GEOMETR K TOPOLOJ

Transkript

GEOMETR K TOPOLOJ

GEOMETRK TOPOLOJ
Prof. Dr. smet KARACA
Ders Notlar
çindekiler
1
2
3
MANFOLDLAR
4
1.1
Manifold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Diferensiyellenebilir Yaplar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Diferensiyellenebilir Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Tanjant Uzay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.5
Al³trmalar
9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
YÜZEYLER
11
2.1
Kulplu Yüzeyler(Handled Surfaces)
. . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Çapraz Yüzeyler(Cross Cap Surfaces) . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3
Yönlü Yüzeyler(Orientable Surfaces)
13
YÜZEYLERN SINIFLANDIRILMASI
3.1
14
Ba§ntl Toplam(Topolojik Toplam)
(Connected Sum)
4
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.2
Kompakt Yüzeylerin Snandrlmas . . . . . . . . . . . . . .
15
3.3
Kompakt Yüzeylerin Üçgenle³tirilmesi
. . . . . . . . . . . . .
15
3.4
Euler Karakteristi§i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.5
Yüzeyler Cebiri
22
3.6
Ekli Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.7
Al³trmalar
24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TOPOLOJK GRUPLAR, GRUP HAREKET, LE GRUPLARI
26
4.1
Topolo jik Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.2
Grup Hareketi ve Orbit Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4.3
Lie Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.4
Lie Cebirleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.5
Al³trmalar
39
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
5
6
7
SMPLEKSLER
41
5.1
Ane Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.2
Simplisiyal Kompleksler
51
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SMPLSYAL HOMOLOJ GRUPLARI
55
6.1
Serbest Abel Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
6.2
Simplisiyal Zincir Kompleksler . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
6.3
Simplisiyal Homolo ji Gruplar
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
6.4
Simplisiyal Kompleksin Euler
Karakteristi§i . . . . . . . . . .
70
6.5
Homoloji ve Simplisiyal Dönü³ümler
. . . . . . . . . . . . . .
DÜÜM TEORS
72
73
7.1
Dü§ümler, Zincirler, Diya§ramlar
7.2
Reidemeister Hareketleri
7.3
Dü§üm Renklendirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
7.4
Dü§üm Renklendirmesine Sistamik Yakla³m . . . . . . . . . .
83
7.5
Aynalar VE Dü§üm Kodlamas
85
7.5.1
Dü§üm Kodlamas
7.6
Alexander Polinomu
7.7
Dü§üm Toplamlar
7.8
DNA'ya Ksa Bak³
7.9
Tangle
. . . . . . . . . . . . . . . .
74
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
7.10 Tangle ³lemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
7.11 4-Plat
94
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.12 Tangle Denklemlerinin Çözümü
. . . . . . . . . . . . . . . . .
96
7.13 Özel Bölgeli Rekombimasyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
7.14 Tangle Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
7.15 Örnek
99
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
ekil Listesi
1.1
Koordinat Dönü³ümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
diferansiyellenebilir fonksiyon
7
1.3
diferensiyellenebilir fonksiyonlarn bile³keleri de diferensiyellenebilirdir.
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1
Küre 0-kulpludur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2
Tor 1-kulpludur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.3
2-kulplu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.4
g-kulplu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1-çapraz yüzeydir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.5
3.1
RP
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.2
RP 2 # RP 2 ≈ Kb
3.3
Torun iki farkl üçgenle³tirilmesi
3.4
Projektif düzlemin üçgenle³tirilmesi . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.5
Küpün üçgenle³tirilmesi
16
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kürenin üçgenle³tirilmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RP 2 # T . . . . .
RP 2 # RP 2 . . . .
RP 2 # RP 2 # RP 2
S 1 #S 1 . . . . . . .
3.11 Koni dönü³ümü
15
15
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.13 Silindir dönü³ümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
7.1
trefoil dü§ümü- sekiz dü§ümü -kare dü§ümü
. . . . . . . . . .
75
7.2
hoph zinciri- whitehead zinciri - borromean zinciri . . . . . . .
76
7.3
uygun çaprazlama-kötü çaprazlama
. . . . . . . . . . . . . . .
76
7.4
41
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
3.12 Süspansiyon
7.5
ve
31
Tangle Örnekleri a.Rasyonel b.A³ikar c.Asal d.Yerel Dü§ümlenmi³
7.6
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4-plat çizimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3
Bölüm 1
MANFOLDLAR
1.1
Manifold
Tanm 1.1.1. (Manifold)
M bir topolojik uzay olsun. A³a§idaki ko³ullar sa§layan M topolojik uzayna
"n-boyutlu topolojik manifold" denir.
•
M bir Haussdorf uzaydr.
•
M topolojik uzaynn saylabilir baz vardr.
•
Yerel homeomorktir:
∀p ∈ M
icin
∃ Up ⊆ M
açk var öyle ki
0
U, R
homeomorzmdir. (
Burada
∀p ∈ M
için
(hp , Up )
n
hp : Up −→ U 0 ⊆ Rn
'nin açk altkümesidir.)
ikilisine M nin haritas ve
{(hp , Up )}p∈M
ailesine ise M nin atlas denir.
Örnek 1.1.1.
1.
Rn 'nin kendisi, n-manifolddur. Gerçekten Rn , Housdor, saylabilir baz
var ve birim dönü³ümü yerel homemorzmadr. (Ba§lantl fakat kompakt de§il.)
2.
S n,
3.
Kb, M b, T or, RP 2 , S 2 ,
n-manifolddur.(Hem ba§lantl hem kompakt)
2-manifolddur.
Özellikler 1.1.1.
4
1. Bir n-manifoldun açk alt kümesi bir n-manifolddur.
2.
M
m-manifold ve
N
n-manifold ise
M × N (m + n)-manifolddur.
3. Bir n-manifold ya ba§lantl ya da ba§lantsz, ya kompakt ya da kompakt de§ildir.
4. Her n-manifold yerel kompakttr.
1.2
Diferensiyellenebilir Yaplar
Tanm 1.2.1. (Koordinat Dönü³ümü)
0
zelge olsun öyleki
U1 ∩ U2
0
x1 : U1 −→ U1 ve x2 : U2 :−→ U2 iki
= U12 6= ∅ olsun. x12 = x2 ◦ x−1
1 |x1 (U12 )
M topolojik n-manifold olsun.
çive
ekil 1.1: Koordinat Dönü³ümü
−1
x21 = x−1
12 = x1 ◦ x2 |x2 (U12 )
dönü³ümlerine koordinat donü³ümü denir.
Topolojik Uzayn tüm harita dönü³ümleri diferansiyellenebilir ise manifold
diferansiyellenebilirdir denir.
5
Tanm 1.2.2. (Dieomorzm)
ve
f
−1
: V −→ U
fonksiyonlar
U, V ⊆ Rn açklar olmak üzere, f : U −→ V
diferensiyellenebilirdir ise f 'ye dieomorzm
denir.
Örnek 1.2.1.
1.
2.
1.3
Sn
Rn
n-manifolddur.
diferensiyellenebilir
diferensiyellenebilir
n-manifolddur.
Diferensiyellenebilir Fonksiyon
Tanm 1.3.1. (Diferansiyellenebilir Fonksiyon)
(M, θ) ve (N, θ) diferansiyellenebilir manifoldlar olsun. p ∈ M olmak
üzere f : M −→ N sürekli fonksiyon ve p ∈ U ⊆ M açk f (p) ∈ V ⊆ N açk
0
0
olmak üzere x : U −→ U ve y : V −→ V harita dönü³ümleri için
0
y ◦ x ◦ f −1 x(U ∩f −1 ) = x(U ∩ f −1 (V )) −→ V
fonksiyonu
x(p)
noktasnda diferansiyellenebilir ise f fonksiyonuna p nokta-
snda diferansiyellenebilir fonksiyon denir.
diferansiyellenebilir ise ,
Örnek 1.3.1.
f
f
fonksiyonu
∀p ∈ M
noktasnda
fonksiyonuna diferansiyellenebilir fonksiyon denir.
f : R −→ R3
ransiyellenebilir olmad§ndan
p 7−→ p3
f
fonksiyonu
x=0
noktasnda dife-
fonksiyonu diferansiyellenebilir de§ildir.
6
ekil 1.2: diferansiyellenebilir fonksiyon
Örnek 1.3.2.
diferansiyellenebilir
g : R 7−→ S 1 p 7−→ (cos p, sin p) her
oldu§undan g fonksiyonu diferensiyellenebilir.
•
noktada
y◦f ◦
0
Y : V −→ V
Uyar 1.3.1. Diferensiyelenebilirlik haritalara ba§l de§ildir. Çünkü
x
−1
diferensiyellenebilir ise ba³ka bir
X : U −→ U
0
harita ve
harita olsa
Y ◦ f ◦ X −1 = (Y ◦ y −1 ) ◦ (y ◦ f ◦ x−1 ) ◦ (x ◦ X −1 )
de diferensiyellenebilirdir.
f : (M, θ) :−→ (N, φ) ve g : (N, φ) −→ (P, ω) diferensiyelfonksiyon ise gof : (M, θ) −→ (P, ω) da diferensiyellenebilirdir
Teorem 1.3.1.
lenebilir
0
x : U −→ U
x∈θ
p ∈ U haritas
0
y : V −→ V
y∈φ
f (p) ∈ V haritas
0
z : W −→ W
z∈ω
gf (p) ∈ W haritas olmak üzere
−1
−1
T = U ∩ f (V ∩ g (W
)) alalm.
−1 g◦f = h : z ◦g◦f ◦x = (z ◦ g ◦ y −1 ) ◦ (y ◦ f ◦ x−1 ) diferensiyellenebilir.
spat 1.3.1.
x(T )
7
ekil 1.3: diferensiyellenebilir fonksiyonlarn bile³keleri de diferensiyellenebilirdir.
1.4
Tanjant Uzay
Tanm 1.4.1. (Tanjant Uzay)
M diferansiyellenebilir manifold.
M}
p∈M
olsun.
Curvesp M = {α : (−, ) −→
α, β ∈ Curvesp M ala-
diferensiyellenebilir fonksiyonlarn uzay olsun.
lm.
α ≈p β
p noktasnda tanjanttr.
⇐⇒ p ∈ U ⊆ M
açk
θ : U −→ U
0
hom.
için
0
0
(θ ◦ α) (0) = (θ ◦ β) (0)
Tp M =p M ≈p dir
Buradan ;
Teorem 1.4.1.
Denklik snar haritalara ba§l de§ildir.
α ≈p β olsun. p ∈ U ⊆ M
θ : U −→ U
0
V ⊆M
ψ : V −→ V iki ayr harita iseler ;
0
0
(ψ ◦ α) (0) = (ψ ◦ θ−1 ◦ θ ◦ α) (0)
0
0
= [(ψ ◦ θ−1 ) ◦ (θ ◦ α)] ◦ [(θ ◦ α) (0)]
spat 1.4.1.
8
0
ve
p∈
0
0
= [(ψ ◦ θ−1 ) ◦ (θ ◦ β)] ◦ [(θ ◦ β) (0)]
0
= (ψ ◦ β) (0)
ve
Tp M tanjant uzayna vektör
n = dim(M ) olmak üzere;
(U, θ) ;
yaps koyalm.
p merkezli çizelge
θ∗ : Tp M −→ Rn
0
[α] 7−→ (θ ◦ α) (0)
dönü³ümünü tanimlayalm.
• φ∗
iyi taniml ve bire-bir dir.
• + : Tp M × Tp M −→ Rn
([α], [β]) 7−→ [α] + [β] = φ−1
∗ (φ∗ [α] + φ∗ [β])
• ∗ : Rn × Tp M −→ Rn
(λ, [α]) 7−→ λ ∗ [α] = φ−1
∗ (λφ∗ [α])
i³lemleri altnda
1.5
1.
(Tp M, Rn , +, ∗)
vektör uzay yapsna sahiptir.
Al³trmalar
Rn
de her U aç§ topolojik n-manifolddur. Gösteriniz.
2. Birinci sorudan hareketle bir topolojik n-manifoldun her açk altkümesi de (alt uzay topolojisine göre) topolojik n-manifold olabilir mi?
Yorumlaynz.
3.
S2
topolo jik 2-manifold dur . Gösteriniz.
4.
S1
topolo jik 1-manifolddur . Gösteriniz.
5. X topolojik uzay kompakt, Hausdor ve yerel homeomork ise X uzaynn saylabilir baz vardr (yani X ikinci saylabilir uzaydr). Gösteriniz.
Buradan hareketle
I = [0, 1]
kapal aral§ topolo jik 1-manifold olabilir
mi? Yorumlaynz.
9
6. M bir topolojik m-manifold , N bir topolojik n- manifold ise gösteriniz
ki
M ×N
de topolojik
(m + n)
- manifolddur . (Yani manifoldlarn
kartezyen çarpm da manifolddur).
7.
X = S1 × I
silindirin topolojik 2 -manifold oldu§unu gösteriniz. (Yol
gösterme : 4,5,6 nc sorulardan yararlannz.)
8.
RP 2 reel projektif düzleminin topolojik 2-manifold oldu§unu gösteriniz.
9.
S2
10.
diferensiyellenebilir manifolddur. Gösteriniz.
RP 1
ve
S1
dieomork midirler? Açklaynz.
(yol gösterme :
θ
eiθ 7−→ [ei 2 ]
)
10
Bölüm 2
YÜZEYLER
Tanm 2.0.1. Kompakt, ba§lantl 2-manifolda bir yüzey denir.
Örnek 2.0.1. Silindir, paraboloid,kürenin kulplar çkartlarak elde edilen
yüzey.
2.1
Kulplu Yüzeyler(Handled Surfaces)
ekil
2.1:
Küre
0-
ekil
kulpludur
2.2:
Tor
1-
kulpludur
.......
ekil 2.3: 2-kulplu
ekil 2.4: g-kulplu
11
Tanm 2.1.1.
2.2
Sg
ailesinin g-inci elemanna
g
genuslu yüzey denir.
Çapraz Yüzeyler(Cross Cap Surfaces)
.
.
.
.
.
ekil 2.5:
Tanm 2.2.1.
C1 , C2 , ..., Cg
RP 2
1-çapraz yüzeydir.
ailesinin g-inci elemanna
12
g
çapraz yüzey denir.
2.3
Yönlü Yüzeyler(Orientable Surfaces)
Tanm 2.3.1.
S
bir yüzey olsun.
1.
S
ye ait her kapal e§ri yönünü koruyorsa
S
2.
S
yüzeyi üzerinde yönü de§i³tiren en az bir kapal e§ri varsa
ye yönlü yüzey denir
S
ye yönlü
olmayan yüzey denir
Örnek 2.3.1.
S 2 ,T ,
silindir yönlü yüzeylerdir.
Kb, M b, RP 2
yüzeylerdir.
1.
T ≈ S 1 xS 1
2.
T = {(x, y, z) ∈ R3 : [(x2 + y 2 ) 2 − 2]2 + z 2 = 1} ⊂ R3
1
13
yönlü olmayan
Bölüm 3
YÜZEYLERN
SINIFLANDIRILMASI
3.1
Ba§ntl Toplam(Topolo jik Toplam)
(Connected Sum)
Tanm 3.1.1.
S1
ve
S2
iki yüzey olsun. Bu iki yüzeyden birer disk çkartlsn
ve çkartlan ksmda bu iki yüzeyin yap³trlmasyla elde edilen yeni yüzeye
S1
ve
S2
nin ba§lantl toplam denir.
Örnek 3.1.1.
S2 # S2 ≈ S2
ekil 3.1:
Özellikler 3.1.1.
2.
1.
S1 # S2 ≈ S2 # S1
(S1 # S2 ) # S3 ≈ S1 # (S2 # S3 )
3. ki yönlü yüzeyin ba§lantl toplam yine yönlü yüzeydir.
4.
S1
ve
S2
herhangi biri yönlü de§ilse
14
S1 # S2
yönlü de§ildir.
3.2
Kompakt Yüzeylerin Snandrlmas
Teorem 3.2.1. Bir kompakt yüzey ya küreye ya tora ya da
Kb
RP 2 # RP 2 ≈
ya homeomorfdur.
b
a
a
b
ekil 3.2:
RP 2 # RP 2 ≈ Kb
π1 (Kb) = {ha, bi : aba−1 b = 1}
π1 (RP 2 ) = {ha, bi : abab = 1}
3.3
Kompakt Yüzeylerin Üçgenle³tirilmesi
S kompakt yüzey olsun. S nin üçgenle³tirilmesi S yi kaplayan
{T0 , T1 , . . . , Tn } kapal alt kümelerinin sonlu ailesini içerir öyle ki Ti ler R2
Tanm 3.3.1.
deki kapal üçgenlere homeomorfdur.
Örnek 3.3.1.
1. Torun üçgenle³tirilmesi
b
1
2
3
1
4
a
4
5
6
8
9
7
1
7
2
3
1
ekil 3.3: Torun iki farkl üçgenle³tirilmesi
Kareyi üçgenle³tiriyoruz. Farkl ³ekillerde üçgenle³tirebiliriz.
(a) ve (b) durumuda torun üçgenle³tirilmesidir. Yapt§mz üçgenle³tirme ile sadece sonraki i³lemlerimiz de§i³ecektir.
15
1
2
3
1
5
4
4
5
1
3
2
1
ekil 3.4: Projektif düzlemin üçgenle³tirilmesi
2. Projektif düzlemin herhangi bir üçgenle³tirilmesi
3. Küpün herhangi bir üçgenle³tirilmesi
f
a
b
b
a
f
e
e
c
d
g
c
d
g
ekil 3.5: Küpün üçgenle³tirilmesi
Not:Kompakt yüzeyin üçgenle³tirilmesi a³a§daki iki özellikelli§i sa§lar;
(a) Üçgenle³tirmenin her kenar iki üçgenin kenardr
(b)
ϑ,
üçgenle³tirmenin bir kö³esi olsun.
ϑ
kö³eli üçgenler mevcuttur
öyle ki bu üçgenlerin ortak kenarlar vardr.
16
4. Kürenin herhangi bir üçgenle³tirilmesi
3
2
1
5
1
4
6
2
3
ekil 3.6: Kürenin üçgenle³tirilmesi
Lemma 3.3.1. Tor ve pro jektif düzlemin ba§lantl toplam üç projektif
düzlemin ba§lantl toplamna homeomorfdur.
RP 2 # T ≈ RP 2 # RP 2 # RP 2
RP’2# T
a
c
c
b
a
b
b
a
c
c
a
b
ekil 3.7:
RP 2 # T
17
a
a
a
a
a
b
a
b
#
ekil 3.8:
RP 2 # RP 2
b
b
b
a
c
c
a
a
c
RP2 # RP2 # RP2
ekil 3.9:
3.4
RP 2 # RP 2 # RP 2
Euler Karakteristi§i
Euler karakteristi§i, kö³eleri, kenarlar ve yüzeyleri sayaral elde edilir. Bu
nedenle hücre(cell) kompleksi üzerinde duraca§z.
Tanm 3.4.1.
n-hücreyi, içinin n-diske homeomorf olan bir topolojik nesne
olarak tanmlanabilir.
Örnek 3.4.1.
1.
0-hücre
2.
1-hücre
(kenar), içi
3.
2-hücre
(yüz), içi
R
R2
(kö³e) bir noktadr.
de bir açk aral§a homeomorftur.
de bir açk diske homeomorftur.
Tanm 3.4.2. Hücre Kompleksi, hücrelerin içi ikili baznda ayrk ve snrlar boyutu dü³ük olan hücrelerin birle³imi olan yani
0-hücre, 1-hücre, 2-hücre
hücrelerin birle³imi olarak tanmlayabiliriz.
Not 3.4.1. Bir hücre kompleks, bi
kompleksine,
M 'nin
M
yüzeyine homeomorf ise bu hücre
hücre ayr³m denir.
Örnek 3.4.2. A³a§da yüzeylerin hücre ayr³m verilmi³tir; Buraya ³ekil
yaplacak
Tanm 3.4.3. Bir
M
yüzeyinin
v
kö³esi,
e
kenar ve
Euler karakteristi§i
χ(M ) = v − e + f
³eklinde tanmlanr.
18
f
yüzeyi varsa
M 'nin
Örnek 3.4.3.
1.
S2
2
küre yüzeyinin
1
kö³esi,
kenar ve
1
yüzeyi oldu§undan
χ(S 2 ) = v − e + f = 2 − 1 + 1 = 2.
2.
T
Tor yüzeyinin
1
kö³esi,
2
kenar ve
1
yüzeyi oldu§undan
χ(T ) = v − e + f = 1 − 2 + 1 = 0.
3.
2T
iki Tor yüzeyinin
1
kö³esi,
4
kenar ve
1
yüzeyi oldu§undan
χ(2T ) = v − e + f = 1 − 4 + 1 = −2.
4.
RP 2
projektif düzlemin
1
kö³esi,
1
kenar ve
1
yüzeyi oldu§undan
χ(RP 2 ) = v − e + f = 1 − 1 + 1 = 1.
5.
Kb
Klein isesinin
1
kö³esi,
2
kenar ve
1
yüzeyi oldu§undan
χ(Kb) = v − e + f = 1 − 2 + 1 = 0.
6.
Mb
1
Möbiüs ³eridinin
kö³esi,
2
kenar ve
1
yüzeyi oldu§undan
χ(Kb) = v − e + f = 1 − 2 + 1 = 0.
Not 3.4.2.
1.
χ(Kb) = 0 = χ(T )
olmasna ra§men
Kb
ve
T
homeomorf yüzeyler
de§ildir.
2.
Kb ≈ RP 2 # RP 2
oldu§undan
χ(Kb) = χ(RP 2 # RP 2 )
dir.
Teorem 3.4.1.
χ(M1 #M2 ) = χ(M1 ) + χ(M2 ) − 2.
spat.
M1
yüzeyinin kö³e says
v1
olan
2n1 -gen
ile temsil edilsin. Bu
durumda
χ(M ) = v1 − n1 + 1.
M2
yüzeyinin kö³e says
v2
olan
2n2 -gen
ile temsil edilsin. Bu durumda
χ(M ) = v2 − n2 + 1.
19
M1 # M2 yüzeyinin kö³e says v1 + v2 − 1
2(n1 + n2 )-gen ile temsil edilir.
ve kenar says
n1 + n2
olan
χ(M1 # M2 ) = v1 + v2 − 1 − (n1 + n2 ) + 1
= v1 − n1 + 1 + v2 − n2 + 1 − 2
= χ(M1 ) + χ(M2 ) − 2.
S2
Not 3.4.3.
kulpsuz yüzey oldu§undan
S 2 = 0T
dir.
Sonuç 3.4.1.
1.
n≥0
2.
m≥1
için
χ(nT ) = 2 − 2n.
için
χ(RP 2 ) = 2 − m.
spat.
1.
n = 0 için 0T = S 2 oldu§undan χ(S 2 ) = 2 dir. n = 1 için χ(T ) = 0
dir. n = 2 için χ(2T ) = −2. n − 1 için do§ru olsun. Yani χ((n − 1)T ) =
χ(T # T # · · · # T ) = 2 − 2(n − 1) olsun. Yani
χ(nT ) = χ((n − 1)T # T ) = χ((n − 1)T ) + χ(T ) − 2
= 2 − 2(n − 1) − 0 − 2 = 2 − 2n.
2. Birinci ksmda oldu§u gibi
Teorem 3.4.2.
M
m
(3.1)
(3.2)
üzerinde tümevarmla ispatlanr.
herhangi bir yüzey olsun.
χ(M ), M 'nin
hücre ayr³m
seçiminden ba§mszdr.
Sonuç 3.4.2. A³a§daki önermeler Denktir;
1.
M1
2.
χ(M1 ) = χ(M2 ) ve M1 , M2 nin her ikisi oriyantel veya her ikisi oriyantel
yüzeyi
M2
yüzeyine homeomorftur.
de§ildir.
1) ⇒ 2) : h : M1 −→ M2 homeomorzma olsun. h, M1 'in hücre
ayr³mn M2 nin hücre ayr³mna ta³d§ndan χ(M1 ) = χ(M2 ) dir. Ayrca
oriyantellik bir topolojik özellik oldu§undan M1 yüzeyi oriyantel ise M2 de
spat.
oriyanteldir.
2) ⇒ 1) :
kinci önerme mevcut olsun.
M1
yüzeyinin
M2
yüzeyine ho-
meomorf oldu§unu gösterce§iz. Bunun yüzeylerin oriyantel olma ve oriyantel
olmama durumlarna göre ispatlayaca§z.
20
ve
Durum 1 : M1 ve M2 nin her ikiside oriyantel
M2 = n2 T dir. χ(M1 ) = χ(M2 ) oldu§undan
olsun. O zaman
M = n1 T
2 − 2n1 = 2 − 2n2 ⇒ n1 = n2 .
M1 ≈ n1 T = n2 T ≈ M2 dir.
Durum 2: M1 ve M2 nin her ikiside oriyantel olmasn.
m1 RP 2 ve M2 = m2 RP 2 dir. χ(M1 ) = χ(M2 ) oldu§undan
Dolasyla
O zaman
M =
2 − m1 = 2 − m2 ⇒ m1 = m2 .
Dolasyla
M1 ≈ M2
Örnek 3.4.4.
dir
KB # RP 2 ,
T # RP 2 ,
homeomorf olduklarn gösterelim.
21
RP 2 # RP 2 # RP 2
yüzeylerinin
3.5
Yüzeyler Cebiri
Verilen kompakt yüzey kelime ile belirtilebilir. Kelime ve devir kuraln kullanarak kompakt yüzeyin düzlem modeli in³a edilir.
a
a
a
a
a
#
a
ekil 3.10:
S 1 #S 1
T # Kb # Rp2
T ⊕ Kb ⊕ Rp2 :acd−1 eec−1 d−1 ba−1 b−1
Örnek 3.5.1.
Teorem 3.5.1. (Pozisyon Devir Kural) Bir kompakt yüzey
M
kelimesi
ile belirtilsin.
1.
M = AB
2.
M ∼ M −1
ise
M ∼ BA
(Çember Kural)
(Flip Kural)
Teorem 3.5.2. (Küre Devir Kural)
A
belirtsin. (
B den en az biri
ve M ∼ AB dir.
ve
yüzeyi belirtir
M = Axx−1 B
bir kompakt yüzeyi
bo³tan farkl) O zaman
AB
bu kompakt
Örnek 3.5.2. Küre için;
M = af g −1 e−1 b−1 bec−1 cgdd−1 f −1 a−1 ∼ af g −1 e−1 egf −1 a−1
∼ af g −1 gf −1 a−1 ∼ af f −1 a−1 ∼ aa−1 = S 2
Teorem 3.5.3. (Silindir Devir Kural)
ve
−1
M = AxBCx D
ise
−1
M ∼ AxCBx D
M
bir kompakt yüzey için kelime
dir.
Örnek 3.5.3.
M = abca−1 b−1 c−1 = a(bc)a−1 b−1 c−1 ∼ a(cb)a−1 b−1 c−1
= acba−1 b−1 c−1 = ac(ba−1 b−1 )c−1
∼ ac(a−1 b−1 b)c−1 ∼ aca−1 c−1 = T
Not:
S 2 = aa−1 , T = aba−1 b−1 , Rp2 = aa, Kb = aba−1 b
22
Teorem 3.5.4. (Mobius erit Devir Kural) Bir kompakt yüzeyi belirten
kelime
M
ve
M = AxBxC
M ∼ AxxB −1 C
ise
dir.
Örnek 3.5.4.
1.
M = abca−1 b−1 c ∼ abccba ∼ ccabba ∼ ccaabb = Rp2 Rp2 Rp2 = 3Rp2
2.
Kb = aba−1 b ∼ abba ∼ aabb = Rp2 Rp2 = 2Rp2
3.
T Rp2 = aba−1 b−1 cc ∼ a−1 b−1 (cca)b ∼ a−1 b−1 cacb
∼ a−1 b−1 cca−1 b ∼ a−1 b−1 a−1 bcc ∼ bab−1 a(cc) = KbRp2
3.6
Ekli Uzaylar
Tanm 3.6.1. A, X in alt uzay ve
∀x ∈ A
X in Y
için
x ∼ f (x)
f :A→Y
sürekli fonksiyon olsun. Ayrca
X∪Y
ba§nts tanimlansn.
x∼f (x)
= X ∪f Y
uzayna eklenmesi denir.
Örnekler:
1.
X = [0, 1] = Y, A = {0, 1}
f : {0, 1} → [0, 1]
x → f (x) =
2.
1
2
X = [0, 1]x[0, 1] = Y, A = {0}x[0, 1] ∪ {1}x[0, 1]
f :A→Y
1
(s, t) → f (s, t) = ( , t)
2
3. Koni
Xx{1}
XxI
ekil 3.11: Koni dönü³ümü
4. Süspansiyon
23
bölüm uzayna
Xx{0}
Xx{1}
ekil 3.12: Süspansiyon
5. Mapping Silindir
XxI
Y
ekil 3.13: Silindir dönü³ümü
3.7
Al³trmalar
1.
T ] S2 ≈ T
2.
Rp2 ] Rp2 ≈ Kb
3.
T ]Rp2 ≈ 3Rp2
oldu§unu ³ekille gösteriniz.
oldu§unu ³ekil çizerek gösteriniz.
oldu§unu uygun indirgeme kurallarnn kullanarak ispat
ediniz.
4. n tane
Rp2
nin ba§lantl toplam 2n kenarl poligonla temsil edilir ve
bu toplamn yüzey cebiri ise
a1 a1 a2 a2 · · · an an
³eklindedir.
(yol gösterme : ispat n üzerinden tümevarmla yaplacaktr. )
5. Uygun indirgeme i³lemlerinden yararlanarak
abc−1 b−1 a−1 c−1 ve acb−1 a−1 c−1 b
yüzeylerinin orientable yüzey olup olmadklarn inceleyiniz.
6.
]
ba§lantl toplam i³lemi komutatif midir? Birle³meli midir? Birim ele-
man var mdr? Ters eleman var mdr? Sonucu yorumlaynz.
24
7.
b−1 a−1 c−1 c−1 ba
yüzeyi ile
x−1 x−1 y −1 y −1 z −1 z −1
yüzeyi ayn yüzeyin ce-
birsel gösterimi olabilir mi? Açklaynz. (yol gösterme : indirgeme methodlarn kullannz.)
8.
2T ] Rp2 ≈ 5Rp2
oldu§unu gösteriniz. (yol gösterme : 3üncü sorudan
yararlannz.)
9. x bir kenar ; P , Q ler de kenarlarn dizilerini temsil etsin.Uygun bir
x1
kenar için ;
xxP −1 Q ≈ x1 P x1 Q
dir. ekil çizerek ispatlaynz.
10. x bir kenar , P , Q, R ler de kenarlarn dizilerini temsil etsin. Uygun
bir x1 kenar için
xP Qx−1 R ≈ x1 QP x−1
1 R
dir. ekil çizerek ispatlaynz.
11. A³a§daki kelimelerin hangi yüzeyi belirtti§ini bulunuz.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f )
(g)
abcba−1 c
abec−1 ba−1 cd−1 ed
ab−1 cedef a−1 bc−1 d−1 f
aba−1 cdb−1 c−1 d−1
ab−1 c−1 a−1 cb
abc−1 bca
abcb−1 dc−1 d−1 a−1
25
Bölüm 4
TOPOLOJK GRUPLAR, GRUP
HAREKET, LE GRUPLARI
4.1
Topolo jik Gruplar
Tanm 4.1.1.
(G, τ )
likellikler mevcut ise;
topolo jik uzay ve
(G, τ, .)
(G, .)
bir grup olsun. A³a§daki özel-
üçlüsüne topolojik grup denir.
1.
f : G × G −→ G (x, y) 7→ f (x, y) = x.y
2.
g : G → G x 7→ x−1
Örnek 4.1.1.
(R, τs )bir
(a)
1.
sürekli fonksiyon
sürekli fonksiyon
(R, τs , +)
bir topolojik guptur.
topolojik uzay ve
(R, +)bir
gruptur.
f : R × R −→ R (x, y) 7→ f (x, y) = x + y = π1 (x, y) + π2 (x, y)
zdü³üm fonksiyonlar sürekli oldu§undan toplamlar da süreklidir.
(b)
g : R → R x 7→ g(x) = −x = (−1).x = a.I(x)
Sürekli fonksiyonun sabit bir say ile çarpm sürekli oldu§undan
g
süreklidir.
2.
(G, .)
topolo jik
(a)
(b)
3.
G üzerinde diskret topoloji
gruptur.(G, τd )bir topolojik uzaydr.
bir grup olsun.
alrsak
(G, τd , .)
bir
f : G × G → G (x, y) 7→ f (x, y) = x.y
g : G → G x 7→ g(x) = x−1
(G, τd ) den alnan her açk (G × G,τd xτd ) uzaynda açk olaca§ndan
f ve g süreklidir.
R∗ = R−{0}, (R∗ , τs , .) bir topolojik guptur. (R∗ , .) bir grup ve (R∗ , τs ),
(R, τs ) nin altuzay topolojisidir.
(a)
f : R∗ × R∗ → R∗
(x, y) 7→ f (x, y) = x.y = π1 (x, y).π2 (x, y)
26
(b)
4.
g : R∗ → R∗ x 7→ g(x) = x−1 =
f ve g süreklidir.
1
x
=
1
,
I(x)
(S 1 , τ, .) bir topolojik gruptur. τ = τs × τs , . : C
(S 1 , τ ) topolo jik uzay ve (S 1 , .) bir gruptur.
(a)
(b)
I(x) 6= 0
deki çarpma i³lemidir.
f : S 1 × S 1 → S 1 (z1 , z2 ) 7→ f (z1 , z2 ) = z1 .z2 = π1 (z1 , z2 ).π2 (z1 , z2 )
z̄
g : S 1 → S 1 z 7→ g(z) = z −1 = z1 = |z|
= z̄ = e−iθ = (cos θ, − sin θ)
f ve g süreklidir.
5. Banach ve Hilbert uzaylar birer topolo jik gruptur.
Banach uzay normlu tam vektör uzaydr. Vektör uzay oldu§undan
grup yaps vardr. Norm tarafndan üretilen topolojiye sahiptir.
(a)
(b)
6.
f : B xB → B (x, y) 7→ f (x, y) = x + y
g : B → B x 7→ g(x) = −x
f ve g süreklidir.
C∗ = C − {(0, 0)}, (C∗ , τ, .)
bir topolojik gruptur.(. :
C
deki çarpma)
Önerme 4.1.1. ki topolojik grubun kartezyen çarpm topolo jik gruptur.
(G1 , τ1 , .), (G2 , τ2 , ∗) topolo jik gruplar ise (G1 × G2 , τ1 × τ2 , o) topolo jik gruptur.
spat.
(G1 , τ1 , .)
topolo jik grup oldu§undan
f1 : G1 × G1 → G1 (x, y) 7→ f1 (x, y) = x.y
ve
g1 : G1 → G1 x 7→ g1 (x) = x−1
süreklidir.
(G2 , τ2 , ∗)
f2 : G2 × G2 → G2 (x, y) 7→ f2 (x, y) = x ∗ y
ve
g2 : G2 → G2
x 7→ g2 (x) = x−1
süreklidir.
f = f1 × f2 : G1 × G1 × G2 × G2 −→ G1 × G2
((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) 7→ f1 × f2 ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = (x1 .y1 , x2 ∗ y2 )
f1
ve
f2
sürekli oldu§undan
f
fonksiyonu süreklidir.
27
g = g1 × g2 : G1 × G2 −→ G1 × G2
(x1 , x2 ) 7→ g1 × g2 (x1 , x2 ) = (g1 (x1 ), g2 (x2 )) = (x1 −1 , x2 −1 )
g1
ve
g2
Ödev:
g
(G1 ×G2 , τ1 ×τ2 ) nin topolojik uzay, (G1 ×G2 , o) nin grup oldu§unu
gösteriniz.
Örnek 4.1.2.
1.
(Rn , τ, +)
2.
(T, τ, .)
τ
topolo jik gruptur. ( : Çarpm topolojisi)
topolo jik gruptur.
T ≈ S 1 xS 1
dir.
(S 1 , τ1 , .)
ve
(S 1 , τ2 , +)
to-
polo jik gruplardr.
3.
GL(n, R) = {A ∈ Mnxn : detA 6= 0}
matris çarpmna göre grup yaps
te³kil eder.
4.
SL(n, R) = {A ∈ Mnxn : detA = 1}
5.
O(n, R) = {A ∈ Mnxn : detA 6= 0, AT A = I = AAT }
özel lineer gruptur.
ortogonal grup-
tur.
6.
SO(n, R) = {A ∈ Mnxn : detA = 1, AT A = I = AAT }
özel ortogonal
gruptur.
SL(n, R), O(n, R), SO(n, R), GL(n, R)
Önerme 4.1.2.
(G, τ, .)
bir topolojik grup ve
Alt uzay topolojisi ile donatlan
Tanm 4.1.2.
H
(G, τ, .)
H
grubu
G
GL(n, R)
nin
H
H, G
nin bir alt grubu olsun.
nin bir topolojik alt grubudur.
bir topolo jik grup ve
açk (kapal) alt küme ise
Örnek 4.1.3.
nin alt gruplardr.
H, G
nin bir alt grubu olsun.
ya açk (kapal) altgrup denir.
SL(n, R), O(n, R), SO(n, R)
alt gruplar kapal
alt gruplardr.
det : Mnxn → R A 7→ detA
dan
SL(n, R)
{1} ⊂ R
kapals için
det−1 ({1}) = SL(n, R)
oldu§un-
kapaldr.
t : Mnxn → Mnxn
I ⊂ Mnxn
A 7→ t(A) = AAT = I
kapals için
O(n, R) kapaldr.
SO(n, R) = SL(n, R) ∩ O(n, R)
t−1 (I) = O(n, R)
oldu§undan
28
SO(n, R)
oldu§undan
kapaldr.
Örnek 4.1.4.
(Z, τd , +), (R, τd , +)
nn topolo jik alt grubudur.
Uyar:Topolojik gruplarda izomorzma teoremleri a³a§daki önerme geçerli oldu§unda geçerlidir.
"
f :G→H
homeomorzma olsun.
G/Kerf ' Imf
dr
⇔ f : G → Imf
açk dönü³ümdür."
G bir topolojik grup ve g ∈ G olsun. Lg : G → G, ∀x ∈ G için
Lg (x) = g.x fonksiyonuna homeomorzmann sol öteleme fonksiyonu denir.
Rg : G → G, ∀x ∈ G için Rg (x) = x.g fonksiyonuna da homeomorzmann
Tanm 4.1.3.
sa§ öteleme fonksiyonu denir.
Teorem 4.1.1.
spat.
Lg
ve
Rg
bir homeomorzmdir.
Lg : G → G, ∀x ∈ G
için
Lg (x) = g.x
fonksiyonunu ele alalm.
G
f : G × G −→ G (g, x) 7→ f (g, x) = g.x
Lg (x) = f |{g}xG
oldu§undan
Lg
Lg (x1 ) = Lg (x2 ) ⇒ g.x1 = g.x2 ⇒ g −1 (g.x1 ) = g −1 (g.x2 ) ⇒ x1 = x2
Lg , 1 − 1 dir. ∀y ∈ G için x = g −1 .y ∈ G oldu§undan Lg
(Lg ) = Lg−1 oldu§unu iddia ediyoruz. Gerçektende
dolasyla
örtendir.
−1
Lg−1 oLg (x) = g −1 (g.x) = x = I(x)
Lg oLg−1 (x) = g(g −1 .x) = x = I(x)
Lg−1 : G → G, ∀x ∈ G için Lg−1 (x) = g −1 .x fonksiyonunu verilsin.
(Lg )−1 = f |{g−1 ×G} oldu§undan (Lg )−1 = Lg−1 fonksiyonu süreklidir.
Benzer ³ekilde Rg nin de homeomorzm oldu§u gösterilebilir.
dir.
Sonuç 4.1.1.
G
G
topolo jik grup,
g∈G
ve
U, G
de açk ise
Lg (U )
ve
de açk alt kümelerdir.
Tanm 4.1.4.
A
ve
B, G
topolo jik grubunun iki alt kümesi olsun.
1.
A.B = {x.y : x ∈ A, y ∈ B}
2.
x.A = {x}.A = {x.a : a ∈ A}
3.
A−1 = {a−1 : a ∈ A}
4.
A = A−1
ise
A
ya
G
de simetriktir denir.
29
Rg (U ),
Teorem 4.1.2.
bir küme,
g∈G
G topolo jik grup, F, U, P ⊂ G ve F kapal, U açk, P key
−1
−1
olsun. F g, gF, F
kapal kümelerdir. U P, P U, U
açk
kümelerdir.
Lg : G → G, ∀x ∈ G için Lg (x) = g.x ve Rg : G → G, ∀x ∈ G
Rg (x) = x.g dönü³ümleri homeomorzmdir. F kapal ise Lg (F ) = g.F
ve Rg (F ) = F.g kümeleri de Lg ve Rg homeomorzma oldu§undan kapaldr.
f : G → G, ∀x ∈ G için f (x) = x−1 fonksiyonu homeomorzmdir. F kapal
−1
oldu§undan f (F ) = F
de f homeomorzma oldu§undan kapaldr. U açk
oldu§undan Lg (U ) ve Rg (U ) açktr.
[
[
UP =
U.g (g ∈ P ) ve PU =
g.U (g ∈ P)
spat.
için
f (U ) = U −1
kümeleri açktr.
U
açk oldu§undan
Önerme 4.1.3.
G
bir topolojik grup olsun.
1.
G
2.
H, G
nin açk topolojik alt grubu
H
nin topolojik alt grubu ise
de açktr.
ayn zamanda kapaldr.
H
da
G
nin topolo jik alt grubudur.
spat.
1.
H, G
H = H oldu§unu göstermeliyiz. Her zaman H ⊂ H . . . (1) olur. p ∈ H olsun. p.H , p nin bir
kom³ulu§u oldu§undan p.H ∩ H 6= ∅ olur. Bu durumda p.h1 = h2 olacak ³ekilde h1 , h2 ∈ H vardr. O halde p ∈ H dr. H ⊂ H . . . (2) elde
edilir. (1) ve (2) den H = H olur. Bu da H n kapal oldu§unu ifade
nin açk topolo jik alt grubu olsun.
eder.
2.
H, G
nin topolo jik alt grubu olsun.
oldu§unu göstermek için
H
için
G nin topolo jik alt grubu
x.y ∈ H ve ∀x ∈ H için x−1 ∈
n
oldu§unu göstermeliyiz.
(a)
(b)
H
∀x, y ∈ H
H
∀x, y ∈ H olsun. W x.y nin kom³ulu§u olsun. U.V ⊂ W olacak
³ekilde x ∈ U , y ∈ V kom³uluklar vardr. x ∈ H ise U ∩ H 6= ∅
olur. Bu durumda h1 ∈ U ∩ H vardr. Benzer ³ekilde y ∈ H ise
V ∩ H 6= ∅ olur. Bu durumda h2 ∈ V ∩ H vardr. h1 .h2 ∈ U.V ve
h1 .h2 ∈ H ise U.V ∩ H 6= ∅ olur. Bu durumda W ∩ H 6= ∅ elde
edilir. Buradan x.y ∈ H bulunur.
x ∈ H olsun. x in her U kom³ulu§u için U ∩ H 6= ∅ dr. U −1 =
{x−1 : x ∈ H} ve U −1 ∩ H 6= ∅ oldu§undan x−1 ∈ H olur.
bir topolojik alt grupdur.
30
Önerme 4.1.4.
1.
V
G
nin
G
bir topolojik grup olsun.
de açk (kapal) olmas için gerek ve yeter ³art
V −1 'in G
de
açk (kapal) omlasdr.
2.
e∈U
U , G de açk olsun. V = V −1
kümesi vardr ve e ∈ V dir
olmak üzere
³ekilde
V
açk
ve
V ·V ⊂ U
olacak
spat.
1.
f : G −→ G g 7→ f (g) = g −1
dönü³ümü homeomorzm ve
f ◦ f = 1G
oldu§unda sonuç kolayca elde edilir.
2.
p : G × G −→ G dönü³ümü sürekli oldu§undan p−1 (U ), G × G de açk
−1
ve (e, e) ∈ p
(U ) dir. Dolasyla, V1 · V2 ⊂ U olacak ³ekilde V1 ve V2
−1
açklar var ve e ∈ V1 , e ∈ V2 dir. Bir önceki ksmdan, V1 ,
V2−1
−1
açktr. Böylece V = V1 ∩ V2 ∩ V1
∩ V2−1 ayn zamanda açktr. e ∈ V
−1
ve V = V
, V · V ⊂ V1 · V2 ⊂ U dir.
G bir topolojik grup olsun. G nin Housdor olmas için gerek
{e} nin kapal olasdr.
Lemma 4.1.1.
ve yeter ³art
spat.
{e}
(⇒) G
Housdor olsun. Her tek noktal küme kapal oldu§undan
kapaldr.
(⇐) {e}
Lg ({e}) = g kapaldr. e 6= g nin ayrk
e ∈ U ve gU olacak ³ekilde bir U açk
−1
vardr. Bir önceki önermenin ikinci bölümünden, V = V
ve V · V ⊂ U
olacak ³ekilde V açk kümesi vardr ve e ∈ V dir. imdi g ∈ gV dir. V ∩ gV
nin bo³ oldu§unu iddia ediyoruz. h ∈ V ∩ gV oldu§unu varsyalm. O zaman
h = gh1 , h1 ∈ V dir. Dolasyla, g = hh−1 ∈ V · V ⊂ U olur. Bu bir
kapal olsun. Her
g
için
açklarnn var oldu§unu gösterecegiz.
çeli³kidir.
Teorem 4.1.3.
G
bir topolo jik grup olmak üzere a³a§dakiler denktir:
1.
G, T0 -uzaydr.
2.
G, T1 -uzaydr.
3.
G, T2 -uzaydr.
Teorem 4.1.4.
G
topolo jik grubu regülerdir.
31
spat. A³a§daki aksiyomu sa§layan
X
topolo jik uzayna regüler uzay
denir;
∃x ⊂ V açk : U ∩ V = ∅."
F kapal ve e ∈
/ F olsun. Bu durumda e ∈ G/F dir. G topolo jik grup
−1
oldu§undan V
V ⊂ G/F olacak ³ekilde e nin V kom³ulu§u vardr. V −1 V ∩
F = ∅ ⇒ V ∩ V.F = ∅. Böylece U = V.F dir ve sonuçta G regülerdir.
"
F ⊂X
kapal,
x∈
/ F
için
∃F ⊂ U
açk,
Not 4.1.1. Bir topolo jik grubun bölüm grubu topolojik grup olmak zorunda
de§ildir. Normal alt grup ise topolojik gruptur.
Teorem 4.1.5.
1.
G
bir topolo jik grup,
ϕ : G → G/N sürekli
N, G
nin normal alt grubu olsun.
ve açk homomorzmadr.
2. Bölüm topolo jisi ile donatlan
G/N
topolo jik gruptur.
spat.
1.
ϕ : G → G/N
bölüm dönü³ümü oldu§undan süreklidir.
U ⊂ G
açk
ϕ(U )
açk
olsun.
ϕ−1 (ϕ(U )) = {x : x ∈ U N = U } = U N
açktr.
ϕ
oldu§undan
2.
ϕ
ϕ(U )
da açktr.
U
açk iken
açk dönü³ümdür.
ψ : G/N × G/N → G/N (x, y) 7→ x.y −1 dönü³ümü sürekli midir?
x.y −1 elemannn açk kom³ulu§u W olsun. ϕ−1 (W ), G de açktr ve
x.y −1 ∈ ϕ−1 (W ) dur. G topolo jik grup oldu§undan
x.y −1 ∈ U V −1 ⊂ ϕ−1 (W )
olacak ³ekilde
x ∈ U, y ∈ V
kom³uluklar vardr.
x.y −1 ∈ ϕ(U )[ϕ(V )]−1 ⊂ ϕ(ϕ−1 (W )) = W
dr.
ϕ açk dönü³üm oldu§undan ϕ(U ) ve [ϕ−1 (V )]−1 = ϕ(V −1 ) de açk-
tr.
ψ −1 (W ) = {(x, y) : x ∈ ϕ(U ), y ∈ ϕ(V −1 )},
ψ
süreklidir.
Tanm 4.1.5.
G
ve
K
f : G −→ K dön³ümü
G ve K Topolojik olarak
iki topolo jik grup olsun.
hem grup izmorzmi hemde homeomorzme ise
izomorftur denir. Böyle dön³üme de topolo jik izomorzma denir.
32
Örnek 4.1.5.
G = K = (R, +)
üzerinde diskrit topolo ji olsun.
grup ve K üzerinde standart topolo ji ve G
1 : (R, +, τd ) −→ (R, +, τs ) birim dön³ümü
sürekli, izomorzmdir fakat tersi sürekli olmad§ndan bu dön³üm topolo jik
izomorzma de§ildir.
G herhangibir topolo jik grup ve g ∈ G olmak üzere π : G −→
G h 7→ π(h) = ghg −1 dönü³ümü bir topolo jik izomorzmadr.
Örnek 4.1.6.
K Housdor olmak üzere π : G −→ K
Ker(π) G'nin kapal, normal altgrubudur.
Not 4.1.2.
π : G −→ K
Önerme 4.1.5.
homorzmas
e
sürekli homomorzma ise
de sürekli ise
π
süreklidir.
π : G −→ K homorzmas e de sürekli olsun O zaman K daki e
π −1 (U ), G de açktr.
−1
imdi W , K da açk olsun. π(U ) ∩ W bo³ küme ise π
(W ) bo³ küme
olcaktr ve dolasyla açktr. Bu nedenle π(g) = k olacak ³ekilde g ∈ G bir
−1
elemann var oldu§unu varsayalm. Böylece k
W , K daki e nin bir açk kom−1 −1
³ulu§udur. Dolasyla π
(k W ) açktr. Bu nedenle π −1 (W ) = gπ −1 (k −1 W )
spat.
nin
U
aç§ için
açktr.
Önerme 4.1.6.
π : G/H −→ K
π
sürekli homomorzma ve
H = Kerπ
olsun.
bir sürekli homomorzmadr.
Önerme 4.1.7.
olsun.
π : G −→ K
bir açk
π : G −→ K sürekli örten homomorzma ve H = Kerπ
dönü³üm ise π : G/H −→ K bir topolojik izomorzmadr.
spat. π nn tersnin sürekli oldu§unu göstermemiz yeterli olacaktr. Buda
π nn açk olmasna denktir. U nun G/H da açk olmas için gerek ve yeter ³art
V = q −1 (U ), G de açk olmasdr. Böylece U , G/H açk ise π(U ) = π(V ),
K da açktr.
π(R, +) −→ S 1 t 7→ π(t) = e2πit ³eklinde tanml dönü³üm sü1
rekli homomorzma ve Kerπ = Z . Önermeden, π : R/Z −→ S bir topolojik
Örnek 4.1.7.
izomorzmadr.
Teorem 4.1.6.
GL(n)
bir topolojik gruptur.
spat. M , nxn tipindeki reel de§i³kenli
2
M ⊂ Rn , A = (aij ) olarak alalm. A = (aij )
matrislerin kümesi olsun.
matrisini
2
(a11 , a12 , . . . , a1n , a21 , . . . , a2n , . . . , an1 , an2 , . . . , ann ) ∈ Rn
formunda dü³ünebiliriz.
f :M ×M →M
(A, B) 7→ f (A, B) = A.B
33
A ∈
f fonksiyonu süreklidir.
Çünkü A = (aij ), B = (bij )
P
ij−inci bile³eni nk=1 aik bkj = cij dir.
³eklinde tanimlanan
f (A, B) = A.B
nin
ise
πij : M → R (a1n , . . . , ann ) 7→ πij (a1n , . . . , ann ) = aij
f
ve
πij
fonksiyonlar sürekli oldu§undan
πij of : M × M → R (A, B) 7→ πij of (A, B) = cij
turulur.
πij
ve
πij of
GL(n) ⊂ M
alalm.
GL(n) için altuzay topolojisi olu³-
dönü³ümleri sürekli oldu§undan
f : GL(n) × GL(n) −→ GL(n) (A, B) 7→ f (A, B) = A.B
dönü³ümü süreklidir.
Adj(A)
ve
detA
dönü³ümleri sürekli oldu§undan
g : GL(n) → GL(n) A 7→ g(A) = A−1 =
dönü³ümü süreklidir. Burada
1
.Adjoint(A)
detA
Adjoint(A), A matrisinin aij
elemann silip
Aij
kofaktörünü yazp ve elde edilen matrisin transpozesinialmak suretiyle elde
edilen matristir.
Özellikler 4.1.1.
1.
GL(n)
kompakt de§ildir.
f : M → R, f (A) = detA fonksiyonu süreklidir. {0} ⊂ R de
2
R − {0} ⊂ R de açk f −1 (R − {0}) = GL(n) ⊂ Rn açktr.
n
Henri-Borel teoremine göre A ⊂ R
nin kompakt olmas için gerek ve
yeter ³art A nn snrl ve kapal olmasdr. Bu durumda GL(n) kompakt
spat.
kapal,
de§ildir.
2.
GL(n)
ba§lantl de§ildir.
K = {A ∈ GL(n) : detA > 0}, L = {A ∈ GL(n) : detA < 0},
f : M → R için f −1 ((0, ∞)) = K , f −1 ((−∞, 0)) = L dir. GL(n) =
K ∪ L, K ∩ L = ∅ dir. Bu durumda GL(n) ba§lantl de§ildir.
spat.
3.
O(n)
ve
SO(n)
kapal alt gruplar
GL(n)
nin kompakt alt gruplardr.
Pn
A ∈ O(n) için A.AT P
= I , 1 ≤ i, k ≤ n,
j=1 aij akj = δik
n
ve fik : M → R, fik (A) =
a
a
=
δ
olsun.
{0}, {1} ⊂ R
ik
j=1 ij kj
−1
−1
kapallar için f
ik ({0}) ve fii ({1}) 1 ≤ i ≤ n kümeleri kapaldr. Bu
kümelerin arakesiti O(n) yi verir. Buradan da O(n) nin kapal oldu§unu
spat.
söyleyebiliriz.
A.AT = I ⇒ det(A.AT ) = detI = 1 ⇒ detA.detAT = 1
34
⇒ (detA)2 = 1 ⇒ |aij | < 1.
O(n)
O halde
snrldr.
O(n)
kapal ve snrl oldu§undan
O(n)
kom-
pakttr.
SO(n), O(n)
in kapal alt kümesidir. Kompakt uzaylarn kapal alt
SO(n)
uzaylar da kompakt oldu§undan
4.
SO(2) ≈ S 1
dir.
1
a −b
∀
∈ SO(2)
b a
f : SO(2) → S ,
a −b
f
= a + ib ∈ S 1
b a
spat.
Teorem 4.1.7.
bijektif ise
O halde
4.2
f
f
kompakttr.
X
olsun.
kompakt,
Y
f,
için
1-1 ve örtendir.
Hausdor uzay olmak üzere
f :X→Y
homeomorzmadr."
homeomorzmdir.
Grup Hareketi ve Orbit Uzaylar
G bir topolojik grup ve X bir topolojik uzay olsun.
ise G, X üzerinde (soldan) hareket ediyor denir.
Tanm 4.2.1.
kiler mevcut
1.
GxX → X
A³a§da-
dönü³ümü süreklidir.
(g, x) → gx
2.
∀g, h ∈ G, ∀x ∈ X
3.
e∈G
ve
∀x ∈ X
için
hg(x) = h(g(x))
ex = x
için
dir.
dir.
Tanm 4.2.2.
1.
O(x) = {gx : g ∈ G}
2.
Gx = {g ∈ G | gx = x}
3. Herhangi
x, y ∈ X
kümesine
için
x
elemann orbiti denir.
kümesine
gx = y
x
elemann stablizer grubu denir.
olacak ³ekilde bir
g∈G
varsa
G'nin X
üzerindeki harakete transitiidir denir
4. Bir
x
için
gx = x
iken
g = e
oluyorsa,
G'nin X
üzerindeki harakete
serbest (yada yar-regüler) denir.
5.
G'nin X
üzerindeki haraketi hem transitii hemde serbest ise bu hara-
kete regülerdir denir
35
Örnek 4.2.1.
1.
Z × R → R (n, x) 7→ n + x
O(x) = {n + x : n ∈ Z} = R/Z ≈ S 1 ⇒ O(x) = S 1
2.
Z2 × S 1 → S 1
(−1, x) 7→ −x (1, x) 7→ x
O(x) = {−x, x} = S n /Z2 ≈ Rpn ⇒ O(x) = Rpn
3.
α : R × R −→ R (x, y) 7→ (x + 1, y)
β : R × R −→ R (x, y) 7→ (1 − x, y + 1)
olmak üzere
2
R
α
ve
β
dönü³üm³eri tatafndan üretilen grup
G
olsun.
G,
üzerinde hareket etmektedir. Yani
G × R2 −→ R2
(α, z) 7→ α(z)
(β, z) 7→ β(z).
Dolasyla orbit uzay
4.
Z×Z
grubu,
R×R
O(x) = R2 /G ≈ Kb
üzerinde hareket eder.
Z2 × R2 −→ R2
(m, z) 7→ m + z.
Dolasyla orbit uzay
5.
O(x) = R2 /Z2 ≈ S 1 × S 1 ≈ T
(x − 3)2 + z 2 = 1 çemberinin z -ekseni
yüzey T torudur.
α1 : R3 −→ R3
etrafnda dönmesiyle elde edilen
(x, y, z) 7→ (x, −y, −z)
olmak üzere
G1
grubu
α1
olmak üzere
G2
grubu
α2
olmak üzere
G3
grubu
α3
tarafndan üretilen bir grup olsun.
α2 : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (−x, −y, z)
α3 : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (−x, −y, −z)
i = 1, 2, 3 için Gi gruplarnn R3 üzerinde hareketleri
3
2
uzaylar R /G1 ≈ S ,
R3 /G2 ≈ T R3 /G1 ≈ Kb
Her
36
vardr. Orbit
Teorem 4.2.1. Kompakt topolo jik grup
rinde hareket etsin.
Gx , x
G, Housdor topoljik uzay X
üze-
elemanndaki stablizer grubunu göstermek üzere
φ : G/Gx −→ O(x) gGx 7→ gx
³eklinde tanmlanan dönü³üm bir homeomorzmadr.
spat. Dönü³ümün sadece bijektif oldu§unu göstermemiz yeterlidir.
φ(g1 Gx ) = φ(g2 G)
olsun. Bu durumda
g1 x = g2 x
ve böylece
g1−1 g2 ∈ Gx
dir. Dolasyla
g1 Gx = g2 G
yani
4.3
φ
injektiftir. sürjektiik kolayca gösterilece§inden ödevdir.
Lie Gruplar
Tanm 4.3.1.
Rn
M
Hausdor topolojik uzayna ait her noktann kom³ulu§u
ye homeomorf ise
Tanm 4.3.2.
M
M
ye n-topolo jik manifold denir.
Hausdor ve 2. saylabilir topolojik uzay olsun. A³a§daki
özellikelliklere sahip dönü³ümler koleksiyonu ile birlikte
M
uzayna smooth
n-manifold (diferansiyellenebilir n-manifold) denir.
1.
U ⊂ M , V ⊂ Rn
açk kümeler olmak üzere
φ : U → V
dönü³ümü
homeomorzmdir. (Bu dönü³ümlere harita denir.
2.
3.
x ∈ M, φ
nin tanim kümesinde olmaldr.
φ : U → U 0 ve ψ : V → V 0 haritalar için φ ∩ ψ −1 : ψ(U ∩ V ) →
φ(U ∩ V ), C ∞ snfndadr. (Bu dönü³üm her mertebeden sürekli ksmi
türevlere sahiptir.
4. Harita koleksiyonu maksimal olacaktr.
Tanm 4.3.3.
ve
N
M
ve
N
üzerindeki harita
M üzerindeki harita ϕ
f : M → N dönü³ümüne
iki smooth n-manifold olsun.
ψ
için
−1
ψ of oφ
smooth ise
smooth dönü³üm denir.
Tanm 4.3.4.
G
diferensiyellenebilir manifold ve
G
bir grup olsun. E§er
αG : G × G → G (g, h) 7→ αG (g, h) = g.h−1
dönü³ümü diferensiyellenebilir ise
G
ye lie grup denir.
37
Not 4.3.1. Baz kitaplarda bu tanim ³u ³ekilde verilir;
manifold ve
G
G diferensiyellenebilir
bir grup olsun.
1.
G × G −→ G (g, h) 7→ g.h diferensiyellenebilir
2.
G −→ G g 7→ g −1 diferensiyellenebilir
ise
G
ve
ye lie grup denir.
Örnek 4.3.1.
1.
Rn
bir lie gruptur. Çünkü
Rn
bir diferensiyellenebilir manifold ve dön-
ü³ümü
αRn : Rn × Rn −→ Rn (x, y) 7→ αRn (x, y) = x − y
diferensiyellenebilirdir.
2.
GL(n, R), SL(n, R), SO(n, R), O(n, R)
3.
nxn
tipindeki üst üçgen matrislerin kümesi bir lie gruptur.
4. Exceptional lie gruplar:
5.
birer lie gruptur.
S 0, S 1, S 3
G2 , F4 , E6 , E7 , E8
dir.
bunun üzerine bölüm yaps olu³turuyoruz. öyle ki mutlak
de§eri 1 olan reel saylar, kompleks saylar, quaternion ...
S 0 = RN, S 1 = R2 N, S 3 = R4 N
sadece bunlar lie gruplardr.
6. Heisenberg gruplar lie gruptur.
7. Lorentz gruplar lie gruptur.
8.
U (1)xSU (2)xSU (3)
lie gruptur.
9. Metaplectic grup bir lie gruptur.
Lemma 4.3.1.
1. ki lie grubunun çarpm da lie gruptur.
2. Lie grubunun kapal alt grubu lie gruptur.
3. Lie grubunun kapal normal alt grubu ile olu³turulan bölüm grubu bir
lie gruptur.
4. Ba§lantl lie grubunun evrensel örtüsü lie gruptur.
Lie Gruplarnn Snandrlmas:
1. Cebirsel özellik (Basit, Yar basit, Çözülür, Nilpotent, Abel)
2. Ba§lantllk
3. Kompaktlk
38
4.4
Lie Cebirleri
Tanm 4.4.1.
k
karakteristi§i sfr olan bir cisim olmak üzere
A
bu cisim
üzerinde bir vektör uzay olsun. A³a§daki özellikleri sa§layan i³lem
[, ] : A × A −→ A (x, y) 7→ [x, y]
ile birlikte
A
vektör uzayna Lie Cebiri denir;
1.
∀x ∈ A
2.
∀x, y, z ∈ A
[x, x] = 0.
için,
Örnek 4.4.1.
için,
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.
[A, B] = 0
1.
Rn
bir Lie
GL(n, R)
bir Lie
olmak üzere bu i³lem ile birlikte
cebiridir.
2.
[A, B] = AB − BA
olmak üzere bu i³lem ile birlikte
cebiridir.
3.
X , M üzereinde tanml
sun. [X, Y ] = XY − Y X
Tanm 4.4.2.
li§ini sa§layan
4.5
diferansiyellenebilir fonksiyonlarn kümesi oli³lemine göre bu küme bir Lie cebiridir.
A ve B Lie cebirleri olamk üzere ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)]
ϕ : A −→ B morzmine Lie cebir morzmi denir
özel-
Al³trmalar
1. G indiskret topoloji ile donatlm³ bir grup ise gösteriniz ki G bir topolo jik gruptur.
2. Bir G topolojik grubunun alt uzay topolo jisi ile donatlm³ tüm altgruplar da topolojik grup olur mu? Açklaynz.
3.
G = (Z2 , +)
toplamsal grubunun üzerinde
τG = {∅, {0}, G}
topolo jisi
tanmlanm³ olsun. G bir topolojik grup olur mu? Açklaynz.
4. G topolo jik grup ve
Rg (h) = hg
g ∈ G olsun. Rg : G −→ G ve ∀h ∈ G için
Rg dönü³ümünün bir homeomorzm oldu-
³eklinde tanml
§unu gösteriniz.
5. G bir topolojik grup ve
f (h) = ghg
−1
g ∈ G
olsun.
f : G −→ G
ve
∀h ∈ G
için
bir topolo jik izomorzmdir. Gösteriniz. (yol gösterme : f
nin bir grup homomorzmas ve homeomorzm oldu§unu görünüz.)
39
6.
G = (R, τdisk , +)
ve
K = (R, τs , +)
olsun. G ve K nn birer topolojik
grup oldu§unu gösterin. Bu iki uzay topolo jik olarak izomork olur
mu? Açklaynz.
(S 1 , τS 1 , ·) nin bir to1
polo jik grup oldu§unu gösterin. f : (R, τS , +) −→ (S , τS 1 , ·) dönü³ümü
(R,+) ∼
2πit
∀t ∈ R için f (t) = e
³eklinde tanml³ansn.
= S 1 , · topolo jik
Z
·
7. " " kompleks saylarda çarpma i³lemini göstersin.
izomorzm oldu§unu gösteriniz. (yol gösterme : Kerf = Z oldu§unu görünüz ve birinci izomorzma teoremini gerçekleyiniz.)
40
Bölüm 5
SMPLEKSLER
5.1
Ane Uzaylar
A
Tanm 5.1.1.
oluyorsa
A'ya
ve
y
∀x, y ∈ A, t ∈ [0, 1]
için
(1 − t)x + ty ∈ A
konveks küme denir.
Tanm 5.1.2.
x
bir küme olsun.
A,
Euclid uzaynn bir alt kümesi olsun.
tarafndan olu³turulan do§ru
A'da
bulunuyorsa
∀ farkl x, y ∈ A için
A' ya ane alt küme
denir.
Not 5.1.1.
1. Ane alt kümeler konvekstir.
2. Bo³ küme ve tek noktal kümeler ane kümelerdir.
Tanm 5.1.3.
A
bir küme ve
V, F
cismi üzerinde bir vektör uzay olsun.
A³a§daki özellikleri sa§layan
+ : V × A −→ A (v, a) 7−→ v + a
i³lemi ile birlikte
A
kümesine ane uzay denir;
1.
V −→ A v 7−→ v + a
2.
v1 , v2 ∈ V
Teorem 5.1.1.
zaman
T
j∈J
Xj
ve
a∈A
dönü³ümü bijeksiyondur.
için
(v1 + v2 ) + a = v1 + (v2 + a).
{Xj }j∈J , Rn 'e
ait konveks (ane) alt kümeler ailesi olsun. o
konveks alt uzaydr.
spat.
x, y ∈
\
Xj
(x 6= y)
j∈J
∀j ∈ J için x, y ∈ Xj 'dir. ∀j ∈ J için Xj ler konveks altTküme oldu§un∀j ∈ J için (1−t)x+ty ∈ Xj 'dir. O halde (1−t)x+ty ∈ j∈J Xj 'dir.
olsun.
dan;
41
X, Rn 'in bir alt kümesi olsun. X 'i içeren Rn 'e ait tüm konveks
arakesitine X 'in konveks hull'u denir.
Tanm 5.1.4.
kümelerin
Tanm 5.1.5.
• p0 , p1 , . . . , pm , Rn 'de
noktalar olsun.
p0 , . . . , p m
noktalarnn ane kom-
binasyonu
x = t0 p0 + t1 p1 + · · · + tm pm ;
m
X
ti = 1
i=1
³eklinde tanmlanr.
• p0 , p1 , . . . , pm noktalarnn konveks kombinasyonu an kombinasyonudur
öyleki ti ≥ 0, i = 0, . . . m'dir. Yani
m
X
t0 p0 + t1 p1 + · · · + tm pm ;
ti = 1 ve ti ≥ 0,
i = 0, . . . , m.
i=1
Örnek 5.1.1.
x, y
noktalarnn konveks kombinasyonu
(1 − t)x + ty,
t ∈ [0, 1]
formundadr.
Teorem 5.1.2.
rafndan gerilen
p0 , p1 , . . . , pm , Rn 'de noktalar olsun. p0 , . . . , pm noktalar ta[p0 , . . . , pm ] konveks küme, p0 , . . . , pm noktalarnn konveks
kombinasyonlarn kümesidir.
spat.
S,
tüm konveks kombinasyonlarn kümesini göstersin.
S = [p0 , p1 , . . . , pm ] e³itli§ini göstermemiz gerekir. lk önce [p0 , p1 , . . . , pm ] ⊂
S oldu§unu gösterelim. Bunun için S 'nin p0 , . . . , pm noktalarn içeren konveks küme oldu§unu göstermemiz yeterli olacaktr.
• tj = 1
ve di§eleri için
tj = 0
olsun. Bu durumda;
t0 p0 + · · · + tj pj + · · · + tm pm ;
m
X
ti = 1, ti ≥ 0, i = 0, ..., m
i=0
ve dolasyla
⇒ ∀j
için
pj ∈ S .
•
α=
m
X
i=0
ai p i ,
β=
m
X
bi p i ∈ S
(ai , bi ≥ 0;
i=0
42
X
ai = 1;
X
bi = 1) olsun.
(1 − t)α + tβ ∈ S
oldu§unu iddia ediyoruz.
(1 − t)α + tβ = (1 − t)
m
X
ai p i + t
m
X
i=0
m
X
b i pi =
((1 − t)ai + tbi )pi ∈ S
i=0
i=0
çünkü
m
X
(1 − t)ai + tbi = (1 − t)
i=0
m
X
bi = 1,
i=1
Bunun sonucunda
[p0 , p1 , . . . , pm ] ⊂ S .
S ⊂ [p0 , p1 , . . . , pm ]
ba§ntsn gösterelim.
X , p0 , . . . , pm noktalarn içeren bir konveks
tümevarm ile S ⊂ X oldu§unu gösterelim.
• m=0
(1 − t)ai + tbi ≥ 0.
için
küme ise
m≥0
üzerinde
S = p0 'dr.
Pm
Pm
t
=
1
ise
p
=
• m > 0 olsun. ti ≥ 0 ve
i
i=0 ti pi X e ait olup
i=0
olmad§n görelim. t0 6= 1 oldu§unu varsayabiliriz. Aksi halde p = p0
olabilir ve bir üstteki ko³ul içine dü³er. Tümevarm hipotezinden
q=
ve böylece
t2
tm
t1
p1 +
p2 + · · · +
pm ∈ X
1 − t0
1 − t0
1 − t0
p = t0 p0 + (1 − t0 )q ∈ X
çünkü
X
konvekstir. Dolasyla
S ⊂ X 'dir.
Sonuç olarak
Sonuç 5.1.1.
S = [p0 , . . . , pm ]
e³itli§ini elde ederiz.
{p0 , p1 , . . . , pm }, Rn 'de
noktalar olsun.
{p0 , ..., pm }
noktalar-
nn gerdi§i an küme bu noktalarn an kombinasyonunu içerir.
Rn 'de {p0 , . . . , pm } noktalarnn sral kümesini ele alalm.
{p1 − p0 , p2 − p0 , . . . , pm − p0 } kümesi Rn vektör uzaynn lineer ba§msz alt
uzay ise {p0 , p1 , . . . , pm } sral kümesine an ba§mszdr denir.
Tanm 5.1.6.
Not 5.1.2.
1.
Rn 'nin
lineer ba§msz alt kümesi an ba§msz kümedir. Tersi do§ru
de§ildir çünkü orijin ile birlikte lineer ba§msz küme ane ba§mszdr.
2. Tek noktal küme
{p0 } an ba§mszdr çünkü i 6= 0 olmak üzere pi − p0
φ bo³ kümesi lineer ba§mszdr.
formunda noktalar yok ve
43
3.
p1 − p0 6= 0
4.
{p0 , p1 , p2 , }
olmas durumunda
{p0 , p1 }
kümesi an ba§mszdr .
noktalar ayn do§ru üzerinde de§ilse
{p0 , p1 , p2 }
an ba-
§mszdr.
5.
{p0 , p1 , p2 , p3 } noktalar ayn düzlem üzerinde de§ilse {p0 , p1 , p2 , p3 } an
ba§mszdr.
Teorem 5.1.3.
{p0 , . . . , pm }, Rn 'de sral küme olsun. A³a§dakiler denktir:
1.
{p0 , . . . , pm }
2.
{s0 , . . . , sm } ⊂ R
an ba§mszdr.
kümesi
m
X
m
X
si pi = 0 ve
i=0
e³itsizliklerini do§ruluyor ise
3.
A, {p0 , . . . , pm }
si = 0
i=0
s1 = s2 = · · · = sm = 0
dr.
tarafndan gerilen an küme olmak üzere
∀x ∈ A
ele-
man an kombinasyonu olarak tektürlü ifade edilir, yani
x=
m
X
ti pi
m
X
ve
i=0
spat 5.1.1.
ti = 1.
i=0
1) ⇒ 2) : {p0 , p1 , ..., pm } an ba§msz olsun. {s0 , ..., sm } ⊂ R
kümesi
m
X
m
X
si pi = 0 ve
i=0
si = 0
i=0
e³itsizliklerini sa§lasn.
m
X
si pi =
i=0
m
X
m
m
X
X
si pi − (
si )p0 =
si (pi − p0 ) = 0
i=0
i=0
i=0
i = 1, . . . , m için pi − p0 lineer ba§msz
s1 = s2 = · · · = sm = 0'dr.
çünkü
{p0 , . . . , pm }
an ba§msz. O
halde;
m
X
si = 0
i=0
s0 = 0'dr.
2) ⇒ 3) : x ∈ A alalm.
oldu§undan
Sonuç
5.1.1
den dolay
kombinasyon olarak ifade edilir. Böylece
x ∈ A
edildi§ni gösterelim.
x=
m
X
m
X
ti pi ,
i=0
i=0
44
ti = 1
x ∈ A
eleman ane
elemann tek türlü ifade
ve
x=
m
X
m
X
t0i pi ,
i=0
t0i = 1
i=0
oldu§unu varsayalm.
m
X
m
X
ti pi =
i=0
t0i pi
i=0
3) ⇒ 1) :
⇒
m
X
(ti − t0i )pi = 0 ⇒ ∀i, ti − t0i = 0 ⇒ ∀i, ti = t0i .
i=0
∀x ∈ A
eleman
{p0 , p1 , ..., pm }
noktalarnn an kombinasyonu
{po , . . . , pm } kümesinin an
{p1 − p0 , p2 − p0 , . . . , pm − p0 } lineer
olarak tek türlü ifade edildi§ini varsayalm. Yani
ba§msz oldu§unu göstermeliyiz. Yani;
ba§msz oldu§unu göstermeliyiz.
Varsayalm ki
{p1 − p0 , . . . , pm − p0 }
m
X
lineer ba§ml olsun. O halde;
ri (pi − p0 ) = o
i=0
ri (hepsi
pj ∈ A ise
iken
rj 6= 0
sfr de§il) vardr.
pj = −
X
olsun.
alalm.
pj = 1.pj
X
ri + 1)p0
ri pi + (
i6=j
i6=j
pj
rj = 1
iki türlü ifade edilemeyece§inden çeli³ki.
O halde
{p1 − p0 , . . . , pm − p0 }
Sonuç 5.1.2.
{p0 , . . . , pm }
lineer ba§mszdr.
sral küme olsun. An ba§mszlk bu kümenin
bir özellikelli§idir.
Tanm 5.1.7.
{a1 , . . . , ak },
Rn 'de
bir küme olsun. Bu kümenin
eleman an ba§msz küme olu³turuyorsa,
{a1 , . . . , ak }
(n + 1)
kümesi genel pozis-
yondadr denir.
Not 5.1.3. Genel pozisyonda olma özellikelli§i
{a1 , a2 , . . . , ak }, R
• n = 1
için
n
n
saysna ba§ldr.
'de genel pozisyon olsun.
{ai , aj }
an ba§msz olmaldr. Yani tüm noktalar farkl
olmal.
• n=2
için üç nokta kolineer olmamaldr.
• n=3
için dört nokta kodüzlem olmamaldr.
45
Teorem 5.1.4.
∀k ≥ 0 için Rn
Euclid uzay genel pozisyonda
k
tane noktas
vardr.
{p0 , p1 , . . . , pm }, Rn 'de an ba§msz alt küme olsun. A'da bu
tarafndan gerilen bir an küme olsun. x ∈ A ise Teorem 5.1.3'den
Tanm 5.1.8.
alt küme
x=
m
X
ti pi ,
m
X
i=0
ti = 1.
i=0
(t0 , t1 , . . . , tm ), (m + 1)-bile³enine x
elemannn bary-centric koordinat de-
nir.
p0
p1
t0 = t1 =
1
2
p2
JJ
J
t0
"J
b
b "
"
J
"b
b
b J
""
b
J
"
b
p0
= t1 = t2 = 31 ,
x = 13 (p0 + p1 + p2 )
p1
p3
p2
"
"
"
""
""
"
p0
Genel hali:
Tanm 5.1.9.
x = 41 (p0 + p1 + p2 + pj )
p1
1
(p
m+1 0
+ · · · + pm ) = x
{p0 , p1 , . . . , pm }, Rn 'de
an ba§msz alt küme olsun. Bu alt
küme tarafndan gerilen konveks kümeye
pi 'ler
ile gösterilir (
Teorem 5.1.5.
m-simpleksinin
m-simpleks
denir.
[p0 , p1 , . . . , pm ]
kö³eler olarak adlandrlr).
{p0 , p1 , . . . , pm } an ba§msz olsun. Bu durumda [p0 , . . . , pm ]
x eleman;
her
x=
m
X
ti pi ,
i=0
m
X
ti = 1,
ti ≥ 0,
i = 0, . . . , m
i=0
formunda tek türlü yazlr.
Tanm 5.1.10.
{p0 , p1 , . . . , pm } an ba§msz olsun. [p0 , . . . , pm ] m-simpleksinin
baricentrik koordinat;
1
(p0 + p1 + · · · + pm ).
m+1
46
(t0 = t1 = · · · = tm =
1
)
m+1
Not 5.1.4. Barisentrik sözcü§ü a§rlk anlamanda barys yunanca kelimesinde gelmektedir. Dolasyla barisentrik, a§rlk merkezi anlamndadr
Örnek 5.1.2.
• [p0 ]
barisentrik'i kendisidir.
• [p0 , p1 ] 1-simpleksinin
barisentrik'i
• [p0 , p1 , p2 ] 2-simpleksinin
1
(p
2 0
barisentrik'i
• ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rn+1
ba§mszdr. [e0 , e1 , . . . , en ],
x=
n
X
+ p1 )'dir.
1
(p
3 0
+ p1 + p2 )'dir.
olmak üzere
{e0 , e1 , . . . , en }
an
ti ei
i=0
formundaki tüm konveks kombinasyonu içerir.
[e0 , e1 , . . . , en ]'in
bari-
(t0 , t1 , . . . , tn )'dir.
p0 = (1, 0, 0, 0, 0 . . . ) = e0 ,
p1 = (0, 1, 0, 0, 0 . . . ) = e1 ,
p2 = (0, 0, 1, 0, 0 . . . ) = e2 ,
p3 = (0, 0, 0, 1, 0, . . . ) = e3 ,
......
sentrik koordinat
6
v
a
aa
aa v v
Tanm 5.1.11.
[p0 , p1 , . . . , pm ] m-simpleks
m
X
[p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pm ] = {
tj pj
j=0
47
|
olsun.
m
X
j=0
pi
noktasnn ters yüzü
tj = 1,
tj ≥ 0}.
[p0 , p1 , . . . , pm ] m-simpleksinin
snr bu ters yüzlerin birle³imi ³eklinde tan-
mlanr.
s
0-simplekste
p0 'in
tersyüzü kendisi
p0
1-simplekste p1 'in
p0
tersyüzü
p0 'dr.
p1
p2
@
@
@
@
2-simplekste p2 'nin
p1
ters yüzü
p0 p1
@
p23-simplekste p0 'nin
ters yüzü
[p1 , p2 , p3 ] 2-simplekstir
@
p0
do§ru parças
p3
@
@
@
@
p0 H H
HH H
p1
Not 5.1.5.
2.
1. Bir
[p0 , p1 , . . . , pm ]
k -simplekstir.
Teorem 5.1.6.
i.
ii.
iii.
u, v ∈ S
m-simpleksin m + 1
simpleksinin
tane yüzü vardr.
k -yüzü, k + 1
S n-simpleksi, [p0 , p1 , . . . , pn ]
ise
kö³e tarafndan gerilen bir
ile gösterilsin.
ku − vk ≤ Sup ku − pi k.
diamS = Sup kpi − pj k.
b, S 'nin
i.
barisentrik'i ise
v=
n
X
i=0
ti pi ,
kb − pi k ≤
n
X
ti = 1,
i=0
48
n
n+1
(diamS).
ti ≥ 0,
i = 0, . . . , n olsun.
ku − vk = ku −
n
X
ti pi k = k(
i=0
=k
n
X
ti (u − pi )k ≤
i=0
n
X
i=0
n
X
ti )u −
n
X
ti pi k
(5.1)
i=0
kti (u − pi )k =
i=0
n
X
ti ku − pi k
(5.2)
i=0
n
X
≤(
ti )Sup ku − pi k = Sup ku − pi k
(5.3)
i=0
ku − pi k ≤ Sup kpj − pi k0 dir.
ii.
çap tanimndan;
diamS = Sup kpi − pj k
n
iii.
1 X
pj
b=
n + 1 j=0
olmak üzere;
n
kb − pi k = k
1 X
pj − pi k
n + 1 j=0
n
1 X
1 X
=k
pj −
j = 0n pi k
n + 1 j=0
n+1
n
1 X
=k
(pj − pi )k
n + 1 j=0
n
1 X
≤
Sup kpj − pi k
n + 1 j=0
(i = j, kpj − pi k)
n
n
Sup kpj − pi k =
diamS
=
n+1
n+1
Tanm 5.1.12.
{p0 , . . . , pm } kümesi an ba§msz ve A, bu noktalarn gerdi§i
an küme olsun.
T : A −→ Rk
m
X
ti pi 7−→ T (
i=0
T 'nin S = [p0 , . . . , pm ]'ye
m
X
i=0
ti pi ) =
m
X
ti T (pi ).
i=0
kstlan³ yine bir an dönü³ümdür.
49
Not 5.1.6.
1. An dönü³üm, an kombinasyonu ve konveks kombinas-
yonu korur.
2. An dönü³üm, an ba§msz küme üzerinde ald§ de§erle belirlenebilir.
3.
p0 , . . . , p m
noktalarnn bary centric koordinatn tekli§i bu tür
T
dön-
ü³ümlerin varl§n gösterir.
[p0 , . . . , pm ] m-simpleks, [q0 , . . . , qn ] n simpleks ve
f : {p0 , . . . , p0 } −→ [q0 , . . . , qn ] bir fonksiyon olsun. T (Pi ) = f (pi )
³ekilde bir tek T : [p0 , . . . , pm ] −→ [q0 , . . . , qn ] dönü³ümü mevcuttur.
P
Pm
Y.G:
T( m
i=0 ti pi ) =
i=0 tf (pi )
Teorem 5.1.7.
50
olacak
5.2
Simplisiyal Kompleksler
S = [v0 , v1 , . . . , vq ] q-simpleks olsun.
V er(S) = {v0 , . . . , vq } ile gösterilsin.
Tanm 5.2.1.
S
Bu simplekslerin kö³elerinin kümesi
V er(S 0 ) ⊂ V er(S) ise S 0 ne S
V er(S ) ( V er(S) ise S 0 ne S simpleksinin
bir simpleks olsun. E§er
simpleksinin yüzü denir. E§er
0
has yüzü denir.
Tanm 5.2.2. Sonlu simplisiyal kompleks
K
a³a§daki özellikellikleri sa§la-
yan simplekslerin kolleksiyonudur.
i.
ii.
s∈K
ise
s, t ∈ K
s
nin yüzü de
K
ya aittir.
ise bu iki simpleksin arakesiti ya bo³tur ya da bu iki simpleksin
ortak yüzüdür.
Örnek 5.2.1.
v5
v2
[v1 , v2 ] ∩ [v3 , v5 ] = [v3 ] → v3
JJ v
3
JH
J HH
H
H
J
→
v0
v1
v2
v0
simplisiyal kompleks de§il.
v4
→
v5
JJ
v
J3
J
J
v1J
JJ
ortak yüz de§ildir.
simplisiyal kompleks de§il.
v1 , v3
ortak yüz de§il.
v4
Tanm 5.2.3.
1.
K bir simplisiyal kompleks olsun. K 'nn underlying uzay
[
s
| K |=
s∈K
K, Rn 'in
³eklinde tanimlanr. (
2.
alt uzay)
X topolo jik uzay verilsin. E§er K simplisiyal kompleks ve
h :| K |→ X homeomorzma varsa X 'e polyhedron denir. (K, h)
sine X 'in üçgenle³tirilmesi denir.
Not 5.2.1.
• (K),
Euclid uzaynn kompakt alt uzaydr.
51
ikili-
• s, K 'da
bir simpleks ise
| s |= s'dir.
Örnek 5.2.2.
2
X
42 = {
ti vi
|
2
X
i=0
ti = 1,
ti ≥ 0,
i = 0, 1, 2}
i=0
2-simpleks (42 ⊂ Rn ) K = 42 standart 2-simpleksindeki
0-simpleks ve tüm 1-simplekslerin kolleksiyonu olsun.
standart
tüm
v2
K = {[v0 ], [v1 ], [v2 ], [v0 , v1 ], [v0 , v2 ], [v1 , v2 ]}
@
@
@
@
@
v0
v1
2 − simpleks
K
K
simplisiyal komplekslerin kolleksiyonu iki ko³ulu da sa§lar.
underlying uzay üçgen olacaktr.
v2
L : |K| =
v0
@ −→
@
X = S1
v1
homeorzmas var.
O halde çember polyhedrondur.
K
Tanm 5.2.4.
talar,
K 'da
L
ve
{p0 , p1 , . . . , pq } nok{ϕ(p0 ), ϕ(p1 ), . . . , ϕ(pq )} noktalar L'de
tanimlanan ϕ : K → L fonksiyona simplisiyal
iki simplisiyal kompleks olsun.
bir simpleksi gererken
bir simpleksi gerecek ³ekilde
dönü³üm denir.
Tanm 5.2.5.
K
K
daki kö³eler ile
ve
L
bir izmorzm denir.
L
iki simplisiyal kompleks olmak üzere
deki kö³eler arasnda bijektif ise
K
ve
L
ϕ'
ye
K
ϕ : K −→ L,
ve L arasbda
ye de izmork simplisiyal kompleksler denir.
Önerme 5.2.1. Simplisiyal dönü³ümlerin birle³imide simplisiyal dönü³ümdür.
spat 5.2.1. spat okuyucuya ödev olarak biraklm³tr
Tanm 5.2.6.
∀i
için
leksin alt kümesine
ti > 0
P 'nin
olacak ³ekilde
içi denir.
P◦
52
Pm
i=1 ti pi noktalrna ait
ile gösterilir.
P
simp-
0-simpleksin içi kendisidir. Ayrca bir dijital m-simpleks açk
Örnegin, bir
simplekslerin ayrk birle³imi oldu§u gözlenmelidir.
Tanm 5.2.7.
p
K
bir
m-simplisiyal kompleks ve p ∈ V er(K) olsun. O zaman
nin yldz
st(p) = ∪P ◦
³eklinde tanmlanr. Burada
Tanm 5.2.8.
K
P ∈K
p ∈ V er(K).
ve
bir simplisiyal kompleks olsun.
dimK = sup{dim(s)}.
s∈K
Teorem 5.2.1.
K
homeomorzm ise
Tanm 5.2.9.
K
L iki simplisiyal
dimK = dimL'dir.
ve
ve
L
simplisiyal dönü³üm ve
kö³esi
p
kompleks olsun. E§er
f : |K| → |L|
ϕ : K −→ L
olsun. K nn her
iki simplisiyal kompleks olmak üzere
f : |K| −→ |L|
sürekli dönü³üm
için
f (st(p)) ⊂ st(φ(p))
ise
ϕ
dönü³ümü
Önerme 5.2.2.
f 'ye
ϕ
simplisiyal yakla³yor denir.
simplisiyal dönü³ümünün yakla³m
• f
süreklidir.
• f
homeomorzm olmas için gerek ve yeter ³art
f
ϕ
olsun.
izomorzmdir.
• f1 : |K| −→ |L| fonksiyonu ϕ1 : K −→ L dönü³ümünün yakla³m
ve f2 : |L| −→ |K| fonksiyonu ϕ2 : L −→ M simplisiyal dönü³ümün
yakla³m ise f2 ◦ f1 : |K| −→ |M |,
ϕ2 ◦ ϕ1 'in simplisiyal yakla³m
fonksiyonudur.
spat 5.2.2. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
Örnek 5.2.3.
p0 = (0, 0, 0),
p1 = (1, 0, 0),
p2 = (1, 2, 0),
p3 = (2, 3, 4)
p3
6
p0
@
R
@
@
@ p2
p1 Bu üçgen prizmann snrlar bir simplisiyal kompleks olu³turur.
53
~ 0-simpleksler:
σ10 = p0 , σ20 = p1 ,
σ30 = p2 ,
σ40 = p3
~ 1-simpleksler:
σ11 = (p0 , p1 ), σ21 =< p0 , p2 >), σ31 =< p0 , p3 >,
σ51 =< p1 , p3 >, σ61 =< p2 , p3 >
~ 2-simpleksler:
σ12 =< p0 , p1 , p2 >,
σ42 =< p0 , p1 , p3 >
σ22 =< P1 , P2 , P3 >,
54
σ41 =< p1 , p2 >,
σ32 =< p0 , p2 , p3 >,
Bölüm 6
SMPLSYAL HOMOLOJ
GRUPLARI
6.1
Serbest Abel Gruplar
Tanm 6.1.1.
B, F
abel grubunun alt kümesi olsun. Her
devirli altgrubu sonsuz ve
F = ⊕b∈B < b >
ise
F
ye
B
b∈B
için
<b>
bazl serbest abel
grup denir.
Dolasyla bir serbest abel grup
Z
gruplarnn direkt toplamlardr.
F
ser-
best abel grubun tipik eleman
x=
X
formunda tek türlü ifade edilir. Burada
sfrdr (tümü fakat
Not 6.1.1.
•
mb
mb b
mb ∈ Z ve mb nin hemen hemen hepsi
nin sonlu sayda olmas)
Serbest abel grubun bazlar, vektör uzaynn bazlar gibi
hareket ederler(davranrlar).
•
Bu abel grubun bazlar üzerinde çak³an iki homomorzma e³it olmaldr. Yani bir kümesi üzerinde bir tek homomorzm tanmlanr.
Teorem 6.1.1.
1.
F, B
bazl serbest abel grup olsun.
G serbest abel grup ve ϕ : B −→ G bir fonksiyon ise Her b ∈ B için,
ϕ̃ ◦ i(b) = ϕ(b) olcak ³ekilde bir tek homomorzmas ϕ : F −→ G
55
F
@
@
i
ϕ̄
@
@
?
ϕ
B
R
@
- G
vardr.
2.
F
serbest abel grup olmak üzere her abel grup
G, F/R bölüm grubuna
izomorftur.
spat 6.1.1. i)
F
serbest abel grubuna ait her elemenn
x=
X
mb b
yazlabildi§ini biliyoruz. O zaman
ϕ̄ : F −→ G x 7−→ ϕ̄(x) =
³eklinde tanmlansn.
x
X
mb ϕ(x)
elemann tek türlü ifade edilmesinden
homomorzmadr. Bir önceki notun ikinci ksmndan
ii) Her
x ∈ G
çelim. Dolasyla
bx olan Zx sonlu
B = {bx | x ∈ G} bazl
X
F =
Zx
için, üreteci
ϕ̄
ϕ̄
iyi-tanml
tektir.
olmayan devirli grubunu se-
x∈G
serbest abel gruptur.
ϕ : B −→ G bx 7−→ ϕ(bx ) = x
ϕ sürjektif oldu§undan ϕ̄ homomorzmas
∼
teoreminden G = F/Ker ϕ̄.
³eklinde fonksiyonu tanmlayalm.
sürjektir. Birinci izomorzma
Teorem 6.1.2. Verilen
grup
F
T
kümesi için,
T
yi baz kabul eden bir serbest sbel
vardr.
t ∈ T için elemanlar
mt olan Zt toplamsal grubunu tanmlarz. Zt nin üreteci t olan bir sonsuz
devirli grup oldu§u kolayca görülebilir. Dolasyla F = ⊕t∈T Zt grubu t inci
koordinat sfrdan farkl olmak üzere bt tbaz elemanlarndan olu³an bir serbest
spat 6.1.2.
T = φ
ise
F = 0
dir. Aksi halde her
abel grupttur.
56
F
Teorem 6.1.3.
serbest abel grubun her hangi iki bazn kardinalitisi e³ittir.
spat 6.1.3. Okuyucuya braklm³tr.
Tanm 6.1.2.
F, B
bazl serbest abel grup ise
F
nin rank
B
nin kardina-
tisine e³ittir.
imdi herhangi bir abel grubun rankn tanmlayabiliriz;
Tanm 6.1.3.
G
nin bir
F
G bir abel grup olsun. A³a§daki özellikleri sa§layacak ³ekilde
G nin rank r dir denir;
abel alt grubu varsa
1.
rank F = r;
2.
G/F
6.2
burulmal(torsiyon).
Simplisiyal Zincir Kompleksler
Tanm 6.2.1.
üzere
Cq (K)
K
orianted (yönlü) simplisiyal kompleks olsun.
q≥0
olmak
a³a§daki özellikelliklere sahip abel gruptur.
* Üreteçler:
pi ∈ V erK olmak üzere (p0 , p1 , . . . , pq ) noktalarndan
{p0 , p1 , . . . , pq }, K 'daki bir simpleksi germesi gerekir.
olu³acak öyleki
* Ba§ntlar:
(p0 , p1 , . . . , pq ) = 0'dr.
(p0 , p1 , . . . , pq ) = Sgn(π)(pπ(0) , pπ(1),...,pπ(q) )
i. E§er bir kenar tekrarlarsa
ii.
Cq (K)'nn
elemann
Lemma 6.2.1.
Cq (K),
q>m
bazlar
ise
< p0 , p1 , . . . , pq >
K m-boyutlu
ile gösterece§iz.
simplisiyal kompleks olsun.
< p0 , p1 , . . . , pn >
olan serbest abel gruptur.
Cq (K) = 0'dr.
Tanm 6.2.2.
∂q : Cq (K) −→ Cq−1 (K)
< p0 , p1 , . . . , pq >7→ ∂q (< p0 , . . . , pq >)
q
X
=
(−1)i < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pn >
i=0
Örnek olarak;
∂2 (< p0 , p1 , p2 >) =
2
X
(−1)i < P0 , p̂i , p2 >
i=1
= < p1 , p2 > − < p0 , p2 > + < p0 , p1 >
57
< p1 , p2 >, < p0 , p1 >, < p0 , p2 >∈ C1 (K)
Böylelikle baz elemanlarn lineer birle³imi ifade edilmi³ oldu.
Teorem 6.2.1.
K
m-boyutlu simplisiyal kompleks olsun. O zaman;
∂m−1
∂
m
Cm−1 (K) −→ . . . −→ C0 (K) −→ 0
0 −→ Cm (K) −→
bir zincir komplekstir.
Tanm 6.2.3.
K
ve
simplisiyal dönü³ümü
(∂m−1 ◦ ∂m = 0)
L iki simplisiyal kompleks olmak üzere φ : K −→ L
φ∗ : Cq (K) −→ Cq (L) a³a§daki gibi lineer dönü³üm
indirger;
ϕ∗ ({p0 , . . . , pq }) =
{ϕ(p0 ), . . . , ϕ(pq )}, {ϕ(p0 ), . . . , ϕ(pq )} L
0,
{ϕ(p0 ), . . . , ϕ(pq )} L
deki bir simpleksi gerer
deki bir simpleksi germez
Tanmdan A³a§daki önermeyi verebiliriz;
Önerme 6.2.1.
ψ ◦ ϕ : K −→ M
ϕ : K −→ L
ve
ψ : L −→ M
iki simplisiyal dönü³üm olsun.
bile³kesi
(ψ ◦ ϕ)∗ = ψ∗ ◦ ϕ∗
e³itli§ini gerçekleyen
(ψ ◦ ϕ)∗ : Cq (K) −→ Cq (M )
dönü³ümünü üretir.
Simplisiyal dönü³üm ile snr homomorzmas arasndaki ili³ki ³öyledir;
Önerme 6.2.2.
ϕ : K −→ L
simplisiyal dön³üm ise
∂ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ∂ : Cq (K) −→ Cq−1 (L).
spat 6.2.1.
{p0 , . . . , pq }, K
da bir
q -simpleksi
gersin. O zaman
∂ ◦ ϕ∗ ({p0 , . . . , pq }) = ∂({ϕ(p0 ), . . . , ϕ(pq )})
q
X
=
(−1)i {ϕ(p0 ), . . . , ϕ̂(pi ), . . . ϕ(pq )}
i=0
q
=
X
(−1)i ϕ∗ ({p0 , . . . , p̂i , . . . pq })
i=0
q
X
= ϕ∗ ( (−1)i {p0 , . . . , p̂i , . . . pq })
i=0
= ϕ∗ ◦ ∂({p0 , . . . , p̂i , . . . pq })
58
6.3
Simplisiyal Homolo ji Gruplar
Tanm 6.3.1.
K
oriented simplisiyal kompleks olsun.
• Zq (K) = Ker∂q
= {< p0 , p1 , . . . , pq >∈ Cq (K) | ∂q (< p0 , . . . , pq >) = 0}
grubuna q-devir grubu denir.
• Bq (K) = Im∂q+1
= {< p0 , p1 , . . . , pq >∈ Cq (K) | ∂q+1 (< p0 , . . . , pq+1 >) =< p0 , p1 , . . . , pq >}
grubuna q-snr grubu denir.
Lemma 6.3.1.
Tanm 6.3.2.
Bq (K) ⊂ Zq (K) ⊂ Cq (K)'dr.
Hq (K) =
Zq (K)
grubuna q. boyutta simplisiyal homoloji grubu
Bq (K)
denir.
Klein i³esi
1 tane 0-simpleks
3 tane 1-simpleks
2 tane 2-simpleks
Ve
q≥3
için
[v]
var.
O halde
C0 (Kb) ∼
=Z
[a], [b], [c] var. O halde C1 (Kb) ∼
=Z⊕Z⊕Z
∼
[U ], [L] var. O halde C2 (Kb) = Z ⊕ Z
Cq (Kb) ∼
= {0}
dir.
0 −→ C2 (Kb) −→ C1 (Kb) −→ C0 (Kb) −→ 0
Buradan;
Ker∂0 = C0 (Kb) ∼
=Z
ve
Im∂3 = {0}
59
dir.
∂2 : C2 (Kb) −→ C1 (Kb)
homomorzmasn ele alalm.
∀ p U + q L ∈ C2 (Kb)
için
∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L) = p (−a − b + c) + q (−c − a + b)
= −(p + q) a + (q − p) (b − c)
(−a − b + c) + (−c − a + b) = 2a olur. O halde
dir. Buradan;
Im∂2 ∼
= 2Z ⊕ Z dir.
üreteçlerimiz
2a
ve
b−a−c
∂2 nin çekirde§ini hesaplayalm.
∂2 (pU + qL) = 0 olsun. O zaman −(p + q) a + (q − p) (b − c) = 0
⇐⇒ p = q = 0 dir. O halde Ker∂2 ∼
= {0} dir.
imdi
∂1 : C1 (Kb) −→ C0 (Kb)
∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (Kb)
için
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c) = r1 (v − v) + r2 (v −
v) + r3 (v − v) = 0 elde edilir.
O zaman;
Ker∂1 ∼
= Z ⊕ Z ⊕ Z ve Im∂1 ∼
= {0} dir.
Artk Klein i³esinin homolo ji gruplarn hesaplayabiliriz.
H0 (Kb) =
H1 (Kb) =
Ker∂0
Im∂1
Ker∂1
Im∂2
H2 (Kb) =
∼
=
Ker∂2
Im∂3
Hq (Kb) = {0}
60
∼
=
Z
{0}
Z⊕Z⊕Z
2Z⊕Z
∼
=
{0}
{0}
=Z
= Z2 ⊕ Z
= {0}
q≥3
dir.
Tor
[v] var. O halde C0 (Kb) ∼
=Z
[a], [b], [c] var. O halde C1 (Kb) ∼
=Z⊕Z⊕Z
∼
[U ], [L] var. O halde C2 (Kb) = Z ⊕ Z
1 tane 0-simpleks
3 tane 1-simpleks
2 tane 2-simpleks
Ve
q≥3
için
Cq (Kb) ∼
= {0}
dir.
0 −→ C2 (T ) −→ C1 (T ) −→ C0 (T ) −→ 0
Buradan;
Ker∂0 = C0 (T ) ∼
=Z
ve
Im∂3 = {0}
dir.
∂2 : C2 (T ) −→ C1 (T )
∀pU + qL ∈ C2 (T )
için
∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L) = p (−a − b + c) + q (a + b − c)
= p (−a − b + c) + q (a + b − c) = (p − q) (c − a − b)
O halde
Im∂2 ∼
= Z olur.
∂2 (pU + qL) = 0 olsun. O zaman (p − q) (c − a − b) = 0 =⇒ p = q
∼
halde Ker∂2 = Z dir.
imdi
O
∂1 : C1 (T ) −→ C0 (T )
∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (T )
61
için
dir.
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c) = r1 (v − v) + r2 (v −
v) + r3 (v − v) = 0 elde edilir.
O zaman;
Ker∂1 = C1 (T ) ∼
= Z ⊕ Z ⊕ Z ve Im∂1 ∼
= {0} dir.
Artk Tor un homolo ji gruplarn hesaplayabiliriz.
H0 (T ) =
H1 (T ) =
Ker∂0
Im∂1
Ker∂1
Im∂2
H2 (T ) =
∼
=
62
Z
{0}
Z⊕Z⊕Z
Z
Ker∂2
Im∂3
Hq (T ) = {0}
∼
=
∼
=
=Z
=Z⊕Z
Z
{0}
q≥3
=Z
dir.
Reel Projektif Düzlem
[v], [w] var. O halde C0 (RP 2 ) ∼
=Z⊕Z
[a], [b], [c] var. O halde C1 (RP 2 ) ∼
=Z⊕Z⊕Z
[U ], [L] var. O halde C2 (RP 2 ) ∼
=Z⊕Z
2 tane 0-simpleks
3 tane 1-simpleks
2 tane 2-simpleks
Ve
q≥3
için
Cq (RP 2 ) ∼
= {0}
dir.
0 −→ C2 (RP 2 ) −→ C1 (RP 2 ) −→ C0 (RP 2 ) −→ 0
Buradan;
Ker∂0 = C0 (RP 2 ) ∼
=Z⊕Z
ve
Im∂3 = {0}
dir.
∂2 : C2 (RP 2 ) −→ C1 (RP 2 )
∀pU + qL ∈ C2 (RP 2 )
için
∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L) = p (−a + b + c) + q (−a + b − c)
= −a (p + q) + b (p + q) + c (p − q)
= (p + q) (b − a) + (p − q) c
−a + b + c − a − c + b = 2(b − a) olur. O halde
−a − c + b dir. Buradan Im∂2 ∼
= 2Z ⊕ Z dir.
üreteçlerimiz
2(b − a)
∂2 (pU + qL) = 0 olsun. O zaman (p + q) (b − a) + (p − q) c = 0
p = q = 0 dir. O halde Ker∂2 = {0} dir.
ve
imdi
∂1 : C1 (RP 2 ) −→ C0 (RP 2 )
63
⇐⇒
∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (T )
için
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c) = r1 (w − v) + r2 (w −
v) + r3 (v − v)
= (w − v) (r1 + r2 ) dir.
O zaman üreteç bir tanedir. Buradan
Im∂1 ∼
= Z olur.
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = 0 olsun. O zaman (w − v) (r1 − r2 ) = 0 =⇒ r1 = −r2
dir. Buradan
Ker∂1 ∼
= Z ⊕ Z olur.
Reel Pro jektif Düzlemin homoloji gruplarn hesaplayabiliriz.
H0 (RP 2 ) =
Ker∂0
Im∂1
∼
=
Z⊕Z
Z
=Z
= Z2
H1 (RP 2 ) =
Ker∂1
Im∂2
∼
=
Z⊕Z
2Z⊕Z
H2 (RP 2 ) =
Ker∂2
Im∂3
∼
=
{0}
{0}
Hq (RP 2 ) = {0}
64
= {0}
q≥3
dir.
Küre
[v], [w] var. O halde C0 (S 2 ) ∼
=Z⊕Z
2 ∼
[a], [b], [c] var. O halde C1 (S ) = Z ⊕ Z ⊕ Z
[U ], [L] var. O halde C2 (S 2 ) ∼
=Z⊕Z
2 tane 0-simpleks
3 tane 1-simpleks
2 tane 2-simpleks
Ve
q≥3
için
Cq (S 2 ) ∼
= {0}
dir.
0 −→ C2 (S 2 ) −→ C1 (S 2 ) −→ C0 (S 2 ) −→ 0
Buradan;
Ker∂0 = C0 (S 2 ) ∼
=Z⊕Z
ve
Im∂3 = {0}
dir.
∂2 : C2 (S 2 ) −→ C1 (S 2 )
∀pU + qL ∈ C2 (S 2 )
için
∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L) = p (−b + b + c) + q (−a + a − c)
= c(p − q)
O halde üretecimiz "
c
" bir tanedir. Buradan
Im∂2 ∼
=Z
∂2 (pU + qL) = 0 olsun. O zaman c(p − q) = 0 =⇒ p = q
bir tane oldu§undan
Ker∂2 = Z dir.
dir.
imdi
65
dir. Üretecimiz
∂1 : C1 (S 2 ) −→ C0 (S 2 )
∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (T )
için
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c) = r1 (w − v) + r2 (w −
v) + r3 (v − v)
= (w − v) (r1 − r2 ) dir.
O zaman üreteç bir tanedir. Buradan
Im∂1 ∼
= Z olur.
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = 0 olsun. O zaman (w − v) (r1 − r2 ) = 0 =⇒ r1 = r2
dir. Buradan
Ker∂1 ∼
= Z olur.
Kürenin homolo ji gruplarn hesaplayabiliriz.
H0 (S 2 ) =
Ker∂0
Im∂1
∼
=
Z⊕Z
Z
H1 (S 2 ) =
Ker∂1
Im∂2
∼
=
Z
Z
H2 (S 2 ) =
Ker∂2
Im∂3
∼
=
Z
{0}
Hq (S 2 ) = {0}
=Z
= {0}
=Z
q≥3
dir.
Teorem 6.3.1.
1.
K=∅
2.
K = {x0 }
ise
H0 (K) = 0'dir.
bir 0-simpleks ise
H0 (K) = 0,
i≥1
spat 6.3.1.
1.
K=∅
olsun.
C0 (K) = 0,
∂
C1 (K) = 0,
C2 (K) = 0;
∂
∂
Ci (K) = 0 i ≥ 3
∂
0 →4 C3 (K) →3 C2 (K) →2 C1 (K) →1 C0 (K) → 0
Z0 (K) = Ker∂0 = 0
Dolasyla
2.
K = {x0 }
H0 (K) =
B0 (K) = Im∂1 = 0.
Z0 (K)
{0}.
B0 (K)
olsun.
C0 (K) =< x0 >' Z,
66
Ci (K) = {0} i ≥ 1
∂
∂
0 →1 C0 (K) →0 0
Z0 (K) = Ker∂0 = C0 (K) ' Z,
Böylece
B0 (K) = Im∂1 = {0}.
H0 (K) ' Z .
Örnek 6.3.1.
p0 = (0, 0, 0),
p1 = (1, 0, 0),
p2 = (1, 2, 0),
p3 = (2, 3, 4)
P3
6
P0
@
R
@
@
@ P2
P1 σ10 =< p0 >,
σ20 =< p1 >,
σ40 =< p3 >
σ30 =< p2 >,
σ11 =< p0 , p1 >, σ21 =< p0 , p2 >,
σ51 =< p1 , p3 >, σ61 =< p2 , p3 >
σ31 =< p0 , p3 >,
σ22 =< p1 , p2 , p3 >,
σ12 =< p0 , p1 , p2 >,
σ42 =< p0 , p1 , p3 >
σ41 =< p1 , p2 >
σ32 =< p0 , p2 , p3 >
C0 (K) =< σ10 > ⊕ < σ20 > ⊕ < σ30 > ⊕ < σ40 >' Z ⊕ Z ⊕ Z ⊕ Z ' Z 4
C1 (K) =< σ11 > ⊕ < σ21 > ⊕ < σ31 > ⊕ < σ41 > ⊕ < σ51 > ⊕ < σ61 >' Z 6
C2 (K) =< σ12 > ⊕ < σ22 > ⊕ < σ32 > ⊕ < σ42 >' Z 4
Ci (K) = 0 i ≥ 3
∂
∂
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
C2 (K) −→
C1 (K) −→
C0 (K) −→
0
∂
∂
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
Z 4 −→
Z 6 −→
Z 4 −→
0
67
Z0 (K) = Ker∂0 = C0 (K) ' Z 4
B0 (K) = Im∂1 = {a1 < σ10 > +a2 < σ20 > +a3 < σ30 > +a4 < σ40 >|
a1 + a2 + a3 + a4 = 0} ≈ Z 3 (Üreteç says 3)
H0 (K) =
Z0 (K)
B0 (K)
≈
Z4
Z2
≈Z
Hatrlatma:
m
X
∂i (< p0 , p1 , . . . , pm >) =
(−1)i < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pm >
i=0
∂1 (σ11 ) = p1 − p0
∂1 (σ21 ) = p2 − p0
∂1 (σ31 ) = p3 − p0
∂1 (σ41 ) = p2 − p1
∂1 (σ51 ) = p3 − p1
∂1 (σ61 ) = p3 − p2
∂1
snr homomorzmasnn matrisi;


−1 −1 −1 0
0
0
 1
0
0 −1 −1 0 


 0
1
0
1
0 −1 
0
0
1
0
1
1
∂2 (σ12 ) =< p1 , p2
∂2 (σ22 ) =< p2 , p3
∂2 (σ32 ) =< p2 , p3
∂2 (σ42 ) =< p1 , p3
∂2
> − < p0 , p2
> − < p1 , p3
> − < p0 , p3
> − < p0 , p3
> + < p0 , p1
> + < p1 , p2
> + < p0 , p2
> + < p0 , p1
snr homomorzmasnn matrisi;




⇒




1
0
0
1
−1 0
1
0 

0
0 −1 −1 

1
1
0
0 

0 −1 0
1 
0
1
1
0
68
>
>
>
>
H1 (K) =
Z1 (K)
B1 (K)
≈
Z3
Z3
= {0}
H2 (K) =
Z2 (K)
B2 (K)
≈
Z
{0}
≈Z
Z2 (K) = {a < σ12 > −a < σ22 > +a < σ32 > −a < σ42 > |a ∈ Z} ≈ Z
Hi (K) = 0,
i≥3
Teorem 6.3.2.
f :X→Y
homeomorf ise
fx : Hi (X) → Hi (Y )
izomorftur.
Teorem 6.3.3.
spat 6.3.3.
σ =< p0 , p1 , . . . , pn >, n-simpleks
σ =< p0 , p1 , . . . , pn >, n-simpleks
ise,
∂n−1 ◦ ∂n (σ) = 0'dr.
olsun.
∂n−1 ◦ ∂n (σ) = ∂n−1 (∂n (σ)) = ∂n−1 (∂n < p0 , p1 , . . . , pn )
n
X
= ∂n−1 ( (−1)i < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pn >)
i=0
=
+
n
X
i
(−1) [
i=0
n
X
i−1
X
(−1)j < p0 , p1 , . . . , pˆj , . . . , p̂i , . . . , pn >
j=0
(−1)j−1 < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pˆj , . . . , pn >]
j=i+1
=
X
(−1)i+j < p0 , p1 , . . . , pˆj , . . . , p̂i , . . . , pn >
j<i≤n
+
X
(−1)i+j−1 < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pˆj , . . . , pn >
i<j≤n
=
X
((−1)i+j + (−1)i+j−1 ) < p0 , p1 , . . . , pˆj , . . . , p̂i , . . . , pn >= 0.
j6=i
69
6.4
Simplisiyal Kompleksin Euler
Karakteris-
ti§i
(K, f ), S 2 kürenin bir üçgenle³tirilmi³i olsun. V , kö³eler(0-simpleksler) saysn, E kenarlar(1-simpleksler) saysn ve F yüzeyler(2-simpleksler) saysn
göstersin. Bu durumda Euler formulü
V −E+F =2
oldu§unu biliyoruz. imdi bunu genelle³tirelim;
Tanm 6.4.1.
K 'daki
K,
m-boyutlu simplisiyal kompleks olsun.
q-simplisiyal komplekslerin says olsun.
Euler karakteristi§i:
χ(K) =
m
X
K
q ≥ 0
için
αq ,
simplisiyal kompleksinin
(−1)q αq
q=0
³eklinde tanmlanr.
K,
Teorem 6.4.1.
m-boyutlu oriyantal simplisiyal kompleks olsun.
χ(K) =
m
X
(−1)q rank(Hq (K)).
q=0
spat 6.4.1. A³a§dak zincir kompleksini ele alalm;
∂m+1
∂m−1
∂
∂
∂
m
1
0
0 −→ Cm (K) −→
Cm−1 (K) −→ · · · −→
C0 (K) −→
0.
Her
q
için
Cq (K)
rank
αq
olan serbest abel grupttur.
Hq (K) =
Zq (K)
Bq (K)
oldu§undan
rankHq (K) = rankZq (K) − rankBq (K)
Im∂m+1 = 0
oldu§undan
Bm (K) = 0
dir. Her
q≥0
için
∂q
0 −→ Zq (K) −→ Cq (K) −→ Bq−1 (K) −→ 0
tam dizisi vardr.
αq = rank Cq (K) = rank Zq (K) + rank Bq−1 (K)
m
m
X
X
q
χ(K) =
(−1) αq (K) =
(−1)q (rank Zq (K) + rank Bq−1 (K))
=
q=0
m
X
q=0
q
(−1) rank Zq (K) +
q=0
m
X
q=0
70
(−1)q rank Bq−1 (K))
B−1 (K) = 0 = Bm (K) oldu§undan
m
m
X
X
q
χ(K) =
(−1) rank Zq (K) +
(−1)q+1 rank Bq (K)
=
=
q=0
m
X
q=0
m
X
q=0
(−1)q (rank Zq (K) − rank Bq (K))
(−1)q rank Hq (K).
q=0
Örnek 6.4.1.
2
Hi (S ) =
Z, i = 0, 2
0, i =
6 0, 2
Hi (D ) =

i = 0, 2
 Z,L
Z
Z, i = 1
Hi (T ) =

0,
i 6= 0, 1, 2
1
Hi (M b) =
Z, i = 0
0, i =
6 0
Hi (S ) =

i=0
 Z,L
Z
Z2 , i = 1
Hi (Kb) =

0,
i 6= 0, 1
2
1
Hi (S × I) =
Z, i = 0, 1
0, i =
6 0, 1
Z, i = 0, 1
0, i =
6 0, 1

 Z, i = 0
2
Z2 , i = 1
Hi (RP ) =

0, i 6= 0, 1
Z, i = 0, 1
0, i =
6 0, 1
Yukardaki Teorem kullanarak Euler karakteristi§ini hesaplayabiliriz;
χ(S 2 ) =
∞
X
(−1)i rank Hq (S 2 )
q=0
= (−1)0 rank S 2 (T ) + (−1)1 rank H1 (S 2 ) + (−1)2 rank H2 (S 2 ) + . . .
= 1 − 0 + 1 + 0 + 0 + ... = 2
∞
X
χ(T ) =
(−1)q rank Hq (T )
q=0
= (−1)0 rank H0 (T ) + (−1)1 rank H1 (T ) + (−1)2 rank H2 (T )) + . . .
= 1 + (−1).2 + 1 = 0
71
6.5
Homolo ji ve Simplisiyal Dönü³ümler
ϕ : K −→ L simplisiyal dönü³üm olsun. ϕ, ∂ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ∂ e³itli§ini do§rulayan ϕ : Cq (K) −→ Cq (L) lineer dön³ümü üretti§ini biliyoruz. [c] = c+Bq (K),
Hq (K) bir eleman göstersin. Dolasyla c ∈ Zq (K) dir yani ∂(c) = 0 ve böylece ∂ ◦ ϕ∗ (c) = ϕ∗ ◦ ∂(c) = 0 oldu§undan ϕ∗ (c) ∈ Zq (L) dir.
c − c0 ∈ Bq (K) ise bir u ∈ Cq+1 (K) için ϕ∗ (c − c0 ) = ϕ∗ ((u)) = ∂(ϕ∗ (u))
0
dir. Yani ϕ∗ (c) + Bq (L) = ϕ∗ (c ) + Bq (L). Dolasyla
H(ϕ) : Hq (K) −→ Hq (L)
c+Bq (K) 7−→ H(ϕ)(c+Bq (K)) = ϕ∗ (c)+Bq (L).
ϕ, ψ : K −→ L
Tanm 6.5.1.
iki simplisiyal dönü³üm olsun. Her
q
için
∂q+1 ◦ h + h ◦ ∂q = ϕ∗ − ψ∗
e³itli§ini do§rulayan
h : Cq (K) −→ Cq+1 (L)
lineer dön³ümü varsa
ϕ
ve
ψ
dönü³ümleri zincir homotoptur denir.
Teorem 6.5.1.
ϕ
ve
ψ
arasnda bir zincir homotopi varsa
H(ϕ) = H(ψ).
spat 6.5.1.
[c] = c + Bq (K) ∈ Hq (K)
olsun.
∂q+1 ◦ h(c) + h ◦ ∂q (c) = ϕ∗ (c) − ψ∗ (c).
∂q (c) = 0 oldu§undan ϕ∗ (c) − ψ∗ (c) = ∂ ◦ h(c) ∈ Bq (L). Yani ϕ∗ (c) + Bq (L) =
ψ∗ (c) + Bq (L) ve H(ϕ)([c]) = H(ψ)([c]).
ϕ, ψ : K −→ L iki simplisiyal dönü³üm olsun. Herhangi
σ ∈ K simpleksi için, ϕ(σ) ∪ ψ(σ) L de bir simpleks oluyorsa ϕ, ψ
Tanm 6.5.2.
bir
dönü³ümleri kontgious dur denir
Sonuç 6.5.1.
ise tüm
q
için
ϕ, ψ : K −→ L iki simplisiyal
Hq (ϕ) = Hq (ψ) dir.
72
dönü³üm ve
ϕ, ψ
ye kontgious
Bölüm 7
DÜÜM TEORS
Elimize küp ³eklinde bir kutu alalm ve kutunun etrafna be³ metre uzunlu§unda bir ipi hediye paketlermi³iz gibi ba§layp uclarini yapi³tiralim. Daha
sonra bu ipi yava³ça kutunun etrafndan çkaralm. Elde etti§imiz ³ekil bir
trefoil (yonca yapra§) olacaktr. Ayn i³lemi be³ metre de§ilde yirmi metre
uzunlu§unda ve daha kaln bir iple yapsaydk yine bir trefoil elde etmi³ olacaktk.
Yani dü§üm teorisinin topolojinn bir alt dal olarak incelenmesinin sebebi
de budur.
Dü§üm teorisinin tarihinin ba³langc tam olarak bilinmesede ilk olarak Gauss'un ilgilendigi dü³ünülmektedir ancak bu konuyla ciddi manada ilk olarak
ilgilenen Amerikali ünlü matematikci Alexandar olmustur. Alexander dü§üm
teorisinin 3-boyutlu topolojide ne kadar önemli oldu§unu göstermi³tir.Daha
sonra Alman matematikçi Seifert 1920 de çal³t§ bu konunun önemini pekçok ki³inin anlamasn sa§lam³tr. Ayrca cebirsel geometri ile dü§üm teorisinin ili³kisi bu dönemde Almanya'da yaplan çal³malarda ortaya konulmu³tur.
73
Asl büyük ilerlemeler ikinci dünya sava³ srasnda Amerika'da yaplan ara³trmalarla sa§lanm³tr. Amerika'daki bu geli³melerin etkisi zamanla Japonya'ya
da sçram³ ve burada da dü§üm teorisi ile ilgili büyük atlmlar gerçekle³tirilmi³tir. 1970 de ise periyodik dönü³ümlerle alakal Smith tahmininin çözümünden dolay dü§üm teorisinin cebirsel say teorisi ile ba§lantsnn olabilece§i
farkedildi.
1980 lere gelindi§inde ise Jones'un epochal dü§ümlerini ke³ ile dü§üm teorisi
topolo ji ba³l§ altndan çkp matematiksel zi§e ta³nm³tr. dü§üm teorisi
devaml olarak geli³ti§i içinde pekçok bilimdal ile olan ili³kisi zamanla ortaya
çkacaktr. Matematiksel biyoloji, mekanik ve kimyann da pekçok alanndaki
i³levselli§i zamanla ortaya konulmu³tur.
Günümüzde ise dü§üm graf dü§üm teorisinin uygulamalarnda oldukça önemli
bir yer tutar. Özellikle dü§üm teorisinin kimyaya uygulamalarnda dü§üm
graar önemli bir araçtr. Spatial (uzaysal)graar olarak adlandrlan ve düzlemsel graardan biraz farkl olan bu graf kavram bu alanda önemli bir araçtr. Bu yüzyln ba³ndan beri ise bu alanda çal³an baz kimyaclar dü§üm
veya halkalar içeren yap formülü ile suni molekül sentezlemeye ilgi göstermi³lerdir. Frisch ve Wassermann (1961) bir halkay (Hopf Halkas) ihtiva eden
yap formülü ile bir molekülü sentezlemeyi ba³ardlar (Murasugi 1996). Bir
dü§ümün yapsal formülü ile bir molekülü sentezleme i³lemi baz kimyaclar
tarafndan sürdürülmü³tür ve moleküller bu ilginç yap formülü ile sentezlenmi³tir. Walba (1985) molekülün yapsal formülünü elde etmek için kullanlan
i³lemde, yapsal formül olarak bir dü§ümün yapsn kullanr, Mobiüs merd-
M3 -graf )
ivenli (
bir molekül sentezlemeyi ba³arr (Murasugi 1996). Bu olay
molekül topolojisinin do§masna yol açm³tr.
Bir molekülün yapsal formülü,moleküldeki atomlara kar³lk gelen ve kenarlar,kö³eler, kovalent ba§lar yardmyla atomlar arasndaki veri kombinasyonunu ifade eden bir graf olarak tanmlanabilir.
7.1
Dü§ümler, Zincirler, Diya§ramlar
Dü§ümü formel olarak tanmlarken smooth(düzgün) dü§üm ve poligonal
dü§üm olarak ikiye ayrabiliriz.
Tanm 7.1.1. (Dü§üm ve Zincir)
1. Birim çembere homeomorf olan 3 boyutlu uzayn alt kümesine dü§üm denir.
2. Birçok ayrk (kesi³meyen) dü§ümlerin birle³imine zincir denir.
74
3. ki zincir 3 boyutlu uzayda izotopik ise bu iki zincir denktir denir.
ekil 7.1: trefoil dü§ümü- sekiz dü§ümü -kare dü§ümü
Tanm 7.1.2.
1. Birim çembere denk olan dü§üme dü§ümsüz denir.
2. Bir zincir
{(x, y, i)|x2 + y 2 = 1i = 1, 2, ..., n}
n-bile³enli zincir olmayan denir.
75
kümesine denk ise bu zincire
ekil 7.2: hoph zinciri- whitehead zinciri - borromean zinciri
ki dü§üm ya da iki zincir düzlemde ayn diyagrama sahip iseler bunlar
denktir.
ekil 7.3: uygun çaprazlama-kötü çaprazlama
Tanm 7.1.3.
R3
de kendini kesmeyen poligonal do§rulara poligonal dü§üm
denir.
Tanm 7.1.4. Diferansiyeli sfra e³it olmayan sonsuz bir diferansiyellenebilir
gömülme
altnda,
R3 deki çemberin görüntüsü olarak tanmlanan dü§ümlere ise smooth
76
dü§üm denir.
Biz genel olarak dü§ümün smooth tanmn kullanaca§z.
ekil 7.4:
Tanm 7.1.5. Ki ler dü§üm ve i
3
⊂R
olacak ³ekildeki
L
41
6= j için Ki
ve
T
31
Kj = ∅ iken L = K1
S
K2
S
...
S
alt uzayna zincir denir.
Tanm 7.1.6. n bile³enli bir
L zincirinin bile³en saysn comp(L)=n ile gös-
terilir.
comp(L)=1 olan bir zincir ise bir dü§üme kar³lk gelir.
Tanm 7.1.7. Zincirler diyagramlar yardmyla incelenir.
R3
deki zincirlerin
regüler diyagramn elde etmek için
R2 ={(x1 , x2 , 0) ∈ R3 | xi ∈ R}
deki görüntü resmi alnr. i³te bu diyagramla-
rn ³u ³ekilde ifade edilir.
R2
deki bir diyagram yaylarn ve çaprazlamalarn says tarafndan gösterilir.
Bir çaprazlamada bir yay yukardan geçerken di§er iki yay a³a§dan geçer.
Bir diyagramda a³a§daki çaprazlama hareketlerinin yaplmasna izin verilmez.
Tanm 7.1.8. Yönlü bir zincir herbir bile³en boyunca bir yön seçerek zincire
kar³lk gelen diyagramda oklarla göstererek elde edilir. Böylelikle iki çe³it
çaprazlama elde etmi³ oluruz:
77
Kn
Tanm 7.1.9. Yönlü bir diyagramn kvrm ³u ³ekilde bulunur:
P
ω(D)= caprazlamalar
çaprazlama i³aretleri
Tüm yönleri de§i³tirmek kvrm de§i³tirmez yani yönlü olmayan bir dü§üm
diyagramnn kvrm iyi tanmldr.
Tanm 7.1.10. Yönlü bir D diyagramnn bile³enlerinin
C1 , C2 , . . . , Cn
ol-
du§unu varsayalm.
i 6= j
olmak ko³ulu ile
Ci
ile
Cj
nin zincirlenme says a³a§daki ³ekilde tan-
mlanr:
lk(Ci , Cj ) =
1
2
P
Ci ileCj nincaprazlamalari çaprazlama i³aretleri
D nin zincirlenme says ise:
lk(D) =
P
0≤i≤j≤n
lk(Ci , Cj )
78
79
7.2
Reidemeister Hareketleri
Tanm 7.2.1. Reidemeister hareketi bir dü§üm diyagram üzerinde herhangi
bir de§i³ikli§e sebep olmadan yaplan hareketlerdir.
R0 :
Diyagramn homotopisi yay ve çaprazlamalarn in³asn de§i³tirir yani
örne§in yaylar büzer ya da açar fakat yönünü de§i³tirmez:
Diyagramn etkilenen ksmlar yalnzca a³a§daki hareketlerle meydana gelir
R1 :
R2 :
R3 :
Bir dü§ümü isimlendirirken iki sayya ihtiyaç duyaca§z. Bunlar dü§ümün
çaprazlanma says ve bir dü§ümün çözülmesi için yaplmas gereken hareketlerin saysdr.
Yani
31
trefoil dü§ümü için 3 dü§ümün çaprazlanma saylar, 1 ise dü§ümün
çözülmesi için yaplma için gereken i³aret de§i³imi hareketidir.
80
Tanm 7.2.2. D ve D' diyagramlar izotopiktir.
i≤3
⇐⇒
D diyagram
Ri , 0 ≤
hareketlerinin yardmyla D' diyagramndan elde edilebilir.
E§er D ve D'
R1
hareketi kulanlmakszn birbirine izotopik klnabiliyorsa D
ve D' ye regüler izotopik denir.
Teorem 7.2.1. (Reidemeister(1932) )
1. Herhangi bir
2. Verilen
L
L0 , L1
zinciri diyagram olan bir zincire izotopiktir.
zincirlerinin diyagramlar srasyla
zincirleri izotopiktir ancak ve ancak
D0
ve
D1
D0
ve
D1
olsun.
L0
ve
L1
diyagramlar izotopiktir.
Hopf zinciri Whitehead zincirine izotopik de§ildir.
7.3
Dü§üm Renklendirme
Tanm 7.3.1. Bir
L
zincirinin
ylarla gösterilebiliyorsa,
a + c = 2b mod n
yani üst geçi³ = alt
L
D
diyagram a³a§da gösterildi§i gibi tamsa-
zincirine modn e göre renklendirilebilir denir.
geçi³lerin ortalamas
modn e göre düz bir renklendirme yapmamalyz. Yani modn e göre bütün
yaylar ayn renkte olmamal.
Yani dü§üm renklendirme srasnda özellikle a³a§daki iki kurala dikkat etmeliyiz:
1. En azndan iki renk kullanlmaldr.
2. Herbir kesi³imde ya üç farkl renk ya da tümü ayn renk olacak ³ekilde renklendirme yaplmaldr.
Teorem 7.3.1. E§er bir
L zinciri mod n de renklendirilebiliyorsa, L
n de renklendirilebilir.
bütün diyagramlarda mod
81
nin
1
bile³enden daha fazla bile³ene sahip herhengi bir zincir mod2 de renk-
lendirilebilir. Bundan hareketle hiçbir dü§üm mod2 de renklendirilemez.
Tanm 7.3.2. Bir zincir ya da diyagram
x1 < 0 bölgesinde ve x1 > 0 bölges-
inde olacak ³ekilde iki parçadan meydana geliyorsa bu zincir ya da diyagrama
ayrlabilir denir.
E§er bir zincir ayrlabilirse o zaman bu zincir herhangi bir
modn de renklendirilebilirdir.
n 6= 1
için
Borromean halkalar ayrlabilir de§ildir.
Lemma 7.3.1. Herhangi bir diyagram santranç tahtas ³eklinde gösterilebilir.
Tanm 7.3.3. Bir diyagramn alt geçi³ ve üst geçi³ bilgilerini gözard ederek
çizilen zincir diyagramna gölge denir.
S deki bile³enleri ba§land§ yerdeki tümleyenlerine yani Snin ayrd§ ksmlara bölge denir.
E§er her çaprazlamada dört farkl bölhe varsa diyagrama indirgenmi³ diyag-
ram denir.
Teorem 7.3.2. (Schönics )
2
h : R −→ R
2
ve
h(C) = S
1
R2
deki herhangi bir
C
kapal e§risi için
³eklinde bir homeomorzm vardr.
Lemma 7.3.2. Bölgeler yol ba§lantldr.
L
bir zincir olsun.
L
nin bir indirgenmi³ diyagram vardr.
82
7.4
Dü§üm Renklendirmesine Sistamik Yakla³m
Varsayalm ki diyagramlar ba§lantl, indirgenmi³ ve kapakl e§rilerden yoksun olsun.
Örne§imizin tamsay çözümlerini ara³tralm:
2x0 − x5 − x6 = nb0
2x6 − x0 − x1 = nb1
2x4 − x1 − x1 = nb2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2x4 − x0 − x7 = nb7
yukardaki denklem sisteminin çözüm kümesi
Yani
A+ = nb+
nn çözümüdür. öyle ki;


b0
 b1 


b+ =  .. 
 . 
b7
83
n∈Z
ve
b tamsay vektörüdür.






A+ = 





Burada
2
0
0
0
0 −1 −1 0
−1 −1 0
0
0
0
2
0
0 −1 −1 0
2
0
0
0
0
0
2
0
0
0 −1 −1
0
0
2
0 −1 −1 0
0
0
0 −1 −1 0
2
0
0
0
0
0 −1 −1 0
2
0
−1 0
0
0
2
0
0 −1












A+ matrisinin satrlar yay numaralarna sütunlar ise çaprazlamalara
kar³lk gelir.
Lemma 7.4.1.
A+
bir kare matristir.
spat
Diyagramda bir yön seçti§imizde her yay bir çaprazlamada sona erdi§inden
dolay yay says çaprazlama saysna e³ittir, buradan da yaylar ile çaprazlamalar arasnda bir bijeksiyon olu³turulabilir. Biz daha önceki önermelerimizden verilen herhangi bir denkli§in di§erlerinin i³aretli toplam oldu§unu
bleri istedi§imiz gibi seçmekte özgürüz.) Ve ba³ka bir teoremden de verilen herhangi bir x1 in sfr olbilece§ini biliyoruz. Böylece A+ nn
i. satr ve j. sütununu yok ederek A matrisini elde ederiz ve
Ax = nb yi çözeriz ki burada hangi satr ve sütunun yok edildi§i önemli de§ildir, ayrca b+ nn da i. elemann yok ederek b yi elde ederiz. x0 yerine 0
koyalm ve A+ da 0. satr ve sütunu yok edelim.
biliyoruz. (yani
Durum1
det(A) = 0
Varsayalm ki;
n=0
olsun, o zaman
Q
da a³ikar olmayan bir çözüm oldu-
§undan
xi = pi /qi ∈ Q 1 ≤ i ≤ m için deriz.
q = q1 · . . . qm oldu§u yerde
y 0 = 0 , y 1 = x1 q , y 2 = x2 q , . . . , y m = xm q
alarak
(y0 , y1 , . . . , ym )
renklendir-
mesini yapalm.
Böylece
0
bir renklendirme sayusudr ve buradan herhangi bir
bir renklendirme saysdr.
Durum2
84
n 6= 1
de§eri
det(A) 6= 0
Cramer kural
1≤k≤m
Q
da bize bir tek çözüm verir:
için
xk =
n = |detA|
x0 = 0
a11 . . . nb1 . . . a1m
..
.
.
.
.
.
.
.
am1 . . . nbm . . . amm
detA
olarak alrsak bir çözüm elde ederiz:

a11
. . . nb1
.
.
.

xk = 
. . . a1m
.
.
.
.
.
.



am1 . . . nbm . . . amm
1≤k≤m
Ax =
nb
n(−b)
detA>0
detA<0
(b1 , . . . , bm ) = (1, 0, . . . , 0) olarak alalm. Böylece
X0 = 0, xk = (−1)k+1 1 ≤ k ≤ m için, ve
detA = a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1m xm ve dikkat etmeliyiz ki; det(A) 6= 0
oldu§undan xi 6= 0 ve sabit olmayan bir çözüm elde ederiz ki bu modn de
sabit de§ildir yani n tarafndan bölünemeyen xi lerden olu³ur.
Tanm 7.4.1. Bir
L
zincirinin determinant
Teorem 7.4.1. Herhangi bir
saysdr ancak ve ancak
n
ve
det(L) = |det(A)|
n 6= 1 says bir L zinciri için bir
detL bir ortak çarpana sahiptir.
dr.
renklendirme
Ve sonuç olarak ³unlar da söyleyebiliriz
1. E§er
detL = 1
ise
L
nin renklendirme says yoktur.
2. E§er diyagram ba§lantl de§il ise
7.5
det(L) = 0.
Aynalar VE Dü§üm Kodlamas
L bir zincir ve M ⊂ R3 bir an düzlemi
M deki yansmasndan elde edilir.
85
olsun.
L
nin ayna görüntüsü,
m(L),
Ayna i³lemi izotopi snar üzerinde etkilidir ve aynann seçimine ba§l
de§ildir.
mL nin diyagram L nin diyagramndaki tüm çaprazlamalar de§i³tirilerek
bulunur.
Tanm 7.5.1. E§er bir zincir aynadaki yansmasna denk ise achiral dir
denir. Aksi halde ise chiral olarak adlandrlr.
Dü§üm tablosundaki achiraller
41 , 63 , 83 , 89 , 812 , 817 , 818
dir.
31
ise chiraldir.
K yönlü bir dü§üm olsun ve r(K) da K nn belirlenmi³ yönünü
K ve r(K) izotopik ise K tersinirdir.
tersinir olmayan tek dü§üm 817 dir.
Tanm 7.5.2.
göstersin. E§er
Tabloda
7.5.1
Dü§üm Kodlamas
Bir gölgenin bir zincire ait çaprazlama bilgileri ele alnmadan çizilen diyagram oldu§unu hatrlyoruz Tek bile³enli bir gölge, yönsüz de§i³en(alternating)
bir tek dü§üm belirtir.
ispat
Gölge etrafnda çaprazlama bilgilerine uyarak a³a§, yukar, a³a§, . . . ³eklinde
yürüyelim. Bunu i³e yarad§n görebilmek içinbir satranç tahtas seçelim ve
yürümeye ba³larken siyah ksmn solumuza alalm siyah-beyaz ³eklinde yürümeye devam ettikçe yukar, a³a§ yürüdü§ümüzü görece§iz.
sadece son üç eleman de§i³meyendir (not alrternating). Bunlar;
Tablonun
819 , 820 , 821
dir. Bir gölge verilsin ve bunun etrafnda ard³k olarak çaprazlama numaralarn yürüyelim. imdi ³öyle bir fonksiyon elde ederiz;
f
de§i³meli ise;
f : teksayilar → cif tsayilar
burada tek saylar alt kesi³imlere, çift saylar ise üst kesi³imlere kar³lk gelir.
f (1), f (2), f (3), . . . dizisi bize gölgeyi verir.
Örne§in; 31 dü§ümü 4, 6, 2 dizisi tarafndan
belirlenir.
Ayn dizinin farkl gölgeleri farkl diziler verir.
86
7.6
Alexander Polinomu
Z deki modn renklendirmesini daha önce gördük. imdi bunu Z yerine Z[t, t−1 ]
halkasn alarak (t tek de§i³ken, negatif üz alabiliyoruz ) genelleyelim ve polinomlar yardmyla yönlendirilen zincirler bir polinom modunda renklendirilebilsin.
Bu durumda çaprazlama ba§nts
c − te = b − tb
veya
c = ta + (1 − t)b
olur. Dikkat edelim ki
t = −1
ko-
4L (t) determinantna göre
4L (t) polinomu L nin Alexander
Alexander polinomunu 4L (t) çizerken
yarsak eski çaprazlama ba§ntmz elde ederiz.
Z[t, t−1 ]
de bir renklendirme elde ederiz ve
Polinomudur. Bir
K
dü§ümünün
1. Dü§ümümüze istedi§imiz ³ekilde bir yön veririz.
2. yaylar ve çaprazlamalar ayr ayr numaralandrrz.
3.
n =çaprazlama
says olmak üzere a³a§daki ko³ullar ³§nda
(n × n)
lik bir
matris tanmlarz:
(a) E§er diyagrammzn
olmak üzere
−1
x
x
satrnn
i ve bu satrn
k
çaprazlamas pozitif yönlü ve yay isimleride
i
sütununa
sütununa
yi girelim ve bu satrn
j
sütununa
yi girelim
x satrnn i sütununa
1 − t yi girelim j sütununa t de§erini ve k sütununa da t de§erini girelim geri
(b) E§er diyagrammzn
x
t
1−t
i, j, k
çaprazlamas negatif yönlü ise
kalan bile³enler yerinede 0 de§erlerini girelim.
Bu satr ya da sütunlardan herhangi birini yok ederek
(n − 1) × (n − 1)
K dü§ümünün
lik bir matris elde ederiz. ³te bu matrisin determinant bize
Akexander Polinomunu verir.
A³agdaki örne§imizi inceleyelim:
87

−1 1 − t
0
t
 0
t
−1 1 − t

 t
−1 1 − t
0
1−t
0
−1
t

−1 1 − t
0

 =⇒ −0
t
−1

t
−1 1 − t
=⇒ 1−2t+2(t2 )|∆K (−1)| = 5
Alexander polinomu ile ilgili a³a§daki özellikleri verebiliriz:
1.
|4L (−1)| = det(L)
2.
4rL (tL−1 ) = 4L (t) = 4mL (t−1 )
|4L (−1)|
3. E§er
n
says
E§er
L
ayrlabilir ise
7.7
K1
ve
bölüyorsa dü§üm
n
renklendirilebilirdir.
4L (t) = 0
Dü§üm Toplamlar
K2
gibi iki dü§ümün ba§lantl toplam her iki dü§ümden birer küçük
daire dilimi çkarlup meydana gelen dört bitim noktas birbirini kesmeyen
iki yeni e§ri parças ile birle³tirilerek elde edilir, sonuç olarak
K = K1 ]K2
³eklinde bir çift dü§ümdür.
Tanm 7.7.1. E§er a³ikar olmayan
de§il ise
K
L ve M
dü§ümleri için
K , L]M
izomorf
ya asal dü§üm denir. Dü§üm tablosu yalnzca asal dü§ümleri
gösterir.
Tanm 7.7.2. Bir
D
dü§ümünün diyagramnda üst geçi³lere köprü bunlarn
saysnada köprü says n verir.
88
Tanm 7.7.3. Bir
K
dü§ümünün köprü says
b(K) K ya
ait diyagramlarda
elde edilen köprü saylarnn minimumuna e³ittir.
E§er
K
bir unknot ise
b(K) = 1
olur.
85 , 810 , 815 hariç olmak üzere dü§üm tablosundaki tüm dü§ümler 2-köprülü
dü§ümlerdir. Bu hariç olan dü§ümler 3-köprülü dü§ümlerdir. Ancak 3-köprülü
dü§ümler tam olarak snandrlamam³tr.
7.8
DNA'ya Ksa Bak³
Son yllarda moleküler biyolojide pekçok geli³meler meydana gelmi³tir. Bu
geli³melerin bir ksmda matemati§in moleküler biyolo jiye uygulanmas ile
gerçekle³mi³tir. Özellikle dü§üm teorisi DNA rekombinasyonu için oldukça
güzel bir yol verir. DNA ile matemati§n ili³kisi 1950 lerde dublex DNA nn
sarmal Crick-Watson yapsn ke³ ile ba³lam³tr. Bir matematik modeli olan
Özel-Bölgeli Rekombinasyon Tangel Modeli ilk olarak De Witt Sumners tarafndan tantlm³tr.
Bu ksmda ise asl amacmz dü§üm teorisinin DNA rekombinasyonuna
uygulanmasnn detaylarn vermek olacaktr. DNA nn hücre çekirde§i içerisinde bulunan çok uzun ve ince moleküller oldu§unu biliyoruz. Bu moleküller
canlnn hayati özelliklerini ta³yan ve biyolojik bilginin nesilden nesile aktarlmasn sa§layan DNA molekülü bulunur. nsan DNA s 3.2 milyar yap
ta³ndan olu³an bir bilgi hazinesi, bir kitaptr. Bu kitaptaki hareri yan yana
dizecek olursak, biner sayfalk 10.000 kitaptaki bilgiye denk gelir.
89
Bir insann trilyonlara yakn hücrelerinin hepsinin çekirdi§inde bulunan
DNA çok sk bir ³ekilde kendi etrafnda dolanm³tr ve bu ³ekliyle bir yuma§ andrr . DNA molekülü yumak halinden çkarlp bir ipli§e dönü³türüldü§ünde, bu DNA nn uzunlu§u binbe³yüz cm ye yakndr. Bu 1.5 metrelik
³erit
10−6
metre çekirdek içinde bulunur. Bu da DNA nn neden çekirdek
içinde karma³k ve dü§ümlenmi³ bir ³ekilde bulunu§unu bize açklamaktadr.
DNA'y gözümüzde canlandrrsak çok uzun iki ³eridin milyonlarca kez
birbirine geçmi³, dü§ümlenmi³ ve ardarda pekçok kez sarmalanm³ bir halde
oldu§unu dü³ünebiliriz. Ancak replikasyon ve translasyon i³lemlerinin uygulanmas e§er DNA dü§ümlenmi³ ve karma³k olmasndansa, düzenli bir
³ekilde sralanm³ ise daha kolaydr. Enzimler ise dü§ümleri ince ³eritler ³eklinde böler ve bunlar daha düzgün bir hale gelecek ³ekilde ³eritleri tekrar
ba§lar.
Topolojik ilkeleri kullanarak DNA nn dü§üm çözme i³lemini daha iyi anlayabiliriz. Çünkü DNA replikasyon ve translasyon i³lemlerini gerçekle³tirebilmek için hzlca kendi dü§ümlü yapsn çözmelidir. Ve bu aslnda topolo jik
bir problemdir. Dü§üm teorisi ara³trmaclara DNA paketlemesi ile ilgili olarak nitel bir tahminden çok nicel bir de§er verir ve dü§üm teorisi sayesinde
bilimadamlar DNA nn bu dü§üm çözülme i³lemleri srasnda hangi enzimlerin kullanld§n anlamasn sa§lar. ³te bu noktada DNA nn ifadesinde
oldukça önemli olan tangle kavram devreye girecektir.
7.9
B
bir
Tangle
3
küre,
t
ise
B
içine gömülmü³ yönsüz yay çifti olsun. Bu yay çiftle-
rinin dört bitim noktas ise kürenin ekvator noktalarndadr (KB, KD, GB,
GD).Bir tangle,
(B, t)
çiftidir. Bir tangle diyagram
90
ise tangle n ekvator
düzlemine yanstlmas ile elde edilir. Diyagram üzerindeki bitim noktalarn
KB, KD, GB, GD olarak i³aretleyece§iz. Rasyonel tangle ise bitim noktalarnn kaydrlmas ile a³ikar tangle a dönü³türülebilen tangle lardr. Rasyonel
tangle lar DNA larn yaps ile benzerlik gösterir ve bu sebeple bizim asl
odak noktamz olacaktr. VE bu yolla dönü³türülemeyen tangle lar da vardr
bunlarda asal tangle ve yerel dü§ümlenmi³ tangle yaplardr.
ekil 7.5: Tangle Örnekleri a.Rasyonel b.A³ikar c.Asal d.Yerel Dü§ümlenmi³
Her rasyonel tangle
(a1 , a2 , . . . , an ), ai ∈ Z, ∀i
vektörü tarafndan olu³tu-
rulur. Ve biz bu vektör yardmyla tangle diyagramn çizebiliriz: lk olarak
KB, KD, GB, GD noktalar i³aretlenmi³ bir çember ile ba³layalm ve yaylar ³ekilde görüldü§ü gibi çizelim. E§er n çift ise alt ksmdan ba³larz(GB
a1 says kadar yarm kaydrma yaparz (e§er a1 pozitif ise sa§-el
kaydrmas, a1 negatif ise sol-el kaydrmas yaparz.).Daha sonra diyagramn
KB-KD ksmnda a − 2 kadar yarm kaydrma yaparz. Daha sonra tekrar alt
ve GD) ve
ksma dönüp ayn i³lemleri yapmaya devam ederiz. E§er n tek say ise sa§
taraftan ba³lar ve i³lemi daha önceki gibi uygulamaya devam ederiz. Örne§in
(2, 1, 2)
rasyonel tangle diyagramn a³a§daki gibi çizeriz.
Her tamsayl vektör
β
rasyonel saysna e³it olan sürekli bir kesir ³eklinde
α
ifade edilebilir. E§er T tangle (a1 , a2 , . . . , an )
vektörleri tarafndan ifade
ediliyorsa sürekli kesir
an +
1
an−1 +
1
an−2 +...+ a1
=
β
α
1
³eklinde bulunur.
β
rasyonel says T tangle nn kesri olarak adlandrlr.
α
91
Teorem 7.9.1. ki tangle izotopiktir ancak ve ancak ayn kesirlere sahiplerse.
E§er iki tangledan biri e§er bitim noktalar hareket edilmeksizin herhangi
bir ³erit koparlmadan ya da bir ³erit di§erinin üzerinden geçmeden di§erine
dönü³türülebiliyorsa bunlar denk olur. Ve bu teorem sayesinde aslnda tangle
kesrinin tanglen özelliklerini belirlemede ne kadar önemli oldu§unu anlayabiliyoruz.
Yukarda bir vektörden tangle kesrinin nasl elde edildi§ini görmü³tük
benzer ³ekilde tangle kesri sayesinde vektörü de elde edebiliriz:
1
β
= an +
1
α
an−1 + an−2 +...+
1
a1
Tabiki bu yolla farkl vektörlerde elde edebiliriz. Örne§in;
(2, 2, 1) vektörlerinin her ikisi de
(3, −2, 2)
ve
7
kesrini verir. Fakat burada iki vekörde ayn
5
tangle' belirtir. Ayrca tüm rasyonel tangle Conway sembolü olarak adlan-
(a1 , a2 , . . . , an )
|a1 | > 1, ai 6= 0 ve tüm
drlan bir tek kanonik vektör tarafndan ifade edilebilir. Bir
vektörü kanonik formda ise her
1 ≤ i ≤ n−1
için
sfrdan farkl ifadeler ayn i³arete sahiptir. Yukardaki örne§imizin Conway
sembolü
(2, 2, 1)
Teorem 7.9.2.
dir.
β
α
∈ Q∪
1
0
= ∞ (α ∈ N ∪ 0, β ∈ Z ve obeb(α, β) = 1) kesri
1 − 1 e³leme vardr.Tangle kesirleri ve
ile rasyonel tangle'lar kümesi arasnda
vektör notasyonlarna ek olarak tangle'lar matris olarak da ifade edilebilirler.
Bu tangle'lar
β
α
=
23
17
2 × 2lik matrisler cinsinden ifade edilir, ³öyleki:
u v0
1 a2k
1
0
1 0
=
...
v u0
0 1
a2k−1 1
a1 1
= 1+
1
2+
1
1+ 1
5
1 1
0 1
= (5, 1, 2, 1)
nin matris olarak ifadesi a³a§daki
³ekildedir
7.10
u v0
v u0
=
1 0
2 1
1 1
0 1
1 0
5 1
=
23 4
17 3
Tangle ³lemleri
Tanm 7.10.1. A ve B tangle'lar verilsin bu iki tangle'n toplam
A+B
bir tangle'n KD ve GD bitim noktalarnn di§er tangle'n KB ve GB bitim
noktalarna srasyla eklenmesi ile elde edilir.
92
Tanm 7.10.2. Bir T tangle'nn pay kapanmas olarak bilinen,
N (T ), i³lemi
KB ve KD bitim noktalarnn birle³tirilmesi ve GB ve GD bitim noktalarnn
birle³tirilmesi ile elde edilir.
Tanm 7.10.3. Bir T tangle'nn payda kapanmas olarak bilinen,
D(T ),
i³lemi KB ve GB bitim noktalar birle³tirilmesi ve KD ve GD bitim noktalarnn birle³tirilmesi sonucu elde edilir.
N ((2, 0) + (1)) = h3i i³lemi sonucu elde edilen dü§üm trefoil yani 31 dir. Buradaki (2, 0) ise Hopf zinciridir.
Tangle i³lemleri birlikte de kullanlabilir.
93
Yani bu
N (A + B) = K
i³lemi sonucunda elde edilen
K
bir dü§ümdür.
Ayrca iki rasyonel tangle'n toplam her zaman bir rasyonel tangle verme-
yebilir. ³te tam bu noktada i³lemi nasl yürüyece§ini dü³ünebiliriz; fakat iki
rasyonel tangle'n toplamnn pay kapanmas 4-plat isimli bir dü§üm verir ve
bu DNA modellemesinde oldukça önemli bir konudur.
7.11
4-Plat
Bir 4-plat dört ³eridin örülmesi ve bitim noktalarnn a³a§daki ³ekilde gösterildi§i gibi ba§lanmas ile elde edilen dü§ümdür. 4-plat ler genelde 2-köprülü
yasa rasyonel dü§ümler olarak bilinir. Sekizden daha az çaprazlamas olan
tüm asal dü§ümler ve yediden daha az çaprazlamal iki bile³enli asal zincirler
4-plattir. 4-plat dü§ümler tpk rasyonel tangle'lar gibi tamsayl vektörlerce
ifade edilebilir. 4-plat vektörü tek sayda bile³eni olan vektörlerdir ³öyle ki;
hc1 , . . . , c2k+1 i
her
i
için
ci ≥ 1
dir ve ve buradaki her tamsay bile³eni ³er-
itler bir yarm kaydrmay temsil eder. Yani rasyonel tangle'lara oldu§u gibi
vektörler 4-plat diyagram çizmek için de kullanlabilir. Bunu yaparken ³u
yolu izleriz: dört ³eritle ba³larz ardndan ortadaki lifde
drma yaparz ardndan en üstteki iki lifde
c2
c1
kadar yarm kay-
kadar yarm kaydrma yaparz
daha sonra da yine ortadaki iki ³erite ayn i³lemi uygularz ve bu i³leme vektördeki tüm tamsayl bile³enleri bitirinceye kadar devam ederiz. Son olarak
bitim noktalarn ³ekilde gösterildi§i gibi birle³tirelim.
4-plat'in bu ³eklinde ifade edilmesine Conway sembolü denir ve 4-plat'in
minimal diyagramna denk gelir.
Teorem 7.11.1. ki 4-plat e³ittir ancak ve ancak ayn conway sembollerine
sahiplerdir ya da e§er biri di§erinin tam olarak tersi olan bir Conway sembolüne sahipse yani birinin Conway sembolü
Conway sembolü
hc2k+1 , . . . , c1 i
³eklinde olur.
94
hc1 , . . . , c2k+1 i
iken di§erinin
ekil 7.6: 4-plat çizimi
Conway sembolü
0<β<α
masnda kullanlr.
³eklinde hesaplanr.4-plat
olmak üzere
β
rasyonel saysnn hesaplanα
1
β
=
1
α
c1 + c2 +...
β
says
α
b(α, β)
olarak gösterilir.
b(α, β) ve b(α, β) denktir ancak ve ancak α = α
β ±1 ≡ β(modα)
Örne§in; b(17, 5),b(17, 7) 4-plat'leri incelersek b(17, 5) (3, 2, 2)e, b(17, 7) de
(2, 23)e kar³lk gelir. Sonuç olarak bu iki 4-plat'in denk olduklar görülür.
−1
Zaten 17 = 17 ve 5
≡ 7(mod17) olmasndan da denk olduklar kolayca
Teorem 7.11.2. ki 4-plat
ve
görülebilir.
Rasyonel saylarn kullanm bakmndan rasyonel tangle ve 4-plat ler oldukça benzerdir. E§er verilen
β
rasyonel says
α
0<
β
α
< 1 aral§nda ise
β
rasα
b(α, β) 4-plat'ini verir ve e§er verilen αβ says
β
≥ 1 aral§nda ise αβ rasyonel tangle'nn pay kapan³ ise b(β, −α) 4-plat'ini
α
verir. Herhangi bir x tamsays için D((d1 , . . . , d2k+1 , x)) = hd1 , . . . , d2k+1 i ve
N ((d1 , . . . , d2k+1 , x, 0)) = h−d1 , . . . , −d2k+1 i olur. Daha öncede bahsetti§miz
yonel tangel'nn payda kapan³
gibi iki rasyonel tangle'n toplamnn pay kapan³ bir 4-plat idi. Bir sonraki teoremimiz ise rasyonel tangle'larn pay kapan³ ile elde edilen rasyonel
dü§ümlerin denkli§i ile ilgili bilgi verecek.
p
p0
ve 0 indirgenmi³ kesirleri ile verilen iki rasyonel tangle
q
q
p
p0
alalm. E§er N ( ) ve N ( 0 ) tangle'larn pay kapanmas sonucu elde edilen
q
q
Teorem 7.11.3.
rasyonel dü§ümler olmak üzere bu dü§ümler birbirlerine kar³lk geliyorsa
0
N ( pq ) ve N ( pq0 ) topolo jik
q 0 (modp) oluyorsa.
olarak denktir ancak ve ancak
95
p = p0
ve
q ±1 ≡
7.12
Tangle Denklemlerinin Çözümü
Daha önceki bölümlerde de gördü§ümüz gibi tangle denklemleri
da zincir,
A ve B
tangle olmak üzere
N (A + B) = K
K
dü§üm ya
³eklindeki denklemlerdi.
³te bu demklemlerin çözümü enzim mekanizmalarn daha iyi anlamamz için
yardmc olacaktr.
Lemma 7.12.1. ki rasyonel tangle
i³lemi
b(α, β)
A1 =
A2 = αβ22 verilsin. N (A1 +A2 )
α = |α1 β2 + α2 β1 | olur ve β
β1
ve
α1
³eklinde bir 4-plat tanmlar ve
a³a§daki gibi tanmlanr:
1.
α=0
ise
β = 1;
2.
α=1
ise
β = 1;
3.
α > 1 ise β ³u ³ekilde elde edilir: 0 < β < α ve σ = sign(α1 β2 + α2 β1 ) ve
α20 ve β20 nin αβ22 tangle'nn 2. sütunun bile³enleri oldu§u yerde β ≡ σ(α1 α20 +
β1 β20 )(modα) ³eklinde bulunur.
23
A1 = 2 ve A2 = 17
olarak alalm. α = |1×23+17×2| = 57 olur. Örnek8.1
23
= 17 tangle'nn matrisini bulmu³tuk ve a³a§daki gibiydi:
1 1
1 0
1 1
1 0
23 4
u v0
=
=
v u0
0 1
2 1
0 1
5 1
17 3
β
de
α
α20 ve β20 de§erlerini bulabiliriz. β = (1×4+2×3)(mod57) = 10 olarak
hesaplanr. Sonuç olarak i³lemin sonucu N (A1 + A2 ) = b(57, 10) bulunur.
buradan
A = αβ = (a1 , . . . , a2n ) bir rasyonel tangle ve K = hc1 , c2 , . . . , c2k+1 i
bir 4-plat olsun. N (X + A) = K 6= h0i denkleminin rasyonel tangle çözümü:
r herhangi bir tamsay olmak üzere X = (c1 , . . . , c2k+1 , r, −a1 , . . . , −a2n ) ya
da X = (c2k+1 , . . . , c1 , r, −a1 , . . . , −a2n ) olur.
E§er K = h0i ise X = (−a1 , −a2 , . . . , −a2n ) tek çözümdür.
Teorem 7.12.1.
A1 ve A2 iki farkl rasyonel tangle ve K1 ve K2 de 4-plat olsun. N (X +
A1 ) = K1 ve N (X + A2 ) = K2 denklemlerinin en fazla iki farkl rasyonel
tangle çözümü vardr.
spat
X = uv , A1 = αβ11 , A2 = αβ22 , K1 = b(α, β) ve K2 = b(α0 , β 0 ) olsun. Lemma11.1
0
den α = |vβ1 + α1 u| ve α = |vβ2 + α2 u| olarak bulunur. (u, v)-düzleminde
u
bu denklemler iki paralel çifti belirtir.
= −u
oldu§undan bu dört nokta
v
−v
96
bu denklem sistemi için en fazla iki farkl rasyonel tangle belirtir.
A2 =
5
,K1
17
= b(5, 3)
ve
K2 = b(29, 17)
A1 =
1
,
3
olsun.
|v + 3u| = 5
|5v + 17u| = 29
Bu denklem sisteminin çözümü:
v + 3u = 5
5v + 17u = −29
buradan
27
X = − 86
çözümünü elde ederiz. Bir di§er çözüm de:
v + 3u = 5
5v + 17u = −29
buradan da
7.13
27
X = − 86
bulunur.
Özel Bölgeli Rekombimasyon
Deoksiribonükleik asit (DNA) hücre çekirde§i içinde skca paketlenmi³ uzun
ve ince moleküllerdir. Dubleks DNA iki ³eritten meydan gelir. Ve bu ikili ³erit
iki ³eker fosfat zinciri molekülün d³ ksmn olu³tururken, hidro jen ba§l yass
baz çiftleribunlar ba§lar. DNA yapsndaki dört baz A-adenin, G-guanin,
C-sitozin ve T-timin dir. Ve bunlar birbirine hidrojen ba§larla ba§lanr. A
yalnzca T ile, C ise yalnzca G ile ba§lanr. ³te bu yapya DNA'nn ikili
sarmal yaps denir. Bir satrdaki hareri okuyarak di§er satra gelecek olan
hareri tahmin edebiliriz. ³te okunan bu tek ³eride DNA'nn genetik dizisi denir. DNA sarmal ³ekilde sa§-el kuralna göre yarm kvrlma yapar. Bu
her yarm kvrlmaya supercoil denir. Daha öncede bahsetti§miz gibi DNA
birtakm hayati enzim aksiyonlar sayesinde topolo jik olarak i³letilir. Bu enzimatik aksiyonlardan biriside Spesik-Bölgeli Rekombinasyondur.
Spesik-Bölgeli Rekombinasyon bir DNA blo§unun molekül üzerinde bir pozisyondan di§erine ta³nmasdr. Rekombinasyon ise yeniden düzenleme, gen
regülasyonu, kontrol numarasnn kopyalanmas ve genin tedavisi için kullanlr. Bu uygulama recombinase asl enzim tarafndan yaplr. DNA'nn genetik dizisinin küçük bir parças recombinase tarafndan etkilenmi³ olursa
bu parçaya rekombinasyon bölgesi denir. Ayn moplekül ya da farkl molekül
üzerindeki bölge çifti bir enzim tarafndan ba§lanr. Bu reaksiyon a³amasna
sinapsis denir. DNA molekülleri ve enzim ise sinaptik kompleks tir. Rekombinasyondan önceki DNA molekülüne substrat ve rekombinasyondan sonra ise
97
product denir. Enzim DNA'ya ba§land§nda DNA'nn iki tarafn da krar
ve son ksmlarn farkl ³ekilde birbiriyle rekombine eder. Rekombinasyon
bölgeleri DNA ³eridindeki bazlara göre yön alrlar.
Enzim DNA'ya ba§lanrken rekombinasyon olay birden fazla kez gerçekle³ebilir.
7.14
Tangle Modeli
1980 de DeWitt Sumners tarafndan tantlan tangle modelin amac rekombinasyon srasnda olan olaylarn matematiksel olarak ifade edilmesidir. Bu
sayede, DNA ürün ve substratnn topolo jik ve geometrik olarak enzimin neler yapt§n ifade edebiliriz. Elektron mikrograarnda DNA lierinin birbiri
etrafnda doland§ görülebilir. 4-plat ve rasyonel tangle'lar kvrlan ³eritlerden meydana geldi§inden bunlar DNA modellemesi için oldukça uygun
adaylardr. Tangle'n tanmn hatrlarsak t'nin yönsüz yay çifti ve B nin 3-
(B, t)
küre oldu§u yerde B içine gömülmü³
çifti idi. Bir tangle enzim-DNA
kompleksinin modellemesinde kullanlabilir ³öyle ki; enzim 3-küre ve iki rekombinasyon bölgesi de iki ³erit olacak ³ekilde. Rekombinasyon olaynn en
çok gözlenen ürünü ise 4-plattir, bu oldukça akla yatkndr çünkü 4-plat ile
enzim-DNA kompleksini modelleyebilir ve de§i³iklikleri tangle denklemleri ile
ifade edebiliriz. Ancak enzim mekanizmasn tangle model ile ifade etmeden
önce bir kaç varsaym yapmalyz. lk varsaymmz enzim-DNA kompleksini tangle'larn toplam olarak ifade edece§iz. E enzim,
Ob
DNA nn enzime
ba§lanan ksm ve P de reaksiyon srasnda de§i³en ksm olsun. O nedenle
enzim-DNA kompleksini
E = Ob +P
³eklinde ifade edebiliriz. Tabii ki ayn za-
manda enzime ba§l olmayan bir DNA'ya da ihtiyacmz olacak. ³te DNA'nn
bu ³eklinin de tangle ile ifadesi de
Of
olacak. imdi ise
N (Of + Ob + P ) = K0
tangle denklemini l-elde ederiz ve bu bize substrat molekülünü verir. kinci
varsaymmz ise rekombinasyon P bölge tangle'nn rekombinasyon tarafndan döndürüldükten sonra ki halini ise R recombinant tangle' ile ifade edelim. Bu varsaym ile bir rekombinasyon ile P bölge tangle' R recombinant
tangle'na dönü³ür. A³a§da ise rekombinasyon dönü³ünden sonraki modeli
ifade edelim:
N (Of + Ob + P ) = K0
N (Of + Ob + R) = K1
(substrat)
(product)
Ayrca ³unu da unutmamalyz ki; rekombinasyon mekanizmas sabittir, substrat geometrisi ve topolojisinden ba§mszdr. Bu demektir ki; e§re tüm substrat molekülleri ayn dü§üm tipinde ise
Of , Ob , P ve R tangle'lar bir olaydan
98
di§erine de§i³mez. E§er substrat molekülleri farkl tipte dü§ümler ise yalnzca
Of
tangle' de§i³ir. Yalnz bu durumda göz önünde bulundurmamz
gereken tek istisna bölge yönlendirmesidir. Son varsaymmz tangle denklem
sistemini tarafndan verilen processive rekombinasyon modeli:
O = Of + Ob
ve O,P ve R bilinmiyorsa
N (O + P ) = K0 (substrat)
N (O + R) = K1 (birinci dönü³
sonucu ortaya çkan
ürün)
.
.
.
.
.
.
N (O + nR) = Kn
(n. dönü³ sonucu ortaya çkan
ürün)
ortaya çkar.
7.15
Örnek
2002 ylnda Mariel Vazquez ve De Witt Sumners Gin spesik-bölgeli rekombiinasyonu analiz edebilmek için tangle modeli kullandlar. Bu böl§mde
onlarn bulu³larndan bahsedece§iz. Bu tangle modelin spesik-bölgeli rekombinasyon için kullanld§ yalnzca bir örnektir. Gin,Mu adl bir bakteriyofaj tarafndan kodlanan bir spesik-bölgeli rekombinasyon i³lemidir. Bakteriyofaj, bakterileri etkileyen virüslerdir. Faj genomu gix L ve gix R olarak
adlandrlan iki rekombinasyon bölgesine sahiptir. Biri DNA'ya ba§lanr ve
Gin her iki taraf da krar, bitim noktalarn yönlendirir ve bunlar birle³tirir. Gin, çift ba§lanma srasnda birden daha fazla rekombinasyon meydana
getiren processive rekombinassyon ile etki gerçekle³tirir. Gin rekombinasyonun dü§ümsüz substrat molekülü üzerindeki tangle analizinin sonuçlar ters
olarak gix bölgelerinde a³a§daki gibi tekrar edilir:
K0 = h1i (dü§ümsüz)
K1 = h1i (dü§ümsüz)
K2 = h3i = 31 (trefoil dü§ümü)
K3 = h2, 1, 1i = 41 (8-gür dü§ümü)
K4 = h2, 2, 1i (5-twist dü§ümü)
2004 ylnda De Witt Sumners ve Mariel Vazquez yukardaki dört denklemin
çözümünü veren bir sonuç ke³fetti ve tam olarak be³inci denklemi tahmin
ettiler.
Teorem 7.15.1. A³a§daki denklem sisteminin O,P,R tangel'lar için çözümü
olan
1.
(O, R)
N (O + P ) = h1i =dü§ümsüz
99
2.
N (O + R) = h1i =
3.
N (O + R + R) = h3i =trefoil dü§ümü
ya ((−2, 0), 1) ya da ((4,1),(-1))dir. Ayrca
4.
dü§ümsüz
N (O + R + R + R) = h2, 1, 1i =8-gür
ise
(O, R) = ((−2, 0), (1))
e§er
dü§ümü
³eklinde bir tek çözüm vardr.
Biz burada O ve R nin rasyonelli§ini kontrol etmedik bunun yerine tangle
denkleminin nasl çözüldü§ünü inceledik.Daha önce verilen bir lemmada
β1
ve
α1
A1 =
β2
gibi iki rasyonel tangle verildi§inde
α2
A2 =
α = |α1 β2 + α2 β1 | alnN (A1 + A2 ) ³eklinde ve b(α, β) 4-plat'in e³it oldu§unu bulmu³tuk.
Yukarda verilen (2) ve (3) denklemlerinden a³a§daki sistemi elde edebiliriz:
d§nda
|u + rv| = 1
|yu + 2rv| = 3
u,r,v bilinmeyen de§erlerdir.
( uv , r) sral ikilisi için on farkl çözüm elde edeb-
(O, R) tangle çifti için on farkl çözüm elde ederiz. Bu çözümler
((−2, 0), (1), ((1), (−2)), ((5), (−4)), ((−2, −2), (2)), ((4, 1), (−1)) ve bunlarn
iliriz. Böylece
ayna yansmalardr. Bir sonraki teorem yardmyla bu sonuçlarn bir ksmn
eleyebiliriz.
Teorem 7.15.2. Bir sonraki teoremde verilen
(1), (2), (3)
denklemlerinde
verilen tangle'lar ters olarak tekrar edilen bölgeli Gin rekombinasyonundan
gelirler. Ve bunlar a³a§da verdi§imiz özellikleri sa§lar:
O ≈ (0, 0), R ≈ (1), P ≈ (0).
O ≈ (0, 0) oldu§undan ve integral tangle (0),(1) ile e³li§i oldu§undan O integral tangle' için elde edilen sonuçlar yok sayabiliriz. Ek olarak, e§er R ≈ (1)
ise integral tangle'lar (0) e³li§ine sahip olmasndan dolay R = (2) çözümünden de kurtulabiliriz. Ayn zamanda (3) denkleminin dü§üm ürünü chiral
oldu§undan ayna yansmalarn da yok sayabiliriz. Böylece yalnzca iki çözümümüz kalr ve bunlardan da yalnz birisi (4) denklemini sa§lar.
Bu tangle analizinin ³§nda Sumners ve Vazquez Gin gix bölgeleri ile bir
substrata etki etti§inde herbir rekombinasyona kar³lk gelen dönü³te enzim
mekanizmas substrata bir pozitif çaprazlama ekler.
Teorem 7.15.3. A³a§daki denklem sisteminin O,P,R tangel'lar için çözümü
olan
(O, R)
1.
N (O + P ) = h1i =dü§ümsüz
2.
N (O + R) = h3i =trefoil
dü§ümü
100
3.
4.
N (O + R + R) = h1, 2, 2h=(-5)twist dü§ümü
ya ((−2, 0), (2)) yada ((2, 1, 1, 2), (−2)) olur Bunna
N (O + R + R + R) = h1, 4, 2i =(-7)twist
ise (O, R) = ((−2, 0), (2)) olur ve
5. her
n≥4
içi
N (O + nR) =-(2n+1)twist
ek olarak e§er
dü§ümü
dü§ümü olur.
Bu örnekte tangle model Gin mekanizmasnn yapsnn matematiksel olarak gösterimi için kullanld. Ve sonuç olarak bu bize gösterir ki; ters olarak tekrarlanan rekombinasyon bölgeleri tangle'a
R = (+1)
(1)
ekler ba³ka bir deyi³le
olur. Direk olarak tekrarlanan bölgelerde ise
101
R = (+2)
olur.
Kaynakça
[1] Colin C. Adams, The Knot Book: An Elemantery Inroduction to Mat-
hematical Theory of Knots, American Mathematical Society, 2004.
[2] Colin Adams and Robert Franzosa, Introduction to Topology, Pearson
Prentice Hall Inc., 2008.
[3] Glen E. Bredon, Topology and Geometry, Springer-Verlag, New York,
1993.
[4] Stephan C. Carlson, Topology of Surfaces, Knots, and Manifolds, John
Wiley
Sons, Inc, 2001
[5] Fred H. Croom, Baisc Concepts of Algebraic Topology, Springer-Verlag,
New York, 1978.
[6] Sue E. Goodman, Beginning Topology, American Mathematical Society,
2009.
[7] William S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topology, SpringerVerlag, New York, 1991.
[8] John McCleary A First Course in Topology, American Mathematical
Society, 2006.
[9] Robert Messer and Philip Stran, Topology Now!, The Mathematical
Association of America, 2006.
[10] James R. Munkres, Elements of Algebraic Topology, Springer-Verlag,
New York, 1984.
[11] Joseph J. Rotman An Introduction to Algebraic Topology, SpringerVerlag, New York, 1998.
[12] Brian Sanderson, Lecture Notes (Knot Theory MA3F2), 2006.
[13] Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, Springer-Verlag, New York
2008.
102

GEOMETR K TOPOLOJ

Transkript

Benzer belgeler

Dergi A4 - ARI Magazin

HABER tığ TEBER

RE/MAX Turkey

Contents: Sogut, Bilal / Onsoz Ozyigit, Omer / Sevgili Ahmet