PDF ( 1 )

Ankastre Mesnetli Çok Kademeli Kiri lerin Serbest Titre imleri
C.B.Ü. Fen Bilimleri Dergisi
3.2 (2007) 143 152
ISSN 1305-1385
C.B.U. Journal of Science
3.2 (2007) 143 152
ANKASTRE MESNETL ÇOK KADEMEL K R LER N
L NEER EN NE T TRE MLER
Ayla TEK N1, Erdo an ÖZKAYA2*
1
2
Celal Bayar Üniversitesi, Soma Meslek Yüksekokulu, Makine Bölümü 45100, Soma, Manisa, TÜRK YE
Celal Bayar Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisli i Bölümü 45140, Manisa, TÜRK YE
Özet:Bu çal mada keyfi noktalarda n tane kademeye sahip de i ken kesitli üç farkl kiri sistemi için serbest
titre im analizi yap lm t r. Kiri lerin her iki ucundan ankastre olarak mesnetlendi i kabul edilmi tir. Hamilton
prensibi kullan larak hareket denklemleri ve s n r artlar üç farkl kiri için elde edilmi tir. Denklemler
boyutsuzla t r larak geometrik yap ya ve malzemeye olan ba ml l k ortadan kald r lm t r. Elde edilen k smi
diferansiyel denklemler çözülerek tabii frekans denklemleri elde edilmi tir. De i ik kademe ve kesitler için tabii
frekanslar hesaplanm t r. Ayr ca kademe konumunun, oran n n ve kesidinin titre imlere olan etkiside incelenmi
ve kar la t rmalar yap lm t r.
Anahtar kelimeler: Çok kademeli kiri , Hamilton prensibi, tabii frekans
LINEAR TRANSVERSE VIBRATIONS OF A CLAMPED MULTI
STEPPED
Abstract:In this study, free vibrations of stepped beams having n different sections are investigated. Beams
were assumed to biclamped. The equations of motions and boundary conditions for three types of beam were
obtained using Hamilton s Principle. Then the equations were made non dimensional. So, the dependence of
solution on the material and the geometric shape of the system were eliminated. Solving the differential
equations, natural frequency equations were obtained. Natural frequencies were calculated for different step and
cross-section. The effects of the position, proportion and cross-section of the step on the vibrations were
determined and compared with each other.
Key words: Multi-stepped beam, Hamilton's Principle, natural frequency
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------*
Sorumlu Yazar
[email protected]
C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (2007)143 152, 2007 /Ayla TEK N / Erdo an ÖZKAYA
GR
Gerçek ya amda birçok mühendislik problemi
kademeli kiri olarak modellenebilir. Demir
yollar , köprüler, otomotiv endüstrisi ve
makine elemanlar gibi pek çok uygulama alan
vard r. Bu nedenle çok kademeli kiri lerin
titre im
analizi
önemli
mühendislik
problemlerinden biridir. Titre im analizinin en
önemli k sm sistemlerin tabii frekanslar n n
hesaplanmas d r. E er sistemlere tabii frekansa
yak n frekansta zorlama uygulan rsa sistem
rezonansa gelir ve genlikler tehlikeli bir
ekilde büyür.
Kademeli kiri titre imleri ile ilgili yap lan
çal malardan ilki Taleb ve Suppiger [1] a
aittir. Yap lan çal mada tek kademeli basit
mesnetlenmi kiri in frekans denklemi elde
edilmi ve denklemin çözümü ile tabii
frekanslar bulunmu tur. Balasubramanian ve
Subramanian [2,3] yapt klar çal malarda orta
noktas ndan tek kademeli kiri titre imlerini
incelemi tir. Jang ve Bert [4] ilk çal mas nda
de i ik s n r artlar nda tek kademeli kiri için
frekans denklemlerini elde etmi ve dairesel
kesitli kiri için en küçük tabii frekanslar
hesaplam t r. Elde edilen sonuçlar sonlu
elemanlar metodu ile elde edilen sonuçlarla
kar la t rm lard r. Jang ve Bert [5] di er
çal malar nda ise referans [4] de elde edilen
frekans denklemlerinden yararlanarak yüksek
mod yap lar için tabii frekanslar elde
etmi lerdir. Sato [6] her iki ucu ankastre ve
basit olarak mesnetlenmi bir kademeli
dikdörtgen kesitli kiri için nonlineer titre im
analizi yapm çözüm için matris metodunu
kullanm t r. Sonuçlar Galerkin metodu
kullan larak elde edilen lineer mod yap lar ile
kar la t r lm t r. Sar gül ve Aksu [7,8] iki ucu
da ankastre kiri
ve millerin serbest
titre imlerini incelemek için sonlu farklar
tekni ini kullanm
ve geli tirilen tekni i
üniform ve üniform olmayan kademeli kiri ve
aftlar n dinamik analizi için uygulam t r.
Enerji
fonksiyoneli,
yer
de i tirme
elemanlar na göre minumum duruma getirilip
tabii frekanslar ve mod ekilleri hesaplam t r.
144
Naguleswaran [9] yapt
çal mada s n r
artlar n n tüm durumlar için tek kademeli üç
farkl Euler-Bernoulli kiri inin (dairesel,
dikdörtgen kesitli) hareket denklemlerini elde
etmi ve hareket denkleminden yararlanarak
ilk üç tabii frekans hesaplam t r. Dong,
Meng, Li, Ye [10] taraf ndan yap lan
çal mada farkl malzemeden yap lm tek
kademeli Timoshenko kiri inin serbest
titre imleri üzerinde durulmu tur. Özkaya,
Tekin, Ekici [11] yapm olduklar çal mada
bir ucu ankastre di er ucu serbest kademeli
kiri lerin Rayleigh ve Rayleigh-Ritz metodu
kullanarak tabii frekanslar n hesaplam lard r.
Elde ettikleri sonuçlar gerçek de erlerle
kar la t rm lard r.
Bu çal mada, mühendislik uygulamalar nda
yayg n olarak kullan lan üç farkl prizmatik
kesitli kiri sistemi ele al nm t r. Birinci kiri
sabit yükseklik de i en geni lik, ikinci kiri
de i en yükseklik sabit geni lik, üçüncü kiri
de i en yükseklik ve geni likteki dikdörtgen
kesitli kiri tir. Her iki ucundan ankastre olarak
mesnetlendi i kabul edilen kiri için titre im
analizi yap lm t r. Çözüm için Hamilton
prensibi kullan larak en genel hal hareket
denklemleri elde edilmi tir. Bu denklemlerin
çözümü ile üç farkl kesite sahip tek kademeli
kiri için tam sonuç veren frekans denklemleri
elde edilmi tir. Bir, iki ve üç kademeli kiri
için elde edilen tabii frekans de erleri tablo
halinde verilmi tir. Tek kademeli üç farkl
kiri tipi içinde mod yap lar n veren grafikler
çizilmi tir.
2.HAREKET DENKLEMLER
nceledi imiz sistem n kademeli, ankastre
ankastre olarak mesnetlenmi
dikdörtgen
kesitli kiri sistemidir. Kullan lan kiri lerden I.
tip sabit yükseklik de i en geni li e sahip, II.
tip de i en yükseklik sabit geni li e sahip, III.
tip de i en yükseklik ve geni li e sahip
dikdörtgen kesitli kiri sistemidir. ekil-1'de
çok kademeli ankastre olarak mesnetlenmi
kiri sistemi ve üç farkl kiri tipi için kesitler
görülmektedir.
Ankastre Mesnetli Çok Kademeli Kiri lerin Serbest Titre imleri
X2
X1
Xn
I. tip kiri
II. tip kiri
III. tip kiri
ekil 1: Çok kademeli ankastre mesnetli kiri sistemi ve kesitleri
Sistemin Lagrangian
xm
n
1
£=
2m
1
Am 1 wm
0
u ekilde yaz labilir:
2
1
xm
xm
1
EI m 1 wm2 1 dx
dx
Burada
x 0 0 ve x n 1 L
Denklemde n kademe say s n ,
her bir parças n n yer de i tirmesini, E Young
modülünü, I m 1 kademeli kiri in asal eksene
göre kesit atalet momentini, (.)zamana göre
türevi, ( )
x e göre türevi gösterir.
dir.
kiri in
yo unlu unu,
Am
alan n , wm
kiri in kademelerle bölünmü
1
(2.1)
xm
kademeli kiri in kesit
1
Hamilton prensibine göre
t2
£dt=0
(2.2)
t1
Lagrangian ifadesi yerine denklem (2.1)
yaz l p gerekli matematiksel i lemler yap l rsa
ve boyuna yer de i tirmeler elimine edilirse üç
Am 1 wm
1
EI m 1 wmv
1
0
farkl kiri için a a daki diferansiyel denklem
elde edilir.
m=0,1,2,
Denklem (2.3) te n+1 tane birbirine ba l
denklem tak m elde edilir. Bu denklemlerin
wP ( x P , t ) wP 1 ( x P , t ),
wP ( x P , t )
EI P wP ( x P , t ) EI P 1 wP 1 ( x P , t ) 0;
EI P wP ( x P , t ) EI P 1 wP 1 ( x P , t )
A a daki tan mlar
boyutsuzla t r labilir.
x*
yap larak
x / L, w p * w p / L,
bp
p
1
ve
b1
Denklem (2.7)'de
p
.,n
(2.3)
çözümü için süreklilik
yaz labilir.
artlar
u
wP 1 ( x P , t )
0
ekilde
(2.4)
(2.5)
p 1,2,.......n
denklemler
x p / L, t *
( EI 1 / A1 L4 )1 / 2 t
hp
p
boyutsuz parametresi
kademeli kesit geni liklerinin birinci kesit
(2.6)
1
(2.7)
h1
geni li ine
oran n
ve
p
boyutsuz
paremetresi ise kademeli kesit yüksekliklerinin
145
C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (2007)143 152, 2007 /Ayla TEK N / Erdo an ÖZKAYA
birinci kesit yüksekli ine oran n ifade
etmektedir. Boyutsuzla t rma sonucu a a daki
wm*
I.tip kiri için
II. ve III. tip kiri için
wm*
1
wm*
2
m
1
iv
0,
1
iv
wm*
denklemler elde edilir.
(2.8)
0
1
m=0,1,2,
n
(2.9)
Süreklilik artlar u ekilde yaz labilir.
w*p (
I. tip kiri için
w p* (
p ,t
p ,t
*
*
w*p 1 (
)
p
)
p ,t
*
w p* (
),
w p* 1 (
p ,t
*
*
p, t
), w p * (
w p* 1 (
)
p, t
*
p
)
p 1
w *p (
II. tip kiri için
III. tip kiri için
p ,t
*
w p* (
*
p ,t )
w *p (
p ,t
w p* (
*
)
3
p
3
p 1
p ,t
*
), w p* (
w p* 1 (
w *p 1 (
p,t
p
3
p
p 1
3
p 1
*
p ,t )
w p *1 (
(2.11)
p , t)
p 1
w *p 1 (
)
(2.10)
p , t)
*
p, t
*
w p* 1 (
)
*
*
p , t ), w p (
w p* (
),
w p* 1 (
p, t
*
p , t ),
3
p
*
p, t )
*
)
3
p 1
w p* 1 (
wp* (
(2.12)
p , t)
w p *1 (
(2.13)
p , t)
(2.14)
p , t)
*
p, t )
p
3
p
p 1
3
p 1
w p *1 (
p , t)
(2.15)
(2.15) de elde edilen süreklilik artlar için
çözülecektir. Elde edilen genel formlar
kullan larak tek kademeli üç farkl kiri için
tabii frekans denklemleri ve
,
parametresinin baz de erleri için tabii
frekanslar elde edilecektir. ki ve üç kademeli
durumlar için elde edilen tabii frekans
de erleri tablo olarak verilmi tir.
Yukar daki
denklemlerde
1
ve
0
1 al nm t r.
Bundan sonra yap lan
0
i lemlerde kolayl k olsun diye boyutsuz
paremetrelerden (*) i areti kald r lacakt r.
3.ANAL T K ÇÖZÜM
Bu bölümde denklem (2.8) ve (2.9) da elde
edilen hareket denklemleri denklem (2.10)-
wm
1
m=0,1,2,
( A sin t B cos t )Ym 1 ( x)
.,n
(3.1)
Yukar da
sistemin tabii frekans n gösterir.
Denklem (3.1) denklem (2.8) ve (2.9) a
yerle tirilirse a a daki denklemler elde edilir.
I. kiri için
Ymiv 1
II. ve III. kiri için
Ymiv 1
2
Ym
1
2
2
(3.2)
0
1
Ym
1
(3.3)
0
m
Ortak s n r artlar a a daki ekli al r.
I.kiri için
146
Yp (
p)
Yp 1(
p ),
Yp (
p)
Yp 1(
p)
(3.4)
Ankastre Mesnetli Çok Kademeli Kiri lerin Serbest Titre imleri
Yp (
p
p)
Yp 1(
p ),
Yp (
p
p)
p 1
II.kiri için
III.kiri için
Yp (
p)
Yp (
p)
Yp (
p)
Yp (
p)
p=1,2,3
Yp
1) ( p ),
3
p
3
p 1
Yp 1(
(3.5)
p)
p 1
Yp (
Yp 1(
Yp 1(
p ),
p ),
Yp (
p
3
p
p 1
3
p 1
Y( p 1 (
p)
Yp 1(
Yp (
p)
p ),
3
p
p)
3
p 1
Yp 1(
Yp (
(3.6)
p)
Yp 1(
(3.7)
p)
(3.8)
p)
p)
p
3
p
p 1
3
p 1
Yp 1(
p)
(3.9)
,n
Denklem (3.2-3.3) den n+1 tane diferansiyel
denklem elde edilir. Bu denklemler için u
ekilde bir çözüm önerilebilir.
Ym
1
C m1 1 Sink m x C m2 1Cosk m x C m3 1 Sinhk m x C m4 1Coshk m x
Denklem (3.10) da m=0,1,2,
denklemde
.n dir. Bu
, I. tip kiri için k m
II. ve III. tip kiri ler için ise k m
1/
1 ve
m
dir.
Tek kademeli, de i ik kesitli ve de i ik s n r
artlar na sahip kiri ler için tabii frekans
denklemleri Tablo-1 de verilmi tir. Denklem
(3.10)
(3.2-3.3) kullan larak istenilen kademe say s
için tabii frekans denklemi bulunabilir.
Kademe say s
artt kça tabii frekans
denklemini analitik olarak elde etmek
zorla maktad r. Tablo 2, Tablo 3 ve Tablo4 de de i ik kademeler için ilk üç tabii frekans
de erleri verilmi tir.
edilen hareket denklemleri farkl durumlar
içinde kullan labilir.
4. SONUÇLAR
Bu çal mada ankastre mesnetli çok kademeli
üç farkl kiri sistemi ele al nm t r. Sistemin
en genel hal hareket denklemleri ç kart lm ,
denklemler boyutsuzla t r larak çözümün
kullan lan malzemenin cinsine ve sistemin
geometrik yap s na olan ba ml l
ortadan
kald r lm t r. Elde edilen k smi diferansiyel
denklemler çözülerek tek kademeli durum için
tam sonuç veren tabii frekans denklemi analitik
olarak elde edilmi tir. Tek, iki ve üç kademeli
üç farkl kiri için kademelerin yerleri ve
oranlar de i tirilerek ilk üç tabii frekans
hesaplanm t r. Kiri e uygulanan kademelerin
konumlar de i tirildi inde lineer frekanslar
farkl ekilde de i mektedir. Kademe say s n n
artmas ile bütün modlar için tabii frekans n
azald
gözlenmi tir. Üç farkl kiri tipi için
mod yap lar n veren grafik çizilmi tir. Elde
5.TE EKKÜR
Bu çal ma 104M427 nolu proje kapsam nda
TÜB TAK taraf ndan desteklenmektedir.
6.KAYNAKLAR
[1] N.J. TALEB and E.W. SUPPIGER 1961
Journal of Aerospace Engineering 28, 295-298.
Vibrations of stepped beams.
[2]
S.
BALASUBRAMANIAN
and
G.
SUBRAMANIAN 1985 Journal of Sound and
vibration 99, 563-567.On the performance of a
four-degree-of-freedom per node element for
stepped beam analysis and higher frequency
estimation.
[3]
G.
SUBRAMANIAN
and
T.
S.
BALASUBRAMANIAN 1987 Journal of Sound
and vibration 118, 555-560. Beneficial efects of
steps on the free vibration characteristics of beams.
147
C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (2007)143 152, 2007 /Ayla TEK N / Erdo an ÖZKAYA
[4] S.K. JANG , C.W.BERT 1989 Journal of
Sound and Vibration 130(2), 342-346, Free
Vibration of stepped beams: Exact and Numerical
Solutions.
[5] S. K. JANG and C. W. BERT 1989 ,Journal of
Sound and vibration 132, 164-168. Free vibrations
of stepped beams: higher mode frequencies and
efects of steps on frequency.
[6] H. SATO 1980 Journal of Sound and
Vibration 72, 415-422, Non-linear free
vibrations of stepped thickness beams.
[7] A.S. SARIGUL and G.AKSU 1986,
Mechanism and Machine Theory 21,1-12, A finite
difference method for the free vibration analysis of
stepped Timoshenko beams and shafts.
[8] A.S. AYDIN and G.AKSU 1981, Metu Journal
of pure and applied sciences 14, 130-156. Free
Geli Tarihi: 21/02/2007
148
vibration analysis of nonuniform and stepped
thickness beams and shafts.
[9] S. NAGULESWARAN 2002, Journal of Sound
and Vibration 252, 751-767, Natural frequencies,
sensitivity and mode shape details of an EulerBernoulli beam with one-step change in crosssection and with ends on classical supports.
[10] X. DONG, G. MENG, H. LI, L. YE 2005,
Mechanics Research Comminications 32, 572-581,
Vibration analysis of a stepped laminated
composite Timoshenko beam.
[11] E. ÖZKAYA, A. TEK N, H. O. EK C 2004,
Soma Meslek Yüksekokulu Teknik Bilimler Dergisi
2, 5-15, Kademeli millerin tabii frekanslar n n
Rayleigh ve Rayleigh-Ritz Metodlar
ile
hesaplanmas .
Kabul Tarihi: 30/04/2007
Ankastre Mesnetli Çok Kademeli Kiri lerin Serbest Titre imleri
Tablo-1: Tek kademeli üç farkl kiri tipi için tabii frekans denklemleri
I. tip kiri
Kiri
tipi
Tabii frekans denklemleri
4
2
4
2
cos[
2
II. tip kiri
k
4
k
k
6
4
6
2k
2
2k
{ 4 4k 4
3
2k
3
k
2
2
6
)
3
2
6
6
cos[ (k ( 1
k4
2
6
cos[ (k
4
2
6
2k
3
2k
2k
3
)
cos[ (k
sin[ (k ( 1
2
)
6
] cosh[
] cosh[
2
]
2
]
cos[
] cosh[
cos[
2
2
]
] cosh[
2
cos[
2
] cosh[
2
]
]
3
cos[ (k ( 1
3 3
3
)
6
) cos[
k )] cosh[ (k
sin[ (k
)
)] cosh[ (k
cos[ (k
] cos[ (k ( 1
] cosh[ (k ( 1
k )] cosh[ (k ( 1
)
] cosh[
)] 2k
k )] 2k
k )] 2k
k )] cosh[ (k
3
)
2
2
3
3
3
4
)] 2k
)] cosh[ (k ( 1
cos[ (k ( 1
cos[ (k
)
)
cos[ (k
3
sin[ (k ( 1
)
)] cosh[ (k
k )] cosh[ (k
6
)]
)
)]
)
)]
)]
k )]
k )]
k )] cosh[ (k
)
)
)] cosh[ (k ( 1
k )] cosh[ (k ( 1
cos[ (k ( 1
cos[ (k
k )] k
k )] sinh[ (k ( 1
)] 2k 3
)
)
k )]
)] sinh[ (k
k )]
k )]}
) cos[k ( 1
)
)] cosh[ (k ( 1
)] cosh[ (k
k )] sinh[ (k ( 1
)] sinh[ (k
] 2k
2
3
cos[ (k ( 1
)] cos[ (k
)] cos[ (k ( 1
k )] cos[ (k
k )] 2k
)
)] 4( 1 k 4
)] cosh[k ( 1
)
)
k )] cosh[ (k
)
2
)] 4( 1 k 4
)] cos[ (k ( 1
)] 2k
k )] cosh[ (k ( 1
)
cos[
) cos[
]
k )] cos[ (k
)
2
4( 1
)] cos[ (k
)] cosh[ (k ( 1
cos[ (k ( 1
sin[ (k
3
)
)] sinh[ (k
4( 1 k 4
2
] 2k 2
)
)
)] cosh[ (k
)
]
]
)] cosh[k ( 1
k )] sinh[ (k ( 1
cos[ (k ( 1
3
) cos[k ( 1
3
2
2
2
] cosh[
k )] 2k
4
k
] cosh[
]} cosh[
k )] cosh[ (k
sin[ (k ( 1
{ 4 4k 4
2
cos[
)] cosh[ (k ( 1
)
cos[ (k
sin[ (k
3
6
2
2
k )] cosh[ (k ( 1
cos[ (k ( 1
3
4
)] cosh[ (k ( 1
)
cos[ (k
) 2 cos[
( 1
cos[
4( 1 k 4
cos[ (k ( 1
2k
k
]
]
]
cos[ (k ( 1
6
4
) cos[
] cosh[
3
2k
2
6
] cosh[
4 cos[
k
III. tip kiri için
{( 1
3
)] 2k
3
3
3
cos[ (k
sin[ (k
)
2
6
) cos[
] cosh[ (k ( 1
k )] cosh[ (k ( 1
)
] cosh[
)] 2k
)] 2k
k )] 2k 2
)] cosh[ (k
k )] cosh[ (k
)
)
k )] 2k
k )] cosh[ (k
k )] sinh[ (k ( 1
3
k )] k
)
] cos[ (k ( 1
2
3
3
2
)] 2k
3
cos[ (k ( 1
6
)] cosh[ (k ( 1
)
sin[ (k ( 1
)] cosh[ (k ( 1
k )] cosh[ (k ( 1
)
)] cosh[ (k
k )]
)
k )] cosh[ (k
cos[ (k
3
)
cos[ (k ( 1
cos[ (k
cos[ (k
4
3
)]
)]
k )]
k )] cosh[ (k
)
)
)] sinh[ (k
k )]
k )]
k )]}
149
C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (2007)143 152, 2007 /Ayla TEK N / Erdo an ÖZKAYA
Tablo-2: Tek kademeli üç farkl kiri tipi için de i ik
frekans
1, 1
3
0.25
0.50
28.4417
19.9091
61.9813
66.3040
117.4907
114.6162
0.75
18.7477
54.5791
116.3613
0.25
0.50
24.5808
21.8505
62.4773
62.6000
120.3586
119.6126
0.75
20.7078
59.5429
119.6714
0.25
0.50
19.2428
20.4653
55.9780
65.1950
117.2328
116.0860
0.75
27.4270
62.2336
118.3210
1.0
1.00
22.3732
61.6728
120.9575
0.2
0.25
0.50
7.8140
11.5976
21.1566
20.4034
39.2076
49.3245
0.75
8.7563
37.4580
68.1375
0.25
0.50
15.9250
14.8373
37.9675
44.3571
68.9790
81.7582
0.75
17.1149
46.6647
100.3682
0.25
0.50
41.5279
47.5463
152.6078
100.2677
341.6976
237.6737
0.75
38.4205
101.8890
176.5982
1.0
1.00
22.3732
61.6728
120.9575
0.2
0.25
0.50
7.9216
13.2701
21.7692
49.3352
42.0785
85.9713
0.75
6.9159
38.2579
76.7182
0.25
0.50
17.4444
14.6697
40.7346
44.4759
67.4941
82.2323
0.75
15.1864
42.2375
103.1324
0.25
0.50
31.0673
53.0768
155.4323
93.3246
351.8107
243.8443
0.75
39.4229
107.5393
239.0644
1.00
22.3732
61.6728
120.9575
I. tip kiri
0.5
II. tip kiri
0.5
4.0
III. tip kiri
de erlerine kar l k gelen ilk üç tabii
2
4.0
0.5
4.0
1.0
150
ve
1
0.2
1
,
Ankastre Mesnetli Çok Kademeli Kiri lerin Serbest Titre imleri
Tablo-3: ki kademeli üç farkl kiri tipi için de i ik ,
frekans
1, 1
2, 2
0.8
0.25
I. tip kiri
0.4
2.0
2.0
0.8
II. tip kiri
0.4
2.0
2.0
0.8
III. tip kiri
0.4
2.0
2.0
0.8
1.0
4.0
0.25
0.8
1.0
4.0
0.25
0.8
1.0
4.0
1
2
ve
1
de erlerine kar l k gelen ilk üç tabii
2
3
0.15
0.35
25.43216
61.46335
124.92923
0.25
0.55
21.14229
63.87679
119.51674
0.45
0.75
19.87135
57.43618
118.0184
0.15
0.25
0.35
0.55
23.53501
24.98344
65.18724
63.00526
126.06197
119.13035
0.45
0.75
23.93674
63.46405
119.1934
0.15
0.25
0.35
0.55
21.00059
19.70941
58.67115
59.90623
118.54021
119.19772
0.45
0.75
19.70941
59.90623
119.19772
0.15
0.25
0.35
0.55
19.49318
20.85101
58.24138
60.30625
119.19884
119.05665
0.45
0.75
23.92341
63.22323
119.93316
0.15
0.25
0.35
0.55
11.66172
11.38837
25.07756
29.05490
73.07287
57.30808
0.45
0.75
11.07848
36.14706
80.57156
0.15
0.25
0.35
0.55
17.73586
17.96991
47.26159
45.17302
96.70434
76.93207
0.45
0.75
17.82644
42.72606
86.82310
0.15
0.25
0.35
0.55
21.26245
22.47514
65.18045
69.04712
135.73194
135.33090
0.45
0.75
22.47541
69.04712
135.33090
0.15
0.25
0.35
0.55
49.85876
48.37355
161.33289
121.29444
296.13440
279.41354
0.45
0.75
45.40649
113.59916
192.28904
0.15
0.25
0.35
0.55
12.74339
13.02773
29.27688
28.35371
40.18606
61.07955
0.45
0.75
9.28386
36.75899
84.83832
0.15
0.25
0.35
0.55
16.46365
18.11491
47.20979
49.15587
106.40963
76.78723
0.45
0.75
18.58322
42.45848
90.52337
0.15
0.25
0.35
0.55
18.90516
18.16933
60.26108
62.40693
128.93962
128.05648
0.45
0.75
18.16933
62.40693
128.05648
0.15
0.25
0.35
0.55
42.18572
50.07037
162.26972
113.56197
276.17446
298.25007
0.45
0.75
52.92484
118.52904
200.17287
151
C.B.Ü. Fen Bil. Dergisi (2007)143 152, 2007 /Ayla TEK N / Erdo an ÖZKAYA
Tablo-4: Üç kademeli üç farkl kiri tipi için de i ik
frekans
2,
1, 1
I. tip kiri
0.8
0.65
2.0
II. tip kiri
0.8
4.0
0.8
6.0
0.65
2.0
0.25
1.2
2.0
0.8
4.0
0.8
6.0
0.65
2.0
0.25
1.2
2.0
3
0.25
1.2
2.0
III. tip kiri
3,
2
0.8
4.0
6.0
1
,
de erlerine kar l k gelen ilk üç tabii
ve
2
3
1
2
0.15
0.25
0.35
0.55
0.60
0.80
21.78023
20.61641
68.92574
58.68034
123.47458
116.83192
0.35
0.65
0.90
20.14623
57.66912
115.86803
0.15
0.25
0.35
0.55
0.60
0.80
20.29484
19.07655
58.93854
58.37731
118.41896
118.20379
0.35
0.65
0.90
19.11845
57.99471
120.87265
0.15
0.25
0.35
0.55
0.60
0.80
19.98489
22.45492
58.56833
61.61795
119.32659
119.60693
0.35
0.65
0.90
23.67760
62.91361
126.23689
0.15
0.25
0.35
0.55
0.60
0.80
10.80371
12.54548
31.97607
33.77504
53.19297
71.94161
0.35
0.65
0.90
14.24307
40.08662
79.138810
0.15
0.25
0.35
0.55
0.60
0.80
19.67366
22.26046
63.14789
66.91896
128.17729
133.09327
0.35
0.65
0.90
22.52071
63.46082
158.71831
0.15
0.25
0.35
0.55
0.60
0.80
64.54878
62.03908
185.01863
138.99625
336.70813
300.83137
0.35
0.65
0.90
54.45095
135.33903
248.81432
0.15
0.25
0.35
0.55
0.60
0.80
11.92547
10.97491
33.64719
32.85169
53.51806
73.68745
0.35
0.65
0.90
13.63640
35.84716
71.01432
0.15
0.25
0.35
0.55
0.60
0.80
16.98264
18.28503
60.63037
58.81616
120.53019
125.49170
0.35
0.65
0.90
18.06845
57.11278
162.45541
0.15
0.25
0.35
0.55
0.60
0.80
67.12871
69.33147
183.27529
144.94608
319.36474
317.65618
0.35
0.65
0.90
60.35233
150.53499
218.43598
3
3
3
2
2
2
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
I. tip kiri
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0.1
II. tip kiri
ekil-2:Tek kademeli üç farkl kiri tipi için ilk üç mod yap s n veren grafik (
152
3
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
III. tip kiri
1
0.5 ve
1
0.25 )
1