PDF ( 11 )

Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi
Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering
AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301 (1-7)
AKU J. Sci. Eng. 13 (2013) 011301 (1-7)
DOI: 10.5578/fmbd.5424
Araştırma Makalesi / Research Article
Yarı Değişmeli Halkaların Bir Genelleştirmesi
Murat ATİK
Özel Zafer Lisesi, Afyonkarahisar.
e-posta: [email protected]
Geliş Tarihi:21.03.2013; Kabul Tarihi:06.05.2013
Özet
Anahtar kelimeler
İnmiş halkalar;
Yarıdeğişmeli halkalar;
Katı halkalar.
( ) =
bir halka ve da nin bir endomorfizması olmak üzere eğer, , ∈ için
= 0 olması
0 olmasını gerektiriyor ise, bu durumda endomorfizmasına soldan yarıdeğişmelidir denir. Eğer bir
halkasının soldan yarıdeğişmeli bir
endomorfizması varsa, bu durumda
halkasına soldan
−yarıdeğişmeli halka denir. Bu çalışmada yarıdeğişmeli halkalar için bilinen bir çok sonuç soldan
−yarıdeğişmeli halkalara genelleştirilecektir.
A Generalization of Semicommutative Rings
Abstract
Key words
Reduced Rings;
Semicommutative
Rings; Rigid Rings.
For an endomorphism of a ring , the endomorphism is called left semicommutative if
=0
implies ( ) = 0 for , ∈ . A ring is called left −semicommutative if there exists a left
semicommutative endomorphism of . In this paper, varios results of semicommutative rings are
extended to left −semicommutative rings.
© Afyon Kocatepe Üniversitesi
1. Giriş
Bu çalışma boyunca
birimli bir halkayı ve aksi
belirtilmedikçe
da
halkasının birimden ve
sıfırdan farklı bir endomorfizmasını gösterecektir.
Eğer bir halkasının sıfırdan farklı eşkare elemanı
yoksa, bu halkaya inmiş (reduced) bir halka denir.
(Lambek, 1971) de; , , ∈ için
=0⟹
=0
şartını sağlayan bir halkayı simetrik halka olarak
adlandırmıştır. Diğer taraftan (Habeb, 1990) da,
, ∈ için
=0⟹
=0
gerektirmesini sağlayan halkaları sıfır değişmeli
olarak isimlendirirken aynı şartı sağlayan halkalara
(Cohn,1999) da terslenebilir (reversible) halkalar
demiştir. Terslenebilir halkaların bir genelleştirmesi
yarıdeğişmeli
(semicommutative)
halkalardır.
, ∈ için
=0⟹
= 0 oluyorsa bu
halkasına yarıdeğişmeli bir halka denir. Her inmiş
halka simetrik fakat bunun tersi doğru değildir. Her
simetrik halka da yarıdeğişmeli bir halkadır.
Yarıdeğişmeli halkalarla ilgili günümüze kadar
birçok çalışma yapılmıştır. Bunlardan bir kısmı
kaynaklar bölümünde verilmiştir. Tekrar
bir
halkasının bir endomorfizması olmak üzere eğer
( ) = 0 ⟹ = 0 veya denk olarak
∈ için
( ) = 0 ⟹ = 0 oluyorsa bu durumda
halkasına −katı ( −rigid) halka denir. (Krempa,
1996). Eğer
bir −katı halka ise, bu durumda
açık olarak
inmiş bir halka ve
bir
monomorfizmadır.
2. Materyal ve Metot
Son yıllarda yarıdeğişmeli
halkaların bir
genelleştirilmesi (Başer,M. , Harmancı, A. ve Kwak,
T.K. , 2008) tarafından yapılmıştır. Bu çalışmada;
bir halka ve ; nin bir endomorfizması olmak
Yarı Değişmeli Halkaların Bir Genelleştirmesi, Atik
üzere, , ∈ için
=0⟹
( ) = 0 şartını
sağlayan halkalar −yarıdeğişmeli halkalar olarak
adlandırılmıştır. Bu çalışmada ise , ∈ için
=0⟹ ( )
= 0…..( )
özelliğini sağlayan halkalar dikkate alınmıştır. Şimdi;
=
0
| , , ∈ℤ
3. Soldan
halkasının
=
0
0
=
0 0
0
şeklinde tanımlanan endomorfizmalarını göz önüne
alalım. Bu
halkasının −yarıdeğişmeli olduğu
yukarıda adı geçen makalede gösterilmiştir. Fakat
bu halka ( ) özelliğini sağlamaz.
Gerçekten;
=
1 −1
,
0 0
=
0 1
∈
0 1
için
=
fakat
1 1
=
∈
0 0
için ( )
0 2
=
≠
0 0
Yani ( )
≠ dır. Diğer taraftan halkasının
endomorfizması ile birlikte ( ) özelliğini sağladığı
Örnek 3.5 de gösterilmiştir. Fakat bu
halkası
−yarıdeğişmeli değildir.
Gerçekten;
=
1 1
,
0 0
=
0 1
∈
0 −1
için
=
fakat
=
0 1
∈
0 1
için
( )= 0
0
Tanım 3.1.
bir halka ve
da
endomorfizması olsun. , ∈ için
=0 ⟹ ( )
Yukarıdakilerin ışığı altında, biz bu çalışmada soldan
nin bir
=0
oluyorsa, bu durumda ya
ğş
dir denir. Eğer halkasının soldan yarı değişmeli
bir
endomorfizması varsa, bu durumda
halkasına
−
ğş
halka denir.
; halkasının birim endomorfizması olmak üzere;
eğer soldan −yarıdeğişmeli ise, bu durumda
açık olarak
halkası yarı değişmelidir. Soldan
−yarıdeğişmeli bir halkanın ( ) ⊆
şartını
sağlayan her bir
alt halkasıda aynı zamanda
soldan −yarıdeğişmeli bir halkadır.
Uyarı 3.2. bir soldan −yarıdeğişmeli bir halka
olmak üzere , ∈
için
= 0 olsun. Bu
durumda ( ) = 0 ve özel olarak ( ) = 0
olur. soldan −yarıdeğişmeli halka olduğundan
( ) = 0 elde ederiz. Böylece tümevarım
hipotezinden herhangi bir pozitif tamsayısı için
−2
≠
0
( )≠
Yani
dır.
Sonuç
olarak
−yarıdeğişmeli halkaların sınıfı ile ( ) özelliğini
sağlayan halkaların sınıfı birbirinden farklı, yani
aralarında bir ilişki yoktur.
AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301
− yarı değişmeli Halkalar
Bu bölümdeki amacımız soldan −yarıdeğişmeli
halka kavramını tanıtmak ve bu halka sınıflarının
özelliklerini
incelemek
olacaktır.
Soldan
−yarıdeğişmeli halka kavramı sadece −katı
halkaların bir genelleştirmesi değil aynı zamanda
yarıdeğişmeli halkalarında bir genelleştirmesidir.
Aşağıdaki tanımı vererek başlayalım.
0
0
ve
0
−yarıdeğişmeli halka kavramını tanımlayacağız.
Soldan −yarıdeğişmeli halkalar −katı halkaların
bir genelleştirilmesi olduğu kadar yarıdeğişmeli
halkalarında bir genişlemesi olacaktır. Böylece
−katı halkalar ile ilgili önceden bilinen pek çok
sonuç bizim teoremlerimizin bir sonucu olarak elde
edilecektir.
( )
= 0 ve
( ) =0
olur.
Yukarıdaki tanımdaki gerektirmenin tersinin
genellikle sağlanmadığını aşağıdaki örnekten
görürüz. Aşağıdaki örnek aynı zamanda
soldan
−yarıdeğişmeli olmayacak şekilde yarıdeğişmeli
2
Yarı Değişmeli Halkaların Bir Genelleştirmesi, Atik
bir
halkasının bir
olduğunu gösterir.
endomorfizmasının var
( , ) =( , )
→ ,
şeklinde tanımlanan endomorfizmasını göz önüne
alalım. Bu durumda açık olarak ;
nin bir
otomorfizmasıdır.
= (1,0), = (1,0) ∈
için
( ) = 0 fakat
= (1,0) ≠ 0 dır. Üstelik,
soldan −yarıdeğişmeli değildir. Gerçekten;
(1,0), (1,0) ∈
( ) = 0 ve özel olarak da
( ) ( )= (
Örnek 3.3. = ℤ ⊕ ℤ halkası olsun. değişmeli
ve inmiş halka olduğundan da yarıdeğişmeli bir
halkadır. halkasının
:
( )
)=0
elde edilir.
monomorfizma olduğundan
=0
ve inmiş olduğundanda = 0 bulunur ki, bu da
bize nin −katı olduğunu gösterir.∎
Aşağıdaki örnek Teorem 3.4. deki “ bir inmiş
halka” ve “ bir monomorfizma ” şartlarının
kaldırılamayacağını gösterir.
Örnek 3.5. (1) ℤ tamsayılar halkası olmak üzere
=
| , ∈ℤ
0
için (1,0)(1,0) = (0,0)
halkasını göz önüne alalım.
fakat
(0,0) ≠
(1,0) (1,1)(0,1) ∈
(1,0)
:
(0,1)
dir.
Teorem 3.4. Bir
halkasının −katı olması için
gerek ve yeter koşul
nin inmiş soldan
−yarıdeğişmeli bir halka ve
nın bir
monomorfizma olmasıdır.
İspat. ; −katı bir halka olsun. Bu durumda
kolayca görülebilir ki
inmiş ve
bir
monomorfizmadır.
Şimdi
nin
soldan
−yarıdeğişmeli olduğunu gösterelim.
→ ,
=
,
0
=
=
( )
ℎ
0
ℎ
=
=
( )
( ) (
=
( )
( ) (0)
=
( )
( )0
)
=0
olup, ; −katı olduğundan ( ) = 0 ve
keyfi olduğundan da ( ) = 0 elde edilir.
Tersine olarak
∈
için
soldan
−yarıdeğişmeli
AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301
( ) = 0 olsun.
halka olduğundan
∈
için
=
+
= 0 olur. Keyfi
0
( ) ( ) ( )
=
0
olsun. Buradan
= 0 ve
ℎ
bir
∈ için
0 ℎ
Bunun için , ∈ ve
= 0 olsun. ∈ keyfi
olsun. inmiş olduğundan
= 0 olur. Böylece
) ( )
0
şeklinde tanımlansın. Açık olarak
bir
otomorfizmadır.
halkasının inmiş olmadığı ve
böylece de −katı olmadığı kolayca görülebilir.
0
( ( )
−
=
0
−
0
ℎ
0
ℎ
0
ℎ
ℎ +
0
− ℎ
ℎ
olur.
= 0 ve ℤ tamsayılar halkası sıfır bölensiz
olduğundan = 0 veya = 0 olur. Eğer = 0 ise,
bu durumda
= 0 olur. Böylece ( )
=
olur. Eğer = 0 ise, bu durumda
= 0 olur.
Böylece tekrar ( )
= olur. Sonuç olarak
bir soldan β −yarıdeğişmeli halka olur.
(2)
bir cisim ve
:
→
= [ ] olsun.
,
( ) = (0)
şeklinde tanımlanan fonksiyon açık olarak
3
Yarı Değişmeli Halkaların Bir Genelleştirmesi, Atik
halkasının bir endomorfizmasıdır. Bu durumda
halkası değişmeli tamlık bölgesi ve böylece de inmiş
halka olur. Ayrıca, açık olarak bir monomorfizma
değildir. ( ), ( ) ∈ için ( ) ( ) = 0 olsun.
( ) = 0 veya
( ) = 0 olur.
Bu durumda
( ) = 0 veya ( ) = 0 olur. Sonuç
Böylece
( )
( ) = 0 elde edilir ki bu da bize
olarak
halkasının soldan
−yarıdeğişmeli olduğunu
( ) = 0 olduğundan
gösterir. 0 ≠ ∈ için
halkası −katı değildir.
Eğer halkası bir tamlık bölgesi ise, bu durumda
hem yarıdeğişmeli hem de
nin her
endomorfizması için soldan −yarıdeğişmeli dir.
Örnek 3.5(1) aynı zamanda tamlık bölgesi olmayan
fakat soldan −yarıdeğişmeli bir halkasının var
olduğunu gösterir.
Önerme 3.6.
soldan
olsun. Bu durumda;
−yarıdeğişmeli bir halka
( ) (1) = 1 olması için gerek ve yeter koşul
herhangi bir = ∈ için ( ) = olmasıdır.
( ) Eğer (1) = 1 ise, bu durumda
abelian
halkadır. (Yani deki tüm idempotentler merkezil
dir.)
İspat. ( ) (1) = 1 olduğunu kabul edelim. Eğer
= ∈
ise, bu durumda (1 − ) = 0 ve
(1 − ) = 0 olur.
soldan
−yarı değişmeli
olduğundan ( ) (1 − ) = 0 ve (1 − ) = 0
( )(1 − ) = 0 ve
elde edilir. Özel olarak
(1 − ) = 0 olur.
( )(1 − ) = 0
dan
( ) = ( ) elde edilir.
(1 − ) = 0 dan
1 − ( ) = 0 ve böylece de ( ) = olur.
Sonuç olarak ( ) = bulunur. Tersi açıktır.
:
| , , ∈ ℤ halkasını ve
0
→ ,
0 0
0
=
0
endomorfizmasını göz önüne alalım.
=
,
0
=
∈
0
için
=
olsun. Bu durumda
= 0 ve böylece de = 0
veya
= 0 elde ederiz. Bu ise ( )
=0
olduğunu verir. Sonuç olarak
soldan
−yarıdeğişmeli bir halkadır. (1) ≠ 1 ve
nin
abelian olmadığı açıktır.
Sonuç 3.8. Yarı değişmeli halkalar abelian dır.
de bir ( , ) −bimodül olsun. Bu
bir halka ve
durumda
( ,
)=
)| ∈ ,
= {( ,
⊕
}
∈
kümesi bileşensel toplama ve
( ,
)( ,
)=(
,
+
)
çarpma işlemi ile birlikte bir halkadır. Bu ( ,
)
| ∈ ,
∈
matris
0
halkasına izomorftur.
;
halkasının bir
endomorfizması olmak üzere : ( , ) → ( , )
halkası
( )
0
=
0
fonksiyonu da
endomorfizmasıdır.
( , )
( )
( )
halkasının
bir
Örnek 3.9. Örnek 3.5.(1) deki soldan
−yarıdeğişmeli halkasını göz önüne alalım.
( ) (1) = 1 ve
= ∈ olsun. ( ) deki gibi
( ) (1 − ) = 0 ve (1 − ) = 0 olduğunu
(1 − ) = 0 ve
görürüz. Böylece ( ) den dolayı
(1 − ) = 0 olur. O halde her
∈
için
(1 − ) = 0 ve (1 − ) = 0 olurki buradan
=
=
bulunur. Sonuç olarak bir abelian
halkadır.∎
0
0
0
0
=
=
için
AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301
=
Örnek 3.7.
=
1
0
0
0
0
0
0
0
−1 1
0 −1
0 1
0 0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
∈ ( , ),
∈ ( , )
dır. Fakat
4
Yarı Değişmeli Halkaların Bir Genelleştirmesi, Atik
1
0
0
0
=
0
1
0
0
0 0
0 0
1 0
0 1
( ) = 0, ( ) = 0
olduğundan
ve
( )
= 0 olur. Sonuç olarak ( ) ( , ) = 0
olur ki bu da bize
( , ) nin soldan
−yarıdeğişmeli olduğunu gösterir.∎
∈ ( , )
İçin
( )
Sonuç 3.11. Eğer
bir
durumda ( , ) soldan
halkadır.
=
0
0
0
0
1
0
0
0
1 −1
0 1
0 1
0 0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
=
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
İspat. Teorem 3.4. ve Önerme 3.10. dan açıktır.
0 2
0 0
0 0
0 0
Bir
Önerme 3.10.
inmiş bir halka olsun. Eğer
soldan
−yarıdeğişmeli bir halka ise, bu
durumda ( , ) soldan −yarıdeğişmeli halkadır.
İspat. İlk olarak nin inmiş bir halka olması için
gerek ve yeter koşulun
=0⇒
için
= 0"
olduğunu gösterelim. Bunun için inmiş bir halka
ve , ∈
için
= 0 olsun. Bu durumda
= 0 dır.
Diğer taraftan ( ) =
= 0 = 0 ve
olduğundan
= 0 bulunur. Tersine
" ,
∈
ç
=0⇒
inmiş
= 0"
olsun. nin inmiş olduğunu gösterelim. Bunun için
∈
için
= 0 olsun. Buradan 1 = 0 olup
hipotezden 1 = 0 yani = 0 bulunur. Sonuç
olarak inmiş halka olur. Şimdi
=
0
,
=
olsun. Bu durumda
Böylece
0=
ve
+
∈ ( , ) için
0
= 0 ve
=(
inmiş olduğundan
= 0 olur.
soldan
+
) =
+
=
= 0 olur.
=0
= 0 ve böylece de
−yarıdeğişmeli halka
AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301
halkasının ( , ) aşikar genişlemesi
≠
( ) ( , ) ≠
olduğundan
olur. Böylece
( , ) soldan −yarıdeğişmeli değildir.
" , ∈
−katı halka ise, bu
−yarıdeğişmeli bir
( )=
0
0
| , , ,
halkasına genişletilebilir. Eğer
homomorfizma ise, bu durumda
:
( )⟶
0
0
∈
0
:
→
bir
( ),
=
0
( )
0
0
( )
( )
0
( )
( )
( )
fonksiyonu da bir homomorfizmadır.∎
Örnek 3.12. Örnek 3.3. deki
=ℤ ⊕ℤ
değişmeli inmiş halkasını ve bu halkanın
( , ) = ( , ) otomorfizmasını göz önüne
alalım. Bu durumda ( ) halkası soldan
−yarı
değişmeli bir halka değildir. Gerçekten;
(1,0) (0,0) (0,0)
= (0,0) (1,0) (0,0) ∈
(0,0) (0,0) (1,0)
( ),
(0,1)
= (0,0)
(0,0)
( )
(0,0)
(0,1)
(0,0)
(0,0)
(0,0) ∈
(0,1)
( )
için
=
dır. Fakat
olduğundan ( ) ( ) ≠ dır.
=
=
Önerme 3.13.
bir inmiş halka olsun. Eğer
soldan −yarıdeğişmeli bir halka ise, bu durumda
( )=
0
0
| , , ,
∈
0
5
Yarı Değişmeli Halkaların Bir Genelleştirmesi, Atik
−yarıdeğişmeli bir halkadır.
halkası soldan
([
İspat.
= 0
0
,
=
∈
0
0
0
( ) için
0
olsun.
Bu durumda aşağıdaki denklemleri elde ederiz.
(1)
= 0,
(2)
+
= 0,
(3)
+
+
(4)
+
= 0.
= 0,
(2) denkleminden (
+
) = ( ) ve
inmiş halka olduğundan
= 0 olur. Benzer
olarak (4) denkleminden
= 0 ve
=0
buluruz. Aynı zamanda (3) denkleminden
+
ve buradan
denklemi
+
)
+
⎧
⎪⎛
= ⎜
⎨
⎪
⎩⎝
= ( )
Örnek 2.15.
( )=
+
)=
ve böylece
= 0 ve buradan da
soldan −yarıdeğişmeli olduğundan
= 0, ( )
= 0, ( )
= 0, ( )
= 0, ( )
= 0, ( )
= 0, ( )
= 0, ( )
=0
= 0 olur.
olur. Bunları kullanarak ( ) ( ) = olduğunu
görebiliriz ki, bu da bize ( ) halkasının soldan
−yarıdeğişmeli halka olduğunu gösterir.
0
⋮
0 0 0
⋱
⋯
⋮
⎞
⎟| ,
∈
⎠
bir
− katı halka ve
0
0
0
0
0
| ,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
∈
0
İçin
0
= 0
0
0
1 −1 0
0 0 0 ∈
0 0 0
0 0 0
( ),
0
= 0
0
0
0
0
0
0
( )
=
0 0
0 1 ∈
0 1
0 0
dır. Fakat
0
= 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 ∈
1
0
( )
İçin
( )
AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301
⋯
olsun.
bir −katı halka olduğundan ([
,
. ,
, .
, . , 2000,
Ö
5]) gereğince her
= ∈
için
( ) = dir. Böylece özel olarak (1) = 1 dir.
= 0 elde edilir. Böylece (3)
= 0 haline gelir. Bu durumda
0= (
0
0
olsun. Önerme 3.13. göz önüne alınarak ≥ 4 için
( ) halkasının da soldan −yarı değişmeli bir
halka olacağı zannedilebilir. Fakat aşağıdaki örnek
bu durumu ortadan kaldırır.
soldan −yarıdeğişmeli halka olduğundan (1)
denkleminden ( )
= 0 olur.
(
, .
, ., 2003, Ö
1.2. ])
bir inmiş halka olsun. Bu durumda ( ) halkası
yarı değişmeli bir halkadır. ≥ 2 bir tamsayı olmak
üzere bir
−katı halkası için
( )
=
( )
Sonuç 3.14.
0
= 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0 ≠
0
0
6
Yarı Değişmeli Halkaların Bir Genelleştirmesi, Atik
( )
olduğundan ( ) ( ) ≠
olur. Yani
halkası soldan −yarıdeğişmeli bir halka değildir.
( ) halkasının
Benzer şekilde
≥ 5 içinde
soldan
−yarıdeğişmeli bir halka olmadığı
gösterilebilir.
Her bir ∈ Γ için
bir halka ve
lerde
halkalarının endomorfizmaları olsun. Bu durumda
:∏ ∈
→∏ ∈
,
( ) =
şeklinde tanımlanan fonksiyonda ∏ ∈
bir endomorfizmasıdır.
( )
halkasının
Önerme 3.16. ∏ ∈
halkasının soldan
−yarıdeğişmeli olması için gerek ve yeter koşul
her bir
halkasının soldan
−yarıdeğişmeli
halka olmasıdır.
İspat. Açıktır.∎
Kaynaklar
Başer, M., Hong, C.Y. and Kwak, T.K., 2009. On Extended
Riversible Rings. Algebra Colloquium, 16(1), 37-48.
Başer, M.,Harmancı, A. And Kwak, T.K., 2008.
Generalized Semicommutative Rings and Their
Extensions. Bulletin of the Korean Mathematical
Society, 45(2), 285-297.
Cohn, P.M., 1999. Reversible rings. Bulletin of the
London Mathematical. Society, 31, 641-648.
Habeb, J.M., 1990. A note on zero commutative and duo
rings. Mathematical Journal of Okayama University,
32, 73-76.
Hong, C.Y. , Kim, N.K. and Kwak, T.K., 2000. Ore
extensions of Baer and p.p.-rings. Journal of Pure
and Applied Algebra, 151(3), 215-226.
Hong, C.Y. , Kim, N.K. and Kwak, T.K., 2003. On skew
Armendariz rings. Communications in Algebra, 31(3),
103-122.
Hong, C.Y. , Kim, N.K. and Kwak, T.K., 2005. Extensions of
generalized reduced rings. Algebra Colloquium,
12(2), 229-240.
Huh, C. , Lee, Y. and Smoktunowicz, A., 2002.
Armendariz rings and semicommutative rings.
Communications in Algebra, 30(2) 751-761.
Kim, N.K. and Lee, Y., 2000. Armendariz rings and
reduced rings. Journal of Algebra, 223, 477-488.
Kim, N.K. and Lee, Y., 2003. Extensions of reversible
rings. Journal of Pure Applied Algebra, 185, 207-223.
Krempa, J., 1996. Some examples of reduced rings.
Algebra Colloquium, 3(4), 289-300.
Rege, M.B. and Chhawchharia, S., 1997. Armendariz
rings. Japan Academy. Proceedings. Series A.
Mathematical Sciences, 73, 14-17.
AKÜ FEMÜBİD 13 (2013) 011301
7