Kaluza-Klein teorisi

Transkript

Başka Boyutlar Arayışı-1:
Kaluza-Klein Teorilerinin Kısa Bir
Tarihçesi ve
Ekstra Boyutlu Modellere Giriş
K. O. Ozansoy,
Ankara Üniversitesi Fizik Bölümü
İçerik
1. Kaluza-Klein teorilerinin kısa bir tarihçesi
– Nordström birleştirme teorisi
– Kaluza-Klein teorisi
2. Modern Kaluza-Klein Teorilerine Giriş-Temel
Kavramlar
– Kompaktlaştırma süreci ve yüksek boyutlarda skaler alan
– Orbifold kompaktlaştırması
3. Ekstra Boyutlu Modeller için Bir Sınıflandırma
– Evrensel ekstra boyutlar, ADD modeli, RS modelleri
4. Ekstra Boyutların Gözlenebilirliği
– Yüksek enerji sınırları, Ters-kare kuvvet yasası, Kozmolojik
sınırlar
5. Tartışma
Ankara YEF Seminerleri-07
2
1. Kaluza-Klein Teorilerinin Kısa Bir Tarihçesi
1900’ lerin
lerin başlarında
başlarında doğada
doğada bilinen
bilinen iki
iki temel
temel etkileşme
etkileşme
1900’
kütleçekimi(gravitasyon)
(gravitasyon)ve
veelektromagnetizma
elektromagnetizmave
veidi.
idi.
kütleçekimi
3
J. C. Maxwell (1831-1879)
Isaac Newton(1643-1727)
Maxwell’ininElektromagnetizma
ElektromagnetizmaDenklemleri
Denklemleri
Maxwell’
Newton’un
unGravitasyon
GravitasyonTeorisi
Teorisi
Newton’
r
r
Fg = −∇φ , ∇ 2φ = 4πGρ m
r r
1) ∇.E = 4πρ q
r
r r ∂B r
=0
2) ∇ × E +
∂t
r
r r 1 ∂E 4π r
3) ∇ × B − 2
= 2 J
c ∂t
c
r r
4 ) ∇.B = 0
4
1905’te Einstein, Maxwell’ in elektromagnetizma
teorisi ile uyumlu olan özel görelilik teorisini
kurduktan sonra gravitasyonun da özel
görelilikle uyumlu bir teorisinin kurulması için
çalışmalar başladı.
Albert Einstein(1879-1955)
Einstein, Abraham, Nordström, Mie,
Einstein ve Grossman, Einstein ve Fokker,…
5
İlk defa özel görelilik teorisi ile
uyumlu bir gravitasyon teorisi,
Finlandiyalı
fizikçi
Gunnar
Nordström tarafından 1913’ te
kurulan
skaler
gravitasyon(*)
teorisidir.
Gunnar Nordström (1884-1923)
Einstein’ ın genel görelilik teorisi 1915 yılında kurulduktan sonra,
özellikle Merkür’ ün enberi presesyonu ve ışığın bir gravitasyon
alanından bükülmesine ilişkin başarılı öngörülerinden sonra Nordström’
ün gravitasyon teorisi uzun yıllar dikkate alınmamıştır.
(*) G. Nordström, Physik. Zeitschr. 13 1126,1912;
Ann. d Phys. 40, 872, 1913; 42,533,1913
6
Nordström, kendi skaler gravitasyon teorisini kurduktan sonra, tüm doğa
olaylarını, yani elektromagnetik ve gravitasyon etkileşmelerini, bir
arada açıklayabilecek bir birleşik teori kurmaya çalıştı(*).
Böyle bir teoriyi oluştururken şu gözlemlerden yararlandı:
Özel görelilik teorisi
Æ 3-boyutlu uzay + 1-boyutlu zaman = 4-boyutlu uzay-zaman
Maxwell’ in Elektromagnetizma Teorisi
Æ3 lü vektör potansiyeli + skaler potansiyel = 4 lü vektör potansiyeli
Ax, Ay, Az
+
φ
= Aµ
) ∂ β F αβ = 4πJ α
Fµν = ∂ µ Aν − ∂ν Aµ
2 ) ∂ γ Fαβ + ∂ α Fβγ + ∂ β Fγα
1
=0
(*) G. Nordström, “On the possibility of a unification of the electromagnetic and gravitation fields”,
Phys. Zeitsch. 15, 504 (1914)
7
Nordström’ün
ünMaxwell’
Maxwell’in
inelektromagnetizma
elektromagnetizmateorisi
teorisiile
ilekendi
kendiskaler
skaler
Nordström’
gravitasyonteorisini
teorisinibirleştirmek
birleştirmekiçin
içintemel
temeldüşüncesi
düşüncesişu
şuşekilde
şekilde
gravitasyon
ifadeedilebilir:
edilebilir:
ifade
Özel görelilik teorisine göre, 3-uzay boyutu ile 1-zaman
boyutunun birleşimi, Maxwell’ in elektromagnetizma
teorisindeki 1-boyutlu elektrostatik potansiyel ile 3boyutlu vektör potansiyelinin birleşimine karşılık
geliyorsa;
1-boyutlu
bir
skaler
alanla
ifade
edilecek
gravitasyonun, elektromagnetizma ile birleşimi için 4boyutlu uzay zamana bir boyut eklenmesi gerekir.
Æ 5- boyutlu uzay-zaman
8
φ
→
t , x, y , z
Özel görelilikte 4-boyutlu
Uzay-zaman koordinatları
,
Ax , Ay , Az
Elektromagnetik potansiyel
Skaler gravitasyon alanı
4. Uzay koordinatı
x0
, x1 , x2 , x3
5-boyutlu uzay-zaman
, x5
←
φ , A1 , A2 , A3
,
A5
5-li vektör potansiyeli
9
(
r
A = φ , A, A5
5-boyutlu potansiyel
Elektrostatik potansiyel
)
Skaler gravitasyon potansiyeli
Magnetik vektör potansiyeli
FMN = ∂ M AN − ∂ N AM ;
∂ N FMN =
Genelleştirilmiş Stres-Enerji tensörü
kM
,
c
5-boyutta Genelleştirilmiş “Maxwell Denklemleri”
Æ 4-boyutta Maxwell denklemleri
∂ L FMN + ∂ M FNL + ∂ N FLN = 0,
∂ w FMN = 0
+ 4-boyutta Skaler Gravitasyon denklemleri
Nordström kabulü: “Silindir koşulu(Kaluza)”
10
1.2. Kaluza-Klein Birleştirme Teorisi
Einstein genel görelilik teorisini kurduktan sonra Nordström’ ün hem
skaler gravitasyon teorisi hem de birleştirme teorisi önemini kaybetmişti.
Theodor Kaluza(1885-1954)
Polonyalı Matematikçi ve Fizikçi
Oskar Klein(1894-1977), İsveçli Fizikçi
11
Polonyalı matematikçi ve fizikçi Th. Kaluza, 1919’ da Einstein’ a gönderdiği
makalesinde, Maxwell’ in elektromagnetizma teorisi ile Einstein’ ın
genel görelilik teorisini, evrenin 5-boyutlu bir manifold olarak ele
alındığı teorisinde birleştirdi. Daha sonra bu çalışma Einstein tarafından 1921’
de sunuldu.
Th. Kaluza, “On the unity problem of physics”,
Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Klasse 966(1921)
Bu çalışma, Einstein’ ın genel görelilik teorisini Maxwell’ in elektromagnetizma
Teorisi ile 5. bir boyutun varlığını öngörerek birleştiren ilk çalışmadır.
Oskar Klein, 1926’ da Kaluza’ nın makalesini dikkate alarak özel göreliliğin
5-boyutlu teorisi ve kuantum teorisi üzerine makalesini yayınladı.
O. Klein,”Quantum theory and five dimensional theory of
relativity”, Z. F. Physik 37, 895(1926)
Klein, elektrik yükünün kuantizasyonuna dikkat çekti ve kuantum teorisinin
altındaki teorinin Kaluza’ nın teorisi olabileceğini önerdi.
Schrödinger denkleminin özel göreliliğe uygun genelleştirmesi birbirinden bağımsız
Olarak Schrödinger, Klein, Gordon, Fock, de Donder, vd.. tarafından kuruldu
12
Æ Klein-Gordon denklemi
Elektromagnetik alan tensörü
ve Maxwell denklemleri
Einstein alan denklemleri
Fµν = ∂ µ Aν − ∂ν Aµ
1
8π
Rµν − g µν R =
Tµν
2
2
c
1) ∂ {α Fβγ } = 0
2) ∂ β Fαβ = J α
r
Aµ = (φ , A)
ρ =
Γµν
g µν
Elektromagnetik vektör
potansiyeli
(
1 ρλ
g ∂ µ gνλ + ∂ν g µλ − ∂ λ g µν
2
Uzay-zaman metriği
10 serbestlik derecesi
4-serbestlik derecesi
g MN
5-boyutta metrik
15-serbestlik derecesi
13
)
14
Kaluza birleştirme teorisi: 5-boyutlu dinamik, 4-boyutlu Einstein-Hilbert
eyleminin 5-boyutlu bir genellemesi ile ifade edilir:
I5 = −
1
16πG5
5-boyutlu metrik
∫
det( g MN ) R5 d 5 x
5-boyutta evrensel çekim sabiti
5-boyutta Ricci skaleri
Silindir Koşulu (Nordström & Kaluza)
Tüm dinamik değişkenlerin y koordinatına göre türevleri sıfır olsun.
Örnek: ∂Aµ ( x, y )
∂y
= 0;
∂Fµν ( x, y )
∂y
= 0,...
Æ Einstein alan denklemleri + Maxwell denklemleri
Az sonra…
15
Klein, 5. boyutun gözlenebilir olmayışını açıklamak için bu boyutun
1-küre(=çember) gibi kompakt bir uzay olduğunu ve yarıçapının çok küçük
olduğunu önerdi:
R=0.000000000000000000000000000000001m ?!
M 5 = M 4 × S1
(t , x, y, z ) = ( x0 , x1 , x2 , x3 )
Bilinen 4-boyutlu uzay-zaman koordinatları
x5 = y
5. boyut koordinat değişkeni
16
5-boyutlu tüm dinamik alanlar için Fourier seri açılımı,
F ( x, y ) =
∞
(n)
F
∑ ( x )e
iny
R
Kompakt uzayın yarıçapı
n = −∞
Sonsuz tane
alan terimi !
Örnekler
g µν ( x, y ) =
Aµ ( x , y ) =
φ ( x, y ) =
∞
∑ g µν
n = −∞
∞
∑ Aµ
(n)
(n)
( x )e
( x )e
iny
R
iny
R
n = −∞
∞
(n)
φ
∑ ( x )e
iny
R
n = −∞
17
Silindir Koşulu Æ n ≠ 0 için tüm alan bileşenleri sıfır:
g µν
( n≠0)
, Aµ
( n≠0)
g µν ( x, y ) = g
Aµ ( x, y ) = A
,φ
(0)
(0)
µν
µ
( n≠0)
=0
( x),
( x),
φ ( x, y ) = φ ( x )
(0)
18
Æ Einstein-Maxwell Eylemi
5-boyutlu eylem integrali y-üzerinden integral alınırsa:
1
I5 = −
16πG5
∫
1
I5 = −
16πG5
det( g MN ) R5 d 5 x
I 4 = ∫ det( g µν
(0)
2πR
4
dy
det(
g
)
R
d
x
MN
5
∫ ∫
0
2 2
⎛
e
κ ( 0) ( 0 ) µρ ( 0)νσ ( 0 ) ( 0 ) ⎞ 4
1
(0)
R+
) det(φ ) ⎜⎜ −
φ g
g
Fµν Fρσ ⎟⎟d x
16πG
⎠
⎝ 16πG
Sabit Φ için Einstein-Maxwell eylemi elde edilir
G5
G=
,
2πR
Fµν
(0)
= ∂ µ Aν
(0)
− ∂ν Aµ
(0)
19
Kaluza-Klein teorisi üzerine kurulu bazı önemli çalışmalar
1. 60-70 ler Kaluza-Klein teorilerinin diğer etkileşmeleri de içerecek
biçimde abelyen olmayan ayar simetrilerine genişletilmesi, de Witt
vd.
2. 80ler Green, Schwarz, Witten, vd… sicim teorileri
-
Bozonik sicim teorisi 26-boyut
Süpersicim teorileri 10-boyut
Süpergravite teorisi 11-boyut
3. 90lar M-teorisi: sicim teorilerinin 11-boyutta birleştirilmesi
4. 99dan sonra büyük ekstra boyutlar:
- ADD modeli
- RS modelleri,…
20
2. Modern Kaluza-Klein Teorilerine Giriş- Temel Kavramlar
2.1. Kompaktlaştırma Süreci ve Yüksek Boyutlarda Skaler Alan
21
3-boyuttaki bir dönen küpün gölgesi
4-boyutlu bir hiper küpün gölgesi
22
6-ekstra boyutÆ Calabi-Yau manifoldları
2-ekstra boyut= Küre yüzeyi
23
Bazı Hatırlatmalar:
24
25
Peryodik sınır koşulları: xÆx+2πR
R
R yarıçaplı çember üzerinde hareket eden bir parçacığın
Momentumu Pn = n/R
E2 = (pxc)2 + (pyc)2 + (pzc)2 +(mc2)2
5-boyutta m kütleli parçacığın enerjisi
4-boyutta m kütleli bir parçacığın enerjisi
E2 = (pxc)2 + (pyc)2 + (pzc)2 + (pn c)2 + (mc2)2
4- boyutta “kütle”
M = m+
n
R
26
27
Kompleks Klein-Gordon Alanı-Çembersel Ekstra Boyut
Silindir koşulu yok!
28
Taban durumu
29
Bazı sonuçlar
• Her bir alan için sonsuz bir Kaluza-Klein kulesi var:
Elektronun Kaluza- Klein kulesi
Fotonun Kaluza- Klein Kulesi
Kuarkların Kaluza- Klein kulesi,…
• Bilinen parçacıklar bu kulelerin taban durumlarına karşılık geliyorlar!
• Kuledeki her bir durum taban durumu ile aynı kuantum sayılarına
sahip
• kütle özdurumları dejenere!
30
2.2 Orbifold Kompaktlaştırması
1-küre: çember
2-küre: küre yüzeyi
2- torus
ManifoldÆ köşe noktası-uç noktası yok,
Sonlu doğrusal aralık
2-tane sonlu doğrusal aralık
1-küre x sonlu aralık
Köşe noktaları-uç noktaları varÆ orbifold
31
Matematiksel olarak bir orbifoldun kuruluşu:
- Bir M manifoldu al,
- M’ nin üzerinde bir Γ kesikli simetrisi tanımla,
- M/ Γ bölüm uzayı bir orbifoldtur.
32
Özdeş noktalar!
33
- Orbifoldun sabit noktaları olmadan
geri
kalan uzay bir manifolddur,
Ankara YEF
Seminerleri-07
- Orbifoldun hacmi genelde manifoldun hacminden küçüktür.
34
35
36
Güncel terminolojide bazı kavramlar:
Bulk: İçinde yaşadığımız 4-boyutlu uzayzaman ile birlikte bunlara dik
Olarak öngörülen d-ekstra boyutun birlikte oluşturdukları (4+d)-boyutlu büyük evren
Zar(brane): Bulk içindeki alt uzaylar;
Örnek: Bulk 5-boyutlu uzay-zaman ise içinde yaşadığımız
3-boyutlu uzay bir 3-zar olarak ele alınır
37
3. Ekstra Boyutların bir Sınıflandırması
1. Şimdiye kadar ele alınan ekstra boyutlarda tüm kuvvetler ve parçacıklar
ifade edilebiliyorlardı: bu türden ekstra boyutlar Kaluza ve Klein’ ın orijinal
olarak öngördükleri evrensel ekstra boyutlardır
Evrensel ekstra boyutlarda tüm parçacıkların uyarılmış Kaluza-Klein durumları vardır.
2. Bilinen parçacıkların ve ayar kuvvetlerinin ekstra boyutlara kaçmalarına izin
verilmeyen sadece gravitasyonun ekstra boyutlara geçmesine izin
verilen “sadece-gravitasyon” türü ekstra boyutlar
ADD türü ekstra boyutlar
RS türü kıvrılmış ekstra boyutlar
5-boyutlu uzay-zaman için S5 = d4x dy {Lbulk + Lzar δ(y)}
Bilinen dünya y=0
3-zarında
38
iz
m
i
n
vre
e
m
Bizi
39
4. Ekstra Boyutların Sınırları
•Şu an için ekstra boyutlar hakkındaki en önemli deneysel gerçeklik:
Herhangi bir türden herhangi bir ekstra boyuta dair bir kanıt henüz yok!
•Güncel hızlandırıcılarda 10-18m~1TeV mertebesine kadar duyarlı ölçümler yapılıyor.
•ADD ve RS türü büyük ekstra boyutlar varsa 1TeV in üzerindeki enerjilerde gözlenebilir
•Bilinen parçacıklar ve ayar kuvvetleri bir 3-zara hapsedilmişse ve bulkun
tümünde hareket edilmesine izin verilen tek alan graviton ise o zaman gravitasyon
deneyleri ekstra boyutların araştırılmasında daha önemli olabilir. Böyle deneylerde,
Newton’ un ters kare kuvvet yasası doğrudan(Cavendish türü deneylerle)
test edilebilir veya astrofizik ya da kozmoloji gözlemlerinden yararlanılabilir.
40
Cavendish türü deneyler
Ters-kare kuvvet yasasından 4-boyutlu gravitasyon alanı(graviton) sorumlu
kütleli
gravitonların
katkısı
41
Bu bölge %95
Güvenilirlik
Seviyesinde
deneysel olarak
dışarlanmış!
g1
42
Hızlandırıcı Deneyleri
Hızlandırıcılarda iki türlü ekstra boyut etkisi gözlenebilir:
İlki, soldaki şekildeki gibi bir graviton 3-boyutlu dünya üzerinden
ekstra boyutlara(megaevrene)
kaçar ve ortada 3-boyutlu dünyada bir kayıp enerji gözlenir.
Sağdaki etkileşmede graviton kısa süreliğine dünyayı
terkeder ve hemen sonra iki fotona
bozunarak dünyaya geri döner(D0 koloborasyonu)
43
Tartışma-1: Ekstra Boyutların olası sonuçları:
• Kuvvetleri birleştirebilir
• Newton yasası: kısa ve uzun mesafede değişebilir, gravitasyonun
•Neden zayıf olduğunu açıklayabilir.∗
• EWSB: Higgs ile§, veya “Higgs olmadan”, parçacıkların kütle
kazanma mekanizması hakkında fikir verebilir.¶
• Fermion kütleleri: Yukawa bağlaşımları
• ν kütleleri/karışımlar: bulk neutrinoları∗∗
• GUT: ††
• SUSY GUT: ∗
• yeni kozmoloji-karanlık madde adayları‡ kozmolojikl sabit.†
∗Dvali et al.
§Cheng et al.; Luty et al.; Hall et al.; Ignatius et al.; Z. Chacko and A. Nelson
¶C. Csaki et al.
kMirabelli and Schmaltz; Arkani-Hamed et al.
∗∗Mohapatra, Nandi, Perez-Lorenzana;
Dienes et al.; Dimopoulos et al.
††Dienes, Dudas, Gherghetta; Dumitru and Nandi.
∗Hall and Nomura; Hebecker and March-Russell et al.
‡Binetruy et al.; Kaloper et al.; Csaki et al.; Flanagan et al.; Cline et al.;
Kanti et al.; Mohapatra et al.
†Arkani-Hamed et al.; Silverstein etAnkara
al.; Luty
et Seminerleri-07
al.
YEF
44
45
Bazı Kaynaklar
1.
G. Nordström, “On the possibility of a unification of the electromagnetic and gravitation fields”,
Phys. Zeitsch. 15, 504 (1914)
2. Th. Kaluza, “On the unity problem of physics”, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Klasse 966(1921)
3. O. Klein,”Quantum theory and five dimensional theory of relativity”, Z. F. Physik 37, 895(1926)
4. L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83, 3370 (1999) hep-ph/9905221;
Phys. Rev. Lett. 83, 4690 (1999) hep-th/9906064
5. T. Appelquist, et al. Modern Kaluza-Klein Theories, 1987
5. K. Dienes, 2002 TASI Lectures,
6. T. Rizzo, hep-ph/0409309
7. J. Hewett, 2006 Summer School on Particle Physics at ICTP Lecture Notes
8. Tao Han, Univ. of Arizona, Oct. 29, 2004, lecture notes
Teşekkürler !
46

Kaluza-Klein teorisi

Transkript

Benzer belgeler

Programı bilgisayarıma kaydet

St.PETERSBURG

içindekiler - Plazatur.com

moskova st. petersburg

en221-istatistik yöntemler

Full Text - Beytulhikme Felsefe Dergisi

Evren`den Allah`a

a Ders Kitapları

EvrimTeorisiSon

İndir - Hasan Hüseyin BALIK