TÜREV VE YEREL EKSTREMUM NOKTALARI

TÜREV UYGULAMALARI − 3
( TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU, FİZİKSEL YORUMU, DEĞİŞİM HIZI VE DEĞERLENDİRMELER )
TÜREV VE YEREL EKSTREMUM
NOKTALARI
f'
x0
x
y=f(x)
f(x1)
Ş e k l i i n c e l e yi n i z.
Mutlak maksimum:
f nin alabileceği
x=b de yerel
en büyük değer.
maksimum
Ayrıca x=d de
vardır. Bu nokta yerel maksimum
Civarında daha
vardır.
buyük değer
yoktur.
Mutlak minimum:
y=f(x)
f nin alabileceği
en küçük değer.
Ayrıca x=a da
yerel minimum
yerel minimum
vardır.
a
b
c
d
www.matbaz.com
ε x ε
1
b
f fonksiyonu uç
noktalarda
ekstremumlara
sahiptir.
x
x0
f fonksiyonun da
(x0 ,f(x0)) noktası
yerel maksimum
noktasıdır.
a
b
(a,b) aralığında tanımlanan f fonksiyonun da
f(a) ve f(b) tanımlı olmadığı için yerel ekstremum noktaları yoktur.
f'<0
f'=0
f'=0
x
x
a
<0
min.
f'=0
B e n ze r b i r d ü ş ü n c e yl e x 1  ( a , b ) o l m ak
ü ze r e y= f ( x ) f on k s i yo n u
( x 1 −  , x 1 +  ) a r a l ı ğ ı n d a e n k üç ü k d e ğ e r i n i
x 1 n o k t a s ı n d a a l ı yo r s a f on k s i yo n u n b u
n o k t a d a ye r e l m i n im u m u v a r d ı r d e n i r.
y
Ş e k l i i n c e l e yi n i z.
f fonksiyonun da
(x0 ,f(x0)) noktası
yerel ekstremum
noktası değildir.
f'
y=f(x)
f fonksiyonun da
(x0 ,f(x0)) noktası
yerel maksimum
noktasıdır.
<0
x
f fonksiyonun da
(x0 ,f(x0)) noktası
yerel minimum
noktasıdır.
x
x
f'
Max.
f'=0
<0
x0
x0
f fonksiyonun da
(x0 ,f(x0)) noktası
yerel maksimum
noktasıdır.
f'>0
f'
x
x0
y
0
>0
x
f : A→B, y=f (x) s ü r e k l i f o nk s i yo n u
v e r i l s i n . x 0  ( a , b ) o l m ak ü ze r e f f o n k s i yo n u ( x 0 −  , x 0 +  ) a r a l ı ğ ı n d a e n b ü yü k
d e ğ e r i n i x 0 n ok t a s ı n d a a l ı yo r s a f o nk s i yo n u n b u n ok t a d a ye r e l m ak s i m um u
v a r d ı r d e n i r. Ş ek l i i n c e l e yi n i z .
Ye r e l m ak s i m u m
v e ya ye r e l m i n i m um a k ı s a c a ye r e l
e k s t r e m um d e n i r.
<0 f' >0
f'
YEREL MAKSİMUM VE YEREL MİNİMUM:
MİNİMUM:
Ya n d a k i ş ek i l d e x 0 ı
içine alan bir aray=f(x)
f(x0)
l ık t a f (x o )
değerinden daha
b ü yü k b i r g ö r ü n t ü ye
ε
ε
sahip değer
bulunmadığından
x0
0
f ( x o ) d e ğ e r i ye r e l
m a k s i m u m v e x o n ok t a s ı ye r e l
m a k s i m u m n o k t a s ı n ı n a p s i s i d i r.
f'
>0
x
x0
f fonksiyonun da
(x0 ,f(x0)) noktası
yerel minimum
noktasıdır.
TEOREM 1 : SÜREKLİ FONKSİYONLAR İÇİN
EKSTREMUM DEĞER TEOREMİ
f : A⊂ℝ→ℝ, y=f (x) s ü r ek l i b i r f on k s i yo n
i s e f f o n k s i yo n u A d a m ak s im um v e
m i n im um d e ğ e r l e r i n e s a h i p t i r.
x=e de
yerel minimum
vardır.
x
e
TEOREM 2
E ğ e r f f o n k s i yo n u c g i b i b i r n ok t a d a
ek s t r em u m d e ğ e r i n e s a h i p v e yi n e b u
n ok t a d a t ü r e v l e n e b i l i yo r s a f ı ( c ) = 0 o l u r.
İSPAT
c n ok t a s ı i ç i n f on k s i yo n m ak s im um
f(x)−f (c)
d e ğ e r i n i a l s ın f '(c)=lim
ve
x→c
x−c
+
b u r a d a x→c ik e n x − c> 0 , f (x ) − f ( c )< 0
f(x)−f (c)
⩽0 v e
o l a c a ğ ı n d a n f '(c)=lim
x→c
x−c
−
x→c ik e n x − c< 0 , f (x ) − f ( c )< 0
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
1/4
TÜREV UYGULAMALARI − 3
( TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU, FİZİKSEL YORUMU, DEĞİŞİM HIZI VE DEĞERLENDİRMELER )
Örnek...3 :
f(x)−f (c)
⩾0 o l u r
x→c
x−c
b u e ş i t s i zl i k l e r e g ö r e f ı ( c ) = 0 o lm a l ı d ı r.
olacağından ,
f '(c)=lim
x
f on k s i yo n u n
3−4x
e k s t r e m um n ok t a l a r ın ı b u l u n u z ?
f : ℝ→ℝ , y= f(x)=
UYARI:
UYARI:
B i r f on k s i yo n u n b i r n ok t a d a t ü r e v i n i n 0
o l m a s ı f o nk s i yo n u n o n o k t a d a
e k s t r e m um a s a h i p o lm a s ı n ı g e r e k t i r m e z.
KRİTİK NOKTA
Örnek...4 :
f (x ) = y= x 5 + 4 x ² + a x− 3 f on k s i yo n u n x= 2 d e
e k s t r e m um u v a r s a a n e o l m a l ıd ı r ?
Yerel
maksimum
Ekstremum
YOK
Mutlak
minimum
a
f' >0
Mutlak maksimum
Ama Türev YOK
f'=0
y=f(x)
f'<0
f'>0
f'=0
f'=0
f' >0
x1
x2
Ekstremum
YOK
f'<0
f'=0
Yerel
minimum
f'<0
Yerel
minimum
x3
x4
x
x5
b
www.matbaz.com
x 0 , f f on k s i yo n u n t a n ı m k ü m e s i n i n b i r
e l e m a n ı v e f ı ( x 0 ) = 0 o l u yo r s a v e ya f ı ( x 0 )
yo k s a x = x 0 k ri t i k n o k t a a d ı n ı a l ı r. S ı n ı r l ı
b i r a r a l ı k t a t a n ı m l ı n ok t a l a r i ç i n s ı n ı r
d e ğ e r l e r i d e ek s t r em u m i ç i n m ut l a k a
a r a ş t ı r ı lm a l ı d ı r.
G e n e l o l a r ak y= f ( x ) f o nk s i yo n u
e k s t r e m um d e ğ e r l e r i n i u ç n o k t a l a r d a
v e ya k ri t i k n o k t a l a r d a a l ı r.
Örnek...5 :
f : ℝ→ℝ , y= f(x)=x 3+mx2 +nx−2 f on k s i yo n u x= 0
d a m ak s im um , x= 1 d e m i n im um d e ğ e r i n e
s a h i p s e (m , n ) ik i l i s i n i b u l u n u z ?
Örnek...1 :
3
f : ℝ→ℝ , y= f(x)=x −3x +2 f o nk s i yo n u n
ek s t r em u m n o k t a l a r ı n ı b u l u n u z?
Örnek...6 :
f : [3,2]→ℝ , y=f(x)=3x2−24 f on k s i yo n u n u n
m ak s i m u m d e ğ e r i n i b u l u n u z ?
Örnek...2 :
f ( x )= y= 3 x 4 − 1 6 x ³ + 2 4 x ² f o nk s i yo n u n e k s t r e m um
n ok t a l a r ı n ı b u l u n u z?
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
Örnek...7 :
f : ℝ→ℝ , y= f(x)=x 3−3x2 +6x+2 v e r i l i yo r.
y=f '(x) f o nk s i yo n u n u n m i n im um d e ğ e r i n i
b u l u n u z?
2/4
TÜREV UYGULAMALARI − 3
( TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU, FİZİKSEL YORUMU, DEĞİŞİM HIZI VE DEĞERLENDİRMELER )
Örnek...8 :
Örnek...13 :
y
G r af ik y= f ( x ) f o nk s i yo n u n a a i t t i r. B u n a
g ö r e f on k s i yo n u n
ye r e l ek s t r e m u m
n ok t a l a r ı n ı n a p s i s - −4
l e r i n i n ç a r p ım ı
kaçtır?
f : ℝ→ℝ , y= f(x)=∣x∣ f o nk s i yo n u n u n ye r e l
e k s t r e m um d e ğ e r i n e d i r ?
y=f(x)
2
x
2
−2 0 1
5
3
Örnek...14 :
2
f : [−2,4 ]→ℝ , y= f(x)=x∣x −1∣+2x f o nk s i yo n u n u n
m ut l a k m ak s im um v e m i n im um d e ğ e r l e r i
nedir?
Örnek...9 :
y
y=f ´(x)
2
Örnek...10 :
3
5
Örnek...15 :
y
Türevinin grafiği
ş ek i l d ek i g i b i o l a n
y= f ( x ) f o nk s i yo n u n u n ye r e l m ak s im um n ok t a s ı n ı n
apsisi nedir?
x
2
−2 0 1
y=f ´(x)
x
A(−3,0)
B(4,0)
www.matbaz.com
G r af ik y= f ı ( x ) f o nk s i yo n u n a a i t t i r. B u n a
g ö r e f on k s i yo n u n
ye r e l ek s t r e m u m
n ok t a l a r ı n ı n a p s i s - −4
lerini belirtiniz?
3
f : ℝ→ℝ , y= f(x)=x 3+ x2−6 x+1 f o nk s i yo n u v e
2
y= k f o n k s i yo n u h a n g i k d e ğ e r l e r i i ç i n 3 f ar k l ı
noktada kesişir?
Örnek...16 :
Örnek...11 :
y= f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + n f o n k s i yo n u n u n g r af i ğ i x
ek s e n i n i 3 n o k t a d a k e s i yo r s a m n i n k aç f ar k l ı
t am s a yı d e ğ e r i v a r d ı r ?
f : ℝ→ℝ , y= f(x)=x 3+mx2 e ğ r i s i n e y= − 3 x + 2
doğrusuna paralel olacak şekilde sadece bir
t e ğ e t ç i zi l e b i l i yo r s a m k a ç t ır ?
Örnek...17 :
Örnek...12 :
3
2
f : ℝ→ℝ , y= f(x)=x −3x +mx+n f o nk s i yo n u n
t e r s i v a r s a e n k üç ü k m t a m s a yı s ı k a ç t ı r ?
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
f : [0,2 π ]→ℝ, f (x ) = s i n 2 x + 2 c o s x f o nk s i yo n u n u n
ye r e l m ak s im um n ok t a s ın ın a p s i s i n e d i r ?
3/4
TÜREV UYGULAMALARI − 3
( TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU, FİZİKSEL YORUMU, DEĞİŞİM HIZI VE DEĞERLENDİRMELER )
DEĞERLENDİRME
y=f(x) fonksiyonu
veriliyor. f(x) fonksiyonunun yerel
ekstremum noktalarının apsislerini
belirleyiniz.
y
f : ℝ→ℝ , y= f(x)=x∣x∣ fonksiyonunun yerel
ekstremum değeri var mıdır?
6)
f : ℝ→ℝ , y=f(x)= mx3−3x2+x+n fonksiyonun tersi
yoksa m kaçtır?
y=f(x)
4
x
5
−3
6 7
1
−2
2)
f : ℝ→ℝ , y= f(x)=x 5−4x2 +mx+2 fonksiyonu x=1
de ekstremuma sahipse m kaçtır?
3)
y=f'(x) fonksiyonu
veriliyor. f(x) fonksiyonun yerel
minimum
noktasının apsisini
belirleyiniz.
y
B(1,4)
y=f ´(x)
3
x
−1
5
7
9
www.matbaz.com
1)
5)
2
7)
f : ℝ→ℝ , y= f(x)= x +mx+2 yerel ektremum
x+3
değerleri çarpımı 4 ise m kaçtır?
A(6,−4)
4)
f : [−2,3 ]→ℝ , f(x)=y=x²+8x+1 fonksiyonun mutlak
maksimum ve mutlak minimum noktalarını
bulunuz?
12. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
4/4