Kalite Kontrol Diyagramlarında Varsayımların Sağlanması Ve Cam

KALİTE KONTROL DİYAGRAMLARINDA VARSAYIMLARIN SAĞLANMASI VE
CAM SANAYİİNDE BİR UYGULAMA
Dr. Çiğdem ARICIGİL ÇİLAN∗
ÖZET
Bilindiği gibi kalite kontrol diyagramları istatistik proses kontrolünde en sık kullanılan
araçlardan biridir. Ancak diyagramların doğru olarak uygulanabilmesi bazı varsayımların
sağlanması ile mümkündür. Uygulamada sıkça gözardı edilen bu varsayımların (normallik, eş
varyanslılık, ardışık bağımlılık olmaması, çoklu bağlantı olmaması); tek değişkenli ve çok
değişkenli kalite kontrol ayrımı göz önünde bulundurularak nasıl araştırılacağı ve sonuçlar
üzerindeki etkileri incelenecektir.
ABSTRACT
As known, the diagrams of quality control is one of frequently used means in statistics
process control. However the appropriate application of diagrams is possible through proving
some hypotheses. How these hypotheses frequenty ignored at application phase,(normality,
homoscedasticity, autocorrelation, multicollinearity); will be researched by taking into
consideration the distinction of univariate and multivariate quality control and also their
influence over result will be analysed.
Giriş
Globalleşmeyle birlikte rekabet kavramının önemi her geçen gün artmakta ve serbest
piyasa ekonomisine sahip olan tüm işletmeleri varlıklarını devam ettirme çabası göstermeye
yöneltmektedir. İşletmeler rekabet edebilmek için koşullarını yeniden inceleyerek farklı
önlemler almak amacıyla sürekli yeni stratejiler geliştirmeye çalışmaktadır. İşletmelerin
önceliği olan en yüksek kara sahip olma amacı yerini varlığını sürdürmek, en iyi olmak,
rekabet edebilmek, dünya çapında bir işletme olmak unsurlarına bırakmıştır. Bu amaçla
uygulanan işletme stratejilerinden biri de kalitesi yüksek düzeyde mal ve hizmet üretmektir.
Kalitenin kontrol edilmesi için birtakım istatistik yöntemler araç olarak kullanılmaktadır.
Proseslerin kontrol edilmesinde kullanılan yöntemler, istatistik proses kontrol araçları (çetele
∗
İ.Ü., İşletme Fakültesi, Sayısal Yöntemler Anabilim Dalı
diyagramı, pareto diyagramı, neden-etki diyagramı, histogram, hata odaklı diyagram, serpilme
diyagramı, kontrol diyagramı) olarak bilinmektedir. Kontrol diyagramları, prosesteki
değişimin görsel olarak sürekli izlenebilmesini sağladığından ve kolay uygulanıp
yorumlanabildiğinden bu araçlar içersinde en sık kullanılanlardan biridir. Diyagramlar
değişken sayılarına göre; tek değişkenli ve çok değişkenli, değişkenin türüne göre; kalitatif
değişkenlere
ve
kantitatif
değişkenlere
uygulanan
kontrol
diyagramları
olarak
sınıflandırılabilmektedir.
Kantitatif değişkenlere uygulanan tek ve çok değişkenli kontrol diyagramları
çizilmeden önce sağlanması gereken çeşitli varsayımlar bulunmaktadır. Uygulamada
genellikle göz ardı edilen bu varsayımlar diyagramların doğru çizilebilmesi için oldukça
önemlidir1.
Varsayımların
sağlanamaması,
hesaplanan
kontrol
limitlerinin
gerçek
değerlerinden uzaklaşmasına neden olabilmektedir. Özellikle normallik ve birimlerin
birbirinden bağımsızlığı varsayımları bunlar içersinde en önemli olanlarıdır.
1. Çalışmanın Amacı ve Kapsamı:
Çalışmada tek ve çok değişkenli kontrol diyagramı ayrımı göz önünde bulundurularak
varsayımların sağlanıp sağlanamadığının nasıl kontrol edileceği, sağlanamaması durumunda
önerilen çözümler ve varsayımların kontrol limitleri üzerindeki etkisi cam sanayiinde
gerçekleştirilen bir uygulama ile incelenmektedir. Uygulama, 4 kalite göstergesi olan
(X1:Taban et kalınlığı, X2: Uzun kenar dıştan dışa uzunluk, X3: Kısa kenar dıştan dışa,
X4:Yükseklik) cam bir tepsi üzerinde gerçekleştirilmektedir.
Kontrol diyagramlarının çizilmesi iki aşamada gerçekleştirilmektedir. I.Aşama
varsayımları sağlayan “aykırı” gözlem içermeyen örnek kümesinin oluşturulmasını, II. Aşama
ise I. Aşamada belirlenen örnek kümesi temel alınarak hesaplanan kontrol limitlerinin, kontrol
amacıyla çekilen örneklere uygulanmasını sağlamaktadır. Çalışmada örnek büyüklüğü 16 olan
41 örnek I. Aşamayı gerçekleştirmek, yine örnek büyüklüğü 16 olan 40 örnek ise prosesi
kontrol etmek amacıyla (II. Aşama) incelenmektedir. Çalışmada prosesin ortalamasındaki
değişim tek değişkenli durumda x -diyagramı
(tek değişkenli durumda öncelikle R-
diyagramlarının kontrol altında olup olmadığı araştırılarak), kalite göstergeleri arasında
1
T.P. Ryan, Statistical Methods for Quality Improvement, John Wiley&Sons, New York, 1989, s. 132.
doğrusal ilişkiler saptanması durumunda ise (anlamlı korelasyon katsayıların bulunması
durumunda) Hotelling T2 diyagramı temel alınarak araştırılacaktır.
2. Kontrol Diyagramlarında Normallik Varsayımı
Kontrol
diyagramlarında
normallik
varsayımının
geçerliliği,
tek
değişkenli
diyagramlarda ( x , R , x , s, s 2 v.b.) tek değişkenli, çok değişkenli diyagramlarda (Hotelling T2,
MEWMA,MCUSUM, v.b.) ise çok değişkenli normal dağılımın varlığı araştırılarak
incelenmektedir. Her iki durum için önerilen grafik yöntemler ve testler bulunmaktadır.
2.1 Tek Değişkenli Kontrol Diyagramlarında Normallik Varsayımı
Tek
değişkenli
normal
dağılım
varsayımının
sağlanıp
sağlanamadığının
araştırılmasında kullanılan pek çok grafik ve test bulunmaktadır2: En sık kullanılan grafikler,
histogram, kutu grafiği, dal-yaprak gösterimi, Q-Q grafiği, P-P grafiğidir3. Uygulamada
genellikle
Q-Q grafiği kullanılmaktadır. Grafiğin çizilebilmesi için gözlenen değerler
küçükten büyüğe sıralanmakta ve beklenen normal dağılım değerleriyle karşılaştırılmaktadır.
Q-Q grafiğinde, normal dağılım formu doğrusal bir çizgi şeklindedir. Grafiği çizilen değişken
doğrusal çizgiyle karşılaştırılmakta ve dağılım normal ise, gözlenen değerler doğrusala yakın
bir dağılım göstermektedir. Yöntemin uygulanması kolay olsa da, küçük örnekler için uygun
bulunmamaktadır. Q-Q grafiğinin doğrusal olup olmadığının kararı subjektiftir. Bu nedenle
grafiğin doğrusal olup olmadığına karar verebilmek için gözlenen değerlerle, beklenen normal
dağılım değerleri arasındaki korelasyon katsayılarına bakılmaktadır. Katsayı yüksek ve
anlamlı ise tek değişkenli normalliğin sağlandığı söylenebilmektedir. Tek değişkenli
normalliğin testinde asimetri ve basıklık ölçüleri, χ 2 , Kolmogorov-Smirnov, Jarque-Bera,
Shapiro-Wilks gibi uygunluk testleri kullanılmaktadır. Bilindiği gibi χ 2 uygunluk testinin
uygulanabilmesi için her iki özelliğin şıklarına ait frekansların 5’ten büyük olması koşulu
aranmakta bu nedenle büyük örneklerin gözlenmesi gerekmektedir. Kolmogorov- Smirnov
testi böyle bir koşula dayanmadığından uygulamada sıklıkla kullanılmaktadır. Çalışmada
Kolmogorov-Smirnov testi temel alınmaktadır.
2
B.G. Tabachnick, L.S.Fidell, Using Multivariate Statistics, 3. baskı, California, Haper Collins College
Publisher, 1996, s. 71.
3
S. Sharma, Applied Multivariate Techniques, U.S.A., John Wiley &Sons, Inc., 1996, s. 376.
Uygulanan grafik yöntemler ve istatistik testlerin sonucunda normal dağılmayan kalite
göstergelerine dönüşüm uygulanabilmektedir. Dönüşümler kalite göstergesinin çarpıklığına
ve basıklığına bağlı olarak sınıflandırılabilmektedir4.
Grafik 1 Normallik İçin Uygulanan Dönüşümler
Dönüşümler sonucunda normallik sağlanamıyorsa doğru kontrol limitlerinin
bulunabilmesi için Chebyshev Teoremi de kullanılabilmektedir.5 Teoreme göre X değişkeni,
4
J. Stevens, Applied Multivariate Statistics for the Social Sciences, 3. baskı, New Jersey, Lawrence Erlbaum
Associates. Inc., 1996, s. 246.
dağılıma bakmaksızın (1 − 1/ k 2 ) olasılıkla ( X − kσ < x < X + kσ)
aralığında yer almaktadır.
(k, k>1 koşulunu sağlayan bir sabit olarak tanımlanmaktadır.)
Burr (1967), normal dağılımdan çok fazla sapma olmadığı sürece R ve x -diyagramları
için hesaplanan kontrol limitlerinin kullanılabileceğini iddia etmektedir. Kalite göstergelerinin
normal dağılımın dışında bir dağılım göstermesi durumunda yine Burr tarafından
diyagramların limitlerinin hesaplanmasında kullanılan D3 ve D4 sabitleri yerine 28 dağılım
için önerilen sabit değerler bulunmaktadır. Bu
değerler kontrol diyagramlarının (±3 σ )
limitlerinin oluşturulmasında kolaylık sağlamaktadır. Ancak oluşan limitler olasılık limitleri
değildir ve bir noktanın limitlerin dışında olma olasılığı bilinmemektedir. s ve s2 diyagramları
da normal dağılımdan sapmaya karşı oldukça hassastır ve bunların limitlerinin
hesaplanmasında R diyagramındaki kolaylıklar geçerli olmamaktadır. Konuyla ilgili
literatürdeki bazı çalışmalarda normal dağılmayan veya normal dağılıma yakın olmayan kalite
göstergeleriyle çizilen tek değişkenli kontrol diyagramlarının güçlü (robust) sonuçlar verdiği
iddia edilmektedir. Ancak bu iddialar örnek büyüklüğünün birden büyük (n>1) olduğu
durumlar için geçerlidir6. Değişen örnek büyüklükleri (“adaptive sample size”) ile
çalışıldığında ve örnek büyüklüğü küçük olduğunda diyagramlar güçlü (robust) olma
özelliklerini koruyamamaktadır.
2.2 Çok Değişkenli Kontrol Diyagramlarında Normallik Varsayımı
Çok değişkenli istatistik analiz yöntemlerinin büyük çoğunluğunda örneklerin çok
değişkenli normal dağılımlı anakütlelerden geldiği kabul edilmektedir. Bu varsayım bazı
işlemlerin ve sonuçların yorumlanmasını kolaylaştırmanın ötesinde dağılım teorisi açısından
da gerekli görülmektedir7.
Çok değişkenli normal dağılım, tek değişkenli normal dağılımın p≥2 (p:değişken
sayısı) boyutu için genelleştirilmiş şeklidir. Çok değişkenli istatistik yöntemlerin çoğu, çok
değişkenli
normal
dağılım
varsayımına
dayanmaktadır.
Çok
değişkenli
kontrol
diyagramlarının çizimi de çok değişkenli istatistiklerin hesaplanmasına dayandığından, kalite
5
R.L. Mason, J.C. Young, Multivariate Statistical Process Control with Industrial Applications, Virginia,
American Statistical Association, 2002, s. 48.
6
I.W. Burr, “The Effect of Non-Normality on Constants for x and R Charts, Industrial Quality Control, 1967,
s. 563-569.
E.G. Schilling, P.R. Nelson, “The Effect of Non-Normality on the Control Limits of x Charts”, Journal of
Quality Technology, C.VIII, 1976, s. 183-188.
7
H.Tatlıdil, Çok Değişkenli İstatistiksel Analiz, Ankara, Akademi Matbaası, 1996, s. 53.
göstergelerinden oluşan veri kümelerinde çok değişkenli normal dağılımın varlığı
araştırılmaktadır.
Çok değişkenli normal dağılımın sağlanıp sağlanamadığının belirlenmesinde
kullanılan doğrudan bir test bulunmamaktadır8. Analitik ve grafik yöntemler kullanılmaktadır.
Mahalinobis uzaklığı
[ d 2j = ( x j − x ) ′S −1 ( x j − x ) ] ( j=1,2,3,…,m) yardımı ile normallik
araştırılabilmektedir. Anakütlenin çok değişkenli normal dağılması, n veya np’nin ≥ 25 veya
30
olması durumunda her uzaklık dj2 (d12, d22,…, dm2) bir χ2 tesadüfi değişkenine
benzemektedir. Ancak uzaklıklar (dj2), birbirlerinden bağımsız olmamakta ve kesin bir χ2
dağılımı
göstermemektedir9.
dj2
değerleri
ile
çizilen
grafik
χ2-grafiği
olarak
adlandırılmaktadır. Çok değişkenli normal dağılım varsayımının araştırılması amacı ile
oluşturulacak χ2- grafiğinin çizilebilmesi için aşağıdaki adımların izlenmesi gerekmektedir10:
- Hesaplanan dj2 değerleri küçükten büyüğe doğru sıralanır(d12<d22<,…, <dm2)
- [χ2p,[(m-j+1/2)/m] ,dj2] ikililerine ilişkin bir grafik çizilir.
Çok değişkenli normalliğin sağlandığı bir veri kümesinde grafiğin, eğimi 1 olan
doğrusal bir çizgi şeklinde olması gerekmektedir. Sistematik bir eğilim normallikten sapma
olduğunu göstermektedir. Çok değişkenli normalliğin sağlanabilmesi için dj2 değerlerinin
yaklaşık yarısının χ p2 ,0.50 değerinden küçük olması beklenmektedir11. χ2-grafiğinde yer alan dj2
ve χ2 değerleri arasında hesaplanan yüksek bir korelasyon katsayısı, çok değişkenli normal
dağılım varsayımının varlığını desteklemektedir12.
Çok değişkenli normalliğin sağlanması durumunda genellikle her değişkenin tek
değişkenli normal dağılma uyduğu görülmektedir. Ancak tüm değişkenlerin tek değişkenli
dağılıma uygun olması veri kümesinin çok değişkenli normal dağılıma uygun olduğunu
garanti etmemektedir. Böyle bir yaklaşım çok değişkenli normalliğin araştırılmasında iyi bir
başlangıç noktası olarak kabul edilmekte ve en temel yöntem olarak bilinmektedir13. Bu
8
J.F. Hair, R.E. Anderson, R.L. Tatham, W.C. Black, Multivariate Data Analysis, 5.baskı, New Jersey,
Prentice Hall, 1998, s .348.
9
R. A. Johnson, D.W.Wichern, Applied Multivariate Statistical Analysis, 4 baskı, New Jersey, Prentice Hall,
1998, s. 196.
10
Johnson, Wichern, a.g.e., s. 196.
11
Johnson, Wichern, a.g.e., s. 199.
12
Sharma, a.g.e., s. 382.
13
A.Nijhuis, S. Jong, B.G.M. Vandeginste, “The Application of Multivariate Quality Control in Gas
Chromatography”, Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, C.XLVII, No:1, 1999,
s. 110
nedenle veri kümesindeki değişkenlerin tek değişkenli normal dağılıma uyması, çok
değişkenli normal dağılımın sağlanmasına yardımcı olmaktadır14. Dolayısıyla çok değişkenli
normalliğin sağlanıp sağlanamamasının araştırılmasında tek değişkenli normalliğin sınanması
önemli olmaktadır. Sonuç olarak veri kümesi çok değişkenli normal dağılıma uymuyorsa, tek
değişkenli normal dağılmayan değişken araştırılmakta ve gerekli dönüşümler yapılarak
normallik sağlanmaktadır15.
3. Tek ve Çok Değişkenli Kontrol Diyagramlarında Gözlem Değerlerinin
Bağımsızlık Varsayımı (Otokorelasyon Olmaması)
Gözlemlerin bağımsızlığı varsayımı (otokorelasyonun olmaması), tek ve çok
değişkenli kontrol diyagramlarının en temel varsayımlarından biridir ve diyagramların doğru
çizilebilmesi için oldukça önemlidir.16
Bilindiği gibi otokorelasyon, çapraz kesit verilerinde veya zaman serilerindeki birimlerin
değerleri arasındaki bağımlılık derecesini ölçen korelasyon katsayısı olarak tanımlanmakta17 ve
otokorelasyon olması durumunda yapılacak tesadüfiliğe dayanan aralık tahminleri ve istatistik testler
geçerliliklerini kaybedeceğinden, kontrol sürecinde ciddi sorunlarla karşılaşılabilmektedir. İncelenen
kalite göstergesinde otokorelasyon olup olmadığı çeşitli uzunluktaki kaydırmalarla Q testi
(Portmanteau Testi olarak da bilinmektedir) ve “t benzeri testi” kullanılarak araştırılabilmektedir.
Kalite göstergesinde otokorelasyon olması durumunda “Otoregresif Modeller (AR)” ve/veya
geçmiş dönem hatalarının doğrusal kombinasyonlarının kullanıldığı “Hareketli Ortalama Modelleri
(MA)” ’inden hata kareleri toplamı en az olanı seçilerek uygun bir zaman serisi modeli
oluşturulmaktadır18. Bu modelin artıklarıyla (et) tek değişkenli kontrol diyagramının çizilmesi
önerilmektedir. Ancak artıklara uygulanan kontrol diyagramındaki tüm et’lerin kontrol altında
S. Looney, “How to Use Tests for Univariate Normality to Assess Multivariate Normality, The American
Statistician, C.XLIX, No:1, 1995, s. 64.
14
Stevens, a.g.e., s. 262.
15
Shama, a.g.e., s. 376.
16
A. Oğuzlar, “Hotelling T2 Grafiği ve Bir Uygulama”, Uludağ Üniversitesi İktisadi İdari Bilimler Fakültesi
Dergisi, C. XVII, No:1-2, 1999, s. 1.
17
P.J. Brockwell, R.A. Davis, Introduction to Time Series and Forecasting, U.S.A., Springer Verlag, 1996, s.
44.
18
N. Orhunbilge, Zaman Serileri Analizi Tahmin ve Fiyat İndeksleri, İstanbul, İ.Ü. İşletme Fakültesi Yayını,
1999 s. 143-152.
olmaması oluşturulan modelin doğru olmadığını yanlış tanımlandığını göstermektedir. Bu durum
otokorelasyon sorununun ortadan kaldırılamadığı anlamına gelmektedir19.
Çok değişkenli veri kümelerinde otokorelasyonun saptanması durumunda, birçok araştırmacı
çok değişkenli kontrol diyagramları yerine tek değişkenli kontrol diyagramlarının uygulanmasını
önermektedir20. Otokorelasyonlu çok değişkenli veri kümesi için, önerilen diğer bir yaklaşım,
otokorelasyonlu değişken(ler)e uygun ARIMA modelinin seçilip, değişken(ler)in bağımlı oldukları
dönem sayısı kadar gecikmeleri alınarak, veri kümesine gecikmeli değişkenleri eklemektir. Örneğin
x1t, x2t, x3t değişkenlerinden oluşan veri kümesinde x1 otokorelasyonlu olarak kabul edildiğinde ve x1
için en uygun modelin AR(1) olduğu varsayıldığında veri kümesine (x1t, x2t, x3t ) x1t-1 değişkeni
eklenmektedir. Yeni oluşan veri kümesiyle (x1t, x2t, x3t x1t-1) çok değişkenli kontrol diyagramı
çizilebilmektedir21.
4. Tek Değişkenli Kontrol Diyagramlarında Kalite Göstergeleri Arasında
Bağımsızlık ve Çok Değişkenli Kontrol Diyagramlarında Doğrusallık Varsayımı
Tek değişkenli
kontrol diyagramlarının (Shewhart, CUSUM, EWMA v.b.),
kullanılmasından kaynaklanan en önemli sorun sadece tek değişkenli ve birbirinden bağımsız
değişkenlere uygulanabilmesi kısıtına sahip olmasıdır. Birden fazla kalite göstergesinin eş
anlı olarak incelenmesinde tek değişkenli kontrol diyagramlarının kullanılması özellikle
değişkenler arasında “biraz” (mildley) ve yüksek düzeyde korelasyon olduğunda proses
hakkında kısmi bilgilerin elde edilmesine neden olmaktadır22.
Çok değişkenli istatistik yöntemler doğrusal korelasyon temeline dayanmaktadır. Çok
değişkenli kontrol diyagramları da çok değişkenli istatistiklere dayandığından kalite
göstergeleri arasında doğrusal ilişkiler aranmaktadır. İlişkinin derecesi, serpilme diyagramları
ile kesin olmamakla birlikte
ortaya çıkarılabilmektedir. Ancak doğrusallığın sağlanıp
sağlanamadığının araştırılmasında doğrusal korelasyon katsayıları ve bu katsayıların
anlamlılıkları önemlidir.
19
D.C. Montgomery, C.M. Mastrangelo “Some Statistical Process Control Methods for Autocorrelated Data”,
Journal of Quality Technology, C:XXIII, No. 3, 1991, s. 180.
20
R. Mason, N. D.Tracy, J.C. Young, “Monitoring a Multivariate Step Process”, Journal of Quality
Technology, C.XXIIX, No:1, 1996, s. 39.
21
R.L.Mason, J.C.Young, “A Control Procedure for Autocorrelated Multivariate Processes", American
Statistical Association, 1997, s. 143-145.
22
C.Fuchs, R.S. Kenett, Multivariate Quality Control:Theory and Applications, New York, Marcel Dekker,
Inc., 1998, s. 78.
Uygulamada tek veya çok değişkenli kontrol diyagramlarından hangisinin
uygulanmasının uygun olacağına, kalite göstergeleri arasındaki korelasyon katsayılarının
hesaplanması ile karar verilmektedir. Anlamlı korelasyon katsayıları kalite göstergeleri
arasındaki doğrusal ilişkinin varlığını desteklerken, aralarındaki korelasyon katsayısı anlamsız
olan göstergeler bağımsız kabul edilebilmektedir.
Anlamsız olan kalite göstergeleri için daha üst dereceden fonksiyonlar denenerek var
olabilecek doğrusal olmayan ilişkilerin ortaya çıkarılması önerilmektedir. Bu durumda
öncelikle ikinci derece fonksiyonlar ile hesaplanan çoklu korelasyon katsayılarının, basit
korelasyon katsayılarından büyük ve anlamlı olup olmadıkları incelenmelidir. Katsayılar
büyük ve anlamlı ise fonksiyonun derecesi yükseltilerek daha üst dereceden fonksiyonlar
denenebilir veya değişkenlere dönüşüm uygulanarak doğrusallık sağlanabilmektedir23. Grafik
2’de önerilen dönüşümler gösterilmektedir24
Grafik 2: Doğrusal Olmayan İlişkilerin Doğrusal Hale Getirilmesi İçin
Önerilen Dönüşümler
X12
X1
X1
log X1
-1 / X1
X1
log X2
-1 / X2
X2
X22
X2
X2
(a)
(b)
log X1
-1/X1
X1
X1
X2
X12
X1
log X2
-1 / X2
X2
2
X2
(c)
24
J.F. Hair v.d., a.g.e., s. 77.
X2
(d)
5. Çok Değişkenli Kontrol Diyagramlarında Eş-Varyans Kovaryans Matrisi
Varsayımı
Çok değişkenli kontrol diyagramlarının en temel varsayımlarından biri de varyanskovaryans matrislerinin eşitliği varsayımıdır. Bu varsayımın sağlanabilmesi için, matris
cebirinden de bilindiği gibi matrisin tüm elemanlarının birbirine eşit olması gerekmektedir.
Uygulamada bu koşulun sağlanması güç görünmektedir.
Veri kümesinde yer alan örneklerin birim sayıları (n) yeterince büyük olmadığında,
varyans-kovaryans
matrislerinin
eşitliği
önem
kazanmaktadır.
Eşitlik,
varyansların
( σ ii2 i = 1,2,..., p ) ve kovaryansların ( σ ij i, j = 1,2,..., p i ≠ j ) eşit olması ile sağlanabilmektedir.
Varyans-kovaryans matrislerinin eşitliğinin test edilmesi gerekmektedir. Ancak bu
amaçla geliştirilen testler çok değişkenli normal dağılım varsayımına oldukça duyarlıdır25. Bu
nedenle öncelikle çok değişkenli normallik varsayımının sağlanması önerilmektedir26.
Uygulamada en sık kullanılan test Box-M testidir27. Çalışmada bu test temel alınarak
varsayımın sağlanıp sağlanamadığı araştırılmaktadır.
Eşitlikten sapmalar α ve β hatalarını etkilemektedir. Ancak yapılan simülasyon
çalışmaları α hatasının daha çok etkilendiğini göstermektedir28. Varsayımın gerçekleşmemesi
durumunda, çok değişkenli kontrol diyagramlarının güçlü (robust) sonuçlar verdiği iddia
edilmektedir29.
6. Uygulama Sonuçları
6.1 Kontrol Göstergeleri Arasındaki Korelasyon Yapısının İncelenmesi
Tek değişkenli ve çok değişkenli kontrol diyagramlarından hangisinin incelenen kalite
göstergelerine daha uygun olduğuna karar verebilmek için öncelikle göstergeler arasındaki
korelasyon katsayılarının incelenmesi gerekmektedir.
25
Johnson, Wichern, a.g.e., s. 238.
Stevens, a.g.e., s. 251-253.
27
R. Alpar, Uygulamalı Çok Değişkenli İstatistiksel Yöntemlere Giriş 1, 2.baskı, Ankara, Nobel Yayınevi,
2003, s. 131.
28
L.N. Holloway, O.J.Dunn, “The Robustness of Hotelling’s T2”, Journal of American Statistical Association,
C.LXII, 1967, s. 124-136.
29
W.W. Cooley, P.R.Lohnes, Multivariate Data Analysis,, New York, Wiley, 1971
26
Tablo 1:Kalite Göstergelerine İlişkin Korelasyon Matrisi
Korelasyonlar
TABETKAL
UDISDIS
KDISDIS
YUKSEK
1
-,011
,243
,014
.
41
,948
41
,127
41
,931
41
-,011
1
,158
,213
,948
41
.
41
,324
41
,182
41
,243
,158
1
-,055
Anlam. (2-tailed)
N
Pearson Korelasyon
,127
41
,324
41
.
41
,733
41
,014
,213
-,055
1
Anlam. (2-tailed)
N
,931
41
,182
41
,733
41
.
41
TABETKAL
Pearson Korelasyon
UDISDIS
Anlam. (2-tailed)
N
Pearson Korelasyon
KDISDIS
Anlam. (2-tailed)
N
Pearson Korelasyon
YUKSEK
Tablo 1’deki değerler incelendiğinde göstergelerin birbirinden bağımsız olduğu (aralarında
doğrusal bir ilişkinin olmadığı) görülmektedir. Dolayısıyla tek değişkenli kontrol
diyagramlarının çizilmesi uygun görülmektedir. Göstergelerin doğrusallaştırılabilmesi
amacıyla önerilen dönüşümler uygulanmış ancak anlamlı korelasyon katsayıları elde
edilememiştir. Literatürde çok değişkenli kontrol diyagramlarının çizilebilmesi için
göstergeler arasında doğrusal ilişkiler aranmasına rağmen Jackson ve Morris (1957)
çalışmalarında birbirleriyle ilişkili göstergelere Temel Bileşenler Analizi uygulayarak anlamlı
temel bileşenlerle çok değişkenli kontrol diyagramları çizmişlerdir. Temel bileşenlerin
birbirinden bağımsız oldukları dikkate alındığında, çizilen çok değişkenli kontrol diyagramı
sadece tek değişkenli kontrol diyagramlarında kontrol dışında olan örneklerin tek bir
diyagramda görülmesini sağlamaktadır. Ancak çok değişkenli diyagramların amaçlarından
biri olan “kalite göstergeleri arasındaki ilişkiden kaynaklanan kontrol dışı durumun
saptanması” mümkün olmamaktadır.
6.2. Tek ve Çok Değişkenli Normal Dağılımın Sağlanması
Tek değişkenli normallik varsayımının geçerliliği; “taban et kalınlığı”, uzun kenar
dıştan dışa uzunluk”, “kısa kenar dıştan dışa uzunluk”, “yükseklik” kalite göstergelerine
Kolmogorov-Smirnov testi uygulanarak araştırılmaktadır. Test sonuçları Tablo 2’de
gösterilmektedir:
Tablo 2: Kalite Göstergelerine Uygulanan Kolmogorov-Smirnov Testi Sonuçları
Kolmogorov-Smirnov Testi
N
Normal Parameters
Most Extreme
Differences
Ortalama
Std. Sapma
Mutlak
Pozitif
Negatif
tabetkal
41
6.5059
.2012
.133
.125
-.133
udisdis
41
398,669
.7607
.225
.155
-.225
kdisdis
41
268,067
.4999
.098
.098
-.095
yukseklik
41
50.5598
.2020
.066
.047
-.066
.851
1.439
.625
.425
.463
.032
.830
.994
Kolmogorov-Smirnov Z
Asimp. Anlam. (2-taraflı)
Tablo 2 incelendiğinde “uzun kenar dıştan dışa uzunluk” göstergesinin normal
dağılmadığı (0,032 düzeyinde anlamlı olduğu) görülmektedir.
Çok değişkenli normal dağılım varsayımının sağlanıp sağlanamadığı çizilecek olan
χ 2 -grafiği ile araştırılacaktır.
Grafik 3: 41 Örnekle Çizilen χ 2 -Grafiği
d-kare Değerleri
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Ki-kare Değerleri
Grafik 3 incelendiğinde bir örneğin belirgin bir şekilde “aykırı” olduğu görülmektedir. χ 2
ve d2 değerleri arasındaki korelasyon katsayısı 0,9287’dir. “Aykırı” olan örnek (10.örnek) veri
kümesinden çıkarılarak çizilen χ 2 -grafiği aşağıdaki gibidir:
Grafik 4: 10. Örnek Çıkarılarak Çizilen χ 2 -Grafiği
d-kare Değerleri
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
Ki-kare Değerleri
10. örnek çıkarılarak hesaplanan korelasyon katsayısının değerinde
(0,9230) bir
önceki durumda hesaplanan korelasyon katsayısına (0,9287) göre önemli bir değişiklik
görülmemektedir. Ancak “aykırı” olan bu örneğin veri kümesinden çıkarılması tek değişkenli
normal dağılmayan “uzun kenar dıştan dışa uzunluk” göstergesinin normal dağılmasını
sağlamaktadır.
Tablo 3:”Uzun Kenar Dıştan Dışa Uzunluk” Göstergesine İlişkin (10.Örnek Dışında)
Kolmogorov-Smirnov Testi Sonucu
N
Normal Parametreler
Ortalama
Std. Sapma
Mutlak
Pozitif
Negatif
Kolmogorov-Smirnov Z
Asymp. Anlam. (2-taraflı)
UZDISIDI
40
398,7536
,54127
,143
,125
-,143
,905
,386
10. örnek veri kümesinden çıkarıldığında tüm kalite göstergeleri tek ve çok değişkenli
normal dağılım varsayımını sağlamaktadır. Veri kümesi ile ilgili diğer varsayımlar 10 .örnek
dışındaki örnekler temel alınarak incelenecektir.
6.3 Gözlem Değerlerinin Bağımsızlık Varsayımının Sağlanması
(Otokorelasyon Olmaması)
İncelenen kalite göstergelerinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon katsayıları
aşağıdaki grafiklerde gösterilmektedir:
Grafik 5: “Taban Et Kalınlığı” Göstergesinin Otokorelasyon ve Kısmi Otokorelasyon
Katsayıları
TABETKAL
TABETKAL
1,0
,5
,5
0,0
0,0
ACF
-,5
Confidence Limits
-1,0
Coefficient
1
3
2
5
4
7
6
9
8
Partial ACF
1,0
11 13 15
-,5
Confidence Limits
-1,0
Coefficient
1
10 12 14 16
3
2
Lag Number
5
4
7
6
9
8
11 13 15
10 12 14 16
Lag Number
Grafik 6:“Uzun Kenar Dıştan Dışa Uzunluk” Göstergesinin Otokorelasyon ve Kısmi
Otokorelasyon Katsayıları
UZDISIDI
UZDISIDI
1,0
,5
,5
0,0
0,0
ACF
-,5
Confidence Limits
Coefficient
-1,0
1
3
2
5
4
7
6
Lag Number
9
8
11 13 15
10 12 14 16
Partial ACF
1,0
-,5
Confidence Limits
-1,0
Coefficient
1
3
2
5
4
7
6
Lag Number
9
8
11 13 15
10 12 14 16
Grafik 7:“Kısa Kenar Dıştan Dışa Uzunluk” Göstergesinin Otokorelasyon ve Kısmi
Otokorelasyon Katsayıları
KISDISDI
KISDISDI
1,0
1,0
,5
,5
0,0
ACF
-,5
Confidence Limits
Coefficient
-1,0
1
3
2
5
4
7
6
9
8
Partial ACF
0,0
11 13 15
-,5
Confidence Limits
Coefficient
-1,0
1
3
2
10 12 14 16
5
4
7
6
9
8
11 13 15
10 12 14 16
Lag Number
Lag Number
Grafik 8:“Yükseklik” Göstergesinin Otokorelasyon ve Kısmi
Otokorelasyon Katsayıları
YUKSEKLI
YUKSEKLI
1,0
,5
,5
0,0
0,0
ACF
-,5
Confidence Limits
Coefficient
-1,0
1
3
2
5
4
7
6
Lag Number
9
8
11 13 15
10 12 14 16
Partial ACF
1,0
-,5
Confidence Limits
-1,0
Coefficient
1
3
2
5
4
7
6
9
8
11 13 15
10 12 14 16
Lag Number
Otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon katsayıları incelendiğinde “taban et kalınlığı”
göstergesinde otokorelasyonun varlığı açıkça görülmektedir. Bu durumda göstergenin birinci
farkları alınacaktır. Birinci farkı alınmış göstergeye uygun modelin belirlenebilmesi için
yapılan denemeler sonucunda ARIMA (2,1,0) modelinin parametrelerinin anlamlı ve diğer
modellere göre
hata kareleri toplamının minimum olduğu anlaşılmaktadır. “Taban et
kalınlığı” için çizilecek tek değişkenli kontrol diyagramı ancak ARIMA(2,1,0) modelinin
artıkları ile çizildiğinde doğru sonuçlar verecektir. “Kısa kenar dıştan dışa uzunluk”
göstergesinde de ilk iki gecikme ile hesaplanan otokorelasyon katsayılarının anlamlı oldukları
görülmekte ancak fark alınmadan ve fark alınarak denenen modellerin hiçbirinde tüm
parametrelerin anlamlı olduğu ve hata kareleri toplamı minimum olan bir model elde
edilememektedir. Dolayısıyla bu göstergenin orijinal haliyle tek değişkenli kontrol
diyagramının çizilmesine karar verilmiştir. Teoriye göre otokorelasyonlu veri kümesiyle çok
değişkenli kontrol diyagramı çizilmek istendiğinde “taban et kalınlığı”, “uzun kenar dıştan
dışa uzunluk”, “kısa kenar dıştan dışa uzunluk” ve “yükseklik” göstergeleri ile birlikte
“birinci farkı alınmış taban et kalınlığı göstergesinin birinci ve ikinci gecikmeli değerlerini
veren göstergelerin eklenmesi gerekmektedir.
6.4 Çok Değişkenli Kontrol Diyagramlarında Eş Varyans-Kovaryans Matrisi
Varsayımının Sağlanması
Eş varyans-kovaryans matrislerinin eşitliği varsayımı, Box-M testi uygulanarak
araştırılmıştır.
Tablo 4: Box-M Testi Sonucu
Box's M
F
2359,398
Yaklaşık
5,433
sd1
390
sd2
96034,044
Anlam.
,000
Test sonucunun anlamlı olduğu (eş varyans-kovaryans matrislerinin eşitliği
varsayımının sağlanamadığı) görülmektedir. Ancak veri kümesinde örnek büyüklüğünün 16
olması ve literatürde çok değişkenli kontrol diyagramlarının, bu varsayımın sağlanamamasına
karşı güçlü sonuçlar verdiğinin iddia edilmesi dikkate alınarak çok değişkenli kontrol
diyagramının çizilebileceğine karar verilebilmektedir.
6.5 Varsayımların Kalite Kontrol Diyagramları Üzerindeki Etkisi
İncelenen veri kümesi, çok değişkenli normal dağılım ve otokorelasyon varsayımlarını
sağlamaktadır. Ancak kalite göstergeleri arasında hesaplanan korelasyon katsayıları anlamlı
değildir. Bu durumda çok değişkenli bir kontrol diyagramı yardımıyla sadece (Hotelling T2,
MEWMA, MCUSUM v.b.), hangi örneğin kontrol dışında olduğu belirlenebileceğinden
(göstergeler birbirinden bağımsız olduğun için doğrusal ilişkilerden kaynaklanan kontrol dışı
durum
saptanamayacağından) varsayımların dikkate alınmasının
x - diyagramını nasıl
etkilediği (R diyagramları kontrol altındadır) incelenecektir.
Öncelikle
I. Aşamada otokorelasyon dikkate alınmadan ve alınarak hesaplanan
kontrol limitleriyle çizilen diyagramlar incelendiğinde (Grafik 9-10), Grafik 10’daki limitlerin
II. Aşamada kullanılması gereken doğru limitler olduğu görülmektedir.
Grafik 9: I. Aşamada Otokorelasyonlu “Taban Et Kalınlığı” Göstergesinin x Diyagramı
Grafik 10: I. Aşamada “Taban Et Kalınlığı” Göstergesinin ARIMA (2,1,0) Modelinin
Artıklarıyla (et) Çizilen Kontrol Diyagramı
0,3
Error for TABETKAL
from ARIMA, MOD_2
CON
0,2
UCL = ,2576115
Average = -,0020896
LCL = -,2617907
0,1
0,0
-0,1
-0,2
-0,3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sigma level:
3
Grafik 11: II. Aşamada Varsayımlar Dikkate Alınmadan Çizilen “Taban Et Kalınlığı”
Göstergesinin x -Diyagramı
7,2
7
6,8
6,6
ÜKL=6,7635
6,4
x-bar Değerleri
6,2
AKL=6,2484
6
5,8
37
33
29
25
21
17
13
9
5
1
5,6
Grafik 12 : II. Aşamada Varsayımlar Dikkate Alınarak Çizilen “Taban Et Kalınlığı”
Göstergesinin Artıklarıyla ( et) Çizilen Kontrol Diyagramı
0,6
0,4
0,2
ÜKL=0,2576
37
33
29
25
21
17
9
13
-0,2
5
1
0
et
AKL=-0,261790
-0,4
-0,6
-0,8
Yukarıda “Taban Et Kalınlığı” göstergesinin her iki durumda da kontrol dışında olduğu
görülmektedir. Ancak kontrol dışında olan örnekler varsayımlar dikkate alındığında
değişmektedir. Varsayımlar dikkate alınmadan; 6., 7., 12., 13., 16., 27., 29., 31., 35. örnekler
kontrol dışındayken, otokorelasyon ve normallik dikkate alındığında; 4., 7., 9., 23., 27., 32.,
34., 35., 36. ve 37. örneklerin kontrol dışındadır. Diyagram varsayımlar sağlanmadan
çizildiğinde kontrol dışında görülen örneklerin aslında kontrol altında olduğu (7.27. ve 35.
örnekler dışında) ve gerçekte kontrol dışında olan örneklerin saptanamadığı (4., 9., 23.,32.,
34., 36., 37.) görülmektedir.
Grafik 13 :II. Aşamada Varsayımlar Dikkate Alınmadan Çizilen “Uzun Kenar Dıştan
Dışa Uzunluk” Göstergesinin x -Diyagramı
401
400
399
ÜKL
398
x-bar Değerleri
AKL
397
396
40
37
34
31
28
25
22
19
16
13
10
7
4
1
395
Grafik 14 : II. Aşamada Varsayımlar Dikkate Alınarak Çizilen “Uzun Kenar Dıştan
Dışa Uzunluk” Göstergesinin x -Diyagramı
400,5
400
399,5
399
ÜKL
398,5
x-bar Değerleri
398
397,5
AKL
397
396,5
396
37
33
29
25
21
17
13
9
5
1
395,5
“Uzun Kenar Dıştan Dışa Uzunluk” göstergesi varsayımlar sağlanmadan çizildiğinde
kontrol altındadır. Ancak varsayımlar dikkate alındığında 5., 10. ve 19. örneklerin kontrol
dışında olduğu anlaşılmaktadır.
Grafik 15 :II. Aşamada Varsayımlar Dikkate Alınmadan Çizilen “Kısa Kenar Dıştan
Dışa Uzunluk” Göstergesinin x -Diyagramı
270
269
268
ÜKL=269,1354
267
x-bar Değerleri
AKL=266,9985
266
265
37
33
29
25
21
17
13
9
5
1
264
Grafik 16: II. Aşamada Varsayımlar Dikkate Alınarak Çizilen “Kısa Kenar Dıştan
Dışa Uzunluk” Göstergesinin x -Diyagramı
270
269
268
AKL=267,0275
267
x-bar Değerleri
ÜKL=269,1135
266
265
37
33
29
25
21
17
13
9
5
1
264
“Kısa kenar Dıştan Dışa Uzunluk” göstergesi her iki durumda da kontrol dışındadır.
Ancak varsayımlar dikkate alınmadan, 18., 33., 40. örnekler kontrol dışında görülürken,
varsayımlar sağlandığında 5. örneğin de kontrol dışında olduğu belirlenmiştir.
Grafik 17: :
II. Aşamada Varsayımlar Dikkate Alınmadan Çizilen
“Yükseklik”
Göstergesinin x -Diyagramı
51,2
51
50,8
50,6
50,4
ÜKL=51,0529
50,2
x-bar Değerleri
50
AKL=50,0667
49,8
49,6
49,4
Grafik 18 : II. Aşamada
37
33
29
25
21
17
13
9
5
1
49,2
Varsayımlar Dikkate Alınarak Çizilen
“Yükseklik”
Göstergesinin x -Diyagramı
51,2
51
50,8
50,6
50,4
ÜKL=51,0703
50,2
x-bar Değerleri
50
AKL=50,0588
49,8
49,6
49,4
37
33
29
25
21
17
13
9
5
1
49,2
“Yükseklik” göstergesi de her iki durumda kontrol dışındadır.Ancak varsayımlar
gözardı edilerek çizilen diyagramda 5., 17., 18., 25. örnekler kontrol dışındayken, normallik
ve otokorelasyon dikkate alındığında sadece 18. ve 5. örneklerin kontrol dışında olduğu
görülmektedir.
SONUÇ:
Uygulama sonuçları incelendiğinde; gözlemlerin birbirinden bağımsız olması
(otokorelasyon olmaması) ve normallik varsayımlarının prosesle ilgili doğru bilgilerin elde
edilmesinde oldukça önemli olduğu anlaşılmaktadır.
Varsayımlar dikkate alınmadığında, gerçekte kontrol altında olan örnekler kontrol
dışında, kontrol dışındaki örnekler ise kontrol altında kabul edilebilmekte veya kontrol
dışındaki örnekler eksik saptanmaktadır. Prosesle ilgili tüm bu yanıltıcı bilgilerin oluşmasına
engel olabilmek
için öncelikle korelasyon matrisi yardımıyla çizilecek kontrol
diyagramlarının, değişken sayısına göre sınıflandırması (tek veya çok değişkenli)
gerekmektedir. Çalışmada, kalite göstergeleri arasında anlamlı ilişkiler olmamasına rağmen
çok değişkenli durumda varsayımların nasıl araştırıldığının açıklanması amacıyla özellikle
çok değişkenli normallik varsayımı üzerinde durulmuş ve tek değişkenli normal dağılım
varsayımı arasındaki ilişki vurgulanmıştır.
Varsayımlar sağlandığında hesaplanan kontrol limitlerinin, varsayımlar dikkate
alınmadan belirlenen limitlerden çok düşük oranlarda farklılaştığı ancak limitlerdeki küçük
farklılıkların prosesin gerçek durumunun saptanmasında etkin ve önemli olduğu
görülmektedir. Özellikle mikron mertebesinde çalışılan iş kollarında (metal iş kolunda;
kompresör üretiminde, mutfak robotlarının üretiminde v.b.) bu önem daha da artmakta ve
ürünün kalite düzeyini belirlemektedir.
Günümüzde işletmelerin rekabet üstünlüklerini koruyabilmek için,
uyguladıkları
stratejilerden biri olan farklılaşma stratejisi, üstün kaliteli mal ve hizmet üretmeyi temel
almaktadır. Uzun dönemde yaşamını sürdürmeyi, ortalama karın üzerinde getiriyi hedefleyen
işletmelerin, daha kaliteli mal ve hizmet üretebilmeleri için, istatistik proses kontrol
aşamasında kullanılan araçların varsayımlarının dikkate alınarak uygulanması önerilmektedir.
KAYNAKÇA
Alpar, R. Uygulamalı Çok Değişkenli İstatistiksel Yöntemlere Giriş 1, 2.baskı, Ankara,
Nobel Yayınevi, 2003
Brockwell, P.J., R.A. Davis, Introduction to Time Series and Forecasting, U.S.A.,
Springer Verlag, 1996
Burr,I.W. “The Effect of Non-Normality on Constants for x and R Charts, Industrial Quality
Control, 1967, s. 563-569.
Cooley, W.W., P.R.Lohnes, Multivariate Data Analysis,, New York, Wiley, 1971
Fuchs,C., R.S. Kenett, Multivariate Quality Control:Theory and Applications, New York,
Marcel Dekker, Inc., 1998
Hair,J.F., R.E. Anderson, R.L. Tatham, W.C. Black, Multivariate Data Analysis, 5.baskı,
New Jersey, Prentice Hall, 1998
Hollander,M., D.A. Wolfe, Nonparametric Statistical Methods, 2. baskı, New York, John
Wiley &Sons Inc., 1999, s. 529.
Holloway, L.N., O.J.Dunn, “The Robustness of Hotelling’s T2”, Journal of American
Statistical Association, C.LXII, 1967
Johnson, J.A., D.W.Wichern, Applied Multivariate Statistical Analysis, 4 baskı, New
Jersey, Prentice Hall, 1998, s. 196.
Looney, S., “How to Use Tests for Univariate Normality to Assess Multivariate Normality,
The American Statistician, C.XLIX, No:1, 1995
Mason, R.L., N. D.Tracy, J.C. Young, “Monitoring a Multivariate Step Process”, Journal of
Quality Technology, C.XXIIX, No:1, 1996
Mason, R.L. J.C.Young, “A Control Procedure for Autocorrelated Multivariate Processes",
American Statistical Association, 1997
Mason R.L., J.C. Young, Multivariate Statistical Process Control with Industrial
Applications, Virginia, American Statistical Association, 2002, s. 48.
Montgomery, D.C., C.M. Mastrangelo “Some Statistical Process Control Methods for
Autocorrelated Data”, Journal of Quality Technology, C:XXIII, No. 3, 1991
Nijhuis,A., S. Jong, B.G.M. Vandeginste, “The Application of Multivariate Quality Control in
Gas Chromatography”, Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems, C.XLVII,
No:1, 1999
Oğuzlar, A. “Hotelling T2 Grafiği ve Bir Uygulama”, Uludağ Üniversitesi İktisadi İdari
Bilimler Fakültesi Dergisi, C. XVII, No:1-2, 1999, s. 1.
Orhunbilge N., Örnekleme Yöntemleri ve Hipotez Testleri, İstanbul, İ.Ü.İşletme Fakültesi
Yayını, 1997
Orhunbilge, N., Zaman Serileri Analizi Tahmin ve Fiyat İndeksleri, İstanbul, İ.Ü. İşletme
Fakültesi Yayını, 1999
Ryan, T.P., Statistical Methods for Quality Improvement, John Wiley&Sons, New York,
1989
Tabachnick, B.G., L.S.Fidell, Using Multivariate Statistics, 3. baskı, California, Haper
Collins College Publisher, 1996, s. 71.
Schilling, E.G., P.R. Nelson, “The Effect of Non-Normality on the Control Limits of x
Charts”, Journal of Quality Technology, C.VIII, 1976
Sharma, S., Aplied Multivariate Techniques, U.S.A., John Wiley &Sons, Inc., 1996,
Stevens, J. Applied Multivariate Statistics for the Social Sciences, 3. baskı, New Jersey,
Lawrence Erlbaum Associates. Inc., 1996
Tatlıdil, H. Çok Değişkenli İstatistiksel Analiz, Ankara, Akademi Matbaası, 1996
Timm, N.H., Applied Multivariate Analysis, Springer Verlag, U.S.A., 2002