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin
2
Z3
ln 26
M0
=
m
2 (arctan 5
sin xdx
Z3
q
2
2
jyj (x)
_ + (y)
_ dt = 2
5
5 5tdt = 10
45)
(16
Z3
2
2t2
p
9t2 + 16t2 dt
2
2t3
20)] = 200
5t dt = 5
t4
5t2
3
2
Soru 6. y = ex ile y = ln x e¼
grileri ile x = 1 ve x = 2 do¼
grular¬aras¬nda kalan bölgenin alan¬n¬bulunuz.
Çözüm.
y
Z2
A =
8
(ex
ln x) dx = (ex
x (ln x
1
= e2 2 ln 2 + 2
= e2 e ln 4 + 1
6
(e
4
2
-3
-2
-1
1
2
3
x
-2
Soru 7.
Z2
x2 dx integralini bulunuz.
0
Çözüm. 0 x 2 =) 0
0 x<
p1 () 0
p1 x < p2 () 1
2p x < 3 () 2
3 x < 2 () 3
Z2
x2
x2
x2
x2
x2
x
2
4
<1
<2
<3
<4
()
()
()
()
dx =
0
Z1
0
=
Z1
0
x2
x2
x2
x2
x2
=0
=1
=2
=3
dx +
p
p
Z2
1
p
x2
dx +
Z2
Z3
0dx + dx + 2dx +
1
p
(x)j1 2
2p
2
Z2
p
(2x)jp32 +
p
p
=0+
+
p
=
2p 1 +
p 2 3
=5
2
3
x2
dx +
p
p
p
Z3
3dx
3
(3x)j2p3
p
2 2 + 6 3 3
Z2
p
3
x2 dx
0 + 1)
1))j21