Analiz kitabımızın örnek sayfaları için TIKLAYINIZ
Transkript
Analiz kitabımızın örnek sayfaları için TIKLAYINIZ
İÇİNDEKİLER Ön Söz ..................................................................................... 2 Polinomlar ................................................................................ 3 II. ve III. Dereceden Denklemler ............................................. 11 Parabol................................................................................... 19 II. Dereceden Eşitsizlikler ....................................................... 28 Trigonometri ........................................................................... 38 Logaritma ............................................................................... 59 Toplam ve Çarpım Sembolü .................................................. 71 Diziler ..................................................................................... 79 Özel Tanımlı Fonksiyonlar ..................................................... 96 Limit ve Süreklilik ................................................................. 113 Türev Alma Kuralları ............................................................ 136 Türevin Geometrik Yorumu .................................................. 160 Kutupsal Koordinatlar ........................................................... 188 Belirsiz İntegral .................................................................... 196 Belirli İntegral ve Uygulamaları ............................................ 215 Seriler ve Yakınsaklık Testleri .............................................. 244 Genelleştirilmiş (Has Olmayan) İntegraller ........................... 263 Laplace Dönüşümleri ........................................................... 268 Çok Değişkenli Fonksiyonlar ................................................ 272 Katlı İntegraller ..................................................................... 286 Genel Tarama Sınavı ........................................................... 293 ÖABT Analiz Seriler ve Yakınsaklık Testleri olur. lim Sn = 2 olduğundan kısmi toplamlar dizisi Tanım: (an ) bir reel sayı dizisi olmak üzere, (Sn) diğer bir ifadeyle verilen seri yakınsaktır. an a1 a2 a3 ... an ... Örnek: n 1 toplamına seri denir. (an ) e serinin genel terimi, n serisinin yakınsaklık durumunu inceleyelim. n 1 serinin ilk n teriminden meydana gelen Verilen serinin kısmi toplamlar dizisi Sn a1 a2 ... an Sn = 1 + 2 + 3 + … + n toplamına serinin n. kısmi toplamı, (Sn ) (S1, S2, S3,...,Sn,...) dizisine de serinin kısmi toplamlar dizisi, kısmi top- n(n 1) 2 limSn = + olup Sn dizisi ıraksak olduğundan verilen lamlar dizisinin limitine de serinin toplamı denir. seri ıraksaktır. Tanım: Kısmi toplamlar dizisi yakınsak olan seriye Teorem: Yakınsak bir serinin genel teriminin limiti yakınsak seri, yakınsak olmayan seriye de ıraksak sıfırdır. Ancak bunun karşıtı doğru değildir. Yani seri denir. genel terimin limiti sıfır olduğu halde seri yakınsak olmayabilir. Aynı zamanda genel terimin limiti sıfır Örnek: değilse seri ıraksaktır. n 1 1 2 serisinin yakınsak olup olmadığını bulalım. Örnek: n 1 Verilen serinin kısmi toplamlar dizisi, n 1 1 2 serisinin yakınsak olduğunu göstermiştik. n 1 2 Sn 1 n 1 1 1 1 ... 2 2 2 Gerçekten verilen serinin genel teriminin limiti, n 1 1 lim n 2 n 1 1 2 1 1 2 dır. 1 n 2 1 2 244 0 ÖABT Analiz Seriler ve Yakınsaklık Testleri Örnek: Tanım: (an ) bir geometrik dizi olmak üzere, n n2 an serisinin yakınsak olup olmadığını bulalım. n 1 n 1 serisine geometrik seri denir. Verilen serinin genel teriminin limiti, lim n a1 rn1 n 1 0 n2 geometrik serisinin kısmi toplamlar dizisi- n 1 nin genel terimi, olduğundan verilen seri ıraksaktır. Sn a1 Örnek: 1 rn 1 r dir. n2 ln n 3 serisinin yakınsaklık durumunu incelen 1 i) yelim. r 1 ise limSn a1 olduğundan verilen seri 1 r yakınsaktır. Verilen serinin genel teriminin limiti, ii) n2 lim ln ln1 0 n n 3 r 1 ise limSn olduğundan verilen seri ıraksaktır. Örnek: olduğu halde bu seri ıraksaktır. Çünkü bu serinin kısmi toplamlar dizisinin genel terimi, n0 Sn ln 3 4 n2 ln ... ln 4 5 n3 2n 1 serisinin toplamını bulalım. 3n n0 3 4 n2 ln 4 5 n3 2n1 2 3n n0 n 2 3 n 2 2 2 2 2 1 ... ... 3 3 3 3 ln n3 2 1 1 olup limSn = - olduğundan verilen seri ıraksaktır. =6 245 2 3 ÖABT Analiz Seriler ve Yakınsaklık Testleri Örnek: 2(2 n olduğundan alanları toplamı 2 ) 3 3 6 3 3 3 2 ... 4 4 4 serisinin değerini bulalım 2 n 1 n 1 1 1 2 2 2 22 .2 2 ... 2 n 1 2 2 62 3 1 1 1 ... 4 4 4 ... n 1 1 1 22 2 2 2 n 1 ... 2 2 ... 9 3 1 1 1 4 9 3 4 3 n1 1 1 1 1 ... ... 2 2 2 2 12 3 br 2 1 1 1 2 1 2 2 bulunur. NOT: i) r 1 olmak üzere, =2 Örnek: Bir kenarı 6 br olan bir eşkenar üçgenin T n r n 1 kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir n 1 üçgen elde ediliyor. Aynı işlem elde edilen bütün serisinin toplamını bulalım. üçgenlere uygulanarak sonsuz sayıda üçgenler elde ediliyor. Bu üçgenlerin alanları toplamının kaç br2 T = 1 + 2r + 3r2 + 4r3 + … olduğunu bulalım. eşitliğinde her iki taraf r ile çarpılır ve taraf tarafa çıkarılırsa T = 1 + 2r + 3r2 + 4r3 + … T.r = r + 2r2 + 3r3 + … T - T . r = 1 + r + r2 + r3 + … İç içe çizilen üçgenler eşkenar ve kenar uzunlukları 6, 3, T(1 r) 3 , ... 2 246 1 1 r ÖABT Analiz T Seriler ve Yakınsaklık Testleri Örnek: 1 (1 r)2 1 n! olacağından serisinin yakınsaklığını inceleyelim. n 1 1 n rn1 (1 r)2 n 1 1 2 n 1 serisinin yakınsak olduğunu göstermiştik. n 1 n 1 dir. n N+ için Örnek: n 2n1 1 1 n! 2 olduğundan verilen 1 n! n 1 serisi de yakınsaktır. Teorem (p testi) serisinin toplamını bulalım. n 1 n 1 n 1 1 np serisinin yakınsaklık durumunu inceleyelim. n 1 n 1 n n 1 2 2 n 1 serisi ıraksaktır. 1 serisi yakınsaktır. n 1 1 1 1 2 1 np i) p 1 ise 2 ii) p 1 ise np n 1 =4 Örnek: Pozitif Terimli Seriler İçin Yakınsaklık Testleri Teorem (Karşılaştırma Testi) n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 bn 1 n3 1 serisi ıraksak ise 1 serisinde p 1 olduğundan seri ıraksaktır. Örnek: bn serisi yakınsak ise an serisi de yakınsaktır. an 1 olduğundan seri ıraksaktır. 2 n 1 ii) serisinde p n2 an bn olsun. n Örnek: an ve bn pozitif terimli iki seri ve n N+ için i) 1 n 1 serisi de ıraksaktır. saktır. n 1 247 serisinde p 3 olduğundan seri yakın- ÖABT Analiz Seriler ve Yakınsaklık Testleri Örnek: Teorem (Limit Testi): an n 1 3n (n 1)! pozitif terimli bir seri ve lim n an L olsun. serisinin yakınsaklık durumunu inceleyelim. n 1 n 3n 1 3 (n 2)! lim lim 0 1 n n n 2 3n (n 1)! i) 0 L < + ve > 1 ise seri yakınsaktır. ii) L > 0 ve 1 ise seri ıraksaktır. olduğundan verilen seri yakınsaktır. Örnek: Teorem (Cauchy Kök Testi) n 2n3 1 serisinin karakterini inceleyelim. n 1 an n 1 lim n2 n n 1 ve 2 1 olduğundan verilen 2n3 1 2 pozitif terimli bir seri ve lim n an L olsun. n Bu durumda, seri yakınsaktır. i) L 1 ise Örnek: ii) L 1 ise an serisi yakınsaktır. n 1 an serisi ıraksaktır. n 1 iii) L = 1 ise şüpheli hâl vardır. n 2n3 1 serisinin karakterini inceleyelim. n 1 lim n n NOT: Şüpheli hâl durumlarında Kummer ve Raabe testleri bize yardımcı olabilir. n 1 ve 1 1 olduğundan verilen 3n2 4 3 seri ıraksaktır. Teorem (Kummer Testi) Teorem (D’alembert Oran Testi) an an1 L olsun. an pozitif terimli seri ve nlim a n 1 n n 1 pozitif terimli seri, (bn ) de pozitif terimli bir a dizi ve lim bn n bn1 L olsun. n an1 i) L < 1 ise seri yakınsaktır. i) L > 0 ise ii) L > 1 ise seri ıraksaktır. an n 1 iii) L = 1 ise şüpheli durum vardır. 248 serisi yakınsaktır. ÖABT Analiz Seriler ve Yakınsaklık Testleri 1 b ii) L < 0 ve n 1 serisi ıraksak ise an serisi de ii) L > -1 ise k 1 n an ıraksaktır. n 1 ıraksaktır. Örnek: Örnek: 1.5.9...(4n 3) 4.8.12...4n serisinin karakterini inceleyelim. n 1 n 1 2.5.8...(3n 1) serisinin yakınsaklığını inceleye3.6.9...3n lim. an 1.5.9...(4n 3) 4.8.12...(4n 4) an1 4.8.12...4n 1.5.9...(4n 1) lim an1 2.5.8...(3n 1) 3.6.9...3n an 3.6.9...(3n 3) 2.5.8...(3n 1) 4n 4 4n 1 an 1 olduğundan oran testi uygulanamaz. an1 lim bn n alarak Kummer testini uygulayalım. 3n 1 3n 3 an1 1 olduğundan şüpheli hâl vardır. Raabe an testini uygularsak bn an 4n 4 bn1 n (n 1) an1 4n 1 a 2n lim n n1 1 lim n 3n 3 a n n n 1 4n 1 a 1 lim bn n bn1 0 n an1 4 ve 1 1 b n n 1 n 2 1 3 olduğundan verilen seri ıraksaktır. n 1 (harmonik seri) ıraksak olduğundan verilen seri Teorem (İntegral Testi) ıraksaktır. (an ) pozitif terimli monoton azalan bir dizi ve f fonk- Teorem (Raabe Testi) siyonu da [1, +) aralığında monoton azalan bir an pozitif n 1 fonksiyon olsun. n N+ için a terimli bir seri ve lim n n1 1 L n a n f(n) an olsun. i) L < -1 ise an yakınsaktır. n 1 249 ÖABT Analiz Seriler ve Yakınsaklık Testleri olmak üzere, an serisinin Teorem (Leibnitz Testi): yakınsak olması için n 1 n N için + gerek ve yeter şart, n 0 an1 an ve liman 0 ise f(x)dx 1 n 1 ( 1)n1 serinin n 1 yakınsaklığını inceleyelim. dizisinin sınırlı olmasıdır. an Örnek: 1 , n N+ için an1 an ve liman 0 olan 1 cağından verilen seri yakınsaktır. 2n en 2 serisinin karakterini inceleyelim. n 1 Tanım: Terimleri an serisinin terimlerinin mutlak n 1 f(x) 2x e x 2 fonksiyonu x 1 için monoton aza- değerinden oluşan n 1 landır. Verilen seriye integral testi uygulanırsa, an serisi yakınsak ise an serisi n n 1 n x x 2x e dx e I 2 2 ve n 1 an yakınsak n 1 1 1 de mutlak yakınsaktır. an ıraksak ise bu durumda an serisi n 1 şartlı yakınsaktır. 1 1 2 e en Teorem: Mutlak yakınsak her seri yakınsaktır. 1 1 1 0 2 e en e Örnek: olduğundan verilen seri yakınsaktır. n 1 ( 1)n1 serisinin yakınsaklığını inceleyelim. n2 ALTERNE SERİLER ( 1)n1 1 2 ve n2 n Tanım: (an ) pozitif terimli bir dizi olmak üzere, 1 n2 n 1 serisi yakınsak olduğundan verilen seri de mutlak (1)n1 .an yakınsaktır. n 1 serisine alterne seri denir. 250 ÖABT Analiz Seriler ve Yakınsaklık Testleri Örnek: serisinin yakınsaklık yarıçapı, seriyi yakınsak yapan x noktalarının oluşturduğu aralığa da yakınsaklık n 1 n 1 ( 1) n aralığı denir. Yakınsaklık aralığı aşağıdaki teorem serisinin yakınsaklığını inceleyelim. yardımıyla bulunabilir. ( 1)n1 1 ve n n 1 n Teorem (Cauchy - Hadamard) n 1 n c 1 olsun. cn (x a)n kuvvet serisi ve nlim n serisi ıraksak olduğundan verilen seri şartlı yakın- n 1 saktır. i) KUVVET SERİLERİ L 0 için R 1 L olduğundan verilen seri x a R için yakınsaktır. Tanım: ii) L = 0 için R = + olduğundan verilen seri her x cn (x a)n c0 c1 (x a) c2(x a)2 ... cn(x a)n ... için yakınsaktır. n 1 şeklindeki serilere kuvvet serileri denir. iii) x a 1 ise verilen seri ıraksaktır. L c0, c1, c 2, ...,cn sayıları da kuvvet serisinin katsayı larıdır. Örnek: n 1 n 0 n 1 serisinin yakınsaklık yarıçapını ve yakınsaklık aralığını bulalım. Örnek: xn n 1 c n 1 n lim lim 1 1 n c n n n xn 1 x x 2 x 3 ... n! 0! 1! 2! 3! (x 3)n (x 3)2 (x 3)3 x 3 ... n 2 3 =1=L olduğundan serinin yakınsaklık yarıçapı R serileri kuvvet serileridir. 1 1 L dir. O halde seri x 1 ise -1 < x < 1 için yakınsak- Tanım: tır. Şimdi de verilen serinin x = -1 ve x = 1 için ya cn (x a)n kuvvet serisinin kınsak olup olmadığına bakalım. x a R için yakın- n 1 sak olduğu en büyük pozitif R reel sayısına kuvvet 251 ÖABT Analiz n 1 Seriler ve Yakınsaklık Testleri xn serisinde x = -1 alınırsa n n 1 f (x) a1 2a2 (x c) 3a3 (x c)2 4a4 (x c)3 ... ( 1)n serisi elde n f (c) a1 1!.a1 edilir. Elde edilen seri Leibnitz kriteri gereğince yakınsaktır. Dolayısıyla x = -1 yakınsaklık aralığına f (x) 2a2 3.2a3 (x c) 4.3a4 (x c)2 ... aittir. n 1 xn serisinde x = 1 alınırsa n 1 n f (c) 2a2 2!.a2 harmonik serisi n 1 f (x) 3.2a3 4.3.2a4 (x c) ... elde edilir. Bu serinin ıraksak olduğunu söylemiştik. Dolayısıyla -1 yakınsaklık aralığına dahil değildir. O f (c) 3.2.a3 6!.a3 halde verilen serinin yakınsaklık aralığı [-1, 1) dir. Örnek: n0 (x 2)n n! ………………………………….. serisinin yakınsaklık aralığını f (n) (x) n.(n 1)(n 2)...3.2.1.an bulalım. R f (n) (c) n!.an 1 1 L lim c n 1 n c n an f (n) (c) n! 1 lim n 1 n 1 olduğundan f(x) = n 0 olduğundan verilen serinin yakınsaklık aralığı (-,+ ) f (n) (c) (x c)n n! serisi elde edilir. Bu seriye c noktasında f fonksiyonu dur. tarafından üretilen Taylor Serisi adı verilir TAYLOR VE MACLAURİN SERİLERİ Burada özel olarak c = 0 alınırsa f(x) an (x c)n kuvvet serisi ve f(x), c noktasını f(0) n0 n0 içeren bir aralıkta n. mertebeden türevlenebilir olsun. f (n) (0). xn n! serisi elde edilir. Bu seriye de Maclaurin Serisi adı f(x) an (x c) n verilir. n0 f(x) a0 a1(x c) a2 (x c)2 a3 (x c)3 a4 (x c)4 ... f(c) = 0 252 ÖABT Analiz Seriler ve Yakınsaklık Testleri Örnek: f(x) = lnx fonksiyonunun x = 1 noktasında f (x) ex ise f (0) 1 ürettiği Taylor Serisini bulalım. … f(x) = lnx ise f(1) = 0 f (n) (x) ex ise f (n) (0) 1 f (x) 1 ise f (1) 1 x ex n0 1 ise f (1) 1.1! x2 f (x) f (x) ( 1).( 2) ise f (1) ( 1)2 .2! x2 n0 …………………………………………… f (n) (x) ( 1).( 2)...( n) ise f (n) (1) ( 1)n1 .(n 1)! xn1 f (n) (0) xn n! xn n! 1 x x2 ... 0! 1! 2! NOT: e 1 1 1 ... 0! 1! 2! olacağından Örnek: ln x n0 f (1)(x 1) n! (n) n n 0 n 1 n 1 n 1 ( 1) .(n 1)!.(x 1) n! 3n e3 n! n Örnek: ( 1)n1 .(x 1)n n 1 (n 2)! serisinin toplamını bulalım n 1 bulunur. 1 1 1 1 (n 2)! 3! 4! 5! n 1 Örnek: f(x) = ex fonksiyonunun Maclaurin serisini bulalım. e 1 1 1 0! 1! 2! f(x) ex ise f(0) 1 e f (x) ex ise f (0) 1 253 5 2 ÖABT Analiz KONU TESTİ 22n 5n1 1. Seriler ve Yakınsaklık Testleri 4. n0 n0 32n 23n 12n serisinin değeri kaçtır? serisinin toplamı kaçtır? A) 5 B) 10 C) 15 A) -1 D) 20 B) 0 3 serisinin toplamı kaçtır? 1 x n0 A) serisinin toplamı kaçtır? A) 3x B) x C) x 3 D) 1 E) 2 3 B) 1 1 2 5 n 1 5 B) 5 5 4 D) 3 2 E) 4 3 n(8n 5n ) 10n serisinin toplamı kaçtır? ifadesinin değeri kaçtır? 4 6. n n 1 A) C) 3 x 3. 2 n2 n E) 7 n2 1 5. x > 3 olmak üzere, D) 3 E) 25 2. C) 1 C) 5 A) 12 D) 5 5 E) 25 254 B) 16 C) 18 D) 21 E) 24 ÖABT Analiz 7. KONU TESTİ h metre yükseklikten bırakılan bir top yere her vuruşunda bir önceki düşüş yüksekliğinin Seriler ve Yakınsaklık Testleri 10. x dar açı olmak üzere, 2 ü 3 cos2n x n 1 kadar zıplamaktadır. serisinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir? Topun düşeyde aldığı toplam yol 135 metre A) cot2x olduğuna göre, h kaçtır? A) 27 8. B) 36 C) 45 D) 48 B) tan2x D) cosec2x E) 60 C) sec2x E) cos4x Kenar uzunlukları 12 ve 16 cm olan bir dikdörtgenin kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir dörtgen elde ediliyor. Aynı işlem elde 11. x R+ edilen bütün dörtgenlere uygulanarak sonsuz sayıda dörtgen elde ediliyor. Elde edilen bu dörtgenlerin çevreleri toplamı kaç cm dir? A) 112 B) 128 C) 132 D) 156 n0 E) 192 n 3 1 x 1 x 4 olduğuna göre, x kaçtır? A) 1 2 B) 2 3 C) 3 2 D) 2 E) 5 2 9. 12. 1 1 1 1 ... ... 2 24 246 2 4 6 ... 2n serisinin değeri kaçtır? Şekilde ABC dik üçgeninde AB 10 br ve A) ˆ 60o dir. m(ACB) [BH1], [H1 H2 ], [H2 H3 ], ... sonsuz sayıdaki yüksekliklerin toplamı kaçtır? A) 5 B) 8 C) 10 D) 15 E) 20 255 1 2 B) 1 C) 3 2 D) 2 E) 3 ÖABT Analiz KONU TESTİ 13. İki kişinin oynadığı zar atma oyununda zarın üst Seriler ve Yakınsaklık Testleri 16. yüzüne 3 sayısını getiren oyunu kazanıyor. Buna göre, oyuna ilk başlayanın oyunu kazanma olasılığı kaçtır? A) 1 3 B) 1 6 1 2 C) D) 1 12 E) 6 11 Şekilde m(TÂK) 60o ve bu açıyı meydana getiren kenarlara teğet olan O merkezli ve 12 cm yarıçaplı bir çember vardır. Bu çembere ve açının kollarına teğet bir çember daha çizilerek açının köşesine doğru bu işleme devam ediliyor. Elde edilen bu çemberlerin çevreleri topla 14. n2 3 2 mı kaç cm dir? n A) 18 B) 20 C) 24 D) 30 E) 36 serisinin toplamı kaçtır? A) 4 15 B) 2 5 C) 4 5 D) 2 15 E) 8 45 A 17. n 1 B n 1 1 n2 1 (2n 1)2 olduğuna göre, A ile B arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir? A) 2A = 3B 15. n n 1 B) 3A = 4B D) 5A = 6B 3 4 C) 4A = 5B E) A = B ifadesinin değeri kaçtır? A) 0 B) 3 4 C) 1 D) 4 3 E) + ln3 18. 1 2 1 ln 3 ln3 3 ... 2! 3! serisinin toplamı kaçtır? A) 1 256 B) 2 C) e D) 3 E) e3 ÖABT Analiz KONU TESTİ 1 1 1 ... 1! 3! 5! 19. 22. a pozitif terimli bir seri ve n 1 L an olsun. Bu durumda, e 1 B) 2 e 1 2e e C) 2 2 D) an n 1 serisinin toplamı kaçtır? e 1 A) 2 Seriler ve Yakınsaklık Testleri L 1 ise yakınsaktır. n 1 e 1 2e 2 E) an L 1 ise an ıraksaktır. n 1 L = 1 ise şüpheli hal vardır. Yukarıda verilen yakınsaklık testi aşağıdakiler- 20. n N için 0 an1 an ve (an ) 0 olsun. Bu den hangisidir? durumda (1)n an serisi yakınsaktır. n 1 Yukarıda alterne seriler için kullanılan yakınsak- A) Leibnitz Testi B) Cauchy Kök Testi C) Kummer Testi D) İntegral Testi E) D’alembert Oran Testi lık testi aşağıdakilerden hangisidir? A) Karşılaştırma Testi B) D’alembert Oran Testi C) Cauchy Kök Testi D) Leibnitz Testi E) İntegral Testi 21. n 1 23. an ve bn pozitif terimli iki seri pozitif n 1 L 1 için n 1 L 1 için an serisi ıraksak ise bn n 1 ve an yakınsaktır. n 1 saktır. seri a lim n n1 1 L olsun. Bu durumda, a n bir n bn serisi yakınsak ise an serisi de yakınn 1 terimli n 1 ve n N an bn olsun. an serisi de ırak- an ıraksaktır. n 1 n 1 Yukarıda şüpheli hâl durumlarında kullanılan saktır. yakınsaklık testi aşağıdakilerden hangisidir? Yukarıda pozitif terimli seriler için kullanılan yakınsaklık testi aşağıdakilerden hangisidir? A) Leibnitz Testi B) Kummer Testi A) Karşılaştırma Testi B) İntegral Testi C) Raabe Testi D) Limit Testi C) Raabe Testi D) Cauchy Kök Testi E) Cauchy Kök Testi E) D’alembert Oran Testi 257 ÖABT Analiz 24. an n 1 KONU TESTİ Seriler ve Yakınsaklık Testleri 27. Aşağıdaki serilerden hangisi yakınsaktır? pozitif terimli bir seri ve lim n an L n A) olsun. Bu durumda, n 1 an L 1 ise n 3n 1 2n 3 B) n 1 serisi yakınsaktır. D) n 1 n 1 3n n! C) n 1 1 E) n( n 1) n 1 n n2 1 n n 1 an L 1 ise serisi ıraksaktır. n 1 L = 1 ise şüpheli hâl vardır. Yukarıda verilen yakınsaklık testi aşağıdakilerden hangisidir? A) Cauchy Kök Testi B) Raabe Testi C) D’alembert Oran Testi D) Kummer Testi 28. Aşağıdaki serilerden mutlak yakınsaktır? E) Limit Testi A) n 1 ( 1)n n D) n 1 B) n 1 ( 1)n .n n 1 ( 1)n 1 3n 4 E) n 1 C) n 1 ( 1)n n2 ( 1)n (n 1) n2 2 25. Aşağıdaki serilerden hangisi yakınsaktır? A) n 1 1 1 en B) n 1 D) n3 3n n 1 C) n3 lnn E) n n 1 lnn n 1 n 29. n 1 ( 1)n n serisi ile ilgili olarak I. Alterne seridir. II. Koşullu yakınsaktır. 26. Aşağıdaki serilerden hangisi ıraksaktır? A) n2 1 n n 2 D) n 1 B) n 1 3n 2 n3 1 1 C) n n n 1 E) III. Mutlak yakınsaktır. n 1 Yargılarından hangileri doğrudur? n 2n A) Yalnız I D) I ve III ( 1)n n 258 B) Yalnız II C) I ve II E) II ve III ÖABT Analiz KONU TESTİ 30. n0 Seriler ve Yakınsaklık Testleri (x 1)n n! 33. n 1 (x 2)n n2 serisinin yakınsaklık aralığı aşağıdakilerden serisi ile ilgili olarak hangisidir? I. Yakınsaklık aralığı [-3, -1) dir. A) (-1, 1) B) [-1, 1] C) (0, 2) II. x R için yakınsaktır. E) (-, ) D) [0, 2) III. x = -3 için alterne seridir. Yargılarından hangileri doğrudur? A) Yalnız I B) Yalnız II D) II ve III 31. n0 (x 1)n n2 B) 1 2 C) 1 E) I, II ve III 34. f(x) = ex fonksiyonunun x = 1 noktasında ürettiği Taylor serisi aşağıdakilerden hangisidir? serisinin yakınsaklık yarıçapı kaçtır? A) 0 C) I ve III D) A) 3 2 n0 E) 2 xn n! n 0 D) B) n0 xn (n 1)! e C) n0 (x 1)n (n 1)! E) n0 (x 1)n n! (x 1)n n! 35. f(x) = cosx fonksiyonunun Maclaurin serisi aşağıdakilerden hangisidir? A) 32. n 1 ( 1)n x 2n (n 1)! B) ( 1)n x 2n n! D) n0 (x 2)n n 1 C) n0 serisinin yakınsaklık aralığı aşağıdakilerden D) [1, 3] n0 C) (1, 3] n0 E) B) [1, 3) n0 hangisidir? A) (1, 3) ( 1)n xn (n 1)! ( 1)n x 2n (2n)! ( 1)n xn n! E) (-, ) 259 1. E 2. C CEVAP ANAHTARI 3. B 4. C 5. D 6. C 7. A 8. E 9. C 10. A 11. D 12. B 13. E 14. A 15. A 16. E 17. B 18. B 19. D 20. D 21. A 22. E 23. C 24. A 25. A 26. A 27. B 28. C 29. C 30. E 31. C 32. B 33. C 34. C 35. D ÖABT Analiz 1. toplamının eşiti aşağıdakilerden hangisidir? serisinin toplamı kaçtır? -98 -99 A) 2 3 1n A) 98 B) 2 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + … 4. 2 n n 99 2. Seriler ve Yakınsaklık Testleri KONU TARAMA SINAVI - 16 C) 2 99 D) 2 100 E) 2 5. n 1 10 3 B) 11 3 C) 4 D) 40 9 E) 5 Bir kenarı 4 br olan bir karenin kenarları 2 1 3 n 1 oranında bölünüp bölüm noktaları birleştirilerek serisinin toplamı kaçtır? yeni bir kare elde ediliyor. Aynı işlem elde edi- A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 len bütün karelere uygulanarak sonsuz sayıda E) 18 kare elde ediliyor. Elde edilen bu karelerin alanları toplamı kaç br2 dir? A) 20 3. x 0, 4 64 3 6. n 1 tann x serisinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? B) sin x cos x sin x D) cosecx C) 36 D) 80 3 E) 128 3 n 2n 1 serisinin toplamı kaçtır? n 1 A) tanx B) A) C) cotx E) secx 260 1 4 B) 1 2 C) 1 D) 2 E) 4 ÖABT Analiz 1 7. 10. Aşağıdaki serilerden hangisi yakınsaktır? 1 1 1 2 3 ... 2 2 2 A) serisinin toplamı kaçtır? A) Seriler ve Yakınsaklık Testleri KONU TARAMA SINAVI - 16 1 2 B) 2 3 C) 1 n 1 D) 3 2 1 n B) D) n 1 1 1 1 ln 2 ln2 2 ln3 2 ... 2 6 8. B) e C) 3 A) D) e2 n 1 E) e3 n2 2n B) n 1 n 1 xn 3n 12. n 1 serisinin yakınsaklık aralığı aşağıdakilerden B) (-3, 3] D) [-3, 3] E) n 1 sinn n2 (2n)! n! 1 C) n n n 1 n2 n 1 E) n2 1 2n 3n 1 lnn n (x 3)n n3 serisinin yakınsaklık yarıçapı kaçtır? hangisidir? A) (-3, 3) n 1 D) 9. n 1 n n 1 11. Aşağıdaki serilerden hangisi yakınsaktır? serisinin toplamı kaçtır? A) 2 C) n n 1 E) 2 3n C) [-3, 3) A) E) (-, ) 261 1 3 B) 1 C) 2 D) 3 E) 6 ÖABT Analiz 13. an n 1 Seriler ve Yakınsaklık Testleri KONU TARAMA SINAVI - 16 15. (an ) pozitif terimli monoton azalan bir dizi ve pozitif terimli bir seri ve (bn ) pozitif te- f fonksiyonu da [1, ) aralığında monoton aza- a rimli bir dizi ve lim bn n bn1 L olsun. n an1 lan bir fonksiyon olsun. n N+, f(n) = an Bu durumda, L 0 için n 1 L 0 için için gerek ve yeter şart, 1 b serisi ıraksak ise an n f(x)dx se- n 1 n 1 risi de ıraksaktır. dizisinin sınırlı olmasıdır. Yukarıda şüpheli hâl durumlarında kullanılan Yukarıda verilen yakınsaklık testi aşağıdakiler- yakınsaklık testi aşağıdakilerden hangisidir? A) Raabe Testi B) Limit Testi C) Cauchy Kök Testi D) Kummer Testi den hangisidir? A) Karşılaştırma Testi B) Raabe Testi C) İntegral Testi D) Kummer Testi E) İntegral Testi an n 1 serisinin yakınsak olması n 1 an yakınsaktır. n 1 14. an olmak üzere, E) Cauchy Kök Testi 16. f(x) = sinx fonksiyonunun Maclaurin serisi aşa- pozitif terimli bir seri ve lim n an L n ğıdakilerden hangisidir? olsun. Bu durumda, 0 L ve 1 ise A) an n 0 serisi yakınsaktır. n 1 L 0 ve 1 ise C) an n0 serisi ıraksaktır. ( 1)n x 2n 1 (2n 1)! B) ( 1)n x 2n n! D) n0 n0 n 1 D) Yukarıda verilen yakınsaklık testi aşağıdakiler- n0 ( 1)n xn n! den hangisidir? A) Karşılaştırma Testi B) Raabe Testi C) D’alembert Oran Testi D) Kummer Testi E) Limit Testi 1. D 262 CEVAP ANAHTARI 2. D 3. B 4. A 5. E 6. C 7. B 8. A 9. A 10. C 11. A 12. B 13. D 14. E 15. C 16. A ( 1)n xn (n 1)! ( 1)n x 2n (2n)!