7.Konu n. dereceden Determinantların hesaplama metodları ve

7.Konu
n. dereceden Determinantların hesaplama metodları ve karakteristik kökler
7.1. Üçgen şekle indirgeme metodu
[
], nxn tipinde matris verilsin.
Bu metod, determinantın asli köşegeninin alt veya üst tarafındaki elemanlarının
tamamını sıfır hale getirmekten ibarettir. Tali köşegen halinde de satırların (sütunların)
sıraları ters çevrilmekle asli köşegen haline dönülebilir. Böylece elde edilen ve değeri,
verilen determinanta eşit olan üçgen determinant asli köşegen elemanların çarpımına
eşittir.
1.Ö.:
||
|| determinantı hesaplayınız.
Çözüm: D determinantının1.satırının -1 katını diğer satırlara eklediğimizde,
||
||
2.Ö.:
|
|
| determinantı hesaplayınız.
|
Çözüm: D determinantının1.satırının -1 katını diğer satırlara ekleyelim. O zaman
|
|
|
|
1
{
Şimdi
…, n,sütundan
} için
olmak üzere 1.sütundan
çarpanını determinantın dışına çıkaralım.
|
|
Bu defa da
, 2.sütundan
|
|
,
elde edilir.
koyup, diğer sütunları 1.sütuna ekleyelim. O zaman
∑
|
|
|
(
|
∑
) elde edilir.
7.2. Lineer çarpanları ayırma metodu
Bu durumda determinant, bir veya daha çok sayıda harf bileşenin bir polinomu
olarak dikkate alınır.
Determinant, lineer çarpanların bir serisi ve dolaysıyla lineer çarpanların çarpımı
ile bölünebilen bir ifade dönüştürülür. Determinantın ayrılmış terimleriyle lineer
çarpanların çarpımı şeklindeki terimlerin karşılaştırmasından determinantın bu bölüme
çarpımı bulunur. Böylece, determinantın aranan ifadesine ulaşılır.
3.Ö.:
|
| determinantı hesaplayınız.
Çözüm:
D determinantın diğer bütün sütunları 1.sütuna ekleyerek
|
|
|
ile bölünebilen
| determinantını alırıs.
Bu determinantın 1.sütununa 2.sütununu ekleyip 3. ve 4.sütunları çıkararak
ile bölünebilen
2
|
|
|
| determinantını
alırıs.
Bu determinantın 1.sütununa 3.sütununu ekleyip 2. ve 4.sütunları çıkararak
ile bölünebilen
|
|
|
| determinantını alırıs.
Bu determinantın 1.sütununa 4.sütununu ekleyip 2. ve 3.sütunları çıkararak
ile bölünebilen
|
| determinantını alırıs.
Burada, x,y ve z’yı bağımsız değişkenler olarak gördüğümüzde bu dört determinantın
ikişer ikişer aralarında asal bulundukları ve dolaysıyla
çarpımına bölünebildiğini anlarız. Bu çarpım
terimini ihtiva ederken
determinantın kendisi terimini ihtiva eder. Böylece,
D=sonucu elde edilir.
4.Ö.: Vandermonde determinantı
|
|
|
|
Çözüm:
determinantını
katsayılarına bağımlı birtek
polinomu olarak göz önüne aldığımızda
için
olduğunu görürüz. Böylece,
bilinmeyeninin bir
determinantının
ile bölünebildiği anlaşılır. Bu çarpanların hepsi,
bağımsız bulunduklarından aralarında asaldırlar. Bu sebeple
‘ler cebirsel olarak
determinantı,
çarpımına bölünebilir. Yani,
determinantını son satıra göre açtığımızda,
olduğunu ve
in katsayısının ,
3
. (1)
‘nin (n-1).dereceden bir polinomu
bilinmeyenlerinin
Vandermonde determinantı bulunduğunu görürüz. Çünkü (1) eşitliğin sağ tarafındaki
parantezlerin çarpımı
terimin katsayısı 1 olarak elde edilir ve
polinomu
bilinmeyeni ihtiva etmez. Eşitliğin iki tarafındaki
terimin katsayılarını mukayese ederek
olduğunu
anlarız ki (1) eşitliğinden
sonucunu çıkarırız. Bu eşitlikte n yerine n-1 koymakla
eşitliğe sahip oluruz. Bu sonucu (1) eşitliğinde göz önüne alır ve bunu yeteri kadar
tekrarlarsak
çarpanı ayırarak 1.dereceden Vandermonde determinantını
olduğunu görürüz. Böylece,
∏ (
)
sonucuna ulaşırız.
7.3. İndirgenme Bağıntıları metodu
Bu metod, verilen determinantı, bir satır veya sütun cinsinden açmaktan ve
böylece onu aynı tipten fakat daha düşük dereceden determinantlar cinsinden ifade
etmekten ibarettir.
Şimdi p ve q, n’den bağımsız sabitler olmak üzere
(2)
şeklinde bir indirgenme bağıntısına sahip bulunduğunu farz edelim.
q=0 için
için
da
denklemin kökleri olsun.
O zaman
ve
olur.
(2) denklemi
veya
şeklinde yazılabilir.
İlk
duruma bakalım.
ve
.
Şimdi
duruma bakalım.
olur.
(3)
n in yerine n-1 koymakla
elde edilir
4
Bu ifadeyi (3) eşitliğe koyarak
eşitiliği verir.
Bunu birçok defa tekrarlayarak
sonucu elde edilir. Burada
5.Ö.:
|
|
|
|
Çözüm:
determinantını 1. satıra göre açılım yaparak
indirgenme bağıntısını buluruz.
7.KONU: Ödevler
1.
2.
3.
4.
Elemanları
|
|
|
| ile verilen n. dereceden determinantı hesap ediniz.
| determinantı hesaplayınız.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
determinantı hesaplayınız.
determinantı hesaplayınız.
5
||
5.
6.
|
7.
| determinantı hesaplayınız.
|
|
|
|
||
8.
9.
|| determinantı hesaplayınız.
||
|
10.
| determinantı hesaplayınız.
|
|
| determinantı hesaplayınız
|
6