hafniyum izotoplarının kuadrupol momentlerinin hesaplanması

I. ULUSAL PARÇACIK HIZLANDIRICILARI ve UYGULAMALARI KONGRESi
25-26 EKiM 2001, TAEK, ANKARA
166-180
Hf İZOTOPLARININ KUADRUPOL MOMENTLERİNİN
HESAPLANMASI
Filiz ERTUĞRAL*, Ekber GULİYEV**, Ali KULİEV*
**
*Sakarya Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü, 54100, Adapazarı
Ankara Üniversitesi Mühendislik Fakültesi, Fizik Müh. Bölümü, 06100 Tandoğan, Ankara
ÖZET
Bu çalışmada 166-180Hf izotop zinciri çekirdeklerinin kuadrupol momentleri süperakışkan model
çerçevesinde Woods-Saxon potansiyeli baz alınarak hesaplandı. Çalışmalar kuadrupol momentlerinin ve
β 2 deformasyon parametrelerinin teorik olarak hesaplanmış değerlerinin uygun deneysel verilerle uyum
içinde olduğunu gösterdi. Heksadekapol deformasyonun kuadrupol momentlerine katkısının incelenen tüm
izotoplar için 0.05 barn’ dan küçük olduğu gözlendi.
Anahtar Kelimeler: Kuadrupol momentler, süperakışkan model, deformasyon parametreleri, E(2) geçişleri,
Hf.
Kuadrupol momentleri, atom çekirdeklerinin
önemli
niteliklerinden
biridir.
Kuadrupol
momentlerinin teorik hesaplanmış değerleri uygun
deneysel verilerle karşılaştırılarak çekirdek
modellerinin test edilmesinde çok önemli bilgiler
vermektedir. Kuadrupol momentleri mikroskobik
ve
fenomenolojik
metotlarla
hesaplanır.
Fenomenolojik hesaplamaların esas noksanı
çekirdek seviyelerinin yapısı hakkında bilgi
vermemesidir. Çekirdek yapısının incelenmesinde
shell modeli baz alan hesaplamalarda kullanılan
ortalama alan potansiyellerinin parametrelerinin
tespitinde fenomenoloji yaklaşımdan farklı olarak
mikroskobik yaklaşım çok başarılı ve bilgi verici
olmuştur. Deforme çekirdeklerin varlığı deneysel
kuadrupol momentlerinin deneysel değerlerinin
tek parçacık shell modelin ön gördüğü kuadrupol
momentlerinden 1-2 mertebe büyük olması
sonucu ortaya çıkmıştır. Çekirdeğin mikroskobik
modelleri içerisinde en verimli ve kullanışlı olanı
tek parçacık modelini baz alan süperakışkan
modeldir [1]. Bu model çerçevesinde iyi deforme
nadir
toprak
elementlerinin
kuadrupol
momentlerinin sistematik olarak hesaplanması
Nilsson ortalama alan potansiyelinde çalışma [2,3]
de yapılmıştır. Son zamanlarda elementlerin
kararlılık bölgesinden uzakta yerleşen yeni
deforme bölgelerinin keşfi, nötronu zengin ve
nötronu eksik olan egzotik çekirdeklere olan ilgiyi
arttırmıştır [4]. Bundan dolayı bu çekirdeklerin
yapısının, yarı ömürlerinin veya diğer başka
özelliklerinin incelenmesinde ortalama alan
potansiyelindeki
parametrelerin
doğru
belirlenmesi çok önemlidir. Geniş kütle sayısı
aralığında, 166-180Hf izotop zinciri için hafif ve
ağır çekirdekler yukarıda sözünü ettiğimiz egzotik
çekirdeklerdendir. Günümüzde bu çekirdeklerin
kuadrupol momentleri elektrik kuadrupol (E2)
geçiş ihtimallerinin ölçülmesiyle deneysel olarak
bulunmuştur. Fakat bu çekirdekler teorik olarak
yeterince
incelenmemiştir.
Yegane
teorik
hesaplamalar Samaryum izotop zinciri için [5,6]
yapılmıştır.
Bu makalede bizim iki hedefimiz vardır: Birinci
hedefimiz incelenen Hafniyum izotoplarında
elektrik kuadrupol geçiş ihtimallerinin
ve
kuadrupol
momentlerinin
[7]
deneysel
değerlerinden yararlanarak her bir izotop için
bireysel olarak çekirdek biçimini karakterize eden
β 2 deformasyon parametresini belirlemek ve
daha sonra bu parametrelerin yardımıyla
süperakışkan model çerçevesinde kuadrupol
momentlerini teorik olarak hesaplamaktır. İkinci
hedefimiz ise kuadrupol momentlerinin bilinen
değerlerinden [7] yararlanarak kullandığımız
model
çerçevesinde
166−180
Hf
izotop
zincirindeki çekirdekler için β 2 parametrelerini
fit etmek ve bu yolla bulunan değerleri uygun
deneysel değerlerle karşılaştırmaktır. Elektrik
kuadrupol geçiş ihtimali B (E 2) ’ nin deneysel
değerleri çekirdek modellerinden bağımsız
olduklarından
dolayı
β2
deformasyon
parametresinin tespiti için çok önemlidir.
Çekirdekte üniform elektrik yük dağılımına karşı
gelen kuadrupol moment
3
Q0 =
ZR 02 β 2 (1 + 0.36 β 2 )
5π
(1)
modelin temel denklemlerinin yardımıyla nötron
ve proton sistemleri için ayrı ayrı sayısal olarak
bulunur. Bu denklemler şu şekildedir.
Z çekirdek deki
proton sayısı, R0 ise çekirdek yarıçapıdır ( R0 =
şeklinde ifade edilir [1]. Burada
1
1
=∑ ,
G
s εs
1/3
1.2A fm).
Aksial simetrik deforme çekirdeklerin kuadrupol
momenti ile bu çekirdeklerin spini ve paritesi
I π = 2+
olan en düşük enerjili dönme
seviyesinin temel halden uyarılma ihtimali
B (E 2) arasında çok sade bir bağıntı vardır [8].
Q0 =
Burada
16π
5
B ( E 2)
e2
(2)
e protonun elektrik yüküdür.
Mikroskobik hesaplamalara göre süperakışkan
modelde [1] çekirdeğin kuadrupol momentleri
nötron ve proton sistemlerinin kuadrupol
momentlerinin toplamına eşittir.
Q0 = Q0n + Q0p
(3)
burada
Q0n = 2∑ s r 2Y20 s v s2
Q = 2∑ ν r Y20 ν v
2
p
0
ν
Bu formüllerde
s
(4)
2
ν
çekirdeğin tek parçacık
modelinde aksial simetrik ortalama alan
potansiyelinde hareket eden parçacığın dalga
fonksiyonu, s ise ortalama alandaki kuantum
sayıları kümesini ifade etmektedir. Buradaki iki
çarpanı, enerji seviyelerinin toplam açısal
momentumunun z bileşeninin çekirdek simetri
ekseni yönünde iki kat yozlaşmasından dolayı
meydana gelmiştir. Süperakışkan modelde
seviyelerin doluluk ihtimali
1 E −λ 

vs2 = 1 − s
ε s 
2
(5)
şeklinde ifade edilir.
Burada
εs =
(E s − λ )
2
2
+∆
nükleonların
E s ise uygun ortalama
alan enerjileridir. ∆ ve λ sırası ile süperakışkan
kuasiparçacık enerjileri,
modelin
gap
ve
kimyasal
potansiyel
parametreleridir. Bu parametreler süperakışkan
(6)
s
Nümerik
hesaplamalar
deformasyon
β2
parametrelerinin (1) ve (2) yardımıyla elde
edilmiş deneysel değerlerinden yararlanarak
166−180
Hf
izotopları için yapılmıştır. Tek
parçacık enerjileri, deforme Woods-Saxon
potansiyelinde [9] hesaplanmıştır. Nötron ve
protonlar için potansiyel kuyuların dibinden 6
MeV ’e kadar ( N = 2 ÷ 7 kabukları) tüm
diskret ve kuasidiskret enerji seviyeleri göz önüne
alınmıştır. Tek parçacık modelde Shrödinger
denkleminin çözülmesinde kullanılan ortalama
alan deformasyon parametresi δ 2 ile β 2
arasındaki ilişkiyi gösteren ifade A.Bohr ve
B.Mottelson tarafından verilmiştir [8].
 4π 2  a  2 
 0   + 0.34 β 22
δ 2 = 0.945 β 2 1 −
3  R0  


Bu
s
N = 2∑ v s2
ifadede
a0
çekirdek
yüzey
kalınlık
parametresi olup kullandığımız potansiyel için
0.53 fm ’dir. Yukarıdaki formülü biraz daha
düzenlersek
[
]
δ 2 = 0.945β 2 1 − 2.56 A −2 3 + 0,34 β 22
(7)
şeklinde yazabiliriz.
Süperakışkan teorisinin GN ve GZ etkileşme
sabitlerine
[1]
karşı
gelen
∆ ve λ parametrelerinin (6) denklem sistemleri
yardımıyla hesaplanmış değerleri Tablo.1’de
verilmiştir. Çalışma [7] de β 2 parametresinin
deneysel değerleri (1) formülünde β 2 içeren
terim ihmal edilerek hesaplanmıştır. Fakat bu
yaklaşım β 2 << 1 değerleri için doğrudur. Buna
2
göre β 2 parametresinin çalışma [3] deki değerleri
gerçek değerlerden fazladır. Bundan dolayı
nümerik hesaplamalar deformasyon parametresi
için (1) formülünden bulunan β 2exp
deneysel
değerler kullanılarak yapılmıştır.
166−180
Hf izotop zinciri için (4) formülü
kullanılarak kuadrupol momentlerinin teorik
olarak hesaplanan değerlerinin A kütle sayısına
bağlı olarak değişmesi Şekil.1’de gösterilmiştir.
Burada mukayese için kuadrupol momentlerinin
uygun deneysel değerleri [7] de gösterilmiştir.
Şekilden görüldüğü gibi kuadrupol momentleri
için teorinin verdiği sonuçların A kütle sayısına
göre değişmesi deney sonuçlarıyla uyum
içindedir. Not edelim ki 166 Hf izotopu için teori
ile deneyin uyuşmazlığının esas nedeni çalışma
[7] de kuadrupol momentinin hesaplanmasında
kullanılan varsayımın geçersiz olmasıdır. Yani
dolu kabuklara yakın çekirdeklerde en düşük
enerjili 2+ seviyelerinin rotasyon karakterli olması
varsayımı sakıncalıdır.
Tablo 2’de kuadrupol momentlerinin deneysel
verilerinin fit edilmesiyle elde edilen β 2 ve δ 2
parametrelerinin değerleri uygun deneysel
değerlerle karşılaştırılmıştır. Burada mukayese
için β 2 parametresinin çalışma [7] de verilmiş
Sonuç olarak bu çalışmalar süperakışkan modelin
kararlılık bölgesinden uzakta yerleşen deforme
çekirdeklerin de
kuadrupol momentlerinin
deneysel değerlerini
başarıyla açıklamakta
olduğunu gösterdi. Deformasyon parametresinin
teorik olarak fit edilmiş değerleri elektrik
kuadrupol geçişlerden elde edilmiş deneysel
değerlerle uyum içerisinde olup çekirdek yapısının
incelenmesinde daha sonraki çalışmalarda
kullanılacaktır.
TABLOLAR
Çekirdek
∆n
λn
∆p
λp
166
72
Hf
0.966
-6.515
0.879
-4.143
168
72
Hf
1.069
-6.069
0.879
-3.911
değerleri de β R olarak gösterilmiştir. Deneysel
hatalar çerçevesinde teori ile deney sonuçlarının
uyum içinde olduğu görülmektedir. Not edelim ki
β 2 veya δ 2 parametrelerinin teorik olarak fit
edilmiş bu değerleri gelecekte nadir toprak
elementlerinde yapılacak hesaplamalarda gerekli
olacaktır.
170
72
Hf
0.862
-5.598
0.75
-4.382
172
72
Hf
1.172
-5.163
0.879
-5.062
174
72
Hf
0.69
-4.631
0.75
-5.335
176
72
Hf
0.655
-4.139
0.75
-6.098
178
72
Hf
0.72
-3.664
0.75
-6.412
Deforme çekirdeklerin Coulomb uyarılma
deneylerinde incelenmesi bu çekirdeklerde
kuadrupol deformasyonundan başka heksadekapol
deformasyonunda olduğunu göstermiştir [10,11].
Bu deformasyona karşılık gelen β 4 deformasyon
180
72
Hf
0.69
-3.254
0.75
-7.064
parametresinin sayısal değeri,
uygun β 2
değerinden bir mertebe daha küçüktür. Şunu da
belirtelim ki kütle sayısı 150 ≤ A < 190
aralığında yerleşen çekirdekler için bu aralık
başlangıcında β 4 pozitiftir, A ’nın artmasıyla
β 4 azalır ve aralığın sonundaki çekirdekler için
hatta işaretini de değiştirir.
Çalışmamızda kuadrupol momentlerinin β 4
parametresinin [10]’ da ki deneysel verilerinden
yararlanarak hesaplanmış değerleri Tablo.3 de
gösterilmiştir. Burada kuadrupol momentlerinin
β 4 = 0 haline karşı gelen değerleri de
gösterilmiştir.
Tablodan
görüldüğü
gibi
heksadekapol deformasyonun göz önüne alınması
kuadrupol momentlerinin teorik değerlerini
belirgin bir şekilde etkilemiyor. Heksadekapol
deformasyonun kuadrupol momentine katkısı
incelenen tüm izotoplar için 0.05 barn dan
küçüktür.
Tablo 1 166-180Hf izotoplarının süperakışkan
modelde gap ve kimyasal potansiyel
parametreleri (MeV birimlerinde)
Şekil 1 Çift çift
166-180
Hf izotoplarının kuadrupol momentlerinin teorik ve deneysel değerlerinin A kütle
sayısı ile değişimi. Burada ◊ deneysel değerlere, • teorik değerlere ve Ι ise deneysel hata aralığına karşı
geliyor.
Çekirdek
β R [7]
β 2exp
β 2th
δ 2exp
δ 2th
166
72
Hf
0.249
0.2308
0.0957
0.2172
0.0857
168
72
Hf
0.274
0.2479
0.2479
0.2349
0.2349
170
72
Hf
0.296
0.2648
0.3603
0.2525
0.3554
172
72
Hf
0.274
0.2479
0.2445
0.2352
0.2317
174
72
Hf
0.284
0.2563
0.3062
0.2441
0.2968
176
72
Hf
0.2953
0.2731
0.3777
0.2618
0.3754
178
72
Hf
0.2803
0.2563
0.295
0.2444
0.2852
180
72
Hf
0.2733
0.2479
0.2631
0.2358
0.2516
Tablo 2 Kuadrupol deformasyon parametrelerinin teorik ve deneysel verileri. Burada β 2exp , δ 2exp
değerleri (1) formülünün yardımıyla hesaplanmış , β 2th ve δ 2th değerleri ise kuadrupol momentlerinin fit
edilmesiyle bulunmuştur. β R deformasyon parametresi çalışma [7] de verilmiş (1) formülündeki
içeren terim ihmal edilerek hesaplanmış deneysel değerlerdir.
β 22
Çekirdek
β 2th
δ 2th
Qth(barn)
Qth (barn)
β 4 = −0.02 β 4 = 0
166
72
Hf
0.0957 0.0857
5.868
5.89
168
72
Hf
0.2479 0.2349
6.542
6.561
170
72
Hf
0.3603 0.3554
7.032
7.072
172
72
Hf
0.2445 0.2317
6.622
6.641
174
72
Hf
0.3062 0.2968
6.92
6.95
176
72
Hf
0.3777 0.3754
7.235
7.28
178
72
Hf
0.295
0.2852
6.936
6.961
180
72
Hf
0.2631 0.2516
6.813
6.836
Tablo 3 Kuadrupol momentlerinin heksadekapol
deformasyonun katkısıyla hesaplanmış değerleri.
KAYNAKÇA
[1] V.G.Soloviev Theory of Complex Nuclei,
Pergoman Press, New York, 1976
[2] D.A.Arseniev et al. Nucl. Phys.A 126 (1969) 15
[3] D.A.Arseniev et al.Nucl.Phys.A139 (1969) 269
[4] J.L.Wood et al. Phys.Rep.215 (1992)101
[5] B.Nerlo-Pomorske and B.Mach Atomic Data and Nuclear
Data Tables (1995)287
[6] N.Benhamaouda et al. Nucl.Phys.A 690 (2001) 219
[7] S.Raman et al Atomic Data and Nuclear Data Tables v.36
(1987) 1
[8] A.Bohr and B.Mottelson, Nuclear Structure, vol.1
Benjamin, New York, Amsterdam, 1969
[9] M.Cerkaski et al.Phys.Letter.B70 (1977) 9
J.Dudek et al.Nucl.Phys.A412 (1984) 61
[10] D.L.Hendrie et al. Phys.Lett.26B (1968) 127
[11] K.A.Erb et al., Phys.Rev.Lett. 29 (1972) 101