trԩgonometrԩ ünԩte 3. ünԩte 3. ünԩte 3. ünԩte 3. ünԩt

Transkript

TRԨGONOMETRԨ
ÜNԨTE
3. ÜNԨTE
3. ÜNԨTE
3. ÜNԨTE
Dik Üçgende Dar Açlarn Trigonometrik Oranlar
1. Kazanm: Dik üçgende dar açlarn trigonometrik oranlarn belirtir.
2. Kazanm: Dik üçgen yardmyla 30°, 45° ve 60° lik açlarn trigonometrik oranlarn hesaplar.
3. Kazanm: Tümler açlarn trigonometrik oranlar arasndaki iliԭkiyi belirtir.
4. Kazanm: Trigonometrik oranlardan biri belli iken diԫer trigonometrik oranlar bulur.
Yönlü Açlar
1. Kazanm: Yönlü aç ve yönlü yay kavramn açklar.
2. Kazanm: Birim çemberi belirtir ve denklemini yazar.
3. Kazanm: Aç ölçü birimlerini belirtir ve birbirine çevirir.
4. Kazanm: Açnn esas ölçüsünü açklar.
Trigonometrik Fonksiyonlar
1. Kazanm: Trigonometrik fonksiyonlar birim çember yardmyla ifade eder, tanm ve görüntü kümelerini
belirler, trigonometrik özdeԭlikleri gösterir.
2. Kazanm: k D Z olmak üzere,
kr
" i saylarnn trigonometrik oranlarn i saysnn trigonometrik
2
oran cinsinden yazar.
3. Kazanm: Bir açnn trigonometrik fonksiyonlar altndaki görüntüsünü trigonometrik deԫer tablosunda
bulur.
Trigonometrik Fonksiyonlarn Grafikleri
1. Kazanm: Periyodu ve periyodik fonksiyonu açklar, trigonometrik fonksiyonlarn periyotlarn bulur.
2. Kazanm: Trigonometrik fonksiyonlarn grafiklerini çizer.
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
1. Kazanm: Ters trigonometrik fonksiyonlar açklar.
Üçgende Trigonometrik Baԫntlar
1. Kazanm: Sinüs, kosinüs teoremlerini belirtir, gösterir ve üçgenin alan formüllerini bulur.
Toplam ve Fark Formülleri
1. Kazanm: Ԩki saynn toplam ve farknn trigonometrik oranlarn bulur.
2. Kazanm: Yarm aç formüllerini oluԭturur.
3. Kazanm: Toplam çarpma dönüԭtürme (dönüԭüm) ve çarpm toplama dönüԭtürme (ters dönüԭüm)
formüllerini oluԭturur.
Trigonometrik Denklemler
1. Kazanm: Trigonometrik denklemleri çözer.
3. ÜNԨT
TRԨGONOMETRԨ
DAR AÇILARIN TRԨGONOMETRԨK ORANLARI
Ölçülmesi çok zor, hatta imkansz gibi görünen yatay veya düԭey uzunluklarn ölçülmesi için geliԭtirilmiԭ olan
trigonometri yardmyla bu uzunluklar kolaylkla hesaplanabilir.
a
m( KOL) = _ açsna göre,
"
OLK dik üçgeninde
[OK] : hipotenüs
[OL] : komԭu dik kenar
[KL] : karԭ dik kenar
_
!
#
cos_ =
OL
komu dik kenar uzunlu¤u
=
,
hipotenüs uzunlu¤u
OK
$%&_ '
()*+,-.%(-(/&)*-010&2030
"#
'
!"
4%567/&8$-010&2030
7)&_ '
()*+,-.%(-(/&)*-010&2030
"#
'
;
!#
(69+0-.%(-(/&)*-010&2030
:67_ '
(69+0-.%(-(/&)*-010&2030
!#
'
"#
()*+,-.%(-(/&)*-010&2030
ÖRNEK 1
r
2
4
olmak üzere, sin_ =
5
ԫerlerini bulunuz.
ÖRNEK 2
0<_<
ise cos_, tan_ ve cot_ de_
Çözüm
Yukardaki ԭekil dört eԭ kareden oluԭmuԭtur.
ESEN YAYINLARI
Buna göre tan_ kaçtr?
Çözüm
231
Trigonometri
ÖRNEK 3
ÖRNEK 4
'
'
&
&
+
_
!
$
#
%
,
$_
"
!
a
ABC üçgeninde m( ADC) = _, |AB| = |AC| = 5 cm
-
"
a
ABC dik üçgeninde [AC] [BC], m( ABC) = 2_
|BD| = 2 cm, |DC| = 4 cm ise cot_ kaçtr?
ise tan_ nn a, b, c türünden deԫerini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ETKԨNLԨK
'
!
_
"
Çok yüksek bir daԫn yerden yüksekliԫini bulmak için bu daԫn en yüksek noktas (A) ile yerdeki bir nokta (B)
a
arasndaki uzaklԫn ve m( ABC) = _ nn bilinmesi yeterli olur mu?
|AB| = 6400 metre ve sin_ =
Çözüm
232
3
deԫerleri verildiԫinde bu daԫn yerden yüksekliԫi kaç metre olur?
4
Trigonometri
ÖRNEK 5
ÖRNEK 7
Bir ABC üçgeninde |AB| = |BC| ve tanC = 2 ise
olduԫunu gösteriniz.
sinB kaçtr?
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Herhangi bir ABC üçgeninde, a.cosB + b.cosA = c
ÖRNEK 6
'
ÖRNEK 8
'
_
!
*
"
1234
a
ABC dik üçgeninde [AH] [BC], m( ACB) = _
_
!
|BC| = 1 cm ise |HC| nin _ cinsinden deԫerini bulunuz.
Çözüm
"
Bir uçak _ açsyla saatte 240 km hzla havalanyor.
1
sin_ =
olmak üzere kaç dakika sonra 8 km lik yük3
sekliԫe ulaԭr?
Çözüm
233
Trigonometri
Ölçüleri 30° ve 60° Olan Açlarn Trigonometrik Oranlar
'
(56 (56
v(
$
$
756
!
756
)
*
)
"
Bir kenar uzunluԫu 2 cm olan ABC eԭkenar üçgeninde [AH] [BC] çizildiԫinde [AH] yüksekliԫi hem kenarora
a
tay, hem açortay olacaԫndan |BH| = |HC| = 1 cm, |AH| = v3 cm, m( BAH) = m( HAC) = 30° olur.
ABH dik üçgeninde,
sin30° =
BH
1
,
=
2
AB
cos30° =
AH
3
=
,
2
AB
tan30° =
BH
1
3
=
=
,
3
AH
3
cot30° =
AH
= 3
BH
Benzer ԭekilde, ayn üçgende,
sin60° =
®
3
,
2
tan60° = v3 ,
cos60° = 1 ,
2
cot60° =
3
3
olur.
Bulunan deԫerler karԭlaԭtrldԫnda,
sin30° = cos60° = 1 ,
2
sin60° = cos30° =
3
,
2
tan30° = cot60° =
3
, tan60° = cot30° =
3
3
eԭitlikleri oluԭur. Bu durumu aԭaԫdaki gibi kurallaԭtrabiliriz.
Birbirini 90° ye tamamlayan iki açdan birinin sinüsü diԫerinin kosinüsüne, birinin tanjant diԫerinin
kotanjantna eԭittir.
_ + ` = 90° ise sin_ = cos` , tan_ = cot` dr.
ÖRNEK 9
ÖRNEK 10
Aԭaԫda birbirini 90° ye tamamlayan açlarla ilgili örnekler verilmiԭtir. Ԩnceleyiniz.
sin 42°. tan 10°
iԭleminin sonucu kaçtr?
cos 48°. cot 80°
Çözüm
®
sin12° = cos78°
®
sin44° = cos46°
®
sin63° = cos27°
®
tan2° = cot88°
®
tan21° = cot69°
®
tan53° = cot37°
234
Trigonometri
ÖRNEK 11
ÖRNEK 12
_ < 90° ve ` < 90° olmak üzere
sin40° = a ve cot25° = b
sin_ + tan35° = cos` + cot55°
olduԫuna göre, cos50°.tan65° ifadesinin eԭitini bu-
eԭitliԫini saԫlayan _ + ` kaç derecedir?
lunuz.
Çözüm
Çözüm
Ölçüsü 45° Olan Açnn Trigonometrik Oranlar
'
%&6
v$
)
%&6
!
)
"
Dik kenar uzunluklar 1 br olan ABC ikizkenar dik üçgeninde, |AC| = |BC| = 1 br, |AB| = v2 br olur.
sin45° =
AC
1
2
=
=
2
AB
2
tan45° =
AC
=1
BC
,
,
cos45° =
BC
1
2
=
=
2
AB
2
cot45° =
1
= 1 bulunur.
tan 45°
Hipparchus (M.Ö. 190 – M.Ö. 120)
Yunan matematikçi ve astronomdur. Ԩznik’te doԫdu ve muhtemelen Rodos’ta
öldü.
Ԩlk sistematik astronomi ve trigonometriyi bulan kiԭi olarak kabul edilir. Güneԭ ve
Ay’n uzaklԫn hesaplamԭtr. Enlem ve boylam daireleriyle, Dünya’daki herhangi
bir noktann konumunu belirtme yöntemini bulmuԭtur.
235
ALIŞTIRMALAR – 1
1.
6.
Aԭaԫdaki tabloyu doldurunuz.
(56
/
%&6
#
"
_
756
9:;/
=
+89/
$
<-;/
'
!
a
ABCD karesinde m( ECB) = _, |EA| = 2 cm ve
+8</
tan_ = 3 ise |AB| kaç cm dir?
_ D b 0,
2.
r
3
l ve tan_ =
2
4
olduԫuna göre sin_, cos_ ve cot_ deԫerlerini
bulunuz.
#
7.
"
=
r
5
l ve cos_ =
13
2
olduԫuna göre sin_ , tan_ ve cot_ deԫerlerini
bulunuz.
_
ESEN YAYINLARI
_ D b 0,
3.
'
!
ABCD dikdörtgen DBE üçgendir.
a
[DB] [BE], m( CBE) = _, 4.|AB| = 3.|AD| ise
cos_ kaçtr?
_ D b 0,
4.
r
l olmak üzere
2
tan_ = 2 ise cos_.sin_ kaçtr?
8.
_
5.
'
`
_
!
#
"
a
ABC eԭkenar üçgeninde m( ADB) = _
|BD| = 5.|DC| ise tan_ kaçtr?
236
Yukardaki ԭekil bir küpün açlmyla oluԭmuԭtur.
Buna göre, tan_ + cot` kaçtr?
Trigonometri
YÖNLÜ AÇILAR
Baԭlangç noktalar ortak olan iki ԭnn birleԭimi aç, açy oluԭturan ԭnlarn herbiri de açnn kenarlardr.
Açy, kenarlarnn yazlԭ srasna göre iki deԫiԭik biçimde yönlendiririz.
'
>
F8G:<:H2.I;
!-BC-;DAE23?;-@A
!BC;
!:<
:4
23?
;
-@A
DAE
23?
;
-@A
'
>
!
J?D-<:H2.I;
!:<:423?;-@A
!
Yukardaki ԭekillerin birincisinde baԭlangç kenarndan bitim kenarna saat yönünün tersi yönde (pozitif yön),
ikincisinde ise saat yönü ile ayn yönde (negatif yön) gidilmiԭtir.
a
BOA açs pozitif yönlü bir aç olup BOA biçiminde gösterilir. Baԭlangç kenar [OB, bitim kenar [OA dr.
a
AOB açs negatif yönlü bir aç olup AOB biçiminde gösterilir. Baԭlangç kenar [OA, bitim kenar [OB dir.
'EA
MI;N
!-BC-;DAE23?;-@A
!:<:423?;-@A
OI9<?@:C:B:
J?D-<:H
S2MQ
S2MP
QMP
F8G:<:H
S2KR
S2KL
RKL
Q
M
P
L
K
R
YÖNLÜ YAYLAR
h
Ԭekilde O merkezli çember ile AOB açsnn kesiԭimi AB yaydr ve AB biçi-
!
L
K
minde gösterilir. AB yaynn yönü olarak LOK açsnn yönü alnrsa AB yay
>
pozitif yönlü bir yay olur. A noktas bu yayn baԭlangç noktas, B noktas da
'
bitim noktasdr.
'EA
MI;N
!-BC-;DAE2;83<-9A
!:<:42;83<-9A
OI9<?@:C:B:
F8G:<:H
"
!
"!
J?D-<:H
R
L
RL
!
'
"
L
K
R
237
Trigonometri
Radyan
BԨRԨM ÇEMBER
Bir çemberde, yarçap uzunluԫundaki bir yay gören
.
merkez açnn ölçüsü 1 radyandr.
T5U)V
1 radyan yaklaԭk olarak 57.3° dir.
LT/U.V
Bir çember yaynn ölçüsü 2/ radyandr.
)
>
TX)U5V
W
T)U5V
/
Aç Ölçü Birimlerinin Birbirine Dönüԭtürülmesi
Bir çember yaynn ölçüsü 360 derece veya 2/ rad-
T5UX)V
yan olduԫundan
D = R D = R
360 2r
180 r
Merkezi baԭlangç noktas ve yarçapnn uzunluԫu
1 birim olan çembere birim çember denir.
K(x, y) birim çember üzerinde bir nokta olmak üzere;
OTK dik üçgeninde,
2
2
2
ÖRNEK 14
2
2
|OT| + |KT| = |OK| x + y = 1 olur.
Ölçüsü
x2 + y2 = 1 baԫnts birim çemberin denklemidir.
7r
radyan olan aç kaç derecedir?
4
Çözüm
ÖRNEK 13
Birim çember üzerinde apsisi ordinatna eԭit olan
ESEN YAYINLARI
noktalar bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 15
Ölçüsü 240° olan aç kaç radyandr?
Çözüm
ÖRNEK 16

AÇI ÖLÇÜ BԨRԨMLERԨ
1
Bir çemberin
n gören merkez açnn ölçüsü
360
1 derecedir.
Derece (°) simgesi ile gösterilir.

1° nn 60 ta biri 1 dakikadr. (1 )

1 nn 60 ta biri 1 saniyedir. (1 )
238


olduԫuna göre, _ + ` deԫerini bulunuz.
Derece


_ = 42° 54 36 ve ` = 11° 40 43
Çözüm
Trigonometri
ÖRNEK 17
ÖRNEK 20



Birim çember üzerinde, uzunluklar; 0 , r , r , 3r
2
2
ve 2/ olan yönlü yaylarn bitim noktalarnn koordi-

_ = 46° 38 23 ve ` = 21° 12 40
olduԫuna göre, _ – ` deԫerini bulunuz.
natlarn bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 18


23° 16 43 lik aç kaç saniyedir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 21
Birim çember üzerinde, uzunluklar
ÖRNEK 19
52146

dir?
Çözüm
lik aç kaç derece, kaç dakika, kaç saniye-
r 3r 5r
,
,
ve
4
4
4
7r
olan yönlü yaylarn bitim noktalarnn koordinat4
larn bulunuz.
Çözüm
239
Trigonometri
ÖRNEK 23
Ölçüsü –1413° olan açnn esas ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm
ÖRNEK 24
Ölçüsü
23r
radyan olan açnn esas ölçüsünü bu3
lunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
BԨR AÇININ ESAS ÖLÇÜSÜ
0° e < 360° ve k D Z olmak üzere, ölçüsü e + k.360°
olan açnn esas ölçüsü e derecedir.
0 e < 2/ ve k D Z olmak üzere, ölçüsü e + k.2/
olan açnn esas ölçüsü e radyandr.
ÖRNEK 25
Ölçüsü
yandr?
ÖRNEK 22
Ölçüsü 4243° olan açnn esas ölçüsü kaç derecedir?
Çözüm
240
Çözüm
–
43r
olan açnn esas ölçüsü kaç rad5
ALIŞTIRMALAR – 2
1.
Aԭaԫda verilen tablodaki boԭluklar doldurunuz.
'EA
MI;N
!-BC-;DAE23?;-@A
!:<:423?;-@A
OI9<?@:C:B:
!-BC-;DAE2;83<-9A
!:<:42;83<-9A
OI9<?@:C:B:
'
!
"
Q
M
P
2.
Aԭaԫda verilen tablodaki boԭluklar doldurunuz.
M-.
MI;N
!
'
L
3.
"
R
K
Aԭaԫdaki noktalardan hangilerinin birim çember
4.
üzerinde olduԫunu tespit ediniz.
a.
1 1
c , m
2 2
b.
d
3 1
, n
2
2
Aԭaԫda verilen açlar çiziniz.
a
a. AOB
a
b. XYZ
c.
d –
1
3
,
n
2 2
e.
3
,
d
2
2
n
2
d.
d
2
2
, –
n
2
2
f.
3
,
d –
2
5
n
2
5.
Birim çember üzerinde apsisi
1
olan noktalar2
dan birinin ordinatn bulunuz.
241
Trigonometri
6.
Birim çember üzerinde apsisi ordinatnn
10. Aԭaԫda ölçüleri verilen yönlü yaylarn bitim nok-
3
talarnn koordinatlarn bulunuz.
kat olan noktalar bulunuz.

7.


_ = 42° 13 51 ve ` = 28° 24 40
a.
r
3
b.
2r
3
c.
4r
3
d.
5r
3
e.
r
6
f.
5r
6
g.
7r
6
h.
11r
6

olmak üzere aԭaԫdaki ifadelerin her birinin eԭitini
bulunuz.
a. _ + `
c. 2_ + 3`
ESEN YAYINLARI
b. _ – `
11. Aԭaԫda ölçüleri verilen açlarn, esas ölçülerini
ayn birimde bulunuz.
a. 480°
b. 1316°
c. –843°
d. –2716°
d. 3_ – `
8.

48916 lik aç kaç derece, kaç dakika ve kaç saniyedir?
e.
9.


242
51r
7
g. –
19r
5
f. 83r
4
h. –
213r
4
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK FONKSԨYONLAR
Kosinüs ve Sinüs Fonksiyonlar
.
!T5U)V
LT/U.V
"TX)U5V
)
9:;_
'T)U5V
_
>
+89_
K
/
#T5UX)V
a
K(x, y) noktas birim çember üzerindedir. m( KOL) = _ olmak üzere;
®
K(x, y) noktasnn apsisine, _ gerçek saysnn kosinüsü denir ve cos_ biçiminde gösterilir.
_ gerçek saysn, cos_ ya dönüԭtüren fonksiyon kosinüs fonksiyonudur.
®
K(x, y) noktasnn ordinatna, _ gerçek saysnn sinüsü denir ve sin_ biçiminde gösterilir.
_ gerçek saysn, sin_ ya dönüԭtüren fonksiyon sinüs fonksiyonudur.
®
Birim çember üzerindeki noktalarn apsis ve ordinatlar [–1, 1] aralԫnda bulunduԫundan, sinüs ve kosinüs
fonksiyonlarnn
tanm kümesi : R ,
görüntü kümesi : [–1, 1] dir.
Yani, _ D R için –1 cos_ 1 ve –1 sin_ 1 dir.
®
Kosinüs ve sinüs fonksiyonlarn
cos : R A [–1, 1], f(x) = cosx ,
sin : R A [–1, 1], f(x) = sinx
ÖRNEK 26
sin
r
r
ve cos
ifadesinin eԭitini bulunuz.
2
2
Çözüm
biçiminde ifade ederiz.
ÖRNEK 27
sin180° ve cos180° ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
243
Trigonometri
Benzer ԭekilde 0°, 270° ve 360° lik açlara karԭlk
ÖRNEK 29
gelen noktalar birim çember üzerinde iԭaretlenerek
A = 3cosx – 2siny
bu açlarn da sinüs ve kosinüsleri bulunabilir. Bu de-
olmak üzere A nn en büyük tam say deԫeri ile en
ԫerler aԭaԫdaki tabloda verilmiԭtir. Ԩnceleyiniz.
/
56
Z56
)156
$Y56
(756
+89/
)
5
X)
5
)
9:;/
5
)
5
X)
5
küçük tam say deԫerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 28
A = 2sinx – 3
olmak üzere A nn deԫer aralԫn bulunuz.
Çözüm
Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonlar
.
/[)
+8<_
!
/
$
/
"
>
\
_
W
L
.[)
<-;_
5
$/ '
/
(/ #
$
a
x = 1 ve y = 1 doԫrular birim çembere A ve B noktalarnda teԫettir. m( AOK) = _ olmak üzere,
®
[OK nn, x = 1 doԫrusunu kestiԫi T noktasnn ordinat, _ reel saysnn tanjantdr ve tan_ olarak gösterilir.
x = 1 doԫrusu tanjant eksenidir.
®
y ekseni ile tanjant ekseni paralel olduԫundan,
_=
®
®
r
3r
r
3r
veya _ =
için [OK ile x = 1 doԫrusu kesiԭmez. O halde; tan
ve tan
tanmszdr.
2
2
2
2
r
+ k/, k D Z} , görüntü kümesi : R dir.
2
[OK nn, y = 1 doԫrusunu kestiԫi K noktasnn apsisi, _ reel saysnn kotanjantdr ve cot_ olarak gösterilir.
Tanjant fonksiyonunun; tanm kümesi : R – {
y = 1 doԫrusu kotanjant eksenidir.
®
x ekseni ile kotanjant ekseni paralel olduԫundan, _ = 0, _ = / veya _ = 2/ için [OK ile y = 1 doԫrusu
kesiԭmez. Dolaysyla cot0, cot/ ve cot2/ tanmszdr.
®
Kotanjant fonksiyonunun; tanm kümesi : R – {k/, k D Z} , görüntü kümesi : R dir.
244
Trigonometri
Sekant ve Kosekant Fonksiyonlar
.
L
!
+89?+_
"
/
/
$
K
_
>
5 '
$/
R
/
9?+_
# (/
$
KM doԫrusu birim çembere L noktasnda teԫet olup eksenleri kestiԫi noktalar K ve M dir.
a
m( LOM) = _ olmak üzere,
®
M noktasnn apsisi, _ reel saysnn sekantdr ve sec_ ile gösterilir.
®
K noktasnn ordinat, _ reel saysnn kosekantdr ve cosec_ biçiminde gösterilir.
®
B ve D noktalarnda sekant deԫerleri tanmsz olacaԫndan sekant fonksiyonunun,
tanm kümesi : R – &
®
r
+ kr, k ! Z 0 , görüntü kümesi : R – (–1, 1) dir.
2
A ve C noktalarnda kosekant deԫerleri tanmsz olacaԫndan kosekant fonksiyonunun,
tanm kümesi: R – { k/ , k D Z } , görüntü kümesi: R – (–1, 1) dir.
ÖRNEK 30
ÖRNEK 31
A = 4 – tanx
0° _ 45° olmak üzere,
olduԫuna göre, A nn alabileceԫi en küçük pozitif tam
sec_ hangi aralkta deԫer alr?
say deԫeri kaçtr?
Çözüm
Çözüm
245
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK ÖZDEԬLԨKLER
sin2_ + cos2_ = 1
.
OAK dik üçgeninde,
LT+89_U29:;_V
)
|OA| = cos_
_
>
|AK| = sin_
'
/
|OK| = 1 olduԫundan
|OA|2 + |KA|2 = |OK|2 (cos_)2 + (sin_)2 = 12 sin2_ + cos2_ = 1 bulunur.
Bu özdeԭliԫi,
sin2_ = 1 – cos2_ ve cos2_ = 1 – sin2_ biçimleriyle de kullanacaԫz.
ÖRNEK 32
ÖRNEK 34
sin 2 x
= 1 – cos x
1 + cos x
sin4x – cos4x + cos2x = sin2x olduԫunu gösteriniz.
Çözüm
ÖRNEK 33
cos 2 x
cos 2 y
–
sin 2 x – sin 2 y
Çözüm
ifadesinin eԭitini bulalm.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 35
1– sin x
cos x
in a türünden
= a olduԫuna göre,
cos x
1 + sin x
deԫerini bulalm.
Çözüm
246
Trigonometri
tan_ = sin a
cos a
ve cot_ =
cos a
dr.
sin a
.
&
&
OMR + OAT olduԫundan
OM
MR
=
OA
AT

cos a sin a
=
tan a = sin a
cos a
1
tan a
+8<_
!
olur.
\
J
)
9:;_

"
'
+89_ R
>
sin a cos a
cos a
=
cot a =
olur.
1
cot a
sin a
#
.[)
<-;_
_
&
&
ONR + OBK olduԫundan
ON
NR
=
OB
BK
L
W
/
/[)
Bu iki eԭitlikten yararlanarak, cos_ 0 ve sin_ 0 olmak üzere,
tan_.cot_ = 1 , tan_ =
1
1
, cot_ =
eԭitlikleri de elde edilir.
tan a
cot a
ÖRNEK 36
ÖRNEK 38
3 sin x – 2 cos x 2
=
sin x + cos x
3
(1 + cot2x).sin2x = 1 olduԫunu gösteriniz.
olduԫuna göre, tanx kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 37
tan 2 x – 1
= tan 2 x olduԫunu gösteriniz.
1 – cot 2 x
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 39
tanx – cotx =
1
2
olduԫuna göre, tan2x + cot2x kaçtr?
Çözüm
247
Trigonometri
sec_ =
1
cos a
ve cosec_ =
1
sin a
dr.
.
&
&
OLT + OML olduԫundan

1
cos a
1
olur.
=
sec_ =
sec a
1
cos a
!
&
&
LON + KOL olduԫundan

)
R
_
"
LO
ON
=
KO
OL
K
J
+89?+_
9:;_
OL
OT
=
OM
OL
L
1
sin a
1
=
cosec a =
olur.
cosec a
1
sin a
>
+89_
9?+_
#
ÖRNEK 40
ÖRNEK 42
cosec 2 x – sec 2 x
= – 1
cot 2 x – tan 2 x
tan2_ – sec2_
Çözüm
ÖRNEK 41
1 + cos x + sin x = 2 cosec x
sin x
1 + cos x
Çözüm
248
ESEN YAYINLARI
Çözüm
W '
/
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK FONKSԨYONLARIN BԨRԨM ÇEMBERԨN BÖLGELERԨNDEKԨ ԨԬARETLERԨ
. 9:;
9:;20
+892X
<-;2X
+8<2X
9:;20
+8920
<-;20
+8<20
/
$
]]
]
/
/
5
]]]
9:;2X
+892X
<-;20
+8<20
$/
+89
]^
9:;2X
+8920
<-;2X
+8<2X
(/
$
x ekseni kosinüs ekseni, y ekseni sinüs ekseni olduԫundan, birim çemberin herhangi bir bölgesinde bulunan
bir açnn kosinüsü ile sinüsünün iԭareti o bölgedeki bir noktann apsis ve ordinatnn iԭareti ile ayndr.
Tanjant ve kotanjantn iԭaretleri de o bölgedeki sinüs ve kosinüsün iԭaretlerinin oranndan bulunur.
Bu durumda,
®
_ D (0°, 90°) ise trigonometrik oranlarn tümü pozitiftir.
®
_ D (90°, 180°) ise sinüs pozitif, kosinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir.
®
_ D (180°, 270°) ise tanjant ve kotanjant pozitif, sinüs ve kosinüs negatiftir.
®
_ D (270°, 360°) ise kosinüs pozitif, sinüs, tanjant ve kotanjant negatiftir.
ÖRNEK 43
x = cos172° , y = sin103° , z = tan212°
ÖRNEK 44
a = sin140° – cos195°
t = cot300° ise x, y, z ve t nin iԭaretlerini bulunuz.
Çözüm
b = tan310°.cot210°
olduԫuna göre,
b – a
a – b
ifadesinin eԭiti nedir?
Çözüm
249
Trigonometri
ÖRNEK 45
ÖRNEK 47
3r
3
, 2r m olmak üzere, sin_ = –
2
5
ise cos_, tan_ ve cot_ deԫerlerini bulunuz.
_Dc
cot_ = –2
lunuz.
Çözüm
r
x D b , r l olmak üzere, tanx = – 3 ise sinx, cosx
2
ve cotx deԫerlerini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 46
ÖRNEK 48
5r
2r
3r
r
· tan
+ sin 2
+ tan
18
9
8
8
iԭleminin sonucunu bulunuz.
sin 2
Çözüm
250
olduԫuna göre, sin_.cos_ deԫerini bu-
ALIŞTIRMALAR – 3
1.
5.
Aԭaԫdaki tabloyu doldurunuz.
Aԭaԫdaki özdeԭliklerin doԫru olduԫunu gösteriniz.
/
56
Z56
)156
$Y56
(756
a. 1 + tan2x =
9:;/
1
cos 2 x
+89/
<-;/
+8</
b. cos5x + cos3x.sin2x = cos3x
2.
Aԭaԫdaki boԭluklar uygun ԭekilde doldurunuz.
c.
cos 2 x
= –1 – sin x
sin x – 1
d.
1 – sin 2 x
= cot 2 x
1 – cos 2 x
e.
cos x
1 + sin x
+
= 2 sec x
1 + sin x
cos x
f.
cos x + sin x
= sin x. cos x
sec x + cosec x
g.
sec x – cos x
= – tan 3 x
sin x – cosec x
h.
cos x
cos x
–
=2
tan x + sec x tan x – sec x
a. x = 1 doԫrusu .................... eksenidir.
b. y = 1 doԫrusu .................... eksenidir.
d. y = 0 doԫrusu .................... eksenidir.
3.
4 sin x – 1
n=
3
ESEN YAYINLARI
c. x = 0 doԫrusu .................... eksenidir.
olduԫuna göre, n nin deԫer aralԫn bulunuz.
4.
4 sin x – 2 cos x 1
=
3 sin x + cos x
2
olduԫuna göre, cotx kaçtr?
251
Trigonometri
6.
9.
Aԭaԫdaki özdeԭliklerin doԫru olduԫunu gösteriniz.
a.
Aԭaԫdaki ifadeler doԫru ise boԭ kutulara “D”
yanlԭ ise “Y” yaznz.
1 + cot x
= cot x
1 + tan x
2. bölgede sinx > 0 dr.
4. bölgede cosx < 0 dr.
b.
cot 2 x
1 –
= sin 2 x – cos 2 x
1 + cot 2 x
3. bölgede tanx > 0 dr.
c. sin4x – cos4x = 1 – 2cos2x
A = 3sinx + cosy ise A nn en büyük
deԫeri 3 tür.
d.
7.
1 + tan 2 x
= sin 2 x
tanx + cotx = a ise tan3x + cot3x ifadesinin a
ESEN YAYINLARI
B = 1 – 3sinx ise B nin en küçük deԫeri
tan 2 x
–2 dir.
3r
r
<_</<`<
2
2
10.
cinsinden deԫerini bulunuz.
olmak üzere aԭaԫdakilerden kaç tanesi doԫrudur?
I. sin_ + tan` > 0
II. cos_ + sin` > 0
III. tan_.sin` > 0
IV. cot` – tan_ < 0
sin6x + cos6x = k
8.
olduԫuna göre, sin2x.cos2x ifadesinin k cinsinden deԫerini bulunuz.
252
V. tan_.cot` < 0
Trigonometri
11. Aԭaԫdaki ifadelerin iԭaretlerini tespit ediniz.
a = sin40°
c = tan
15. cos x = !
1
1 + tan 2 x
16. sin x = !
1
1 + cot 2 x
b = cos123°
7r
4
d = cos
123r
4
e = cot200°
f = sec140°
g = cosec243°
h = sin1470°
12.
_ D cr ,
3r
m ve cot_ = 2
2
olduԫuna göre, sin_ , cos_ ve tan_ deԫerlerini
bulunuz.
13.
_Dc
cos_ =
3r
, 2r m olmak üzere,
2
ESEN YAYINLARI
17. cos2x – sin2x =
18. tanx +
olduԫuna göre, sin_.cos_ kaçtr?
1 + cos x
1 – cos x
olduԫunu göste-
riniz.
5
ise sin_ kaçtr?
13
tan_ = –0,75
cos x
= sec x olduԫunu gösteriniz.
1 + sin x
19. (cotx + cosecx)2 =
20.
14.
1 – tan 2 x
1 + tan 2 x
0<x<
r
için 2sinx – cosx = 1
2
olduԫuna göre, cotx kaça eԭittir?
253
Trigonometri
kr ! a Saylarnn Trigonometrik Oranlarnn, _ Saysnn Trigonometrik Oranlar Cinsinden Ԩfadesi
2
b
r
– a l A I. Bölge,
2
b
r
+ a l A II. Bölge,
2
(/ – _) A II. Bölge,
c
3r
– a m A III. Bölge,
2
c
3r
+ a m A IV. Bölge,
2
(2/ – _) A IV. Bölge
(/ + _) A III. Bölge
alnarak önce bölgelere göre iԭaret tespit edilir. / ve 2/ içerenlerde isim deԫiԭmez.
r
3r
ve
2
2
içerenlerde
isim deԫiԭir. Yani sin yerine cos, tan yerine cot yazlr.
sin(/ – _) = sin_
sin(/ + _) = – sin_
sin(2/ – _) = – sin_
cos(/ – _) = – cos_
cos(/ + _) = – cos_
cos(2/ – _) = cos_
tan(/ – _) = – tan_
tan(/ + _) = tan_
tan(2/ – _) = – tan_
cot(/ – _) = – cot_
cot(/ + _) = cot_
cot(2/ – _) = – cot_
sin b
r
– a l = cos a
2
r
cos b – a l = sin a
2
r
tan b – a l = cot a
2
r
cot b – a l = tan a
2
sin b
r
+ a l = cos a
2
r
cos b + a l = – sin a
2
r
tan b + a l = – cot a
2
r
cot b + a l = – tan a
2
3r
– a m = – cos a
2
3r
cos c
– a m = – sin a
2
3r
tan c
– a m = cot a
2
3r
cot c
– a m = tan a
2
3r
+ a m = – cos a
2
3r
cos c
+ a m = sin a
2
3r
tan c
+ a m = – cot a
2
3r
cot c
+ a m = – tan a
2
sin c
sin c
Ԭimdi bu özdeԭliklerin doԫruluԫunu birim çember yardmyla gösterelim.
y eksenine Göre Simetri
Birim çember üzerindeki K noktasnn y eksenine göre simetriԫi Kv olmak üzere, ölçüleri
_ ve / – _ olan açlarn trigonometrik oranlar
9:;
.
Rv
R
Lv
L
için aԭaԫdaki eԭitlikler yazlabilir.
sin_ = |KC| ve sin(/ – _) = |Kv Cv|
<-;
!
/2X2_
_
"v
cos_ = |OC| ve cos(/ – _) = – |OCv|
tan_ = |TA| ve tan(/ – _) = – |ATv|
>
W
+8<
_
"
'
+89
Wv
cot_ = |BM| ve cot(/ – _) = – |Mv B|
Ayrca, |KC| = |Kv Cv| , |OC| = |OCv| , |TA| = |ATv| , |BM| = |MvB| olduԫundan
sin(/ – _) = sin_
cos(/ – _) = – cos_
tan(/ – _) = – tan_
cot(/ – _) = – cot_
bulunur.
Birbirini 180° ye tamamlayan açlarn ölçülerinin sinüsleri eԭit; kosinüs, tanjant ve kotanjantlar ters iԭaretlidir.
254
/
Trigonometri
ÖRNEK 49
ÖRNEK 51
Aԭaԫda (90° , 180°) aralԫndaki baz açlarn trigo-
sin 110°. cos 40°
sin 70°. cos 140°
nometrik oranlar hesaplanmԭtr. Ԩnceleyiniz.
ifadesinin eԭiti kaçtr?
3
2
®
sin120° = sin(180° – 60°) = sin60° =
®
cos120° = cos(180° – 60°) = – cos60° = –
®
tan120° = tan(180° – 60°) = – tan60° = – v3
®
cot120° = cot(180° – 60°) = – cot60° =
Çözüm
1
2
–
3
3
®
sin150° = sin(180° – 30°) = sin30° =
®
cos150° = cos(180° – 30°) = – cos30° = –
3
2
®
tan150° = tan(180° – 30°) = – tan30° = –
®
cot150° = cot(180° – 30°) = – cot30° = – v3
®
sin135° , cos135° , tan135° ve cot135°
1
2
3
3
ÖRNEK 52
# $
_
ÖRNEK 50
Bir ABC üçgeninde aԭaԫdaki ifadelerin eԭitlerini
bulunuz.
®
®
®
ESEN YAYINLARI
deԫerlerini de siz bulunuz.
"
%
(
'
Y
!
ABCD yamuԫunda, [AB] // [DC] dir.
sin(A + B) – sinC
Verilenlere göre tan_ kaçtr?
cos(A + B) + cosC
Çözüm
tan(A + B) – tanC
Çözüm
255
Trigonometri
Orijine Göre Simetri
9:;
.
Birim çember üzerindeki K noktasnn orijine göre si-
<-;
metriԫi Kv olmak üzere, ölçüleri _ ve / + _ olan açlarn
R
!
trigonometrik oranlar için aԭaԫdaki eԭitlikler yazlabilir.
L
2_
/20
sin_ = |KC| ve sin(/ + _) = –|Kv Cv|
"v
cos_ = |OC| ve cos(/ + _) = –|OCv|
>
"
tan_ = |TA| ve tan(/ + _) = |TA|
Lv
Ayrca, |KC| = |KvCv| ve |OC| = |OCv| olduԫundan
sin(/ + _) = – sin_
cos(/ +_) = – cos_
tan(/ +_) = tan_
cot(/ + _) = cot_
olur.
ÖRNEK 53
ÖRNEK 54
tan 70° + cos 20° + cos 200°
tan 250°
Aԭaԫda (180°, 270°) aralԫndaki baz açlarn trigonometrik oranlar hesaplanmԭtr. Ԩnceleyiniz.
® sin210° = sin(180° + 30°) = – sin30° =
Çözüm
–
® cos210° = cos(180° + 30°) = – cos30° =
–
ESEN YAYINLARI
® tan210° = tan(180° + 30°) = tan30° =
® cot210° = cot(180° + 30°) = cot30° = v3
® sin225° = sin(180° + 45°) = – sin45° =
–
® cos225° = cos(180° + 45°) = – cos45° =
® tan225° = tan(180° + 45°) = tan45° = 1
® cot225° = cot(180° + 45°) = cot45° = 1
256
–
ÖRNEK 55
sin (r + a) – sin (r – a)
cos (r + a) + cos (r – a)
Çözüm
+8<
_
_
cot_ = |BM| ve cot(/ + _) = |BM|
W
'
+89
/
Trigonometri
x Eksenine Göre Simetri
9:;
.
Birim çember üzerindeki K noktasnn x eksenine göre simetriԫi
Kv olmak üzere, ölçüleri _ ve
<-;
R
!
2/ – _ olan açlarn trigono-
L
metrik oranlar için aԭaԫdaki eԭitlikler yazlabilir.
sin_ = |KC|
ve
sin(2/ – _) = – |Kv C|
ve
tan(2/ – _) = – |TvA|
cot_ = |BM|
ve
cot(2/ – _) = – |BvMv|
"
'
2_
cos(2/ – _) = |OC|
tan_ = |TA|
2X
$/
cos_ = |OC| ve
_
_
>
+8<
W
Lv
Wv
+89
/
Rv
!v
Ayrca, |KC| = |KvC| , |TA| = |TvA| ve |BM| = |BvMv| olduԫundan
sin(2/ – _) = – sin_
cos(2/ – _) = cos_
tan(2/ – _) = – tan_
cot(2/ – _) = – cot_
olur.
Ölçüleri 2/ – _ ve –_ olan açlar birim çember üzerinde ayn noktaya denk geldiklerinden
sin(– _) = – sin_
cos(– _) = cos_
tan(– _) = – tan_
cot(– _) = – cot_
olur.
ÖRNEK 56
ÖRNEK 57
Aԭaԫda (270° , 360°) aralԫndaki baz açlarn trigo-
Aԭaԫda (–90° , 0°) aralԫndaki baz açlarn trigono-
nometrik oranlar hesaplanmԭtr. Ԩnceleyiniz.
metrik oranlar hesaplanmԭtr. Ԩnceleyiniz.
®
sin300° = sin(360° – 60°) = – sin60° = –
®
cos300° = cos(360° – 60°) = cos60° =
®
tan300° = tan(360° – 60°) = – tan60° = – v3
®
cot300° = cot(360° – 60°) = – cot60° = –
®
sin315° = sin(360° – 45°) = – sin45° = –
®
cos315° = cos(360° – 45°) = cos45° =
®
tan315° = tan(360° – 45°) = – tan45° = –1
®
cot315° = cot(360° – 45°) = – cot45° = –1
®
cos(– 60°) = cos60° =
®
sin(– 45°) = – sin45° = –
®
tan(– 30°) = – tan30° = –
®
cot(– 45°) = – cot45° = –1
®
sin(–60°) = –sin60° = –
®
tan(–60°) = –tan60° = –
®
cos(–30°) = cos30° =
3
257
Trigonometri
ÖRNEK 58
ÖRNEK 59
Aԭaԫda baz özdeԭlikler en sade biçimiyle yazlmԭtr. Ԩnceleyiniz.
®
sin(x – /) = sin[– (/ – x)] = – sin(/ – x) = – sinx
®
cos(5/ + x) = cos(/ + x) = – cosx
®
tan(3x – 5/) = tan(3x – /) = tan[–(/ – 3x)]
®
cot(–x – /) = cot[–(x + /)] = – cot(x + /) = – cotx
cos 314°. tan (– 40°) . sin 295°
cos 46°. tan 320°. sin 65°
Çözüm
9:;
Birim çemberde, ölçüsü _ olan açnn bitim noktas
K(cos_, sin_) olmak üzere bu noktay ksaca K(C, S)
!
RTXÙ2"V
WTÙ2"V
olarak gösterirsek,
/
X_
$
_ _
r – a açsnn bitim noktas, T(S, C)
2
r
+ a açsnn bitim noktas, M(–S, C)
2
_
5
'v
LT"U2`V
'
+89
_ _
3r – a açsnn bitim noktas, Tv(–S, –C)
2
WvTXÙ2X"V
RvTÙ2X"V
!v
3r + a açsnn bitim noktas, Mv(S, –C) olur.
2
Bu durumda, K(C, S) ile T(S, C) karԭlaԭtrldԫnda,
sin b
r
– a l = cos a ,
2
cos b
r
– a l = sin a ,
2
tan b
r
– a l = cot a ,
2
cot b
r
– a l = tan a
2
bulunur.
Birbirini 90° ye tamamlayan iki açdan birinin sinüsü diԫerinin kosinüsüne, birinin tanjant diԫerinin kotanjantna
eԭittir.
K(C, S) ile M(–S, C)
K(C, S) ile Tv(–S, –C)
K(C, S) ile Mv(S, –C)
karԭlaԭtrldԫnda,
r
sin b + a l = cos a
2
3r
sin c
– a m = – cos a
2
sin c
cos b
r
+ a l = – sin a
2
cos c
3r
– a m = – sin a
2
cos c
tan b
r
+ a l = – cot a
2
tan c
3r
– a m = cot a
2
tan c
3r
+ a m = – cot a
2
cot b
r
+ a l = – tan a
2
cot c
3r
– a m = tan a
2
cot c
3r
+ a m = – tan a
2
özdeԭlikleri elde edilir.
258
3r
+ a m = – cos a
2
3r
+ a m = sin a
2
Trigonometri
SIRALAMA
ÖRNEK 60
9:;
Aԭaԫda baz özdeԭlikler en sade biçimiyle yazlmԭ-
Z56
#
tr. Ԩnceleyiniz.
"
®
®
9r
r
cos c
+ a m = cos b 4r + + a l = cos b
2
sin c a –
`
+ al
>
5r
r
m = sin b a – – 2r l = sin
2
_
' ! 56
+89
a
a
m( COB) = _ , m( DOB) = ` olsun.
|CB| = sin_ ve |AD| = sin` olur.
|CB| < |AD| olduԫundan sin_ < sin` dr.
Yani I. bölgede sinüs fonksiyonu artandr.
Örneԫin
®
r
r
tan b 3a – l = tan :– b – 3a lD = – tan
2
2
sin10° < sin15° < sin30° < sin70° dir.
|OB| = cos_ ve |OA| = cos` dr.
|OA| < |OB| olduԫundan cos` < cos_ olur.
ÖRNEK 61
sin20° = a olduԫuna göre, cos110° nin a cinsinden
deԫeri nedir?
ESEN YAYINLARI
Yani I. bölgede kosinüs fonksiyonu azalandr.
Örneԫin
cos80° < cos60° < cos40° < cos10° dir.
9:;
"
=
#
L
K
Çözüm
`
>
a
m( DOA) = _ ,
ÖRNEK 62
r
sin 5a. tan 2a
9a =
olduԫuna göre,
kaçtr?
2
cos 4a. cot 7a
Çözüm
_
!
'
+89
a
m( COA) = ` olsun.
|BA| = tan_ ve |CA| = tan` olur.
|BA| < |CA| olduԫundan tan_ < tan` dr.
Yani I. bölgede tanjant fonksiyonu artandr.
Örneԫin
tan5° < tan6° < tan12° < tan40° dir.
|ED| = cot_ ve |EK| = cot` olur.
|EK| < |ED| olduԫundan cot` < cot_ olur.
Yani I. bölgede kotanjant fonksiyonu azalandr.
Örneԫin
cot80° < cot70° < cot62° < cot5° dir.
259
Trigonometri
ÖRNEK 63
ÖRNEK 66
a = sin5° , b = sin36° ve c = sin70°
a = cos10° , b = cos40° ve c = cos70°
olmak üzere a, b, c deԫerlerini küçükten büyüԫe
deԫerlerini küçükten büyüԫe doԫru sralaynz.
doԫru sralaynz.
Çözüm
Çözüm
a = sin40° , b = sin130° ve c = sin200°
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 64
ÖRNEK 67
a = tan10° , b = tan200° , c = tan70°
Çözüm
ÖRNEK 65
a = cos20° , b = cos140° , c = cos300°
Çözüm
45° x < 90° tanx 1 dir.
Bu durumda,
[45°, 90°)
aralԫndaki açlarn
trigonometrik oranlar karlaԭtrlrken tanx en
büyüktür.
Çünkü, –1 sinx 1 ve –1 cosx 1 dir.
260
Trigonometri
Bu cetveli incelediԫimizde,
ÖRNEK 68
®
a = tan48° , b = sin10° , c = cos70°
0° den 45° ye kadar olan açlar, sol baԭtaki sütunda yukardan aԭaԫya doԫru
®
Çözüm
45° den 90° ye kadar olan açlar, saԫ baԭtaki
sütunda, aԭaԫdan yukarya doԫru yazlmԭtr.
ÖRNEK 70
sin27° ifadesinin deԫerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 69
a = tan10° , b = sin10° , c = cos10° ve d = cot10°
ESEN YAYINLARI
Çözüm
TRԨGONOMETRԨK FONKSԨYONLARIN TABLOSU
Esas ölçüsü; 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° ve
360° olan açlarn trigonometrik oranlarn, birim çemberden veya dik üçgenlerden yararlanarak hesaplamay öԫrendik. Fakat, tüm reel saylarn trigonometrik
ÖRNEK 71
tan68° ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 72
0° < _ < 90° olmak üzere cos_ = 0,8090 ise _ kaç
derecedir?
Çözüm
oranlarn bu yöntemler yardmyla hesaplayamayz.
Daha geniԭ olanaklarla hazrlanan trigonometri cetveli yardmyla diԫer açlarn da trigonometrik oranlarn
hesaplayabiliriz.
261
Trigonometri
X2W\aO>J>R=W\a2"=W^=Ka2X
'EA
ICEN9N
T#?@?+?V
+89
9:;
<-;
+8<
9?+
+89?+
5
)
$
(
)U5555
5UZZZ1
5UZZZ%
5UZZ17
5U5555
5U5)Y&
5U5(%Z
5U5&$(
5U5555
5U5)Y&
5U5(%Z
5U5&$%
&YU$Z55
$1U7(7)
)ZU51))
)U5555
)U555$
)U5557
)U55)%
&YU$ZZ
$1U7&%
)ZU)5Y
Z5
1Z
11
1Y
%
&
7
Y
5UZZY7
5UZZ7$
5UZZ%&
5UZZ$&
5U57Z1
5U51Y$
5U)5%&
5U)$)Z
5U57ZZ
5U51Y&
5U)5&)
5U)$$1
)%U(55Y
))2U%(55
ZU&)%%
1U)%%(
)U55$%
)U55(1
)U55&&
)U55Y&
)%U(&5
))U%Y%
ZU&771
1U$5&&
17
1&
1%
1(
1
Z
)5
))
5UZZ5(
5UZ1YY
5UZ1%1
5UZ1)7
5U)(Z$
5U)&7%
5U)Y(7
5U)Z51
5U)%5&
5U)&1%
5U)Y7(
5U)Z%%
YU))&%
7U()(1
&U7Y)(
&U)%%7
)U55Z1
)U5)$&
)U5)&%
)U5)1Y
YU)1&(
7U(Z$&
&UY&11
&U$%51
1$
1)
15
YZ
)$
)(
)%
)&
5UZY1)
5UZY%%
5UZY5(
5UZ7&Z
5U$5YZ
5U$$&5
5U$%)Z
5U$&11
5U$)$7
5U$(5Z
5U$%Z(
5U$7YZ
%UY5%7
%U(()&
%U5)51
(UY($)
)U5$$(
)U5$7(
)U5(57
)U5(&(
%U15ZY
%U%%&%
%U)((7
(U1Z(Y
Y1
YY
Y7
Y&
)7
)Y
)1
)Z
5UZ7)(
5UZ&7(
5UZ&))
5UZ%&&
5U$Y&7
5U$Z$%
5U(5Z5
5U($&7
5U$17Y
5U(5&Y
5U($%Z
5U(%%(
(U%1Y%
(U$Y5Z
(U5YYY
$UZ5%$
)U5$5(
)U5%&Y
)U5&)&
)U5&Y7
(U7$15
(U%$5(
(U$(7)
(U5Y)7
Y%
Y(
Y$
Y)
$5
$)
$$
$(
5UZ(ZY
5UZ((7
5UZ$Y$
5UZ$5&
5U(%$5
5U(&1%
5U(Y%7
5U(Z5Y
5U(7%5
5U(1(Z
5U%5%5
5U%$%&
$UY%Y&
$U75&)
$U%Y&)
$U(&&Z
)U57%$
)U5Y))
)U5Y1&
)U517%
$UZ((1
$UYZ5%
$U77Z&
$U&&Y7
Y5
7Z
71
7Y
$%
$&
$7
$Y
5UZ)(&
5UZ57(
5U1Z11
5U1Z)5
5U%57Y
5U%$$7
5U%(1%
5U%&%5
5U%%&$
5U%77(
5U%1YY
5U&5Z&
$U$%75
$U)%%&
$U5&5(
)UZ7$7
)U(Z%7
)U)5(%
)U))$7
)U5$$5
$U%&17
$U(771
$U$1$$
$U$7$Y
77
7&
7%
7(
$1
$Z
(5
()
5U11$Z
5U1Y%7
5U1775
5U1&Y$
5U%7Z&
5U%1%1
5U&555
5U&)&5
5U&()Y
5U&&%(
5U&YY%
5U755Z
)U115Y
)U15%5
)UY($)
)U77%(
)U))))
)U)%()
)U)&%Y
)U)777
$U)&55
$U57$&
$U5555
)UZ%)7
7$
7)
75
&Z
($
((
(%
(&
5U1%15
5U1(1Y
5U1$Z5
5U1)Z$
5U&$ZZ
5U&%%7
5U&&Z$
5U&Y(7
5U7$%Z
5U7%Z%
5U7Y%&
5UY55$
)U755(
)U&(ZZ
)U%1$7
)U%$1)
)U)YZ$
)U)Z$%
)U$57$
)U$$51
)U11Y)
)U1(7)
)UY11(
)UY%(%
&1
&Y
&7
&&
(7
(Y
(1
(Z
5U15Z5
5UYZ17
5UY115
5UYYY)
5U&1Y1
5U75)1
5U7)&Y
5U7$Z(
5UY$7&
5UY&(7
5UY1)(
5U15Z1
)U(Y7%
)U($Y5
)U$YZZ
)U$(%Z
)U$(7)
)U$&$)
)U$7Z5
)U$171
)UY5)(
)U77)7
)U7$%(
)U&1Z5
&%
&(
&$
&)
%5
%)
%$
%(
5UY775
5UY&%Y
5UY%()
5UY()%
5U7%$1
5U7&7)
5U77Z)
5U71$5
5U1(Z)
5U17Z(
5UZ55%
5UZ($&
)U)Z)1
)U)&5%
)U))57
)U5Y$%
)U(5&%
)U($&5
)U(%&7
)U(7Y(
)U&&&Y
)U&$%(
)U%Z%&
)U%77(
&5
%Z
%1
%Y
%%
%&
5UY)Z(
5UY5Y)
5U7Z%Y
5UY5Y)
5UZ7&Y
)U5555
)U5(&&
)U5555
)U(Z5$
)U%)%$
)U%(Z7
)U%)%$
%7
%&
9:;
+89
+8<
<-;
+89?+
9?+
'EA
ICEN9N
T#?@?+?V
262
ALIŞTIRMALAR – 4
1.
Aԭaԫdaki tabloyu uygun ԭekilde doldurunuz.
$/
(
/
(/
%
&/
7
Y/
7
&/
%
%/
(
&/
(
Y/
%
))/
7
9:;/
+89/
<-;/
+8</
3.
Bir ABC üçgeninde aԭaԫdaki ifadelerin eԭitlerini
bulunuz.
a.
b. cos2
c.
Aԭaԫdaki ifadelerin en sade biçimlerini bulunuz.
a.
sin 62°. tan 43°
sin 118°. tan 137°
b.
cos 40°. cot 20°
cos 320°. tan 110°
sin (A + B) + sin C
tan (A + B) – tan C
A
B+C
+ cos2 c
m
2
2
ESEN YAYINLARI
2.
c.
3r
– a m
2
cot (r + a) . sin (r + a) . cos (7r + a)
sin (2r – a) . cos (5r – a) . tan c
cot (B + C) – cot A
cos (B + C) – cos A
4.
#
%
"
_
1
7
d. tan
C
A+B
. tan c
m
2
2
'
)%
!
ABCD yamuԫunda [AB] // [CD] dir.
Verilenlere göre cos_ kaçtr?
263
Trigonometri
5.
9.
Aԭaԫdaki özdeԭliklerden doԫru olanlar için boԭ
kutuya “D” yanlԭ olanlar için “Y” yaznz.
sin(_ – 2/) = sin_
cos c
a. sin_ = 0,2588
7r
– a m = – sin a
2
b. cos_ = 0,5299
cos(7/ – _) = – cos_
c. tan_ = 1,1918
tan(5/ + _) = tan_
cot c a –
Trigonometri cetvelini kullanarak _ deԫerlerini
bulunuz.
d. cot_ = 19,3007
9r
m = tan a
2
10.
sin(2_ – 7/) = – sin2_
6.
olduԫuna göre, cos130° nin a cinsinden deԫeri
nedir?
7.
cos110° = a
olduԫuna göre, sin380° nin a cinsinden deԫeri
nedir?
ESEN YAYINLARI
sin40° = a
(76
'
'b-+A;2DICD?9:
Ԭekildeki aԫacn uzunluԫu 8 m dir. Güneԭ ԭnlarnn yer düzlemiyle yaptԫ aç 36° ise aԫacn
gölgesinin uzunluԫunu bulunuz.
11. Aԭaԫdaki ifadeleri hesaplaynz.
8.
Trigonometri cetvelini kullanarak aԭaԫdaki ifadelerin eԭitini bulunuz.
a. sin150° + cos120°.tan225°
a. sin43°
b. cos300° + sin240°.cot330°
b. tan70°
c. cos76°
d. cot12°
264
c. tan c
43r
29r
123r
m .sin c –
m .cos c
m
4
3
6
d. sin(1035°).cos(–225°).cot c –
17r
m
4
Trigonometri
PERԨYODԨK FONKSԨYON
ÖRNEK 73
Grafikleri belli aralklarla aynen tekrarlanan fonksi-
Aԭaԫda baz fonksiyonlarn esas periyotlar bulun-
yonlar periyodik fonksiyonlardr.
muԭtur. Ԩnceleyiniz.
/
5
/
$
/
(/
$
$/
&/
$
(/
Y/
$
%/
9:;/
5
)
5
X)
5
)
5
X)
5
a. f(x) = sin(4x – 1) fonksiyonunun esas periyodu,
2r r
P=
=
dir.
4
2
Yukardaki tabloyu incelediԫimizde [0, 2/) aralԫnda
sinx in aldԫ deԫerlerin [2/, 4/) aralԫnda da aynen
b. f(x) = 4cos b
tekrarlandԫn görürüz.
Bu durum [4/, 6/), [6/, 8/), ... aralklarnda da aynen
P=
tekrarlanr. Ayn durum cosx için de geçerlidir.
Bu nedenle sinx ve cosx fonksiyonlarnn periyodu
x
– 1 l fonksiyonunun esas periyodu,
2
2r
= 4r dir.
1
2
k.2/ dir. (k D Z+)
sinx ve cosx fonksiyonlarnn esas periyodu 2/ dir.
$/
&/
$
(/
Y/
$
%/
/
5
9:;$/
5
)
5
)
5
)
5
)
5
9:;(/
5
)
5
X)
5
)
5
X)
5
3
Yukardaki tabloyu incelediԫimizde sin x in esas periyodunun 2/, sin2x in esas periyodunun / olduԫunu
görürüz.
tanx
ve
cotx
c. f(x) = tan(1 – 5x) fonksiyonunun esas periyodu,
r
r
P=
=
tir.
5
–5
ESEN YAYINLARI
/
(/
$
/
$
d. f(x) = cos3(2x) fonksiyonunun esas periyodu,
2r
P=
= r dir.
2
fonksiyonlarnn aldԫ deԫerler
[0, /), [/, 2/), ... aralklarnda tekrarlandԫndan bu
fonksiyonlarn esas periyotlar / dir.
Genel olarak
F=
$/
U 22;2<?32:9?
c-c
F=
/
U22;2E:H<2:9?
c-c
F=
$/
U 22;2<?32:9?
c-c
F=
/
U22;2E:H<2:9?
c-c
F=
/
c-c
HT /V = 3_9:;; T-/ + , V
HT /V = 3_+89; T-/ + , V
HT /V = 3_ <-; ; T-/ + , V
HT /V = 3_ +8< ; T-/ + , V
biçiminde ifade edebiliriz.
F=
/
c-c
e. f(x) = sin2(–2x + 3) fonksiyonunun esas periyor
r
du, P =
=
dir.
2
–2
f.
f(x) = cot2 c
P=
2x – 1
m fonksiyonunun esas periyodu,
3
r 3r
=
2
2
3
dir.
f(x) ve g(x) periyodik fonksiyonlar olmak üzere,
f(x) ± g(x)
fonksiyonu eԫer periyodik ise esas
periyodu f(x) ve g(x) fonksiyonlarnn esas periyotlarnn e.k.o.k. una eԭittir.
265
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK FONKSԨYONLARIN
ÖRNEK 74
GRAFԨKLERԨ
f(x) = cos2x + 4sin5x
Kosinüs Fonksiyonunun Grafiԫi
fonksiyonunun esas periyodunu bulunuz.
Kosinüs fonksiyonunun grafiԫi {(x, cosx) : x D R}
Çözüm
kümesine analitik düzlemde karԭlk gelen noktalar
kümesidir.
f(x) = cosx fonksiyonunun esas periyodu 2/ olduԫundan [0, 2/) aralԫnda çizilecek grafik 2/ periyotlarla
tekrarlanr.
/
5
/
$
/
(/
$
$/
+89/
)
5
X)
5
)
Tablodaki bilgileri analitik düzlemde aԭaԫdaki gibi
ifade ederiz.
.
ÖRNEK 75
)
fonksiyonlarnn esas periyotlarn bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
f(x) = sin2x ve g(x) = cos2x
/
$
X/
(/
$
X$/
/
$
/
(/
$
5
X)
ÖRNEK 77
[0, 2/] A R , f(x) = 2cosx – 1
fonksiyonunun grafiԫini çizelim.
Çözüm
ÖRNEK 76
f(x) = sin2x + cos2x
fonksiyonunun varsa esas periyodunu bulunuz.
Çözüm
266
$/
/
Trigonometri
ÖRNEK 78
ÖRNEK 79
f(x) = 1 + cos2x
[0, 2/] A R , f(x) = 3sinx + 1
fonksiyonunun periyodunu bulup, herhangi bir aralk-
fonksiyonunun grafiԫini çiziniz.
ta grafiԫini çiziniz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 80
f(x) = 2sin3x
fonksiyonunun periyodunu bulup herhangi bir periyot
aralԫnda grafiԫini çiziniz.
Çözüm
Sinüs Fonksiyonunun Grafiԫi
Sinüs fonksiyonunun grafiԫi {(x, sinx) : x D R}
kümesine analitik düzlemde karԭlk gelen noktalar
kümesidir.
f(x) = sinx fonksiyonunun periyodu 2/ olduԫundan
grafiԫini [0, 2/) aralԫnda çizip 2/ periyotlarla tekrarlarz.
/
5
/
$
/
(/
$
$/
9:;/
5
)
5
X)
5
.
)
X$/
(/ X/
$
/
$
5
X)
/
$
(/
$
/
$/
/
267
Trigonometri
Tanjant Fonksiyonunun Grafiԫi
TERS TRԨGONOMETRԨK FONKSԨYONLAR
Tanjant fonksiyonunun grafiԫi
r
+ k/, k D Z} kümesine analitik
{(x, tanx) : x D R, x
2
düzlemde karԭlk gelen noktalar kümesidir.
Bir fonksiyonun tersinin de fonksiyon olabilmesi
için, bu fonksiyonun bire bir ve örten olmas gerekir. Trigonometrik fonksiyonlar R den R ye bire bir
ve örten olmadklarndan R den R ye trigonometrik
f(x) = tanx fonksiyonunun esas periyodu / olduԫunr
dan, grafiԫi [0, /] – & 0 aralԫnda çizilip, / periyot2
larla tekrarlanr.
/
5
<-;/
5
/
7
v(
(
/
%
/
(
)
v(
$/
(
(/
%
X2v(
X)
/
$
0' X'
&/
7
v(
(
fonksiyonlarn tersleri fonksiyon olmaz. Bu nedenle
bu fonksiyonlarn bire bir ve örten olduԫu reel say
aralklar seçerek bu aralklarda ters fonksiyonlarn
tanmlayacaԫz.
/
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarnn
5
tersleri arcsin, arccos, arctan, arccot biçiminde yazlr.
.
v(
Arcsin (Arksinüs) Fonksiyonu
)
v(e(
X/
/
$
/
Xv(e(
7
X)
Sinüs fonksiyonunun bire bir ve örten olduԫu aralk-
/ $/ (/ &/
$ ( % 7
/ /
% (
(/
$
/
lardan biri olan :–
/
ESEN YAYINLARI
Xv(
Kotanjant Fonksiyonunun Grafiԫi
Kotanjant fonksiyonun grafiԫi
{ (x, cotx) : x D R, x k/, k D Z } kümesine analitik
f: :–
r r
, D aralԫn seçersek
2 2
r r
, D A [–1, 1], f(x) = sinx fonksiyonu bire bir
2 2
ve örten olur.
Bu fonksiyonun ters fonksiyonu sin–1x veya arcsinx
biçiminde gösterilir.
arcsin : [–1, 1] A :–
r r
, D, f –1(x) = arcsinx
2 2
düzlemde karԭlk gelen noktalar kümesidir.
f(x) = cotx
fonksiyonunun esas periyodu / oldu-
y = arcsinx x = siny
ԫundan grafiԫi (0, /) aralԫnda çizilip / periyotlarla
tekrarlanr.
/
5
+8</
0'
/
7
/
%
v(
)
/
(
v(
(
/
$
5
$/
(
v(
(
.
(/
%
&/
7
X)
X2v(
/
X'
HT/V2[29:;/
/
$
.
(/ &/
% 7
v(e(
5 / / / /
7 % ( $
X)
Xv(
268
)
X)
)
/
$
X)
5
v(
X/
HX)T/V2[2-@+9:;/
/
$
)
/
(/
$
$/
/
/
$
.2[2/
/
$
/
Trigonometri
ÖRNEK 81
.
Aԭaԫdaki ifadelerin herbirinin eԭitini bulalm.
1
a. arcsin c m
2
b. arcsin d –
c. arcsin(0)
d. arcsin(1)
HX)T/V2[2-@++89/
/
3
n
2
.2[2/
/
$
Çözüm
)
5
X)
X)
/
)
/
/
$
HT/V2[2+89/
ÖRNEK 83
a. arccos d
3
n
2
ESEN YAYINLARI
c. arccos(0)
b. arccos c –
1
m
2
d. arccos(1)
Çözüm
ÖRNEK 82
1
m
2
arcsin c –
Çözüm
Arccos (Arkkosinüs) Fonksiyonu
Kosinüs fonksiyonu [0, /] aralԫnda bire bir ve örtendir. Dolaysyla bu aralkta f(x) = cosx fonksiyonunun
tersi yine bir fonksiyondur.
f: [ 0, /] A [–1, 1] , f(x) = cosx olmak üzere,
f –1: [–1, 1] A [0, /] , f –1(x) = arccosx
y = arccosx x = cosy
269
Trigonometri
Arctan (Arktanjant) Fonksiyonu
ÖRNEK 85
r r
f: b – , l " R , f(x) = tanx fonksiyonu bire bir ve
2 2
örten olduԫundan,
f –1: R A b –
arctan(–1)
r r
, l , f –1(x) = arctanx tir.
2 2
Çözüm
y = arctanx x = tany
Arccot (Arkkotanjant) Fonksiyonu
f: (0, /) A R , f(x) = cotx fonksiyonu bire bir ve örten
.
HT/V2[2<-;/
f –1: R A (0, /) , f –1(x) = arccotx dir.
HX)T/V2[2-@+<-;/
/
$
/
$
olduԫundan
.2[2/
5
/
$
y = arccotx x = coty
.
/
HX)T/V2[2-@++8</
/
$
/
/
$
ÖRNEK 84
ESEN YAYINLARI
5
/
$
/
.2[2/
HT/V2[2+8</
a. arctan(1)
ÖRNEK 86
b. arctan(– v3)
c. arctan(0)
a. arccot d
Çözüm
c. arccot(0)
Çözüm
270
3
n
3
b. arccot(– v3)
/
Trigonometri
ÖRNEK 87
ÖRNEK 90
2
sin c arccos m
3
arccot(–1)
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 88
3
=x
4
olduԫuna göre, sinx + cosx kaçtr?
arctan
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 91
ÖRNEK 89
1
cos c arcsin m
2
cos(arcsinx) =
1 – x 2
Çözüm
Çözüm
cos(arccosx) = x
sin(arcsinx) = x
tan(arctanx) = x
cot(arccotx) = x
271
Trigonometri
ÖRNEK 92
ÖRNEK 94
1 r
+ E
2 2
cos ;arctan
3arccos(2x) – 2/ = 0
denklemini saԫlayan x deԫeri kaçtr?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 95
r r
2x – 1
, D , f(x) = arcsin c
m
2 2
3
fonksiyonunun tanm kümesini bulunuz.
f : A A :–
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 93
arcsin2x = arccosx
olduԫuna göre, x kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 96
arctanx + arccotx =
Çözüm
272
r
2
Trigonometri
ÖRNEK 97
ÖRNEK 99
Tanml olduԫu deԫerler için
x
1
f(x) = arcsin b l ve g(x) = arctan c
m
3
x – 1
r
x
ise f–1 b l kaçtr?
f(x) = 2arccos
2
2
r
olduԫuna göre, ^ fog –1hb – l kaçtr?
4
Çözüm
ÖRNEK 98
arcsinx = arctan2
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Çözüm
273
ALIŞTIRMALAR – 5
1.
3.
Aԭaԫdaki ifadelerden doԫru olanlar için boԭ kutulara “D” yanlԭ olanlar için “Y” yaznz.
Aԭaԫdaki fonksiyonlarn grafiklerini çiziniz.
a. f: [0, 2/] A R, f(x) = –2sinx
f(x) = sin(4x + 1) fonksiyonunun esas
r
periyodu,
dir.
2
b. f: [0, 4/] A R, f(x) = 3cosx – 2
f(x) = 3cos(–3x + 1) fonksiyonunun esas
periyodu,
2r
tür.
3
f(x) = tan c
periyodu,
c. f: [–2/, 0] A R, f(x) =
sin x
2
1– x
m fonksiyonunun esas
4
r
tür.
4
d. f: : –
r r
, D A R, f(x) = 3tanx
2 2
f(x) = sin2(2x) fonksiyonunun esas periyor
dir.
du,
2
e. f: [0, 2/] A R, f(x) = –2cotx
f(x) = – cos (1 – 2x) fonksiyonunun esas
periyodu, – / dir.
f(x) = tan2(4x + 1) fonksiyonunun esas
r
dir.
periyodu,
2
ESEN YAYINLARI
3
4.
Aԭaԫdaki fonksiyonlarn periyotlarn bulup herhangi bir periyot aralԫnda grafiklerini çiziniz.
a. f(x) = sin4x
b. f(x) = – cos
2.
x
2
Aԭaԫdaki fonksiyonlarn esas periyotlarn bulunuz.
a. f(x) = 2cos(4x – 1) + 3cos2(3x + 1)
c. f(x) = 2tan2x
b. f(x) = tan(1 – 2x) + sin3(5x – 1)
d. f(x) = – cot
274
x
3
Trigonometri
5.
Aԭaԫda sol sütundaki ifadelerin eԭitlerini saԫ
9.
sütunda bulup eԭleԭtiriniz
f: A A [0, /] , f(x) = arccos c
3x – 1
m
4
fonksiyonunun tanm kümesini bulunuz.
a.
2
arcsin d
n
2
1.
b.
arcsin(–1)
2.
–
3.
2r
3
–
c.
arccos c –
1
m
2
d.
arctan(–1)
4.
e.
arccot(v3)
5.
r
6
r
4
x
10. Tanml olduԫu deԫerler için f(x) = 3arctan b l
4
3r
ise f –1 c
m kaçtr?
4
r
2
r
4
11.
arccosx = arccot3
6.
3
=x
5
olduԫuna göre, tanx + cosx kaçtr?
arcsin
ESEN YAYINLARI
12. Aԭaԫdaki eԭitliklerin doԫru olduԫunu gösteriniz.
a. sin(arcsinx) = x
7.
8.
1
sin c arctan m
2
sin b arc cot 2 –
b. sin(arccosx) =
1 – x 2
c. tan(arcsinx) =
x
1 – x 2
r
l
2
d. arccos(sinx) =
r
– x
2
275
Trigonometri
ÜÇGENDE TRԨGONOMETRԨK BAԪINTILAR
KOSԨNÜS TEOREMԨ
Bir ABC üçgeninde kenar uzunluklar a, b, c ve
A
bu kenarlara ait açlar A, B, C olmak üzere
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
2
2
b
c
2
b = a + c – 2ac.cosB
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC dir.
B
'
Ԩspat
ABC üçgeninde [AH] [BC] dir.
+
f
|BH| = x alrsak, |HC| = a – x olur.
ABH dik üçgeninde,
C
a
!
/
*
,
-X/
"
|AB|2 = |BH|2 + |AH|2 c2 = x2 + h2 h2 = c2 – x2 ... (I) olur.
AHC dik üçgeninde
|AC|2 = |AH|2 + |HC|2 b2 = h2 + (a – x)2 h2 = b2 – (a – x)2 ... (II) olur.
I ve II eԭitliklerinden
c2 – x2 = b2 – (a – x)2 c2 – x2 = b2 – a2 + 2ax – x2 b2 = a2 + c2 – 2ax
... (III) olur.
ABH dik üçgeninde
x
cosB =
x = c.cosB olacaԫndan bu deԫeri III eԭitliԫinde yerine yazarsak
c
b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosB elde edilir. Elde ettiԫimiz bu baԫnt kosinüs teoremidir. Benzer iԭlemlerle
a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC eԭitlikleri de elde edilir.
Kosinüs teoremi yardmyla
® Ԩki kenar uzunluԫu ile bu kenarlar arasndaki açs verilen üçgenin üçüncü kenar uzunluԫunu
® Üç kenar uzunluԫu bilinen üçgenin açlarnn ölçülerini bulabiliriz.
ÖRNEK 100
ÖRNEK 101
Bir ABC üçgeninde,
a
a = 3 cm, b = 4 cm ve m( C) = 60° ise c kenarnn
uzunluԫu kaç cm dir?
derecedir?
Çözüm
Çözüm
276
a
a = c13 cm , b = 4 cm ve c = 1 cm ise m( A) kaç
Trigonometri
ÖRNEK 102
ÖRNEK 104
!
#
&
%
'
"
$
#
ABC üçgeninde [AD] [AC], |AD| = 4 cm
|AC| = 3 cm, |BD| = |DC| ise |AB| = x kaç cm dir?
!
"
Çözüm
Bir gölün en uzak iki noktas A ve B dir. AB uzunluԫua
nu bulmak için m( ACB) = 60° olacak ԭekilde uzak bir
tepe üzerinde bir C noktas alnarak, A ile C arasnn
50 m, B ile C arasnn 40 metre olduԫu tespit ediliyor.
AB uzunluԫu kaç metredir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 103
!
"
+
$
&
#
*
(
)
'
%
Ԭekilde, [AE] E [BD] = {C} dir. Verilenlere göre,
|DE| = x kaç cm dir?
Çözüm
ÖRNEK 105
Bir ABC üçgeninde, a2 = b2 + c2 + bc baԫnts varsa
a
m( A) kaç derecedir?
Çözüm
277
Trigonometri
ÖRNEK 106
ÖRNEK 107
!
!
)
*
"
'
$
'
'
"
#
$
#
ABC üçgeninde |AB| = 4 cm, |AC| = 6 cm,
Ԭekilde, ABCD kiriԭler dörtgenidir.
|AD| =
|AB| = 2 cm, |BC| = |CD| = 4 cm, |AD| = 6 cm
a
19 cm ve |BD| = |DC| ise m( BAC) kaç
derecedir?
ise cosA kaçtr?
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
278
)
c+,
Trigonometri
SԨNÜS TEOREMԨ
Herhangi bir ABC üçgeninde, çevrel çemberin yarçap R olmak üzere
a
b
c
=
=
= 2R dir.
sin A sin B sin C
Ԩspat:
a
m( BAC) < 90° olmak üzere, ABC üçgeninin çevrel
!
$
çemberinin merkezi O olsun.
:
6
;
Ayn yay gören çevre açlarn ölçüleri eԭit olduԫundan,
a
a
m( D) = m( A) olur.
"
Çap gören çevre aç 90° olacaԫndan
a
m( DBC) = 90° dir.
/
#
DBC dik üçgeninde,
sinD =
BC
a
sinD = a sinA = a
= 2R bulunur.
2R
2R
sin A
DC
Benzer iԭlemlerle
c
b
= 2R eԭitlikleri elde edilir.
= 2R ve
sin C
sin B
a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B sin C
Bu durumda,
ÖRNEK 108
olur.
ÖRNEK 109
!
A
4
.
./0123
2
+(9
'(9 4
45/6783
_
B
45°
C
ABC üçgeninde verilenlere göre sin_ kaçtr?
Samsun-Trabzon aras 240 km dir. Trabzon’dan kalkan bir uçak A gibi bir noktada iken uçaԫn konumu
yukardaki ԭekilde ifade edilmiԭtir. A noktasnn varԭ
Çözüm
noktasna olan uzaklԫn bulunuz.
Çözüm
279
Trigonometri
ÖRNEK 110
ÖRNEK 113
#
Çevrel çemberinin yarçap 4 cm olan ABC üçgeninde
a
m( A) = 30° ise a kenarnn uzunluԫu kaç cm dir?
%
Çözüm
"
'
!
a
a
ABC üçgeninde m( C) – m( B) = 90° , |AB| = 4 cm
|AC| = 3 cm ise cotB kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 111
a a
3
Bir ABC üçgeninde sin( A + C ) =
, b = 15 cm ise,
5
ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarçap kaç cm dir?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 114
!
$
"
'(9
%<9
#
a
ABC üçgeninde 3|AD| = 4|DC|, m( ABD) = 45°
a
sin A
m( DBC) = 30° ise
kaçtr?
sin C
Çözüm
ÖRNEK 112
a
a
a
a
sin2( A) + sin2( B) = sin2( C) ise m( C) kaç derecedir?
Çözüm
280
Trigonometri
ÜÇEGENԨN ALANI
Herhangi bir ABC üçgeninde
A(ABC) =
A
1
a.b.sinC
2
A(ABC) =
b
c
1
A(ABC) =
b.c.sinA
2
B
1
a.c.sinB
2
C
a
Ԩspat:
!
ABC üçgeninde
:
[AH] [BC]
>/
6
çizelim.
"
=
#
/
A(ABC) =
1
a.ha olduԫunu biliyoruz.
2
AHC dik üçgeninde,
sinC =
AH
AC
sinC =
ha
ha = b.sinC olur.
b
Elde ettiԫimiz ha deԫerini
A(ABC) =
1
1
a.ha eԭitliԫinde yerine yazarsak A(ABC) = a.b.sinC bulunur.
2
2
ÖRNEK 115
ÖRNEK 116
!
Ardԭk iki kenar uzunluԫu a ile b ve bu kenarlar arasndaki açsnn ölçüsü _ olan ABCD paralelkenarn-
'
da A(ABCD) = a.b.sin_ olduԫunu gösteriniz.
%<9
"
)
#
Çözüm
ABC üçgeninde, |BC| = 6 cm, |AC| = 4 cm
a
m( C) = 30° ise A(ABC) kaç cm2 dir?
Çözüm
281
Trigonometri
ÖRNEK 117
ÖRNEK 119
!
!
*
'(9
-
_
%
'
%
"
'
#
&
$
"
$
#
ABC ve BDE üçgenlerinin alanlar eԭittir.
ABC üçgeninde |BD| = |DC| dir.
Verilenlere göre x kaç br dir?
Verilenlere göre sin_ kaçtr?
Çözüm
Çözüm
-
!
"
$
#
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 118
ÖRNEK 120
!
*
"
(
Ԭekilde, [EC] [AC], [EC] E [AD] = {B}
|AB| = 5 cm, |AC| = 3 cm ve |EB| = |BC| = |BD| ise
A(EDB) kaç cm2 dir?
Çözüm
#
$
Ԭekilde, [BA] [AD], [AC] [CD], |AB| = 2 cm
|AD| = 5 cm ve |CD| = 4 cm ise A(BAC) kaç cm2 dir?
Çözüm
282
'
!
Trigonometri
ÖRNEK 121
ÖRNEK 123
!
Çevrel çemberinin yarçap R olan ABC üçgeninde,
a.b.c
A(ABC) =
4R
'
$
Çözüm
)
'
"
-
ABC üçgeninde verilenlere göre,
|EC| = x kaç birimdir?
& #
A (BDE) 2
=
A (BAC) 5
ise
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 124
ÖRNEK 122
!
!
%
"
"
#
ABC üçgeninde |AB| = 3 cm, |AC| = 6 cm ise
A(ABC) en fazla kaç cm2 olabilir?
(
'
)
@
#
ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarçap kaç birimdir?
Çözüm
Çözüm
283
ALIŞTIRMALAR – 6
2.
Aԭaԫdaki sorularn her birinde verilenlere göre
Aԭaԫdaki sorularn her birinde verilenlere göre
istenilenleri bulunuz.
istenilenleri bulunuz.
a.
a.
!
%
'
*
#
a=?
/
"
$
!
+*<9
'
&
)
#
b.
b.
!
a
cos A = ?
%
*
'
"
$
'
!
!
+
c.
-
&
+
#
%
"
$
!
x=?
'
*
%
a
cosC = ?
%
*
#
"
c.
&
'
#
'(9
x=?
%<9
"
d.
#
d.
!
%
!
-
)
%
x=?
(
'
sin_ = ?
&
_
"
284
A
x=?
-
"
ESEN YAYINLARI
1.
$
*
#
"
%<9
#
Trigonometri
3.
$
%
B
+
6.
#
$
'
!
A
&
%
+*<9
! + -
"
"
Ԭekildeki ABCD eԭkenar dörtgeninde
|AE| = |FC| = 1 cm, |DF| = 3 cm,
a
m( ABC) = 120° ise |EF| = x kaç cm dir?
#
@
Ԭekildeki ABCD dörtgeninde |AD| = 4 cm
|AB| = 3 cm, |BC| = 7 cm, |DC| = 8 cm
a
m( A) = 90° ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
7.
!
*
-
#
4.
'
'
"
ABC üçgeninde |AB| = 6 cm, |AC| = 4 cm
a
a
a
m( C) = 90° + m( B) ise cot( B) kaçtr?
!
5.
ESEN YAYINLARI
)
!
%
'
$
&
#
ABD ve EBC birer üçgen, |AE| = 2 cm
|EB| = 4 cm, |BD| = 5 cm ve
A(ABD) = A(BEC) ise |DC| = x kaç cm dir?
8.
!
_ '(
9
*
"
(
"
)
'
;
"
#
O merkezli çemberde |AB| = 2 cm, |BC| = 3 cm
|AC| = 4 cm ise |OA| kaç cm dir?
$
#
a
a
4|BD| = 3|DC|, m( DAC) = 45° ve m( BAD) = _
ise sin_ kaçtr?
285
Trigonometri
9.
Bir ABC üçgeninde, b2 = a2 + c2 + v3ac
a
ise m( B) kaç derecedir?
14. Bir ABC üçgeninde
a 2 – b 2
= a. cos B – b. cos A
c
a
10. Bir ABC üçgeninde, a = 2b.cosC ise b = c
!
15.
D
"
C
#
ABC üçgeninde 3|AK| = 2|AB|, 5|AL| = 3|AC|
ise
ESEN YAYINLARI
a
A(ABC) = u.(u – b) ise m( B) = 90°
A (AKL)
kaça eԭittir?
A (ABC)
16.
12. Bir ABC üçgeninde hb = 2R.sinA.sinC
sin A
= 2. cos C
sin B
olduԫuna göre, ABC üçgeninin ikizkenar üçgen
olduԫunu gösteriniz
a.sinA + b.sinB + c.sinC =
286
17.
a2 + b2 + c2
2R
sinC = cosA + cosB
olduԫuna göre, ABC üçgeninin dik üçgen olduԫunu gösteriniz.
Trigonometri
ԨKԨ YAYIN TOPLAMININ VE FARKININ TRԨGONOMETRԨK ORANLARI
®
sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b
®
sin(a – b) = sin a.cos b – cos a.sin b
®
cos(a + b) = cos a.cos b – sin a.sin b
®
cos(a – b) = cos a.cos b + sin a.sin b
Ԩspat
®
#
ABC ve AEC dik üçgenler
6
FBDE dikdörtgen
a
a
|AC| = 1 br, m( CAE) = a, m( EAD) = b
+
/
olmak üzere, AEC dik üçgeninde,
CE
AC
|CE| = sin a ve cos a =
AE
AC
-
6
!
sin a =
B
"
$
|AE| = cos a olur.
CFE dik üçgeninde,
cos b =
CF
CE
cos b =
CF
|CF| = sin a.cos b
sin a
ADE dik üçgeninde,
sin b =
ED
AE
sin b =
ED
|ED| = cos a.sin b olur.
cos a
ABC dik üçgeninde,
sin(a + b) =
CB
|CB| = sin(a + b)
AC
sin(a + b) = |CB| = |CF| + |FB| = |CF| + |ED| = sin a.cos b + cos a.sin b bulunur.
®
sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b eԭitliԫinde b yerine –b yazarsak
sin(a – b) = sin a.cos(–b) + cos a.sin(–b) = sin a.cosb – cos a.sin b olur.
®
cos(a + b) = sin :
r
r
r
r
– (a + b) D = sin :b – a l – b D = sin b – a l cos b – cos b – a l sin b
2
2
2
2
= cos a.cos b – sin a.sin b olur.
®
cos(a – b) = cos[a + (–b)] = cos a.cos(–b) – sin a.sin(–b) = cos a.cosb + sin a.sinb bulunur.
287
Trigonometri
ÖRNEK 125
ÖRNEK 129
Aԭaԫda toplam fark formüllerine verilen örnekleri
$
inceleyiniz.
® sin20°.cos30° + cos20°.sin30° = sin(20° + 30°)
"
+%
® sin40°.cos15° – cos40°.sin15° = sin(40° – 15°)
!
= sin25°
ABCD dörtgeninde [DC] [BC], |DC| = 4 cm
® cos50°.cos20° + sin50°.sin20° = cos(50° – 20°)
|BC| = 3 cm, |AD| = 12 cm, |AB| = 13 cm ise
a
cos( ABC) kaçtr?
= cos30°
® cos100°.cos5° – sin100°.sin5° = cos(100° + 5°)
= cos105°
Çözüm
ÖRNEK 126
sin42°.cos18° + sin18°.cos42°
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 127
sin40°.sin50° – cos40°.cos50°
Çözüm
ÖRNEK 130
sin15° ifadesinin eԭitini bulunuz.
cos105° ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
288
#
%
+*
= sin50°
ÖRNEK 128
'
Çözüm
Trigonometri
Çözüm
ÖRNEK 131
$
#
+
*
_
+
!
%
"
ABCD dik yamuԫunda |DC| = 1 cm, |CE| = 2 cm
a
|EB| = 1 cm, |AB| = 3 cm, m( AED) = _ ise sin_
kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 133
$
B
#
ABCD kare |DF| = |FC|
|CE| = |EB|
a
m( FAE) = _
-
ise cos_ kaçtr?
_
!
"
Çözüm
ÖRNEK 132
$
#
_
!
-
"
ABCD dikdörtgeninde |AE| = |EB| = |CB|
a
m( ACE) = _ ise cos_ kaçtr?
289
Trigonometri
ÖRNEK 134
ÖRNEK 135
cosA =
Bir ABC üçgeninde
12
4
ve cosB =
13
5
ise sinC kaçtr?
cosA.cosB =
Çözüm
1
, sinA.sinB = 1 ise cosC kaçtr?
2
4
Çözüm
®
tan(a + b) =
tan a + tan b
1 – tan a. tan b
®
tan(a – b) =
tan a – tan b
1 + tan a. tan b
®
cot(a + b) =
cot a. cot b – 1
cot a + cot b
®
cot(a – b) =
cot a. cot b + 1
cot b – cot a
Ԩspat
®
tan(a + b) =
sin (a + b)
sin a. cos b + cos a. sin b
=
cos (a + b)
cos a. cos b – sin a. sin b
olur.
Bu ifadenin pay ve paydasn cosa.cosb ile bölersek,
sin a sin b
sin a. cos b cos a. sin b
+
+
tan a + tan b
tan(a + b) = cos a. cos b cos a. cos b = cos a cos b =
sin a sin b
1 – tan a. tan b
cos a. cos b
sin a. sin b
1 –
·
–
cos a cos b
cos a. cos b cos a. cos b
®
tan(a – b) = tan[a + (–b)] =
290
tan a + tan (– b)
tan a – tan b
=
1– tan a. tan (– b)
1 + tan a. tan b
bulunur.
bulunur.
Trigonometri
ÖRNEK 136
ÖRNEK 138
!
tan75° ifadesinin eԭitini bulalm.
_
Çözüm
'
"
*
$
*
#
ABC dik üçgeninde |BD| = |DC| = 2 cm, |AB| = 4 cm
a
m( DAC) = _ ise tan_ kaçtr?
Çözüm
ÖRNEK 139
ESEN YAYINLARI
cos c arcsin
4
12
+ arctan
m ifadesinin eԭitini bulunuz.
5
5
Çözüm
ÖRNEK 137
tan a = 1
2
ve cot b = 4
olduԫuna göre, tan(a + b) kaçtr?
Çözüm
291
Trigonometri
YARIM AÇI FORMÜLLERԨ
ÖRNEK 140
sin b x –
r
r
l = 2 cos b x – l
4
4
sin2x = 2sinx.cosx
Ԩspat
Çözüm
sin2x = sin(x + x) = sinx.cosx + cosx.sinx
= 2sinx.cosx olur.
ÖRNEK 142
sin 40°
sin 20°
Çözüm
ÖRNEK 141
1
+ arccot 3
2
arctan
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 143
x D b0 ,
sinx =
r
l olmak üzere,
2
3
ise sin2x in deԫerini bulunuz.
5
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 144
sin75°.cos75° ifadesinin eԭitini bulalm.
Çözüm
292
Trigonometri
ÖRNEK 145
ÖRNEK 148
r
sin r .cos r .cos
24
24
12
cos36°.sin18° ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 146
sinx – cosx =
1
3
olduԫuna göre, sin2x kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 149
cos6
r
r
+ sin6
8
8
Çözüm
ÖRNEK 147
x D (0, /) olmak üzere,
1 + sin x ifadesinin eԭiti nedir?
Çözüm
293
Trigonometri
ÖRNEK 150
cos2x = cos2x – sin2x
sin10°.cos20°.cos40° iԭleminin sonucu kaçtr?
Çözüm
Ԩspat
cos2x = cos(x + x)
= cosx.cosx – sinx.sinx
= cos2x – sin2x bulunur.
Ayrca, bu eԭitlikte cos2x = 1 – sin2x veya
sin2x = 1 – cos2x yazlarak
cos2x = 2cos2x – 1
cos2x = 1 – 2sin2x
ESEN YAYINLARI
eԭitlikleri de elde edilir.
ÖRNEK 152
cosx =
1
olduԫuna göre, cos2x kaçtr?
3
Çözüm
ÖRNEK 151
1
sin c 2 arccos m ifadesinin eԭitini bulunuz.
3
Çözüm
ÖRNEK 153
sinx =
Çözüm
294
1
5
Trigonometri
ÖRNEK 154
ÖRNEK 157
r
r
– sin2
8
8
cos2
x ! b0 ,
r
l olduԫuna göre,
2
1 + cos 2x
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 155
cos475° – sin475°
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 158
x D (2/, 3/) olmak üzere,
1 – cos x
Çözüm
ÖRNEK 156
1 + cos 20°
sin 20°
Çözüm
295
Trigonometri
ÖRNEK 159
cos2
ÖRNEK 161
sin50° = a olduԫuna göre,
r
8
cos20° nin a türünden deԫeri nedir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 162
sin3x = 3sinx – 4sin3x
eԭitliԫinin doԫru olduԫunu gösteriniz.
ÖRNEK 160
sin 2
5r
r
+ cos 2
12
12
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 163
1
cos c 2 arcsin m
4
Çözüm
296
Trigonometri
tan2x =
ÖRNEK 166
2 tan x
1 – tan 2 x
tan x. cot 2x
tan 2 x – 1
Ԩspat
tan2x = tan(x + x)
=
tan x + tan x
1 – tan x. tan x
=
2 tan x
olur.
1 – tan 2 x
Çözüm
ÖRNEK 164
tanx = 1
2
olduԫuna göre, tan2x kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 167
tanx – cotx =
2
3
olduԫuna göre, tan4x kaçtr?
ÖRNEK 165
Çözüm
3
olduԫuna göre,
4
tanx in alabileceԫi deԫerleri bulunuz.
tan2x =
Çözüm
297
Trigonometri
DÖNÜԬÜM FORMÜLLERԨ
®
sin a + sin b = 2sin
a+b
a – b
.cos
2
2
a+b
a – b
.sin
2
2
®
sin a – sin b = 2cos
®
cos a + cos b = 2cos
®
cos a – cos b = –2sin
a+b
a – b
.cos
2
2
a+b
a – b
.sin
2
2
Ԩspat
sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny
®
+ sin(x – y) = sinx.cosy – cosx.siny
––––––––––––––––––––––––––––––
sin(x + y) + sin(x – y) = 2sinx.cosy ..... (I)
Bu eԭitlikte x + y = a ve x – y = b alrsak, x =
a+b
2
y=
ve
a – b
2
Bu deԫerleri (I) eԭitliԫinde yerine yazarsak sin a + sin b = 2sin a + b .cos
2
®
olur.
a – b
2
bulunur.
I de bulduԫumuz eԭitlikte b yerine – b yazarsak
sin a + sin(–b) = 2sin
a – (–b)
a – b
a+b
a – b
.cos
sin a – sin b = 2sin
.cos
2
2
2
2
olur.
cos(x + y) = cosx.cosy – sinx.siny
®
cos(x – y) = cosx.cosy + sinx.siny
+
––––––––––––––––––––––––––––––
cos(x + y) + cos(x – y) = 2cosx.cosy olur.
x+y = a
a+b
a – b
a+b
a – b
ve y =
deԫerleri yerine yazlrsa cos a + cos b = 2cos
.cos
olur.
3 x=
2
2
2
2
x – y = b
®
eԭitliklerini taraf tarafa çkararak cosa – cosb = –2sin
ÖRNEK 168
cos 3a + cos a
sin 3a – sin a
Çözüm
a – b
a+b
.sin
eԭitliԫini siz bulunuz.
2
2
ÖRNEK 169
sin 40° + sin 20°
cos 10°
Çözüm
298
Trigonometri
ÖRNEK 170
Pratik olarak,
cos (a + b) – cos (a – b)
sin (a + b) + sin (a – b)
sin x + sin 3x + sin 5x
=
cos x + cos 3x + cos 5x
Çözüm
olarak alnabilir.
x + 3x + 5x
3
= tan 3x
x + 3x + 5x
cos
3
sin
ÖRNEK 173
sin 20° + sin 40° + sin 80°
cos 10°
Çözüm
ÖRNEK 171
cos10° + cos50° – v3.cos20°
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 172
ÖRNEK 174
cos242° – cos218°
Çözüm
Çözüm
299
Trigonometri
ÖRNEK 175
1
1
–
cos 75° sin 75°
ÖRNEK 178
sin 6x + sin 4x + sin 2x
cos 4x + cos 2x + 1
Çözüm
ifadesinin en sade biçimini
bulunuz.
Çözüm
sin 5x + sin 3x
9x = r olmak üzere,
ifadesinin eԭi2
cos x. cos 5x
tini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 176
ÖRNEK 179
sinA + sinB + sinC = 4cos
Çözüm
ÖRNEK 177
cos80° + sin50° – cos20° ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
300
B
C
A
.cos .cos
2
2
2
Trigonometri
TERS DÖNÜԬÜM FORMÜLLERԨ
®
sinx.cosy =
1
[sin(x + y) + sin(x – y)]
2
®
sinx.siny =
1
[cos(x – y) – cos(x + y)]
2
®
cosx.cosy =
1
[cos(x + y) + cos(x – y)]
2
Ԩspat
sin(x + y) = sinx.cosy + cosx.siny
®
sin(x – y) = sinx.cosy – cosx.siny
+
––––––––––––––––––––––––––––––
sin(x + y) + sin(x – y) = 2sinx.cosy sinx.cosy =
1
[sin(x + y) + sin(x – y)] bulunur.
2
®
–
––––––––––––––––––––––––––––––
cos(x + y) – cos(x – y) = –2sinx.siny sinx.siny =
1
[cos(x – y) – cos(x + y)] bulunur.
2
®
+ cos(x – y) = cosx.cosy + sinx.siny
––––––––––––––––––––––––––––––
cos(x + y) + cos(x – y) = 2cosx.cosy cosx.cosy =
ÖRNEK 180
cos15°.cos75° ifadesinin eԭiti kaçtr?
Çözüm
1
[cos(x + y) + cos(x – y)] bulunur.
2
ÖRNEK 182
1
– 4 cos 10° ifadesinin eԭiti kaçtr?
sin 40°
Çözüm
ÖRNEK 181
sin
5r
r
· cos
24
24
Çözüm
301
Trigonometri
ÖRNEK 183
cos10°.cos50°.cos70° ifadesinin eԭiti kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 185
_ – e =
r
olmak üzere,
6
tan(_ – 2e).tan(2_ – e) ifadesinin eԭiti kaçtr?
ÖRNEK 184
cos80°.cos40°.cos20° ifadesinin eԭitini bulunuz.
Çözüm
302
Çözüm
ALIŞTIRMALAR – 7
1.
Aԭaԫdaki eԭitliklerden doԫru olanlar için boԭ
4.
kutulara “D” yanlԭ olanlar için “Y” yaznz.
Bir ABC üçgeninde sinA =
3
, cosB = 5
13
5
ise
sinC kaçtr?
3
sin48°.cos12° + cos48°.sin12° =
2
sin50°.sin40° – cos50°.cos40° = 1
cos80°.sin20° – sin80°.cos20° = –
sin2105° – cos2105° =
3
2
5.
3
2
a+b=
r
3
olmak üzere,
(cosa – cosb)2 + (sina + sinb)2
tan 32° + tan 13°
=1
1 – tan 32°. tan 13°
2.
r
2
= –
8
2
Aԭaԫdakilerin herbirinin eԭitini bulunuz.
a. sin75°
b. cos
ESEN YAYINLARI
1 – 2cos2
6.
r
12
7.
c. tan15°
d. cot
3.
sinx – cosx = 1
4
olduԫuna göre, sin2x ifadesinin eԭitini bulunuz.
7r
12
tan a = 2 , cot b = 3
olduԫuna göre, tan(a + b) kaçtr?
Aԭaԫda sol sütunda verilen ifadelerin eԭitini saԫ
sütunda bularak eԭleԭtiriniz.
a.
cos4x – sin4x
1.
cot2x
b.
cos 6x sin 6x
+
sin 2x cos 2x
2.
cot2x
c.
sin 4x
1 – cos 4x
3.
2cot4x
d.
1 + cos 2x
1 – cos 2x
4.
cos2x
303
Trigonometri
e.
Aԭaԫdakilerin herbirinde verilenlere göre istenilenleri bulunuz.
a.
%
+
$
#
+
-
!
a
cos( BCD) = ?
"
'
ABCD dik yamuk
_
tan_ = ?
*
!
#
"
'
$
+*
f.
$
#
-
ABCD kare
b.
!
c.
!
tanx = ?
*
"
|DE| = 3|CE|
_
&
$
*
$
#
_
r
r
ifadesinin eԭiti nedir?
+ sin 6
12
12
9.
cos 6
10.
sin10°.sin50°.sin70° ifadesinin eԭiti nedir?
11.
sin10°.cos10°.cos20°.cos40° = a
ABCD kare
B
-
tan_ = ?
"
#
'
ESEN YAYINLARI
8.
|DE| = |AE|
sin_ = ?
!
d.
"
%
$
-
*
#
ABCD kare
cot_ = ?
_
!
304
B
olduԫuna göre, cos10° nin a cinsinden deԫeri
+
nedir?
"
Trigonometri
12.
15. Aԭaԫdakilerin herbirinin eԭitini bulunuz.
sin84° = a olduԫuna göre,
sin87° nin a cinsinden deԫeri nedir?
13. x D b 0 ,
r
l olmak üzere, verilenlere göre iste2
nenleri bulunuz.
a. cos c arctan
3
5
– arcsin
m
4
13
b. tan c arc cot
1
+ arctan 2 m
3
1
cos2x = ?
5
a. cosx =
c. sin(2arctan2)
1
cos4x = ?
3
c. cot2x =
3
tanx = ?
4
d. sinx = 3
5
14.
x D b0 ,
16.
17.
cos20° – sin50° – cos80°
1 + sin x
1 – sin x
18.
b.
sin54° – sin18°
sin2x = ?
r
l
2
olmak üzere, aԭaԫdaki ifadelerin eԭitini bulunuz.
a.
1
d. tan c 2 arccos m
3
ESEN YAYINLARI
b. sinx =
1 + cos x
1 – cos x
cos10°.cos30°.cos50°.cos70° = 3
16
eԭitliԫinin doԫru olduԫunu gösteriniz.
305
Trigonometri
sin 50° –
19.
3
4 sin 20°
21.
22.
20. Aԭaԫdaki ifadelerin en sade biçimini elde ediniz.
a.
3 –
1
cos 10° sin 10°
1
1
–
cos 36° sin 18°
sin 8x + sin 2x
cos 8x – cos 2x
23. Bir ABC üçgeninde aԭaԫdaki eԭitliklerin doԫru
c.
a. cosA + cosB + cosC = 1 + 4 sin
cos 5x + cos x
sin 5x – sin x
sin 80° + sin 20°
cos 80° – cos 20°
ESEN YAYINLARI
b.
b. tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC
c. cos2A + cos2B + cos2C = 1 – 2cosAcosBcosC
24.
d. sin 10° + sin 30° + sin 50°
cos 10° + cos 30° + cos 50°
tan2_ + cot2_ = 5
olduԫuna göre, sin4_ kaça eԭittir?
sin b x –
e.
sin 20° + sin 40° + sin 60° + sin 80°
cos 20° + cos 40° + cos 60° + cos 80°
306
A
B
C
sin sin
2
2
2
r
l
4 =1
25.
r
2
sin b x + l
4
olduԫuna göre, cotx kaça eԭittir?
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK DENKLEMLER
sinx =
1
r
5r
denklemini ele alalm. Bu denklemi saԫlayan [0, 2/] aralԫndaki deԫerlerin
ve
olduԫunu biliyoruz.
2
6
6
Ancak daha geniԭ aralklarda bu denklemi saԫlayan baԭka deԫerler de vardr. Bu deԫerlerin tümünü tek tek bulmamz mümkün olmadԫndan bu deԫerlerin hepsini ifade eden kümeyi ortak özellik yardmyla gösterebiliriz.
cosx = a Denkleminin Çözümü
cosx =
1F3
3
denkleminin çözüm kümesini
2
+
/
)
bulmaya çalԭalm.
Kosinüsü
?+
3
ye eԭit olan [0, 2/)
2
aralԫndaki reel saylar; r ve – r dr.
6
6
;
v%
*
?+
/
)
+
:81
Ancak, k D Z olmak üzere,
r + k.2/ ve – r + k.2/ saylarnn da kosinüsleri
6
6
Dolaysyla denklemin çözüm kümesi,
3
ye eԭittir.
2
Ç = { x : x = r + k.2/ x = – r + k.2/, k D Z} olur.
6
6
Bu durumu genel olarak aԭaԫdaki biçimde ifade edebiliriz.
1F3
+
–1 a 1 olmak üzere,
cosx = a denkleminin [0, 2/) aralԫndaki bir kökü
?+
;
_ ise denklemin çözüm kümesi;
Ç = { x : x = _ + k.2/ x = – _ + k.2/ , k D Z} dir.
ÖRNEK 186
cosx = 1
2
Çözüm
_
?_
/ +
:81
?+
ÖRNEK 187
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
cos x = –
3
2
Çözüm
307
Trigonometri
ÖRNEK 188
ÖRNEK 191
cos2x – 3cosx + 2 = 0
cos2x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 189
cos b 2x –
r
1
l = –
3
2
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 192
0° x < 360° olmak üzere,
cos(2x + 10°) = cos50°
Çözüm
ÖRNEK 190
cos3x = 1
Çözüm
308
Trigonometri
sinx = a Denklemini Çözümü
sinx =
1
2
1F3
denkleminin çözüm kümesini
+
/
)
/ /
)
bulmaya çalԭalm. Sinüsü
1
ye eԭit olan
2
[0, 2/) aralԫndaki reel saylar
r
6
ve r –
+
*
?+
+
;
r
6
:81
dr.
?+
Bu durumda, k D Z olmak üzere
r
r
+ k.2/ ve r –
+ k.2/ saylarnn da sinüsü 1 olacaԫndan çözüm kümesi;
2
6
6
Ç = {x : x =
5r
r
+ k.2/ x =
+ k.2/, k D Z} olur.
6
6
Bu durumu genel olarak aԭaԫdaki biçimde ifade edebiliriz.
1F3
+
sinx = a denkleminin [0, 2/) aralԫndaki bir kökü
/
?+
_
_ ise denklemin çözüm kümesi;
;
_
/?_
+
:81
Ç = { x : x = _ + k.2/ x = / – _ + k.2/, k D Z} dir.
?+
ÖRNEK 193
ÖRNEK 194
3
2
1
2
Çözüm
Çözüm
sinx =
sin3x = –
309
Trigonometri
ÖRNEK 195
cos2x – sin2x + sinx = 0
denkleminin çözüm kümesini bulalm.
Çözüm
ÖRNEK 197
cos2x + sin2x = 0
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 196
cos3x – cosx + 2sin2x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
310
Trigonometri
tanx = a Denkleminin Çözümü
ÖRNEK 199
1F3
+
tan b 2x –
G/3
/
'
H+I+J
Çözüm
+
?+
r
l = –1
4
:81
(/
'
?+
tanx = 1 denkleminin çözüm kümesini bulalm.
Tanjant 1 e eԭit olan [0, 2/) aralԫndaki reel saylar
r
r
ve r + olduԫundan bu iki deԫeri de içeren
4
4
r
+ kr , (k D R) denklemi saԫlayan x deԫerle4
ridir. Dolaysyla denklemin çözüm kümesi
r
+ k/, k D Z } olur.
Ç = {x : x =
4
x=
tanx = a denkleminin [0, /) aralԫndaki bir kökü _
ise denklemin çözüm kümesi
Ç = { x : x = _ + k/, k D Z } dir.
cotx = a Denkleminin Çözümü
cotx = – v3
Çözüm
ESEN YAYINLARI
a D R olmak üzere,
ÖRNEK 200
®
k D R olmak üzere,
a D R olmak üzere,
f(x) = g(x) + k.2/ f(x) = / – g(x) + k.2/
cotx = a denkleminin [0, /) aralԫndaki bir kökü
eԭitliklerini saԫlayan x reel saylardr.
_ ise denklemin çözüm kümesi
Ç = { x : x = _ + k/, k D Z } dir.
sinf(x) = sing(x) denkleminin çözüm kümesi,
®
cosf(x) = cosg(x) denkleminin çözüm kümesi,
k D R olmak üzere,
f(x) = g(x) + k.2/ f(x) = – g(x) + k.2/
eԭitliklerini saԫlayan x reel saylardr.
ÖRNEK 198
tanx = v3
Çözüm
®
tanf(x) = tang(x) veya cotf(x) = cotg(x)
denklemlerinin çözüm kümesi, k D R
olmak üzere, f(x) = g(x) + k/
eԭitliԫini saԫlayan x reel saylardr.
311
Trigonometri
ÖRNEK 201
ÖRNEK 203
r
r
l = cos b – x l
3
6
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 202
sin b 2x –
r
r
l = – sin b x + l
6
3
Çözüm
312
cos b x –
r
l = sin x
4
ESEN YAYINLARI
sin b 2x –
ÖRNEK 204
cos b x –
r
r
l = – cos b x + l
4
4
Çözüm
Trigonometri
Çözüm
ÖRNEK 205
cos b 2x –
r
l = sin x
3
Çözüm
sinx ve cosx e Göre Doԫrusal Denklemler
a, b, c sfrdan farkl reel saylar olmak üzere,
ESEN YAYINLARI
a.cosx + b.sinx = c biçimindeki denklemler,
ÖRNEK 206
r
tan b 2x – l = tan x
6
sinx ve cosx e göre doԫrusal denklemlerdir.
ÖRNEK 208
sinx – v3 cosx = 1
denkleminin çözüm kümesini bulalm.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 207
tan3x.cot b
r
– x l = 1
3
313
Trigonometri
ÖRNEK 209
ÖRNEK 210
f(x) = a.sinx + b.cosx
Aԭaԫdaki tabloda baz fonksiyonlarn en büyük ve en
küçük deԫerleri verilmiԭtir. Ԩnceleyiniz.
fonksiyonunun en büyük ve en küçük deԫerlerini
bulunuz.
Çözüm
LH&J
-3MNOPONMQRSR5
-3M6OEONMQRSR5
%1F3&MKM':81&
? %*MKM'*MTM?M(
(
*1F3&M?M:81&
? **MKMH?+J*MTM?Mv(
v(
1F3&MKM:81&
? +*MKM+*MTM?Mv*
v*
ÖRNEK 211
3sinx – 4cosx = 5
olduԫuna göre, sinx kaçtr?
ESEN YAYINLARI
Çözüm
f(x) = a.sinx ± b.cosx ise f(x) in
en küçük deԫeri: – a 2 + b 2
en büyük deԫeri:
314
a2 + b2
dir.
Trigonometri
sinx ve cosx e Göre Homojen Denklemler
Çözüm
2sinx – 3cosx = 0
biçimindeki denklemler, 1. dereceden homojen denklemlerdir.
sin2x + 2sinx.cosx – cos2x = 0
sin2x + 2sin2x + 3cos2x = 0
biçimindeki denklemler, 2. dereceden homojen denklemlerdir.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 212
ÖRNEK 214
3cos2x – 3cosx.sinx + 2sin2x = 1
Çözüm
ÖRNEK 213
sin2x + sinx.cosx – 2cos2x = 0
315
Trigonometri
TRԨGONOMETRԨK EԬԨTSԨZLԨKLER
Çözüm
sinx > a veya sinx < a Eԭitsizliԫi
1F3
/
_
_
:81
sinx > a eԭitsizliԫinde
–1 a 1 Ç = (_, / – _)
a>1Ç=Ø
a < –1 Ç = R
1F3
_
_
:81
sinx < a eԭitsizliԫinde
–1 a 1 Ç = [0, _) F (/ – _, 2/)
a>1Ç=R
a < –1 Ç = Ø
ÖRNEK 215
3
2
eԭitsizliԫinin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesini
sinx >
bulunuz.
316
ESEN YAYINLARI
/
ÖRNEK 216
1
2
sinx
bulunuz.
Çözüm
Trigonometri
cosx > a veya cosx < a Eԭitsizliԫi
cosx > a eԭitsizliԫinde,
Çözüm
1F3
–1 a 1 Ç = (– _, _)
veya Ç = [0, _) F (2/ – _, 2/]
a>1 Ç=Ø
_
_ /
:81
a < –1 Ç = R
cosx < a eԭitsizliԫinde,
1F3
–1 a 1 Ç = (_, 2/ – _)
a>1 Ç=R
a < –1 Ç = Ø
_
_
/
:81
tanx > a veya tanx < a Eԭitsizliԫi
tanx > a eԭitsizliԫinin çözüm kümesi,
1F3
/
*
1
2
cosx >
bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
/
ÖRNEK 217
_
_
:81
%/
*
Ç = ba ,
G/3
r
3r
l , cr + a ,
m olur.
2
2
tanx < a eԭitsizliԫinin çözüm kümesi,
1F3
/
*
/
_
_
:81
%/
*
G/3
ÖRNEK 218
2
2
[0, 2/]
Ç = b –
cos x –
eԭitsizliԫinin
bulunuz.
aralԫndaki çözüm kümesini
r
r
, a l , b , r + a l veya
2
2
Ç = 60 , r h , b
r
3r
, r + al , c
, 2r m dir.
2
2
317
Trigonometri
cotx > a veya cotx < a Eԭitsizliԫi
ÖRNEK 219
1F3
tanx > 1
:8G
bulunuz.
/
_
Çözüm
_
/
:81
cotx > a eԭitsizliԫinin çözüm kümesi,
Ç = (0, _) F (/, / + _) dr.
1F3
:8G
/
ESEN YAYINLARI
_
_
/
cotx < a eԭitsizliԫinin çözüm kümesi,
Ç = (_, /) F (/ + _, 2/) dir.
ÖRNEK 221
ÖRNEK 220
tanx < v3 eԭitsizliԫinin [0, 2/] aralԫndaki çözüm
kümesini bulunuz.
Çözüm
318
:81
cotx > v3
Çözüm
ALIŞTIRMALAR – 8
1.
3.
Aԭaԫdaki ifadelerden doԫru olanlar için boԭ kutulara “D” yanlԭ olanlar için “Y” yaznz.
Aԭaԫdaki trigonometik denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a. sin2x = sin b x +
sinx = a denkleminin [0, 2/] aralԫnda
r
l
3
2 kökü vardr.
tanx = a denkleminin [0, /] aralԫnda
1 kökü vardr.
cosx = a denkleminin [0, /] aralԫnda
b. cos4x = sin
1 kökü vardr.
Aԭaԫdaki trigonometrik denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a. sinx = –1
ESEN YAYINLARI
2.
3r
8
b. cos2x = –
r
l
4
d. sin(2x – 10°) = –sin(x + 20°)
e. sin(x – 20°) = cos(x + 40°)
c. tan2x = 1
d. cot3x =
2
2
c. cos3x = cos b x –
3
3
f. cos b 2x –
r
r
l = –cos b x + l
6
3
319
Trigonometri
5.
Aԭaԫdaki trigonometrik denklemlerin [0, 2/] ara-
Aԭaԫdaki trigonometrik denklemlerin çözüm kü-
lԫndaki çözüm kümelerini bulunuz.
melerini bulunuz.
a. sin2x – cos2x – 5sinx + 3 = 0
a. 3cos2x + sin2x – 5cosx + 1 = 0
b. sin2x.cosx + cos2x.sinx = 1
b. tan2x.cot b 2x –
c. tanx + cotx = 1
c. cos2x = 1 – 2sinx
r
l=1
3
ESEN YAYINLARI
4.
d. sin4x – cos2x = 0
e. sin2x + 2sinx = 0
f.
2sin2x – 1 = 0
320
d. cos2x + 3sinx – 2 = 0
e. sinx + cosx = 1
f.
cosx + cos2x + cos3x = 0
Trigonometri
g. 3sinx = 1 + cos2x
6.
f(x) = sinx – v3.cosx
fonksiyonunun grafiԫinin [0, 2/] aralԫnda x
eksenini kestiԫi noktalar bulunuz.
h. sinx + v3 cosx = 0
7.
v3 cosx + 3 sinx = v6
j.
6 cos2x + 2 cos6x = 1
fonksiyonunun grafiԫi [0, 2/] aralԫnda x eksenini kaç noktada keser?
ESEN YAYINLARI
.
f(x) = sin5x – cos2x + sinx
8.
Aԭaԫdaki eԭitsizliklerin [0, 2/] aralԫndaki çözüm
kümelerini bulunuz.
a. sinx 1
k. sin2x + v3 sinx.cosx = 1
b. cosx
l.
1
2
2cos2x + 6sinx.cosx + 4sin2x = 0
m. 2sin2x + sin2x – 2cos2x = 1
c. v3 – 2sinx < 0
321
Trigonometri
10. Aԭaԫdaki fonksiyonlarn en büyük ve en küçük
d. 2cosx + 1 0
deԫerlerini bulunuz.
a. f(x) = v2 sinx – cosx
e. cos b x +
r
l>0
4
b. f(x) = 3sinx – 4cosx
f. 2sinx
2
9.
Aԭaԫdaki eԭitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
c. f(x) = 3sinx + 4cosx
d. f(x) = 5sin3x – 12cos3x
a. sinx < cosx
b. sinx.cosx <
c. cotx < 1
322
1
4
e. f(x) = –sinx + cosx
f. f(x, y) = sinx + cosy
TEST – 1
1.
Aç Ölçü Birimleri

5.
48431 lik aç kaç derece, kaç dakika kaç saniyedir?


B) 10° 41 32


D) 13° 39 31


A) 10° 41 30
C) 13° 27 11




Birim çember üzerindeki noktalardan apsisi ordi-
natnn v3 katna eԭit olannn apsisi aԭaԫdakilerden hangisi olabilir?
A) v3
B)
3
2
C)
1
2
D) 1
3
2
2
E)
E) 13° 40 32
2.


A) 46520
6.
B) 46530
lerden hangisidir?
C) 47510
A)
E) 47530
11r
4r
10r
B)
C)
9
3
9
D)
13r
9
E)
14r
9
ESEN YAYINLARI
D) 47520
280° lik açnn radyan cinsinden eԭiti aԭaԫdaki-
3.




_ = 24° 16 45 ve ` = 17° 12 38 ise
2_ + ` aԭaԫdakilerden hangisine eԭittir?



A) 65° 46 8

B) 65° 44 8


D) 65° 43 8
4.


7.

C) 65° 45 8


E) 65° 42 8


11r
radyanlk açnn derece cinsinden eԭiti aԭa5
ԫdakilerden hangisidir?
A) 396° B) 397° C) 398°
D) 399°
E) 400°

_ = 43° 16 12 ve ` = 24° 23 26 ise
_ – ` aԭaԫdakilerden hangisidir?



A) 18° 52 46

B) 18° 52 45


D) 18° 51 45


C) 18° 51 46


E) 18° 50 46
8.
24132° lk açnn esas ölçüsü kaç derecedir?
A) 12
B) 18
C) 102
D) 108
E) 112
327
Trigonometri
9.
–1341° lik açnn esas ölçüsü kaç derecedir?
A) 89
B) 92
C) 94
D) 99
13.
/
!"#$%&
E) 98
.
*")%$#&
0
'"%$#&
,#-
+
("#$)%&
a
Yukardaki birim çemberde m( EOD) = 60° ise
132r
10.
radyanlk açnn esas ölçüsü kaç radyan7
dr?
A)
2r
7
B)
3r
7
C)
4r
7
D)
5r
7
E)
E noktas aԭaԫdakilerden hangisidir?
6r
7
A) d
3
1
, – n
2
2
B) d –
3
1
,
n
2
2
C) d
1
3
, –
n
2
2
D) d –
1
3
, –
n
2
2
73r
radyanlk açnn esas ölçüsü kaç
3
radyandr?
11. –
A)
r
3
B)
2r
3
C) /
D)
4r
3
E)
ESEN YAYINLARI
E) d
5r
3
2
2
, –
n
2
2

14. 18° – 19751 ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden
hangisidir?


B) 12° 30 48


D) 12° 31 49


A) 12° 30 47
C) 12° 30 49




E) 12° 32 49
5r
radyanlk yayn bitim
6
noktas aԭaԫdakilerden hangisidir?
12. Birim çember üzerinde
A) d –
C) d –
E) d
1. C
328
1
3
,
n
2
3
2
,
2
2
n
2
B) d –
3
1
, – n
2
2
D) d –
3 1
, n
2
2
a
a
a
m( A) = 3r , m( B) – m( C) = 32° ise
5
a
m( C) kaç radyandr?
3
1
, – n
2
2
2. E
3. A
A)
4. A
5. B
6. E
7. A
8. A
9. D
r
6
10. E
B)
r
7
11. E
C)
r
8
12. D
D)
13. A
r
9
E)
14. C
r
10
15. D
TEST – 2
1.
Birim çemberde _ açsnn bitim noktas
5.
4 3
c – , m ise tan_ kaçtr?
5 5
A) –
5
3
B) – 5
4
C) –
4
3
sin
r
3r
7r
7r
+ cot
+ tan
.cot
2
2
3
3
D) – 3
4
E) – 1
3
A) –2
6.
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
sin87° , tan142° , cos216° ve cot278°
ifadelerinin iԭaretleri srasyla aԭaԫdakilerden
2.
cos300° + tan240° – sin150° + cot150°
hangisidir?
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
C) 0
A) + – + –
E) v3
D) 1
B) + – – –
D) + + – –
C) – – – +
E) + – – +
ESEN YAYINLARI
A) – v3 B) –1
7.
3.
3r
cos/ + sec/ – sin c –
m – tan(–/)
2
A = 2cosx – 3siny + 4
olduԫuna göre, A gerçel says hangi aralkta
deԫer alr?
A) [5, 9]
A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
D) [3, 9]
E) 1
8.
4.
tan210°.sin300°
3
1
B) –
6
2
C) –
1
3
D) –
1
6
E) –
f(x) =
C) [–1, 5]
E) [–1, 9]
3 sin x + 7
2
fonksiyonunun en büyük ve en küçük deԫerleri
A) –
B) [3, 5]
toplam kaçtr?
3
9
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
329
Trigonometri
9.
13.
r
olmak üzere,
4
3 – tan x
ifadesi hangi aralkta deԫer alr?
2
0x
A) [1, 2]
C) ;1,
B) [0, ')
D) (–', 0)
tan1°.tan2°.tan3° ..............tan89°
A) 89
B) 45
C) 1
D) 0
E) –1
3
E
2
E) [0, 1]
a = 1 – cos2x ve 2b = 1 + sinx
14.
olduԫuna göre, a ile b arasndaki baԫnt aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) a – 1 = 2b
B) a + 1 = 2b
D) a2 = 2b – 1
10.
C) a = (2b + 1)2
E) a = (2b – 1)2
A(sin10°, cos10°) ve B(sin350°, cos170°)
noktalar arasndaki uzaklk kaç birimdir?
B) 3
D) v2
C) 2
E) 1
ESEN YAYINLARI
A) 4
15.
x = 2tan_ – 1 ve y = 4cot_ + 2
olduԫuna göre, y nin x cinsinden deԫeri aԭaԫdakilerden hangisidir?
A)
2x + 10
x+1
D)
11. a = cos_ , b = sin_.cos` ve c = sin_.sin`
B)
8
x+1
2x – 8
x+1
E)
C)
8
x – 2
2x + 8
x+1
olduԫuna göre, a2 + b2 + c2 ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) 2
C) sin2_
B) 1
2
2
E) sin `
D) cos _
r
3r
<a<r<i<
2
2
16.
olmak üzere aԭaԫdakilerden kaç tanesi doԫrudur?
I.
sin_ + tane > 0
II. cos_ + sine < 0
III. sine.tan_ > 0
cos x – sin x
3
=
cos x + 2 sin x 2
12.
IV. tan_.cote < 0
A) –
1. D
1
8
2. C
330
B) –
3. A
1
7
C) –
4. B
1
6
5. E
V. tan_ – cote < 0
D) –
1
5
6. B
E) –
7. E
1
4
A) 1
8. C
9. C
10. C
B) 2
11. B
C) 3
12. A
13. C
D) 4
14. E
E) 5
15. A
16. E
TEST – 5
1.
cos b 2x +
r
3r
l – 3 sin
3
2
ifadesini en küçük yapan x deԫerlerinden biri
5.
fb
r
+ x l = cotx – tan2x
2
olduԫuna göre, f(x) aԭaԫdakilerden hangisidir?
aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) r
4
B) r
3
C) 2r
3
D) 3r
4
E) r
2
B) cotx – tan2x
C) cotx – cot2x
D) –tanx – tan2x
E) tanx + tan2x
6.
2.
A) tanx – cot2x
sin 2 56° + sin 2 34° + cos 2 70° – 1
tan 56°. tan 34° + sin 20° – 1
_Db
sin a – cos a
= 2 ise cos_ kaçtr?
sin a + cos a
10
10
A) –
A) cos70°
B) cos20°
B) –
C) –sin70°
10
5
10
5
C) –
E)
10
10
r
1
, r l ve sinx =
2
3
ise
D)
E) 1
10
4
ESEN YAYINLARI
D) –cos70°
r
, r l olmak üzere
2
3.
7.
^ 1 + tan 2 xh . c 1 – 1 m
sec 2 x
xDb
tanx.cosx kaçtr?
A) cot2x
B) cotx
D) tan2x
A)
C) 1
olduԫuna göre, tanx nedir?
B) – 3
4
3
2
C) 1
2
D) – 1
2
E) –
C) – 1
3
1
1
+
1 – tan 40° 1 – cot 40°
4sin(x + /) + 3cos(x – /) = 0
A) – 4
3
B)
E) tanx
8.
4.
3
3
A) tan40°
D) 3
4
E) 4
3
B) cot40°
D) 1
C) 2
E) –1
335
3
3
Trigonometri
9.
13. a = sin280° , b = tan170° , c = cot190° ve
sinx.cosx = 1
4
olduԫuna göre, sinx + cosx ifadesinin pozitif de-
d = cos250° ise aԭaԫdaki sralamalardan hangisi doԫrudur?
ԫeri nedir?
6
2
A)
5
2
B)
C) 1
3
2
D)
E)
2
2
A) a < b < c < d
B) a < d < c < b
C) a < b < d < c
D) a < d < b < c
E) d < a < b < c
10. x D b 0 ,
x – y =
r
l olmak üzere,
2
r
2
ve cosx =
1
3
14. cos306° = a olduԫuna göre,
olduԫuna göre,
tan144°.cos36° ifadesinin eԭiti nedir?
cot(x – 2y) nedir?
2
A) –
2
1
B) –
2
1
2
E)
2
2
B) –1
C) 0
D) 1
cos c
15. Aԭaԫdakilerden hangisi
11. x + y = / ise
A) sinx
B) sin(x + /)
D) cos(/ – x)
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
1. B
2. A
336
B) cotx
3. D
A) a < b < c
5. D
6. A
7. A
8. D
B) c < a < b
D) a < c < b
C) –tanx D) –sinx E) –cotx
4. B
r
– x l
2
aԭaԫdaki sralamalardan hangisi doԫrudur?
A) tanx
E) cos b
C) cosx
16. a = sin140° , b = sin160° , c = tan55° ise
sin (x – 3r) + sin (x + 5r)
cos (x + 4r) – cos (x + 5r)
12.
3r
– x m
2
ifadesine eԭittir?
cos x – 1
cos y + 1
A) –2
E) a
ESEN YAYINLARI
D)
A) –a
3
C) –
2
9. A
10. A
11. B
12. C
C) b < c < a
E) b < a < c
13. D
14. A
15. B
16. E
TEST – 6
Periyot ve Grafik
f(x) = cos2(3 – 2x)
1.
5.
hangisidir?
r
4
B)
r
2
C) /
D)
3r
2
3 – 4x
m fonksiyonunun periyodu kaçtr?
6
fc
fonksiyonunun esas periyodu aԭaԫdakilerden
A)
f(x) fonksiyonunun periyodu 6 ise
A) 3
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
E) 2/
6.
f(x) fonksiyonunun periyodu 2, g(x) fonksiyonunun
periyodu 4 olmak üzere, f(1) = 4 ve g(3) = 1 ise
1 – x
f(x) = 2sin3 c 3 m
2.
f(11) + g(19) kaçtr?
A) 3
hangisidir?
2r
3
B) /
C)
3r
2
D) 2/
C) 5
D) 6
7.
f:[–/, /] A R, f(x) = 2cosx
fonksiyonunun grafiԫi aԭaԫdakilerden hangisidir?
'&
!&
/
/
4
3.
f(x) = 2tan(1 – 2x) + 3
)/
r
4
B) r
3
4
/
4
/
4
#
hangisidir?
A)
E) 7
E) 6/
ESEN YAYINLARI
A)
B) 4
/
0
)/
/
4
#
/
4
/
/
4
/
)%
C)
r
2
D) /
)4
E) 2/
*&
(&
/
/
%
%
)/
/
4
/
4
/
#
0
)/
/
4
#
)%
)4
4.
+&
f(x) = sin5x – sinx
/
4
fonksiyonunun esas periyodu kaç radyandr?
%
A) /
B) 2/
0
C) 3/
D) 4/
E) 5/
)/
/
4
#
/
4
0
/
337
0
Trigonometri
8.
10.
f:[0, /] A R, f(x) = 2sin2x
/
fonksiyonunun grafiԫi aԭaԫdakilerden hangisi-
4
dir?
%
'& /
!& /
%
%
1/
6
/
4
#
/
/
6
0
/
6
)%
*& /
(& /
4
4
1/
6
#
/
1/
6
/
1/
4
0
4/
0
Yukardaki grafik aԭaԫdaki fonksiyonlardan han-
A) y = 2sinx
B) y = 2sinx – 1
C) y = 3sinx – 2
D) y = 2 + sinx
E) y = 1 + sinx
/
4
#
)4
/
/
4
gisine ait olabilir?
/
6
0
/
6
/
4
#
)%
/
4
#
1/
6
/
0
)4
+& /
%
#
1/
6
/
4
/
ESEN YAYINLARI
4
0
/
6
)4
11.
/
1
9.
/
/
4
#
4
1/
6
/
6
/
0
%
#
/
6
/
4
1/
6
4/
0
)1
A) y = 2 + cosx
B) y = 1 + cosx
A) y = 2cos2x
B) y = cos2x + 3
C) y = 2cos2x – 1
D) y = 2cos2x
C) y = 3 + cosx
D) y = 3cos2x
E) y = 1 + cos2x
1. B
338
2. E
E) y = 2 + cosx
3. C
4. B
5. D
6. C
7. B
8. C
9. E
10. E
11. D
TEST – 7
1.
Üçgende Trigonometrik Baԫntlar
5.
'
'
%
8
(
5
0
1
!
*
7
!
ABC üçgeninde |AC| = 5 cm, |AB| = 7 cm
a
|BC| = 8 cm ise m( C) kaç derecedir?
4
6
+
*
ABC üçgeninde [DE] [BC], |AD| = 1 cm
|BE| = 2 cm, |DB| = 3 cm, |EC| = 4 cm
A) 30
B) 45
C) 60
D) 75
E) 150
ise |AC| = x kaç cm dir?
A) v5
2.
B) v6
C) 2v5
D) 3v5
E) 2v6
Bir ABC üçgeninde, a = 7 cm , b = 5 cm ve
a a
c = 3 cm ise sin( B + C) kaçtr?
6.
A) 1
2
2
2
B)
3
2
C)
D)
5
3
E)
'
6
4
3.
ESEN YAYINLARI
8
'
(
5
*
6
|AD| = 5 cm, |DC| = 4 cm ise |AC| = x kaç cm
dir?
8
*
(
ABC üçgeninde |AB| = 7 cm, |BD| = 3 cm
4
,
1
!
0
5
A) 2v5
0
B) c21
C) c23
D) 2v6
E) 5
5
!
+
Ԭekilde, [AE] E [BD] = {C}, |AC| = 5 cm
|CE| = 5 cm, |BC| = 6 cm, |CD| = 2 cm
'
7.
6
|AB| = 7 cm ise |DE| = x kaç cm dir?
!
A) 3
B) 4
C) 5
D) 3v5
4
(
0
E) 4v5
,#*
4.
Kenar uzunluklar a, b, c olan ABC üçgeninde,
a2 = b2 + c2 + v3bc baԫnts saԫlanyorsa,
a
m( A) kaç derecedir?
A) 30
B) 60
C) 120
D) 135
E) 150
ABCD kiriԭler dörtgeninde, |AB| = 2 cm
a
|AD| = 4 cm, m( BCD) = 60° ise |BD| = x
kaç cm dir?
A) v7
B) c10
C) 2v7
D) 4v5
E) 2c10
339
Trigonometri
8.
11.
'
'
%
%%4-
0
+
446
!
1
*
a
a
ABC üçgeninde m( BAC) = 112°, m( ABC) = 22°
!
B) 2tan22°
D) 4cot22°
0
*
(
Ԭekilde |AE| = 1 cm, |EB| = 3 cm, |BC| = 4 cm
|BC| = 4 cm ise |AC| = x kaç cm dir?
A) tan22°
6
A(BDE) = 2 A(ABC) ise |CD| = x kaç cm dir?
C) 4tan22°
A)
E) 2cot22°
20
3
B) 6
17
3
C)
E) 14
3
D) 5
*
9.
12.
'
6
!
5
ESEN YAYINLARI
'
ABC üçgeninde |AB| = 5 cm, |BC| = 4 cm
a
m( BAC) = _ ise cos_ nedir?
A)
2 6
B)
7
21
7
D)
10.
35
7
,
1
,#-
_
C)
!
*
ise A(ABC) en çok kaç cm2 dir?
30
7
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
3 6
E)
7
0
(
*
13.
'
1#-
0
4
1
,
65,#-
!
'
(
*
!
a
ABCD kiriԭler dörtgeninde, m( DAC) = 45°
a
m( CAB) = 60° ve |BC| = 6 cm ise |CD| = x
a
a
m( BAD) = 30°, |BD| = |DC| ve m( DAC) = x
ise sinx nedir?
kaç cm dir?
A) 6v2
1. C
340
B) 4v2
2. C
3. C
C) 4v3
4. E
D) 2v6
E) v6
5. C
6. B
A) 1
3
7. C
8. C
B) 2
3
9. A
C) 3
4
10. D
D) 3
5
11. A
E) 1
2
12. B
13. C
TEST – 9
1.
cos375° nin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A)
2.
Toplam – Fark ve Yarm Aç Formülleri
3 +1
2
B)
D)
3+ 6
4
3 – 1
2
6 –
4
C)
5.
r
4
olduԫuna göre
(1 + tanx) (1 + tany) ifadesinin eԭiti nedir?
2
A) 1
2
6+ 2
4
E)
x, y D R+ ve x + y =
B) 1
C) 3
2
D) 2
E) 5
2
Aԭaԫdakilerden kaç tanesi yanlԭtr?
I. sin20°.cos10° + cos20°.sin10° = 1
2
1
2
II. sin110°.sin10° – cos110°.cos10° = –
6.
iԭleminin sonucu aԭaԫdakilerden hangisidir?
III. cos50°.cos40° + sin50°.sin40° = 0
tan 70° – tan 10°
= 3
1 + tan 70°. cot 80°
V. cos215° – sin215° =
A) 1
B) 2
A) –2sin10°
D) – 4
3
2
C) 3
D) 4
E) 5
7.
3.
4.
C)
2
10
D)
Bir ABC üçgeninde sinA = 12
13
3
10
E)
B) 62
65
C) 63
65
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
D) 1
E) 2
5
10
ve cosC = 4
5
8.
sin 3x cos 3x
–
sin x
cos x
olduԫuna göre, sinB kaçtr?
A) 61
65
E) 4
a + b + c = / olduԫuna göre,
A) –2
B) 3
5
C) –2
cosa.cosb – sina.sinb + cosc
r
< y < / olmak üzere
2
tanx = 2 ve tany = – 3 ise sin(x + y) kaçtr?
0<x<
A) 2
5
B) –2sin20°
ESEN YAYINLARI
IV.
3
1
–
cos10° sin 10°
D) 64
65
E) 1
A) –2
B) –1
C) 0
343
Trigonometri
9.
*
12.
a+1
2
cos35° =
olduԫuna göre, sin20° nin a cinsinden deԫeri
nedir?
`
_
'
(
A) –a
!
+
B) a – 1
C) a
D) a + 1 E) 2a
ABC üçgeninde |AC| = |AD| = |DE| = |EB|
a
a
[CA] [AB], m( AEC) = _ , m( ABC) = `
ise _ + ` kaç derecedir?
A) 30
B) 45
C) 60
D) 75
E) 90
sin2
13.
a
a
a
a
.cos2 + cos2 .sin2 = k
2
2
2
2
olduԫuna göre, cos2a nn k cinsinden deԫeri
nedir?
A) 1 – 2k
B) 1 + 2k
D) 2k2 – 1
(
*
0
6
'
1
+
!
a
ABCD dikdörtgeninde |AE| = |EC|, m( ACE) = x
14. x D b 0 ,
|EB| = 3 cm, |AD| = 4 cm ise tanx kaçtr?
tan2x =
A) 1
2
B) 2
3
C) 3
4
D) 4
5
E) 5
6
A)
2 sin x – sin 2x
cos 2 x – 1
11.
E) 1 – 2k2
ESEN YAYINLARI
10.
C) 1 – 4k
r
l olmak üzere,
2
4
ise sinx kaçtr?
3
5
2
B)
5
3
C)
5
5
D)
5
6
E)
5
8
tan 2 x – 1
tan 2 x + 1
15.
x
A) –2cot
2
x
B) 2cot
2
D) 2tan
1. E
344
2. B
3. C
x
2
x
C) tan
2
E) –2tan
4. C
5. D
A) cos2x
x
2
6. D
B) – cos2x
D) – sin2x
7. C
8. E
9. B
10. A
11. E
C) sin2x
E) 2sinx
12. C
13. C
14. C
15. B
TEST – 12
1.
sin 25° – sin 15°
cos 25° + cos 15°
5.
sin (a + b) + sin (a – b)
cos (a + b) + cos (a – b)
A) cot5°
A) cota
B) –tan5°
D) tan5°
2.
Dönüԭüm ve Ters Dönüԭüm Formülleri
C) –cot5°
E) sin5°
D) cotb
sin 10° + sin 40° + sin 70°
cos 10° + cos 40° + cos 70°
6.
A) cot40°
B) sin40°
x + y = 2r
3
C) sina
E) tanb
ise
cos x – cos y
ifadesinin eԭiti
sin y – sin x
C) tan40°
A) –v3
E) cot80°
B) –v2 C) –1
D) v2
E) v3
ESEN YAYINLARI
D) tan80°
B) tana
3.
cos x + cos 3x + cos 5x + cos 7x
sin x + sin 3x + sin 5x + sin 7x
7.
A) tan3x
B) cot3x
D) sin4x
4.
A) v2cot9°
D) 2v2sin9°
A) –2
E) cot4x
B) 2cot9°
C) 2v2cos9°
E) v2sin9°
r
2
ise
cos 5x. cos 9x
cos 8x – cos 4x
ifadesinin eԭiti
C) tan4x
cos 36° + sin 36°
sin 9°
11x =
8.
B) –1
C) – 1
2
D) 1
2
E) 1
sin38° + cos68° – cos8°
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
349
Trigonometri
9.
13.
sin71° – cos79° – cos41°
cos10°.cos50°.cos70°
A) –2
A)
10.
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
sin(a + b) + sin(a – b) = cosb
14.
olduԫuna göre, sina ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) 1
B)
1
2
C) 1
3
D) 1
4
1
16
B)
1
8
C)
D) 3
8
E) 3
16
sin x – 2 sin 2x + sin 3x
sin x + 2 sin 2x + sin 3x
A) tan2 x
2
E) 1
6
3
8
B) –tan2 x
2
E) cot x
2
ESEN YAYINLARI
D) tan x
2
C) –cot2 x
2
15.
sin23x – sin22x
11.
cosec 10°
2
2cos20° –
A) sin5x.cosx
B) sin5x.sinx
C) cos5x.cos3x
D) cos5x.sinx
E) sin5x.sin3x
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
A) –2
1. D
2. C
350
B) –1
3. E
C) 0
4. A
D) 1
5. B
6. E
toplamnn sonucu aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) v6
E) 2
7. C
1
1
+
cos 15° sin 15°
16.
3 – 4 sin 20°. cos 40°
12.
sin 20°
8. C
9. C
10. B
D) v6 – 1
11. B
C) v6 + 1
B) 2v6
12. E
E) 2v3 + 2
13. C
14. B
15. B
16. B
TEST – 13
1.
5.
arctan 1 = x ise sinx.cosx kaçtr?
3
A) 1
10
B) 2
10
arcsin d –
C) 3
10
sin(2arccot2)
D) 2
5
A) 2
5
E) 3
5
2
n + arctan(v3)
2
B) 3
4
tan c arcsin
6.
C) 4
5
D) 5
6
E) 5
8
4
+ arc cot 2 m
5
A) r
12
A) 6
B) r
10
C) r
9
D) r
8
E) r
6
B) 11
2
C) 5
D) 9
2
E) 4
ESEN YAYINLARI
2.
Ters Trigonometrik Fonksiyonlar
3.
3
cot c arcsin m
5
A) 1
3
4.
B) 3
4
C) 4
3
sin c 2 arcsin
7.
4 r
+ m
5 2
D) 5
3
E) 1
1 – 3x
m
2
fonksiyonunun en geniԭ tanm kümesi aԭaԫdaki-
A) – 7
25
B) – 8
25
C) 9
25
D) 11
25
E) 12
25
f(x) = 2arcsin c
lerden hangisidir?
1
1
arccos c m + arccos c – m
3
3
8.
1
A) ;– 1, E
3
B) [–1, 2]
D) [1, 2]
1
C) ;– , 1 E
3
1
E) ; , 1 E
3
A)
3r
4
B) /
C)
4r
3
D) 2/
E)
5r
2
351
Trigonometri
13.
3
3
cos c arcsin m + sin c arctan m
5
4
9.
arccos(cos4x) + sin(arcsin2x)
A) 2x
A) 3
5
10.
B) 4
5
C) 6
5
D) 7
5
r
2
fonksiyonunun görüntü kümesi aԭaԫdakilerden
f(x) = arccos(x + 1) –
14.
hangisidir?
D) :–
11.
r
B) :– , 0 D
2
f(x) = arcsin
r
D
4
1 – x
2
ve g(x) = arctan
4
1 – x
r
olduԫuna göre, (fog–1) b l kaçtr?
4
r
r
r
A)
B)
C)
D) r
8
6
5
4
15.
1
10
1. C
2. A
352
B)
3. C
2
10
C)
4. C
3
10
D) 2
3
5. C
6. B
r
l
10
ifadesinin eԭiti aԭaԫdakilerden hangisi olabilir?
B) 3r
5
C ) 4r
5
D) 5r
6
E ) 6r
7
4arctan(x + 2) – / = 0
A) – r
2
E) r
3
16.
A)
E) 6x
olduԫuna göre, arcsinx nedir?
1
3
sin c arctan m
2
4
12.
D) 5x
arccos b sin
A) 2r
5
r r
C) :– , D
2 2
E) :0,
r r
, D
4 2
C) 4x
ESEN YAYINLARI
r
A) :– , 0 D
4
B) 3x
E) 8
5
E) 1
3
7. A
9. D
C) – r
8
D) r
4
E) r
2
r
3
+ arccos m
4
5
tan c
A) –7
8. B
B) – r
4
10. C
B) –6
11. B
C) –5
12. A
13. E
D) 5
14. A
E) 7
15. A
16. A
TEST – 14
1.
Trigonometrik Denklemler ve Eԭitsizlikler
f(x) = 4sinx – 3cosx
ifadesinin en küçük deԫeri kaçtr?
A) –6
B) –5
sinx + cosx = v2
5.
C) –4
denkleminin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesi
D) –3
E) –2
r r
A) & , 0
8 4
r r
B) & , 0
4 2
r 3r
D) ' ,
1
4 4
f(x) = 3sinx – v7cosx
2.
6.
ifadesinin en büyük deԫeri kaçtr?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
r 11r
B) ' ,
1
2 6
ESEN YAYINLARI
r 2r
D) ' ,
1
2 3
gisidir?
D) '
B) '
A) {x : x = k.2/, k D Z}
4r 7r
,
1
3
3
2r 4r
,
1
3
3
r 2r
C) ' ,
1
3 3
2r
, k D Z}
3
r
x = k./ , k D Z}
C) {x : x = k.
3
r
x = k./ , k D Z}
D) {x : x = k.
6
2r
, k D Z}
E) {x : x = k.2/ x = k.
3
B) {x : x = k.
r 5r
E) ' ,
1
3 3
8.
4.
tan2x.tanx = 1
denkleminin (0, 2/) aralԫnda kaç kökü vardr?
A) 2
B) 3
C) 4
r 7r 2r
E) ' ,
,
1
2 6 3
denkleminin çözüm kümesi aԭaԫdakilerden han-
3cosx – cos2x + 1 = 0
4r 5r
,
1
3
3
r 7r 11r
C) ' ,
,
1
2 6
6
cosx – 2cos2x + 1 = 0
7.
denkleminin (0, 2/) aralԫndaki çözüm kümesi
A) '
r 5r
E) ' ,
1
4 4
cos2x + sinx = 0
r 7r
A) ' ,
1
2 6
3.
r
C) & 0
4
D) 5
E) 6
cosx + 3sin x = –1
2
kaç elemanldr?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
353
Trigonometri
v3cosx + 3sinx = 3
9.
13.
4cosx + 3sinx = 5
olduԫuna göre, sinx aԭaԫdakilerden hangisine
gisidir?
eԭittir?
A) 3
4
A) { x : x =
r
+ k.2/, k D Z}
2
B) { x : x =
r
+ k.2/, k D Z}
6
C) { x : x =
r
r
+ k.2/ x =
+ k.2/, k D Z}
2
6
D) { x : x =
r
r
+ k./ x =
+ k./, k D Z}
4
12
C) 4
5
D) 2
3
E) 2
5
cos2x + sinx + 1 = 0
14.
r
r
+ k.2/ x =
+ k.2/, k D Z}
E) { x : x =
3
4
B) 3
5
denkleminin [0, 2/] aralԫnda kaç farkl kökü
vardr?
A) 0
10.
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
sinx + sin2x + sin3x = 0
denkleminin [0, /] aralԫndaki çözüm kümesi
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
ESEN YAYINLARI
kaç elemanldr?
E) 5
15.
2sinx – 1 0
eԭitsizliԫinin [0, 2/] aralԫndaki çözüm kümesi
A) ;
4sin2x – 5 = 3cosx – 2cos2x
11.
denkleminin [0, /] aralԫndaki çözüm kümesi
5r
, 2r E
6
D) ;
A) '
2r
1
3
D) '
C) '
B) {/}
2r 5r
,
1
3
6
E) '
B) ;
r 5r
,
E
6
6
5r 3r
,
E
6
2
C) :
E) ;
r r
, D
6 2
5r
, rE
6
2r
, r1
3
2r
5r
, r,
1
3
6
16. x D [0, 2/) olmak üzere,
2cosx + 1 < 0 eԭitsizliԫinin çözüm aralԫ aԭaԫ12. x + y D [0, /] olmak üzere,
dakilerden hangisidir?
cos(x – 10°) + cos(y + 25°) = 0 ise
A) c
x + y kaç radyandr?
A)
1. B
5r
6
11r
12
B)
2. D
3. D
354
C)
4. C
3r
4
5. C
D)
2r
3
E)
6. C
7. E
5r 7r
,
m
6
6
D) c
7r
12
8. A
9. C
10. D
B) c
4r
, 2r m
3
11. C
12. A
r 5r
,
m
6
6
E) c
13. B
C) c
r 2r
,
m
6
3
2r 4r
,
m
3
3
14. B
15. B
16. E
TEST – 18
cosec2x – cot2x
1.
5.
ifadesinin en sade biçimi aԭaԫdakilerden hangi-
ifadesinin sonucu aԭaԫdakilerden hangisidir?
sidir?
A) 1
A) 1
B) sinx
D) secx
C) cosx
D) tan18°
cos1° + cos2° + cos3° + ... + cos179°
E) tan72°
C) 0
D) 1
x=
r
olmak üzere,
7
E) 2
A) 1
B)
1
2
C) 0
D) –
1
2
E) –1
ESEN YAYINLARI
B) –1
C) cos18°
cos 4x + cos 6x
ifadesinin sonucu kaçtr?
cos x + cos 3x
toplamnn deԫeri kaçtr?
A) –2
B) sin18°
E) tanx
6.
2.
sin72°.tan36° + cos72°
arcsin1 + arcsin c –
3.
7.
1
m
2
r
4
B)
r
3
C)
r
2
D)
2r
3
E)
cos X
B + sin Y
C = sin Y
A ve kenarlar arasnda
C ) kaç deb2 = (a – c)2 + ac baԫnts varsa m( Y
toplam kaç radyandr?
A)
Bir ABC üçgeninin açlar arasnda
5r
6
recedir?
A) 30
1
3
cos 15° +
sin 15°
2
2
4.
8.
1+ 3
2
B)
D)
2
2
C) 60
D) 90
E) 120
a = cos24° , b = sin36° , c = cot44°
olduԫuna göre a, b ve c nin sralanԭ aԭaԫ-
ifadesinin sonucu kaçtr?
A)
B) 45
3
2
C)
E)
2
4
3
4
dakilerden hangisidir?
A) b < c < a
B) b < a < c
D) a < c < b
C) a < b < c
E) c < a < b
361
Trigonometri
9.
12. x D [0°, 360°) olmak üzere,
D
sin2x +
8
|AB| = 6 cm
4
A
|BC| = |CD| = 4 cm
C
x
|AD| = 8 cm
3 cos2x – 1 = 0
gisidir?
4
A) {45°, 135°, 225°, 315°}
6
B) {30°, 75°, 225°, 315°}
B
Ԭekildeki ABCD kiriԭler dörtgeninin köԭegeni
C) {45°, 75°, 165°, 225°}
olan |AC| = x kaç cm dir?
D) {30°, 165°, 225°, 345°}
B) 2 15
A) 7
E) {45°, 165°, 225°, 345°}
C) 8
E) 5 3
D) 6 2
10.
H
13. Bir ABC üçgeninde,
B .cos Y
C olduԫuna
|AC| = 6 cm ve sin Y
A = 2.sin X
G
göre, |AB| kaç cm dir?
_
E
A) 6 2
F
C
A
B
%
Yukardaki küpte m( AHB ) = _ ise sin_ kaçtr?
A)
1
2
B)
D)
1
3
1
6
C)
E)
E) 3
ESEN YAYINLARI
D) 6
D
C) 4 3
B) 8
1
2
14. Üst tabannn merkezi
O
O olan yandaki dik silin-
2
6
dirin yarçap 1 cm
yüksekliԫi 3 cm ve
|AB| = 3 cm ise
%
cos( AOB ) kaçtr?
r
olmak üzere, aԭaԫdakilerden kaç
2
tanesi yanlԭtr?
11. _ + e =
I.
sin_ = cose
II.
tan(r – _) = cote
III.
cos2_ + cos2e = 1
IV.
cot c
V.
r
cos b – a l = sine
2
A) 1
A)
3r
+ a m = tan_
2
B) 2
C) 3
17
20
2.C
362
3.B
4.D
4
5
A
C)
3
4
D)
7
10
E)
13
20
cos22x – sin2x = 0
15.
denkleminin [0, r] aralԫnda kaç farkl kökü
vardr?
D) 4
E) 5
A) 1
1.A
B)
B
5.A
6.E
7.A
8.B
9.C
B) 2
10.B
11.C
C) 3
12.E
D) 4
13.D
E) 5
14.A
15.C
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
1.
1987 – ÖYS
4.
a
m( BAD) = _
1988 – ÖSS
?
>
(
|AB| = a
a
m( EBB) = _°
|CD| = c
|AE| = |ED|
*
+
'
?
!
?
(
_
a>c
?
(
*
*
_
9
'
!
'
Yukardaki ԭekilde ABCD bir ikizkenar teԫetler
!
 


Yukardaki ԭekilde ABCDA B C D bir küp olduԫu-
yamuԫudur. Buna göre cos_ nn deԫeri nedir?
na göre, tan_ nn deԫeri nedir?
a – c
B)
2a + c
a – c
A)
a+c
D)
a
a+c
E)
a – c
C)
a + 2c
B) v5
A) 2v5
c
a+c
D)
5.
5
3
5
2
E)
1988 – ÖYS
O1 ve O2 çember-
1987 – ÖYS
a
m( CKA) = 90°
a
m( DHA) = 90°
(
*
2
<
|DH| = |HK|
a
m( DAH) = _°
+
_
'
!
B)
3
2
A)
C) 3
4
D) 2
3
4_
4`
sin b
sin a
E) 1
2
D)
6.
!
B)
cos b
cos a
cot a
cot b
C) tan a
tan b
E) cos a
cos b
1988 – ÖYS
ABCD bir dikdörtgen
(
+
1987 – ÖYS
de |AB| = 15 birim
*
_
E noktas [CD] üzerin3.
.4
hangisidir?
tan_ nn deԫeri kaçtr?
2
2
.%
Ԭekildeki A ve B noktalarnda kesiԭen çemberleAO 1
rin yarçaplarnn
oran aԭaԫdakilerden
AO 2
Yukardaki ԭekilde ABCD bir kare olduԫuna göre
A)
'
lerin merkezleri,
%
m (AO 1 B) = 2_
%
m (AO 2 B) = 2`
ESEN YAYINLARI
2.
5
4
C)
,
_
denkleminin [0°, 90°] aralԫndaki kökü kaç dere-
|AD| = 6 birim
a
a
m( DAE) = m( CEB) = _
cedir?
Yukardaki verilere göre tan_ nn deԫerlerinden
sin2x = cos35°
A) 70
B) 65
D) 27,5
C) 37,5
E) 17,5
%5
'
!
biri nedir?
A)
3
4
B)
1
2
C)
1
3
D)
1
4
E)
363
1
6
Trigonometri
7.
1988 – ÖYS
10. 1989 – ÖYS
cos36° =
3
+
_
'
(
olduԫuna göre, cos72° kaçtr?
7
4
!
5 +1
4
*
5 – 1
4
A)
A ve C noktalar çemberlerin merkezi, EF ortak
teԫet, AC merkezler doԫrusu, D noktas EF ile
D)
AC doԫrularnn kesim noktas, çemberler B nok-
3 +2
4
B)
3
2
5
3
C)
E)
1
3
tasnda birbirine teԫet,
|EA| = 2 birim, |FC| = 8 birim
a
Yukardaki ԭekilde m( EDA) = _ olduԫuna göre
11. 1989 – ÖYS
tan_ nn deԫeri nedir?
A) 5
6
B) 4
5
c = cose, s = sine
C) 3
4
D) 2
3
E) 1
2
olduԫuna göre c6 + 3c2s2 + s6 ifadesinin ksaltlmԭ aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) sin2e
B) 1
C) sine.cose
8.
1988 – ÖYS
ifadesinin ksaltlmԭ biçimi aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) cot6x
B) cot18x
C) cotx + cot6x + cot11x
D) 1
ESEN YAYINLARI
D) 3
E) cos2e
12. 1989 – ÖYS
E, [CD] üzerinde
(
*
ABCD bir dikdörtgen
|AB| = 2|BC|
E) 0
+
e
|DE| = |EC|
a
m( EAC) = e
'
!
Yukarda verilen bilgilere göre tane nn deԫeri
9.
kaçtr?
1988 – ÖYS
A)
sin95°, cos190°, tan210°
1
4
B)
1
3
C)
1
2
nin iԭaretleri aԭaԫdakilerden hangisinde doԫru
D)
1
2
E)
1
3
olarak verilmiԭtir?
sin95°
––––––
A)
+
cos190°
–––––––
–
tan210°
––––––
–
B)
–
–
+
C)
–
+
+
D)
+
+
–
E)
+
–
+
364
13. 1990 – ÖYS
1
1
+
=8
cos 2 x sin 2 x
denkleminin dar aç olan çözümü nedir?
A) r
8
B) r
6
C) r
5
D) r
4
E) r
3
Trigonometri
14. 1991 – ÖYS
sin 3x cos 3x
+
=1
sin x
cos x
18. 1993 – ÖYS
1
1
4
–
=
1 – cos x 1 + cos x 3
olduԫuna göre, cos2x aԭaԫdakilerden hangisine
denklemini saԫlayan x dar açs kaç derecedir?
eԭittir?
A) 25
A) 5
8
B) 1
3
C) 2
3
D) 3
4
ABC bir üçgen
65- e
cm dir. Çember üzerindeki A ve B noktala-
!
(
_
1
6
.
r O ve T ye birleԭtiril-
*
'
,#-
!
tr?
C)
3
3
D) 1
2
E) 1
3
ESEN YAYINLARI
miԭtir.
a
a
m( AOB) = 60°, m( ATB) = _ olduԫuna göre
Yukardaki verilenlere göre, sine nn deԫeri kaç-
3
2
=
3 cm, taban yarçap 4
4@@@4
|AB| = 2 birim
|AC| = 2v2 birim
a
m( BAD) = 45°
a
m( DAC) = e
E) 75
merkezi O, yüksekliԫi
4
|BD| = |DC|
B)
D) 60
nin tepesi T, taban
'
D, [BC] üzerinde
2
2
C) 45
19. 1993 – ÖYS
Ԭekildeki dönel koni-
15. 1991 – ÖYS
A)
B) 30
E) 5
6
cos_ nn deԫeri kaçtr?
A) 17
25
B) 19
25
C) 21
25
D) 3
5
E) 4
5
20. 1994 – ÖYS
16. 1992 – ÖYS
1
1
+
=2 6
cos x sin x
r yarçapl bir çember içine bir kenar uzunluԫu
r 2 –
denklemini saԫlayan dar aç ( x ) aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) 15°
B) 20°
Buna göre düzgün çokgenin kenar says kaçtr?
A) 20
C) 30°
D) 35°
3 olan bir düzgün çokgen çizilmiԭtir.
B) 18
C) 15
D) 13
E) 12
E) 45°
21. 1994 – ÖYS
17. 1993 – ÖYS
3
4
=
cos x sin x
cosx – sinx = 1
2
olduԫuna göre, cos2x in deԫeri aԭaԫdakilerden
olduԫuna göre, cosx in pozitif deԫeri kaçtr?
hangisidir?
A) 2
3
A)
B) 2
5
C) 3
5
D) 4
5
E)
3
5
7
4
B) 1
4
C) 1
2
D) – 1
4
E) – 1
365
Trigonometri
22. 1995 – ÖYS
26. 1996 – ÖYS
1
cos c 2arc cot m deԫeri kaçtr?
2
A) – 3
5
B) – 1
4
C) 1
4
0° < _ < 90° ve
D) 1
2
3 sin 5° cos 7° + 3 cos 5° sin 7°
= sin_
4 cos 84° cos 6°
E) 3
2
olduԫuna göre _ kaç derecedir?
A) 12
B) 15
C) 18
D) 30
E) 60
23. 1995 – ÖYS
0 x r olmak üzere
2
sin x
= 2 olduԫuna göre x açs aԭa1 + cos x
cot x +
A) r
2
B) r
3
C) r
4
D) r
6
27. 1996 – ÖYS
/
!
E) r
8
A ve B çember üze_
rinde, A D Ox ekseni
.
(
'
0
ESEN YAYINLARI
[BD] [OA]
24. 1995 – ÖYS
2
A
+
3
(
Ԭekildeki O merkezli birim çemberde
cos_ = |AB| olduԫuna göre, |AB| kaç birimdir?
A) v3 + 2
B) v3 + 1
D) v3 – 1
C) v3
E) v3 – 2
*
'
!
ABCDEFGH bir birim küp olduԫuna göre, [DF] ve
[DA] arasndaki açnn cosinüsü kaçtr?
A)
2
2
B)
3
2
C)
1
3
D)
2
3
E)
3
4
28. 1997 – ÖYS
'
ABC bir ikizkenar
_
üçgen
|AB| = |AC|
a
m( ABC) = e
a
m( BAC) = _
25. 1996 – ÖYS
sin 2A + sin 4A
cos 2A + cos 4A
B) tg2A
D) cotg3A
366
*
Yukardaki ԭekilde tane = 3 olduԫuna göre,
ifadesi aԭaԫdakilerden hangisine eԭittir?
A) sin2A
e
!
C) tg3A
E) cos3A
tan_ nn deԫeri kaçtr?
A) 1
3
B) 2
3
C) 3
4
D) 3
5
E) 4
5
Trigonometri
29. 1997 – ÖYS
32. 2006 – ÖSS
/
3r
< x < 2r olmak üzere,
2
r
cosx – tan .sinx = 3 denkleminin kökü aԭa3
A) 11r
6
B) 9r
5
C) 8r
5
D) 7 r
4
C
D"'.C&@E@e
e
.
'
)@ e
E) 5r
3
0
D"'.Cv&@E@)@e
Cv
Ԭekildeki O merkezli birim çember üzerindeki
P ve Pv noktalar Ox eksenine göre birbirinin
simetriԫidir. Buna göre, Pv noktas aԭaԫdakilerden hangisiyle ifade edilemez?
A) (cos(–e), sin(–e))
B) (cos(–e), sine)
30. 1998 – ÖYS
C) (cose, –sine)
/
BKA dörtte bir
D) (cose, sin(2/ – e))
<
!
çember yay
E) (cos(2/ – e), –sine)
e
.
'
0
Ԭekildeki O merkezli, 15 m yarçapl dörtte bir
çember biçimindeki havuzun A noktasndan hareket eden ve saniyede 0,2 m hzla yüzen bir
kiԭi, ANK yolunu izleyerek t zamanda K noktaa
sna geliyor. m( AOK) = e olduԫuna göre, t nin e
ESEN YAYINLARI
B
|OA| = |OB| = 15 m
a
m( AOK) = e
33. 2006 – ÖSS
sin 2a
ifadesinin sadeleԭtirilmiԭ biçimi aԭa1 – cos 2a
A) sina
türünden deԫeri aԭaԫdakilerden hangisidir?
A) 50.sine
B) 50.sin2e
D) 100.sin
i
2
B) cosa
D) cota
C) tana
E) sina + cosa
C) 100.sine
E) 150.sin
i
2
34. 2006 – ÖSS
AL KL
BA // KL
|AL| = 3 km
|BA| = 12 km
!
%4
'
1
4%
<
;
|KL| = 21 km
K noktasndaki kontrol kulesinde bulunan bir görevli, yerden 3 km yükseklikte yere paralel uçan
31. 1998 – ÖYS
bir uçaԫn, A noktasndan B noktasna kadar
sin2x + 10cosx – 10 = 0
r 5r
,
E aralԫndaki kökü aԭaԫda2
2
kilerden hangisidir?
denkleminin ;
A)
7r
6
B)
4r
3
C)
3r
2
D) 2r
E) r
12 km lik hareketini radarla izliyor.
A noktasnn yerdeki dik izdüԭümü L noktas ve
|KL| = 21 km olduԫuna göre, radarn taradԫ AKB
açsnn tanjant kaçtr?
A) 3
7
B) 4
9
C) 2
11
D) 3
13
E) 7
17
367
Trigonometri
35. 2007 – ÖSS
39. 2008 – ÖSS
sin 10° cos 40° + cos 10° sin 40°
cos 50° cos 10° + sin 50° sin 10°
cos b
A) v2
B) v2
C)
r
r
+ x l = sin b – x l
2
2
3
2
D)
1
2
E) 1
A)
–
3
3
C) –1 D) – v3
3
3
B)
E) v3
36. 2007 – ÖSS
cos 2a
1 – tan 2 a
40. 2009 – ÖSS
A
ifadesinin sadeleԭtirilmiԭ biçimi aԭaԫdakilerden
hangisidir?
A) sin2a
B) cos2a
2
|DC| = 1 |AC|
4
a
m( DBC) = x
C) cot2a
2
D) 1 + sin a
E) 1 + tan a
D
ESEN YAYINLARI
x
C
Ԭekildeki ABC üçgeni bir eԭkenar üçgen olduԫuna göre, tanx kaçtr?
A)
37. 2007 – ÖSS
b sin
B
3
10
B)
3
7
C) 3 3
5
D)
3
3
E) 2 3
3
r
r 2
+ cos l
12
12
ifadesinin deԫeri kaçtr?
A) 1
2
B) 3
2
C) 5
2
D) –1 + v3
E) 1+v3
41. 2009 – ÖSS
A
O noktas yarm
çemberin merkezi
38. 2008 – ÖSS
sin 2x = a olduԫuna göre,
(sin x + cos x)
2
ifadesinin a türünden deԫeri
|AC| = 1 cm
a
m( AOC) = x
1
3
|AB| = 3 cm
x
B
O
C
Yukardaki verilere göre, sinx kaçtr?
A) a + 1
D) a2 + 1
368
B) 2a + 1
C) 2a + 2
E) 2a2 + 1
A) 2
3
B) 3
4
C) 3
5
D) 4
9
E) 3
10
Trigonometri
42. 2010 – LYS
3sinx – 4cosx = 0
46. 2011 – LYS
f(x) = arcsin b
olduԫuna göre, |cos2x| deԫeri kaçtr?
3
A)
4
3
B)
5
4
C)
5
7
D)
25
x
+ 2 l fonksiyonunun ters fonksiyo3
nu olan f –1(x) aԭaԫdakilerden hangisidir?
9
E)
25
A) 2sin(x) – 6
B) 2sin(x) + 3
C) 3sin(x) – 6
D) sin(2x – 6)
E) sin2(x) – 3
43. 2010 – LYS
(sin x – cos x) 2
+ 2 sin x
cos x
A)
1
cos x
B)
47. 2011 – LYS
1
sin x
D) arcsinx
C) 1
r
olmak üzere,
2
1
cotx – 3tanx =
olduԫuna göre,
sin 2x
0<x<
E) arccosx
ESEN YAYINLARI
sin2x kaçtr?
44. 2010 – LYS
A)
1
9
B)
1
8
C)
1
7
D)
1
5
E)
1
4
tan 60°
1
–
sin 20° cos 20°
A) 4
B) 2
C) 1
D)
3
2
E)
1
2
48. 2011 – LYS
A
B
45. 2010 – LYS
C
1 + cos 40°
cos 55°. cos 35°
A) cos20°
B) 2cos20°
C) 4cos20°
D) cos40°
Birim kareler üzerine çizilmiԭ yukardaki ABC
üçgeninin B açsnn tanjant kaçtr?
A)
25
4
B)
34
5
C)
40
9
D) 4
E) 5
E) 2cos40°
369
Trigonometri
49. 2011 – LYS
cosx =
A)
52. 2012 – LYS
– 4
5
3
5
B)
5
13
C)
12
13
D)
24
25
E)
cosx.cos2x =
1
16.sin x
olduԫuna göre, sin4x kaçtr?
7
25
A)
1
2
B)
2
3
C)
1
4
D)
2
2
E)
3
2
53. 2012 – LYS
50. 2012 – LYS
1
2
(cos a) = 0
4
2
denkleminin bir kökü
tür.
3
2
x – (sin a) x –
cos 135° + cos 330°
sin 150°
ifadesinin deԫeri kaçtr?
3 –
B)
3 – 1
2 +1
E)
2
D)
51. 2012 – LYS
C)
Buna göre, sin a kaçtr?
2 – 1
2+ 3
ESEN YAYINLARI
A)
D
ABCD bir kare
C
|BE| = 5 cm
7
|EC| = 7 cm
%
m( EAC ) = x
E
x
5
A
B
Yukardaki verilere göre, tan x kaçtr?
A)
4
13
370
B)
6
13
C)
9
13
D)
5
17
E)
7
17
A)
2
2
B)
2
3
C)
2
6
D)
1
2
E)
1
3
ESEN ÜÇRENK
MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ
ESEN
ÜÇRENK
MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ
9. SINIF
10. SINIF
11. SINIF
12. SINIF
YGS - LYS
www.nevzatasma.com & www.halitbiyik.com

trԩgonometrԩ ünԩte 3. ünԩte 3. ünԩte 3. ünԩte 3. ünԩt

Transkript

Benzer belgeler

BU NE BİÇİM SEVDA İMİŞ SAYFA 30.MUS

Anne Üşüyorum

akdeniz marşı

İÇSEL BİLGİLERE İLİŞKİN ÖZEL DURUM

EĞİK ATIŞ EĞİK ATIŞIN UYGULANMASI Fırlatılan nesne x