dörtdal yöntemi ile 2 boyutlu düzensiz ve hibrid çözüm ağlarının

UHUK-2008-014
II. ULUSAL HAVACILIK VE UZAY KONFERANSI
15-17 Ekim 2008, İTÜ, İstanbul
DÖRTDAL YÖNTEMİ İLE 2 BOYUTLU DÜZENSİZ VE HİBRİD ÇÖZÜM AĞLARININ
SEYREKLEŞTİRİLMESİ
Emel MAHMUTYAZICIOĞLU 1
TÜBİTAK-SAGE, Ankara
İsmail H. TUNCER 2 ve Haluk AKSEL 3
ODTÜ, Ankara
ÖZET
TÜBİTAK-SAGE bünyesinde geliştirilen Euler/Navier-Stokes denklemleri tabanlı Hesaplamalı Akışkanlar
Dinamiği (HAD) çözücüsü, SENSE-2D’nin hassasiyeti korunarak, akış çözümlerindeki yakınsama hızının
artırılması hedeflenmektedir. Bu hedef kapsamında SENSE2D çözücüsüne çok katmanlı çözüm (İng. Multigrid)
kabiliyeti kazandırılacaktır. İki boyutlu çok katmanlı çözüm uygulamalarında gerekli olan ardışık
seyrekleştirilmiş çözüm ağları bu çalışma kapsamında geliştirilen dörtdal yöntemi (İng. Quadtree) ile elde
edilmiştir. SENSE 2D yazılımının çok katmanlı çözüm uygulamalarında daha verimli çalışabilmesi amacı ile akı
hesaplamalarında hücre döngüsü yerine kenar döngüsü kullanılmış ve çözüm algoritmaları değişken kenarlı
hücre yapıları için uyumlu hale getirilmiştir. Bu çalışmada dörtdal yöntemi ile seyrekleştirilmiş çözüm ağları
sunulmuş ve bu çözüm ağlarında akış çözümleri elde edilerek çok katmanlı çözüm yaklaşımının kısmi bir
uygulamasına yer verilmiştir. RAE2822 kanat kesiti üzerinde gerçekleştirilen kısmi çok katmanlı çözümlemede
yakınsama adımlarında 4.95 katlık, hesaplama zamanında ise 10.78 katlık bir hızlanma görülmüştür.
GİRİŞ
Son zamanlarda yapılan havacılık uygulamalarında Euler/Navier-Stokes denklemleri tabanlı HAD
çözücüleri sıkça kullanılmaktadır. Bu çalışmalarda, çözücü doğruluğunun artırılmasına ek olarak,
çözüm zamanının azaltılmasına da ihtiyaç duyulmaktadır. HAD çözümlemelerinin hızlandırması için
yapılan araştırma ve incelemelerde çok katmanlı çözüm tekniğinin yüksek doğruluk ve hızlı
çözümlemelere ulaşabilmek için en verimli yöntem olduğu görülmektedir [7].
Çok katmanlı çözüm yönteminde ardışık seyrekleştirilmiş çözüm ağları kullanılarak akış
çözümlerindeki yakınsamanın hızlandırılması sağlanır. Bu yaklaşımın başlangıcında, sayısal hata
kalıntı frekanslarının incelenmesi bulunmaktadır. Bölgesel olarak görülen veya yüksek frekanslı
hataların, özellikle çözümlemelerin başlangıcında çabuk bir şekilde yok edildiği ancak genel olarak
1
Başuzman Araştırıcı, e-posta: [email protected]
Prof. Dr., Havacılık ve Uzay Müh. Böl., e-posta: [email protected]
3
Prof. Dr., Makina Müh. Böl., e-posta:[email protected]
2
MAHMUTYAZICIOĞLU, TUNCER ve AKSEL
UHUK-2008-014
görülen veya düşük frekanslı hataların çabuk sönümlenemediği Şekil 1’de de sunulduğu üzere
görülmektedir.
Şekil 1 Açık Uçlu (İng. Explicid) çözümlemelerde tipik bir yakınsama karakteristiği
Çok katmanlı çözüm stratejisi bu ilk hata sönümlenmesi üzerine kurulur. Sık çözümleme ağından elde
edilen çözümleme sonuçları ve hata kalıntıları kendine göre seyrek olan çözümleme ağına aktarılır.
Sık çözüm ağı için düşük frekanslı olan çözüm hataları, seyrek çözüm ağlarında yüksek frekanslı
olarak belirir ve çözümleme seyrekleştirilmiş çözüm ağlarında yapılarak bu yüksek frekanslı çözüm
hataları yok edilir. En seyrek çözüm ağına ulaşıldıktan sonra, seyrek çözüm ağında elde edilen
çözümlemeler tekrar kendine göre sık çözüm ağına alınarak doğruluk artırılır. Bu döngü sürekli
tekrarlanarak hızlı ve daha doğru akış çözümleri elde edilir.
Düzenli ve kartezyen çözüm ağlarının aksine, düzensiz çözüm ağlarında bu yöntemin en büyük
zorluğu ardışık seyreltilmiş çözüm ağlarının elde edilmesidir. Günümüzde bu amaç için farklı stratejiler
geliştirilmiştir.
Çözüm Ağı Seyrekleştirme Stratejileri
Düzenli çözüm ağlarında seyrekleştirme işleminde her yönde 2 çözüm noktasından birinin atlanması
ile seyrek çözüm ağı otomatik olarak elde edilebilir. Bu işlem sayesinde 2 boyutlu çözüm ağında 2:1
veya 4:1 oranında seyrek katmanlar başarılı bir şekilde oluşturulur. Düzensiz çözüm ağlarında ise
seyrek çözüm ağlarını oluşturmak en zorlu aşamadır ve çeşitli yöntemler önerilmektedir.
Seyrekleştirme çalışmalarında öncelikle denenmiş yaklaşımın çözüm ağının seyrekleştirilmesi yerine,
seyrek bir çözüm ağı ile başlanmasının ardından hücrelerin bölünmesi ile ardışık sıklaştırılan çözüm
ağlarının oluşturulması görülmektedir. Bu yöntemde transfer operatörleri kolaydır. Ancak seyrek
çözüm ağından başlaması nedeni ile geometri tanımında kayıpları görülmektedir.
Diğer bir yaklaşım her katmanda çeşitli seyreklik oranında birbirinden tamamen bağımsız çözüm ağı
oluşturulmasıdır. Bu yaklaşımda her katmandaki çözüm ağı eniyilenmiştir, ancak düğüm noktaları ve
kenarlar aynı olmadığından ardışık çözüm ağları iç içe geçmiş (İng. Nested) değildir ve katmanlar
arasında kullanılan transfer operatörlerinin uygulanması zordur.
Uygulanması daha kolay bir yöntem ise sık bir çözüm ağından seyrek çözüm ağlarını oluşturmak
üzere düğüm noktalarının seçilmesi ve ters “Delaunay triangulation” algoritması kullanarak seyrek
üçgenlerin oluşturulmasıdır. Bu yöntemde, düğüm noktaları ortak olmasına rağmen seyrekleştirilmiş
çözüm ağları tam olarak iç içe geçmiş değildir ve ortak nokta seçimi yapılabilmesi için nokta seçme
yöntemi oluşturulmalıdır.
Uyarlanabilir (İng. Adaptive) çözüm ağı oluşturmaya dayalı yaklaşımlar da geliştirilmektedir. Ancak
özellikle üç boyutlu çözüm ağlarında ve karmaşık geometrilerde kullanımı oldukça güçtür.
2
Ulusal Havacılık ve Uzay Konferansı
MAHMUTYAZICIOĞLU, TUNCER ve AKSEL
UHUK-2008-014
Tüm bu önerilen yöntemlerde özellikle karmaşık geometrilerin modellendiği seyrek çözüm ağlarında
orjinal geometri tanımının korunması oldukça zordur. Bu problemin üstesinden gelen alternatif yöntem
ise toplama-birleştirme (İng. Agglomeration) yöntemidir. Bu yöntemde tüm düğüm noktaları ve
kenarlar ortak bir şekilde içi içe geçmiştir. Uygulaması kolay ve çözüm doğruluğu oldukça yüksektir.
Toplama-birleştirme ile seyrekleştirme yönteminin amacı verilen sık çözüm ağından komşuların
incelenerek uygun bir şekilde birleştirilmesi ile seyrek çözüm ağlarının yaratılmasıdır. Bu yöntemin en
büyük dezavantajı ise bir hücrenin hangi komşuları ile birleşeceği ve böylece hangi düğüm
noktalarının silineceğinin belirlenmesidir. Yaygın olarak kullanılan nokta silme yöntemi Mavriplis
tarafından geliştirilen ve genel seyrekleştirmeyi amaçlayan “Greedy type Frontal Algorithm”dir [7]. Bu
algoritma bir düğüm noktasını alır ve bu düğüm noktasına komşu olan hücreleri listeler. Ardından liste
içerisinden seyrek çözüm ağında istenilen açıklık oranını sağlayacak orjinal hücreleri seçer. Ardından
bu yeni hücrenin bilgileri güncellenir ve bu işlem tüm çözüm ağı için tekrarlanır. Nokta seçimi
konuşunda farklı yöntemler Francescatto ve Dervieux [4], Ollivier-Gooch [3], Ahlawat, Johnson ve
Vanka [1], Waltz ve Löhner [2], Chan, Xu ve Zikatanov [5] ve N. Okamoto, K. Nakahashi, S. Obayashi
[6] tarafından önerilmiştir.
Bu çalışmada, genel seyrekleştirme yapan, birleştirme-toplama ile seyrekleştirme yönteminde
kullanılmak üzere, ana çözüm ağında bulunan hücrelerden seyrek hücreyi oluşturacak yeni bir seçim
yöntemi geliştirilecektir. Amaç sık çözüm ağından değişik oranlarda seyrek çözüm ağları oluşturmak
ve oluşan bu çözüm ağlarında hücrelerin uygun açıklık oranlarının olmasını sağlamaktır. Seyrek
çözüm ağı yaratılırken 2 boyutta dörtdal yöntemi sık çözüm ağına uygulanmış ve bu sayede ardışık
çözüm ağlarının iç içe geçmesi sağlanmıştır.
SENSE 2D AKIŞ ÇÖZÜCÜSÜNÜN GÜNCELLENMESİ
SENSE 2D yazılımı hücre merkezli, açık ve kapalı uçlu, Roe yöntemi ile akı hesaplayan, Jacobian
matris çözücüsüne sahip, birinci ve ikinci dereceden çözüm yapabilen, düzensiz ve hibrid çözüm
ağlarında çalışan bir Euler/Navier Stokes çözücüsüdür. Çok katmanlı çözüm uygulamalarında çözüm
ağları arası bilgi (iç içe geçmiş çözüm ağları için) kenarlarda taşınmaktadır. SENSE 2D yazılımının çok
katmanlı çözüm ağı uygulamalarında daha verimli çalışması için akı hesaplamalarında hücre döngüsü
yerine kenar döngüsü kullanılmıştır. Böylece yazılımın hücre merkezli yapısı bozulmamış ve tüm
kenarlara akı bilgisi yüklenebilmiştir. Diğer bir gereksinim ise çözücünün üçgen ve dörtgen
elemanlarına ek olarak çok kenarlı hücreleri de çözebilme ihtiyacıdır. Kenarlarda tutulan akı bilgisi ile
yeni oluşan seyrek hücrelerde de çözüm yapılması amacı ile algoritmada güncelleme yapılmış,
böylece SENSE-2D yazılımı çok katmanlı çözüm ağı uygulamasına uyumlu hale getirilmiştir.
DÖRTDAL YÖNTEMİ İLE SEYREK ÇÖZÜM AĞLARININ OLUŞTURULMASI
Dörtdal veri yapılandırması, istenilen çözünürlüğe ulaşıncaya kadar veri uzayının sürekli olarak
bölünmesi prensibine dayanmaktadır. Bu hiyerarşik veri yapısı; iki boyutlu uzayda dörtdal veya üç
boyutlu uzayda sekizdal (İng. Octree) yöntemi olarak isimlendirilir. Bu veri yapısı, sayısal görüntü
işlenmesinde, harita ve coğrafi bilgilerin çizdirilmesinde ve robotikte giderek yaygın bir şekilde
kullanılmaktadır [8].
Dörtdal Veri Yapılandırması
Bölgesel tanımlamada en çok kullanılan ve alansal dörtdal olarak isimlendirilen dörtdal yöntemi,
görüntüyü dört eşit dörtgene böler, bu yeni oluşan dörtgenlerde işlenebilir veri olduğu sürece
dörtgenler tekrar bölünür ve alt dörtgenler oluşturulur. Alansal dörtdal yöntemi değişken hassasiyete
bağlıdır. Şekil 2-a de verilen geometriyi örnek olarak alırsak, Şekil 2-b’de 23 e 23 binary matris
oluşturulmuştur. Burada 1’ler resim elemanlarına (dolu) 0’lar ise resim dışı elemanlara (boş) denk
gelmektedir. Bu işlemde ağaç dört gruba ayrılarak ağaç kademesi 4 olarak alınır ve her dörtgen eğer
tam olarak 1 veya 0 değilse dört çocuğu vardır. Her çocuk, alt dörtgen olarak isimlenir ve bölünen
bölgede kuzeydoğu, kuzeybatı, güneydoğu ve güneybatı olarak yönü kaydedilir. Şekil 2-d de dörtdal
3
Ulusal Havacılık ve Uzay Konferansı
MAHMUTYAZICIOĞLU, TUNCER ve AKSEL
UHUK-2008-014
Şekil 2 Geometri tanımlamasında kullanılan dörtgenler ve dörtdal ağaç yapısı [8].
ağacı ve Şekil 2-c’de ise ağaçta isimlendirilen dörtgenlerin görüntüleri sunulmuştur. Her aktif dörtgen
(en uçta bulunan) 1 yada 0 dır. Örneğin, Şekil 2-d’de görülen ağaca göre C ailesinin (İng. Parent) 4
tane çocuğu (child) F, G, H, I olarak tanımlanmıştır. C ise A ailesinin pasif (bölünmüş) bir çocuğudur.
Düzensiz İki Boyutlu Seyrek Çözüm Ağlarının Oluşturulması
Birleştirme-toplama yöntemindeki amaç sık çözüm ağında bulunan hücrelerin açıklık oranı uygun
olacak şekilde gruplandırılmasıdır. Bu nedenle dörtdal yöntemi kullanılmış, her aktif dörtgende en fazla
dört hücre merkezi bulunacak ve birleşince kareye benzer yapılar oluşturulacak şekilde
gruplandırılmıştır. Daha seyrek bir çözüm ağı oluşturulmasında ise aktif dörtgenlerin bir üst seviyesine
çıkılır. Bu üst gruptan (pasif) türeyen tüm aktif dörtgenler toplanır ve birleştirilir. Bu sürecin algoritması
aşağıda sunulduğu şekilde özetlenebilir.
•
Seyrek çözüm ağı katmanının tanımlanması veya oluşabilecek en fazla katmanın talep
edilmesi,
•
Sık çözüm ağının, düğüm noktaları pozisyonlarının, komşu bilgilerinin ve hücre tipinin
okunması (üçgen / dörtgen),
•
Kenarların numaralandırılması, kenarın komşu hücrelerinin kaydedilmesi ve hücre
merkezlerinin bulunması,
•
Dörtdal algoritmasının uygulanması ve en fazla dört hücreyi barındıran aktif dörtgenlerin
oluşturulması,
4
Ulusal Havacılık ve Uzay Konferansı
MAHMUTYAZICIOĞLU, TUNCER ve AKSEL
UHUK-2008-014
•
Aktif dörtgenlerde bulunan alt grup hücrelerin birleştirilmesi, uygun olmayan hücre yapılarının
düzeltilmesi ve ilk katman seyrek çözüm ağının elde edilmesi,
•
Aynı üst seviye dörtgenlere sahip çocuk hücrelerin gruplanması ile daha seyrek çözüm
ağlarının oluşturulması.
SONUÇLAR ve YORUMLAR
Çalışmalarda öncelikle basit bir dörtgen geometri için hazırlanan düzensiz çözüm ağının dörtdal
yöntemi kullanılarak seyrekleştirilmesi gösterilmiştir. Ardından RAE2822 kanat kesiti için oluşturulan
hibrid çözüm ağı seyrekleştirilmiş ve çok katmanlı kısmi akış çözümleri elde edilmiştir.
Çok katmanlı çözümlerde, sık bir çözüm ağında elde edilen çözüm değişkenleri ve kalıntıları daha
seyrek bir alt çözüm ağına taşınır. Bu işlem her ardışık çözüm ağı katmanları için yapılarak en seyrek
katmana ulaşılır. Ardından her katmanda akış parametreleri düzeltilerek en sık çözüm ağına geri
dönülür. Bu döngü V döngüsü olarak adlandırılır. Bu ön çalışmada çok katmanlı kısmi
çözümlemelerde sadece akış değişkenleri taşınarak hesaplamaların doğruluğu ve yakınsama
hızlanması incelenmiştir. Ayrıca çok katmanlı çözümler için geliştirilen kenar döngülü akı hesaplama
metodu, hücre döngülü SENSE 2D çözücüsü ile doğrulanmıştır.
Uygulama1
Çalışmalara bir dörtgen etrafına düzensiz çözüm ağı oluşturularak başlanmıştır. Çözüm ağı 976
düğüm noktası ve 1888 hücreye sahiptir (Şekil 3). Bu çözüm ağı katman 1 olarak tanımlanmış ve
geliştirilen dörtdal yöntemi ile elde edilen seyreltilmiş ardışık 4 katman çözüm ağı oluşturulmuştur.
Ardışık ağlar arası hücre sayısı oranı en fazla %80 olduğu durum için seyrek çözüm ağlarındaki hücre
yapıları Şekil 4’de, hücre sayılarının oranları ise Tablo 1’de sunulmuştur. Seyrek çözüm ağları
incelendiğinde dörtdal yönteminin doğal sonucu olarak seyrekleşen çözüm ağlarının
dörtgensel/kartezyen çözüm ağlarına yakınsadığı görülmektedir.
Tablo 1 Uygulama 1 için elde edilen seyrek çözüm ağlarındaki hücre sayıları ve oranları
Katman
Hücre Sayısı
Bir üst katman çözüm ağına göre oranı
Sık çözüm ağına göre oranı
1 (SIK)
1,888
%100
2
977
%51.75
%51.75
3
763
%78.10
%40.41
Şekil 3 Uygulama 1 için çözüm ağı (1,888 hücre)
5
Ulusal Havacılık ve Uzay Konferansı
4
436
%57.14
%23.09
5
262
%60.09
%13.88
MAHMUTYAZICIOĞLU, TUNCER ve AKSEL
UHUK-2008-014
a. Katman 2 (977 hücre)
b. Katman 3 (763 hücre)
c. Katman 4 (436 hücre)
d. Katman 5 (262 hücre)
Şekil 4 Uygulama 1 için seyrek çözüm ağları
Uygulama2
Bu uygulamada ise akış çözümlemelerinde doğrulama amaçlı olarak sıkça kullanılan RAE 2822
transonik kanat kesiti kullanılmıştır. Bu kanat kesiti çevresine sınır tabakası bulunan hybrid bir çözüm
ağı hazırlanmıştır (Şekil 5). Çözüm ağı 14,783 düğüm noktasına ve 26,064 hücreye sahiptir.
Kenar Döngü Yönteminin Doğrulanması: Çözüm ağının elde edilmesinin ardından hücre döngüsü ve
kenar döngüsü ile 0.729 Mach sayısı, 2.31° hücum açısı ve 6.5 Milyon Reynolds sayısında elde edilen
akış çözümleri karşılaştırılmıştır. Birinci derece doğruluklu, ağdasız (İng. Inviscid) çözümler elde
edilmiş, kalıntı ve sürükleme kuvveti katsayı (C D ) değişimleri sırası ile Şekil 6 ve Şekil 7’de
sunulmuştur. Görüldüğü üzere bu çalışmada geliştirilen kenar döngülü çözücü hücre döngülü çözücü
ile eşdeğerdir.
Dörtdal Yöntemi İle Seyrekleştirme: Sık çözüm ağı katman 1 olarak isimlendirilmiş, seyrek çözüm
ağları arasında hücre sayısı oranı en fazla %80 olarak kabul edildiğinde ardışık seyreltilmiş 6 katman,
en fazla %50 olarak kabul edildiğinde ise ardışık seyreltilmiş 4 katman çözüm ağı oluşturulmuştur.
Seyrek çözüm ağlarında ki hücre sayıları ve oranları Tablo 2’de, RAE2822 kanat kesiti çevresi sık
çözüm ağı ve büyütülmüş görüntüsü Şekil 8’de, dörtdal yöntemi ile elde edilen ardışık dört sıra seyrek
çözüm ağları ve kanat kesiti çevresindeki ağ yapısı ise Şekil 9’de sunulmuştur. Görüldüğü üzere
dörtdal yöntemi ile düzensiz ve hibrid çözüm ağlarının seyrekleştirilmesi başarı ile uygulanmıştır.
6
Ulusal Havacılık ve Uzay Konferansı
MAHMUTYAZICIOĞLU, TUNCER ve AKSEL
UHUK-2008-014
Şekil 5 RAE2822 kesiti etrafındaki hibrid çözüm ağı yapısı
Şekil 6 Çözüm kalıntı değişimi
7
Ulusal Havacılık ve Uzay Konferansı
MAHMUTYAZICIOĞLU, TUNCER ve AKSEL
UHUK-2008-014
Şekil 7 Sürükleme kuvveti katsayısının (C D ) değişimi
Tablo 2 Uygulama 2 için elde edilen seyrek çözüm ağlarındaki hücre sayıları ve oranları
Katman
1 (SIK)
2
3
4
5
6
7
Hücre Sayısı
26,064
13,749
10,837
8,020
5,319
2,876
1,607
Bir üst katman çözüm
%52.75
%78.82
%74.01
%66.32 %54.07 %55.88
ağına göre oranı
Sık çözüm ağına göre
%100
%52.75
%41.58
%30.77
%20.41 %11.05 %6.17
oranı
Hücre Sayısı
26,064
13,749
5,775
2,802
1,229
Bir üst katman çözüm
%52.75
%42.00
%48.52
%43.86
ağına göre oranı
Sık çözüm ağına göre
%100
%52.75
%22.16
%10.75
%4.72
oranı
Şekil 8 Uygulama 2 için çözüm ağı (26,064 hücre)
8
Ulusal Havacılık ve Uzay Konferansı
MAHMUTYAZICIOĞLU, TUNCER ve AKSEL
UHUK-2008-014
a. Katman 2 Çözüm Ağı (13,749 hücre)
b. Katman 3 Çözüm Ağı (5,775 hücre)
c. Katman 4 Çözüm Ağı (2,802 hücre)
d. Katman 5 Çözüm Ağı (1,229 hücre)
Şekil 9 Uygulama 2 için seyrek çözüm ağları
9
Ulusal Havacılık ve Uzay Konferansı
MAHMUTYAZICIOĞLU, TUNCER ve AKSEL
UHUK-2008-014
Seyrekleştirilmiş Ağlarda Akış Çözümlemeleri (Çok Katmanlı Kısmi Çözüm Uygulaması): Şekil 5’de
sunulan 26,064 hücreli temel çözüm ağında 0.729 Mach sayısı, 2.31° hücum açısı ve 6.5 Milyon
Reynolds sayısında akış çözümü elde edilmiştir. Bu çözümde 300,000 zaman adımı gidilmiş ve 2.73
boyutsuz çözüm zamanına ulaşılmıştır. Ardından 5 katmanlı kısmi çözümlerin aynı boyutsuz çözüm
zamanına ulaşılabilmesi için her katmanda eşit adım ve her katmanda eşit boyutsuz zaman gidilerek
çözümlemeler elde edilmiştir. Çok katmanlı çözümlemeler temel çözümlemeler ile aynı koşullarda
çözülmüştür. Temel ve çok katmanlı çözümlemelerde kullanılan çözüm adımı ve çözüm zamanı
bilgileri Tablo 3’de sunulmaktadır.
Tablo 3 Hesaplama zamanları
Temel çözüm
Boyutsuz Çözüm Zaman Adımları
0.83 10-5
Boyutsuz Toplam Çözüm Zamanı
Toplam Çözüm Adımları
2.7315
300,000
Çok katmanlı
çözüm (eşit
çözüm adımı)
0.83 10-5
1.37 10-5
2.90 10-5
8.38 10-5
8.38 10-5
2.72266
60,600
Çok katmanlı
çözüm (eşit
boyutsuz
zaman)
0.83 10-5
1.37 10-5
2.90 10-5
8.38 10-5
8.38 10-5
2.75
129,951
Bu üç durumun kalıntı değerlerinin boyutsuz çözüm zamanına ve adımına göre değişim grafikleri Şekil
10’da sunulmuştur. Çok katmanlı çözümlerde çözümün oldukça hızlı bir şekilde yakınsadığı ve eşit
boyutsuz zamanda elde edilen çok katmanlı çözümlemelerin kalıntı değerinin en düşük olduğu
görülmektedir. Bu çözümlemelerde elde edilen kanat kesiti yüzeyinde oluşan basınç dağılımları (Cp)
referans değerler ile karşılaştırılmış ve Şekil 11’de verilmiştir. Birinci doğruluk derecesinde ve ağdasız
elde edilen bu çözümlemelerin referans değerlere oldukça yaklaştığı; en yakın sonucun ise temel
çözüm ile birlikte eşit boyutsuz zaman ile elde edilen çok katmanlı çözüm olduğu görülmektedir. Şekil
12’de ise bu üç durumda kanat kesiti etrafında oluşan basınç dağılımları verilmekte, eşit çözüm adımı
ile elde edilen çözümün hesaplama zamanı da göz önüne alındığında oldukça iyi sonuç verdiği
anlaşılmaktadır.
Temel ve çok katmanlı çözümlerin çözüm adımları ve hesaplama zamanları ise Tablo 4’de
sunulmuştur. Temel çözüme göre hesaplama zamanı iyileşme oranlarına bakıldığında eşit çözüm
adımında elde edilen çok katmanlı çözümün 10.78 kat, eşit boyutsuz zamanda elde edilen çok
katmanlı çözümün ise 3.28 kat daha hızlı olduğu ve çok daha düşük kalıntı değerlerine sahip oldukları
görülmektedir.
Şekil 13’de ise çok katmanlı çözümlemelerde seyrek katmandan başlayarak akış düzelmeleri kanat
kesiti etrafı oluşan basınç dağılımı ile gösterilmiştir. Basınç dağılımlarında seyrek çözüm ağlarında yer
alan büyük hücrelerin farkedilebildiği gözlenmektedir.
Sonuç olarak çok katmanlı çözüm yaklaşımının kısmi sonuçları incelendiğinde hesaplama zamanı ve
doğruluğu açısından çalışmanın etkin ve başarılı olduğu görülmektedir. Bu çalışmanın devamında akış
çözümlerinin yanı sıra, kalıntı değerleri de çözüm ağları arasında aktarılacak, çözücünün
güncellemeleri sırasında çözüm ağları arası transfer operatörleri oluşturulacak ve V döngüsü
oturtturularak SENSE 2D yazılımına çok katmanlı çözüm kabiliyeti kazandırılacaktır.
10
Ulusal Havacılık ve Uzay Konferansı
MAHMUTYAZICIOĞLU, TUNCER ve AKSEL
UHUK-2008-014
Şekil 10 Kalıntı grafikleri
Şekil 11 RAE 2822 kanat kesiti yüzeyindeki basınç dağılımı
Temel çözüm
Çok katmanlı çözüm (eşit çözüm
Çok katmanlı çözüm (eşit
adımı)
boyutsuz zaman)
Şekil 12 RAE 2822 kanat kesiti etrafı basınç dağılımı
11
Ulusal Havacılık ve Uzay Konferansı
MAHMUTYAZICIOĞLU, TUNCER ve AKSEL
UHUK-2008-014
Tablo 4 Hesaplama zaman karşılaştırılması
Çok katmanlı
çözüm (eşit
boyutsuz
zaman)
2.75
-4.096
12,586
Temel çözüm
Çok katmanlı
çözüm (eşit
çözüm adımı)
Boyutsuz Çözüm Zamanı
Kalıntı
2.7315
-2.597
2.72266
-3.4505
Hesaplama Zamanı (sn)
41,237
3,825
-
4.95 kat
2.31 kat
10.78 kat
3.28 kat
Temel Çözüme Göre Çözüm Adımı
İyileşme Oranları
Temel Çözüme Göre Hesaplama
Zamanı İyileşme Oranları
-
a. Katman 5
b. Katman 4
12
Ulusal Havacılık ve Uzay Konferansı
MAHMUTYAZICIOĞLU, TUNCER ve AKSEL
UHUK-2008-014
Katman 3
Katman 2
Şekil 13 Sık ve seyrek çözüm ağlarının basınç dağılımları
Kaynaklar
[1] S. Ahlawat, R. Johnson, S.P. Vanka. Object Based Library for 3D Unstructured Grid Representation and
Volume Based Agglomeration, AIAA 2006-888, 2006
[2] J. Waltz, R.Löhner. A Grid Coarsening Algorithm for Unstructured Multigrid Applications, AIAA 20000925, Ocak 2000
[3] C.F. Ollivier-Gooch. Robust Coarsening of Unstructured Meshes for Multigrid Methods, AIAA-99-3250,
1998
[4] J. Francescatto, A. Dervieux. A Semi-coarsening Strategy for Unstructured Multigrid Based on
Agglomeration, International Journal for Numerical Methods in Fluids 26: 927–957, 1998
[5] T. F. Chan, J. Xu, L. Zikatanov. An Agglomeration Multigrid Method for Unstructured Grids Contemporary
Mathematics, Volume 218, 1998
[6] N. Okamoto, K. Nakahashi, S. Obayashi. A Coarse Grid Generation Algorithm for Agglomeration Multigrid
Method on Unstructured Grids, AIAA-98-0615, 1998
[7] D.J. Mavriplis. Çok katmanlı çözüm ağı Techniques for Unstructured Meshes, ICASE raporu N0: 95-27,
NASA Contractor Report 195070, Nisan 1995.
[8] H HADet. The Quadtree and Related Hierarchical Data Structures, Computing Surveys, Vol. 16, No.2,
Haziran 1984
13
Ulusal Havacılık ve Uzay Konferansı