f-geo-çember - ahmet elmas

ÇEMBER
ÖRNEK:
Düzlemde verilen bir noktadan, verilen
uzaklıkta bulunan bütün noktaların
kümesine çember denir.
Verilen nokta merkez,
verilen uzaklık yarıçaptır.
ABCD kare. A ve B merkezli çemberler
B,D ve A,C noktalarından geçiyor.
Kesim noktaları olan P nin AB den
uzaklığı kaç cm.dir?
ÇÖZÜM:
|AP|=|PB|=|AB|=8
APB eşkenar üçgen.
Ç={P : OP  r , O, r st, }
h=
a 3 8 3

4 3
2
2
ÖRNEK:
O merkezli çemberin verilen bir
P noktasına en yakın noktası A,
en uzak noktası B dir.
Y.G: BDE , DEA , AEC ikizkenar üçgen.
Y:22o
ÖRNEK:
Y.G: OEC , DOE ikizkenar üçgen.
Y:16o
- 106 -
DOĞRU VE ÇEMBER:
( AO  PD )
Doğru ile çemberin ortak noktası yoktur.
ÖRNEK:
!!! Teğet, yarıçapa değme noktasında
diktir.
ÇÖZÜM:
|OB|=|OC|=|OP|=5
OCD dik üçgeninde
2
2
2
|DO| =10 +5
Pisigor
teo.
|DO|=5 5
|DP|=5 5 -5
ÖRNEK:
|AH|=|HB|
Merkezden kirişe inilen dikme,
kirişi ve bu kirişin yaylarını ortalar.
ÇÖZÜM:
|AP|=13 ,
|AT|=13-x
,
Merkezden eşit uzaklıktaki kirişler
eş, eş kirişlerin yayları da eştir.
|PT|=6-x
ATP dik üçgeninde.
2
2
13 =(13-x) +(6-x)
x1=1 ,
Paralel iki kiriş arasındaki yaylar
eştir.
2
Doğrusal olmayan üç noktadan bir
ve yalnız bir çember geçer.
x2=18
- 107 -
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
AHB dik üçgeninde:
152=92+|AH|2 ,
OBH dik üçgeninde:
r2=92+(12-r)2
,
ÖRNEK:
|AH|=12
Y.G: PQ//AB ,
r=75/8
ÖRNEK:
|PQ|=2.|AB|
Y:48
Yarı çapı 10 birim olan çemberin,
16 birim uzunluğundaki kirişlerinin orta
noktalarının geometrik yeri nedir?
ÇÖZÜM:
Orta noktaların merkezden uzaklıkları:
102=d2+82 , d=6
Y: O merkez, r=6
ÖRNEK:
|PA|=|AC| , |PC|=|PD| , |CD|=2.|AB|
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ABC dik üçgeninde. 52=32+|BC|2, |BC|=4
OEC  ABC (AA)
,
r 4r
3
, r=

3
5
2
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|DK|2=25,
|DK|=5, |OD|=|OC|=x
OKL dik üçgeninde.
R2=(5+x)2+52
ODE dik üçgeninde. R2=x2+(2x)2
x2+10x+50=5x2 ,
2x2-5x-25=0 ,
x=5 ,
4x2=100
ÇÖZÜM:
COD eşkenar üçgen. |OE|=
- 108 -
4 3
2 3
2
 Verilen bir doğru parçasını dik açı
altında gören noktaların geometrik yeri;
O doğru parçasını çap kabul eden
çemberdir.
ÇEMBERDE AÇILAR:
MERKEZ AÇI:
Gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
 Dik üçgende hipotenüsün orta noktası
çevrel çember merkezidir.
 Hipotenüse ait kenar ortay,
hipotenüsün yarısına eşittir.
TEĞET-KİRİŞ AÇI:
Gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
ÖRNEK:
!!! Yarıçap uzunluğundaki kirişi gören
merkez açı kaç derecedir?
AOB eşkenar üçgen. mO =60o
UYARI:
Yarıçap
uzunluğundaki
yayı
gören merkez açı 1 RADYAN dır.
İÇ AÇI:
ÇEVRE (ÇEMBER) AÇI:
Gördüğü yayların ölçülerinin toplamının
yarısıdır.
Gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
 Çapı göre çevre açı dik açıdır.
DIŞ AÇI: Gördüğü yayların ölçülerinin
farkının yarısıdır.
- 109 -
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
mBC =2.35=70o
25=
mAD  70
2
o
mAD =120o
,
0
0
mBD=180 -120 =60
ÇÖZÜM:
mBCF =mAEB
(gördükleri yayların ölçülerinden)
o
x=30
BCF  CEB
ÖRNEK:
(AA) ,
x 9

4 x
,
x=6
ÖRNEK:
Diğer yaylarların ölçüleri 112o dir.
112 o
 56 o
2
112 o  56 o
t
 84 o
2
(112 o  56 o )  112 o
x
 28 o
2
yz
,
ÇÖZÜM:
BCDF dörtgeninde;
mB =320+x ,
mD =400+x
mB +mD =180o , 320+x+400+x=1800
x=54o
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
mCBA =70o ,
mADC =140o
mCB =40o
mCDB =20o olur ki,
DCB ikizkenardır. |DC|=|CB|=12
Y.G: AEP  BCP ve ACP  BDP
- 110 -
(AA)
ÖRNEK:
İKİ ÇEMBER:
ÇÖZÜM:
Büyük çemberde; mBAD =mACB
Küçük çemberde; mCAB =mADB
(Aynı yayı gören teğet-kiriş ve çevre
açılar.)
BAD  BCA
İç içedir. Kesişmezler.
(AA)
x 4

9 x
x=6
İçten teğettirler.
ÖRNEK:
Farklı iki noktada kesişirler.
ÇÖZÜM:
AOB ikizkenar dik üçgen.
Dıştan teğettirler.
|AO|=|OB|=r= 2 2
Biri birinin dışındadır. Kesişmezler.
- 111 -
Teğet çemberlerin merkezleri ile
değme noktaları doğrusaldır.
ÖRNEK:
Kesişen iki çemberin merkezler
doğrusu, ortak kirişi dik olarak ortalar.
Kesişen iki çemberin ortak
noktasındaki teğetleri dik ise çemberler
dik kesişiyor denir.
ÇÖZÜM:
O, C, T doğrusal. |OC|=R-r , |OH|=r
B, K, C doğrusal. |BC|=R+r , |HB|=R-r
Dik kesişen çemberlerde;
d 2  r12  r22 dir.
|OC|2-|OH|2=|CH|2=|BC|2-|BH|2
(R-r)2-r2=(R+r)2-(R-r)2 ,
R2=6Rr ,
R=6r
ÖRNEK:
ÖRNEK:
UYARI:
ÇÖZÜM:
|BC|=4=3+2-|DE| ,
BD//CE dir.
ÇÖZÜM:
mABD =62o
x+38o=80o
ÖRNEK:
mBAD =38o =mDBE
x = 42o
,
,
|DE|=1
ÇÖZÜM:
|CO|=|BO|=r-x ,
x=
1
x

1
R1

1
R2
- 112 -
3r
8
r
(r-x) =x +  
2
2
2
2
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
B merkezli çemberin yarıçapı: x
C merkezli çemberin yarıçapı: y
|AB|=12-x
|BC|=x+y
|AC|=12-y
ÇÖZÜM:
HK  AD
(merkezler doğrusu, ortak kiriş)
Ç(ABC)=24
HMD, HLD ve DLK, DNK
dik üçgenlerinde Pisagor;
|KN|2-|HM|2=|LK|2-|LH|2
82-42=x2-1
ÖRNEK:
x=1
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|EP|=|EK|=r=1 ,
|FT|=|FS|=R
AF açıortay.
AEP, AFT 30, 60, 90 diküçgeni
|AE|=2 ,
|AF|=3+R=2R
,
|AF|=6=h
ÇÖZÜM:
COD diküçgeninde;
|CO|=2-x
|CD|=1+x
(1+x)2=(2-x)2+1
R=3
|BC|=4 3
Ç(ABC)=12 3
x= 2/3
- 113 -
ÖRNEK:
TEĞET:
ÇÖZÜM:
r2=|AC|.|BD| ,
Çembere dışındaki bir noktadan
çizilen teğet parçaları eştir.
r2=9.4
,
r=6
ÖRNEK:
Teğetlerin oluşturduğu açının
açıortayı, bu noktayı merkeze birleştiren
ışın olup, değme kirişini dik olarak
ortalar.
ÇÖZÜM:
ABC dik üçgeninde
|AB|=2r , |AC|=12-2r ,
|BC|=9-2r
(2r)2=(12-2r)2+(9-2r)2
4r2-84r+225=0
x=

AB  CD  d 2  r1  r2 

EF  HK  d 2  r1  r2 
21  6 6
2
2
2

QO1
QO2

PO1
PO2

r1
r2
|KA|=|KP|=|KB|
- 114 -
,
APB dik üçgen.
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
OP  1
O1BCO2 dik yamuğunda;
2  OP
2 ,
|OP|=5/3
2
AOP dik üçgeninde;
ABC 30, 60, 90 dik üçgeni
|AC|= 6 3 =|ED|=|PK|
|AP|=
2 .3
 2
3
2
DK yayının uzunluğu= 2 .9.  12
3
EP yayının uzunluğu=
İpin uzunluğu=
5
3 =   +|AP|2
3
2
2 14
3
ÖRNEK:
2. 6 3  2  12  14  12 3
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
PO1A ve PO2B
|O1A|=6 ,
|O2B|=18 ,
|O1O2| = |PO2|-|PO1| = 36-12 = 24
ÇÖZÜM:
A(OADC) = A(OAC)+A(ADC)
=
1
1
8(3-r)+ 8.3 = 24-4r
2
2
A(OADC) = 2.A(ODC) = 2.
24-4r = 5r
,
30, 60, 90 dik üçgeni.
|PO1|=12 ,
|PO2|=36
1
r.5
2
r = 8/3
- 115 -
,
ÖRNEK:
KUVVET
ÇÖZÜM:
|AQ|=|AP|=4,
|BT|=|BQ|=3,
|CR|=|CT|=16
|DS|=|DR|=6 , |ES|=|EP|=5 , 2u=68
A(ABCDE) = u.r = 34.20 = 680 br2
p  TA . TB  TC . TD  TE
2
değerine
noktanın çembere göre kuvveti denir.
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|BD|=u-b, |CD|=u-c , |BD|=
KUVVET EKSENİ:
29
5
 12 
2
2
İki çembere göre aynı kuvvette olan
noktaların geometrik yeri merkezler
doğrusuna dik bir doğrudur.
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ADO dik üçgeninde;
IH 
|OD|=r , |AD|= 6r  9
ABC dik üçgeninde;
|CD|=|CB|=9
ADO  ABC
(AA) ;
r 6r  9  27
,
r
r 3

9 9  6r  9
r12  r22
2 O1O2
Kesişen iki çemberin kuvvet ekseni,
çemberlerin ortak noktalarından geçen
doğrudur.
r=9/2
- 116 -
Teğet çemberlerin kuvvet ekseni,
ortak teğettir.
ÖRNEK:
Üç çembere göre aynı kuvvette
olan noktaya kuvvet merkezi denir.
Üçgenin kenarlarını çap kabul eden
üç çemberin kuvvet merkezi, üçgenin
yüksekliklerinin kesim noktasıdır.
ABCD kare. Çemberin yarıçapı?
ÇÖZÜM:
|DT|2=|DC|.|DE| ;
122=6.(6+|CE|) ,
BCE dik üçgeninde;
4r2=62+182
,
|CE|=18
r= 3 10
ÖRNEK:
AD . AE  AD  BD . DC  AB . AC
2
ÇÖZÜM:
ABD  AEC
AD
AC

(AA)
ÇÖZÜM:
62=z(z+7+5+4)
8.y=4(5+7)
,
8.6=(4+x).5
,
;
AB
AE
|AD|.|AE|=|AB|.|AC|
, z2+16y-36=0 , z=2
y=6
x=28/5
ÖRNEK:
|AD|.|AE|=|AD|(|AD|+|DE|)
=|AD|2+|AD|.|DE|
|AD|.|DE|=|BD|.|DC|
ÇÖZÜM:
[DE] , ABC üçgeninde orta taban.
|DE|=1+4
x
2
1.4= ( ) 2
- 117 -
, x=4
ÖRNEK:
ÖRNEK:
UYARI: |AB|2+|CD|2=8.r2-4.|OP|2
ÇÖZÜM:
|KA|.|KB|=|KC|.|KD|
4.12=6.|KD| ,
|AB|2+|CD|2 = 8.62-4.42 = 288-64 = 224
ÖRNEK:
|KD|=8
UYARI: |KA|2+|KB|2+|KC|2+|KD|2 = 4r2
42+122+62+82= 4r2
, r2=260 , r= 65
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|PA|=|PA’|
2
|PA| =6.9
;
|PA|.|PA’|=|BP|.|PC|
;
|PA|= 3 6
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
OEB dik üçgeninde;
|OE|=4 ,
|EB|=3
AOB dik üçgeninde; |OE|2=|AE|.|EB|
42=|AE|.3 ,
|AE|=16/3
|AO|2=|AE|.|AB|
,
A, C, D doğrusal.
BC  AD . ACB  AED (AA)
20
16  16
 16.25
|AO| =   3  
, |AO|=
3
33
9

2
|AC|=|A0|-|OC|=
AC
AE
20
8
4
3
3

AB
; |AC|.|AD| = 2.18 = 36
AD
|AC|.|AD|=|AT|2
;
UYARI: |AT| =|AE|.|AB|
2
- 118 -
|AT|=6
ÖRNEK:
ÖRNEK:
xOy sabit bir açı.
C noktası [Oy ışını üzerinde hareket
eden bir nokta.
ACB açısının ölçüsü en büyük iken
|OC| kaçtır?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
|OR|.|OA|=|OS|.|OQ|
4.|OA|=3.3 ;
|OA|=9/4
|AR|=|OR|-|OA|
;
|AR|= 4 
|RB|.|RS|=|RA|.|RP|
7
4
|RB|.5= .8
UYARI:
|RB|=
9 7

4 4
14
5
[AB] çaplı çember ile [Oy nin ortak
noktaları aranan noktalardır.
OCD dik üçgeninde; |OC|= 3
|PQ|2+|PS|2=|PA|.|PR|
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
OD  BC ,
AC  BC
ODB dik üçgeninde ;
|BD|= 4 2
UYARI: |AB|2=2.|EC|2+2.|ED|2
ÇÖZÜM:
CPE ve EKD ikizkenar dik üçgen.
|AC|=4 ,
ACD dik üçgeninde ;
|DA|.|DE|=|DB|.|DC|
4 3 .|DE|= 4 2.4 2
|AD|= 4 3
|CE|= 2 2
 
2
62=2. 2 2 +2.|ED|2
8 3
|DE|=
3
|DK|= 5
- 119 -
,
|ED|= 10
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
AP  DE ve
ÖRNEK:
BK  DE çizelim.
ÇÖZÜM:
DEC  DFA
DC
AD

(AA) ;
DE
DF
|DC|.|DF|=|AD|.|DE|
|DC|(|FC|-|DC|)=(|AE|-|DE|)|DE|
|DC|.|FC|-|DC|2=|AE|.|DE|-|DE|2
|DC|.|FC|=|AE|.|DE|+|DC|2-|DE|2
APC dik üçgeninde; |AC|2=x2+(7-a)2
BKC dik üçgeninde; |BC|2=x2+(3-a)2
|AC|2+|BC|2=2x2+58-20a+2a2
x2=a(10-a)
x2+a2=10x
|DC|.|FC|=|AE|.|DE|+|CE|2
=|AE|.|DE|+|AE|.|EB|
=|AE|(|DE|+|EB|)=|AE|.|DB|
olduğundan
|AC|2+|BC|2=58
UYARI: |AC|2+|BC|2=2(R2+|OC|2)
- 120 -
ÖRNEK:
KİRİŞLER DÖRTGENİ:
|AN|=|NP| ise mANB=?
Y.G: ON  AP çiz.
ONCB kirişler dörtgeni.
Köşeleri aynı çember üzerinde
dörtgene kirişler dörtgeni denir.
mCOB=45o
ÖRNEK:
olan
Karşılıklı açıları bütünlerdir.
Kare, dikdörtgen, ikizkenar yamuk
birer kirişler dörtgenidir.
ÇÖZÜM:
mPCT =2.p +mA+2t=mBCD
mA +mBCD =180o
2.p+mA +2t=1800-mA
2(p+mA +t)=1800
p+mA +t = x , 2x=1800
BATLAMYUS TEOREMİ:
,
x=900
 e.f=a.c+b.d

e ad  bc

f ab  cd
ABC eşkenar üçgeninin çevrel çemberi
üzerindeki herhangi bir P noktası için:
a.c=b.d ise Harmonik dörtgen adını alır.
PB  PA  PC dir.
Y.G: PABC kirişler dörtgeninde;
A ABCD   (u  a)(u  b)(u  c)(u  d )
|PA|.a+|PC|.a=|PB|.a
|PA|+|PC|=|PB|
- 121 -
,
ÖRNEK:
ÖRNEK:
|AB|=|AC| iken Ç(ABDE)=?
ÇÖZÜM:
mAIC =135o , ADCI kirişler dörtgeni.
x=mIAC =20o
ÇÖZÜM:
ABC ikizkenar.
mABC =mACB
mEDB =2.mACB , mDEC =mECD
EDC ikizkenar.
|CD|=|DE|=|EA|=4
|CD|.|CB|=|CE|.|CA|
|CE|(|CE|+4)=4.15=60 , |CE|=6
|CA|=|AB|=10
Ç(ABDE)=10+11+4+4=29
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
PEA üçgeninde; p+110=mEAB
CPF üçgeninde; p+mPCF =x
ABCD kirişler dörtgeninde;
mDAB +mDCB =180 , x=700
ÖRNEK:
ABCD bir kare.
|PA|2+|PA|.|PC|=|PD|2+|PD|.|PB|
Y.G:
PADC ve PBAD kirişler dörtgenlerinde
Batlamyus teo. uygulanırsa eşitlik
doğrulanır.
ÇÖZÜM:
ACDB kirişler dörtgeninde; mBDC = 120
mCDT =60=mATE
,
x=50
UYARI: AB//EF dir.
- 122 -
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|AD|=|DC|=|CB| olmalıdır.
ÇÖZÜM:
ABPE kirişler dörtgeninde
Batlamyus teo.
|BP|.|AE|+|EP|.|AB|=|AP|.|EB|
Bu durumda;
AOD, DOC, COB eşkenar üçgen olur.
UYARI: |AP|=|AB| dir.
ÖRNEK:
3
A(ABCD)= 3.
4
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
PDC  PAD
(AA) ;
DC
PBC  PAB
(AA) ;
BC
|PD|=|PB|
olduğundan
AD
AB

PD

PB
;
PA
PA
DC
AD
ÇÖZÜM:
AOD , DOC , COB birer
eşkenar üçgendir.
olur ki ,
|DC|.|AB|=|BC|.|AD| bulunur.
3.x=9.4
, x=12
|AD|=|BC|=3
UYARI:
Ç(ABCD)=15
teğetleri diğer köşegeni
kesişen kirişler dörtgenine
Harmonik dörtgen denir.
Karşılıklı
iki
|AB|.|CD|=|AD|.|BC| dir.
- 123 -

PC
PD

PC

BC
PB
AB
köşesindeki
üzerinde
ÖRNEK:
TEĞETLER DÖRTGENİ:
Kenarları bir çembere teğet
dörtgene teğetler dörtgeni denir.
ÇÖZÜM:
EF ortak teğetini çizdiğimizde ;
olan
Karşılıklı kenar uzunluklarının
toplamları eşittir.
( |AB|+|CD|=|BC|+|AD| )
|EF|=2r ve
AEFD , EBCF kirişler dörtgeni ;
|AE|+|FD|=2r+10 , |EB|+|FC|=2r+10
|AE|+|FD|+|EB|+|FC|=4r+20 ,
4r+20=32 ,
r=3
Kare, eşkenar dörtgen, deltoit
birer teğetler dörtgenidir.
A(ABCD)=u.r
UYARI: |EF|=|AB|-|BC| dir.
Hem kirişler, hem de teğetler
dörtgeni olan dörtgende
ÖRNEK:
A(ABCD)= abcd
Kenarları
10
ve
15
cm.
olan
paralelkenarın uzun kenarlarına dik olan
bir doğru, paralelkenarı öyle iki yamuğa
bölüyor ki, bu yamuklardan her ikisine de
iç teğet çember çizilebilmektedir. Bu
durumda paralelkenarın alanı kaç cm2
dir?
ÇÖZÜM:
Her iki yamukta kirişler dörtgeni
olacağından
|EF|=15-10=5=2.r=h
A(ABCD)=a.h=15.5=75
ÖRNEK:
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ABCD kirişler dörtgeni olduğundan ;
mB +mD =180o
ABCD teğetler dörtgeni olduğundan ;
[BO ve [DO açı ortaydır.
mABO +mADO =90o
ABOD dörtgeninde ;
x=mABO +70+mADO =160o
ÇÖZÜM:
A(ABCD)=u.r , |AB|+|CD|=|AD|+|BC|=9
u=9 ,
9.r=20 ,
r=20/9
- 124 -
ÖRNEK:
ÇEVRE VE ALAN:
ÇEVRE = 2πR
ALAN = πR2
ÇÖZÜM:
COP ; 30,60,90 üçgeni. mCOD =120o
COD diliminin alanı=
A(COD)= 4 3
mAOB = 
 derece cinsinden verilirse :
2 .r
.
360
 .r 2
.
AOB diliminin alanı =
360
AB yayının uzunluğu =
 .16
3
Y:
16
4 3
3
ÖRNEK:
 raydan cinsinden verilirse :
AB yayının uzunluğu = r. = l
AOB diliminin alanı =
1
r.l
2
ÖRNEK:
AOB daire diliminin çevresi 7 cm. ,
alanı 3 cm2 ise dairenin yarıçapı kaç
cm.dir?
ÇÖZÜM:
Dairelerin yarıçapları ; r , 2r , 3r
Taralı alan =  .(2r)2 -  .r2= 3 .r2
Büyük dairenin alanı =  (3r)2= 9 .r2
ÇÖZÜM:
l  2r  7
l  7  2r
ve
,
1
r.l  3 , r.l  6
2
r (7  2r )  6
2
2r -7r+6=0
r1=2 veya
r2=1,5
- 125 -
ÖRNEK:
ÖRNEK:
OCDE Dikdörtgen.
ÇÖZÜM:
|OE|=x , |OC|=y dersek ;
x+y=13 , x2+y2=102 ,
(x+y)2=x2+2xy+y2=169 ,
xy=69/2
ÇÖZÜM:
|OA|=|AC|=x , |BF|=r dersek ;
|AB|=x+r ,
|OB|=2x-r
2
2
(x+r) -(x-r) =(2x-r)2-r2
x=2r olur .
Y:16
T=25  
ÖRNEK:
69
4
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
AHB  CHA
(AA)
benzerlik oranı = 3/4
Alanlar oranı=(benzerlik oranı)2 = 9/16
ÇÖZÜM:
Karenin köşegen uzunluğu = 2
kenar uzunluğu= 2
Yarım dairelerin alanları toplamı = 
Büyük dairenin alanı = 
Taralı alanlar=
=(yarım daireler+kare)-büyük daire
=  2   2
- 126 -
ÖRNEK:
ÖRNEK:
S noktasında dıştan teğet A ve B
merkezli çemberlerin yarıçapları 3
br.dir.
A ve B den diğer çemberlere çizilen
teğetler CD dış ortak teğeti P ve Q da,
birbirlerini T de kesmektedir.
ÇÖZÜM:
Buna göre; A(PTQ) kaç br2 dir?
ÇÖZÜM:
A , B ve C noktalarının çembere gore
kuvvetleri yazıldığında ;
|AD|.|AE|=|AP|.|AH|
|BF|.|BG|=|BE|.|BD|
|CH|.|CP|=|CG|.|CF|
AEB ve BFA üçgenleri
|AB|=6 , |AE|=|BF|=3 olduğundan
300-600-900 dik üçgenleridir.
|AB|=|BC|=|AC|=K dersek
|AD|(K-|BE|)=|AP|(K-|HC|)
|BF|(K-|GC|)=|BE|(K-|AD|)
|CH|(K-|AP|)=|CG|(K-|BF|)
ATB ve PTQ üçgenleri taban açıları
300 olan ikizkenar üçgenlerdir.
|AD|.K-|AD|.|BE|=|AP|.K-|AP|.|HC|
|BF|.K-|BF|.|GC|=|BE|.K-|BE|.|AD|
|CH|.K-|CH|.|AP|=|CG|.K-|CG|.|BF|
|AB|=6 , |ST|= 3
PTQ üçgeninin yüksekliği : 3  3
|PQ|= 6 3  6 bulunur.
A(PTQ)=
2
br .
eşitlikleri taraf tarafa toplandığında ;
1
(6 3  6)(3  3 )  12 3  18
2
|AD|+|BF|+|CH|=|AP|+|CG|+|BE|
bulunur.
8+4+9=x+6+3 ,
- 127 -
21=x+9 ,
x=12 dir.
ANALİTİK GEOMETRİ
O başlangıç noktasında dik kesişen iki
sayı ekseninin oluşturduğu sisteme
koordinat sistemi denir.
ÖRNEK:
2x+3y+12=0 doğrusunun;
Ox eksenine göre simetriği:
2x-3y+12=0
Düzlemde her noktaya bir gerçel sayı
ikilisi, her gerçel sayı ikilisine de
düzlemde bir nokta karşı gelir.
Oy eksenine göre simetriği:
-2x+3y+12=0
Bir noktanın y-ekseninden uzaklığına,
noktanın apsis’i denir. x ile gösterilir.
x-ekseninden
uzaklığına,
noktanın
ordinat’ı denir. y ile gösterilir.
(x,y) ikilisine noktanın koordinatı denir.
O noktasına göre simetriği:
-2x-3y+12=0
y=x doğrusuna göre simetriği:
2y+3x+12=0
y=-x doğrusuna göre simetriği:
-2y-3x+12=0
ÖRNEK:
x ekseni üzerinde bulunan, A(1,2) ve
B(4,3) noktalarından uzaklıkları toplamı
en az olan C noktasının apsisi kaçtır?
ÇÖZÜM:
A(x,y) noktasının:
Ox eksenine göre simetriği: A1(x,-y)
Oy eksenine göre simetriği: A2(-x,y)
O noktasına göre simetriği: A3(-x,-y)
ADC  BEC (A.A)
2 x 1

3 4 x
y=x doğrusuna göre simetriği:
A4(y,x)
,
AD
BE

DC
EC
8-2x=3x-3 ,
x=11/5
y=-x doğrusuna göre simetriği:
A5(-y,-x)
Toplamın en küçük değeri:
|AC|+|CB|=|A’C|+|CB|=|A’B|
|A’B|2=32+42=52
|A’B|=5
- 128 -
5x=11 ,
!!! Geometrik yer denklemi olarak bulunan
doğru denklemi, [AB] doğru parçasının
orta dikme doğrusunun denklemidir.
ÖRNEK:
A(x1,y1) ve B(x2,y2) olmak üzere
[AB] yi verilen k oranında bölen nokta
C(xo,yo) olsun.
xo 
x1  kx2
,
1 k
yo 
y1  ky2
dir.
1 k
(k < 0 ise C  [AB] dir.)
ÇÖZÜM:
C(xo,yo) , [AB] nin orta noktası ise:
xo 
x1  x 2
y  y2
, yo  1
2
2
A nın, x eksenine göre simetriği A1,
B nin, y eksenine göre simetriği B1 olsun.
A1PTB1 yolu aranan yoldur.
|A1B1|=15 birim.
A(x,y) noktasının P(a,b) noktasına
göre simetriği:
A’(2a-x, 2b-y)
A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktaları arasındaki
uzaklık:
ÖRNEK:
AB 
A(3,4) noktasının, B(6,2) noktasına göre
simetriği?
x1  x2 2   y1  y2 2
ÇÖZÜM:
A nın, B ye göre simetriği C ise;
B noktası, [AC] nin orta noktasıdır.
ÖRNEK:
A(1,2) ve B(-3,4) noktalarından eşit
uzaklıkta bulunan P(x,y) noktalarının
geometrik yerinin denklemi?
6=
ÇÖZÜM:
|PA|=|PB|
3 x
4 y
, x=9 ve 2=
, y=0
2
2
C(9,0)
( x  1) 2  ( y  2) 2  ( x  3) 2  ( y  4) 2
x2-2x+1+y2-4y+4 = x2+6x+9+y2-8y+16
2x-y+5 = 0
- 129 -
A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) olmak
üzere ABC üçgeninin kenar ortaylarının
kesim noktası G(xo,yo) ise:
xo 
x1  x2  x3
3
,
yo 
DOĞRU DENKLEMİ:
Bir doğrunun Ox ekseni ile pozitif yönde
yaptığı açıya eğim açısı,
eğim açısının tanjantına doğrunun eğimi
denir.
y1  y 2  y3
3
ÖRNEK:
A(0,0) ; B(-1,5) ; C(4,1) olmak üzere, ABC
üçgeninin kenar ortaylarının kesim
noktası?
A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktalarından
geçen doğrunun eğimi:
ÇÖZÜM:
m
x1  x2  x3 0  (1)  4

1
3
3
y  y 2  y3 0  5  1
yo  1

2
3
3
xo 
y1  y 2
x1  x 2
A(x1,y1) noktasından geçen ve eğimi
m olan doğru denklemi:
G(1,2)
y-y1 = m(x-x1)
Paralelkenarda karşılıklı köşelerin
apsisleri toplamı ve karşılıklı köşelerin
ordinatları toplamı eşittir.
x1+x3=x2+x4
ve
A(x1,y1) ve B(x2,y2) noktalarından
geçen doğru denklemi:
y1+y3=y2+y4
y  y1
x  x1

y1  y 2 x1  x 2
ÖRNEK:
x
x1
x2
(-1,-2) ; (0,1) ; (-3,2) ; (m,n) noktaları bir
paralel kenarın köşeleri ise m+n=?
ÇÖZÜM:
x1+x3=x2+x4
y1+y3=y2+y4
m+n=-5
-1+(-3)=0+m
-2+2=1+n
y 1
y1 1  0
y2 1
m=-4
n=-1
x eksenini p de, y eksenini k da kesen
doğru denklemi:
UYARI:
Dikdörtgen,Kare ve Eşkenar dörtgen için
de kural geçerlidir.
x y
 1
p k
- 130 -
x=a
y eksenine paralel doğrudur.
(x=0 doğrusu, Ox ekseni.)
ax+by+c=0
Eğimi m=
A(x,y) noktasının x = a ya göre simetriği
A’(2a-x, y) dir.
kapalı doğru denklemi.
a
dir.
b
Paralel iki doğrunun eğimleri eşittir.
d1 // d 2  m1  m2
y=b
x eksenine paralel doğrudur.
(y=0 doğrusu, Oy ekseni.)
Dik iki doğrunun eğimleri çarpımı
-1 dir.
A(x,y) noktasının y=b ye göre simetriği
A’’(x, 2b-y) dir.
d1  d 2  m1 . m2  1
ÖRNEK:
A(-2,3) noktasının; x=1 ve y=-1
doğrularına göre simetrikleri?
ax+by+c=0 ve a1x+b1y+c1=0
doğruları için:
ÇÖZÜM:
(4,3) ; (-2,-5)
a
b
  kesişirler.
a1 b1
a
b
c
   paraleldirler.
a1 b1 c1
y = mx merkezden geçen,
eğimi m olan doğrudur.
y=x
y=-x
a
b
c
   çakışıktırlar.
a1 b1 c1
I. Açı ortay doğrusu.
II. Açı ortay doğrusu.
y=mx+n
ÖRNEK:
eşitliğinde:
3x-4y-12=0 doğrusunun, y=x ve y=-x
doğrularına göre simetrikleri:
m değişir, n sabit kalırsa
doğrular (0,n) noktasından geçerler.
ÇÖZÜM:
3y-4x-12=0
m sabit kalır, n değişirse
doğrular paraleldir.
ax+by=0
ve
-3y+4x-12=0 dır.
merkezden geçen,
ax+by+c=0 ve a1x+b1y+c1=0
doğrularının kesim noktasından geçen
bütün doğruların denklemi:
(doğru demeti)
ax+by+c+k(a1x+b1y+c1)=0 dır.
a
eğimi m=
olan doğrudur.
b
y=mx+n açık doğru denklemi.
Eğimi m dir.
- 131 -
ax+by+c=0 ve a1x+b1y+c1=0
doğrularının
oluşturduğu
açıların
açıortaylarının denklemi:
ÖRNEK:
Denklemleri
2x+3y-8=0
ve
7x+2y+16=0 olan doğruların kesim
noktasından ve koordinat başlangıcından
geçen doğrunun denklemi?
ax  by  c
a b
2
ÇÖZÜM:
7x+2y+16+k(2x+3y-8)=0
doğrularından
O(0,0) noktasından geçen için :
16+k(-8)=0 ve k=2 dir.
tan  
A(x1,y1) noktasının
ax+by+c=0 doğrusuna uzaklığı:
ax1  by1  c
B(x2,y2),
x1
2. A( ABC )  x 2
x3
a2  b2
C(x3,y3) olmak
y1 1
y 2 1 dir.
y3 1
Üç noktanın doğrusal olması için:
A(ABC)=0 olmalıdır.
c
a2  b2
ALIŞTIRMALAR:
Paralel iki doğru olan
ax+by+c=0 ve ax+by+c1=0
doğruları arasındaki uzaklık:
d
a12  b12
m1  m2
1  m1 m2
A(x1,y1),
üzere:
ax+by+c=0 doğrusunun
orijinden uzaklığı:
d
a1 x  b1 y  c1

Eğimleri m1 ve m2 olan iki doğru
arasındaki açı Θ ise:
7x+2y+16+2(2x+3y-8)=0
11x+8y=0 olur.
d
2
x>3 ,
y<2 ,
x< 0 ,
0< x<2 ,
-1< y<3
x  2 ve y  4
,
x  2 ve y  1
2
2
2
2
x +y =1
, x +y < 1 , x2+y2 > 1
|x|  2 ve |y|  4
,
|3x-5|  y
|x|+|y|=2 , x.y=0 , |x|+x=|y|+y
c  c1
a2  b2
koşulunu sağlayan (x,y) noktalarını
analitik düzlemde gösteriniz.
- 132 -
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Köşegenlerinin kesim noktası (0,1/2) olan
ve bir kenarı x ekseni üzerinde bulunan
karenin köşegen uzunluğu kaç birimdir?
Analitik düzlemde Ox ekseninden,
Oy ekseninden ve (3,6) noktasından eşit
uzaklıkta bulunan noktalar?
ÇÖZÜM:
Köşegenlerin kesim noktasının
x ekseninden uzaklığı karenin kenarının
yarısıdır.
ÇÖZÜM:
P(x,y) noktası eksenlerden eşit uzaklıkta
olduğundan; x=y=a diyelim.
|PA|=a olacağından;
(a  3) 2  (a  6) 2  a
y=1/2 olduğundan a=1 dir.
e= 2 a= 2
a2-6a+9+a2-12a+36=a2
a2-18a+45=0
(a-3)(a-15)=0
a1=3
a2=15
Y:(3,3),(15,15)
ÖRNEK:
ÖRNEK:
x2+y2=1
çemberi
üzerindeki
hangi
noktalar (1,3) ve (-2,2) noktalarından
eşit uzaklıktadır?
A(-1,4), B(2,1), C(-2,-3) için
ΔABCde mB=?
ÇÖZÜM:
mAB=
4 1
 1
1 2
,
mBC=
ÇÖZÜM:
P(x,y)
noktası
(1,3)
ve
(-2,2)
noktalarından eşit uzaklıkta olduğundan;
1  (3)
1
2  (2)
(mAB)(mBC)=(-1)(1)=-1 olduğundan
( x  1) 2  ( y  3) 2  ( x  2) 2  ( y  2) 2
AB  BC dir.
y=1-3x bulunur.
x2+y2=1 eşitliği ile ortak çözümü;
x2+(1-3x)2=1
5x2-3x=0
x1=0
x2=3/5
y1=1
y2=-4/5 Y:(0,1),(3/5,-4/5)
ÖRNEK:
m,n  Z olmak üzere, O merkezli ,
5/2 birim yarıçaplı çemberin içinde kaç
tane (m,n) noktası vardır?
ÖRNEK:
(2,3) ve (1,1) noktalarından geçen doğru
y eksenini (0,b) de kesiyorsa b=?
ÇÖZÜM:
|OP| < 5/2
( x  0) 2  ( y  0) 2  5 / 2
2
ÇÖZÜM:
y 3 x2
,

3 1 2 1
2
x +y < 25/4 eşitsizliğini doğrulayan
21 tane tamsayı ikilisi vardır.
b=2.0-1 ,
- 133 -
y=2x-1
b=-1
ÖRNEK:
ÖRNEK:
2x+5y-20=0 doğrusu ile
eksenlerinin
oluşturduğu
bölgenin alanı kaç br2 dir?
koordinat
üçgensel
5x-y=1 doğrusuna dik olan öyle bir doğru
bulunuz ki, bu doğru ile eksenlerin
oluşturduğu üçgensel bölgenin alanı 5 br2
olsun?
ÇÖZÜM:
x=0 için y=4 ve y=0 için x=10 olduğundan
eksenleri kestiği noktalar (0,4) ve (10,0)
dır.
Oluşan dik üçgenin alanı:
ÇÖZÜM:
10.4
 20 br2.
2
ÖRNEK:
y=3x+1 doğrusu üzerinde bulunan,
(0,0) ve (-3,4) noktalarından
uzaklıkta olan nokta?
ÇÖZÜM:
y=3x+1 doğrusu
P(x,3x+1)
üzerindeki
eşit
2
2
18x-17=0
x=17/18
Y:(17/18, 23/6)
1 

 OC 
10  

5  1 


 5 
nokta,
( x  0)  (3x  1  0)  ( x  3)  (3x  1  4)
2
AOB  DOC (A.A)
2
y=23/6
5x-y=0
2
,
m2= 
1
5
y 2   x
A(0,0), B(9,0) olacak şekilde verilen
ΔABC için a=10, b=17, c=9 olduğu
biliniyor.
Buna göre I. Bölgedeki C noktası?
1
5
Y: y  
1
x 2
5
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
|AC|=17
,
x  y  17
2
2
m  R+ için 13x+11y=700 ve y=mx-1
doğrularının koordinatları tamsayı olan
bir noktada kesişmeleri için m=?
,
x2+y2=289
|BC|=10
|OC|=  2
m1=5
m1.m2=-1
ÖRNEK:
A(AOB)=1/10
,
ÇÖZÜM:
13x+11y=700 ve
y=mx-1 denklem sisteminden;
( x  9) 2  y 2  10 ,
x2-18x+81+y2=100
18x=270 , x=15 ,
y=  8
13x+11(mx-1)=700 ,
Y:(15,8)
m=6
- 134 -
x=
711
11m  13
ÖRNEK:
ÖRNEK:
y=x ve y=7x doğrularının oluşturduğu
açılardan birinin oçı ortayının eğimi
kaçtır?
ÇÖZÜM:
x y
2

7x  y
5 2
x+2y=0
2x-y=0
m1=-1/2
m2=2
|AB|=l olan [AB] nin uç noktaları
eksenler üzerinde kayarken P orta
noktasının geometrik yeri?
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
AOB dik üçgeninde;
hipotenüse ait
kenar
ortayın
uzunluğu,hipotenüsün
yarısı olacağından
|OP|=l/2 dir. O dan l/2 birim uzaklıkta
bulunan noktalar, O merkezli ve l/2 birim
yarıçaplı çember üzerindedir.
1  |x|+|y|  2 koşulunu sağlayan
(x,y) noktalarının oluşturduğu alan kaç
br2 dir?
ÇÖZÜM:
,
1 x  y  2
1  x  y  2
,
1 x  y  2
1  x  y  2
Y:O merkezli. l/2 yarıçaplı çember
ÖRNEK:
A(2,3) noktasından geçen, eğimi 2/5 olan
doğrunun denklemi nedir?
ÇÖZÜM:
y-y1=m(x-x1)
Taralı alan =
2
(x-2)
5
ÖRNEK:
3x+4y=1000 doğrusu
uzaklıktadır?
Köşeleri (2,0),(0,4),(4,6) olan üçgenin
çevrel çemberinin merkezi?
O dan kaç br.
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
|OA|=|OB|=|OC|
d
( x  2) 2  y 2  x 2  ( y  4) 2  ( x  4) 2  ( y  6) 2
ve
y-3=
2x-5y+11=0
4.4 2.2

 6 birim kare.
2
2
ÖRNEK:
x=3
,
y=3
- 135 -
c
a b
2
2

1000
3 4
2
2

1000
 200
5
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Denklemi 2x-5y+11=0 olan doğru ve
koordinat
eksenlerinin
oluşturduğu
üçgensel bölgenin alanı kaç birim
karedir?
ÇÖZÜM:
x=0
ve
y=0
doğruları ile verilen
doğrunun kesim noktaları;
(0, 11/5) ve (-11/2, 0) dır.
Oluşan
üçgensel
bölgenin
alanı:
a) BC doğrusu üzerinde bulunan ve
|AP|2+|AQ|2
toplamının
en
küçük
olmasını sağlayan A noktası?
1 11 11 121
birim kare.
( . )
2 5 2
20
ÇÖZÜM:
P ve Q noktalarının d doğrusu üzerindeki
dik izdüşümlerini bulalım:
d: x+y=4
P den , d ‘ye çizilen dikme:
y=x+7
Q dan , d !ye çizilen dikme: y=x-5
P1(-3/2 , 11/2)
Q1(9/2 , -1/2)
[P1Q1] in orta noktası A dır.
A(3/2 , 5/2)
ÖRNEK:
A(5,1) noktasının, x+y-2=0 doğrusu
üzerindeki dik izdüşümü ?
ÇÖZÜM:
x+y-2=0 ,
m1=-1
m1.m2=-1 ,
m2=1
(5,1) den geçen, eğimi m2=1 olan doğru
denklemi
y-1=1.(x-5)
, x-y-4=0 dır.
Verilen doğru ile kesim noktası
A1(3, -1) aranan noktadır.
b) a daki A noktasından geçen ve PQ
doğrusuna paralel olan d doğrusuyla x=4
doğrusunun kesim noktasının ordinatı?
ÇÖZÜM:
UYARI: A noktasının x+y-2=0 doğrusuna
mPQ=-1/2
,
göre simetriği; A nın, izdüşümü olan A1 ‘e
göre simetriğidir. A2(1,-3)
x=4
y=5/4
,
y
5
1
3
  (x  )
2
2
2
c) b deki kesim noktası D olsun.
d doğrusu ile y ekseninin kesim noktası
E ise A(OCDE)=?
ÖRNEK:
x+y-4=0 doğrusunun x=-1 doğrusuna
göre simetriğinin denklemini yazınız.
ÇÖZÜM:
x=0 için y=13/4
E(0 , 13/4)
D( 4 , 5/4)
ÇÖZÜM:
(x,y) noktasının x=-1 doğrusuna göre
simetriği
(2.(-1)-x , y)=(-2-x , y)
olduğundan
x+y-4=0 doğrusunun x=-1
doğrusuna göre simetriği
(-2-x)+y-4=0
x-y+6=0 dır.
13 5
(  ).4
 9 br2
A(OCDE)= 4 4
2
- 136 -
ÖRNEK:
ÖRNEK:
2y+x+3=0 ve 3y+ax+2=0 doğruları
dik kesiştiğine göre a kaçtır?
x+y=1
,
x+y=2
doğruları ve
eksenlerle sınırlı bölgenin alanı kaç
birimkaredir?
ÇÖZÜM:
1
a
, m2= 
2
3
 1  a 
      1
 2  3 
m1= 
ÇÖZÜM:
ve
a=-6
ÖRNEK:
4x+ay-4a=0 doğrusu,
2x-y+4=0 doğrusuna diktir.
Bu iki doğru ve x ekseninin oluşturduğu
üçgensel bölgenin alanı kaç birim
karedir?
ÇÖZÜM:
m1=(-
4
,
a
y=-4 ; x=0 ve 3x+4y+k=0 doğruları ile
sınırlı üçgensel bölgenin alanı 24 br2 ise
k nın alabileceği değerlerin toplamı
kaçtır?
a=8
Doğruların eksenleri kestiği noktalar:
(-2,0) , (8,0) ve (0,4) olduğundan,
taban=10 birim, yükseklik=4 birimdir.
ÇÖZÜM:
y=-4 ve 3x+4y+k=0 doğruları ;
10.4
Alan =
 20 br2
2
(
16  k
, -4)
3
ÖRNEK:
x=0 ve 3x+4y+k=0 doğruları ;
3x-4y+32=0 ve 6x-8y-16=0
doğrularını kenar kabul eden
dikdörtgenin alanı 56 br2 ise
çevresi kaç birimdir?
(0 , 
d
32  4 2
8.b=56
k
)
4
noktalarında kesişirler.
Oluşan dik üçgenin dik kenar uzunlukları:
16  k
3
ÇÖZÜM:
3x-4y+32=0 ve 3x-4y-8=0 paralel
doğruları arasındaki uzaklık:
32  (8)
br2
ÖRNEK:
m2=2 ve
4
).2=-1
a
1
1
3
(2.2)  (1.1) 
2
2
2
Taralı alan=
ve
16  k
4
1  16  k 16  k

.
2  3
4
 8 br.
, b=7
(16-k)2=576
16-k=24
,
16-k=-24 ,
Ç=2(7+8)=30 br.
- 137 -
birim,

  24

k=-8
k=40
ve
1.
2.
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Analitik düzlemde O başlangıç
noktasından uzaklığı 5 birim ve
koordinatları tamsayı olan kaç tane
nokta vardır?
ÇÖZÜM:
Verilenlere göre ACDB yolunun en küçük
değeri kaç birimdir?
O merkezli , 5 br. yarıçaplı çember
üzerindeki koordinatları tamsayı olan
noktalar aranıyor.
ÇÖZÜM:
x2 + y2 = 25 koşunu sağlayan (x,y)
tamsayı ikilileri isteniyor.
(5,0),(4,3),(3,4),(0,5),(-3,4),(-4,3),(5,0),(-4,-3),
(-3,-4),(0,-5),(-3,-4),(-4,-3) olmak
üzere
12 tane nokta vardır.
Aranan en kısa yol :
A nın y eksenine simetriği olan A’ ile,
B nin x eksenine göre simetriği olan B’
yü birleştiren A’CDB’ yoludur.
UYARI:
B nin O ya göre simetriği olan P yi ,
A ile birleştiren ACP yolu A’CDB’ ile
aynıdır.
|A’B’|= (3  8) 2  (5  (2)) 2
 170
- 138 -
3.
4.
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Analitik düzlemde ;
x  y  1 ve
x  y  1 eğrileri ile
sınırlı düzlemsel bölgenin alanı kaç br2
dir?
|AC|=|CB| ,
ÇÖZÜM:
CD  AB
x  y  1  1  x  y  1
Verilenlere göre ; x’in tamsayı olmasını
sağlayan kaç tane p tamsayısı vardır?
x-y=1 ve x-y=-1 doğruları arasındaki
noktalar.
x  y  1  x  y  1 ve x  y  1
x+y=1 ve x+y=-1 doğruları arasındaki
noktalar.
ÇÖZÜM:
CD , [AB] nin orta dikmesi olduğundan
|AD|=|BD| dir.
(0  x) 2  (4  0) 2  ( p  x) 2  (6  0) 2
p 2  2 xp  20  0 denkleminde x’in
hangi tamsayı değerleri için p tamsayı
olduğu araştırılacak.
Köşeleri (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1) olan
karesel bölgenin alanı 2 br2 dir.
  4 x 2  80    2 x 2  20
x 2  20 ifadesini tamsayı yapan x’in
 6 değerleri için p tamsayı olur.
P’nin  2 ve  10 değerleri için
x değerleri de tamsayıdır.
- 139 -
5.
7.
ÖRNEK:
y=|x-1| ve y=3-|x| eğrileri ile sınırlı
bölgenin alanı kaç birim karedir?
ÖRNEK:
3y-x=2 ve 2y-5x=1 doğrularının kesim
noktasından geçen ,
y-2x=7 doğrusuna dik olan doğrunun
denklemini yazınız?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
3y-x=2 ve 2y-5x=1 doğrularının
kesim noktasından geçen tüm doğruların
denklemi:
3y-x-2+k(2y-5x-1)=0
(3+2k)y-(1+5k)x-2-k=0 biçimindedir.
Kenar uzunlukları 2 ve 2 2 br. olan
bir dikdörtgen oluşur.
ALAN =
y-2x=7 doğrusunun eğimi m=2 ,
2 . 2 2 = 4 br2.
dik doğrunun eğimi m1= 
1  5k
1
olmalıdır.

3  2k
2
6.
k= 
ÖRNEK:
A(0,0) ve B(3,4) noktalarından eşit
uzaklıkta bulunan P(x,y) noktalarının
geometrik yerinin denklemini yazınız?
5
12
(3  2(
5
5
5
)) y  (1  5( )) x  2  ( )  0
12
12
12
26y+13x-19=0
denklemidir.
ÇÖZÜM:
|AP|=|BP|
( x  0) 2  ( y  0) 2  ( x  3) 2  ( y  4) 2
x 2  y 2  x 2  6 x  9  y 2  8 y  16
x 2  y 2  x 2  6 x  9  y 2  8 y  16
6 x  8 y  25  0
- 140 -
1
olduğundan
2
aranan doğrunun
6.
KONU TARAMA TESTİ
1.
Bir kenarı x-ekseni üzerinde olan,
köşegenleri (0,1/2) noktasında kesişen
karenin alanı kaç birim karedir?
A) 1/4
B) 1/2
C) 1
D) 2
E) 4
Taralı bölge aşağıdaki eşitsizliklerden
hangisi ile verilmiştir?
2.
A(-1,3) ve B(2,-4) noktaları için
|AB|=?
A)
58
B)
55
C) 5 2
D) 7
A) x  1 ve y  2
B) |x|  1 ve |y|  2
C) |x|  1 ve |y|  2 D) |x|  1 ve |y|  2
E) |x|  1 ve |y|  2
E) 6
3.
A(0,2), B(-2,0), C(2,-1), D(-2,1),
E(0,-2) noktalarından hangisi
4. bölgededir?
A) A
B) B
C) C
D) D
7.
A(1,-1) ve B(4,2) noktalarından
geçen doğrunun eğimi kaçtır?
E) E
A) 1/2
4.
B) 1/3
C) 1
E) 3
8.
A(-1,5) noktasından geçen ve
eğimi -2 olan doğrunun denklemi
hangisidir?
A) y=-2x+3
B) y=2x-3
D) y=2x+3
A) 21/2
D) 2
B) 5
C) 3
D) 5/2
C) y=-2x-3
2
E) y=
x+1
3
9.
Eğimi 9 olan ve y-eksenini -7 de
kesen doğrunun denklemi hangisidir?
E) 2
A) y=9x+7
5.
A(0,0) ve B(3,4) noktalarından
eşit uzaklıkta bulunan noktaların
geometrik yerinin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
B) y=9x-7
D) y=-9x-7
10.
C) y=-9x+7
E) y=
9
x-1
7
A(-2,3) ve B(4,-1) noktalarından
geçen doğrunun denklemi hangisidir?
A) 2x+3y+5=0
B) 2x-3y+5=0
C) 2x-3y-5=0
D) 2x+3y-5=0
E) 3x+2y+5=0
A) 6x-8y=25
B) 6x+8y=25
C) 3x-4y=5
D) 3x+4y=5
E) 3x+4y=25
- 141 -
11.
x-eksenini -2 de, y-eksenini 5 de
kesen doğrunun denklemi hangisidir?
17.
A) 5x+2y+10=0
B) 5x+2y-10=0
C) 5x-2y+10=0
D) 5x-2y-10=0
E) 2x+5y+10=0
A) 1
A(3,1) noktasının 3x+4y-3=0
doğrusundan uzaklığı kaç birimdir?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
18.
x+2y-2=0 ve 2x+4y+3=0 doğruları
arasındaki uzaklık kaç birimdir?
12.
3x-y+2=0 doğrusuna dik olan ve
başlangıç noktasından geçen doğrunun
denklemi hangisidir?
A)
A) x-3y=0
B) x+3y=0
C) 3x-y=0
D) 3x+y=0
E) x+y=0
C) 1
D) 2
A) 40
E) 3
C) 2
D) 3
A) 1
E) 4
C) -2
D) 4
E) 4
B) 30
C) 25
D) 20
E) 15
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A(7,3) noktasından geçen ve xekseni ile pozitif yönde 45o lik açı yapan
doğrunun eksenlerle oluşturduğu
üçgensel bölgenin alanı kaç birim
karedir?
2x+5y-7=0 ve 15x+ay+4=0
doğrularının dik olması için a ne
olmalıdır?
B) -4
D) 3
5
21.
15.
A) -6
4
A(1,3), B(5,7), C(4,8), D(a,b)
noktaları bir dikdörtgenin köşeleridir.
a+b=?
x+2y-2=0 ve 2x+ky+3=0
doğrularının paralel olması için k kaç
olmalıdır?
B) -1
2 5
C)
20.
14.
A) -2
7
2x+5y-20=0 doğrusu ve
koordinat eksenlerinin oluşturduğu
üçgensel bölgenin alanı kaç birim
karedir?
x+y-3=0 ve x-2y+2=0 doğrularının
kesim noktasının apsisi kaçtır?
B) 4/3
5
B)
19.
13.
A) 5/3
3
E) 6
A) 2
16.
A(-4,3) ve B(2,-1) noktaları için
[AB] nin orta dikme doğrusunun denklemi
hangisidir?
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
22.
3x-4y=2 ve 4x-3y=-1 doğrularının
oluşturduğu açılardan birinin açı
ortayının denklemi hangisidir?
A)3x+2y+5=0
B)3x+2y-5=0
C)3x-2y+5=0
D) 3x-2y-5=0
E) 2x+3y+5=0
A) 7x+7y=1 B) 7x+7y=-1 C) 7x-7y=1
D) 7x-7y=-1
E) x+y=7
- 142 -
23.
(5m+1)x+(m-3)y+2-3m=0
doğrularının geçtiği sabit nokta P(x,y)
ise x+y=?
28.
A) 1
A) x2+(y-1)2=4
B) (x-2)2+y2=9
C) (x-1)2+y2=1
D) (x-1)2+(y-2)2=5
B) 5/4
C) 3/2
D) 7/4
A(2,1) noktasının, y=mx+1
doğrularına göre simetriklerinin
geometrik yerinin denklemi hangisidir?
E) 2
24.
P(t+1, 2t-1) noktalarının
geometrik yerinin denklemi hangisidir?
A) y=2x+3
B) y=2x-3
D) y=3x-2
E) x2+(y-2)2=1
C) y=3x+2
29.
2x-3y+2=0 doğrusunun x+y=0
doğrusuna göre simetriğinin denklemi
hangisidir?
E) y=3x
25.
y=3x+1 doğrusu üzerinde bulunan,
(0,0) ve (-3,4) noktalarından eşit
uzaklıkta bulunan noktanın koordinatları
toplamı kaçtır?
A) 5
B) 43/9
C) 4
D) 25/8
B) 2x-3y-2=0
C)3x-2y+2=0
D)3x+2y+2=0
E)3x+2y-2=0
E) 3
30.
y=x+2 doğrusu üzerinde bulunan
ve A(-2,2) noktasına en yakın noktanın
apsisi kaçtır?
26.
A(2,1) ve B(a,2) noktaları
3x-2y+1=0 doğrusunun farklı
taraflarında ise a için aşağıdakilerden
hangisi doğrudur?
A) a< 4
B) a< 3
D) a< 1
A) -2
E) a >1
A(2,0) noktasından ve x+2=0
doğrusundan eşit uzaklıkta bulunan
P(x,y) noktalarının geometrik yerinin
denklemi hangisidir?
B) y2=4x
D) y2=16x
B) -1
D) 1
C) a< 2
27.
A) y2=2x
A) 2x+3y+2=0
C) y2=8x
E) y=16x
- 143 -
C) 0
E) 2
(x1,y1) noktasının x2+y2+Dx+Ey+F=0
çemberine göre kuvveti:
p= x12  y12  Dx1  Ey1  F dir.
ÇEMBERİN ANALİTİK İNCELENMESİ:
Düzlemde verilen bir noktaya eşit
uzaklıkta bulunan noktaların geometrik
yerine çember denir.
M(a,b) merkez ,
uzunluğu: t 
r yarıçap
x  a 2   y  b2
MP 
Bu noktadan çembere çizilen teğetin
r
x2+y2=r2 çemberi ile
y=mx+n doğrusu için:
r2(1+m2)=n2 ise doğru çembere teğettir.
x  a 2   y  b2  r 2
Çember;
Ox eksenine teğet ise r=|b| ,
Oy eksenine teğet ise r=|a| ,
Ox ve Oy eksenlerine teğet
r=|a|=|b|
mr 2 r 2
Değme noktası: ( 
, )
n n
ise
x2+y2=r2 çemberine üzerindeki
(x1,y1)noktasından
çizilen
teğetin
2
denklemi:
xx1+yy1=r
Merkezi O(0,0) olan r yarıçaplı
çember:
x2+y2=r2
(x-a)2+(y-b)2=r2 çemberine
üzerindeki
(x1,y1)noktasından
teğetin denklemi:
(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b)=r2
Genel çember denklemi:
2
x +y2+Dx+Ey+F=0
a
D
,
2
b
E
2
p
M(a,b) merkez
x2+y2+Dx+Ey+F=0 çemberine
üzerindeki
(x1,y1)noktasından
teğetin denklemi:
1
r
D 2  E 2  4 F yarıçap
2
D2+E2-4F > 0 ise gerçel çember
D2+E2-4F =0 ise nokta çember
D2+E2-4F < 0 ise sanal çember
xx1  yy1 
çizilen
çizilen
D
x  x1   E  y  y1   F  0
2
2
(x1,y1) noktası çember dışında ise
bulunan denklemler değme kirişinin
denklemidir.
2
D
   F ise Ox eksenine teğet
2
2
E
   F ise Oy eksenine teğet
2
2
Çemberlerin dik kesişme şartı:
2
D
E
    F
2
2
ise
Ox
ve
Oy
d 2  r12  r22
veya DD’+EE’=2(F+F’)
eksenlerine teğet
F(x,y)+kG(x,y)=0
F=0 ise orijinden geçer.
- 144 -
Çember demeti
UZAY GEOMETRİ
Düzlemin kesişen iki doğrusuna kesim
noktalarında dik olan doğru, düzlemin o
noktadan geçen her doğrusuna diktir.
(Düzleme diktir.)
Paralel iki düzlemin üçüncü bir
düzlemle arakesit doğruları paraleldir.
Kesişen iki düzlemin arakesitine
düzlemler
içinde
çizilen
diklerin
oluşturduğu açıya
İki düzlemli açının ölçek açısı denir.
d1  E , d2  E , d  d1 , d  d2 ise d  E
Aynı noktada kesişen üç doğruya
kesim noktasında dik bir doğru varsa,
bu üç doğru düzlemseldir.
E  F=d , d1  E , d1  d , d2  F , d2  d
iken d1Ad2 açısı ölçek açıdır.
Ölçek açısı 90o olan düzlemler
birbirine diktir denir.
Aynı düzleme dik olan iki doğru
birbirine paraleldir.
ÖRNEK:
Paralel iki doğrudan biri düzleme
dik ise, diğeri de diktir.
Dışındaki bir noktadan düzleme ve
düzlem içindeki bir doğruya dikmeler
çizildiğinde dikme ayaklarını birleştiren
doğru, düzlem içindeki doğruya diktir.
(Üç dikme teo.)
[A(ABC)]2=[A(AOB)]2+[A(AOC)]2+[A(BOC)]2
ÖRNEK:
Bir
kübün
yüzlerinin
belirlediği
düzlemler, uzayı kaç parçaya ayırır?
Paralel iki düzlem, uzayı üç bölgeye ayırır.
Üç çift paralel düzlem,
uzayı 3.3.3=27 bölgeye ayırır.
PA  E , d  E , PB  d ise AB  d dir.
- 145 -
PRİZMA:
DİKDÖRTGENLER PRİZMASI:
EĞİK PRİZMA:
Y=2(a+b)c
A=2(ab+ac+bc)
V=abc
Cisim köşegeni= a 2  b 2  c 2
Ç’:dik kesit çevresi
K:dik kesit alanı
l :yanal ayrıt
 :yanal ayrıtın taban düzlemiyle yaptığı
açı
Y=Ç’. l
(yanal alan)
A=Y+2T (alan)
T: taban alanı
V=T.h=K. l =T. l .sin 
(hacim)
ÖRNEK:
Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanları
64, 80 ve 20 cm2 ise hacmi kaç cm3 tür?
ÇÖZÜM:
a.b=64 , a.c=80 ,
a2.b2.c2=64.80.20=3202
b.c=20
, a.b.c=320
|AA’|= l , DEF dik kesit
ÖRNEK:
Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları
3, 5, 7 sayıları ile orantılıdır.
Bu prizmanın tüm alanı 568 cm2 olduğuna
göre hacmi kaç cm3 tür?
DİK PRİZMA:
Y=Ç.h
A=Y+2T
V=T.h
ÇÖZÜM:
a b c
  k
3 5 7
a=3k ,
b=5k
,
c=7k
2(ab+ac+bc) = 2(15k2+21k2+35k2)
= 142k2 = 568 ,
k=2
abc=6.10.14=840
- 146 -
KÜP:
A = 6a
ÖRNEK:
2
;
V=a
3
Yüz köşegeni = a 2
Cisim köşegeni = a 3
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
AB’B dik üçgeninde:
|AB|2 = 12+(
|AB|=
2
2
2
|PQ|= 1  2  3  14
|PQ|=|PR|=|QR|
3 2 13
) =
2
4
A(PQR)=
13
2
a 2 3 14 3 7 3


4
4
2
ÖRNEK:
Yatay bir
masa üzerinde
duran
dikdörtgenler prizması şeklindeki bir
akvaryumun genişliği 25 cm , yüksekliği
20 cm dir. Masa eğildiği zaman içindeki
su 20x25 lik yüzü tamamen örttüğü
anda, tabanın ancak dörtte üçünü
kapatıyor. Buna göre masa yatay
durumda iken suyun yüksekliği kaç cm.
dir?
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
|AB|=|BC|=|CD|=|DA|
5 2 125
) =
,
2
4
5 5
Ç(ABCD)=4.
5 5
4
|AB|2=52+(
|AB|=
5 5
2
su=4x.25.h
eğildiğinde=(20.3x:2)25
100xh=750x
h=7,5 cm.
- 147 -
KESİK PİRAMİT:
PİRAMİT:
Y=
1
Ç.h’
2
T '  h' 
    k2
T h
,
,
3
V '  h' 
    k3
V h
A=Y+T
V=
2
h'
k
h
1
T.h
3
Vk 
ÖRNEK:



h
T .h
T  TT '  T ' 
1 k  k 2
3
3

DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ:
Yüzler eşkenar üçgen
a 6
h
3
a3 2
V 
12
;
DÜZGÜN SEKİZYÜZLÜ:
Yüzler eşkenar üçgen
ÇÖZÜM:
a 2
2
3
a 2
V 
3
OP 
;
A  2a 2 3
DÜZGÜN ONİKİYÜZLÜ:
Yüzler düzgün beşgen
|AB| en kısa yol.
ACB dik üçgeninde:
DÜZGÜN YİRMİYÜZLÜ:
2
 3
7
  12 
|AB| = 
 2 
4


7
|AB|=
2
2
Yüzler eşkenar üçgen
!!! yüz sayısı+köşe sayısı-ayrıt sayısı=2
- 148 -
;
SİLİNDİR:
KONİ:
T=πr2 ;
Y=2πrh ;
Y=πra
V=
2
A=2πr(r+h) ;
V=πr h
;
A=πr(r+a)
;
1 2
πr h
3
a2=h2+r2
 =360
;
r
a
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Eşit yükseklikleri olan bir koni
silindirin hacimleri de eşittir.
Taban yarıçaplarının oranı kaçtır?
ÇÖZÜM:
Yanal alanı 10  cm2, yüksekliği 10 cm.
olan silindirin hacmi kaç cm3 olur?
ÇÖZÜM:
Y= 2 .r.h  2 .r.10  10
1
2
V=  .r 2 .h   .( ) 2 .10 
,
r
5
2
1
3
Vk=  .r 2 .h
1
2
Vs=  .R 2 .h
,
1
 .r 2 .h   .R 2 .h
3
,
r
 3
R
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Boyutları a ve b olan bir dik dörtgenin
uzun ve kısa kenarları etrafında
döndürülmesi ile oluşan dönel silindirlerin
yanal alanları ve hacimleri oranı nedir?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
2 .3
 2
3
Taban çevresi = 2 .r  2 , r=1
a2=h2+r2 , 32=h2+12
, h= 2 2
1
1
2 2
V=  .r 2 .h   .12.2 2 

3
3
3
AB yayının uzunluğu =
Y1=2πba
V1=πb2a
Y2=2πab
V2=πa2b
Y1
1
Y2
V1 b

V2 a
- 149 -
ile
KESİK KONİ:
KÜRE:
h' r '
 k
h r
A=4Πr2
2
2
3
3
;
V=
4
Πr3
3
T '  h' 
 r' 
      =k2
T h
r
V '  h' 
 r' 
       k3
V h
r
KÜRE
a2=h2+(r-r’)2
Y=π(r+r’)a
A=π(r+r’)a+π(r2+r’2)
Vk 
h
r
3
2
KUŞAĞI ve KÜRE
KAPAĞI
ALANI:
2πrh

 rr' r ' 2 

h
T  TT '  T '
3
KÜRE PARÇASI HACMİ:

Πh2(r-
h
)
3
KÜRE TABAKASININ HACMİ:
h
 .h 3

 .r12   .r22  
2
6
ÖRNEK:
Yarıçapı R olan bir küre, merkezinden
R/2 uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor.
Elde edilen kesitin alanı kaç ΠR2 dir.
ÇÖZÜM:
2
R2=d2+r2
r2=
- 150 -
3R 2
4
,
R
2
 r
2
3R 2
A=  .r 2  
4
R2= 
ÖRNEK:
Yarıçapları 30 cm. ve 40 cm. olan
kürelerin merkezleri arasındaki uzaklık
50 cm. ise bu kürelerin arakesit
çemberlerinin yarıçapı kaç cm. dir?
PAPPUS-GULDİN TEOREMİ:
l uzunluğundaki bir düzlem eğrisinin
kendisini kesmeyen bir eksen etrafında
dönmesinden oluşan
cismin alanı= 2  .r.l
ÇÖZÜM:
Alanı S olan bir düzlem parçasının kendi
düzlemi içinde bulunan ve kendini
kesmeyen
bir
eksen
etrafında
dönmesinden oluşan
cismin hacmi= 2 .r.S
302+402=502 olduğundan
küreler dik kesişiyor.
R12+R22=d2 ve R1.R2=d.r dir.
30.40=50.r ,
r=24
ÖRNEK:
ÖRNEK:
Bir kürenin , birbirine dik iki düzlemle
ara kesit çemberlerinin yarıçapları 18
cm. ve 25 cm. dir. Çemberlerin arakesit
noktaları arasındaki uzaklık 14 cm.
olduğuna göre, küreni yarıçapı kaç
cm.dir?
4x4x4 birim küpten oluşan küpte kaç
farklı küp vardır?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
1x1x1 küplerden : 4x4x4=43=64 tane
2x2x2 küplerden : 3x3x3=33=27 tane
3x3x3 küplerden : 2x2x2=23=8 tane
4X4x4 küplerden :1x1x1=13=1 tane
252=72+|OO2|2
,
2
2
2
R =24 +18
,
|OO2|=24
R=30
0lmak üzere : 13+23+33+43= 100 tane
- 151 -