6 Bolum Kati Cisimler.qxd

Transkript

KATI CÝSÝMLER
KATI CİSİMLER
YILLAR 1966 1967 1968 1969 1970 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2001 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
ÖSS /
ÖSS-I
2
2
1
1
4
2
3
1
2
3
3
4
2
ÖYS /
ÖSS-II
1
2
2
1
1
3
2
1
1
1
1
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
KATI CİSİMLER
BÖLÜM
6
211
DEĞİŞMEYEN GEOMETRİ SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ
3.
Prizma
Bir dikdörtgenler prizmasının x, y, z boyutları 2,
3, 4 sayıları ile doğru orantılıdır.
Bu prizmanın hacmi 3000 cm³ olduğuna
göre, alanı kaç cm² dir?
1.
A) 1100
B) 1200
D)1400
C) 1300
E) 1500
(1996 - ÖYS)
|AB| = 6 birim
|BC| = 3 birim
|AF| = 5 birim
|HX| = |HZ| = 1 birim
|HY| = 2 birim
Kutunun ABCD tabanından geçemeyen bu
karıncalar X, Y ve Z noktalarına kutu
yüzeyinde kalarak en kısa yollardan ulaştıklarına göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A)x<y<z
B)x<z<y
D)y<z<x
C)y<x<z
E)z<y<x
(2004 - ÖSS)
4.
Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 1,3,5
sayıları ile orantılıdır.
Bu dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni
70 cm olduğuna göre hacmi kaç cm³ tür?
www.teslimozdemir.com
Yukarıdaki gibi dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutunun A köşesinden harekete başlayan
üç karıncadan birincisi X, ikincisi Y, üçüncüsü Z
noktasına sırasıyla x, y ve z birim yol alarak
ulaşmıştır.
A) 120
B) 92
C) 30 2
D) 15
E) 15 6
(1981 - ÖYS)
2. Soru Tipi:
1. Soru Tipi:
5.
2.
Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 3,5,7
sayıları ile orantılıdır.
Bu prizmanın tüm alanı 568 cm2 olduğuna
göre, hacmi kaç cm³ tür?
A) 440
B) 540
C) 840
D) 740
E) 640
(1979)
212
Boyu eninin iki katı uzunluğunda olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun tümü kullanılarak 16
cm3 hacminde, kare prizma şeklinde kapaksız
bir kutu yapılıyor.
Kare prizmasının taban kenarı, verilen kartonun enine eşit olduğuna göre, kullanılan kartonun alanı kaç cm2 dir?
A) 128
B) 96
C) 64
D) 32
E) 16
(1988 - ÖYS)
KATI CİSİMLER
6.
Bir dikdörtgenler prizmasının ayrıtları x, x, h cm
dir.
3. Soru Tipi:
9.
Bu prizmanın hacmi 75 cm3 olduğuna göre,
yüzlerinin toplam alanının x cinsinden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x 2 +
300
x
D)
B) x 2 + 4x
x2
+ 4x
2
E)
Bir kenar uzunluğu 16
cm olan kare şeklindeki
kartonun köşelerinden
bir kenar uzunluğu 3 cm
olan birer kare kesilerek
çıkartılıyor ve kalan karton parçası kıvrılarak
şekildeki gibi üstü açık
bir kutu yapılıyor.
C) x 2 +75
x2
+ 300x
2
(1985 - ÖYS)
Bu kutunun hacmi kaç
cm3 tür?
A) 200
B) 240
C) 250
D) 300
E) 360
(2006 - ÖSS - I)
Kare tabanlı kapalı bir dik prizmanın hacmi 30
cm3 tür.
Karenin bir kenarı x cm olduğuna göre, prizmanın tüm alanını veren y=f(x) fonksiyonu
aşağıdakilerden hangisidir?
A) y =
C) y =
x 2 +30
B) y =
x
2x + 60
x2
x 2 + 120
x
D) y =
E) y =
x 2 + 60
x2
2x 3 + 120
x
(1998 - ÖYS)
altın nokta yayınları ©
7.
10.
35
30
42
Şekildeki dikdörtgenler prizmasının üç farklı
yüzünün alanları türünden üzerlerine yazılmıştır.
Bu prizmanın hacmi kaç tür?
8.
A) 200
B) 210
C) 240
D) 260
E) 280
(2007 - ÖSS - II)
Şekildeki gibi 6 bölümlü ve tabanı kare olan
kapaklı bir karton kutu yapılacaktır.
Bu kutunun yüksekliği 5 cm, tabanının bir
kenarının uzunluğu 20 cm olacağına göre,
kaç cm2 karton gereklidir?
A)1000
B)1100
C)1200
D)1400
E)1500
11. 10 cm boyunda 1 cm çapında silindir biçimindeki 10 kalem, beşerli iki sıra halinde, dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutuya konulacaktır.
Bu kutunun hacmi en az kaç cm3 olmalıdır?
A) 300
B) 200
C) 150
D) 100
E) 50
(1984 - ÖSS)
(2003 - ÖSS)
213
14. Kenar uzunlukları 1 er birim olan 6 küple oluşturulan aşağıdaki kürsünün tabanı hariç tüm yüzeyi, bir madalya töreni için kumaşla kaplanacaktır.
Küp
12.
|AB|=4 birim
|FC|=x birim
Şekildeki ABCD ve ADEF kareleri birbirine dik
ve eşittir.
AB=4 birim olduğuna göre, |FC|=x kaç birimdir?
A) 2 3
B) 4 2
C) 3 5
D) 4 3
Bu kaplama işi için kaç birim kare kumaş
gereklidir?
E) 2 5
(1994 - ÖYS)
A) 18
B)20
C)21
D) 25
E) 32
(2005 - ÖSS)
13.
15.
A
Yukarıdaki şekilde verilen küpün bir ayrıtının
uzunluğu 1 cm dir.
Buna göre, D'AB' üçgeninin alanı kaç cm²
dir?
A) 3 3
B) 2 3
C)
3
D)
3
2
E)
3
4
(1987 - ÖYS)
214
Yukarıdaki şekilden, A ile aynı boyutlarda
olan (A dahil) kaç küp elde edilir?
A) 23
B) 21
C) 17
D) 14
E) 12
(1977)
KATI CİSİMLER
18. Bir küpün alanı b cm2 dir. İkinci bir küpün hacmi
bu küpün hacminin c katıdır.
16.
İkinci küpün alanı kaç cm2 dir?
(1981 - ÖSS)
ABCDEFGH küp
19. Kenarları 3 cm, 6 cm ve 12 cm olan bir
dikdörtgenler prizmasının hacmine, eşit
hacimde olan küpün bir kenarı kaç cm dir?
AKLMTSRN küp
|AB|=a cm
a
|AK|=
cm
3
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
Bir kenarı a cm olan içi dolu tahta bir küpün
E) 6
(1995 - ÖSS)
a
köşesinden, bir kenarı cm olan bir küp kesi3
lerek çıkartılıyor.
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
(2002 - ÖSS)
Geriye kalan büyük küp parçasının alanının,
küçük küpün alanına oranı kaçtır?
20. Tabanının boyutları 6 cm ve 8 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kapta bir miktar
su vardır. Bir ayrıtının uzunluğu 5 cm olan kapalı
bir küp, tabanı kapın tabanına değecek biçimde
suya batırılınca su seviyesi küpün yarısına
kadar yükseliyor.
Buna göre, suyun ilk yüksekliği kaç cm dir?
A)
115
96
B)
D)
113
94
109
90
C)
E)
111
92
103
90
(1997 - ÖSS)
17.
PİRAMİT
Küp biçimindeki tahtabir bloktan küçük birküp
alınmıştır.
Kalan tahtanın hacmi 208 cm3 olduğuna
göre, |BC| kaç cm dir?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
(1989 - ÖYS)
21. Tabanının bir kenarı 8 cm, yüksekliği 3 cm
olan düzgün kare piramidin bütün alanı
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 224 cm2
B) 144 cm2
D) 80 cm2
C) 112 cm2
E) 64 cm2
(1969)
215
25. Bir piramidin yüksekliğinin ortasından tabana
paralel bir düzlemde kesiliyor.
22.
Küçük piramidin hacminin büyük piramidin
hacmine oranı nedir?
A)
1
7
B)
2
7
C)
1
8
D)
3
8
E)
1
5
(1972)
Taban kenarı 10 cm olan bir düzgün kare
piramidin bütün alanı 360 cm2 dir.
Buna göre, piramidin yüksekliği kaç cm dir?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
23. Hacmi 28 cm3 olan bir kesik piramidin alt
tabanının alanı 12 cm2, üst tabanının alanı 3
cm2 olduğuna göre yüksekliği kaç cm dir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
(1987 - ÖYS)
26.
(1967)
24. Tabanı 12 cm2, yüksekliği 6 cm olan bir piramit
tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Düzlem
tepeden 2 cm uzaktadır.
Kesit alanı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4 cm2
B) 3/2 cm2
D) 4/3 cm2
C) 2/3 cm2
E) 3 cm2
büyük piramidin taban kenarlarından biri kaç
cm dir?
A) 9
(1970)
216
Yukarıdaki şekilde, kare tabanlı dik piramidin
içine yerleştirilmiş küp görülmektedir. Küpün alt
yüzü piramidin tabanı ile aynı düzlemde olup üst
köşeleri ayrıtlar üzerindedir. Üstte kalan küçük
piramidin yüksekliği 3 cm, hacmi 9 cm3 olduğuna göre
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
(1986 - ÖSS)
KATI CİSİMLER
29.
27.
ABCD kare tabanlı ABCDA'B'C'D' dikdörtgenler
prizmasında D' noktası A ve B ile, D noktası da
B ile birleştirilirse, hacmi 300 cm3 olan (D',ABD)
piramidi elde ediliyor.
Yukarıdaki ABCDEF üçgen tabanlı dik prizması
ile, köşeleri bu prizmanın ayrıtları üzerinde olan
MLEK piramidi verilmiştir. [ML // [DF],
ABCDA'B'C'D' prizmasının yüksekliği 15 cm
olduğuna göre, tabanının bir kenarı kaç cm
dir?
ME 1 EK
1
= ,
= olduğuna göre,
DE 3 EB 3
A)
Hacim(MLEK)
oranı kaçtır?
Hacim(ABCDEF)
1
81
B)
1
64
C)
1
49
D)
B) 2 15
D) 2 30
1
36
E)
C) 3 15
E) 3 30
(1998 - ÖSS)
1
27
(2001 - ÖSS)
A)
15
DÖRTYÜZLÜ
30. Bir düzgün dörtyüzlünün tüm alanı 256 3 birim
karedir.
Bu dörtyüzlünün yanal yüz yüksekliği kaç
birimdir?
A) 6 3
28.
B) 7 3
D) 9 3
C) 8 3
E) 10 3
(1995 - ÖYS)
Şekildeki kare dik piramidin bir yan yüzü,
taban düzlemi ile 60° lik açı yapmaktadır.
Piramidin hacmi 288 3 cm3 olduğuna göre,
tabanının bir kenarı kaç cm dir?
A) 10
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
(1996 - ÖYS)
31. Bir kenarı a = 2 2 cm olan bir düzgün dörtyüzlünün hacmi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
2 2
cm 3
3
D)
B)
8 3
cm
3
3
2 2
cm 3
E)
C)
3
3
cm
8
8 3
3
cm
3
(1971)
217
32.
34. Bir kenarı a= 3 cm olan bir düzgün sekizyüzlünün hacmi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 8 2
B) 8 3
D)
16
2
3
C)
11
2
2
E) 9 2
(1972)
Şekildeki ABCD dörtyüzlüsünün ABC yüzü bir
kenarının uzunluğu a olan eşkenar üçgen, BDC
yüzü ise D açısı dik olan bir üçgendir.
AD ayrıtı BDC düzlemine dik olduğuna göre,
bu dörtyüzlünün hacmi ne kadardır?
A)
a3
24
B)
D)
a3 2
24
a3 6
24
C)
E)
a3 3
24
a3 3
48
(1980)
33.
Eşkenar olan ABC ve SBC üçgenlerinin |BC|=a
kenarı ortak olup düzlemlerinin ölçek açısı x dir.
x ve a nın fonksiyonu olarak SABC dörtyüzlüsünün hacmi aşağıdakilerden hangisidir?
A) V =
πa3
3
D) V =
B) V =
π 3
a
3
4π 2
a
3
E) V =
C) V =
a3
sin x
8
π
a.sin x
3
35.
Yarıçapı 5 cm, yüksekliği 24p cm olan dik silindir
biçimindeki bir kutunun alt tabanı üzerindeki A
noktası ile üst tabanı üzerindeki B noktası aynı
düşey doğru üzerindedir.
Şekildeki gibi, A dan hareket edip kutunun
yalnızca yanal yüzeyi üzerinde tek bir
dolanım yaparak en kısa yoldan B ye giden
bir karıncanın aldığı yol kaç cm dir?
A) 26 π
B) 25 π
D) 25 3
(1970)
218
SİLİNDİR
C) 24 2 π
E) 25 2
(2000 - ÖSS)
KATI CİSİMLER
36.
39. Yüksekliği 10 cm olan dik silidir biçimindeki bir
su bardağı tümüyle su doludur. Suyun 25 cm3 ü
boşaltıldığında, su yüksekliği 2 cm azalmaktadır.
Buna göre, tümüyle dolu bardakta kaç cm3
su bulunmaktadır?
A) 125
B) 135
C) 150
D) 225
E) 250
(2005 - ÖSS)
Şekildeki dik silindirde [AB] anadoğru, [BD]
doğru parçası taban çapıdır. C taban çevresi
üzerinde bir nokta,
|AB|=8 cm
|BD|=10 c
|CD|=8 cm
Yukarıdaki verilere göre, ACD üçgeninin
alanı kaç cm2 dir?
A) 32
B) 36
C) 40
D) 44
40. Hacimleri eşit iki silindirin yanal alanları
arasındaki oran aşağıdakilerden hangisidir?
E) 48
A)
(1982 - ÖYS)
h
h'
B)
r
r'
C)
r
r'
D)
r'2
r
E)
h2
h'
37. Kenarları 60 cm ve 80 cm olan dikdörtgen biçimindeki karton, bükülerek dik silindir biçiminde
boru haline getirilecektir.
Bükme işlemi uzun ve kısa kenar üzerine
yapıldığında elde edilecek iki farklı boru
silindirin, yan alanları oranı kaçtır?
A) 1
B)
1
2
C)
2
3
3
4
D)
E)
(1967)
41. Bir silindirin yanal alanı 20π ve yüksekliği 10
birim olduğuna göre,
hacmi kaç birimdir?
A) 2π
B) 20π
C) 10π
D) 40π
E) 200π
(1976)
4
5
(1995 - ÖSS)
38. Yüksekliği 60 cm ve taban kenar uzunluğu a cm
olan kare prizma su ile doludur.
Yarıçapı a cm olan bir silindirin prizmadaki
suyun tamamını alabilmesi için yüksekliği
en az kaç cm olmalıdır? (π=3 alınız.)
A) 22
B) 20
C) 18
D) 16
E) 15
(1987 - ÖSS)
42. Kenarları a ve b olan bir dikdörtgenin a
kenarı etrafında dönmesinden meydana
gelen silindir ile b kenarı etrafında dönmesinden meydana gelen silindirin hacimleri
arasındaki oran nedir?
A)
1
π
B) 1
C)
b
a
D)
b2
a
2
E)
b3
a3
(1966)
219
43. Eksenden geçen, kesiti kare olan bir dik
silindirin hacmi 169,56 cm olduğuna göre,
46.
bu dik silindirin taban yarıçapı aşağıdakilerden hangisidir? (π = 3,14)
A) 3 cm
B) 6 cm
C) 2 cm
D) 4 cm
E) 9 cm
(1973)
44.
Yukarıdaki I. şekil taban çapı 4 cm, yük-sekliği
10 cm olan bir silindirdir. Bu silin-dirdeki suyun
yüksekliği h dir. Bu kap II. şekilde görüldüğü gibi
yatayla 45 lik açı yapacak biçimde eğildiğinde
su düzeyi şekildeki gibi kabın ağzına dayanmaktadır.
Buna göre, h kaç cm dir?
A) 9
Bu kaba su konmaya başladıktan 2 saniye
sonra, suyun yüksekliği 8 cm olduğuna
göre, 3 sn sonra (beşinci saniye sonunda)
suyun yüksekliği kaç cm olur?
A) 32
B) 23
C) 19
D) 17
E) 14
(1981 - ÖSS)
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
(1982 - ÖYS)
Taban çapı 2R=20 cm olan silindir biçimindeki
bir kapta, başlangıçta 200 π cm3 su vardır. Bu
kaba yeniden su konmakta ve kaptaki suyun h
yüksekliği, t zamanına göre, h=at+b bağıntısı ile
değişmektedir.
47.
45.
10 cm
20 cm
Yukarıdaki düzenekte, dikey doğrultudaki kalın
silindirik boruların kesitleri s, sağ kola eklenmiş
olan ince silindirik borunun kesiti ise
s
tür.
4
Piston 20 cm aşağı indirildiğinde, öteki
kolda su yüzeyi kaç cm yükselir?
A) 52
B) 50
C) 46
D) 42
E) 38
(1982 - ÖSS)
220
İç içe geçirilmiş ve yükseklikleri eşit, dik silindir
biçimindeki iki kaptan dıştakinin çapı içtekinin
çapının iki katıdır. İçteki kap ağzına kadar su ile
dolu iken tabanına çok yakın bir delik açılırsa,
ikisi arasındaki boşlukta su hangi yüksekliğe
çıkar? (İçteki kabın kalınlığı önemsenmeyecektir.)
A)
h
2
B)
h
4
C)
h
3
D)
2h
3
E)
3h
4
(1983 - ÖSS)
KATI CİSİMLER
51.
KONİ
48.
Taban alanı S olan yandaki dik konide alanları
S1, S2 olan tabana paralel iki kesit ve bu kesitlerin merkezleri verilmiştir.
Yukarıdaki şekil, ana doğrusunun uzunluğu a cm
olan bir dik koninin açılımıdır. Dik koninin hacmi
∧
96π cm3 ve m(AOB)=216° olduğuna göre,
|TC|=2 cm
|OA|=|OB|=a kaç cm dir?
|TA|=1 cm
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
S=S1+S2
E) 12
olduğuna göre, |AB| kaç cm dir?
(1998 - ÖYS)
49. Taban yarıçapı r = 6 cm ve yüksekliği h = 8
cm olan dönel koninin açılımında yanal yüzeyinin meydana getirdiği daire parçasının
merkez açısı aşağıdakilerden hangisidir?
A)
5
π
3
B)
D)
7
π
4
4
π
3
C)
E)
6
π
5
7
π
2
(1972)
50.
(1990 - ÖYS)
52.
3
12
Şekildeki gibi, koni biçiminde bir gövdeden
oluşan kapaklı bir cisim yapılacaktır. Kapak
koninin yanal ayrıtı 3 cm, yanal alanı 24 cm2 dir.
Gövde koninin yanal ayrıtı 12 cm olduğuna
göre yanal alanı kaç cm2 dir?
A) 96
B) 108
C) 116
D) 150
E) 384
(2003 - ÖSS)
T dik koninin tepesi |AB| koni tabanının bir çapı
|AO|=|OB|=1 km
53. Tabanın yarıçapı 5 cm, olan bir eğik koninin yüksekliği 6 cm dir.
|TB|= 3 km
Yukarıdaki şekil, dik koni biçiminde idealleştirilmiş birdağı, A ve B noktaları ise bu dağ eteğindeki iki köyü temsil etmektedir.
Tepeden 2 cm aşağıdan tabana paralel olarak alınan kesitin alanı aşağıdakilerden
hangisine eşittir?
Bu iki köyü birleştiren, dağ yüzeyi üzerindeki en kısa yol kaç km dir?
A)
A)
π
3
B)
2π
3
C) π
D)
3
E) 3
25
3
B)
25
7
C)
25
9
D)
25
2
E)
25
4
(1971)
(2002 ÖSS)
221
54. Taban yarıçapı 8 cm, yanal yüzeyinin alanı
96π cm2 olan bir dönel koninin yüksekliğinin
bir ana doğrusuna oranı kaçtır?
A)
6
4
B)
5
3
C)
3
4
D)
2
3
E)
58.
1
2
(1995 - ÖSS)
Şekildeki gibi, taban yarıçapı 1 metre, yüksekliği
2 metre olan dik koni biçimindeki bir su deposuna bir musluktan sabit hızla su akıtılıyor.
Depoda biriken suyun derinliği x metre
olduğunda, depoda biriken suyun hacmi x
türünden kaç metreküp olur?
55. Taban yarıçapları 1 ve 2, yüksekliği 3 olan
kesik koninin hacmi nedir?
A) 5π
B) 6π
C) 7π
D) 8π
E) 9π
A)
(1966)
πx 3
12
B)
56. Yanal alanı 135π cm2 olan bir dik koninin taban
yarıçapı 9 cm dir.
Bu koninin hacmi kaç cm³ tür?
A) 282π
B) 292π
D) 312π
D)
πx 3
9
πx 3
4
C)
E)
πx 3
6
πx 3
3
(2006 - ÖSS - I)
59.
C) 302π
E) 324π
(1998 - ÖSS)
Şekildeki dik koni, tabana paralel bir düzlemle
kesiliyor.
Meydana gelen kesik koninin yüksekliği, başlangıçtaki dik koninin yüksekliğinin
57. Bir dönel koni, tabana paralel üç düzlemle
kesilerek, yükseklikleri eşit olan dört parçaya
ayrılıyor.
Tepeden birinci parçanın hacminin ikinci
parçanın hacmine oranı nedir?
A)
1
7
B)
1
6
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
(1978)
222
2
3
katı ol-
duğuna göre,
başlangıçtaki dik koninin hacmi, kesik
koninin kaç katıdır?
A)
64
27
B)
D)
9
4
27
26
C)
E)
27
8
3
2
(2004 - ÖSS)
KATI CİSİMLER
60. Bir dik kenarı (a) olan ikizkenar dik üçgenin
hipotenüsü etrafında dönmesinden meydana gelen cismin hacmini bulunuz.
A)
πa2 2
4
B)
πa 3 3
6
πa3 2
6
D)
C)
E)
64. Güneş yarıçapı yer yarıçapının 108 katıdır.
Bu iki cismin hacimleri oranı aşağıdakilerden hangisidir?
πa 3 2
8
A) 1083/2
B) 1083/3
D) 1083
πa 3 2
12
C) 109,212
E) 2083
(1970)
(1970)
65. Bir kürenin merkezinden 4 cm uzaklıktaki
kesitlinin çevresi 6π olduğuna göre bu
kürenin yarıçapı kaç cm dir?
61. Dik kenarları x,y olan bir dik üçgen, önce x
dik kenarı, sonra y dik kenarı etrafında
döndürülürse elde edilen konilerin hacimleri
oranı aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x
y
B)
3x
y
C)
x
3y
D)
y
x
E)
A) 5
B)
22
C) 6
D)
52
E) 8
(1977)
πx
y
(1974)
62. Denklemi
−x y
+ = 1 olan doğru ve koordinat
3 a
eksenleriyle sınırlı bölgenin x-ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan koninin hacmi 16π
birim küptür.
Buna göre, a nın değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) −3
B) −2
C) 0
D) 2
E) 4
R
66. Yarıçapı R olan bir küre, merkezinden
uzak
3
lıkta bir düzlemle kesiliyor.
Elde edilen kesitin alanı kaç πR2 dir?
A)
8
9
B) 2
C)
4
3
D)
4
9
E)
8
3
(1982 - ÖYS)
(1999 - ÖSS)
KÜRE + KONİ + SİLİNDİR + KÜP
67.
KÜRE
63. Çapı d olan kürenin hacmi çap cinsinden
yazılsa, aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
A) v =
4 3
πd
3
D) v =
B) v =
1 3
πd
3
2 3
πd
3
E) v =
C) v =
1 3
πd
6
1 3
πd
2
Yukarıdaki şekilde küre içine yerleştirilmiş silindirin yüksekliği 8 cm ve hacmi 72π cm3 olduğuna göre,
kürenin yarıçapı kaç cm di?
A) 7
(1968)
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
(1983 - ÖSS)
223
68. Yarıçapı 3 cm olan O merkezli küre içine,
ekseni küre merkezinden geçen 1 cm yarıçaplı
dik dairesel silindir aşağıdaki gibi yerleştiriliyor.
70.
Şekilde, taban yarıçapı 6 cm olan bir dik koninin tepe noktası ve taban çemberi, O merkezli
kürenin yüzeyindedir.
Bu silindirin hacmi kaç cm3 tür?
A)
3π
2
B) 3 π
D) 4 2 π
Dik koninin hacmi 216π cm3 olduğuna göre,
kürenin yarıçapı kaç cm dir?
C) 3 3 π
A) 9
E) 9 π
B) 10
C) 12
E) 15
(1999 - ÖSS - iptal)
(2008 - ÖSS - II)
69.
D) 13
71. Ayrıtlarının biri s uzunluğunda olan bir küpün
içine, teğet bir küre çiziliyor.
Küpün bir köşesinin kürenin yüzüne olan
uzaklığı aşağıdakilerden hangisidir?
A)
s( 3 − 1)
2
D)
B)
s( 3 + 3)
3
s 2
2
C) 3 s +1
E)
s 3
2
(1974)
Yukarıdaki şekilde P düzlemi üzerine konmuş
kürenin çapı 10 cm, tabanı P üzerinde bulunan
dik dönel koninin taban çapı da 16 cm dir. P
düzleminden 8 cm uzaklıktaki bir Q düzleminin
küre ve koni ile arakesit dairelerinin eşit olduğuna göre,
koninin yüksekliği kaç cm dir?
A) 32
B) 24
C) 20
D) 16
E) 12
(1984 - ÖYS)
224
72. Tam küre şeklindeki bir kapalı cisim, birbirine
dik üç kesit alınarak sekiz eşit parçaya bölünmüştür.
Elde edilen sekizde birlik parçaların her
birinde, bir koniye yanal yüzey olabilecek
kaç yüzey vardır?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
(1975)
KATI CİSİMLER
77.
YORUM SORULARI
73. Eğik dikdörtgenler prizması şeklindeki bir
cisim, herhangi bir yüzeyine paralel kesitler
alınarak parçalara ayrılsa her bir parçanın
şekli ne olur?
A) Düzgün dikdörtgenler prizması
B) Eğik prizma
Şekildeki küplerin yalnız çizimde görünen
yüzleri boyalı olduğuna göre, dört yüzü boyasız diğer yüzleri boyalı olan kaç küp
vardır?
C) Düzgün kare prizma
D) Üçgen prizma
E) Küp
A) 5
(1975)
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
(1977)
74. Bütün yüzleri boyalı ve boyutları 1x2x5 cm olan
düzgün kapalı prizma şeklindeki bir tahta
parçası, kenarı 1 cm olan küplere bölünmüştür.
Elde edilen küpler içinde yalnız dört yüzü
boyalı olan kaç tane verdır?
A) 2
B) 4
C) 5
D) 6
E) 10
(1975)
75. Bir kenarı 10 cm ve birbirine bitişik iki yüzü boyalı bir küp, kenarları 2'şer cm olan küplere
bölünmüştür.
Bu işlemden sonra, hiç bir yüzü boyalı
olmayan kaç küp elde edilir?
A) 60
B) 70
C) 80
D) 90
E) 100
78.
(1976)
1
2
76.
D
C
Yeþil
Mavi
F
K
K
Sarý
C
B
Mavi
F
A
B
C
B
D
A
F
E
Yukarıdaki değişik konumları verilmiş olan
küpün bir yüzü de beyazdır.
Beyaz yüz, hangi renkteki yüzün karşısındadır?
A) Mavi
B) Kırmızı
D) Yeşil
6
Yeþil
Siyah
L
5
A
E
D
4
Mavi
Yeþil
Kýrmýzý
L
3
C) Siyah
E) Sarı
(1977)
Yukarıda açılımı verilmiş ve yüzleri numaralanmış küp kapalı duruma getirildiğinde,
ikişerli olarak birbirinin karşısına gelen dört
yüz aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 − 5
B) 2 − 4
C) 3 − 6
1−6
3−6
3−5
D) 1 − 6
E) 1 − 4
2−5
3−5
(1978)
225
79.
Birbirinin ayrıtı 3 cm olan yukarıdaki küp, şekilde görüldüğü gibi sıra ile 6 kez kesilerek 27 eşit
parçaya ayrılacaktır.
Bu işlem yapılırken dördüncü kesim sonunda birbirine eşit kaç parça elde edilmiş olur?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
(1980)
80. Yarıçapı r olan bir küre, bir kenarı 2r olan bir
küpün içine yerleştirilmiştir.
Bu küp, bir yüzünün köşegeni boyunca kesildiğinde meydana gelen kesitin görünüşü
aşağıdakilerden hangisi gibi olur?
A)
B)
D)
C)
E)
(1976)
226
KATI CİSİMLER
3.
6. BÖLÜMÜN ÇÖZÜMLERİ
x=2 k
y=3 k
z=4 k
1.
E
V=2k.3k.4k=3000 ⇒ k3=125 ⇒ k=5
H
x
A=2. (2k.3k+2k.4k+3k.4k)=52.k2
E
x
y
F
A=52.52=1300 cm2
H
y
z
G
H
z
y
C
A
C
B
Üst kapak yukarı ve yan kapak sağa doğru açılarak
ABHE ve ACHF düzlemleri oluşturulmalıdır.
3
x=1 k
x1 H
y=3 k
z=5 k
2
Cisim köşegeni = k 2 + (3k)2 + (5k)2 = 70
y
x
y
1
F
y
5
2
1
G
5
H
1
z
z
4
A
6
B
C
3
AEX dik üçgeninde x2=82+52 ⇒
x = 89 cm
ABY dik üçgeninde y2=62+62 ⇒
y = 72 cm
⇒
z = 97 cm
ACZ dik üçgeninde
Ayrıtları x, y, z olsun
z2=92+42
küçükten büyüğe sıralanış
y<x<z
E
5
4.
5.
4x
4x
x x
x
x
8x
Taralı olan bölge kutunun tabanı, taban ayrıtı 4x olan
kare prizmanın yan yüzeylerinin ayrıtları 4x ve x birim
olur.
2.
Ayrıtları x, y, z olsun
x=3k
y=5k
z=7k
4x
x
4x
A=2.(3k.5k+3k.7k+5k.7k)=142 k2
142 k2=568 ⇒ k2=4 ⇒ k=2
V=4x.4x.x=16 ⇒ x=1 cm
V=3k. 5k. 7k=105 k3=105.8=840 cm3
Kartonun alanı=8x.4x=32.x2=32 cm2
227
6.
Hacim = x.x.4 = 75 ⇒ h =
75
9.
x2
Alan = 2.(x. x + x.h + h. x) ⇒
3
Taralı olan yer bu
kutunun tabanıdır
ve taban alanı
3
= 2x.(x + 2h) = 2x 2 + 4x.h ⇒
75
300
= 2x 2 + 4x ⋅ 2 = 2x 2 +
x
x
102=100 cm2 dir.
10
3
10
3
3
3 Kutunun
yüksekliği 3 cm
10
x
Taban ayrıtı=x ve yüksekliği=h olsun
V = x 2.h = 30 ⇒ h =
30
2
x
Alaný = y = f(x) = 2.(x.x + x.h + hx)
30
y = 2x 2 + 4xh = 2x 2 + 4x ⋅ 2
x
2x 3 + 120
⇒ y=
x
10. Ayrıtları a, b ve c olsun
yüzey alanları :
7.
olacağından
Hacim=100.3=300 cm3
a . b = 35cm 2
a . c = 30cm 2
b . c = 42cm 2
x
2
a .b 2.c 2 = 35.30.42 ⇒
a. b. c = 7.5.6.5.7.6 ⇒
a. b. c = Hacim = 7.5.6 = 210cm 3
10 cm
11.
8.
Verilen kutunun toplam alanı=2.(20.20+20.5+5.20)
=1200 cm2
Bölmeleri oluşturan 3 adet kartonun
alanları toplamı=3.(5.20)=300 cm2
Toplam=1200+300=1500
228
cm2
5 cm
2 cm
Şekildeki 10 adet dik kare prizmaların içine 10 adet
kalem 2 sıra halinde konabilir.
Büyük kutunun hacmi=5.2.10=100 cm3
KATI CİSİMLER
12.
15. Verilen şeklin 5 katlı olduğu görülmektedir.
E
1. katta = 2.5.1 = 10 küp
ABC ve FAC birer
diküçgendir.
F
2. ve 3. katta = 2.2.2 = 8 küp
4. katta = 2.1.1 = 2 küp
x
5. katta = 1.1.1 = 1 küp
4
C
D
Toplam = 21 adet küp elde edilir.
4
4
A
4
B
2
AC = 4 2 + 4 2 ⇒ AC = 4 2 cm
x 2 = 4 2 + (4 2) 2 ⇒ x = 4 3 cm
13. Verilen şekilde :
D'B' = 2 cm (yüzey köşegeni)
AB' = 2 cm (yüzey köşegeni)
D'AB' üçgeni bir eşkenar üçgen olduğu görülür.
2
2 ⋅ 3
3
=
cm 2
4
2
14. Verilen şekli beş farklı yönden bakarsak
önden görünen 6 kare
arkadan görünen de 6 kare
sağdan görünen 3 kare
soldan görünen de 3 kare
üstten görünen 3 kare
Toplam 21 adet kare kumaşla kaplanacaktır.
Bir kare 1 br2 olduğuna göre toplam 21 br2 kumaş
gerekir.
D' A = 2 cm (yüzey köşegeni)
Alan (D' AB ') =
a
cm ayrıtlı çıkartılan küp önceki küpün
3
alanını değiştrimez.
16. Köşesinden
Büyük küpün alanı = 6.a2
⎛ a⎞
Küçük küpün alanı = 6 ⋅ ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
Oranı = 6 olur.
2
17. Küpün bir ayrıtı a olsun
kalan hacim a3−(a−4)3=208 cm3 şıklardan giderek
a'nın kaç olduğunu bulmak daha kolaydır.
a=6 için 63=216 cm3
çıkarılan küpün bir ayrıtı 2 cm ve
hacmi 23=8 cm3
farkı 216−8=208 cm3
229
21.
18. 1. küpün bir ayrıtı x ve
T
2. küpün bir ayrıtı y olsun
⇒ 1. küpün alanı = 6.x2=b
1. küpün hacmi = x3
2. küpün hacmi = y3=c.x3
C
D
2. küpün alanı = 6.y2 = ?
4
Yukarıdaki eşitliklerden
x=
b
ve y = x ⋅ 3 c
6
(
6 ⋅ y2 = 6 ⋅ x ⋅ 3 c
) = 6 ⋅x
2
E
H
4
2 3
⋅ c2 ⇒
A
⎛ b⎞ 3 2
b 3 2
⇒ 6⋅⎜
⎟ ⋅ c =6⋅6⋅ c ⇒
⎝ 6⎠
3
⇒ b ⋅ c2
B
8
2
ABCD tabanı kare
|AB|=8 cm
|TH|=3 cm
HE =
8
= 4 cm
2
THE dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanırsa
|TE|2=32+42 ⇒ |TE|=5 cm
Alanı=Taban alan + Yanal alanlar
19. Küpün bir ayrıtı a olsun
a3 = 3 ⋅ 6 ⋅ 12 ⇒ a = 3 3 ⋅ 6 ⋅12
⇒ a = 3 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 3 3 3 ⋅ 2 3 = 6 cm
A lan = 8 2 +
8.5
⋅ 4 = 144 cm 2
2
22.
T
TH = h
HE =
20.
10
= 5 cm
2
5
C
D
5
x
5 53
Vsu = 6 ⋅ 8 ⋅ x ve Vsu = 6 ⋅ 8 ⋅ −
2 2
5 53
6 ⋅ 8 ⋅ x = 6 ⋅8 ⋅ −
buradan
2 2
115
x=
cm dir.
96
230
5
2
E
H
A
10
5
B
Alan=Taban alan + Yanal alanlar
10. TE
360 = 10 2 +
⋅ 4 ⇒ TE = 13 cm
2
THE dik üçgeninde pisagor bağıntısı uygulanırsa
132=52+h2 ⇒ h=12 cm
KATI CİSİMLER
23.
25. Tam ortasından kesildiği için üstteki piramitin yüksekliği
T
F
D
h
cm olur.
2
h
2 1
Benzerlik oranı = = olur.
h 2
C
3
1
⎛ 1⎞
Hacimler oranı = ⎜ ⎟ = dir.
⎝ 2⎠
8
E
A
B
Verilen kesik piramiti üçgen piramit varsayalım.
(TıDCF) piramitinin yüksekliği x olsun
(TıABE) piramitinin yüksekliği y olsun
26. Üstte kalan piramitin tabanı kare ve yüksekliği 3 cm dir.
x
= benzerlik oranı
y
a2 ⋅ 3
⇒ a = 3cm
3
Büyük piramitin yüksekliği üstteki piramitin yüksekliği ile
küpün bir ayrının toplamıdır
Hacim = 9 =
2
⎛ x⎞
⎜⎝ y ⎟⎠ = Alanlarının oranıdır.
2
⎛ x⎞
Alan(DFC)
⎜⎝ y ⎟⎠ = Alan(ABE)
yani 3+3=6 cm dir.
Üstteki piramit ile büyük piramit benzer olduğuna göre
h
a
3 3
=
⇒ =
⇒
h1 a1
6 a1
⇒ a1 = 6cm bulunur.
2
Kesik piramitin hacmi = v
12.y 3.x
−
= 28 ⇒
v=
3
3
12.2x 3.x
−
= 28 ⇒ x = 4 cm
3
3
kesik piramitin yüksekliği = y−x olacağından
8−4 = 4 cm dir.
24.
⎛ x⎞
3
⎜⎝ y ⎟⎠ = 12 ⇒ y = 2x olur.
27.
F
D
Üçgen prizmanın
üstten görünümü
ME 1 (benzerlik
=
oranı)
DE 3
L
M
E
T
2
1
⎛ 1⎞
= (Alanlar oran ý)
⎝⎜ 3 ⎠⎟
9
Alan(MEL) = 1a ⇒ Alan(DEF) = 9a d ýr.
EK = y olursa EB = 3y olur.
F
D
C
E
A
D
9a
B
Verilen piramitin üçgen piramit olduğunu varsayalım
Alan (ABE)=12 cm2
F
3y
E
y
K
1a ⋅ y ay
V1 =
=
3
3
(TıDCF) piramitinin yüksekliği = 2 cm
(TıABE) piramitinin yüksekliği = 6 cm
2
L
1a
E
Alan (DCF)=?
Alan(DCF)
⎛ 2⎞
=
⇒
⎝⎜ 6 ⎠⎟
12
4
Alan(DCF) = cm 2 dir.
3
M
B
V = 9a ⋅ 3y = 27ay
ay
V1
1
= 3 =
V 27ay 81
231
E
28.
31. Bir kenarı a olan düzgün dörtyüzlünün
T
hacmi =
A
(2 2)3 ⋅ 2 8
= cm3
12
3
D
x
60°
F
H
B
a3 ⋅ 2
12
x
C
2x
EHF dik üçgeni 30°−60°−90° üçgeni olur.
BC
= x olsun
2
HF = x ise EH = x 3 olur.
A
32.
HF =
a
2
(2x) ⋅ x 3
= 288 3 ⇒
3
3
3
4 ⋅ x = 3 ⋅ 288 ⇒ x = 216 ⇒ x = 6cm
BC = 2x ⇒ BC = 12 cm
Hacim =
a
a 3
2
B
x
D
a
2
H
a
2
C
29.
Temel diklik teoremine göre,
D'
15
D
x
A
x
B
(D',ABD) piramidi ayrıca çizilirse
|DıD|=15 cm ve |AD|=|AB| olacağından
[AD] ⊥ [DH] olur.
Üç dikme teoremine göre,
[AD] ⊥ [DH] ve [AH] ⊥ [BC] o halde [DH ⊥ [BC] olur.
a
DH = (süper üçlü)
2
ADH dik üçgeninde pisagor teoremine yapılırsa
2
2
⎛a 3⎞
a 2
2 ⎛a⎞
⎜ 2 ⎟ = x + ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⇒ x = 2 cm
⎝
⎠
Hacim =
BC ⋅ DH x
⋅ ⇒
2
3
a
3
2⋅a 2⋅1 = a ⋅ 2
⇒
2
2 3
24
a⋅
x ⋅ x 15
⋅
= 300 ⇒ x 2 = 120
2
3
x = 2 30 cm dir.
Hacim =
33. Sorudaki şekle göre:
SN =
a 3
2
SHN dik üçgeninde h =
30. Düzgün dört yüzlünün bir ayrıtı a olsun.
Alan ý = a 2 ⋅ 3 = 256 3 ⇒ a = 16 cm
Bir yan yüzü eşkenar üçgen olduğuna göre bu üçgenin
a⋅ 3
yüksekliği =
2
16 ⋅ 3
= 8 3 cm dir.
2
232
a 3
⋅ sin x
2
Alan(ABC) ⋅h
Hacim =
=
3
a3
Hacim =
⋅ sin x
8
a2 ⋅ 3 a 3
⋅
sin x
4
2
3
KATI CİSİMLER
34. Düzgün sekiz yüzlünün bir kenarı a ise
37.
a3 ⋅ 2
33 ⋅ 2
Hacmi =
olur
= 9 2 cm 3
3
3
D
C
60 cm
A
80 cm
B
Uzun kenar ve kısa kenar etrafında bükülerek yapılan
borunun yanal yüzeyi ABCD dikdörtgen levhadır.
35.
B
O halde yanal alanlar aynı olduğuna göre oranı da 1
olur.
B
24π
A
2.π.5=10π
A
Dik silindirin yanal yüzeyinin açılımı bir dikdörtgendir.
Taban çevresi diktörtgenin taban kenarını oluşturur.
A dan B ye en kısa yol |AB| uzunluğunu oluşturacağından |AB|2=(10 π)2+(24 π)2
(5−12−13 üçgeninin 2π katıdır)
|AB|=26π cm dir.
A
36.
38. Kare prizmanın hacmi = a2.60 cm3
Silindirin hacmi = π.a2.h cm3 hacimler eşit olmalıdır.
a2.60=3.a2.h ⇒ h=20 cm
|AB| = 8 cm
|DC| = 8 cm
|BD| = 10 cm
8
D
B
39.
25 cm3
C
2
Şekilde [BD] taban dairesinin çapı olduğu için
∧
m(BCD)=90° olur.
10
Temel diklik teoremine göre
∧
8
∧
m(ABD)= m(ABC)=90° dir.
Üç dikme teoremine göre,
[AB] ⊥ [BC] ve [BC] ⊥ [DC] olduğu için
[AC] ⊥ [DC] olur yani ACD bir dik üçgen dir.
BCD ve ABC dik üçgenlerin de pisagor teoremi
yapılırsa |AC|=10 cm bulunur.
10 ⋅ 8
Alan(ACD) =
= 40 cm 2 dir.
2
2 cm yükseklikte 25 cm3 su
10 cm yükseklikte x cm3 su
2
25
=
⇒ x = 125 cm 3
10
x
233
43.
40. 1. Silindirin yarıçapı = r
yüksekliği = h
r
2. Silindirin yarıçapı = r'
yüksekliği = h1
r
2r
V = V1 ⇒ π ⋅ r 2 ⋅ h = π ⋅ r '2⋅ h1 ⇒
r ⋅h r'
r 2 ⋅ h = r '2 ⋅ hý ⇒
=
r '⋅ hý r
Yanal alanların oranı
2⋅ π⋅r ⋅h
r ⋅h
=
buradan
2 ⋅ π ⋅ r '⋅ hý r '⋅ hý
r'
r
veya oraný bulunur.
r
r'
Hacim = (3,14) . r2.2r = 169,56
2r2 = 54 ⇒ r3=27 ⇒ r=3 cm
41. Silindirin yarıçapı = r
yüksekliği = 10 birim
Yanal alanı = 20π = 2πr.10 ⇒ r=1
Hacim = 2.12.10=10π birim küp
44.
x
6
h
8
42.
h=2
a
a
V=10
10
b
b
200π = π.102.h
h=2 cm
2.sn sonucunda akan su miktarı
2 200 ⋅ π
=
⇒ V = 600 π cm 3
6
V
1 sn de akan su 300π cm3
V1 = π ⋅ a 2 ⋅ b
V2 = π ⋅b 2 ⋅a
V1 π ⋅ a2 ⋅ b a
b
=
= veya
V2 π ⋅ b2 ⋅ a b
a
3sn de akan su 900π cm3
600 π 6
= ⇒ x = 9 cm
900 π x
beşinci saniye sonunda
h=2 cm + 6 cm + 9 cm = 17 cm dir.
234
KATI CİSİMLER
45.
48.
40 cm
s
4
a
h
10 cm
s
20 cm
r 216
=
⇒
a 360
r 3
=
a 5
r
s
r=3k ve a=5k olur.
Pisagor bağıntısından a2=h2+r2
(5k) 2 = (3k) 2 + h 2 ⇒ h = 4k
π ⋅ (3k) 2 ⋅ 4k
= 96 π ⇒ k = 2
3
a=5k olduğuna göre a=10 cm
Hacim =
Piston 20 cm aşağı inerse s.20 cm3 suyu yukarı iter.
Kalın borunun boş kısmı s.10 cm3 20s−10s=10s cm3
su ise ince borunun içinde yükselir.
S
⋅ h = 10s ⇒ h = 40cm
4
46.
x
4
4
45
x
10 h
4
45
6
6
4
45
4
Şekilde eğdirilmiş dik silindir içerisinde 6 cm yüksekliğine kadar tam dolu 4 cm yüksekliğinde ise yarım
dolu su vardır.
4
h = 6 + = 8 cm dir.
2
Su yüzeyi ilk konumundan ikinci konumuna gelince
10+40=50 cm yükselir.
49. Dik koninin : r=6 cm, h=8 cm
a2=r2+h2 ⇒ a2=62+82 ⇒ a=10 cm
α
6
α
6
6
=
⇒
=
⇒α= π
360 10
2 π 10
5
50.
T
α
60° 60°
3
47.
3
60°
A
a=3 km
A
60°
h
B
x
v
R=2r
Vsu = π ⋅ r 2 ⋅ h ve V su = π ⋅ (2r) 2 ⋅ x
h
πr 2 ⋅ h = π ⋅ 4r 2 ⋅ x ⇒ x =
4
α
1
= ⇒ α = 120°
360 3
2r
Dik koninin yanal yüzeyinin açık hali yukarıdaki daire
dilimidir.
|AB|=kaç km olduğu soruluyor TAB bir eşkenar üçgen
olduğuna göre |AB|=3 km dir.
235
54.
51.
1
=12
S2
A
h
8
S1
B
Yanal alanı=π.r.A = π.8.A= 96π
⇒ A=12 cm
S
C
Pisagor bağıntısından=122=82+h2
⇒h=4 5
TA|=1 cm, |TC|=2 cm, |TB|=x cm olsun
h 4 5
5
=
=
A
12
3
S=S1+S2
Temel benzerlik yapılırsa
1:2:x
(benzerlik oranları)
12 : 2 2 : x 2
(Alanların oranları)
S2 = 1 k,
S1 = x2.k ve S=4 k
55.
4k = 1k + x 2 ⋅ k ⇒ x = 3
x
AB = 3 − 1 cm
52. Dik koninin yanal alanı=π.r.A
Kapak koninin A=3 cm r=?
π.r.3 = 24 ⇒ π.r = 8 cm2
Gövde koninin yarıçapı yine aynı Aı=12 cm
Gövde koninin yanal alanı=π.r.12 ⇒ 8.12=96 cm2 dir.
1
3
2
1
x
=
⇒ x = 3 cm
2 x +3
π ⋅ 22 ⋅ 6 π ⋅ 12 ⋅ 3
−
= 7 π cm 3
V kesik koni =
3
3
56.
53.
2
=15
h
r
6
9
5
Yanal alanı=π.9.A = 135.π ⇒
Temel benzerlik yapılırsa
2 r
5
= ⇒ r = cm
6 5
3
⇒ A=15 cm
Piasgor bağıntısından=152=92+h2 ⇒
2
25
⎛ 5⎞
Kesit alaný = π ⋅ r 2 = π ⋅ ⎜ ⎟ =
π cm2
⎝ 3⎠
9
236
⇒ h=12 cm
V koni =
π ⋅ 92 ⋅ 12
= 324 ⋅ π cm 3
3
KATI CİSİMLER
57.
60.
r = h olur.
a 2
2
a 2
h=
2
a
a
V1
x
r=
r
x
45°
V2
h
45°
x
x
benzerlik oranı
2 adet dik koni oluşur.
⎛ π ⋅ r2 ⋅ h⎞
2⋅⎜
⎟
⎝ 3 ⎠
x
1
=
2x 2
2
⎛ ⎛
⎞
a 2⎞ a 2
⎜π⋅⎜
⎟
⋅
⎟
2 ⎟
⎜ ⎝ 2 ⎠
⇒2⋅⎜
⎟
3
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ π ⋅ 2a2 a 2 1 ⎞ π ⋅ a 3 ⋅ 2
⇒ 2⋅⎜
⋅
⋅ ⎟ =
2 3⎠
6
⎝ 4
3
V1
⎛ 1⎞
⇒ V2 = 7.V1
⎜⎝ ⎟⎠ =
2
V1 + V2
V1 1
=
V2 7
π ⋅ 12 ⋅ 2 2 π 3
=
m
3
3
Su dolu olan koni ile depo benzer konilerdir
x
benzerlik oranı
2
61.
58. Deponun hacmi =
59.
x
3
V1
x
3
Vsu
x 3 3V
⎛ x⎞
=
⎜⎝ ⎟⎠ = 2π ⇒
2
8
2π
3
π ⋅ x3 3
Vsu =
m olur.
12
x
x
y
y
V1 =
π ⋅ y2 ⋅ x
3
πy 2 ⋅ x
V1
y
3
=
=
V2 π ⋅ x 2 ⋅ y x
3
62.
−x y
+ =1
3 a
a
3
-3
Üstteki koni ile tüm koni benzerdir ve benzerlik oranı
x
3 = 1 olur.
x 3
V1
⎛ 1⎞
=⎜ ⎟
V1 + V2 ⎝ 3 ⎠
π ⋅ x2 ⋅ y
3
y
V2
2x
3
V2 =
3
V2 = 26.V1
kesik koninin hacmi=26.V1
başlangıçtaki koninin hacmi=27.V1
27 ⋅ V1 = k ⋅ 26 ⋅ V1 ⇒ k =
x
a
-a
Eksenlerle oluşan bölge bir üçgendir bu üçgenin x
ekseni etrafında döndürükmesiyle oluşan cisim bir dik
konidir.
Hacim =
π ⋅ a2 ⋅ 3
= 16 ⋅ π ⇒ a = 4
3
27
olur.
26
237
63. Çapı d ise yarıçapı
d
olur.
2
66.
r
3
4
4
⎛d⎞
⋅ π ⋅r 3 ⇒ ⋅ π ⋅ ⎜ ⎟ ⇒
⎝2⎠
3
3
1
3
Hacim = ⋅ π ⋅ d olur.
6
Hacim =
R
3
R
O
2
8
⎛ R⎞
R 2 = ⎜ ⎟ + r 2 ⇒ r 2 = ⋅R 2 ve
⎝ 3⎠
9
8 2
2
Kesit yüzeyin alanı= π ⋅ r = π ⋅ R olur.
9
64. Güneş ve dünyayı birer küre olarak kabul edersek
tüm küreler benzerdir. Benzerlik oranının küpü hacimler oranına eşit olur.
Dünyanın yarıçapı r ise güneşin yarıçapı 108.r olur.
108r
= benzerlik oranı
r
65.
r
3
⎛ 108 ⎞
3
⎜⎝
⎟ = hacimler oranı = 108
1 ⎠
67.
4
R
o
4
r
V silindir = π.r2.8=72π ⇒ r=3 cm
R2=42+r2 ⇒ R2=42+32 ⇒ R=5 cm
68.
r
4
1
R
x
3
O
O
x
Kesit çevresi = 2.π2r = 6π ⇒ r=3 cm
R2=42+r2 ⇒ R2=42+32
R=5 cm
32 = x 2 + 12 ⇒ x = 2 2 cm
Silindirin yüksekliği 4 2 cm dir.
V silindir = π ⋅ r 2 ⋅ h = π ⋅1 2 ⋅ 4 2 cm 3
= 4 2 π cm 3 olur.
238
KATI CİSİMLER
69.
71.
Q
r
r
3
P
K
T
x
5
8
5
S
8
r
O
8
P
10
= 5 cm
Kürenin yarıçapı =
2
16
= 8 cm
Koninin taban yarıçapı =
2
2
2
2
5 =3 +r ⇒ r=4 cm
A
s
olur.
2
AK = s ⋅ 3 (cisim köşegeni)
2r = s ⇒ r =
temel benzerlik uygulanırsa
x
r
x
4
= ⇒
= ⇒ x = 8cm dir.
x+8 8
x +8 8
PT = 2r = s
AP = KT =
Koninin yüksekliği=x+8=8+8=16 cm
s 3 −s
s ⋅ ( 3 − 1)
⇒
2
2
72.
A
A
F
B
D
B
O
E
E
C
1
lik parçadan üç tane
8
yan yüzeylerde oluşan çeyrek daire dilimleri vardır.
(Dik koninin yanal yüzeyinin açılımı her zaman bir
daire dilimi oluşturur.)
Şekildeki küreden çıkartılan
70.
O halde 3 adet koninin yanal yüzeyi olabilecek yüzey
vardır.
r
r
73.
18-r
6
h
V koni =
π ⋅ r2 ⋅ h
= 216 ⋅ π
3
π ⋅ 62 ⋅ h
= 216 ⋅ π ⇒ h = 18 cm
3
Pisagor bağıntısından r2=(18−r)2+62
buradan r=10 için 6−8−10 üçgeni oluşur.
h
Yukarıdaki şekil eğik dikdörtgenler prizmasıdır.
Taralı olan yüzeyler birer dikdörtgen ve taban yüzeyleridir.
Bu durumda taban yüzeylerine paralel olan kesitler alınacak olursa yine bir eğik prizma elde edilir.
239
74.
Yandaki şekil 1x2x5 cm
olan bu dikdörtgenler
prizmasıdır.
1
77.
Ayrıtları 1 cm olan
küplere ayrılırsa yalnız
dört yüzü boyalı olan
köşelerdeki küpler olur.
Bu küplerin üç yan yüzü
ile bir taban yüzü boyalıdır.
5
6
5
2
3
1
4
Bu küpler numaralandırılırsa görülüyorki 4 ve 5
numaralı küplerin yalnız iki yüzü görülmektedir
demekki kalan dört yüzü boyasızdır.
Bu durumda yalnız dört
yüzü boyalı olan sadece
4 küp vardır.
2
78.
4
5
ne
S
Yukarıdaki şekil
bir yan yüzü ile
üst yüzü bitişik
iki yüzey
5 tane boyalıdır.
Bir ayrıtı 10 cm
olan küp, bir
ayrıtı 2 cm olan
küplere ayrılırsa
5 tane
ta
5 tane
10 ⋅ 10 ⋅ 10
= 125 tane 2x2x2 cm olan küplerden
2⋅2⋅2
oluşur.Bu küçük küplerin en az bir yüzü boyalı olan
5.5+5.4=45 tane olduğuna göre
125−45=80 tane hiç bir yüzü boyalı değildir.
3
1
6
75.
2
2 nolu yüzeyi taban yüzeyi olarak sabitlersek 2'nin sağ
yüzeyi 3 üst yüzeyi 4 ve sol yüzeyi 5 olur. 6 ve 1
numaralar ise ön ve arka yüzeyleri oluşturur.
(2−4), (3−5) ve (1−6) karşılıklı yüzeylerdir.
79.
7
8
6
1
5
2
9
4
Dördüncü kesim
sonunda şekilde
görüldüğü gibi 9
tane kare dik
prizmalar elde
edilir.
3
4
L
Sarý
C
D
Yeþil
Mavi
B
Mavi
F
A
I
I.
II.
B
C
D
A
Yeþil
Siyah
F
E
D
II
A
2
B
Mavi
Yeþil
C
1
F
K
K
Kýrmýzý
76.
L
III
E
konumdan II. konuma gelirken küp sola
doğru yatırılmış.
konumdan III. konuma gelirken küp arkaya
doğru yatırılmış.
80.
EFKL yüzeyi ABCD yüzeyinin karşısında kaldığına
göre Mavi yüzeyin karşısı Beyaz olur.
Küpün üst yüzey
köşegeni boyunca
kesilirse kesit yüzey
bir dikdörtgen ve bir
de daire oluşturur.
2r
2r
2r
2r
Dikdörtgenin uzun
kenarı 2r 2 olacağından bu daire yan
kenarlara teğet olamaz.
2r
Bu durmda görülmeyen EFKL yüzeyi kaldı demekki bu
yüzeyi Beyazmış.
240
3
2r
r
r
2r

6 Bolum Kati Cisimler.qxd

Transkript

Benzer belgeler

022hacim ölçmeye bakış-3

matematik ödevim - Kartanelerim.com

Pisagor Teoreminde Özel Durumlar - f2e2

5 eksiği 13 olan sayının yarısı kaçtır

bölme sınav - Kartanelerim.com