dosyayı indir

Transkript

dosyayı indir

Bölüm
5.1
Dik Üçgen ve Trigonometri
5.1.2. Dik Üçgende Dar Açıların
Trigonometrik Oranları
Neler Öğreneceğiz?
• Dik üçgende bir açının sinüs,
kosinüs, tanjant ve kontanjant
değerlerini
Başlarken
• Dik üçgende 30°, 45° ve 60° lik
açı ölçülerinin trigonometrik
oranlarını
Günümüzde astronomi, geometri, fizik, optik
ve haritacılık gibi alanlarda sıklıkla kullanılan
trigonometrinin ortaya çıkışı eski çağlara
dayanmaktadır.
• Eşkenar üçgenin yükseklik
uzunluğu ile kenar uzunluğu
arasındaki ilişkiyi
Birçok bilim insanı Piri Reis’in Dünya haritasını hazırlarken trigonometriden yararlanmış
olabileceğini dile getirmektedir.
• Birim çemberi
• 0° ile 180° arasındaki açı ölçülerinin trigonometrik değerlerini
D
Anahtar Terimler
•Trigonometri
B
• Trigonometrik oran
•Sinüs
•Kosinüs
A
C
•Tanjant
E
•Kotanjant
Yukarıdaki şekilde verilen ABC ve ADE dik üçgenlerinin karşılıklı açıları eş olduğun-
• Birim çember
D
D
dan A. A. benzerlik kuralına göre ABC + ADE dir. Bu üçgenler için benzerlik oranı,
AB
BC
DE
BC
=
=
şeklinde yazılabilir. Orantının özellikleri kullanılarak
oranAD
DE
AD
AB
Sembol ve Gösterimler
tısı yazılabilir. Bir diğer ifade ile dik üçgenin açıları değiştirilmedikçe ilgili kenarlarının uzunlukları arasındaki oranlar da değişmemektedir. Dik üçgenin kenar uzunlukları arasında yer alan oranlara trigonometrik oranlar adı verilir. Bu bölümde sinüs,
kosinüs, tanjant ve kotanjant isimleri ile bilinen trigonometrik oranlar incelenecektir.
• sin x
• cos x
• tan x
• cot x
872
Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler
Dik Üçgende Dar Açıların Trigonometrik Oranları
sin B =
Kar ı Dik Kenar Uzunlugu
b
=
Hipotenüs Uzunlugu
c
Bir dik üçgende bir dar açının
kosinüs değeri, açıya komşu olan
dik kenar uzunluğunun hipotenüs
uzunluğuna oranıdır. Bu değer,
açının köşesinde bulunan noktayı
gösteren harfin önüne cos yazılarak
gösterilir.
cos B =
Anahtar Bilgi
A
üs
H
B
Kom u Dik Kenar Uzunlugu
a
=
Hipotenüs Uzunlugu
c
n
te
ipo
Karşı dik kenar
Bir dik üçgende bir dar açının sinüs
değeri, açının karşısında bulunan
dik kenar uzunluğunun hipotenüs
uzunluğuna oranıdır. Bu değer,
açının köşesinde bulunan noktayı
gösteren harfin önüne sin yazılarak
gösterilir.
Komşu dik kenar C
A
c
B
Bir dik üçgende bir dar açının
tanjant değeri, açının karşısında bulunan dik kenar uzunluğunun açıya
komşu olan dik kenar uzunluğuna
oranıdır. Bu değer, açının köşesinde
bulunan noktayı gösteren harfin
önüne tan yazılarak gösterilir.
tan B =
b
=
a
b
a
C
Bir dik üçgende bir dar açının kotanjant değeri, açıya komşu olan dik
kenar uzunluğunun açının karşısında bulunan dik kenar uzunluğuna
oranıdır. Bu değer, açının köşesinde
bulunan noktayı gösteren harfin
önüne cot yazılarak gösterilir.
cot B =
Matematik Tarihi
Matematiğin önemli bir
dalı olan trigonometri
Yunanca üçgen (trigon) ve
ölçüm (metrio) sözcüklerinin birleştirilmesiyle oluşup
kökleri eski zamanlarda
astronomi ve denizcilik alanında yapılan çalışmalara
dayanmaktadır. Trigonometrinin kurucusu olarak
M.Ö. 190 yılında İznik’te
doğmuş Yunan astronomu
Hipparkhos kabul edilir.
a
=
b
1
Yandaki ABC dik üçgeninde
C
4
A
|AB| = 5 cm
3
5
|AC| = 4 cm
B
Topdemir, G. H. (2011). Hipparkhos ve Trigonometrinin
doğuşu. Bilim ve Teknik, 528,
|BC| = 3 cm olarak veriliyor.
Buna göre, A açısının trigonometrik oranlarını bulalım.
(s.88-90)
873
Bölüm
5.1
Bunu biliyor muydunuz
Açı ölçülerinin trigonometrik değerleri bilimsel
hesap makineleri yardımıyla
bulunabilir. Bilimsel hesap
makinelerinde bir açı ölçüsünün trigonometrik değerini bulmak için açı ölçüsü
derece cinsinden yazılarak
istenen trigonometrik oranı
gösteren tuşa basılır.
sin A =
BC
Kar ı Dik Kenar Uzunlu u
3
olduğundan sin A =
=
Hipotenüs Uzunlu u
AB
5
cos A =
AC
4
Kom u Dik Kenar Uzunlu u
olduğundan cos A =
=
AB
5
Hipotenüs Uzunlu u
tan A =
BC
3
=
olduğundan tan A =
AC
4
cot A =
AC
4
= olarak bulunur.
olduğundan cot A =
BC
3
2
Yandaki resimde görülen bisiklet rampası yer
ile 12° lik açı yapmaktadır.
sin (12)
= 0,20791
C
12°
A
Rampanın C noktası yerden 54 cm yükseklikte olduğuna göre rampanın uzunluğunu
bulalım.
B
Dikkat
sin 12° nin yaklaşık değeri hesap makinesi yardımıyla 0,2 olarak bulunur.
Bir A açısının trigonometrik
a
oranı
şeklinde verildiğinb
de, çizilecek olan dik üçgenin
kenarlarından ikisi, k ∈ R+ olmak üzere ak ve bk şeklinde
olmalıdır.
ABC dik üçgeninde sin A =
Buradan 0, 2 .
BC
54
olduğundan sin 12° =
dir.
AC
AC
54
olup AC . 270 cm olarak bulunur.
AC
3
Ancak trigonometrik oranlar
yazıldığında k değerleri
sadeleşeceğinden trigonometrik oranların sorulduğu
soruların çözümlerinde kenar
uzunlukları a ve b olarak
alınabilir.
5
Bir ABC dik üçgeninde m ( V
olduğuna göre cos A, tan A ve
B) = 90° olup sin A =
13
cot A değerlerini bulalım.
C
13
A
874
12
5
B
A açısının karşı kenar uzunluğu 5 br, hipotenüs
uzunluğu 13 br olarak alınabilir. Bu durumda Pisagor
Teoremi’nden |AB| = 12 br olur.
12
5
12
, tan A =
ve cot A =
Böylece cos A =
13
12
5
bulunur.
4
A
B
α
Buna göre tan a ve tan b değerlerini bulalım.
β
D
C
A
B
α
G
H
D
F
ABE dik üçgeninde tan a =
ğinden tan a =
E
β
β
Yandaki şekilde verilen ABCD dikdörtgeni 6 birim kareden oluşmaktadır.
BE
oranıyla bulunabileceAB
1
tür.
3
%
%
m (HKE) = m (GFE) = b olduğundan tan b değeri GFE
K
C
üçgeninde tan b =
EG
2
= = 2 olarak bulunur.
GF
1
5
Yanda verilen BAC dik üçgeninde
A
|AB| = 3 cm
3
B
2
C
α β
2
H
%
%
m (BAC) = mÂHBh = 90° dir.
%
m (ACB) = a olduğuna göre cos a değerini hesaplayalım.
%
AHC dik üçgeninde m (HAC) = b olsun.
A
B
Müslüman Türk bilginlerinden biri olan Abul Vefa kendi
zamanının büyük bir matematikçisi ve astronomudur.
Abul Vefa’nın trigonometri
problemlerinin çözümünde
kullanılan tabloların hazırlanmasında gösterdiği başarı,
trigonometrinin gelişmesinde atılan önemli adımlardan
biri olarak gösterilmektedir.
Trigonometride bugün
kullandığımız sinüs, kosinüs,
terimleri ilk defa bu dönemde kullanılmıştır ve Arapça
kelimelerdir.
|AH| = 2 cm
α
H
3
Abul Vefa (940-998)
α
C
Üçgenin iç açı ölçüleri toplamından a + b = 90° olur.
%
ABC dik üçgeninde m (BAC) = 90° olduğundan
%
m (BAH) = a olmalıdır.
Böylece BAH dik üçgeninde cos a =
Baki, A. (2008). Kuramdan Uygulamayı Matematik Eğitimi. Harf
Yayıncılık.
2
bulunur.
3
875
Bölüm
5.1
6
Yandaki resimde bir deniz fenerine yaklaşan iki
yelkenli görülmektedir. Fenerin deniz seviyesinden
yüksekliği 25 m olduğuna göre yelkenliler arasındaki
uzaklığın yaklaşık değerini hesaplayalım.
25 m
54°
32°
x
CAD dik üçgenini kullanarak |CD| nu bulalım.
A
tan (54)
1,37638
tan 54° =
25 m
32°
x
B
1, 37 .
54°
C
D
AD
olacağından tan 54° . 1, 38 alınırsa
CD
25
ve CD . 18, 1m bulunur.
CD
BAD dik üçgenini kullanarak |BD| nu bulalım.
AD
25
tan 32° =
olacağından tan 32° . 0, 62 alınırsa 0, 62 .
ve BD . 40, 3 m
BD
BD
tan (32)
0,62487
bulunur. |BC| = |BD| – |CD| olduğundan BC . 40, 3 - 18, 1 . 22, 2 m bulunur.
7
A
ABC ikizkenar üçgen
x
|AB| = |AC|
%
m (BAC) = x
%
m (ACB) = y
y
B
Fotoğrafta görülen araç
(Sekstant), güneşin veya
yıldızların ufuk çizgisi ile
yaptıkları açıyı ölçmede
kullanılmaktadır. Gemilerin
denizlerdeki konumlarının
bulunmasında, ölçülen bu
açıların trigonometrik oranlarından yararlanılır.
C
A
D
ABC nin B köşesinden [AC] na dik bir doğru parçası çizelim.
x
tan x =
4
5
D
H
y
B
BH
3
3
= olur.
olduğundan
AH
4
4
|BH| = 3 br ve |AH| = 4 br olarak alınırsa 3-4-5 üçgeni olacağın3
Barnes A. (2007). Encyclopedia
of Trigonometry. Delhi: Global
Media.
3
4
olduğuna göre tan y değerini bulalım.
tan x =
1
C
dan |AB| = 5 br olur. ABC ikizkenar olduğundan
|AB| = |AC| = 5 br olup |AH| = 4 br olduğundan
|HC| = 1 br olup tan y =
876
BH
3
= = 3 bulunur.
HC
1
Bazı Açı Ölçülerinin (30° – 45° – 60°) Trigonometrik Oranları
30°, 45° ve 60° lik açı ölçülerinin trigonometrik oranlarını bulabilmek için bazı özel üçgenleri
kullanacağız. Bu açı ölçülerinden 45° nin trigonometrik oranlarını ikizkenar dik üçgenden,
30° ve 60° nin trigonometrik oranlarını eşkenar üçgenden yararlanarak hesaplayacağız.
45° – 45° – 90° Dik Üçgeni
C
45°
1
Yandaki ikizkenar dik üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi inceleyerek 45° lik açının trigonometrik oranlarını bulalım.
Dik kenar uzunlukları 1 birim olan ABC ikizkenar dik üçgenini ele alalım. Bu ikizkenar dik üçgenin hipotenüs uzunluğu Pisagor Teoreminden bulunabilir.
ABC dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulanırsa;
45°
A
1
B
|AC|2 = |AB|2 + |BC|2 ⇒ |AC|2 = 12 + 12 eşitliğinden
|AC|2 = 2 ve AC = 2 br bulunur.
Buna göre ABC dik üçgeninde;
BC
1
2
=
=
2
AC
2
AB
1
2
• cos 45° =
=
=
AC
2
2
• sin 45° =
• tan 45° =
BC
1
= = 1 ve
AB
1
• cot 45° =
AB
1
= = 1 olarak bulunur.
BC
1
8
C
Şekilde yerle dik durumlu olan ağacın
yerdeki gölgesi 12 m olduğuna göre ağacın
boyunu ve |AC| değerini bulalım.
45°
A
12
B
ABC dik üçgeninde tan A =
| BC |
W) = 45° ve tan45° = 1 olduğundan
dir. m ( A
| AB |
| BC |
| BC |
= 1 ise
= 1 eşitliğinden |BC| = 12 m bulunur. Benzer şekilde
12
| AB |
sin A =
| AB |
2
12
2
olduğundan
ve sin 45° =
=
ise | AC | = 12 2 m olarak
2
| AC |
| AC |
2
bulunur.
877
Bölüm
5.1
30° – 60° – 90° Dik Üçgeni
Üç kenarının uzunlukları birbirine eşit olan üçgene eşkenar üçgen denildiğini önceki
yıllarda öğrenmiştik. Bu bölümde eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğu ile bir kenarına ait yüksekliğinin uzunluğu arasındaki ilişkiyi ve 30° ile 60° nin trigonometrik oranlarını inceleyeceğiz. Bunun için aşağıdaki adımları takip ediniz.
A
Resimde görülen Uluslararası
Uzay İstasyonu’nda bulunan
robotik kol, bağlantı noktalarındaki açıların kontrol edilmesiyle çalışmaktadır. Kolun
ucunda bulunan astronotun
konumunun belirlenmesi, bu
açıların trigonometrik oranlarının kullanımıyla mümkün
olmaktadır.
Adım 1
60°
Kâğıda cetvel ve açıölçer yardımıyla bir kenarının
uzunluğu 4 cm olan bir ABC eşkenar üçgeni çiziniz.
4
4
60°
60°
4
B
C
A
Adım 2
60°
Barnes A. (2007). Encyclopedia
of Trigonometry. Delhi: Global
Media.
BC kenarının orta noktasını bularak bu noktayı D olarak isimlendiriniz. D noktasını A noktası ile birleştiriniz.
4
4
60°
Adım 3
B
60°
2
D
2
C
%
%
Oluşan BDA üçgenindeki BDA ve BAD açılarının ölçülerinin kaç derece olduğunu yazınız.
%
%
m (BDA) = .....
m (BAD) = .....
Adım 4
BDA üçgeninin iç açı ölçülerini göz önünde bulundurduğunuzda bu üçgenin
türü hakkında ne söyleyebilirsiniz?
BDA üçgeninde |AD| nu hesaplayınız.
....................................................................................................................................
Adım 5
....................................................................................................................................
BDA üçgeninin açı ölçüleri ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi açıklayınız?
....................................................................................................................................
....................................................................................................................................
878
Sonuç
Dar açılarının ölçüleri 30° ve 60° olan bir dik üçgende;
A
• 30° lik açının karşısındaki dik kenarın uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir.
• 60° lik açının karşısındaki dik kenarın uzunluğu, 30° lik açının karşısındaki dik kenar
uzunluğunun 3 katına eşittir.
B
60°
1
30°
B
30°
x
2x
60°
C
Dar açılarının ölçüleri 30° ve 60° olan bir dik üçgende kenar
uzunlukları arasındaki ilişkiyi kullanarak bu açıların trigonometrik oranları bulalım:
A
2
x 3
C
3
• sin 30° =
AC
1
=
AB
2
• cos 30° =
• sin 60° =
BC
3
=
AB
2
BC
3
=
AB
2
• cos 60° =
AC
1
=
AB
2
• tan 30° =
AC
1
3
=
=
BC
3
3
• tan 60° =
BC
3
=
= 3
AC
1
• cot 30° =
BC
3
=
= 3
AC
1
• cot 60° =
AC
1
3
=
=
BC
3
3
Anahtar Bilgi
Yandaki değerlerden de
görülebileceği gibi birbirini
90° ye tamamlayan açılardan
(tümler açılar) birinin sinüsü
diğerinin kosinüsüne, birinin
tanjantı diğerinin kotanjantına eşittir.
C
9
Yerle dik durumlu olan elektrik direği
yerden 1,5 m yükseklikten kırılarak yer ile
30° lik açı yapacak şekilde düşmüştür.
1,5 m
B
A
30°
Buna göre direğin kırılmadan önceki boyunu bulalım.
%
ABC üçgeninde m (ACB) = 60° olacağından ABC üçgeni 30°-60°-90° üçgeni olur.
ABC üçgeninde sin 30° =
CA
1
1, 5
olup =
orantısından |BC| = 3 m bulunur.
2
CB
CB
Direğin kırılmadan önceki boyu 1,5 + 3 = 4,5 m dir.
879
Bölüm
5.1
10
Matematik Tarihi
El Birunî (973-1052)
Yandaki kaydırakta kaydırağın boyu 8 m,
kaydırak yer ile 30°, merdiven ise yer ile 45° lik
açı yapmaktadır.
A
%
m (ACE) = 90°
C
E
α
Buna göre merdivenin boyunu bulalım.
45°
30°
B
C
D
B
A
°
45
r
[AH] ⊥ [BC] çizilirse ABH üçgeni 30°-60°-90°
üçgeni; AHC üçgeni 45°-45°-90° olur.
A
α
ABH üçgeninde sin 30° =
45°
30°
Aral Gölü’nün güneyinde
Gazne’de doğan Müslüman Türk bilgini El Birunî,
dünyanın yarıçapını kendine has metoduyla hesaplayarak bugün modern
aletlerle ulaşılan sonuca
çok yakın bir değer elde
etmiştir. Bu yöntemde
Birunî, yüksekliğini bildiği
bir tepenin zirvesine çıkarak bulunduğu konumdan
ufuk çizgisine bakıp şekildeki a açısını ölçmüş ve
cos a =
H
B
AH
olduğundan
AB
AH
1
=
olur.
2
8
C
Buradan |AH| = 4 m bulunur.
AHC üçgeninde sin 45° =
AH
1
4
=
olduğundan
olup AC = 4 2 m bulunur.
AC
AC
2
11
sin 30° + cos 60° + tan 60° · cot 60°
işleminin sonucunu bulalım.
sin 2 45° + cos 2 30°
r
r + tepenin yüksekligi
oranından dünyanın yarıçapını hesaplamıştır.
Baki, A. (2008). Kuramdan Uygulamaya Matematik Eğitimi.
Harf Yayıncılık.
İşlemde yer alan trigonometrik oranlar yerlerine yazılırsa;
sin 30° + cos 60° + tan 60° · cot 60°
=
sin 2 45° + cos 2 30°
880
1 1
1
+ + 3·
2 2
3
d
2
2
2
3
n +d
n
2
2
=
2
8
= olarak bulunur.
5
5
4
12
ABC dik üçgeninde G ağırlık merkezi
[AB] ⊥ [AC]
A
120°
%
m (AGH) = 120°
G
3
C
H
x
B
|GH| = 3 cm
[GH] ^ [BC]
olduğuna göre |BC| = x değerini bulalım.
A
[AG| doğrusal uzatılıp [BC] nı kestiği nokta N olarak
isimlendirilirse [AN] kenarortay olur.
120°
G
3
D
GHN 30°-60°-90° üçgeni olduğundan
60°
C
H N
x
B
|GN| = 2|GH| = 2 · 3 = 6 cm elde edilir.
G ağırlık merkezi olduğundan |AG| = 2 · |GN| olup
|AG| = 12 cm olarak bulunur.
|AN| = |AG| + |GN| = 12 + 6 = 18 cm olur.
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın uzunluğu hipotenüs uzunluğunun yarısına
eşit olduğundan |BC| = x = 2 · |AN| eşitliğinden x = 2 · 18 = 36 cm olarak elde edilir.
13
Yandaki şekilde
A
ABC eşkenar üçgen
%
m (ADC) = x
B
D
3 · |BD| = |DC|
x
olduğuna göre tan x değerini bulalım.
C
|BD| = a ve |DC| = 3a olsun.
A
ABC üçgeninin BC kenarına ait yüksekliği çizilirse
|BH| = |HC| olacağından |HC| = 2a ve |DH| = a olur.
B a
Eşkenar üçgenin yükseklik uzunluğu kenar uzunluğunun
x
D a
H
3
3
katı olduğundan AH = 4a
= 2 3 a elde edilir.
2
2
2a
C
AHD dik üçgeninde tan x =
2 3a
= 2 3 olarak bulunur.
a
881
MATEMATİK ATÖLYESİ
Bu atölye çalışmasında ölçüsü 0° ile 180° arasındaki açıların trigonometrik oranlarını birim çember üzerinde inceleyeceğiz.
Araç ve Gereçler: Dinamik geometri yazılımı
y
1
Adım 1
Dinamik geometri yazılımı aracılığı ile merkezi orijin yarıçapı 1 birim olan bir çember
(birim çember), x = 1 ve y = 1 doğrularını oluşturunuz. Koordinat sisteminin I. bölgesinde ve birim çember üzerinde bir P noktası belirleyiniz.
P
–1
1
O
x
–1
y
Adım 2
1
P noktası ile çemberin merkezinden geçen d doğrusunu çiziniz. Bu doğrunun x = 1
ve y = 1 doğruları ile kesim noktalarını belirleyerek sırasıyla E ve H olarak isimlendiriniz. d doğrusunun eğim açısını ölçünüz.
P
–1
d
O
α
E
H
1
x
–1
Adım 3
P noktasını a değeri 0° ile 180° arasında kalacak şekilde birim çember üzerinde sürükleyiniz. a nın farklı ölçüleri için
trigonometrik değerlerini yazılımın hesaplama özelliklerini kullanarak belirleyiniz. Ayrıca P, E, H noktalarının ilgili koordinatlarını yazılım aracılığı ile tespit ediniz ve aşağıdaki tabloya yazınız.
a
sin a
cos a
tan a
cot a
P noktasının
ordinatı
P noktasının
apsisi
E noktasının
ordinatı
H noktasının
apsisi
Sonuç: Tabloyu inceleyiniz. P, E ve H noktalarının koordinatları ile a açısının trigonometrik değerleri arasında gözlemlediğiniz ilişkileri yazınız. Bu ilişkileri gerekçeleri ile birlikte açıklayınız.
.....................................................................................................................................................................................................
882
Birim Çember ve Trigonometrik Değerler
Önceki yıllarda dik koordinat sistemini ve koordinat sistemindeki noktaların gösterimlerini öğrenmiştiniz. Bir önceki bölümde ise dar açıların trigonometrik oranlarını bir dik
üçgenin kenar uzunluklarından yararlanarak tanımlamıştık. Bu kısımda dar açılar için
tanımladığımız trigonometrik oranları dik koordinat sistemi yardımıyla dik ve geniş
açılar için de tanımlayacağız.
Merkezi orijin ve yarıçapı “1” birim olan çembere birim çember denir. Açıların trigonometrik oranlarını birim çember yardımıyla da bulabiliriz.
Dik koordinat düzleminin I. bölgesinde ve birim çember üzerinde bir A(x, y) noktasını
ele alalım.
y
1

–1
A(x, y)
1
α
x
O 
x H 1
y
A noktasını orijine birleştiren doğru parçasını çizerek
bu doğru parçasının eğim açısını a olarak isimlendirelim.
Yandaki şekilde oluşan AOH dik üçgeninde,
sin a =
y
AH
OH
x
= = y ve cos a =
= =x
OA
1
OA
1
olduğundan A noktasının koordinatları A(cos a, sin a)
şeklinde yazılabilir.
–1
y
1
–1
α
cosα
O
sinα
A
x
H 1
Başka bir ifadeyle A noktasının apsisi a nın kosinüs değerine, ordinatı a açısının sinüs değerine eşittir.
–1
y
1E
A
–1
O
–1
1
α
α
C
y=1
B
D
H 1
x
Birim çemberin olduğu koordinat düzleminde
x = 1 ve y = 1 doğrularını çizelim.
x=1
883
Bölüm
5.1
BOD dik üçgeninde tana değeri;
y
1
Anahtar Bilgi
tan a =
A B
sin
tanα
–1
O
cot
α
cos
α
D
H 1
x
–1
BD
BD
=
= BD olarak bulunur.
OD
1
Başka bir ifadeyle a açısının tanjant değeri OA ışınının
x = 1 doğrusunu kestiği noktanın ordinat değerine
eşittir.
AH
olarak
Diğer taraftan AOH dik üçgeninde; tan a =
OH
yazılabilir.
tan
sin a
şeklinde
Yukarıda |AH| = sin a ve |OH| = cos a olduğu göz önüne alınırsa tan a =
cos a
ifade edilebilir.
Birim çember üzerindeki
a açısına karşı gelen P(x, y)
noktasının koordinatları
sırasıyla kosinüs ve sinüs
değerlerini gösterdiğinden
x eksenine kosinüs ekseni, y
eksenine sinüs ekseni denir.
Benzer şekilde x = 1 doğrusu
tanjant ekseni, y = 1 doğrusu
kotanjant ekseni olarak
isimlendirilir.
1E
A
–1
O
1
α
α
B
D
H 1
C
y = 1 doğrusu x eksenine paralel olduğu için
%
%
m (BOD) = m (ECO) dir.
x
–1
a açısının kotanjant değeri OEC dik üçgeninden;
Anahtar Bilgi
1E
cot α
y
cot a =
A
1
–1
C
–1
A(x, y)
y
1 x
x H
O
1
–1
–1
α
H 1
x
Başka bir ifadeyle a açısının kotanjant değeri OA
ışınının y = 1 doğrusunu kestiği noktanın apsis değerine eşittir.
Diğer taraftan AOH dik üçgeninde;
cot a =
Birim çember üzerinde
verilen bir A(x,y) noktasının
koordinatları için AOH dik
üçgeninde Pisagor Teoremi
yazılırsa, x2 + y2 = 1 eşitliği
her zaman geçerlidir.
CE
CE
=
= CE olarak bulunur.
OE
1
OH
olarak yazılabilir.
AH
cos a
şeklinde ifade
|OH| = cos a ve |AH| = sin a olduğu göz önüne alınırsa cot a =
sin a
edilebilir.
884
14
1 2 2
n
Şekildeki OA ışını birim çemberi A d ,
3
3
noktasında kesmektedir.
%
m (AOB) = a açı ölçüsünün trigonometrik oranlarını
bulalım.
y
1
–1
A
α
O
1 2 2
,
3
3
1
B
x
–1
A noktası birim çember üzerinde olduğundan A noktasının apsisi cos a, ordinat değeri
1
sin a
2 2
sin a olur. Bu durumda cos a =
dir. tan a =
olduğundan
ve sin a =
cos a
3
3
1
2 2
1
2
cos a
3
3
=
=
tan a =
ise cot a =
olarak bulunur.
= 2 2 ve cot a =
4
sin a
1
2 2
2 2
3
3
Geniş Açıların Trigonometrik Değerleri
Şu ana kadar dar açıların trigonometrik oranlarını birim çember ile ilişkilendirerek inceledik. Bu inceleme sonucunda elde etmiş olduğumuz ilişkiler dik ve geniş açıların
trigonometrik oranlarını hesaplamada da geçerlidir.
y
1
A(x, y)
y
–1 x
O
α
B
1
x
A noktası koordinat düzleminde II. bölgede ve birim
çember üzerinde bir nokta olsun.
%
m (AOB) = a geniş açı ölçüsü olup, bu açının kosinüs
ve sinüs değerleri sırasıyla noktanın apsis ve ordinatı
olacağından cos a = x ve sin a = y dir. II. bölgede olan
bir noktanın apsisi negatif, ordinatı pozitif olduğundan
cos a değeri negatif, sin a değeri pozitiftir.
–1
y
Dar açılar için yaptığımız tanjant ve kotanjant tanımlarından a geniş açı ölçüsünün tanjant değeri, OA ışınının
uzantısının x = 1 doğrusunu kestiği E noktasının ordinat
değerine ve kotanjant değeri, OA ışınının y = 1 doğrusunu kestiği D noktasının apsis değerine eşit olur. IV.
bölgede olan E noktasının ordinatı ve II. bölgede olan
D noktasının apsisi negatif olduğundan tan a ve cot a
değerleri negatiftir.
–1
D
C1
A
y
y=1
Anahtar Bilgi
B
1
O
–1
x
a geniş açı ise sin a pozitif,
cos a, tan a ve cot a değerleri
negatiftir.
E
x=1
885
Bölüm
5.1
15
3 1
Şekildeki OA ışını birim çemberi A d , n
2
2
noktasında kesmektedir.
y
1
α
–1
B
1
O
x
%
m (AOB) = a açı ölçüsünün trigonometrik oranlarını
bulalım.
–1
A noktasının apsis değeri cos a ya, ordinat değeri sin a ya eşit olduğundan
cos a = -
3
1
ve sin a = olur.
2
2
sin a
tan a =
olduğundan tan a =
cos a
cot a =
-
Anahtar Bilgi
Ölçüleri birbirini 180° ye
tamamlayan açıların (bütünler açılar)sinüs değerleri
birbirine eşittir.
1
2
-
3
2
=-
cos a
1
3
ve cot a =
=ise
sin a
3
3
3
2 = - 3 olarak bulunur.
1
2
y
1
B
A
180 – α
α
α
–1
1
H’
O
H
A’
a dar açı ölçüsü olmak üzere, II. bölgedeki geniş açıları
180° – a şeklinde ifade edebiliriz.
D
D
Yandaki şekilde AOH ile A'OH y eksenine göre simetriktir. Dolayısıyla A ve A’ noktalarının ordinatları
birbirine eşittir.
Örneğin sin 70° = sin 110° dir.
Bu açı ölçülerinin kosinüs,
tanjant ve kotanjant değerleri ise ters işaretli olup mutlak
değerce birbirine eşittir.
x
–1
Bu durumda a ile 180° – a açı ölçülerinin sinüs değerleri aynı olur. sin a = sin(180° – a)
D
D
Ayrıca AOH ile A'OH' y eksenine göre simetrik olduğundan |OH| = |OH’| dür. Bu durumda H noktası x ekseninin pozitif kısmında ve H’ noktası x ekseninin negatif kısmında olduğu için a ile 180° – a açı ölçülerinin kosinüs değerleri zıt işaretli olur. Başka bir
ifadeyle; cos(180° – a) = – cos a dır.
Örneğin tan 130° = – tan 50°
dır.
Trigonometrik oranlardan tanjant ve kotanjantı, sinüs ve kosinüs oranları yardımıyla
tanımlamıştık. Bu durumda a dar açı ölçüsü için 180° – a geniş açı ölçüsünün tanjant
ve kotanjant değerleri;
886
tan (180° - a) =
sin (180° - a)
sin a
=
= - tan a
cos (180° - a)
- cos a
cot (180° - a) =
- cos a
cos (180° - a)
=
= - cot a şeklinde olur.
sin (180° - a)
sin a
16
150° lik açının trigonometrik değerlerini bulalım.
sin 150° = sin (180° - 30°) = sin 30° =
1
2
cos 150° = cos (180° - 30°) = - cos 30° = -
3
2
tan 150° = tan (180° - 30°) = - tan 30° = -
3
3
cot 150° = cot (180° - 30°) = - cot 30° = - 3 olarak bulunur.
17
%
Yandaki ABC dik üçgeninde m (BAC) = 90°
A
3
|AB| = 3 cm
2
|AC| = 2 cm
α
B
C
D
%
olduğuna göre m (ACD) = a açı ölçüsünün trigonometrik oranlarını bulalım.
ABC üçgeninde Pisagor Teoreminden
A
3
|BC|2 = |AB|2 + |AC|2 dir.
2
B
Verilen uzunluklar eşitlikte yerine yazılırsa,
α
β
C
D
|BC|2 = 32 + 22 ve ise |BC| = 13 cm bulunur.
%
ABC üçgeninde m (ACB) = b olsun.
ABC dik üçgen olduğundan b dar açı ölçüsü olup bu açının trigonometrik değerleri;
sin b =
3
, cos b =
13
2
3
2
, tan b =
ve cot b = tür.
2
3
13
Öte yandan a + b den a = 180° – b olduğu için,
sin α = sin β =
3
2
3
, cos α = - cos β = , tan α = - tan β = - ve
2
13
13
cot α = - cot β = -
2
olarak bulunur.
3
887
KENDİMİZİ SINAYALIM
Kavrama ve Muhakeme
3. 0° < x < 90° < y < 180° olduğuna göre aşağıdakilerden hangisinin veya hangilerinin sonucu sıfıra
eşit olabilir?
1. Aşağıda verilen ifadelerin yanına doğru olanlar
için “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
I. sin x + cos y
a. (. . . . . ) Bir dar açının tanjant değeri bu açının tümleyeninin kotanjant değerine eşittir.
II. tan x + sin y
III. cot x – cos x
b. (. . . . . ) Bir dar açının tanjantı daima basit kesirdir.
c.
IV. cot y – tan y
(. . . . . ) Bir dar açının sinüsü daima basit kesirdir.
2. Aşağıdaki şekillerde verilen dik üçgenlerin diğer
kenarlarının uzunluklarını “a” cinsinden bulunuz.
A
a.
D
b.
a
a
B
c.
..........
K
60°
C
E
a. (. . . . . ) sin 150° = sin 30°
b. (. . . . . ) sin 120° = – sin 60°
60°
30°
4. Aşağıda verilen ifadelerin yanına doğru olanlar için
“D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
30°
..........
c.
(. . . . . ) tan 120° = tan 60°
ç.
(. . . . . ) cos 135° = cos 45°
F
T
ç.
30
45°
°
a
a
..........
5. Aşağıdaki tabloyu doldurunuz.
30°
45°
60°
L
..........
M
S
R
45°
sin
cos
tan
cot
888
60°
90°
120°
135°
150°
Alıştırmalar
1. A
4.
10
C
Yandaki ABC dik
üçgeninde
[AH] ⊥ [BC] dir.
10
[AB] ⊥ [CB]
2
|BC| = 2 br
|AC| = 10 br olduğuna göre A ve C açılarının trigonometrik oranlarını bulunuz.
cos C = . . . . .
tan A = . . . . . cot C = . . . . .
k
y
60°
B
sin A = . . . . . Yandaki ABC
üçgeninde
A
B
x
5.
60°
z
H
Verilenlere göre x,
y, z ve k değerlerini
bulunuz.
C
Yanda verilen ABC
eşkenar üçgeninde
AH = 2 3 cm ve
A
x
[AH] ⊥ [BC]
k
2 3
3
A) = 90° ve sin C = oldu2. Bir ABC üçgeninde m (W
5
ğuna göre aşağıdaki boşlukları doldurunuz.
a.
b.
cos C = . . . . . B
H
y
z
C
olduğuna göre x,
y, z, k uzunluklarını
bulunuz.
tan C = . . . . .
6. Aşağıdaki şekillerde verilenlere göre x değerlerini
bulunuz.
3.
A
E
α
β
1
2
θ
1
B
1
C
D
Yanda şekilde verilen
açı ve uzunluk
ölçülerine göre;
I.sin b
II.cot q
a.
A
45°
30°
B 3 3 K
D
b.
°45°
x 30
x
C
E
8 6
L
F
III.tan a
değerlerini bulunuz.
889
Uygulama ve Problem Çözme
4. A
1. Aşağıda birim karelerle oluşturulmuş yapılar verilmiştir.
3
α
[BA] ⊥ [CA]
E
Her bir şeklin altında verilen trigonometrik oranları
bulunuz.
[DE] ⊥ [AC]
dir.
3
B
a.
Yandaki
şekilde
D
b.
10
C
Verilenlere göre cota değerini bulunuz.
α
α
tan a = .......
sin a = . . . . . . .
5.
Yandaki ABC dik
üçgeninde
A
2.
5
[AB] ⊥ [BC] dir.
3
α
B
β
Sekiz özdeş kareden oluşturulmuş yandaki şekilde
sin β · tan α
işleminin sonucu neye eşittir?
cos θ
3. A
α
E
3
5
C
Verilenlere göre
tana değerini
bulunuz.
θ
α
6.
B
D
C
D
Yandaki şekilde
B, C, D noktaları
doğrusal olduğuna göre cot a
değeri kaçtır?
A
6
B
α
8
C
D
Yukarıda verilen şekilde [AB] ⊥ [BC]
%
m (DBC) = a , |AB| = 6 cm , |BC| = 8 cm ve
|AC| = |CD| olduğuna göre tan a değerini bulunuz.
890
7.
Yandaki şekilde
A
10.
[AB] ⊥ [AC]
6
α
B 2 E
D
|BC| = 4 br
12
|AD| = 12 br
%
D
mÂDCh = a
%
Yukarıda verilen şekilde m (ADC) < 90° olduğuna
göre cos a değeri kaçtır?
|BE| = 2 br
[AD] kenarortay
%
m (ADB) = a ise sin a değeri kaçtır?
11.
α
x
45°
30°
[AB] ⊥ [AE]
A
ABC üçgeninde
verilenlere göre
|AC| = x değeri kaç br
dir?
A
10 2
8.
|AB| = 10 br
C
A
|AE| = 6 br
C
4
10
[AE] ⊥ [BC]
[AB] ⊥ [BC]
%
%
m^BACh = m^CADh
B
C
B
[AC] ⊥ [BE]
β
B
α
E
D
C
[AB] ⊥ [BC]
%
m^BCAh = a
%
m^BEAh = b dır.
12. Aşağıda verilen şekillerde x değerleri kaç br dir?
a.
2
Yukarıdaki şekilde cot a = olduğuna göre tan b
3
değeri kaçtır?
b.
A
15
30°
D x
B
13.
9.
A
30°
|DC| = 8 br
4
B
C
|DE| = 4 br
C
E
C
Yandaki DCB dik
üçgeninde
D
8
T
12
°
45°
B
%
m (EDB) = 30°
A
S
45°
x
2 2
E
2
C
Yanda verilen şekilde ABC
eşkenar üçgen ve BDC
ikizkenar üçgen dir.
AB = 4 3 br ise A ile D
noktaları arasındaki uzaklığı
bulunuz.
D
ise |DB| kaç birimdir?
891
17.
14.
8 2m
45°
45°
2m
30° h
60°
v
8m
Yukarıdaki resimde bir kamyonun kasasına rampa
yardımıyla yük çıkaran bir işçi görülmektedir.
Yukarıdaki resimde verilen kenar uzunlukları ve açı
ölçülerine göre evin yerden yüksekliği bulunuz.
15.
Rampanın uzunluğu 2 m ve zemin ile yaptığı açı
30° olduğuna göre şekilde verilen h ve v uzunlukları neye eşittir?
Ali
18.
Ayşe
1
32°
30°
2
1 ve 2 nolu hava koridorlarında seyir halindeki
uçakların rotaları birbirine paraleldir. Hava koridorlarının arasındaki dikey uzaklık 600m olduğuna
göre iki uçağın arasındaki mesafeyi hesaplayınız.
(sin 32° . 0, 53)
Yukarıdaki resimde görünen tahterevallinin uzunluğu 4 m olduğuna göre Ali’nin yerden yüksekliğini
hesaplayınız.
16.
19.
C
20 m
x
α
11,1 m
A
20 m boyundaki direğin gölgesinin boyu 11,1 m
olduğuna göre a açısının ölçüsünün yaklaşık değeri kaç derecedir? (Hesap makinesi veya trigonometrik tablo kullanılabilir.)
892
40°
B
Resimde
görülen nehrin
genişliğini
ölçmek isteyen
bir kişi nehrin
karşısındaki
ağacın tam
hizasından 32
m ok yönünde
ilerliyor ve B
noktasına geliyor. Elindeki açıölçeriyle
%
m (ABC) = 40° olduğunu görüyor.
Bu kişi nehrin genişliğini kaç m olarak hesaplamıştır?
20.
22. A
y
D
B
1
4
D
8+8 3
C
°
20
40°
O
|AC| = 4 cm
150°
y=1
A
E
–1
Yandaki şekilde
45°
8 2
x
1
B
–1
CD = 8 + 8 3 cm
BD = 8 2 cm
%
m (ACD) = 150°
%
m (BCD) = 45°
olduğuna göre A ile B noktaları arasındaki uzaklığı
bulunuz.
C
23.
Şekildeki birim çembere göre A, B, C, D ve E noktalarının koordinatlarını bulunuz.
12 m
33
°
18 m
8m
21.
Şekilde verilen uzunluk ve açı ölçülerine göre
deniz üzerinde bulunan yelkenlinin kıyıya olan
mesafesinin yaklaşık değerini hesaplayınız.
(Hesap makinesi veya trigonometrik tablo kullanılabilir.)
A
24.
B
30°
60°
C
D
C noktasında bulunan işçi eli hizasında bulunan
yükü makara yardımıyla yukarı kaldıracaktır.
%
m (ACD) = 60° ve |CD| = 8 m olduğuna göre;
a. |AD| = ?
%
b. İşçi ipi tutarak ok yönünde yürüyüp mÂBDh = 30°
olduğunda durursa yük ilk konumundan kaç m
yükselir?
54 m
B
60° 1 A
B
2
C
60°
3
D
4
Yukarıdaki gibi A noktasından kıyıyla 60° lik açıyla
yüzmeye başlayan bir yüzücü her 5 kulaç attığında
rotasını şekildeki gibi değiştiriyor.
Buna göre kaçıncı kulaçta B noktasının hizasına
gelmiş olur? (1 kulaç = 180 cm)
893
Bölüm
5.1
5.1.3. Kosinüs Teoremi
Neler Öğreneceğiz?
• Bir üçgenin iki kenar uzunluğu
ve bu kenarların oluşturduğu
açının ölçüsü verildiğinde üçüncü kenarın uzunluğunu bulmayı
Başlarken
Mars yüzeyi üzerindeki kraterlerin genişliği hesaplanırken kosinüs teoreminden yararlanılır. Bu yöntemde,
robotlar kraterin içine girmeden, kraterin genişliğini
görecek noktaları belirleyerek bu noktaların referans
noktasına uzaklıklarını bulup, referans açısını kullanarak
kraterin genişliğini hesaplarlar.
• Bir üçgenin üç kenar uzunluğu
verildiğinde açılarının ölçülerini
bulmayı
Daha önceki kısımlarda bir üçgenin bir açı ölçüsünün 90° olması durumunda kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi Pisagor teoremi yardımıyla ifade etmiştik.
Anahtar Terimler
• Kosinüs Teoremi
ns
era
Ref
A
b
c
C
Bununla birlikte üçgen eşitsizliği ve Pisagor teoreminde, açının ölçüsünün 90° den büyük ya
da küçük olması durumunda üçgenin kenar
B
uzunluklarının sağlaması gereken eşitsizlikleri
öğrenmiştik. Bu eşitsizlikler aşağıda gösterilmiştir.
a
a2=b2+c2
A
A
c
b
α>900
c
C
a
B
sı
açı
B
α<900 b
a
C
a2 < b2 + c2
a2 > b2 + c2
Bu bölümde iki kenarının uzunlukları ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsünün
bilinmesi durumunda, bir üçgenin üçüncü kenar uzunluğunun nasıl hesaplanacağını
öğreneceğiz. Aşağıdaki teorem, üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsü ile üçüncü kenarının uzunluğu arasında nasıl bir ilişki olduğunu
ifade etmektedir. Bu teorem kosinüs teoremi olarak ifade edilir.
894
Kosinüs Teoremi
Teorem
Kosinüs Teoremi
Bir ABC üçgeninin iç açı ölçüleri α , β , θ
ve bu açıların karşısındaki kenarlar
sırasıyla a, b, c olsun. Bu takdirde
üçgenin kenar uzunlukları ve açı
ölçüleri arasında aşağıdaki eşitlikler
vardır.
A
α
c
b
θ
β
a
B
C
c2 = a2 + b2 – 2ab cos θ
a2 = c2 + b2 – 2cb cos α
b2 = c2 + a2 – 2ca cos β
İspat
D
Verilenler: ABC
İstenen: b2 = c2 + a2 – 2ac cos β
ABC üçgeninin A köşesinden [BC] na dik
olacak şekilde [AD] nı çizelim. |AD| = m ve
|BD| = n olsun. ADC ve ADB dik üçgenlerinde
sırasıyla Pisagor teoremi yazılırsa;
A
b
c
m
b2 = (a – n)2 + m2 ve c2 = m2 + n2
β
B
n
D
a–n
C
İlk eşitlikteki tam kare ifadenin açılımı yapılırsa,
b 2 = a 2 - 2an + n 2 + m 2
144424443 elde edilir.
b 2 = a 2 - 2an + c 2
n
olduğundan n = c cos β dır.
c
Yukarıdaki eşitlikte n yerine c cos β yazılırsa;
ADB üçgeninde cos β =
b 2 = a 2 + c 2 - 2an & b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β elde edilir.
Bu teorem bir üçgende iki kenarın uzunlukları ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsünün bilinmesi durumunda üçgenin üçüncü kenar uzunluğunun nasıl hesaplanabileceğini ifade etmektedir.
895
Bölüm
5.1
1
Yanda verilen ABC üçgeninde
%
AB = 10 cm, AC = 8 cm ve m _ BAC i = 60 0 olduğuna
göre BC nu hesaplayalım.
A
0 0 1 a 1 180 0
olmak üzere, a değeri
10
600
8
büyüdükçe bu
B
açı ölçüsünün kosinüs değeri
küçülür.
C
ABC üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa;
BC 2 = AB 2 + AC 2 - 2 AB AC cos 60 0 olup verilen ölçüler yerlerine yazılırsa
1
BC 2 = 10 2 + 8 2 - 2 $ 10 $ 8 $ & BC 2 = 164 - 80 & BC 2 = 84 & BC = 2 21 cm
2
olarak bulunur.
2
12 km
B
65°
C
15 km
olarak belirlenmiştir. Buna göre kraterin genişliği olan A ve B noktaları arasındaki mesafeyi
bulalım.
A
cos (65)
0,42262
12 km
B
65°
C
15 km
A
Yandaki şekilde Mars yüzeyindeki bir robotun
bir kraterin genişliğini ölçtüğü durum verilmiştir. Robotun yaptığı ölçümler sonucunda
%
BC = 12 km, AC = 15 km ve m _ BCA i = 65°
A ve B noktalarını birleştirerek ABC üçgenini
&
oluşturalım. ABC ’nde kosinüs teoreminden
AB 2 = BC 2 + AC 2 - 2 BC AC cos 65 0
olur. Hesap makinesi yardımıyla cos 65° değeri
yaklaşık olarak 0,42 olarak bulunur. Bu değerler yerine yazılırsa
AB 2 . 12 2 + 15 2 - 2 $ 12 $ 15 $ 0, 42 buradan
AB 2 . 369 - 151, 2 & AB 2 . 217, 8 olup,
AB . 217, 8 = 14, 76 km olarak bulunur.
896
Kosinüs Teoremi
3
A
50 m
C
α
70 m
30 m
Dikkat
Yandaki şekilde aralarındaki uzaklık 50 m, B
noktasındaki limana uzaklıkları 30 ve 70 m
olan iki kayığın durumu verilmiştir.
A
%
Verilenlere göre m _ BAC i = a değerini
bulalım.
B
B
C
D
ABC üçgeninde kosinüs teoremine göre 70 2 = 50 2 + 30 2 - 2 $ 30 $ 50 $ cos x dir. Bura1
dan 4900 = 2500 + 900 – 3000 cos x olup 1500 = –3000 cos x ve buradan cos x = 2
olarak bulunur. cos x değeri negatif olduğundan ölçüsü x olan açı geniş açı olup x = 120°
olarak bulunur.
E
m ^V
E h 2 m_V
B i ise
DF 2 AC dir.
4
4
AB = 4 cm
BC = 6 cm
AE = 2 cm
EC = 3 cm
DA = 4 cm
x
A
4
B
E
2
Bir üçgenin iki kenarının
uzunluğu sabit kalmak
şartıyla bu iki kenarın
oluşturduğu açının ölçüsü
büyüdükçe açının karşısında
bulunan uzunluk artar.
Yandaki şekilde B, A ve D noktaları doğrusal,
D
3
6
C
F
ise DE = x değerini bulalım.
Anahtar Bilgi
ABC üçgeninde kosinüs teoreminden,
D
4
x
A b
a
2
E
4
B
3
6
A
6 2 = 4 2 + 5 2 - 2 $ 4 $ 5 $ cos a olup
C
36 = 16 + 25 – 40 cos a
1
eşitliğinden cos a = bulunur.
8
%
%
m _ BAC i + m _ CAD i = a + b = 180 0 olduğundan
α
B
C
Bütünler açıların ölçülerinin
kosinüs değerleri mutlak değerce eşit olup ters işaretlidir.
cos b = - cos a 'dır. AED üçgeninde kosinüs teoremi yazı1
lırsa x 2 = 4 2 + 2 2 - 2 $ 2 $ 4 $ cos b eşitliğinden x 2 = 16 + 4 - 16 $ c - m ve buradan
8
x = 22 cm olarak bulunur.
θ
D
cos a = –cos θ
897
Bölüm
5.1
5
Dikkat
Şekilde resimdeki gibi 25 metrelik bir iple uçurtma
uçuran bir çocuğun uçurtması rüzgârın etkisiyle
doğrusal bir yol izleyerek A’ dan B’ ye uçarken maka%
radan 15 metre ip açılmıştır. m _ ACB i = 48 0 olduğu-
B
a geniş açı ölçüsü ise cos a
negatiftir.
A
na göre uçurtmanın aldığı yol olan AB = x uzunluğunu bulalım.
48°
C
cos (48)
0,66913
Uçurtma A konumundan B konumuna gittiğinde makaradan 15 m ip açıldığına göre
BC = 25 + 15 = 40 m ‘dir. Uçurtmanın aldığı yolu bulmak için ABC üçgeninde Kosinüs
Teoremi uygulanırsa,
AB 2 . 25 2 + 40 2 - 2 $ 25 $ 40 $ 0, 67 & AB 2 . 2225 - 1340 = 885
eşitliğinden uçurtmanın aldığı yol
AB . 29, 74m olarak bulunur.
6
ABC üçgeninde
A
x
4
α
B
6
C
AB = 4 cm
BC = 6 cm ve
%
m _ ABC i 2 60 0
olduğuna göre AC = x uzunluğunun alabileceği tamsayı değerlerini bulalım.
Üçgen eşitsizliğine göre ABC üçgeninde AC = x uzunluğunun alabileceği değerler,
6 - 4 1 x 1 6 + 4 & 2 1 x 1 10 şeklindedir.
898
Kosinüs Teoremi
%
Diğer taraftan m _ ABC i = a 2 60 0 olduğundan Kosinüs Teoremine göre,
x 2 2 4 2 + 6 2 - 2 $ 4 $ 6 $ cos 60 0 olmalıdır. Son eşitsizlikte cos 60 0 değeri yerine yazılırsa;
1
x 2 2 16 + 36 - 2 $ 4 $ 6 $ den x 2 28 olmalıdır. Bu durumda AC = x uzunluğunun
2
alabileceği tamsayı değerleri 28 1 x 1 10 aralığındaki 6, 7, 8 ve 9 olur.
7
K
3
2
4
1
A noktasından harekete geçen 4 bisikletliden 1 ve 3 nolu bisikletliler aynı doğrultuda 2 ve 4 nolu bisikletliler aynı doğrultuda ilerlemektedir. Belirli bir süre sonra
bisikletlilerden 1 nolu 8 km, 2 nolu 6 km,
3 nolu 4 km, 4 nolu 8 km yol aldığında 3
ve 4 nolu bisikletliler arasındaki uzaklık 6
km olduğuna göre 1 ve 2 nolu bisikletliler arasındaki mesafe kaç km olur?
D
B
G
Doğrultu ile yön birbirinden farklı kavramlardır. Bir
doğrultu boyunca iki farklı
yön vardır.
Örneğin kuzey – güney doğrultusunda kuzey yönünde.
2
3
6
x
4
θ
8
Bu eşitlikten
θ
6
8
Bisikletlilerin son durumu yandaki şekilde görüldüğü gibidir. Ters açıların ölçüleri eşit olduğundan
%
%
m _ BAC i = m _ DAE i = i olsun
Anahtar Bilgi
ABC ve DAE üçgenlerinde cos θ değeri yazılırsa,
82 + 42 - 62
62 + 82 - x2
cos i =
=
dir.
2$8$4
2$6$8
A
64 + 16 - 36
36 + 64 - x 2
=
olup
2$8$4
2$6$8
B
a
C
ABC üçgeninde kosinüs
teoremi,
b2 + c2 - a2
cos A =
2bc
biçiminde de kullanılabilir.
44
100 - x 2
=
& 66 = 100 - x 2 & x 2 = 34 ve
4
6
x = 34 . 5, 83 km olarak bulunur.
b
c
899
Bölüm
5.1
8
Kıyıdaki A noktasına uzaklıkları sırasıyla
50 m, 80 m ve 30 m olan B, C, D kayıklarının birbirine göre konumları şekilde
görülmektedir.
C
z
y
Buna göre kayıklar arasındaki uzaklıkları
bulalım.
B
x
θ
D
60° 60°
A
Belirli bir noktadan aralarında belirli bir açı olacak
şekilde ilerleyen iki hareketlinin aldıkları yollar biliniyorsa
bu iki hareketli arasındaki
uzaklık kosinüs teoremi ile
bulunabilir.
ABC üçgeninde kosinüs teoreminden
x 2 = 50 2 + 80 2 - 2 $ 50 $ 80 $ cos 60 0
= 2500 + 6400 - 4000
= 4900 ise x = 70 m dir.
C
x
y
B
z
60° 60°
ADC üçgeninde kosinüs teoreminden
D
A
y 2 = 30 2 + 80 2 - 2 $ 30 $ 80 $ cos 60 0
= 900 + 6400 - 2400
= 4900 ise y = 70 m dir.
BAD üçgeninde kosinüs teoreminden
z 2 = 50 2 + 30 2 - 2 $ 50 $ 30 $ cos 120°
= 2500 + 900 + 1500
= 4900 ise z = 70 m dir.
900
Kosinüs Teoremi
Alıştırmalar
3.
1. Aşağıdaki üçgenlerde verilenlere göre x değerlerini bulunuz.
a.
b.
A
3
4
1200
B
x
C
4
B
600
5
x
3
D
E
ABC üçgeninde
m_V
B i 2 60 0 olduğuna
göre x’in alabileceği en
küçük tamsayı değerini
bulunuz.
A
C
8
x
F
Uygulama ve Problem Çözme
1. Aşağıda şekillerde verilenlere göre x değerlerini
bulunuz.
a.
E
2
A
b.
x
D
B
6
c.
4
C
B
x
3
3
E
x
5
B
2
6
C
C
ABC üçgeninde m _ V
B i 1 120 0 olduğuna göre x’in
alabileceği tamsayı değerleri kaç tanedir?
A
x
B
2
A
A
2
D
3
4
4.
3
5
C 2
3
D
4
E
5. A
2. Kenar uzunlukları arasında
v2
a 2 = b 2 + c 2 - bc
d 2 = e 2 + f 2 - 2 ef
x 2 = y 2 + z 2 + 3 yz
B
bağıntıları olan ABC, DEF, XYZ üçgenlerinde
m_W
A i , m_W
D i ve m _ W
X i kaç derecedir?
v1
C
%
m _ ABC i = 120 0 , V1 = 30 km / s , V2 = 50 km /s
B noktasından aynı anda şekildeki gibi belirtilen
hızlarla hareket eden araçların arasındaki mesafe 2
saat sonra kaç km olur?
901
Kosinüs Teoremi
6.
8.
A
B
C
C
A
Irmak
B
Şekilde üçgen şeklindeki çocuk parkının ırmak
kenarı korkuluklarla kapatılacaktır.
%
AB = 8 m , AC = 10 m ve m _ BAC i = 155 0
x
Şekildeki üstten görünümü verilen geminin genişliği sabit ve x metre olan kanaldan geçtiği bilinmektedir. x’in en küçük tamsayı değerini bulunuz.
%
AB = BC = 10m , m _ ABC i = 45°
^ cos 45° . 0, 7h
olduğuna göre yapılacak korkuluğun uzunluğunu
hesaplayınız.
^ cos 25° . 0, 9h
9.
7.
D
80 m
E
50 m
F
80 m
B
3 km
135°
902
A
B
C
60°
30 m
2 km
C
60°
50
m
30
A
m
120°
Yukarıdaki resimde görülen dağın A ve B noktalarını doğrusal olarak bağlayacak biçimde bir tünel
yapılırsa yoldan geçecek araçlar için yol yaklaşık
olarak ne kadar kısalır?
^ cos 45 0 , 0, 7h
Şekildeki A, B, C kayıkları kıyıdan şekildeki rotaları
izleyip sırasıyla D, E, F noktalarına geliyor. D, E, F
noktalarının harekete ilk başladıkları noktaya uzaklıkları x, y ve z olduğuna göre x, y ve z, değerlerini
sıralayınız.
Kosinüs Teoremi
10.
Yandaki resimde bir
römorkör tarafından
çekilen bir yük gemisi
görülmektedir.
C
12.
A
x
5
B
20 m
B
6
C
90 0 1 m _ V
B i 1 120 0 olduğuna göre x in alabileceği değerler hangi aralıktadır?
20 m
A
Gemiyi çeken her bir halatın uzunluğu 20 m ve ha%
latların oluşturduğu açının ölçüsü m _ BAC i = 20 0
olduğuna göre geminin genişliğini bulunuz.
^ cos 20° . 0, 94h
11.
A
20 m
D
40 m
.
ad
il C
h
Sa
60 m
E
20 m
Uzun Sokak
B
80 m
C
Yukarıdaki krokiye göre Sahil Caddesi’nin uzunluğu kaç metredir?
903
Bölüm
5.1
BÖLÜM ÖZETİ
Dik Üçgen
A
Bir dik üçgende, hipotenüsün
uzunluğunun karesi, dik
kenarların uzunluklarının
kareleri toplamına eşittir.
A
b
c
a
B
c
Kenar uzunlukları a, b, c birim olan
bir üçgenin kenar uzunlukları
arasında a2 + b2 = c2 şeklinde bir
C i = 90 0 dir.
ilişki varsa m _ W
b
900
B
a
D
C
b2 = a2 + c2
C
A
B
C
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısı kadardır.
AD = BD = DC
Dik Üçgende Dar Açıların
Trigonometrik Oranları
A
A
h
c
p
B
H
k
B
sin B =
h2 = p . k
cos B =
A
B
b
h
p
H
k
oranları;
C
Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğunun
karesi, bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı doğru
parçalarının uzunluklarının çarpımına eşittir.
c
b
ABC bir dik üçgen olmak üzeA ile V
re W
B nın trigonometrik
tan B =
C
cot B =
a
a
C
Karşı Dik Kenar Uzunluğu
Hipotenüs Uzunluğu
Komşu Dik Kenar Uzunluğu
Hipotenüs Uzunluğu
=
=
b
c
a
c
= cos A
= sin A
b
=
= cot A
Komşu Dik Kenar Uzunluğu a
Komşu Dik Kenar Uzunluğu
=
a
b
= tan A
Bir dik üçgende, bir dik kenarın uzunluğunun karesi,
hipotenüse ait yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı
parçalardan kendi tarafında olanın uzunluğu ile hipotenüs uzunluğunun çarpımına eşittir.
b2 = k . a
c2 = p . a
904
45° lik açı ölçüsünün trigonometrik oranları
sin 45° =
2
2
tan 45° = 1 cos 45° =
2
2
cot 45° = 1
α açı ölçüsünün tanjant değeri, OA ışınının x = 1 doğrusunu kestiği noktanın ordinatına eşittir.
α açı ölçüsünün kotanjant değeri, OA ışınının y = 1 doğrusunu kestiği noktanın apsisine eşittir.
α dar veya geniş bir açı ölçüsü olmak üzere,
30° ve 60° lik açı ölçülerinin trigonometrik oranları
sin 30° =
1
2
cos 30° =
tan a =
3
2
tan 30° =
3
3
cot 30° = 3
sin 60° =
3
2
cos 60° =
sin a
cos a
cot a =
Kosinüs Teoremi
A
1
2
c
3
cot 60° =
3
tan 60° = 3 B
b
a
C
Bir üçgenin kenar uzunlukları ve açı ölçüleri arasında aşağıdaki eşitlikler vardır.
Birim Çember
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
1
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
O
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
A
y
−1
cos a
dır.
sin a
α
x
1
−1
Merkezi orijin ve yarıçap uzunluğu 1 birim olan çembere
birim çember denir.
α açı ölçüsünün kosinüs değeri, A noktasının apsisine
eşittir.
α açı ölçüsünün sinüs değeri, A noktasının ordinatına
eşittir.
905
Bölüm 5. 1. Dik Üçgen ve Trigonometri
BÖLÜM DEĞERLENDİRME
1.
Yandaki şekilde
A
5.
AB = 3 2 cm
3 2
6
4
BD = 2 cm
|AD| = 4 cm
B
x
2 D
C
|AC| = 6 cm
4m
olduğuna göre DC = x kaçtır?
2.
A
D
Şekildeki verilen
ABC üçgeninde
6m
|AB| = 8 cm
Yukarıdaki şekilde 5 katlı bir binanın son katında çıkan
yangını söndürmeye çalışan bir itfaiye eri görülmektedir. Katlar arası 4 m ve verilen uzunluk ölçülerine göre
itfaiye aracının merdiveninin uzunluğunu bulunuz.
|DC| = 4 cm
B
x
C
15 m
[AC] ⊥ [BC]
[BD] ⊥ [DC] dir.
BD = AC olduğuna göre BC = x kaçtır?
6.
3.
Yandaki
şekilde ABC
bir üçgen,
A
13
15
x
H
x
3
N
B
|AB| = 13 cm
C
D
[AB] ⊥ [AD],
[AN] ⊥ [BC], [BH] ⊥ [HC] ve |BH| = 3 cm
|AC| = 15 cm
B
D
C

14
Yandaki şekilde
BAD dik üçgen
[AC] kenarortay
A
|BC| = 14 cm
olduğuna göre AB = x kaçtır?
[AD] ⊥ [BC]
olduğuna göre AD = x kaçtır?
7.
4.
Yandaki
şekilde ABC
dik üçgen,
A
E
F
|DF| = |FC|
α
B
D
|BD| = |DC|
C
|AE| = |ED|
ABC dik üçgen
A
1
E
[AB] ⊥ [BC]
x
|AE| = 1 cm
11
y
B
18
%
%
m _ EDF i = 40° olduğuna göre mÂBCh = a kaç
derecedir?
906
|AD| = |DC|
D
|EB| = 11 cm
F 2 C
|BF| = 18 cm
|FC| = 2 cm
olduğuna göre
ED
x
= oranı kaçtır?
DF
y
8.
11. A
A
x
B
x
α
β
100 m
B
4
y
50 m
C
z
   D
40 m
40 m
40 m
Şekilde A tepesindeki kuş önce B, sonra C ve sonra
da D noktasına doğrusal şekilde süzülüyor. Bu
sırada aldığı yollar sırasıyla x, y, z metre olduğuna
göre x, y, z değerlerini büyükten küçüğe doğru
sıralayınız.
E
D
30 m
C
ABCD dikdörtgen |BC| = 4 br
tan b =
3
1
, cot a = ise |AB| = x kaçtır?
4
2
12. A
ABC dik üçgeninde
[AB] ^ [BD]
3
Sina =
5
|BC| = |CD|
β
9. A
D
α
C
B
D
ise tan b = ?
E
B
C
13.
ABC eşkenar üçgen
A
ABCD dikdörtgeni sekiz birim kareye bölünmüştür.
[DE] ⊥[AC] olduğuna göre |DE| = x kaç br dir?
3 $ AD = DC
D
ise tan α = ?
α
B
10.
6,4 m
dest
ek
1,7 m
Yanda resmi
görülen evin
çatısının saçak
kısmına destek
olan tahtanın
uzunluğunu
bulunuz.
C
14. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
a.
sin 20° > sin 11°
b. cos 15° > cos 20°
c.
tan 40° > sin 40°
ç. sin 66° > cos 66°
d.
sin 22° > cos 22°
907
18. 0° < x < y < 90° iken aşağıdakilerden hangileri
15.
daima doğrudur?
18 m
22°
x
a. sin x < sin y
b. cos x < cos y
18 m yüksekliğindeki kulenin tepe noktasından
pistteki bir uçak şekildeki gibi göründüğüne göre,
uçağın kuleye uzaklığının yaklaşık değerini hesaplayınız.
c.
tan x < tan y
ç.
cot x < tan y
d. sin x < cos y
tan 22° ≈ 0,4
C
16.
10
D
600
Yandaki verilen
uzunluklara ve açı
ölçülerine göre
19.
[DE] ' [FH] ' [AB]
B
5 2
6 3
F
450
8
4
[DE] ⊥ [CB]
E
C
x
6
H
Yandaki şekilde
%
%
m _ BAC i = m _ CDF i
A
8
|AB| = 4 cm
|BD| = 6 cm
|AC| = |DC| = 8 cm
D
F
300
olduğuna göre |BC| = x kaç cm’ dir?
AB
x
|AB| = x uzunluğunu bulunuz.
20.
17.
Yukarıdaki
şekilde G
noktası ABC
üçgeninin
A
1500 G
B
D
C
 
x
y
[BA] ⊥ [AC]
908
BD
x
= oranı neye eşittir?
DC
y
D
C 120°
40 m
ağırlık merkezi
[GD] ⊥ [BC]
olduğuna göre
40 m
A
120° B
40 m
A noktasından yola çıkan kayık şekildeki rotayı izleyerek yoluna devam ediyor. D ye geldiğinde kayık
A noktasından kaç metre uzaklaşmıştır?
Ünite
5
DİK ÜÇGEN VE TRİGONOMETRİ,
ÜÇGENİN ALANI VE VEKTÖRLER
Bölüm 5.2.
Bu Bölümde Neler
Öğreneceğiz?
• Üçgenin alanını veren bağıntıları
• Üçgenin alanıyla ilgili uygulamaları
• Sinüs Teoremini
Neden Öğreneceğiz?
Alan hesaplamaları birçok farklı
durumda karşımıza çıkmaktadır.
Örneğin inşaat ustaları bir banyoda kaç tane fayans kullanılacağını;
boyacılar ev boyarken kaç litre boya
gideceğini ya da döşemeciler koltuk
vb. kaplarken ne kadar kumaş kullanılacağını alan hesabı yaparak belirlemektedirler.
Üçgenin Alanı
Bölüm 5.2. Üçgenin Alanı
HAZIR MIYIZ?
1. Aşağıdaki ifadelerin önlerindeki boşluğa doğru olanlar için “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
a.(. . . . ) Üçgenin alanı, bir kenarının uzunluğu ile bu kenara ait yükseklik uzunluğunun çarpımına eşittir.
b.(. . . . ) Dik üçgenin alanı, dik kenar uzunlukları çarpımının yarısına eşittir.
c.(. . . . ) Üçgenlerin yükseklikleri daima üçgenin iç bölgesinde kesişir.
ç.(. . . . ) Üçgenin bir kenarına ait kenarortay üçgenin o kenarını iki eş parçaya ayırır.
d.(. . . . ) Üçgenin ağırlık merkezi kenarortayları 2 : 1 oranında böler.
e.(. . . . ) Üçgenin iç açıortayları kestikleri kenarları daima iki eş parçaya ayırır.
f.(. . . . ) İkizkenar üçgende eş kenarlara çizilen yüksekliklerin uzunlukları eşittir.
g.(. . . . ) Eşkenar üçgende tüm yüksekliklerin uzunlukları eşittir.
2. Aşağıda verilen üçgenlerin alanlarını hesaplayınız.
a.
b.
F
A
3 br
4 br
B
K
C
D
5 br
10 br
E
3. Aşağıda verilen trigonometrik ifadelerin değerlerini bulunuz.
a. sin 30° = ?
b.
sin 45° = ?
c.
sin 60° = ?
d. sin 120° = ?
e.
sin 135° = ?
f.
sin 150° = ?
ç.
sin 90° = ?
4. Aşağıdaki üçgenlerde bilinmeyen kenar uzunluklarını bulunuz.
a.
b.
A
D
2 br
3 br
F
x
x
4 br
B
3 br
C
E
5. Aşağıda verilen ifadeleri a b şekline getiriniz.
a.
910
48 = ? b.
12 + 3 3 = ? Ünite 5. Dik Üçgen ve Trigonometri, Üçgenin Alanı ve Vektörler
c. 2 5 - 4 20 + 3 45 = ?
MATEMATİK ATÖLYESİ
Bu atölye çalışmasında, bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsü verildiğinde
üçgenin alanının nasıl bulunabileceğini inceleyeceğiz.
Araç ve Gereçler: Dinamik geometri yazılımı
A
Adım 1
Dinamik geometri yazılımı kullanarak bir ABC üçgeni ve ABC üçgeninin BC kenarına
ait yüksekliğini çiziniz. Bu yüksekliği [AH] olarak gösteriniz.
B
H
C
A
Adım 2
Yazılımın ilgili ölçüm araçlarını kullanarak aşağıda verilenleri hesaplayınız.
|AB| = .....
|BC| = .....
|AH| = .....
sin B = .....
B
Adım 3
H
C
Yazılımın hesap yapma özelliği yardımıyla bir önceki adımda bulduğunuz değerleri kullanarak aşağıdaki ifadelerin
sonuçlarını bulunuz. Bulduğunuz sonuçları aşağıya not ediniz.
D
A (ABC) =
1
· AH · BC = ..... 2
1
· AB · BC · sin B = .....
2
Adım 4
Bulduğunuz her iki sonuç arasındaki ilişkiyi açıklayınız. ABC üçgeninin farklı kenar uzunlukları ve açı ölçüleri için yukarıda bulduğunuz sonuçları inceleyiniz.
Sonuç
Yaptığınız işlemler sonunda bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarların oluşturduğu açının ölçüsünün sinüs değeri ile üçgenin alanı arasında belirlemiş olduğunuz ilişkiyi aşağıya yazınız.
.....................................................................................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................
911

dosyayı indir

Transkript

Benzer belgeler

31051 AstroMaster 130EQ Kullanma Kılavuzu

İnce Antenler Hertz Dipolü

datum dönüşümleri - Selçuk Üniversitesi

Uydu Jeodezisi - Lisans Ders Notları

Ders Notları - Gümüşhane Üniversitesi Harita Mühendisliği

projenin adı napoleon teoreminin dikdörtgene uygulanması projeyi

HIZLI PROTOT PLEME YAZILIMI GEL ŞT RME ÇALIŞMASI Dr.Murat

klasik mekanik-2