MAKİNALARIN GÜÇ VE HAREKET İLETİM MEKANİZMALARININ LİNEER HAREKET

Transkript

11. ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU
Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, 4-6 Eylül 2003
MAKİNALARIN GÜÇ VE HAREKET İLETİM MEKANİZMALARININ LİNEER
HAREKET DENKLEMLERİ
İsfendiyar BAKŞİYEV
Cumhuriyet Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Müh. Böl., SİVAS
[email protected]
H. Ali ERTAŞ
Cumhuriyet Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makine Müh. Böl., SİVAS
[email protected]
ÖZET
Geleneksel yaklaşıma göre düşük frekanslı ( ƒ d 100 . . . . 200 Hz ) titreşimlerde makinelerin güç ve hareket
iletim mekanizmaları çok elemanlı parametreye sahip, yani n serbestlik dereceli lineer sistem gibi göz önüne
alınır. Bu şekilde yaklaşım hiçbir olumsuzluk oluşturmaz, aksine daha da mekanik olaylara zarar vermeden
hesap modellerinin basitleştirilmesini sağlar ve böylece matematiksel işlemleri oldukça azaltabilir. Hesap
modellerinde çok kapsamlı matematiksel işlemlerin olması günümüzde makinelerin güç ve hareket iletim
mekanizmalarının dinamiksel karakteristiklerinin gerekli optimizasyon işlemlerinin yerine getirilmesini
engellemektedir. Bu nedenle yeni efektif hesap yöntem ve metotları geliştirerek hesap ve işlem hacminin daha da
azaltılmasını sağlayabiliriz. Böylece dinamik sistemlerin optimizasyonu için yeni optimizasyon yöntem ve
metotlarının kullanımı sağlanabilir. Dinamik sistemlerin hesabında kullanılan matematiksel modeller dinamik
sistemlere ait olduğundan , sisteme göre dinamik model olarak isimlendirilmesi daha uygun olur. Bundan sonra
matematiksel model yerine dinamiksel model olarak isimlendirilecektir. Dinamiksel modeller veya sistemler;
Zincir, Budaklanmış ve Kapalı şekilli olarak üç gruba ayrılır. Dinamik sistemlerin hesabında en çok Zincir ve
Budaklanmış dinamiksel modeller kullanılmaktadır. Sunulan çalışmada zincir ve budaklanmış dinamiksel
modellerin lineer hareket denklemleri yazılmış ve onların daha basit kullanım şekli olan matris denklemleri
verilmiştir. Denklemi kapsayan matrislerin yazılış şekilleri gösterilmiştir.
Anahtar Kelimeler : Dinamik Sistem, Titreşim, Budaklanmış, Optimizasyon
ABSTRACT
In traditional approach power and motion transfer mechanism of machines in low frequency vibration (ƒ d 100 .
. . . 200 Hz ) are regarded as having multi-member parameters or as a linear system with n-degree freedom. By
this way the approach does not cause negativity but indeed computation models are simplified without harming
mechanical events and the mathematical procedure is thus significantly shortened. Extensive mathematical
computations associated with calculative models are impeding the performance of necessary optimization
procedures of dynamic characteristics of current power and motion transfer mechanism of machines. The huge
volume of computation can thus be reduced through new and effective methods and procedures of computation.
Therefore optimization of dynamic systems can be carried out by the use of new optimization techniques and
methods. As the mathematical models used in the computation of dynamic systems belong to dynamic systems,
it would be appropriate to name them as dynamic models. Thus, they will be named as dynamical models rather
than mathematical models. Dynamical models or systems are grouped under three headings: chain-shaped,
branched or closed-shaped. In the computation of dynamical systems, chain-shaped and branched models are
mostly used. In the study linear motion equations of chain-shaped and branched models are given and their
simplified version of matrix equations are presented. Also, the manner with which the matrices that comprise of
equations is illustrated.
Keywords: Dynamic System, Vibration, Branched, Optimization
1.
Zincir
Denklemleri
Şekilli
Sistemlerin
Hareket
Uygulamalı titreşim teorisinde zincir şekilli sistemler,
birbiri ile elastik ilişki ile bağlanmış atalet
momentlerinin veya kütlelerin toplamına denir. Şekil
m1 , m2 m3 , …. mn kütleler zinciri
k1 , k2 , k3 , ......, kn olan elastik
rijitlikleri
1.1 de
yaylarla bağlanmaktadır. Zincir şekilli bu sistem x
yatay ekseni boyunca öteleme titreşim hareketi
yapabilir.
Bakşiyev ve Ertaş
Şekil 1.1
Şekil 1.2
Şekil 1.2 de gösterilen iki serbestlik dereceli sistem
m1 ve
için hareket denklemini yazalım.
m1 x1 + ( k1 + k2 )x1 − k2 x2 = 0

m2 x2 − k2 x1 + k2 x2 = 0
(1.6)
m2
kütlelerinin denge konumundan uzaklaşmalarını
x1 ve x2 ile gösterelim. Bu durumda m1 kütlesine
elde edilir.
birinci yay tarafından uygulanan kuvvet
− k1 x1
Serbestlik derecesi sayısı n olan öteleme, yani
düzgün lineer sistem için 1.6 denklemi ;
(1.1)
m1 x1 + ( k1 + k2 )x1 − k2 x2 = 0
m x − k x + ( k + k )x − k x = 0
2
3
2
3 3
 2 2 2 1
m3 x3 − k3 x3 + ( k3 + k4 )x3 − k4 x4 = 0

. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .

mi xi − ki xi + ( ki + ki +1 )xi − ki +1 xi +1 = 0

mn xn − kn xn −1 + kn xn = 0
(1.7)
ikinci yayın uyguladığı kuvvet ise
k2
( x1 −
x2 )
(1.2)
şeklinde yazılır. Toplam kuvvet
F1 = - k1 x1 + k2 ( x1 − x2 )
(1.3)
şeklinde yazılır.
m2 kütlesine yalnız ikinci yay tarafından kuvvet
elde edilir. Dönme veya burulma hareketi yapan
sistemler için (Şekil 1.3) analojik olarak (1.7)
denklemi ;
uygulanabilir.
F2 = k2 ( x1 − x2 )
(1.4)
 J 1ϕ 1 + ( k 1 + k 2 )ϕ 1 − k 2 ϕ 2 = 0
 J ϕ − k ϕ + ( k + k )ϕ − k ϕ = 0
2 2
2
3
2
3 3
 2 2
 J 3 ϕ 3 − k 3 ϕ 3 + ( k 3 + k 4 )ϕ 3 − k 4 ϕ 4 = 0

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

 J iϕ i − k iϕ i + ( k i + k i + 1 )ϕ i − k i + 1ϕ i + 1 = 0

 J n ϕ n − k n ϕ n − 1 + k n ϕ n = 0
∑ F = ma ’ nın tatbiki ile serbest titreşimlerde
m 1 x 1 = F1
m 2 x 2 = F2
ve
(1.5)
yazılırsa, iki serbestlik dereceli sistem için (Şekil
1.2) hareket denklemi
(1.8)
şeklinde yazılabilir. Burada m1 , m2 , m3 , . . . . , mn
sistem elemanlarının kütleleri; J1 , J2 , J3 , . . . . , Jn
sistem elemanlarının atalet momentleri ; k1 ,k2 ,k3 ,
...... , kn sistemin rijitlikleri ; x1 , x2 , x3 , . . . . , xn
sistemin lineer deplasmanları ; φ1 , φ2 , φ3 , . . . . , φn
sistemin dönme açılarıdır.
 m 1 x1 = − k 1 x1 + k 2 ( x1 − x 2 )

 m 2 x 2 = k 2 ( x1 − x 2 )
yazılır. Düzenleme yapılırsa
72
Makinaların Güç Ve Hareket İletim Mekanizmalarının Lineer Hareket Denklemleri
Şekil 1. 3
(1.6) ve (1.7) denklemleri daha basit matris
şeklinde aşağıdaki gibi yazılabilir.
 k1+ k2
 -k
 2
 0
K=
 .
 .

 0
- öteleme hareketinde;
M X+ K X= 0
(1.9)
. . .
.
-k3
0
. . .
.
-k3
k3 + k4
. . .
.
.
.
.
.
0
0
.
.
. . . -kn-1 + kn
0
0 
0

. 
. 

kn 
(1.13)
- dönme hareketinde ;
J φ + Kφ = 0
-k2
k2 + k3
veya şematik olarak
(1.10)
Burada M ve J kütle ve atalet matrisleri, K rijitlik
matrisi, X ve
vektörleridir.
φ
öteleme ve burulma yer değişim
Zincir şekilli sistemler için (Şekil 1.1 ve 1.3) (1.9)
ve (1.10) hareket denklemlerinde M ve J matrisleri
köşegen matrislerdir.
 m1
0

0
M =
.
.

0
0 . . . 0
m2 0 . . . 0 
0 m3 . . . 0 
 ≡ diag( M n )
.
.
. 
.
.
. 

0 0 . . . mn 
0
şeklinde gösterilebilir. K matrisinin sıfırdan farklı
köşegen elemanları;
k1 + k2 , k2 + k3 , . . , kn-1 + kn , kn
ve köşegene simetrik olan elemanları;
(1.11)
− k2 , -k3 , -k4 , . . , -kn
J1
0

0
J =
.
.

0
oluşmuştur.
0 . . . 0
J 2 0 . . . 0 
0 J3 . . . 0 
 ≡ diag( J n )
.
.
. 
.
.
. 

0 0 . . . J n 
0
X ve
φ
matrisleri ise sütun (vektör) matrislerdir.
x1
x2
x3
(1.12)
K köşegen matristir.
X=
.
.
.
xn −1
xn
73
ve
Bakşiyev ve Ertaş
ϕ1
ϕ2
ϕ3
φ=
ve
J φ + Kφ = 0
.
şeklinde idi. Ancak budaklanmış sistemlerde K
matrisi farklı olarak karmaşık bir blok matris
şeklinde kullanılır. Şekil 1.4 e göre K blok matrisi;
.
.
ϕ n −1
ϕn
(1.14)
Böylece matrisler üzerinde yapılan işlemler sonucu
(1.9) ve (1.10) denklemlerinden (1.7) ve (1.8)
sistem denklemleri elde edilmiş olur.
(1.14)
Hareket denklemlerinin matris şeklinde yazılışı
tamamen görseldir ve kullanımı kolaydır.
Burada K1 - l x l boyutlu köşegen matrisi, K2 n x n boyutlu köşegen matrisi , K12 ve K21 - l x
n ve n x l boyutlu dikdörtgen matrislerdir.
2. BUDAKLANMIŞ ŞEKİLLİ SİSTEMLERİN
HAREKET DENKLEMLERİ
Aynı zamanda
matrislerdir.
Makinaların güç ve hareket mekanizmalarının
titreşim araştırmalarında budaklanmış şekilli
sistemlere, yani budaklanmış dinamik modellerde
kullanılmaktadır. (Şekil 1.4)
Bu hal için (1.9) ve (1.10) hareket denklemleri
K1T = K1
M X+ KX= 0
a-)
b-)
74
;
K1 ve
K2T = K2
K2
matrisleri simetrik
Makinaların Güç Ve Hareket İletim Mekanizmalarının Lineer Hareket Denklemleri
c-)
Şekil 1.4 a, b, c : Budaklanmış Dinamik Modeller
K12
ve
K21
matrisleridir ve
matrisleri
K = K21
T
12
birbirinin
K1 matrisi (1.13) denklemindeki gibi köşegen
matristir. Ancak burada budaklanmış sistem
olduğundan ve budaklanma üçüncü J3 elemanından
ayrıldığı için (1.13) denklemindeki matrisin üçüncü
sütun ve satırında bulunan köşegenindeki k3 + k4
elemanı yerine budaklanmış elastik sistemin k l+1
elemanı da dahil k3 + k4 + k l+1 elemanı yazılmalıdır,
yani böylece;
transpoze
şeklinde ifade edilir.
Şekil 1.4a da budaklanma J3 elemanından ayrıldığı
için ve J3 ikinci budağın Jl+1 elemanı ile
birleştiğinden K12 matrisinin üçüncü satırındaki
eleman –Kl+1 , diğer elemanları ise sıfır olur, yani;
 0
 0

-kl + 1

0
K12 = 
 .

 .
 .

 0
0
0
0
0
.
.
.
0





K1= 





0 . . . 0 
0 . . . 0 
0 . . . 0 

0 . . . 0 
.
.

.
.
.
.

0 . . . 0 
Analoji olarak K21 matrisi
0
0
0
0
.
.
.
0
0
0
0
.
.
.
0
0
k2 + k3
-k3
0
-k3
.
.
.
.
.
.
.
0
.
0
.
0
 kl+ 1+ kl+ 2
 -k
l+ 2

 0

K2 = 
.

.

.

 0

(1.16)
0
-k2
-k2
. . . 0
. . . 0 
-k4 . . . 0 

.

.
. 

. 
.
-kl-1+ kl . . . kl 
0
0
k3 + k4 + kL+ 1
(1.18)





K21 = 






k1+ k2
-kl + 1 . . . 0 
0
. . . 0 
0
. . . 0

0
. . . 0
.
.

.
.
.
.

0
. . . 0 
0 
0 
. . 0 

. 
. 

. 
kl+ n 
-kl+ 2
0
0
. . .
kl+ 2 + kl+ 3
-kl+ 3
0
. . .
-kl+ 3
kl+ 3 + kl+ 4
.
.
.
.
-kl+ 4 .
.
.
.
.
.
0
0
-kl-1+ kl+ 1
(1.19)
Yukarıda yazılan kurallara göre Şekil 1.4 b ve c de
verilmiş olan budaklanmış dinamik modeller için de
rijitlik matris sistemini yazabiliriz. Şekil 1.4 b
sistemi için rijitlik blok matrisi
(1.17)
yazılabilir.
75
Bakşiyev ve Ertaş
K1
K(b)= K21
K31
K12
K13
K2
0
0
K3
Mekanizmalarının
Lineer
Olmayan
Titreşimlerinin Analizi”, Respublika İlmi
Teknik Konferansı, 1989 Bakü
4. İ. İ. Bakşiyev, H. S. Samidov, “Budaklanmış
Mekaniksel Sistemlerin
Titreşimlerinin Araştırılması, AZMİÜ İlmi
Konferansı, 1995, Bakü
(1.20)
5. F. Ayres , “Diferansiyel ve İntegral Hesap”,
Sanem Çözümlü Serisi, 1979
şeklinde yazılabilir.
Burada K1 , 1 den L ye kadar olan esas zincir
sisteminin rijitlik matrisi ; K2 , (L+1) den (L+n) e
kadar olan 2 nolu budak sisteminin rijitlik matrisi ;
K3 , (L+n+1) den (L+n+m) e kadar olan 3 nolu
budak sisteminin rijitlik matrisidir.
K1, K2, K3 matrisleri n x n boyutlu simetrik ve
köşegen matrislerdir.
K12=K21T ve K13=K31T rijitlik matrisleri 2 ve 3 nolu
budaklanmış sistemlerin 1 nolu esas zincir şekilli
sistem ile bağlantı kurulmasını sağlayan matrislerdir.
2 ve 3 nolu budaklanmış sistemlerin birbiri ile
elastik bağlantısı olmadığı için K(b) blok matrisinde
bunları göz önüne alan sıfır blokları yerleştirilmiştir.
Şekil 1.4 c de gösterilen budaklanmış sistem içinde
aynı şekilde rijitlik blok matrisi;
K1
K(c)= K21
0
K12
0
K2
K23
K32
K3
(1.21)
şeklinde yazılabilir.
Görüldüğü gibi Şekil 1.4’ de gösterilen sistemler
birbirileri ile eşdeğer sistemlerdir. Burada
sistemlerin blok numaralarını değiştirerek b
sisteminin c sistemine (veya tersi) eşdeğer olduğu
görülür. Matris dilinde K(b) ve K(c) matrislerinden,
K(b) blok matrisinin satır ve sütun elemanlarını
uygun şekilde değiştirmekle K(c) blok matrisi elde
edilir.
KAYNAKLAR:
1. “Teknikte Titreşimler”,
1976- 1980 Moskova
Sorgu Kitabı,
6 cilt
2. S. H. Krendol, F.S. Sabirov, “ Matris Yöntem
Analizi”, Darbeli Yüklemeler
İçin Sorgu Kitabı, 1980 Moskova
3. İ. İ. Bakşiyev, H. S. Samidov, “Takım
Tezgahlarının Güç ve Hareket İletim
76
DEĞİŞKEN KALINLIKLI ÜZERİ DELİKLİ DÖNEN DİSKLERİN STATİK
STABİLİTE ANALİZİ
Aysun BALTACI
Ege Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Bornova, 35100, İZMİR,
[email protected]
Mustafa SABUNCU
Dokuz Eylül Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Bornova, 35100, İZMİR,
[email protected]
ÖZET
Bu çalışmada, değişken kalınlıklı, üzeri delikli dönen diskin statik stabilite (Kararlılık) analizi yapılmıştır.
İncelemede plak kalınlığının h=hi(ri/r)b bağıntısına uygun olarak değiştiği kabul edilmiştir. Yapılan bu çalışma
ile disk kalınlığı değişiminin, disk üzerinde radyal ve çevresel yöndeki delik sayısının ve delik çapının, diskin
kritik burkulma yükü üzerindeki etkileri incelenmiştir.
Anahtar Kelimeler: Sonlu elemanlar, sektör eleman, dönen disk, stabilite, burkulma
STATIC STABILITY OF ROTATING DISCS WITH HOLES
ABSTRACT
In this study, the static stability analysis of rotating discs having variable thicknesses with different circular holes
is investigated. The variation of disc thickness is assumed to be represented by function of h=hi(ri/r)b . The
effects of hole size and the number of holes along the circumferential and radial directions on the critical
buckling loads of rotating discs are investigated.
Keywords: Finite element, sector element, rotating disc, stability, buckling
1. GİRİŞ
Günümüzde, hafif yapılar, mekanik, uzay
mühendisliği gibi bir çok endüstri alanında ağır
konstrüksiyonlar
yerine
büyük
ölçüde
kullanılmaktadır.
Bu
nedenle
bu
tip
konstrüksiyonların tasarlanmasında bir yapı elemanı
olarak kullanılan disklerin burkulma problemleri ile
ilgili çalışmalar pratik önem kazanmıştır. Rao ve
Raju [1] izotropik malzeme için sonlu elemanları
kullanarak
dairesel
plakların
burkulmasını
incelemişlerdir. Mermertaş ve Belek [2] yarıçap
doğrultusunda değişken kalınlığa sahip halka
plakların çeşitli sınır şartları altında serbest
titreşimleri
ve
statik
stabilite
analizini
incelemişlerdir. Gupta ve Ansari [3] klasik plak
teorisine dayanarak, düzlemsel olarak etkiyen
hidrostatik kuvvet altındaki lineer kalınlık
değişimine sahip ortotropik dairesel plakların
titreşimlerini ve burkulmasını incelemişlerdir.
Yardımoğlu ve Sabuncu [4] sonlu elemanlar metodu
ve dalga yayılım tekniğini kullanarak, periyodik
yayılı yüke maruz şaft-disk sistemlerinin statik ve
dinamik stabilite analizi üzerinde çalışmışlardır.
Çalışmalarında disk boyutlarının, disk hızının ve
sınır şartlarının stabilite (Kararlılık) üzerindeki
etkilerini incelemişlerdir.
Bu çalışmada, kalınlığı yarıçap doğrultusunda
h=hi(ri/r)b bağıntısına göre değişen ve üzerinde
simetrik deliklere sahip diskin statik stabilite analizi
yapılmıştır. Disk üzerindeki deliklerin boyutlarının,
yerinin ve sayısının diskin kritik burkulma yüküne
etkileri incelenmiştir. Bu amaçla diskin sonlu
eleman modeli kurulurken dairesel simetri
özelliğinden yararlanarak bir dilimi modellenmiş ve
dalga yayılım tekniği kullanılmıştır.
2. SEKTÖR ELEMANIN KATILIK VE
STABİLİTE
MATRİSLERİNİN
OLUŞTURULMASI
2.1. Sektör Eleman
Şekil 1. de 8 düğüm noktalı, 24 serbestlik dereceli
plak elemanı gösterilmiştir. Plak elemanının her
düğüm noktası üç serbestlik derecesine sahiptir.
Bunlar plak orta düzlemine dik doğrultudaki w yer
değiştirmesi ile r ve θ eksenleri etrafındaki φ ve ϕ
dönmeleridir [2].
Baltacı ve Sabuncu
η
6
7
5
4
2
8
1
ξ
3
+α -α
Şekil 3. Delikli diske etkiyen basınçlar
Dış kenardan radyal doğrultuda düzlem içi bir σo
gerilmesi etkisindeki diskte meydana gelen düzlem
içi gerilmeler yarıçap doğrultusunda
Şekil 1. Eşparametrik sektor eleman
σ rr = σ o
 ri2 
 − 1
ro2 − ri2  r 2 
ro2
σ θθ = −σ o
 ri2 
 + 1
ro2 − ri2  r 2 
ro2
(7)
σ rθ = 0
Şekil 2. Delikli Halka Plağın Periyodik Yapısı
Şekil 2. de ri diskin iç yarıçapını, ro diskin dış
yarıçapını, rd deliğin yarıçapını, ru1 ve ru2 sırasıyla ilk
deliğin ve ikinci deliğin disk merkezinden
uzaklıklarını göstermektedir.
yazılabilir. Bu ifadeler (6) denkleminde yerine
yazılıp düzenlenirse şekil değiştirme enerjisi ifadesi
Eleman içindeki yer değiştirmeler yaklaşık olarak,
1 T
{q} [S ]s {q}s
2 s
şeklini alır.
[d ] = [N ]{q}s
(1)
Dönmeden dolayı oluşan gerilmeler:
(2)
Sabit hızla dönen ve kalınlığı h=t/rb bağıntısına göre
değişen diskte radyal ve teğetsel yönde meydana
gelen gerilmeler Wang [5]
u  8  0
v  = ∑  0
 w i =1 N i (ξ , η )
 ωi 
− zN i (ξ , η )  φ
 ψi 
0
 i
zN i (ξ , η )
(U G ) s =
0
0
0
σ rr = (C1 / t )r n +b −1 + (C 2 / t )r m +b −1
Sektor elemanın potansiyel enerjisi,
Us =
1
2
(3)
− (3 + υ )ρφ 2 r 2 /[8 − (3 + υ )b]
birim şekil değiştirme
σ θθ = (C1 / t )r n +b −1 + (C 2 / t )r m + b −1
[ ]T [D][ε ]dv
∫v ε
şeklindedir. Burada
matrisi ve
[ε ]
1
2
[
=
1
2
{q}Ts [K ]s {q}s
(5)
σ rr , σ rθ ve σ θθ düzlem içi gerilmeleri altında
şekil değiştirme enerjisi
(U G ) s =
  ∂d  2
∫v σ rr 

2 
  ∂r 
1
+ 2σ rθ
∂d 1 ∂d
∂r r ∂θ
1
+ σ θθ 
r


∂θ 
∂d
]
1/ 2
burada m, n = −(b / 2 ) ± (b / 2 )2 + (1 + υb ) ve
t=hirib dir. C1 ve C2 sınır şartlarına bağlı sabitlerdir.
Genelde iç ve dış yarıçaplarında uygulanan basınç
altındaki diskte sınır koşulları (şek. 3)
(4)
{q}Ts ∫v [B ]T [D ][B ]dv{q}s
(9)
− (1 + 3υ )ρφ 2 r 2 /[8 − (3 + υ )b]
[D] malzeme matrisidir.
[ε ] = [B]{q}s
Us =
(8)
σ rr = − Pi
σ rr = − Po
(r = ri de)
(r = ro da)
şeklindedir.
2

dv

(6)
Diskte dönmeden dolayı oluşan ek şekil değiştirme
enerjisi
(U G ) s =
78
1
2
2
  ∂d  2
 1 ∂d  
σ
σ
+




 rr
dv
θθ
v
r
r
θ
∂
∂






∫
(10)
Değişken Kalınlıklı Üzeri Delikli Dönen Disklerin Statik Stabilite Analizi
yarıçapına oranı rd/ri=0,8 alınmıştır. Şekil 8 de
değiken kalınlığa sahip diskte delik boyutunun ve
disk hızının değişimleri(13)
incelenmiş ve disk hızının
diskin kritik burkulma yükü parametresine etkisi
gösterilmiştir. Bu grafikte ri/ro=0,1, çevrede 6 delik
ve deliğin disk merkezinden uzaklığı ru1=(ri+ro)/2
olarak alınmıştır.
denklemiyle verilir. (10) denklemi düzenlenirse
(U a )s = 1 {q}Ts [K a ]s {q}s
(11)
2
Dalga yayılım tekniği kullanılarak tüm disk için [K]
ve [S] matrisleri hesaplanabilir.
[[K ] − Pkr [S ]]{q} = 0
2.15
2.1
özdeğer problemi çözülerek durağan disk için Pkr
kritik burkulma yükleri,
Κ
[[K + K a ] − Pkr [S ]]{q} = 0
çev. 8 delik
1.9
0.4
Pkr
0.6
0.8
1
1.2
rd/ri
Şekil 5. Sabit kalınlıklı diskte delik çapının ve
çevredeki delik sayısının diskin kritik burkulma
yükü parametresine etkisi
3. SAYISAL SONUÇLAR
Yapılan çalışmada diskin kendini tekrar eden 60o ve
45o dilimi kullanılmış, disk kalınlığı b katsayısına
bağlı olarak değiştirilmiş ve iç kenarı ankastre, dış
kenarı serbest olarak alınmıştır. Şekil 4 de diskin
sabit kalınlıkta ve deliksiz olması durumunda elde
edilen boyutsuz kritik burkulma yükü değerleri ile
Yardımoğlu’nun sonuçları karşılaştırmalı olarak
verilmiştir. Disk üzerinde radyal ve çevresel yöndeki
delik sayısının ve delik çapının, diskin kritik
burkulma yükü üzerindeki etkileri incelenerek
grafiklerle gösterilmiştir.
Κ
çev. 6 delik
2
1.95
özdeğer problemi çözülerek dönen disk için
kritik burkulma yükleri elde edilir.
16
14
12
10
8
6
4
2
0
2.05
2.5
çev.6, rad.1 delik
2
çev.6, rad.2 delik
Κ 1.5
çev.8, rad.1 delik
1
çev.8, rad.2 delik
0.5
0
0.1
0.2
b
ref.10
çalışma
0
Şekil 6. Değiken kalınlıklı diskte radyal yönde ve
çevredeki delik sayısının kritik burkulma yükü
parametresine etkisi
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
ri/ro
Şekil 4. Sabit kalınlıklı diskin ri/ro oranına göre kritik
burkulma
yükü
parametresinin
ref.10
ile
karşılaştırması
2.5
2
Şekil 5 de sabit kalınlıklı diskte farklı delik boyutları
için çevredeki delik sayısının diskin kritik burkulma
yükü parametresine etkisi gösterilmiştir. Bu grafikte
ri/ro=0,1 ve deliğin disk merkezinden uzaklığı
ru1=(ri+ro)/2 olarak alınmıştır. Şekil 6 da değiken
kalınlığa sahip diskte radyal yöndeki ve çevresel
yöndeki delik sayısının diskin kritik burkulma yükü
parametresine etkileri gösterilmiştir. Bu grafikte
ri/ro=0,1 ve 1. ve 2. deliğin disk merkezinden
uzaklıkları ru1=(2ri+ro)/3 ) ve ru1=(ri+2ro)/3 olarak
alınmıştır. Şekil 7 de değişken kalınlığa sahip diskte
deliğin disk merkezinden uzaklığının diskin kritik
burkulma yükü parametresine etkisi gösterilmiştir.
Bu şekilde ri/ro=0,1 ve delik yarıçapının diskin iç
b=0
1.5
Κ
b=0,1
b=0,2
1
0.5
0
0
5
10
ru1/ri
Şekil 7. Değiken kalınlıklı diskte deliğin disk
merkezinden uzaklığının diskin kritik burkulma
yükü parametresine etkisi
79
Baltacı ve Sabuncu
7.
Luo, Y. F. and Teng, J. G., “Stability Analysis
of Shells of Revalution on Nonlinear Elastic
Foundations”, Computers & Structures, 69,
1998, pp. 499-511.
8.
Maretic, R.,
“Vibration and Stability of
Rotating Plates with Elastic Edge Supports”,
Journal of Sound and Vibration, 210(2), 1998,
pp. 291-294.
9.
Mote, C. D., “Stability Control Analysis of
Rotating Plates by Finite Element: Emphasis on
Slot and Holes”, Journal of Dynamic Systems,
Measurement, and Control, March 1972, pp.
64-70.
2.75
b=0, rd/ri=0,6
2.25
b=0,1 , rd/ri=0,6
b=0,2 , rd/ri=0,6
b=0, rd/ri=0,8
Κ 1.75
b=0,1 , rd/ri=0,8
b=0,2 , rd/ri=0,8
b=0, rd/ri=1
1.25
b=0,1 , rd/ri=1
b=0,2 , rd/ri=1
0.75
0
2000
4000
6000
8000
N (dev/dk)
Şekil 8. Değiken kalınlıklı diskte delik çaplarının ve
disk hızının diskin kritik burkulma yükü
parametresine etkisi
10. Yardımoğlu, B., Effects of Root Flexibility and
Centrifugal Force Field on The Stability of Disc
Systems, Doktora Tezi, Dokuz Eylül
Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 1992.
4. SONUÇ
Şekil 4 ve 5 te görüldüğü üzere ri/ro oranı artınca
kritik yük artmakta, disk üzerindeki delik çapları
arttıkça disk daha esnek hale geldiğinden kritik yük
azalmaktadır. Disk üzerindeki deliğin disk
merkezinden uzaklığı arttıkça kritik yük artmaktadır
(şekil 7), ayrıca diskin radyal ve çevresel yönündeki
delik sayıları artınca kritik yük azalmaktadır (şekil
6). Disk hızı kritik yükü arttırmaktadır.
5. KAYNAKLAR
1.
Rao, G. V. and Raju K., “A Reinvestigation of
Post-buckling Behaviour of Elastic Circular
Plates Using a Simple Finite Element
Formulation”, Computers and Structures, 17(2),
1983, pp. 233-235.
2.
Mermertaş, V. and Belek, H. T., “Stability of
variable thick orthotropic annular plates”,
International Journal of Mechanical Sciences,
36(8),1994, pp. 737-749.
3.
Gupta, U.S. and Ansari, A.H., “Asymmetric
Vibrations and Elastic Stability of Polar
Orthotropic Circular Plates of Linearly Varying
Profile”, J. of Sound and Vibration, Vol. 215(2),
1998, pp. 231-250.
4.
Yardimoglu, B. and Sabuncu, M., “Dynamic
Stability of Discs with Variable Thicknesses
and Restrained Elastically at The Inner Edge”,
ASME, 64-8.1,1994.
5.
Wang, C. T., Applied Elasticity, McGraw-Hill,
1953
6.
Mermertaş, V. ve Belek, H. T., “Değişken
Kalınlıklı Halka Plakların Serbest Titreşimleri
ve Statik Stabilitesi”, 3. Ulusal Makina Teorisi
Sempozyumu, 1988, 50-68.
80
EKSANTRİK MİLLERİNİN DİNAMİK KARARLILIĞI
Gökhan BULUT
İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi, 80191 Gümüşsuyu, İSTANBUL
[email protected]
Özgür TURHAN
İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi, 80191 Gümüşsuyu, İSTANBUL
[email protected]
ÖZET
Bu çalışmada eksantrik millerinin burulma titreşimlerinin dinamik kararlılığı incelenmektedir. Bu amaçla
üzerine bir dizi eksantrik mekanizması bağlı bir mil ele alınmakta, mekanizmalar arasındaki mil kısımları
kütlesiz birer burulma yayı olarak modellenmekte ve sistemin dinamik davranışlarının bir Mathieu-Hill
denklemleri takımınca yönetildiği gösterilmektedir. İki adet eksantrik mekanizması taşıyan bir mil örneği için bu
denklemlerin kararlılığı Genelleştirilmiş Bolotin Yöntemi yardımıyla incelenip uygun bir parametre düzleminde
kararlılık kartları verilmektedir.
Anahtar Kelimeler: Eksantrik mili, burulma titreşimleri, Mathieu-Hill denklemleri, dinamik kararlılık,
genelleştirilmiş Bolotin yöntemi.
ABSTRACT
Dynamic stability of the torsional vibrations of a camshaft is considered. Shaft portions between the cam
mechanisms are modelled as massless torsional springs and the governing equations of motion are derived for a
shaft carrying an arbitrary number of cam mechanisms. These equations are shown to consist of a set of
Mathieu-Hill equations. Stability analysis is carried out via the generalised Bolotin method for an example shaft
carrying two cam mechanisms and the results are presented in the form of stability charts constructed on a
suitable parameter plane.
Keywords: Camshafts, torsional vibrations, Mathieu-Hill equations, dynamic stability, generalised Bolotin
method.
1. GİRİŞ
Uygulamalı mekaniğin farklı alanlarında karşılaşılan
bir çok sistemin dinamik davranışı, matematiksel
model olarak, peryodik katsayılı, lineer, adi
diferansiyel
denklemlerle
(Mathieu-Hill
denklemleri) temsil edilir. Bu sistemler parametre
tahrikli sistemler adıyla anılırlar. Parametre tahrikli
bir sistem, sıradan titreşim sistemlerinde karşılığı
bulunmayan bir dizi rezonans koşuluna sahiptir ve
bu koşulların belirlenmesi problemi dinamik
kararlılık analizi adını alır. Kararlılık analizinin
sonuçları, genellikle ve tercihan, seçilmiş iki sistem
parametresinin
oluşturduğu
bir
parametre
düzleminde kararlı ve kararsız parametre
bölgelerinin gösterildiği kararlılık kartları (Strutt
diyagramları) şeklinde verilir.
Bu kartlardaki
kararsız bölgeler sistemin rezonans koşullarına
karşılık gelir ve sistemi bu bölgelere isabet eden
parametre
kombinasyonlarında
çalıştırmaktan
kaçınmak gerekir.
Söz konusu rezonanslar,
(harmonik ve harmonik altı) parametrik rezonanslar
ve bileşik rezonanslar (kombinasyon rezonansları)
şeklinde iki sınıf altında toplanır. Mathieu-Hill
denklemlerinin kuramı olan Floquet Kuramı,
parametrik rezonans koşullarına ilişkin net sonuçlar
vermekle birlikte bileşik rezonans koşulları için bir
bilgi içermediği için, kararlılık analizinde bileşik
rezonans koşullarının belirlenmesi parametrik
rezonans koşullarının belirlenmesine oranla daha zor
bir problem oluşturur. Yalnız parametrik rezonans
koşullarının belirlendiği bir kararlılık analizi
parametrik kararlılık analizi, (parametrik ve bileşik)
tüm rezonans koşullarının belirlendiği bir kararlılık
analizi ise tam kararlılık analizi diye adlandırılır.
Konumun peryodik bir fonksiyonu olarak değişen
eylemsizliğe sahip mekanizmalara bağlı millerin,
burulma titreşimleri bakımından, parametre tahrikli
sistemler oluşturdukları bilinmektedir. Bu konuya
ilişkin ilk kapsamlı çalışmayı Zur Capellen [1]
yapmıştır. Zur Capellen, giriş ve çıkış milleri
burulma esnekliğine sahip bir üç çubuk
Bulut ve Turhan
mekanizmasını ele almış, mil kısımlarını bir
uçlarında eylemsizlik çarkları taşıyan kütlesiz
burulma yayları olarak modellemiş, mekanizmanın
hareket denklemini lineerleştirmiş ve sistemin
parametre tahrikli bir sistem olduğunu göstermiştir.
Bu çalışmada sistem için, analog bilgisayar hesabına
dayalı bir kararlılık kartı da verilmiştir. Daha sonra
Pasricha ve Carnegie [2,3] içten yanmalı motorlarda
krank milinin dinamik kararlılığı problemini ele
almış, çok silindirli motorlar için lineerleştirilmiş
hareket denklemlerini formüle etmiş ve tek silindirli
motor özel hali için bir parametrik kararlılık kartı
vermiştir. Zadoks ve Midha [4,5] ve Kostyra ve
Weyh [6,7] yine içten yanmalı motorlarda krank
milinin burulma titreşimlerinin kararlılığı problemini
ele almış, birinciler tek silindirli motor, ikinciler ise
(6 silindirliye kadar) çok silindirli motor için, kendi
geliştirdikleri yöntemlerle tam kararlılık analizi
gerçekleştirmişlerdir. Bütün bu çalışmalarda
kullanılan matematik modeller esas olarak Zur
Capellen'inkiyle aynıdır.
2. HAREKET DENKLEMLERİ
Şekil 1-a'daki, üzerinde birbiriyle özdeş n adet
eksantrik mekanizması taşıyan eksantrik mili göz
önüne alınsın, milin eylemsizliği göz ardı edilsin ve
kısımları ki burulma yayı - ci viskoz sönüm elemanı
ikilileri ile modellensin. Milin bir ucunda yeterince
büyük I0 eylemsizlik momentine sahip bir
eylemsizlik çarkı bulunduğu, dolayısıyla bu ucun
sabit 0 hızıyla döndüğü varsayılsın. Eksantrik
mekanizmalarının (şekil 1-b) e kadar kaçık
bağlanmış, I eylemsizlik momentine sahip
r
yarıçaplı birer dairesel disk ile onlardan hareket alan
tablalı birer izleyiciye sahip olduğu, mekanizmaların
geri kalan kısımlarının ise izleyici düzeyine
indirgenmiş olarak bir meş eşdeğer kütlesi ve bir keş
eşdeğer yayı ile temsil edildiği düşünülsün.
Bu kabuller altında
mekanizmasının
I(ϕ i )ϕ i +
Bu çalışmada ise, üzerinde bir dizi eksantrik
mekanizması bağlı, burulma esnekliğine sahip bir
milin (eksantrik mili) dinamik kararlılığı problemi,
yine Zur Capellen'inkine benzer bir model
yardımıyla ele alınacaktır. Bu modelde, bir ucunda
ağır bir eylemsizlik çarkı taşıdığı varsayılacak olan
milin kütlesi göz ardı edilerek mil kısımları birer
burulma yayı ve viskoz sönüm elemanı ile temsil
edilecek, mile bağlı eksantrik mekanizmalarının
lineer olmayan hareket denklemleri de nominal bir
dönme hareketi civarında lineerleştirilerek hesaba
katılacaktır. Kararlılık analizinde, bir parametrik
kararlılık analizi yöntemi olan Bolotin Yönteminin
[8] bir tam kararlılık analizi yöntemine
genelleştirilmesi olan Genelleştirilmiş Bolotin
Yöntemi [9] kullanılacak ve üzerinde iki eksantrik
mekanizması taşıyan bir mil örneği için kararlılık
kartları verilecektir.
ilkin
i
inci
1 dI(ϕi ) 2
ϕ i = Q i (ϕ i )
2 dϕ i
(1)
şeklindeki Eksergian Hareket Denklemi [10]
yazılmak istensin. Bu amaçla i inci mekanizmanın
genelleştirilmiş eylemsizliği
~
I(ϕ i ) = I[1 − α I (ϕ i )] ;
I = I+
m eş e 2
2
α=
,
(2)
m eş e 2
2I
,
~
I (ϕi ) = cos 2ϕ i
şeklinde, i. mekanizmaya etkiyen genelleştirilmiş
kuvvet ise (ψi i. diskin yerleştirme ya da faz açısını,
s ise keş yayının ön sıkışma miktarını göstermek
üzere)
x
keş
meş
x
keş
meş
z
kn, cn
I
I0
ki+1, ci+1
y
n
keş
meş
I
ki, ci
Ω0
eksantrik
ϕi
y
I
r
e
i
0
Şekil 1 İncelenen Sistem: (a) Eksantrik Mili, (b) Eksantrik Mekanizması
82
Eksantrik Millerin Dinamik Kararlılığı
M i (ϕ i ) = k eş e(s + r ) sin ϕ i +
k eş e 2
2
sin 2ϕ i
alınarak istenilen sayıda eksantrik taşıyan milin
dinamik davranışları incelenebilir.
(3)
ve
3. KARARLILIK ANALİZİ
Ti (ϕi ) = − k i [(ϕi − ψ i ) − (ϕi −1 − ψ i −1 )]
Kararlılık analizinde, [9] da verilen Genelleştirilmiş
Bolotin Yönteminden yararlanılacaktır. Yöntemi
kısaca tanıtmak amacıyla dinamik davranışı, C(t) ve
K(t) T peryodlu nxn matrisler olmak üzere
− k i +1[(ϕi − ψ i ) − (ϕi +1 − ψ i +1 )]
(4)
−ci (ϕi − ϕi −1 ) − ci +1 (ϕi − ϕi +1 )
x + C( t )x + K ( t )x = 0
ile
Qi(ϕi)= Mi(ϕi)+ Ti(ϕi)
(5)
ile temsil edilen kanonik olmayan n serbestlik
dereceli bir sistem ele alınsın. Burada, peryodu T
den 2π’ye dönüştüren τ= t; =2π/T değişken
dönüşümü yapılıp (9) yerine
şeklinde elde edildikten sonra
ϕi
θi
ψi
ϕ0, θ0,
: i. diskin dönme açısı,
: i. diskin burulma açısı; (θ0=0),
: i. disk yerleştirme (faz) açısı; (ψ0=0)
ψ0 : Eylemsizlik çarkına ait açılar,
1 C( t )x + 1 K ( t ) x = 0
x+ Ω
2
Ω
ϕi = Ω 0 t + ψ i + θi
dikkate
(6)
alınarak
(1)
C(τ) =
K (τ) =
∑ Cpeipτ
,
(11)
m
∑ K peipτ
p = −m
(12)
şeklindeki kompleks Fourier serisi açınımları ve
sistemin Floquet Kuramına göre (Dk, nx1’lik bir
kompleks Fourier katsayıları vektörü olmak üzere)
K. terimde kesilmiş haliyle
− θi +1) + ci (θi − θi −1) + ci +1(θi − θi +1) = 0
(7)
elde edilir. Lineer olmayan bu denklemin, küçük
θi , θi , θi
burulma titreşimleri kabulüyle,
argümanlarının McLaurin Serisi’ne açılıp yalnız ilk
terimler alıkonularak lineerleştirilmesi ve τ=Ω0t
(=ϕ0) değişken dönüşümünün devreye sokulmasıyla
da i inci eksantrik mekanizmasının lineerleştirilmiş
hareket denklemi olarak
x(τ) = eρτ
K
∑ Dk eikτ
k =−K
(13)
şeklinde olacağı bilinen çözümü yerlerine yazılır
ve e nin farklı kuvvetli terimleri birbirinden
ayrılırsa bilinmeyen Dk’lar için
I(τ + ψ i )Ω 02 θ′i′ + [I ′(τ + ψ i )Ω 0 + c i + c i+1 ]Ω 0 θ′i
1
+ [ I ′′(τ + ψ i )Ω 02 − M ′i (τ + ψ i ) + k i + k i +1 ]θ i
2
−c i Ω 0 θ′i−1 − c i+1Ω 0 θ′i+1 − k i θ i−1 − k i+1θ i+1
1
I ′(τ + ψ i )Ω 02
2
,
m
p = −m
denklemine
1
I(Ω 0 t + ψ i + θ i )θ i + I ′(Ω 0 t + ψ i + θ i )(Ω 0 + θ i ) 2
2
− M i (Ω0 t + ψ i + θi ) + k i (θi − θi −1 ) + k i +1 (θi
= M i (τ + ψ i ) −
(10)
yazıldıktan sonra C(τ) ve K(τ)’nun m. harmoniğe
kadar içeren
tanımları altında yazılan
eşitliği de
dönülürse
(9)
Ω 2 (ρ + ik ) 2 D k +
m
∑ [Ω(ρ + iq))C p + K p ]D q = 0
p=− m
k=-K,...,-2,-1,0,1,2,....K , q=k-p
i=1,2,...n
(8)
(14)
lineer cebirsel denklem takımına gelinir. Bu takım
Ω≠0 ile hiper-vektör matris formunda yazılarak
ifadesine gelinir. Burada üsler τ’ya göre türevleri
göstermektedir.
[ρ 2 I + ρ[E 0 + 1 / ΩE1 ] + [F0 + 1 / ΩF1 + 1 / Ω 2 F2 ]]D = 0
(15)
şekline
getirilebilir.
Burada
Elemanları τ nun 2π peryodik fonksiyonları olduğu
için birer Mathieu-Hill denklemi olan bu
denklemlerden istenildiği kadarı bağlaşık olarak ele
D = {...D T− 2 , D T−1 , D T0 , D1T , D T2 ,...}T
,
η1=n(2K+1)
boyutlu bir sütun matris, I aynı boyutlu birim
83
Bulut ve Turhan
matris, Ei, Fi’ler ise nxn boyutlu birer matris olan
elemanları
k,q
E0
k,q
F0
= 2ikIδ kq ,
k,q
E1
= −k 2 Iδ kq ,
F1
k,q
olacağının anımsanması yeterlidir [9].
Buna göre, (21) den ρ=0 ın (20) de yerine
konulmasıyla harmonik rezonans bölgesi sınırları
için
= Cp
k,q
= iqC p ,
F2
= Kp
det [F0 + 1 / ΩF1 + 1 / Ω 2 F2 ] = 0
(16)
şeklinde tanımlı 1x 1 boyutlu hiper-matrislerdir.
Burada δkq Kronecker deltası, i2=−1, p=k-q, k ve q
üst indisleri ise ilgili hiper-matrisin , sırasıyla,
hiper-satır ve hiper-sütün indisleridir. (15)
denkleminin trivial olmayan çözümlere sahip
olabilmesi için, ρ için ikinci dereceden bir matris
polinomu olan katsayılar matrisinin determinantı
sıfır olmalıdır. ρ’ya göre lineerleştirmeyle bu koşul
 0
U0 = 
- F0
I 
,
- E 0 
 0
U2 = 
- F2
0
0
 0
U1 = 
- F1
(22) den ρ=i/2 nin (20) de yerine konulması ile de
harmonik altı rezonans bölgesi sınırları için
det[[F0 + 1 / 2iE 0 − 1 / 4I] + 1 / Ω[F1 + 1 / 2iE1 ]
+ 1 / Ω 2 F2 ] = 0
0 
,
- E1 
det[B(U 0 ) + 1 / ΩB(U1 ) + 1 / Ω 2 B(U 2 )] = 0
(17)
det[[U 0 + 1 / ΩU1 + 1 / Ω 2 U 2 ] − ρI ] = 0
(18)
1 M + 1 M =0
det M o + Ω
1
2

Ω2

R = U 0 + 1 / ΩU1 + 1 / Ω 2 U 2
(19)
det H = 0 ; H = [ R − ρI ]
 − M −1M
o
1
det  
I
 
(20)
şeklinde yazılabilir. Buradaki 2 1x2 1 boyutlu H
matrisi problemin Hill matrisi olarak bilinir.
rezonans

− M o−1M 2 
 − ΩI  = 0
0


bölgesi
(22)
1
δ2
M2
,
M1 = M1 + 21δ M 2
,
M2 = M 2
bileşik rezonans bölgesi sınırlarında ise
;
(28)
1
M o = M o + 1δ M1 +
=i/2,
ile çarpılıp
tekil olması halinde ise önce δ ilgili matris
polinomunun bir özdeğeri olmamak kaydıyla (27)
1 = 1 +1
Ω
Ω δ yazılması ve (28)
denkleminde
denkleminin
(21)
parametrik
2
şeklinde lineerleştirilmesi ve bu özdeğer analizi
Mo
probleminin
için çözülmesi yeterlidir.
'ın
(20) denklemi, bir eksenine nın yerleştirildiği bir
parametre düzleminde kararsız bölgelerin (rezonans
bölgeleri) sınırlarının belirlenmesinde kullanılabilir.
Bu amaçla, harmonik parametrik rezonans bölgesi
sınırlarında
=0,
(27)
şeklinde olan bu denklemlerin
Mo
'ın tekil olmaması kaydıyla
tanımı ile
harmonik altı
sınırlarında
(26)
yazılabilir (Verilmiş bir matrisin karşılıklı toplam
matrisinin elde edilişi için Bkz. [9] ya da [11]).
(24-26)
denklemlerinden
rezonans
bölgesi
sınırlarındaki
değerleri hesaplanabilir. Bunun
için her üçü de
şeklinde, ya da
t=0
(25)
elde edilir. Bileşik rezonans bölgesi sınırları için ise
B(Ui) matrisi Ui nin özdeğerlerinin ikişerli
toplamlarını özdeğer kabul eden ve Ui nin kendisi
ile karşılıklı (bialternate) toplamı adını alan
2 1(2 1-1) boyutlu bir matris olmak üzere
ile
s+
(24)
s≠t
değerleriyle
(23)
Ω=
84
δΩ
δ+ Ω
Ω
için çözülüp
(29)
'nın buradan
şeklinde hesaplanması mümkündür.
4. ÖRNEK PROBLEM
Örnek olarak yalnızca 2 eksantrik taşıyan bir mil
ele alınsın ve iki eksantrik arasında 180o faz açısı
rad olduğu
bulunacak şekilde ψ1=0, ψ2=π
varsayılsın. Bu değerlerin,
Ω=
Ω0
k2 / I
ζ=
,
(10) ile (32) denklemlerinin karşılaştırılmasıyla,
kararlılık analizi için (16) yerine şimdi
c2
2 k 2I
,
σ=
c1
c2
κ=
,
k2
γ=
k2
M
M=
k2
,
(31)
1
1
Q(τ)]θ′ + [R (τ) +
S(τ)]θ = 0
Ω
Ω2
= ikQ p
(37)
(38)



~
I ′(τ + π) 

~
1 − α I (τ + π) 
,
şeklinde hesaplanabileceğini belirtelim. Bilindiği
gibi -sönümsüz halde- rezonans bölgelerinin
ekseninden çıkış noktaları bu değerlere bağlı
olarak belirlenebilmekte ve harmonik parametrik
rezonans bölgelerinin
0
1+ ρ

 1 − α~I (τ)
Q(τ) = 2ζ 
1
−
 1 − α~I (τ + π)

k,q
Ω1,2 = ω1,2 / k 2 / I = κ / 2 + 1 ∓ ( κ / 2) 2 + κ
(32)
problemine gelinir. Burada, P, Q, R, S matrisleri,
 ~I ′(τ)

~
1 − α I (τ)
P(τ) = −α 

0


= −k 2 Iδ kq + ikPp + R p , F1
Örnek olarak ele alınan eksantrik mili için kararlılık
analizi, bu amaçla özel olarak geliştirilen bir
FORTRAN programı yardımıyla gerçekleştirilerek
Ω-α parametre düzleminde, diğer sistem
parametrelerinin farklı değerlerine karşılık gelen
kararlılık kartları elde edilmiştir. Ancak bunları
sunmaya geçmeden önce 2 serbestlik dereceli olan
örnek sistemin stasyoner haldeki boyutsuz doğal
frekanslarının, kolayca
tanımlarının (8) denkleminde yerlerine konulması
ve (kararlılık analizinde bu yeterli olduğu için)
denklemlerin yalnız homojen kısımlarının dikkate
alınmasıyla matris formunda
θ′′ + [P(τ) +
k,q
= Qp
tanımları geçerli olmak kaydıyla Bölüm 3’te verilen
sonuçların aynen geçerli olacağı gösterilebilir [12].
k eş e 2
,
k,q
E1
F2k,q = S p ; p = k-q
k1
k2
boyutsuz parametrelerinin ve
β=
= 2ikIδ kq + Pp ,
F0
(30)
k eş e(s + r )
k,q
E0
1

~
1 − α I (τ) 
1

~
1 − α I (τ + π) 
(33)
=
1,2/k
;
k=1,2,....K
(39)
noktalarından, harmonik altı rezonans bölgelerinin
−
=2
,
=(



~
I ′′(τ + π) 

~
1 − α I (τ + π) 
,
(35)
 1 + κ − M ′(τ)

~
1 − α I (τ)
S(τ) = 

1
~
−
 1 − α I ( τ + π)

1

~
1 − α I (τ) 
1 − M ′(τ + π) 
~

1 − α I ( τ + π) 
(36)
; k=1,2,....K
(40)
noktalarından, bileşik rezonans bölgelerinin ise
(34)
 ~I ′′(τ)

~
1 1 − α I (τ)
R(τ) = − α 
2 
0


1,2/(2k-1)
1±
2)/k
;k=1,2,....K
(41)
noktalarından çıkacağı bilinmektedir.
Aşağıda
verilecek kararlılık kartlarının bu beklentilere
uyduğu görülecektir.
0
Hesap sonuçlarını sunmaya geçmeden önce şunu da
belirtelim ki yapılan ön incelemelerde, güvenli bir
yakınsama için, (11,12) denklemlerindeki Fourier
serisi açınımlarında m=8, (13) denklemindeki
açınımda
ise
K=10
alınması
gerektiği
anlaşıldığından tüm hesaplarda bu değerler
benimsenmiştir.
−
şeklindedir.
85
Bulut ve Turhan
α
(a)
Ω
α
(b)
Ω
Şekil 2 Örnek Eksantrik Milinin Kararlılığına α Parametresinin Etkisi
(β=0.002, γ=0.001, σ=1, κ=1, ζ=0.0001)
denklemindeki seçeneklerden yalnızca artı işaretli
hal için bulunan Ω=2,236; 1,118; 0,745; 0,559
noktaları civarından çıkan bileşik rezonans bölgeleri
görülmektedir. Buna göre bu sistemde “eksi tipi”
bileşik rezonans bulunmadığı anlaşılmaktadır.
Şekil 2 ve 3 te, farklı ölçekli ikişer kart halinde,
κ=1, σ=1, ζ=0.0001 parametre değerlerine sahip
eksantrik mili için Ω-α parametre düzleminde
Ω0
Ω=
k2 / I
şeklinde
kararlılık kartları verilmiştir.
tanımlı , eksantrik milinin hızını temsil ederken
α=
Verilen şekillerden Şekil 2a ve b, β=0.002, γ=0.001
parametre değerlerine, Şekil 3a ve b ise β=0.1,
γ=0.05 parametre değerlerine karşılık gelmektedir.
Her iki şekilde de harmonik parametrik rezonans
bölgelerinin baskın olduğu, harmonik altı parametrik
ve bileşik rezonans bölgelerinin ise dar bölgeler
şeklinde kaldığı görülmektedir. Bu bölgeler,
değişken parametre etkisinin daha güçlü olmasına
yol açan büyük β, ve γ değerlerine karşılık gelen
Şekil 3a ve b de, Şekil 2a ve b dekine göre daha
belirgin hale gelmektedir.
m eş e 2
2I
şeklinde tanımlı α, mekanizmanın
genelleştirilmiş eylemsizliğindeki değişken kısmın
bir ölçüsüdür. Sistem, (36) da tanımlı S matrisinin
incelenmesiyle görülebileceği gibi, değişken
eylemsizlik yanında değişken elastikliğe de sahip
olduğundan, parametrik tahrikin şiddeti α nın
yanısıra elastikteki değişken kısmın ölçüsü olan β ve
γ parametrelerine de bağlıdır. Bu nedenle α=0 oluşu
parametrik tahrikin yok olduğu anlamına
gelmemekte ve bu husus kararlılık kartlarına
yansımaktadır. Verilen kartlardaki taralı alanlardan
koyu renk çizgilerle çevrelenmiş olanlar harmonik,
açık renk çizgilerle çevrelenmiş olanlar harmonik
altı, kesikli çizgilerle çevrelenmiş olanlar ise bileşik
rezonans bölgelerini göstermektedir. κ=1 alınan bu
örnekte boyutsuz doğal frekanslar (38) denklemine
olduğuna göre
göre Ω1=0.618 ve Ω2=1.618
harmonik rezonans bölgelerinin (39) denklemi
uyarınca, Ω=1,618; 0,809; 0,618; 0,539; 0,404;
0,323; 0,309; 0,206; 0,154; 0,123 noktaları,
harmonik altı rezonans bölgelerinin ise (40)
denklemi uyarınca, Ω=3,236; 1,236; 1,078; 0,647;
0,412; 0,359; 0,247; 0,137 noktaları civarından
çıkması beklenmektedir. Şekillere şöyle bir göz
atılırsa sonuçların bu beklentilere uyduğu görülür.
Bileşik rezonans bölgelerine gelince, şekillerde, (41)
Burada ele alınan sınırlı ve soyut örnek, eksantrik
millerinin dinamik kararlılığı hakkında ayrıntılı
genellemeler çıkartılmasına olanak vermemekle
birlikte, değişken eylemsizliğe sahip mekanizmaları
döndüren burulma elastikliğine sahip miller
hakkındaki diğer çalışmalarca da doğrulanan şu ana
hususlar not edilebilir: i) Bu sistemler parametre
tahrikli sistemler oluştururlar ve bu yüzden yalnız
burulma titreşimlerinin doğal frekanslarına karşılık
gelen hızlarda değil, onların 2/k; k=1,2,3, ... katları
civarında da rezonans tehlikesiyle karşılaşabilirler,
ii) Bu sistemlerde, her pratik sistemde
karşılaşılmadığı bilinen bileşik rezonanslar da etkili
olmaktadır. (Ele alınan örnekte yalnız artı tipi.) Bu
nedenle (41) denkleminde tanımlı hızlar civarı da
tehlikeli olabilir.
86
α
(a)
Ω
α
(b)
Ω
Şekil 3 Örnek Eksantrik Milinin Kararlılığına α Parametresinin Etkisi
(β=0.1, γ=0.05, σ=1, κ=1, ζ=0.0001)
5. SONUÇ
System: Part I-Equations of Motion and
Stability, ASME J. Mech., Trans. and Autom. in
Design, 109, 210-215.
5. Zadoks, R.I., Midha A., 1987, Parametric
Stability of a Two-Degree-of-Freedom Machine
System: Part II-Stability Analysis, ASME J.
Mech., Trans. and Autom. in Design, 109, 216223.
6. Weyh, B., Kostyra, H., 1991, Direct Floquet
Method for Stability Limits Determination-I:
Theory, Mech. Mach. Theory, 26, 123-131.
7. Kostyra, H., Weyh, B., 1991, Direct Floquet
Method for Stability Limits Determination-II:
Application and Phenomena, Mech. Mach.
Theory, 26, 133-144.
8. Bolotin, V.V., 1964, The Dynamic Stability of
Elastic Systems, Holden-Day Inc., California.
9. Turhan, Ö., 1998, A Generalized Bolotin’s
Method for Stability Limit Determination of
Parametrically Excited Systems, Journal of
Sound and Vibration, 216, 851-863.
10. Paul, B., 1979, Kinematics and Dynamics of
Planar Machinery, Prentice-Hall, New Jersey.
11. Fuller, A. T., 1968, Conditions for a Matrix to
Have Only Characteristic Roots with Negative
Real Parts, Journal of Mathematical Analysis
and Applications 23, 71-98.
12. Bulut, G., Elastik Uzuvlu Makinaların Dinamik
Kararlılığı, Y. Lisans Tezi, İstanbul Teknik
Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2002.
Bu çalışmada eksantrik millerinin burulma
titreşimlerinin kararlılık analizi problemi formüle
edilmiş ve iki eksantrik mekanizması taşıyan bir
örnek milin kararlılık analizi, Genelleştirilmiş
Bolotin Yöntemi yardımıyla gerçekleştirilerek
sonuçlar kararlılık kartları şeklinde verilmiştir.
Eksantrik millerinde, parametrik rezonanslar
yanında bileşik rezonansların da söz konusu olacağı
görülmüştür. Bu miller günümüzde aşırı rijid
tasarlanıp görece düşük hızlarda çalıştırıldığından,
kuramsal olarak öngörülen bu rezonans sorunları
uygulamada yaşanmamaktadır. Ancak, daha hızlı ve
daha hafif makinalar yapma eğiliminin, burada
sergilenen türden kararlılık incelemelerini, çok uzak
olmayan bir gelecekte tasarım hesaplarının vaz
geçilmez bir unsuru haline getireceği öngörülebilir.
KAYNAKLAR
1. Zur Cappellen, W.M., 1967, Torsional
Vibration in the Shafts of Linkage Mechanisms,
ASME J. of Engineering for Industry, 126-136.
2. Pasricha, M. S., Carnegie, W. D., 1976, Effects
of Variable Inertia on the Damped Torsional
Vibrations of Diesel Engine Systems, Journal of
Sound and Vibration 46(3), 339-345.
3. Pasricha, M. S., Carnegie, W. D., 1979, Effects
Formulation of the Equations of Dynamic
Motion Including the Effects of Variable Inertia
on the Torsional Vibrations in Reciprocating
Engine, Journal of Sound and Vibration 66(2),
181-186.
4. Zadoks, R.I., Midha A., 1987, Parametric
Stability of a Two-Degree-of-Freedom Machine
87
11.ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU
DERECESİ İNDİRGENMİŞ MİNİMAL CONTROLLER SYNTHESİS (MCS)
KONTROLÜN PLASTİK BÖLGESİNDEKİ KARARLILIĞI
Semiha BULUT
Cumhuritey Üniversitesi, Makine Mühendisliği Bölümü, 58140, SİVAS
[email protected]
ÖZET
Bu bildiride derecesi indirgenmiş minimal controller synthesis (ROMCS) kontrol yönteminin karalılığı
karşılaştırmalı testler ile analiz edildi. ROMCS ve P+I (Proportional plus Integral) kontrol
yöntemlerinin her ikisi de kesit çapı 10 mm olan alüminyum alaşımlı numuneler kullanılarak sisteme
dizayn edildi. Testlerde kullanılan diğer üç numunede aynı test koşulları altında test edildi. Böylece, bu
test koşullarının doğal sonucu olarak modellenmemiş dinamik değerler ve gürültü sistem dinamiğine
dahil oldu.
Anahtar Kelimeler: derecesi indirgenmiş minimal controller synthesis (ROMCS) kontrol, yük
kontrolü, plastik bölgede karşılaştırmalı kararlılık testleri, modellenmemiş dinamik, modelin derecesini
indirgeme
THE ROBUSTNESS OF REDUCED ORDER MINIMAL CONTROLLER SYNTHESIS
CONTROL IN THE PLASTIC REGION
ABSTRACT
In this paper, the stability of the reduced order minimal controller synthesis (ROMCS) algorithm is
investigated by comparative robustness tests. Both, ROMCS kontrol and proportional plus integral
(P+I) controller are implemented in the case of aluminium alloy specimens of 10 mm diameter. Three
other different specimens are controlled under the same controller implementations. Hence, the
unmodelled dynamics and disturbances are introduced as a natural consequence of these test
conditions.
Keywords: reduced order minimal controller synthesis (ROMCS) control, materials testing, load
control, comparative robustness tests in the plastic region, unmodelled dynamics, model order
reduction
1. GİRİŞ
Minimal Controller Synthesis) kontrol
yönteminin
sistemin
dinamik
değişkenlerindeki büyük değişimler ve
modellenmemiş
dinamik
parametreler
karşısındaki kararlılığı karşılaştırmalı testler ile
ispat edilecektir. Karşılaştırma için lineer bir
kontrol yöntemi olan Proportional plus Integral
(P+I) kontrol yöntemi de sisteme dizayn
edilecektir. ROMCS kontrol yönteminin ESH
malzeme test makinesine dizaynı ve sistem
hakkında geniş bilgi [4] de verilmiştir. ESH
malzeme test makinesi Bristol Üniversitesi,
Makine Mühendisliği Bölümü, Malzeme
Laboratuvarında geliştirilmiştir; sistem iki
taraflı bir hidrolik itici, bir servo valf, bir
hidrolik pompa, bir strain gauge ve test
numunesi ile giriş sinyali ve bunun sonucunda
elde edilen çıkış sinyalinden oluşmaktadır.
Minimal Controller Synthesis (MCS) kontrol
yöntemi, Model Reference Adaptive Control
(MRAC) yönteminin bir formudur. Bu metod,
Stoten ve Benchoubane [1] tarafından
geliştirilmiştir.
MCS kontrol yöntemi dizayn için sistemin
dinamik değerlerine ihtiyaç duymaz. Bu
sebeple sisteme uygulanması oldukça kolaydır
ve sistemin kararlı bir şekilde çalışmasını
sağlayacak kapasitededir. Algoritma pek çok
elektro-mekanik sisteme uygulanmış ve
başarılı sonuçlar üretmiştir. Bu algoritmanın
servo hidrolik malzeme test makinesindeki ilk
uygulaması [2] de verilmiştir, [3] de ise
algoritma bir elektro hidrolik iticinin pozisyon
kontrolünde kullanılmıştır.
Matematiksel olarak modellenmemiş kısımlar
ve sistemin dinamik değişkenlerindeki büyük
değişimler farklı malzeme ve kesit alanındaki
Bu bildiride derecesi indirgenmiş MCS kontrol
yöntemi veya kısaca ROMCS (Reduced Order
89
Bulut
test numuneleri kullanılarak otomatik olarak
sistem dinamiği içerisine dahil edilmiştir. Bu
bildiriden birbirinden malzeme ve kesit alanı
olarak farklı olan dört ayrı test numunesi, akma
gerilmelerinin ötesinde plastik bölgede test
edilmiştir.
Strain
Gauge
Be
Fr
m
Hem ROMCS kontrol yöntemi hem de P+I
kontrol yöntemi sisteme kesit çapı
10 mm
olan alüminyum test numuneleri kullanılarak
dizayn edilmiştir. Bu sebeple bu set halinde
yapılan testlerde kesit çapı φ10 mm olan
alüminyum numuneler standart test numunesi
olarak kabul edilmiştir. Böylece, sistem
standart test numunesi ile işlem yaparken
nominal test koşullarında çalıştığı kabul
edilmiştir. Elektro-hidrolik servo sistemler
malzeme test makinelerinde yaygın olarak
kullanılmaktadır. Pek çok malzeme test
uygulamasında servo valfe ait dinamik
değişkenler matematiksel modele dahil
edilmezler. Bunun sebebi bu tür uygulamalarda
servo valften geçen akış miktarındaki
değişiminin çok küçük olmasıdır [5].
Hidrolik
İtici
FL
Şekil 1: Hidrolik itici ve test numunesinin
dinamik analizi
Denklem (2), (1) de yerine konulursa
PL A p − Be x − k s x = mx
(3)
elde edilir. Hidrolik iticide sızıntı dolayısıyla
oluşan akış, Ql (cm3/s) ve sıkıştırma
sonucunda oluşan akış, Qc (cm3/s) aşağıdaki
şekilde yazılabilir.
Ql = C p PL
(4)
2.
ESH
MAKİNESİNİN
DİNAMİK
MODELİNİN OLUŞTURULMASI
Qc =
Vt
PL
4N
(5)
Yukarıdaki denklemlerde Cp, hidrolik itici
içindeki toplam akış kayıp katsayısını
(cm5/Ns), Vt, hidrolik itici içindeki toplam
akışkan hacmini (cm3) ve N, hidrolik yağın
bulk modülünü (sıkıştırılamazlık katsayısı)
(N/cm2) göstermektedir. Denklem (4) ve (5)
den toplam akışkan miktarı
(6)
Q L = Ql + Qc
şeklinde yazılabilir. Hidrolik yağın test
numunesi üzerine uyguladığı yük basıncı
aşağıdaki formül ile hesaplanabilir.
ESH malzeme test makinesi, test numunesi
üzerine
çekme-basma
kuvveti
uygulayabilmektedir. Sistem, nominal çalışma
şartlarının dışında (sisteme standart test
numunesi dışındaki numuneler bağlandığında)
çalıştırıldığında
modellenmemiş
sistem
parçaları dolayısıyla oluşan gürültü ve sistemin
dinamik değişkenlerinde meydana gelen büyük
değişmeler; sistemin çalışmasını olumsuz
olarak etkilerler. Yük kontrolü altında sistem
aşağıda verilen ikinci dereceden lineer bir
denklemle ifade edilebilir.
PL = P1 − P2
(7)
Burada Pı, P2 sırasıyla hidrolik pistonun birinci
ve ikinci odasındaki basınçları ifade
etmektedir. Denklem (6) daha sonra aşağıdaki
şekilde yazılabilir:
FL − Fk − Fr = mx
(1)
Şekil. 1 de sistem kütle-yay-sönümleyici
kombinasyonu ile ifade edilmiştir. Bu şekilde
m, pistonun toplam kütlesini ve pistona gelen
yükü, ks, test numunesinin yay katsayısını
göstermektedir. Piston tarafından yukarı doğru
uygulanan yük kuvveti, FL, yay kuvveti, Fk ve
sönümleme kuvveti, Fr, aşağıdaki şekilde ifade
edilebilir.
Vt
PL
4N
(8)
V


Q L = PL  C p + t s 
4N 

(9)
Q L = PL C p +
Yukarıdaki denklemin Laplace transformu
alınırsa,
FL = PL A p
Fk = k s x
Fr = Be x
ks
Fk
F
Denklem (9) dan iticinin ürettiği yük basıncı,
(2)
PL =
Denklem (2) de, PL, hidrolik iticiden gelen yük
basıncını (N/cm2), Ap, test numunesinin kesit
alanını (cm2), Be, hidrolik yağın sönümleme
katsayısını ve x, hidrolik iticinin yer değiştirme
miktarını göstermektedir.
şeklinde
x=
90
F
,
ks
QL
V 

C p + t s
4N 

(10)
hesaplanabilir. F = Fk = k s x
x=
F
,
ks
x=
F
ks
ve
eşitlikleri
Derecesi İndirgenmiş Minimal Controller Synthesis (Mcs) Kontrolün Plastik Bölgesindeki Kararlılığı
FL = PL A p
kullanılarak,
eşitliği
tekrar
Test numunesi ESH malzeme test makinesinin
iki çenesi arasına bağlandı ve daha sonra
çekme-basma deneyine tabi tutuldu.
aşağıdaki formda yazılabilir:
PL A p = F
B
m
+F e +F
ks
ks
(11)
R25mm
yukarıdaki denklemin Laplace transformu
alınırsa,
k
B
k
(12)
PL A p s = Fs 2 + F e s + F s
m
m
m
Denklem (10), (12) de yerine konulursa
(k s m )A p C p + (Vt 4 N )s
F
(13)
s=
QL
s 2 + (Be m )s + (k s m )
Yukarıdaki denklem sistemin transfer
fonksiyonunu göstermektedir. Bu matematiksel
analizde servo valfin dinamiği ihmal edilmiştir.
[
15mm 22mm
φ2535
. mm
φ175
. mm
φ175
. mm
D
R25mm
R25mm
120mm
Şekil 4: Test Numunesi
3. KARARLILIK TESTLERİ
Hem P+I hem de ROMCS kontrol yöntemi
sisteme alüminyum alaşımlı ve kesit yarıçapı
φ10 mm olan test numuneleri kullanılarak
dizayn edildi. Bu testlerde birbirinden farklı
dört ayrı genliğe sahip referans sinyali
kullanılarak bütün test numunelerinin kendi
plastik bölgelerinde test edilmeleri sağlandı.
4. KONTROL YÖNTEMLERİNİN
SİSTEME DİZAYNI
Kontrol yöntemlerinin her ikisi de Winctrl4
kullanılarak sisteme dizayn edildi. Winctrl4 bir
kontrol software paketi olup Dye ve Stoten
tarafından yazılmış ve geliştirilmiştir [6]. Bu
paket programı kullanılarak MCS de dahil
olmak üzere pek çok adaptive ve lineer kontrol
yöntemi istenen sisteme uygulanabilmektedir.
Testlerde, 12 bit lik analog-dijital ve dijitalanalog kontrol kartı takılmış olan bir 486
bilgisayar kullanılmıştır.
Bu sebeple bütün test numuneleri referans
sinyalinin genliği hariç aynı test koşulları
(aynı referans sinyali, aynı referans modeli,
aynı kontrol kazanç değerleri) altında test
edildi.
Bu set halinde yapılan testlerde; alüminyum
alaşımlı (gerilme, σ = 150 MPa ve Elastisite
Modülü, E=72 GPa) ve EN24 çelik alaşımlı
( σ = 320 MPa, E = 210 GPa ) malzemelerin
her ikisinden de kesit çapları D1 =10 mm ve
D2 = 7 mm, uzunluğu L=120 mm, ve ölçü
uzunluğu (numunenin D1 veya D2 kesitinde
olan kısmının uzunluğu) 22 mm olacak şekilde
birbirinden malzeme ve kesit alanı olarak
farklı dört ayrı test numunesi kullanıldı (Şekil
4).
4.1. ORANSAL ARTI İNTEGRAL (P+I)
KONTROL YÖNTEMİ
Daha önceden de belirtildiği üzere, hem P+I
hem de ROMCS kontrol sisteme 10 mm
çapında alüminyum alaşımlı numuneler
kullanılarak dizayn edildi. P+I kontrol yöntemi
dizayn edilirken sistemin nominal transfer
fonksiyonu kullanıldı. Sistemin nominal
transfer fonksiyonu sistem analiz testleri
sonucunda belirlendi. Bunun için sisteme giriş
sinyali olarak genliği ve frekansı zamanla artan
sinosoidal sinyal gönderilmiş. Daha sonra
sistemin verdiği çıkış sinyali Matlab Sistem
Analiz Toolbox da bulunan oe fonksiyonu
kullanılarak; ikinci dereceden ortalama transfer
fonksiyonu aşağıdaki gibi hesaplanmıştır:
Gerilme
σy
Gerilme
Genişliği
∆σ
Toplam
Uzama
Genişliği
22mm 15mm
22mm
φ2535
. mm
]
İlk
Yükleme
R25mm
G P (s ) =
Uzama (ε )
∆ε
Fig. 3: Plastik Bölgede Tam Geri-Çevirmeli
Gerilme-Uzama Eğrisi
91
2900
s + 110 s + 2000
2
(14)
Bulut
Strain-Gauge
Yükseltici
Yük
Üst Parça
Bağlama
Servo - Valf
Yükseltici
u +
y
Test
Numunesi
Alt Parça
Bağlama
Çenesi
Hidrolik
İtici
Şekil 4. ESH malzeme test makinesi
P+I kontrol yöntemi sıfır hata ile sistemi
kontrol edecek şekilde sisteme dizayn edildi.
İkinci
dereceden
sistemin
kökleri
s1 = −22.9844 ve s 2 = −87.016 noktalarına
yerleştirildi. Buna karşılık sistemin birinci
dereceden dominant kökü s = −11 rad/s,
olarak belirlendi. Buradan sistemin basamakcevabı, yerleşme zamanı yaklaşık olarak 0.35
sn olarak tayin edildi. P+I kontrol yönteminin
dizaynı Şekil 5 te gösterilmektedir. Köklerin
yer eğrisi metoduna göre, kl = 2900 kp dir.
İdeal bir çıkış sinyali için kontrol sıfır notası
aşağıdaki şekilde belirlendi.
s=−
150
100
Dominant olmayan kökler
İmajiner
Eksen 0
(
)
Kontrol sıfır, s=-12
Dominant kök, s=-11
-100
-150
-150
-100
-50
0
50
100
150
Reel Eksen
Şekil 5. P+I kontrol yönteminde köklerin yer
eğrisi, ki /kp = 12
Böylece uygun integral ve orantı kontrol
kp =
kazanç değerleri sırasıyla ki = 24 ve
2 olarak saptandı. P+I kontrol yöntemi süreksiz
formda aşağıdaki şekilde dizayn edildi:
− k p − k i ∆ x e (k − 1)
s=-87.016
-50
ki
= −12 rad/s
kp
u (k ) = u (k − 1) + k p x e (k )
s=-22.9844
50
4.2. ROMCS KONTROL YÖNTEMİ
(15)
Sistem nominal çalışma koşullarında ikinci
dereceden, bir lineer transfer fonksiyonu ile
ifade edildi. Bu sebeple, normal koşullarda
MCS kontrol yönteminin de sisteme ikinci
dereceden dizayn edilmesi gerekir. Fakat MCS
kontrol, sisteme birinci dereceden derecesi
indirgemiş referans modeli kullanılarak
sisteme dizayn edildi. Böylelikle hem dizayn
işleminin basitleştirilmesi hem de sistemin
daha
doğru
çıkış
sinyali
üretmesi
amaçlanmıştır.
x e (k ) = r (k ) − y (k )
(16)
yukarıdaki denklemlerde; u(k), sisteme
gönderilen kontrol sinyalini, xe(k), referans ve
sistemin çıkış sinyali arasındaki hatayı, y(k)
ölçülen çıkış sinyalini ve ∆ , veri aralığını
göstermektedir.
Kabul edilebilir kapalı-çevrim yerleşme
zamanı, ts = 0.35 sn olarak saptandı. Buna
bağlı
olarak
uygun
veri
aralığı,
∆ ≤ 0.35 / 10 = 35 msn olarak hesaplandı.
değeri biraz daha
Testlerde ise, ∆
düşürülerek, ∆ = 20 msn olarak kullanıldı.
İkinci dereceden bir sistem aşağıda verilen
durum denklemi ile ifade edilmiş olsun (SISO
veya MIMO):
x(t ) = Ax(t ) + Bu (t ) + d (x ,t )
(17)
92
Kontrol sinyali
yazılabilir:
ise
aşağıdaki
u (t ) = K (t )x(t ) + K r r (t )
Q>0
(33)
Yukarıdaki denklemde Q, tam pozitif simetrik
bir matris olup buradaki değeri, Q = [1] dir.
MCS adaptive kazanç değerleri; α = 0.01 ve β
= 0.001 olarak seçildi. Buna göre birinci
dereceden ROMCS referans modeline ait
parametreler aşağıdaki şekilde hesaplanmıştır:
Am = −4 / t s = −11.4286 ,
şekilde
(18)
yukarıdaki denklemde,
t
K (t ) = ∫ αy e (τ )x T (τ )dτ
0
+ βy e (t )x T (t )
Bm = 4 / t s = 11.4286
C e = t s / 8 = 0.0438 .
(19)
t
K r = ∫ αy e (τ )r T (τ )dτ
0
(20)
5.
DERECE
İNDİRGENMESİ
VE
MODELLENMEMİŞ
DİNAMİK
DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ BAĞINTI
+ βy e (t )r (t )
T
ESH malzeme test makinesi φ10 mm
çapındaki alüminyum alaşımlı test numuneleri
ile çalışırken (nominal çalışma koşulu) ikinci
dereceden bir transfer fonksiyonuna sahiptir.
Her iki kontrol yöntemi de sisteme nominal
çalışma koşullarında dizayn edildi. Bu sebeple
sistem nominal çalışma koşullarının dışında
(malzeme test makinesi, φ10 mm çapındaki
alüminyum alaşımlı test numunelerinin
dışındaki diğer üç test numunesi ile
çalıştırılması
durumunda)
çalıştırılırken,
modellenmemiş dinamik değişkenler otomatik
olarak kontrol sistemine dahil oldu. Bu test
numunesinin
dinamik
değişkenlerinin
değişimiyle
alakalıdır.
Modellenmemiş
dinamik değişkenler dolayısıyla büyük
miktarda gürültü sistem dinamiğine dahil
olmakta ve oluşan gürültü sistemin kontrolünü
güçleştirmektedir. Bu şartlar altında sistem
kontrol kazanç değerlerinde ve diğer kontrol
değişkenlerinde yapılan değişimlere karşı daha
hassaslaştırmakta bu ise kararlılığı olumsuz
olarak etkilemektedir.
Böylece,
y e (t ) = C e xe (t )
xe (t ) = x m (t ) − x(t )
x m = Am x m (t ) + Bm r (t )
(21)
(22)
(23)
burada,
C e = BcT P
BcT
= [0,
PAm +
(24)
,0 1]
T
AmT P
(25)
= −Q , Q > 0
(26)
Birinci dereceden MCS kontrol denklemleri
süreksiz formda aşağıdaki şekilde yazılabilir:
u (k ) = K (k )x(k ) + K r (k )r (k )
K (k ) = K (k − 1) + βy e x (k )
(27)
T
− σy e (k − 1)x T (k − 1)
(28)
K r (k ) = K r (k − 1) + βy e r T (k )
− σy e (k − 1)r T (k − 1)
y e (k ) = C e xe (k )
(29)
xe (k ) = xm (k ) − x(k )
(30)
burada, σ m = β − α∆ ve ∆ , süreksiz formda
Tablo 1 de referans sinyalinin genliği (V),
frekansı (Hz) ile gösterilmektedir. Nominal
çalışma koşulları dışında, ROMCS kontrol
yönteminin plastik bölgedeki performansı P+I
kontrol yöntemi ile kararlılık ve efektiflik
açısından karşılaştırılarak analiz edilecektir.
Bölüm 4.1 ve 4.2 de açıklandığı üzere her iki
kontrol yöntemi de sisteme alüminyum
alaşımlı φ10 mm çaplı numuneler kullanılarak
veri aralığını göstermektedir. Birinci dereceden
MCS referans modeli ise;
x m (t ) = (− 4 / t s )x(t )
+ (4 / t s )r (t )
(31)
şeklinde yazılabilir. Burada, x, sisteme ait
durum değişkenlerini, ve xm, ise referans
modeline
ait
durum
değişkenlerini
göstermektedir. Kontrol yöntemi tamamen
kararlıdır eğer:
C e = BeT P
ve
dizayn edildi. Bu sebeple φ10 mm çapındaki
alüminyum alaşımlı numuneler dışındaki diğer
üç numune ile çalışırken sistem, nominal
çalışma koşullarının dışında çalışıyormuş
farzedildi.
(32)
denklemi sağlanıyorsa, burada, Be = [1] ve P,
Lyapunov denklemini sağlayan pozitif definit
matristir.
Bütün test numuneleri için referans modeli,
kritik sönümlü bir çıkış sinyali verecek şekilde
0.25 Hz frekansında ve basamak formunda
PAm + AmT P = −Q
93
Bulut
seçildi. Sıfır hatalı bir çıkış sinyali için,
yerleşme zamanı,
ts = 0.35 sn olarak
seçildi. Kontrol kazanç değerleri olarak
ROMCS kontrol için α = 0.01 ve β = 0.001
ve P+I kontrol yöntemi için kp = 2 ve ki = 24
kullanıldı. Tablo 1 de gösterildiği üzere
yukarıda belirttiğimiz özelliklere sahip kontrol
sinyali
bütün test numunelerinde hiçbir
özelliği değiştirilmeden aynen kullanılmıştır.
birbirinden farklı akma gerilmesi ve sertliği
bulunmaktadır. Alüminyum alaşımlı ve EN24T
çelik alaşımlı numuneler malzeme olarak
birbirlerinden oldukça farklı mekanik ve
kimyasal özelliklere sahiptirler. Bu iki test
numunesine ilave olarak kesit alanı
değiştirilmek suretiyle: As = 78.5398 mm2
As =
( φ10 mm çaplı numuneler için) ve
38.4845 mm2 ( φ 7 mm çaplı numuneler için)
olacak şekilde iki test numunesi daha imal
edilmiştir.
Bu set halinde yapılan testlerde bütün
numuneler plastik bölgede test edilmiştir.
Kullanılan dört farklı test numunesinin
Tablo 1: P+I ve ROMCS Kontrol Kazanç Değerleri ve Referans Sinyali Değişkenleri
Kontrol Yöntemleri
P+I Kontrol
EN24T (Steel)
with φ10 mm
kp = 2, ki = 24,
gen = 5.2 V,
frk = 0.25 Hz,
ts = 0.35 sn,
∆ = 20 msn
Derecesi İndirgenmiş α = 0.01 ,
MCS Kontrol
β = 0.001 ,
gen = 5.2 V,
frk = 0.25 Hz,
ts = 0.35 sn,
∆ = 20 msn
Test Numuneleri
EN24T (Steel)
Aluminium Alloy
with φ 7 mm
with φ10 mm
kp = 2, ki = 24,
kp = 2, ki = 24,
gen = 2.4 V,
gen = 2.2 V,
frk = 0.25 Hz,
frk = 0.25 Hz,
ts = 0.35 sn,
ts = 0.35 sn,
∆ = 20 msn
∆ = 20 msn
α = 0.01 ,
β = 0.001 ,
gen = 2.4 V,
frk = 0.25 Hz,
ts = 0.35 sn,
∆ = 20 msn
Böylece testlerde dört farkı numune ve bunlara
karşılık gelecek dört ayrı genlik (uygulanan
yük) kullanılmıştır. Bunlar: 1.2 Volt
alüminyum alaşımlı φ 7 mm çaplı numuneler
için, 2.2 Volt alüminyum alaşımlı φ10 mm
çaplı numuneler için, 2.4 Volt çelik alaşımlı
φ 7 mm çaplı numuneler için ve 5.2 Volt çelik
alaşımlı φ10 mm çaplı numuneler için.
6.KARŞILAŞTIRMALI
TESTLERi VE ANALİZİ
α = 0.01 ,
β = 0.001 ,
gen = 2.2 V,
frk = 0.25 Hz,
ts = 0.35 sn,
∆ = 20 msn
Aluminium Alloy
with φ 7 mm
kp = 2, ki = 24,
gen = 1.2 V,
frk = 0.25 Hz,
ts = 0.35 sn,
∆ = 20 msn
α = 0.01 ,
β = 0.001 ,
gen = 1.2 V,
frk = 0.25 Hz,
ts = 0.35 sn,
∆ = 20 msn
sinyalini sıfır hata ile izlemektedir. Aynı test
numunesinin ROMCS kontrol ile verdiği
sonuçlar ise Şekil. 10 da gösterilmektedir. Bu
şekilde K, ileri besleme ve Kr, geri besleme
ROMCS kontrol kazanç değerlerini ifade
etmektedir. Şekil 6 ve 10 dan da görüldüğü
üzere her iki kontrol yöntemi nominal test
koşullarında
birbirine
benzer
sonuçlar
üretmiştir. Bu bize P+I kontrol yönteminin iyi
dizayn edildiğini, ikinci dereceden bulunan
modelin gerçek sistemin iyi bir yaklaşımı
olduğunu ve kontrol kazanç değerlerinin doğru
bulunduğunu göstermektedir. P+I kontrolün
alüminyum alaşımlı φ 7 mm çaplı numuneler,
φ10 mm ve φ 7 mm çaplı çelik numuneler için
ürettiği sonuçlar sırasıyla Şekil 7, 8 ve 9 da
gösterilmektedir.
KARARLILIK
Plastik bölgede yapılan bu testlerde sistem
parametrelerinde büyük değişimler meydana
gelmiştir. Bu testlerde her bir numune akma
noktasının ötesinde plastik bölgede test edildi.
Bu sebeple elastik bölgeye nazaran daha büyük
miktarda test numunesine ait modellenmemiş
ve dinamik olmayan değişkenler sistem
dinamiği içerisine ilave edilmiş oldu. P+I
kontrol yönteminin alüminyum alaşımlı φ10
mm çaplı numuneye ait sonuçları Şekil. 6 da
gösterilmektedir. Bu şekilde x, sistemin çıkış
xm,
referans
modelini
sinyalini
ve
göstermektedir. Şekilden de görüldüğü üzere
çıkış sinyali basamak şeklinde olan referans
ROMCS kontrol yönteminin φ10 mm ve
φ 7 mm çaplı alüminyum alaşımlı; φ10 mm
ve φ 7 mm çaplı çelik alaşımlı numuneler için
ürettiği sonuçlar sırasıyla Şekil 10, 11, 12 ve
13 de gösterilmektedir. ROMCS kontrol
94
yöntemi P+I kontrol yönteminden daha başarılı
sonuçlar üretti. ROMCS kontrol kazanç
değerleri oldukça hızlı ve basamak fonksiyonu
şeklinde verilen referans fonksiyonun işareti
değiştiğinde kontrol kazanç değerleri yeni
seviyelerine hemen kararlı bir şekilde
yerleşmektedirler.
95
Bulut
hata miktarının alüminyum alaşımlılara nazaran
daha fazla olduğu görülmektedir. Daha öncede
belirtildiği üzere her iki kontrol yöntemi de φ10
mm kesit çapında alüminyum alaşımlı numuneler
kullanılarak sisteme dizayn edildi. EN24T çelik
alaşımlı malzemesinin hem akma gerilmesi hem de
elastisite modülü alüminyum alaşımlı malzemeler
nazaran çok daha büyüktür. Bu sebeple çelik
alaşımlı numunelerle sitem çalıştırılırken daha fazla
modellenmemiş parametreler ve gürültü sistem
dinamiğine dahilolmaktadır.Ayrıca çıkış sinyali de
referans sinyalini oldukça hızlı ve gürültüsüz olarak
izlemektedir.
Test sonuçlarından ROMCS kontrolün sistem
parametrelerinde meydana gelen değişimlere
oldukça rahat ve yumuşak bir şekilde uyum
sağladığı görülmektedir. Basamak sinyalinin
işaretinin negatif olduğu her noktada sistemin çıkış
sinyali ani sıçramalar yapmakta daha sonra sıfır
hata ile referans sinyalini takip etmektedir.
Basamak sinyali negatif işaretli iken hidrolik itici
pistonun başlangıç noktasına doğru geri hareket
etmektedir ve numune üzerine uygulanan yük,
numuneyi referans sinyalinin ötesine doğru ani
olarak sıkıştırır. Test numunesinin bağlı olduğu üst
çene sabittir, alt çene ise sabit değildir. Alt çene
hidrolik iticiye bağlı olduğundan numune iticiden
gelen küçük yer değişimlerine, yüke ve lineer
olmayan birtakım etkenlere maruz kalır. Bu ise
sistem içerisinde gürültüye sebep olmaktadır.
Şekil. 10: Alüminyum alaşımlı, 10 mm çaplı numune için ROMCS sonuçları.
96
Şekil 11. Alüminyum alaşımlı, 7 mm çaplı numune, MCS kontrol
Şekil 12. Çelik alaşımlı, 10 mm çaplı numune, MCS kontrol
97
Bulut
Şekil 13. Çelik alaşımlı, 7 mm çaplı numune, MCS kontrol
Şekil 14. Yük kontrolü altında ROMCS kontrolün verdiği ISE hata miktarları.
98
Şekil 15. Yük kontrolü altında P+I kontrolün verdiği ISE hata miktarları.
Test sonuçlarından her iki kontrol yönteminde de
çelik alaşımlı numunelerle yapılan testlerde ki hata
miktarının alüminyum alaşımlı numunelerle
yapılanlardan daha fazla olduğu görülmektedir.
Nominal çalışma koşullarında, yük kontrolünde
sistem ikinci dereceden transfer fonksiyonu ile
ifade edildi. Fakat MCS kontrol yöntemi sisteme
birinci dereceden dizayn edildi. Oysaki normal
koşullarda MCS kontrol yönteminin de ikinci
dereceden dizayn edilmesi gerekirdi. Böylece MCS
sisteme birinci dereceden derecesi indirgenmiş
ROMCS formunda dizayn edildi. ROMCS kontrol
yöntemi, MCS kontrol yönteminde olduğu gibi
dizayn için sistem parametrelerine ihtiyaç duymaz.
Bu sebeple, dizaynı oldukça basittir ve başarılı test
sonuçları üretmiştir. ROMCS kontrol yönteminde
referans modeli sistemden bir derece daha düşük
dizayn edilerek sistemin referans modelini
yakalaması sağlandı. MCS kontrol yönteminin
sistemin derecesinin indirgenmesi durumunda
karalılığını koruduğu hatta sistemi daha başarılı ve
efektif şekilde kontrol ettiği gözlenmiştir. Bunun
sebebi de sistem modelindeki gereğinden fazla olan
parametrelerin ihmal edilmesidir.
Plastik bölgede ROMCS kontrol, P+I kontrol
yönteminden daha başarılı sonuçlar ürettiği Şekil.
13 ve 14 te gösterilen ISE (Integral Square Error)
diyagramlarında daha açık olarak görülmektedir.
7. SONUÇLAR
Bu bildiride, ROMCS kontrol yönteminin
modellenmemiş sistem parçaları dolayısıyla oluşan
lineer olmayan etkiler, sistem parametrelerinde
meydana gelen büyük değişmeler ve gürültü
karşısındaki kararlılığı karşılaştırmalı testler ile
analiz edildi. ROMCS kontrol yöntemi sisteme yük
kontrolü altında uygulandı. Sistem standart test
numunesi dışında diğer üç test numunesi ile
çalıştırıldığında modellenmemiş sistem parçaları,
parametre değişimi ve gürültü otomatik olarak
sistem dinamiğine ilave edilmiş oldu. Bu set
halindeki testlerde, standart test numunesi de dahil
olmak üzere dört ayrı test numunesi kullanıldı. Her
iki kontrol yöntemi de dizayn edilirken servo valfin
dinamiği, atalet ve sürtünme kuvvetleri ihmal
edildi.
Plastik bölgede her iki kontrol yöntemi performans
ve efektiflik açısından karşılaştırıldığında ROMCS
kontrol yönteminin P+I kontrol yönteminden daha
başarılı sonuçlar ürettiği görüldü.
Sistem parametrelerinde büyük değişimler meydana
geldiğinde P+I kontrol yönteminin bundan oldukça
olumsuz olarak etkilendiği; ROMCS kontrol
yönteminin is bu koşullarda dahi oldukça başarılı
sonuçlar verdiği gözlendi. Bu özellikle Şekil 14 ve
15 de verilen ISE diyagramlarında açıkça
görülmektedir.
99
Bulut
Field. PhD Thesis, Faculty of Engineering,
University of Bristol.
Adaptasyon mekanizması sayesinde ROMCS
kontrol ileri ve geri besleme kontrol kazanç
değerleri sistem parametrelerinde meydana gelen
değişimlere,
lineer
olmayan
etkilere
ve
modellenmemiş sistem parametreleri dolayısıyla
oluşan
gürültüye
kolaylıkla
uyum
sağlayabilmektedir.
P+I kontrol yöntemi kabul edilebilir sonuçlar üretti.
Bu kontrol yöntemi sistemi daha iyi kontrol
edebilir. Fakat bunun için kp ve ki kontrol kazanç
değerlerinin değişen şartlara uygun olarak
ayarlanması gerekir. Yeni değerlerin doğru olarak
atanması zaman ve çaba gerektirir.
Test sonuçlarında, basamak sinyalinin her işaret
değiştirmesinde çıkış sinyalinde ani çıkışlar
görülmekte daha sonra çıkış sinyali sıfır hata ile
referans modelini takip etmektedir. Bu ani
çıkışların sebebi servo valften çıkan hidrolik akış
ile test numunesi üzerine uygulanan yük arasındaki
bağıntının lineer olmamasından kaynaklanmaktadır.
Ayrıca servo valfte oluşan sürtünme ve gecikmeler
bir takım lineer olmayan etkilere ve gürültüye
sebep olmaktadır.
Yine test sonuçlarından, ROMCS kontrol
yönteminin lineer kontrol yöntemlerinden farklı
olarak çalışma koşulları gereği içeriden veya
dışından etkilere ve gürültüye maruz kalan veya
çalışma koşulları değişen sistemlerin kontrolünde
başarılı bir şekilde kullanılabileceği görülmektedir.
Ayrıca ROMCS kontrol yöntemi malzemelerin
uzama, sıcaklık ve yorulma testlerinde de
kullanılabilir. Bu tür testlerin en önemli özelliği test
numunesinin dinamik parametrelerindeki ani ve
büyük değişimler ve sevo valfin lineer olmayan
karakteristik davranışlarıdır ve ROMCS kontrol
yönteminin adaptasyon mekanizması sayesinde
sistemi kararlı bir şekilde kontrol edeceği
düşünülmektedir
8. KAYNAKLAR
1.
Stoten, D. P. & Benchoubane, H., Robustness
of Minimal Controller Synthessis Algorithm,
Int. J. Control, 1990, 51(4), 851-861
2.
Stoten, D. P., Implementation of MCS on a
Servohydraulic Testing Machine. Proc. Instn
Mech. Engrs, Part I, Journal of Systems and
Control Engineering, 1992, 206(13), 189-194.
3.
Stoten, D. P. and Bulut, S., Application of the
MCS Algorithmto the Control of an
Electrohydraulic System. In European Robotics
and
Intelligent
Systems
Conference
(EURISCON’ 94), Malaga, Spain, August
1994, pp. 1861-1871.
4.
S. Bulut, 1997 Applications of Reduced Order
MCS Control in the Electrohydraulic Servo
100
5.
H. E. Merritt, Hydraulic Control Systems, J.
Wiley, New York, 1967.
6.
M. G. Dye & D. P. Stoten, WinCtrl4
Implementation of Real Time Controllers in
Windows 3.1, Department of Mechanical
Engineering, University of Bristol, BS8 1TR.
ROBOT KOL KONTROL DİZAYNI İÇİN DURUM DEĞİŞKENLERİ GERİ
BESLEMELİ VE İNTEGRALLİ KONTROLCÜ YAKLAŞIMI
Uğur CANER
Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Maltepe 06570, ANKARA,
Mehmet EROĞLU
Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Maltepe 06570, ANKARA,
[email protected]
ÖZET
Bu çalışmada, durum değişkenleri geri beslemeli ve integralli kontrolcünün robot manipülatör tasarımı için
önemli avantajlara sahip olduğu gösterilmiştir. Tüm sistemin dinamik modeli, doğru akım motorunun dinamiği
de dikkate alınarak, üçüncü mertebe diferansiyel denklem olarak elde edilmiştir. Doğrusallaştırma işlemi,
manipülatörün nominal yörüngesi etrafındaki küçük sapmaları ifade eden denklemler bulanarak yapılmıştır.
Sistemde kontrol dizayn aracı olarak kutup yerleştirme işleminden yararlanılmıştır. Doğrusallaştırma katsayıları
manipülatörün yörüngesi boyunca güncellendiği için kutup yerleştirme işlemi dolayısıyla kontrolcü kazançları da
güncellenmektedir. Manipülatörün eklemleri arasındaki etkileşim sebebiyle bir eklemin diğerine uyguladığı
dönme momenti, her eklem için bozucu giriş olarak işlemden geçirilmiştir. Böylece bağımsız eklem kontrolu
uygulanabilmiştir. Sistem performansı, iki serbestlik dereceli manipülatör için simülasyonlar yapılarak
gösterilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Robot
simülasyon
manipülatör kontrolu, doğrusallaştırma tekniği, bağımsız eklem kontrolu,
STATE FEEDBACK PLUS INTEGRAL ERROR CONTROLLER APPROACH FOR ROBOT ARM
CONTROL DESIGN
ABSTRACT
In this study, it was shown that the state feedback plus integral error controller has outstanding advantages for
robot manipulator design. Dynamic model of whole system has been obtained as a third order differential
equation by taking into consideration of servo motor dynamics. The linearization process was carried out by
finding equations that express deviations about nominal trajectory. Control design tool in the system is pole
placement technique. Because of that linerazation coefficients has being updated during manipulator trajectory,
controller gains was updated for pole placement. The torques which interaction caused between joints were
treated as disturbance. By doing that, the independent joint control has become possible. System performance
was evaluated by simulations of two degree of freedom robot arm.
Keywords: Robot manipulator control, linearization technique, independent joint control, simulation
1. GİRİŞ
Robot manipülatör kontrolu üzerine yapılan
çalışmaların tümünde, robot kolunun istenilen
yörüngeyi mümkün olduğu kadar yakın izlemesi
amaçlanır. Arıca, modelleme hatalarına ve dış
bozucu girişlere karşı yüksek mukavemet, arzu
edilen özelliklerin başında gelir. Bu amaçların, en az
maliyetle başarılması yine önemli tasarım
şartlarından birisidir.
Manipülatör sistemi, çok girişli çok çıkışlı bir
sistemdir. Fakat, her eklem pozisyon kontrolu için
ayrı giriş sinyallerine ihtiyaç duymaktadır. Çeşitli
yöntemlerle elde edilen, manipülatör sisteminin
dinamik modeli doğrusal değildir ve eklemlerin
birbiri ile etkileşimini ifade eden bağlantılı terimler
içerir. Manipülatör dinamik modelinin kontrol
stratejilerini belirlemede önemli bir rol oynadığı
bilinmektedir[1]. Eklemler birbiri ile atalet,
merkezkaç, Coriolis ve yerçekimi yükleri dolayısıyla
etkileşim halindedir. Bu sebeplerden dolayı,
manipülatör kontrolu, sürekli araştırılmakta olan
önemli bir problem olarak kendisini göstermektedir.
Birçok klasik robot kontrol çalışmasında, doğru
akım motorunun dinamiği kontrol algoritmalarında
dikkate alınmaz. Fakat, özellikle yüksek hızlı
hareketlerde, motor dinamiğinin sistem performansı
üzerinde önemli bir rol oynadığı bilinmektedir[2].
Bu yüzden, motor dinamiği dikkate alınmadan
tasarlanan
kontrol
yaklaşımları,
gerçek
Caner ve Eroğlu
uygulamalarda yetersiz kalabilmektedir. Yapılan
başka bir yaygın uygulamada ise motor armatür
endüktansı ihmal edilerek, toplam model yine ikinci
mertebe olarak elde edilmektedir[3].
Bağımsız eklem kontrolu uygulayabilmek ve
dinamik modeli doğrusallaştırmak için yapılan en
yaygın uygulama, sistemde geri besleme halkalarıyla
doğrusal olmayan terimleri yok etmektir[4]. Başka
bir değişle, doğrusal olmayan kontrol uygulanarak,
sistem, doğrusal alt sistemlere ayrılır. Bu yöntemin
etkili bir şekilde uygulanabilmesi için sistemin
dinamik modelinin tam olarak bilinmesi gerekir.
Birçok modelleme hatası ve dış bozucu kuvvetler
dolayısıyla, sistemin dinamik modeli tam olarak
belirlenemez. Dolayısıyla bu yaklaşım bazı
durumlarda yetersiz kalabilmektedir.
Çok girişli çok çıkışlı sistemlerde, durum
değişkenleri
geri
beslemeli
ve
integralli
kontrolcünün, geleneksel orantılı, integralli, türevli
kontrolcüye göre avantajlı olduğunu gösteren bir
çalışma daha önce yapılmıştır[5]. Bu çalışmada
kontrol edilen süreç, Niederlinski tarafından verilen
transfer fonksiyonudur.
İdeal durumda, eklemlere ters dinamik vasıtasıyla
hesaplanan
dönme
momentleri
uygulanırsa,
manipülatör nominal yörüngeyi takip eder. Fakat,
birçok bozucu etken dolayısıyla, manipülatör
nominal yörüngeden sapmalar gösterir. Bundan
dolayı, sapmaların düzeltilmesi için bir kontrolcü
dizayn edilerek sisteme yerleştirilmelidir. Bir
kaynakta, ters dinamik vasıtasıyla hesaplanan dönme
momentlerinin eklemlere uygulanmasına birinci
kontrolcü, yörüngeden sapmaları düzeltmek için
tasarlanan kontrolcüye ise ikinci kontrolcü
denilmektedir[6].
Bu çalışmada, önce manipülatör sisteminin dinamik
modeli, Lagrange denklemleri kullanılarak, ikinci
mertebe vektörel diferansiyel denklem olarak
belirlenmiştir. Bu denklem, manipülatörün nominal
yörüngesi etrafındaki küçük sapmaları ifade eden
Jacobian
matrisleri
kullanılarak
doğrusallaştırılmıştır. Bu yüzden, yörünge boyunca
doğrusallaştırma katsayıları güncellenmektedir.
Daha sonra, manipülatör sisteminin doğrusal
dinamik modeli, doğru akım motorunun dinamik
denklemleriyle birleştirilmek suretiyle tüm sistemin
dinamik modeli bulunmuştur. Elde edilen, üçüncü
mertebe diferansiyel denklem, manipülatörün
izlemesi istenilen nominal yörüngesinden küçük
sapmaları için geçerlidir. Bu çalışmada kullanılan
kontrol stratejisi iki kısma ayrılabilir. Birinci kısmı,
manipülatörün nominal yörüngesini izlemesi için
gerekli dönme momentlerini ters dinamik vasıtasıyla
hesaplayarak eklemlere uygulamaktır. Birçok
bozucu iç ve dış etken dolayısıyla, manipülatör
nominal yörüngeden sapmalar gösterir. Yörüngeden
bu küçük sapmalar için geçerli olan, sistemin
doğrusallaştırılmış
dinamik
modeli,
durum
değişkenleri geri beslemeli ve integralli kontrol
stratejisiyle sapmaları düzeltmek için düzeltici
dönme momentlerini eklemlere uygulamaktadır.
Kontrolcünün bu işlevi ise ikinci kısım olarak
102
görülebilir. Sistemde kontrol dizayn aracı olarak
kutup yerleştirme işleminden yararlanılmıştır.
Manipülatörün izlediği yörünge boyunca, küçük
zaman aralıklarında, doğrusallaştırma katsayıları,
kontrolcü kazançları ve ters dinamik vasıtasıyla
eklemler için hesaplanan dönme momentleri
güncellenmektedir. Eklemler arası etkileşim
sebebiyle bir eklemin diğerine uyguladığı dönme
momenti her eklem için bozucu giriş sinyali olarak
işlemden geçirilmiştir. Kullanılan kontrolcü ardışık
geri besleme ağı dolayısıyla büyük bozucu
kuvvetlere karşı mukavemetlidir. Bu sayede,
bağımsız eklem kontrolu uygulanarak yüksek sistem
performansı elde edilmiştir.
2. MANİPÜLATÖR DİNAMİĞİ
Serbestlik derecesi n olan bir manipülatör sistemi,
Lagrange denklemleri yardımıyla ikinci mertebe
vektörel diferansiyel denklem olarak aşağıdaki
şekilde ifade edilebilir.
T= D(q) q + h(q, q ) q + c(q)
(2.1)
Burada, nx1 boyutunda olan T matrisi, eklemlere
etkiyen genelleştirilmiş dönme momentlerini ifade
etmektedir. D matrisi nxn boyutundadır ve atalet
kütlelerinin ivmelenmesiyle oluşan etkiyi gösterir.
Matris h, nx1 boyutundadır, merkezkaç ve Coriolis
etkisini gösterir. Matris c ise nx1 boyutundadır ve
yerçekimi dolayısıyla eklemlere etkiyen dönme
momentini ifade etmektedir. Genelleştirilmiş
koordinat olarak tanımlanan q sembolü nx1
boyutundadır ve eklemlerin açısal yer değiştirmesini
temsil etmektedir. Dolayısıyla,
q açısal ivmeyi( θ ),
q ise açısal hızı( θ ) temsil etmektedir.
3. DİNAMİK MODELİN
DOĞRUSALLAŞTIRILMASI
Manipülatörün dinamik modeli, birinci mertebe
vektörel diferansiyel denklem formunda aşağıdaki
gibi yazılabilir.
x = f [x(t),u(t)]
(3.1)
Bu denklemde nx2 boyutunda olan x vektörü,
manipülatör sistemi için açısal yer değiştirmeleri ve
türevlerini ifade eden durum değişkenleridir. Vektör
u ise n boyutundadır ve hareket dolayısıyla
eklemlere etkiyen dönme momentlerini ifade
etmektedir. Şu anda, motor denklemleri dikkate
alınmadan sadece manipülatör sistemi için kontrol
girişi, manipülatörün izlemesi istenilen yörünge için
eklemlere uygun dönme momentlerinin (u)
bulunması olarak görülebilir. Nominal yörünge (xn),
nominal dönme momentlerinin (un) eklemlere
uygulanmasıyla elde edilir. Bu durum için sistemin
dinamik modeli aşağıda yazılmıştır. δx(t) ve δu(t)
nominal yörüngeden sapmaları ifade etmektedir.
Robot Kol Kontrol Dizaynı İçin Durum Değişkenleri Geri Beslemeli Ve İntegralli Kontrolcü Yaklaşımı
x n= f [xn(t),un(t)]
(3.2)
δx(t) = x(t) – xn(t)
(3.3)
δ θ 2= a41δθ1 + a42δθ2 + a43δ θ 1 + a44δ θ 2 + b4δT2
(3.15)
δu(t) = u(t) – un(t)
δx = x – xn
(3.16)
θ
(3.17)
(3.4)
Sapmaları ifade eden denklemler, sistemin durum
değişkenleri denkleminde yerine konulursa ve elde
edilen denklemin sağ tarafı, Taylor serisi ile açılırsa
küçük sapmalar için manipülatör sisteminin doğrusal
dinamik modeli elde edilir. (∂f/∂x) ve (∂f/∂u)
Jacobian matrislerini ifade etmektedir.
d/dt(xn+δx) = f [xn(t)+ δx(t), un(t)+ δu(t)]
δ x =A(xn,un)δx+B(xn,un)δu
(3.8)
n3 –
c = –a31θn1 – a32θn2 – a33 θ
a34 θ
n3 –
n4 b3un1 +
a34 θ
n4 –
θ
n1
b3un1 + θ
n1
(3.18)
f
[xn(t)+δx(t),un(t)+δu(t)]=[xn(t),un(t)]+
(3.6)
[(∂f/∂x)xn,un]δx +[(∂f/∂u)xn,un]δu +...
(3.7)
a31θ1 + a32θ2 + a33 θ 1 + a34 θ 2 + b3u1
–a31θn1 – a32θn2 – a33 θ
(3.5)
δ x = [(∂f/∂x)xn,un]δx +[(∂f/∂u)xn,un]δu
1=
θ
1=
a31θ1 + a32θ2 + a33 θ 1 + a34 θ 2 + b3u1 + c (3.19)
θ
2=
a41θ1 + a42θ2 + a43 θ 1 + a44 θ 2 + b4u2
–a41θn1 – a42θn2 – a43 θ
n3 –
a44 θ
d = –a41θn1 – a42θn2 – a43 θ
n3 –
n4 –
a44 θ
b4un2 + θ
n4 –
(3.20)
n2
b4un2 + θ
n2
(3.21)
Örnek teşkil etmesi açısından, iki serbestlik dereceli
bir manipülatör için doğrusallaştırılan dinamik
model
aşağıda
gösterilmiştir.
Aşağıdaki
denklemlerde görünen a ve b katsayıları, Jacobian
matrislerinin elementlerini temsil etmektedir.
Dolayısıyla bu katsayılar manipülatör sisteminin
izlediği yörünge boyunca güncellenmektedir.
x1= θ1, x2= θ2, x3=
θ 1,
x4=
θ 2,
θ
2=
a41θ1 + a42θ2 + a43 θ 1 + a44 θ 2 + b4u2 + d (3.22)
4. DOĞRU AKIM MOTORUNUN
MODELLENMESİ
Doğru akım motorunun dinamik denklemleri
aşağıdaki denklemler ile tanımlanmıştır.
T1= u1, T2= u2
La(dia/dt) =-Raia + ea-eb ,
dθ /dt = ω ,
eb = Kbω ,
Tm=Kiia
(3.9)
(4.1)
δ x 1 = δx3
(3.10)
δ x 2 = δx4
(3.11)
Doğru akım motorunun dinamik denklemleri ve
manipülatör
sisteminin
dinamik
modeli
birleştirilerek eklemlere etkiyen toplam dönme
momentini ifade eden eşitlik aşağıdaki şekilde
yazılabilir.
(3.12)
Tm + TD = J θ + Bt θ + T
δ x 3 = a31δx1 + a32δx2 + a33δx3 + a34δx4 + b3δu1
(4.2)
Yazılan bu eşitlik, manipülatör sisteminde herhangi
bir eklem için toplam dönme momenti dengesini
ifade etmektedir. Burada TD ekleme etkiyen bozucu
dönme momentini, J motorun polar atalet
momentini, Bt(N.m.sn/rad), toplam viskoz sürtünme
katsayısını, T ise manipülatörün doğrusallaştırılmış
dinamik modeli kullanılarak belirlenen dönme
momentidir. θ motorun ve eklemin açısal yer
δ x 4 = a41δx1 + a42δx2 + a43δx3 + a44δx4 + b4δu2
(3.13)
δ θ 1 = a31δθ1 + a32δθ2 + a33δ θ 1 + a34 δ θ 2 + b3δT1
(3.14)
103
Caner ve Eroğlu
değiştirmesini ifade etmektedir. Bu eşitlikte motor
ve manipülatör eklemi arasındaki dişli sayısı oranı 1
alınmıştır. Doğrusallaştırılmış denklem (Eş. 3.8)
kullanılarak belirlenen ve manipülatörün hareketi
dolayısıyla ekleme etkiyen dönme momentini ifade
eden T sembolü, doğrusallaştırma katsayılarını,
diğer eklemlerin dinamiğini ve ters dinamik
vasıtasıyla hesaplanan dönme momentlerini
içermektedir. Örneğin iki serbestlik dereceli
manipülatörün birinci eklemi için Eş.3.20’de
belirlenmiş olan doğrusal dinamik denklem
kullanılarak, hareket dolayısıyla bu ekleme etkiyen
dönme momenti aşağıdaki şekilde yazılabilir.
[ θ 1 – (a31 θ 1 +a32 θ 2 +a33 θ 1 +a34 θ 2+ c)]/b3=u1= T1
(4.3)
Bu eşitlikte, c katsayısı iki ekleminde dinamiğini
içeren ve ters dinamik vasıtasıyla, birinci ekleme
uygulanması gereken dönme momentini ifade
etmektedir. Bu işlev, giriş bölümünde ifade edilen
kontrolcünün birinci kısmını ifade etmektedir.
Manipülatörün yörüngesi boyunca bu dönme
momenti
ve
doğrusallaştırma
katsayıları
güncellenmektedir. Bu sayede eklemler kısmi olarak
birbirinden ayrılmıştır. Fakat yörüngeden sapmaları
düzelten kontrol sisteminin ikinci kısmı doğrusal
denklem dolayısıyla birbirine bağımlıdır. Bu durum
Eş.4.3’de görülmektedir. Tasarlanan kontrol
sisteminde bu etkileşim, her eklem için bozucu giriş
olarak işlemden geçirilmektedir. Bu sayede bağımsız
eklem kontrolu uygulanabilmektedir. Böylece,
sistemde her eklemin karakteristik fonksiyonu ayrı
ayrı hesaplanarak kutup yerleştirme işlemi
yapılmaktadır. Kutuplar s düzleminde negatif gerçek
eksen üzerine yerleştirilmekte ve tekrarlı kutup
kullanılmaktadır. Her eklem altıncı mertebe
karakteristik fonksiyona sahiptir. Dolayısıyla, her
ekleminin altı adet tekrar eden kutbu negatif gerçek
eksen üzerine yerleştirilmektedir. İki serbestlik
dereceli manipülatör için kontrol sisteminin blok
diyagramı aşağıdaki şekilde gösterilmiştir. (bkz.
Şekil 1)
Kb
T D1
θ1i +
-
K11 1 + + K12 +2
- - s s
+
-
1
s
+
-
K13
+
1
Las + R a
b3
+
+
s
s2 (Jb3 +1)+s(Bt b3-a33)-a31
θ1
1
s
ia1
KD13
K13
KD12
Ki
ω1
c
K D11
a 43
+ +
a 41
+ +
+ +
Kb
a34
T D2
θ 2i
+
-
K21 1 + + K22 +2
- - s s
KD22
+
-
1
s
+
-
K 23
+
1
Las + R a
Ki
ia2
KD23
K 23
b4
+
+
d
s
s2 (Jb4 +1)+s(Bt b4-a44)-a42
1
s
a32
θ2
ω2
KD21
Şekil 1. İki serbestlik dereceli manipülatör sisteminin kontrol blok diyagramı
5. SİMÜLASYONLAR
programında yazılmıştır. Simülasyonlarda, her iki
eklemin altı adet tekrarlı kutbu, negatif gerçek
eksen üzerinde –500 noktasına yerleştirilmiştir.
Parametre güncelleme sayısı ise yörünge boyunca
100 kere yapılmaktadır. Simülasyonlarda görünen
noktalı çizgi, yörünge planında belirlenmiş olan
eklem değişkenlerini, düz çizgi ise gerçek eklem
değişkenlerini ifade etmektedir. Yörünge planında
Tasarlanan kontrol sisteminin performansı, iki
serbestlik dereceli manipülatörün yörünge girişlere
karşı verdiği cevapların simülasyonları yapılarak
değerlendirilmiştir. Manipülatörün izlediği yörünge
boyunca doğrusallaştırma katsayılarını ve kontrolcü
kazançlarını güncelleyen bir yazılım Matlap
104
Robot Kol Kontrol Dizaynı İçin Durum Değişkenleri Geri Beslemeli Ve İntegralli Kontrolcü Yaklaşımı
40rad/sn2 olarak belirlenmiştir.
1.2
3
1
2.5
0.8
2
Hız (rad/s n)
Teta1(rad)
manipülatörün birinci ekleminin ulaşması istenilen
maksimum ivme 70rad/sn2, ikinci eklem için ise
0.6
0.4
0.2
1
0.5
0
0
-0.2
1.5
0
0.1
0.2
0.3
Zam an(s n)
0.4
-0.5
0.5
a. Konum-zaman cevabı
Şekil 2. Birinci eklemin zaman cevabı
0
0.1
0.2
0.3
Zam an(s n)
0.4
0.5
0.4
0.5
b. Hız-zaman cevabı
1
2.5
0.9
2
0.8
Hız (rad/s n)
Teta2(rad)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
1
0.5
0
0.1
0
1.5
0
0.1
0.2
0.3
Zam an(s n)
0.4
-0.5
0.5
a. Konum-zaman cevabı
Şekil 3. İkinci eklemin zaman cevabı
0
0.1
0.2
0.3
Zam an(s n)
b. Hız-zaman cevabı
6. SONUÇLAR
motorlar kullanılarak yüksek dönme momentleri
elde edilebilir[7].
Bu çalışmada tasarlanan kontrolcü yapısı, robot
manipülatör kontrolu için arzu edilen en önemli
tasarım şartlarını yerine getirmektedir. Bunlar
aşağıdaki şekilde sıralanabilir
7. SEMBOLLER VE KISALTMALAR
Sembol
La
ia
Ra
ea
eb
Kb
Ki
Tm
a. Eklemler arası etkileşim azaltılarak, bağımsız
eklem kontrolu uygulanmıştır.
b. Modelleme hatalarına ve dış bozucu girişlere
karşı yüksek mukavemet sağlanmıştır.
c. Yüksek ivmeli ve hızlı hareketlerde bile çok iyi
geçici durum ve sürekli durum davranışı elde
edilmiştir.
d. Kontrolcü durum değişkenleri üzerinde
kolaylıkla sınırlama yapmaya imkan vermektedir.
Böylece, manipülatörde daha küçük, hafif ve ucuz
θ
ω
105
Açıklama
Armatür endüktansı(Henry)
Armatür akımı(amp)
Armatür direnci(ohm)
Armatür voltajı(V)
Geri besleme voltajı(V)
Geri besleme voltaj katsayısı(V.sn/rad)
Akım-dönme momenti katsayısı(N.m/amp)
Motorun ürettiği dönme momenti(N.m)
Motor milinin açısal yer değiştirmesi(rad)
Motor milinin açısal hızı(rad/sn)
Caner ve Eroğlu
8. KAYNAKLAR
1. Eroğlu, M, “Computer Simulation of Robot
Dynamics”, Robotica Volume 16, 1998, pp. 615621.
2.
Tarn, T.J., Zuofeng L., Bejczy, A,K ve Yun, X.,
“Nonlinear Robot Arm Control Through Third
Motor Model”, IFAC Symp. Robot Control,
1988, pp. 53-58.
3.
Somlo, J., Cat, P.T., “Robust Adaptive Control
of Robot Manipulators”, IFAC Symp. Robot
Control, 1988, pp. 151-156.
4.
Chen, Y.H., Pandey, S., “Robust Hybrid
Control of Robot Manipulators”, IEEE
International Conferance V.1 on Robotic and
Automation, 1989, pp. 236-241.
5.
Maday, C.J., Feedback Control Systems for
Time Response, Instrument Society of America,
U.S.A.,1987.
6.
Koivo, A.J., Fundamentals For Control of
Robotic Manipulators, John Willey and Song
Inc., Canada,1989.
7.
Caner, U., İki Serbestlik Dereceli Robot
Kolunun Dinamik Analiz ve Kontrol
Simülasyonu, Y. Lisans Tezi, Gazi Üniversitesi,
Fen Bilimleri Enstitüsü,2002.
106
MODAL TESTTE KARŞILAŞILAN SİSTEMATİK HATALARIN DÜZELTİLMESİ
Orhan ÇAKAR
İ.T.Ü. Makina Fakültesi, Gümüşsuyu 80191, İSTANBUL
[email protected]
Kenan Yüce ŞANLITÜRK
İ.T.Ü. Makina Fakültesi, Gümüşsuyu 80191, İSTANBUL
[email protected]
ÖZET
Günümüzde, yapıların dinamik davranışlarının belirlenmesinde analitik ve sonlu elemanlar gibi sayısal
yöntemlerin yanında son derece gelişmiş elektronik cihazlarla birlikte özel yazılımların kullanıldığı modal test
tekniği de yaygın ve oldukça etkili bir şekilde kullanılmaktadır. Bu test doğrudan yapı üzerinde gerçekleştirildiği
için elde edilen sonuçların diğer yöntemlere göre daha doğru ve güvenilir olması beklenir. Ancak modal test
sisteminden kaynaklanan ve sistematik hatalar olarak adlandırılan transdüser kütle yük etkisi, mesnet etkileri ve
yapı-sarsıcı etkileşimi gibi bir takım mekanik hatalar mevcuttur. Bu etkiler böyle bir testten elde edilen verilerin
kalitesini ve dolayısı ile be verilerle yapılacak analizlerin doğruluğunu olumsuz yönde etkilemektedir. Daha
başarılı bir modal analiz ve diğer uygulamalar için istenmeyen bu etkilerin ölçülen veriler üzerinden kaldırılması
gerekir. Bu çalışmada, mekanik etkilerden transdüser kütlesi ve askı yayı etkilerini, ölçülmüş frekans tepki
fonksiyonları (FTF) üzerinden kaldırılmak için Sherman-Morrison formülüne dayalı olarak geliştirilen yeni bir
yöntem sunulmaktadır. Yapılan nümerik ve deneysel simülasyonlar, yöntemin oldukça etkili ve başarılı
olduğunu göstermektedir.
Anahtar Kelimeler: Modal test, frekans tepki fonksiyonu, sistematik hatalar.
CORRECTION OF SYSTEMATIC ERRORS IN MODAL TESTING
ABSTRACT
As well as analytical and numerical methods such as finite element method, modal testing is used effectively
nowadays in order to determine the dynamic behaviour of structures. Because modal testing is performed
directly on the structure, it is expected that the results of modal testing are more reliable than those of other
methods. However, there are some unavoidable experimental error sources originating from the measurement
process and experimental set-up, which can be categorized as systematic errors such as mechanical errors
including mass loading effects of transducers, support effects and shaker-structure interaction. These adversely
affect the quality of the measured data and the reliability of further analyses. For a successful experimental
modal analysis and other applications, it is desirable to eliminate these undesirable and unwanted effects from
the measured data. In this study, a new method based on Sherman-Morrison identity is presented to eliminate the
mechanical errors, i.e. transducer mass-loading and suspension effects, from measured frequency response
functions (FRFs). Numerical and experimental simulations show that the proposed method is very effective.
Keywords: Modal testing, frequency response function, systematic errors.
1. GİRİŞ
Modal test, bir sistemin bilinen bir kuvvet ile tahrik
edilerek cevaplarının ölçülmesi, bunların analiz
edilmesi ve sonuçta bir matematiksel modelin
kurulmasından oluşmaktadır [1]. Bu test doğrudan
yapı üzerinde gerçekleştirildiği için elde edilen
sonuçların, sonlu elemanlar gibi diğer yöntemlerle
elde edilenlere göre daha doğru ve güvenilir olduğu
kabul edilmektedir. Ancak deneysel ölçümlerde her
zaman var olan parazitler ile modal test sisteminden
kaynaklanan ve sistematik hatalar olarak
adlandırılan transdüser kütle yük etkisi, mesnet
etkileri ve yapı-sarsıcı etkileşimi gibi bir takım
mekanik hatalar, böyle bir testten elde edilen
verilerin kalitesini ve dolayısı ile bunlarla yapılacak
analizlerin
doğruluğunu
olumsuz
yönde
etkilemektedir [2-5].
Yapı üzerine uygulanan kuvveti ve yapının
gösterdiği tepkiyi ölçmek üzere yapıya bağlanan
transdüserler
yapının
dinamik
özelliklerini
değiştirirler ve doğal frekansların gerçek
değerlerinden sapmasına neden olurlar [1,6,7].
Özellikle bu transdüserlerin yapı üzerinde farklı
noktalara taşınması suretiyle ölçülen FTF ‘lere
global eğri uydurma teknikleri uygulandığında FTF
‘ler arasındaki uyuşmazlıklar bazı sorunlara neden
olmaktadır. Genellikle modal test uygulamalarında
bu etki ihmal edilmektedir. Köprü ve uçaklar gibi
Çakar ve Şanlıtürk
büyük yapılar incelenirken bu etki ihmal edilebilir,
ancak, hafif yapılar incelendiğinde transdüserlerin
kütle etkisi önemlidir ve bu etkilerin ölçülen FTF
‘ler üzerinden kaldırılması gerekir.
Dohrmann [14], mesnet şartlarının ölçülen modal
parametreler üzerindeki etkilerini incelemişlerdir.
Çalışmada mesnetin sönümü de dikkate alınmış ve
az sönümlü bir sistemde rijit cisim modu en düşük
elastik mod frekansının %10 ‘undan büyük
olmaması durumunda bile ölçülen sönümlerin
gerçek değerinden uzak olduğu görülmüştür.
Transdüser yük etkisinin sürüş noktası (driving
point) FTF ‘leri üzerinden kaldırılması problemi çok
önceden çözülmüştür [5]. Ancak transfer FTF ‘ler
üzerinden bu etkilerin kaldırılması o kadar kolay
değildir. Bununla ilgili olarak Decker ve Witfeld [8]
tarafından FTF ‘leri kullanarak yapısal modifikasyon
(SMURF) tekniğine dayalı bir yöntem sunulmuş ve
sürüş noktası FTF ‘sinin bilinmesi durumunda
transfer FTF üzerindeki transdüser yük etkisinin
kaldırılabileceği gösterilmiştir. Silva vd., [9,10], ise
yapıları
dinamik
olarak
ayırma/bağlama
(coupling/uncoupling) tekniğine dayalı olarak bir
yöntem sunmuşlardır. Bu yöntemde, yardımcı bir
kütle kullanılmak suretiyle yapılan ilave ölçümlerle,
bazı FTF ‘lerin ölçülmeksizin hesabı da mümkün
olmaktadır. Transdüser yük etkisinin kaldırılması
için diğer bir çalışma da Ashory [11] tarafından
yapılmıştır. Ashory ‘nin tekniği ise farklı ağırlıktaki
iki transdüser ile ölçümün tekrarlanmasına
dayanmaktadır. Transdüser kütlesinin kaldırılması
için sunulan bu çalışmalardaki en önemli dezavantaj;
verilerdeki parazitlere karşı oldukça duyarlı olmaları
ve pratikteki uygulanabilirliklerinin zor olmalarıdır.
Diğer taraftan, transdüser kütlesinin doğrusal
yöndeki etkisinin yanında açısal yönlerdeki
etkilerinin de dikkate alınması gerektiğini McConnel
[12]
göstermiştir.
Ancak
yapıya
moment
uygulamadaki ve açısal cevapların ölçülmesindeki
zorluklar bunu güçleştirmektedir.
Bu etkinin FTF ‘lerden kaldırılması ile ilgili olarak
literatürde Ashory [11] ‘nin bir çalışması vardır.
Ashory
‘nin
geliştirdiği
yöntem
yapısal
modifikasyon
tekniğine
dayanmaktadır.
Bir
noktadan asılan yapıdaki askı yayının etkisini
kaldırmak için yapı farklı katılığa sahip üç kordon
ile ayrı ayrı asılarak, FTF ölçümü üç defa
tekrarlanmaktadır. Bu sayede askı yayının asıldığı
noktadaki FTF ‘de ölçülmeden hesaplanabilmekle
beraber ölçümün üç defa tekrarlanması yöntemin
uygulanabilirliğini zorlaştırmaktadır. Yapının iki
ayrı noktadan asılması durumunda ise bu ölçümlerin
dokuz defa tekrarlanması gerekmektedir. Bu
bakımdan halen pratik bir çözüme ihtiyaç
duyulmaktadır.
Munsi vd., [15], hafif bir yapının modal analizinde
askı yaylarının etkilerini incelemişlerdir. '8'
biçimindeki bir yapı üzerinde yapılan incelemede,
ince ve hafif bir askı kordonu kullanılması halinde
asma konumlarının doğal frekanslar üzerinde önemli
bir etki oluşturmadığı, ancak, daha kalın bir kordon
kullanıldığında sönüm etkisinden dolayı bazı
modların kaybolduğu görülmüştür.
FTF ‘ler üzerindeki transdüser kütle etkilerinin
kaldırılması amacıyla Cakar ve Şanlıtürk [16],
Sherman-Morrison
formülüne
dayalı
olarak
geliştirdikleri bir tekniği sunmuşlardır. Gerek
nümerik simülasyon ve gerekse deneysel
uygulamada yöntem oldukça başarılı sonuçlar
vermiştir. Ancak yöntemin bütün FTF matrisini
kullanması deneysel uygulamalar açısından bir
dezavantaj olarak görülebilir. Çünkü tipik bir modal
testte FTF matrisinin bir kolonu veya bir satırı
oluşturulmaya çalışılır. Bu çalışmada, bir önceki
çalışmadaki bu dezavantaj giderilmeye çalışılmış,
Sherman-Morrison formülüne dayalı olarak genel bir
modifikasyon formülü geliştirilmiş ve hem
transdüser kütle etkisinin hem de mesnet etkilerinin
kaldırılması amacıyla kullanılmıştır.
Modal testteki sistematik hatalardan biri de
incelenen yapının asılmasında kullanılan askı
elemanlarının etkileridir. Yapılar, genellikle serbest
sınır şartlarını sağlamak üzere hafif elastik
kordonlarla asılarak veya uçak gibi büyük yapılarda
olduğu gibi hava yastıkları üzerinde veya teker
lastiklerinin havaları indirildikten sonra test edilirler.
Bu durumda kullanılan bu elastik elemanlar yapının
dinamik özelliklerini değiştirerek rijid mod
frekansının normal bir mod gibi algılanmasına neden
olabilmektedir. Bu rijit mod frekansının, en küçük
eğilme frekansının %20 ‘sinden daha büyük olması
durumunda diğer modların etkilenmesi de
kaçınılmaz olur [7]. Pratikte, yapılar mümkün
olduğu kadar titreşim esnasında hareketsiz kalan
noktalarına yakın yerlerden asılmaya çalışılırlar.
Ancak buna rağmen bu etkiden kaçınmak mümkün
olmamaktadır.
2. SİSTEMATİK HATALARIN YAPISAL
MODİFİKASYON YÖNTEMİ İLE
GİDERİLMESİ
Yapısal modifikasyon, bir yapının kütle ve katılık
gibi fiziksel parametrelerinde yapılan değişiklikler
sonucunda
dinamik
özelliklerinin
nasıl
etkilendiğinin belirlenmesidir. Modal testte, yapı
üzerine bağlanan transdüserler ve elastik kordonlar
da yapıda bir kütle ve katılık modifikasyonu
meydana getirirler. Buna göre, yapı üzerinde
yapılacak negatif kütle ve yay modifikasyonları ile
Sistematik hataların önemli olduğu modal test
uygulama alanlarından biri de teorik modellerin
deneysel modellere uygun hale getirilmesidir. Böyle
bir uygulama için, Lindholm ve West [13], askı
elemanlarının katılığının bir çubuğun doğal
frekanslarını ve mod biçimlerini nasıl etkilediğini
farklı uzunluk ve kalınlıktaki elastik kordonları
kullanarak incelemeye çalışmışlardır. Carne ve
108
Modal Testte Karşılaşılan Sistematik Hataların Düzeltilmesi
olur. Burada [∆Z];
gerçek FTF ‘lere ulaşılabilir. Bu bölümde,
transdüser kütlesi ve askı yayının etkisini kaldırmak
amacıyla Sherman-Morrison formülüne dayalı
olarak
genel
bir
modifikasyon
formülü
geliştirilmiştir.
[∆Z]= [∆K]ω2[∆M]+iω[∆C].
biçiminde ifade edilen modifikasyon matrisidir. Bu
modifikasyon matrisi [ Z]={u}{v}T gibi iki
vektörün çarpımı olarak ifade edilir ve empedans ile
reseptans arasındaki [Z]-1=[ ] bağıntısı da göz
önüne alınırsa, modifiye edilmiş sistemin reseptansı,
Sherman-Morrison formülü tarzında aşağıdaki gibi
yazılabilir:
Sherman-Morrison formülü, mevcut bir matriste
yapılan bir değişiklik ile elde edilen yeni matrisin
tersini, ilk matrisin tersi ile değişim verilerini
kullanarak doğrudan hesaplamaya yarayan bir
eşitliktir. Tekil olmayan bir [A] kare matrisinde
={u}{v}T gibi iki vektörün çarpımı şeklinde ifade
edilebilen bir değişiklik yapılması sonucu elde
edilen (modifiye edilmiş) yeni [A] matrisi,
[A] =
[A] + {u}{v}T
[α* ] = [ Z * ]−1 = [α] −
([ A] −1{u})({v}T [ A] −1 )
(2)
1 + {v}T [ A] −1{u}
biçiminde verilen Sherman-Morrison eşitliği ile
herhangi bir ters alma işlemine ihtiyaç
duyulmaksızın, doğrudan ilk matrisin tersi
kullanılarak hesaplanabilir [17]. Bu formül
mühendislikte çeşitli amaçlar için kullanılmıştır.
(Detaylı bilgi için bakınız; [18, 19]). Yapısal
dinamikte, Level, vd., [20], bu formülü modifiye
edilmiş bir sistemin reseptanslarını hesaplamak için
kullanmışlardır. Şanlıtürk, vd. [21,22], bunu lineer
olmayan sistemlere uygulamışlardır. Bu çalışmada
ise bu eşitlik FTF ‘ler üzerindeki sistematik hataların
kaldırılması için kullanılacaktır.
 α*ii α*ij

α*jj

 Sym.

Cevap
i
A
Kuvvet
B
sistemindeki
[ Z ] = [ K ] − ω [ M ] + iω[C ]
  0 T α ( k )
ii


  0  α (jik ) α (jjk )
    (k )
 vk  α ki α (kjk )


Sym.  0 
 
α (jjk )
 0 
(k )
(k )  
α kj α kk  u k 
aktif
Sym. 



(k ) 
α kk  

(7)
ve buradan herhangi bir FTF için,
α*ij =
(3)
α ij( k ) + uk vk (α (kkk ) α ij( k ) − α ik( k ) α (kjk ) )
1 + uk vk α (kkk )
(8)
genel ifadesi elde edilir. Bu ifade, modifikasyon
koordinatı ile ilgili reseptanslara bağlı olarak sadece
tek bir reseptans için modifikasyon yapmayı
mümkün kılmaktadır. Bu bakımdan (6) ifadesine
göre daha kullanışlıdır.
Burada [M], [C] ve [K] sırasıyla kütle, sönüm ve
katılık matrisleridir; ω doğal frekans ve i = − 1 .
Şekil 1 ‘de görüldüğü gibi bir A sistemi kendisine
bağlanan başka bir B sistemi ile modifiye
edildiğinde yeni sistemin empedansı;
[Z*]=[Z]+ [∆Z]
(6)
α ik( k ) 

α (jkk )  −
α (kkk ) 
α ik( k )   0  
 
α (jkk )   0  

α (kkk )  u k  

T
(k )
 0  α ii
  
1 +  0  α (jik )
v  α ( k )
 k   ki
Bir sistemin dinamik katılığı veya empedansı
aşağıdaki ifade ile verilmektedir:
2
α*ik   α ii( k ) α ij( k )
 
α (jjk )
α*jk  = 
* 

α kk
  Sym.
  α (k ) α (k )
ij
  ii

α (jjk )

 Sym.

k
j
Şekil 1. Bir modifikasyon
koordinatlar.
([α]{u})({v}T [α])
.
1 + {v}T [α]{u}
Burada [α], incelenen sistemin bütün reseptanslarını
içermektedir. Teorik uygulamalarda bu matrisin
tümünü oluşturmak mümkün olmakla beraber
deneysel açıdan tüm FTF 'leri ölçmek pratik bir
yaklaşım değildir. Modal testte genel olarak FTF
matrisinin sadece bir kolonu veya bir satırı
oluşturulmaktadır. FTF matrisinin bir satırını veya
bir sütununu kullanarak yapılacak bir modal
analizden sonra tüm FTF ‘leri elde etmek mümkün
olmakla birlikte ölçülmüş FTF ‘lerdeki mevcut
uyuşmazlıklar böyle bir hesaptan sonra elde edilecek
FTF ‘lerin doğruluğuna olan güveni azaltır. Bununla
birlikte bu ifade daha yakından incelendiğinde
sadece modifikasyondan etkilenen FTF ‘ler için
yazılabileceği görülebilir [23]. Şekil 1 ‘de i, j ve k ile
gösterilen cevap, tahrik ve modifikasyon
koordinatları (aktif koordinatlar) göz önüne alınırsa
bunlara bağlı olarak (6) ifadesi aşağıdaki gibi
yazılabilir:
(1)
biçiminde yazılabilir. Eğer [A] matrisinin tersi olan
[A]-1 önceden hesaplanmış ise değişiklikten sonra
elde edilen yeni matrisin tersi [A*]-1 ,
[ A*]−1 = [ A] −1 −
(5)
(4)
109
3. TRANSDÜSER KÜTLE YÜK ETKİSİNİN
KALDIRILMASI
amaç ilave kütle bağlı iken ölçülen FTF ‘lere 29.4 g
‘lık negatif bir modifikasyon yaparak ilave kütlesiz
olarak yapılan ölçümlere ulaşmaktır.
Modal testte yapıya bağlanan transdüserlerin yapıda
bir kütle modifikasyonu oluşturduğu düşünülebilir.
Buna dayanarak ölçülen FTF ‘ler üzerinde negatif
bir kütle modifikasyonu yaparak gerçek FTF ‘ler
elde edilmesi mümkün gözükmektedir. Bu durumda
transdüser kütlesinden (m) oluşan modifikasyon
matrisi aşağıdaki gibi yazılabilir:
0
 
 
[∆Z ] = u k 
 
 
 0 
T
İvme ölçer
B&K4384
T
0

0 
0

 
 

  
 
2
v k  = 1 − ω (-m) .

 
 

 
 

0 
 0 
0
İlave kütle
29.4 g
(9)
uk=1ve vk= 2m değerleri ile modal test açısından
modifikasyon koordinatının cevap ölçüm koordinatı
ile aynı olduğu, yani k=i , göz önüne alınırsa, (8)
‘den transdüser kütle etkisi kaldırılmış FTF
aşağıdaki gibi bulunur:
α *ij =
α ij(i )
1 + ω 2 mα ii(i )
.
Şekil 2. Deney sistemi (U-çerçeve).
(10)
Buna göre,
transdüserin konulduğu noktadaki
noktasal FTF (point FRF) ‘in ölçülmesi halinde
herhangi bir transfer FTF üzerindeki transdüser kütle
etkisi kaldırılabilir. Not olarak belirtmek gerekir ki
bu denklemin Decker ve Witfeld [8] tarafından
geliştirilene benzemesi şaşırtıcı değildir. Ayrıca
yukarıdaki formülasyonda transdüser kütlesinin tek
yönde etkidiği farz edilmiştir. Benzer formülasyon
çok yönlü ölçümler için de geliştirilebilir.
Şekil 3 ve 4 ‘de sırasıyla bir transfer ve bir noktasal
FTF için ilave kütleli olarak ölçülen, ilave kütlesiz
olarak ölçülen ve sunulan yöntem ile düzeltilmiş
FTF ‘lerin karşılaştırmaları kütle tesirinin en fazla
olduğu modlar için verilmiştir. Görüldüğü gibi
transdüserin kütlesi doğal frekansların gerçek
değerinden daha küçük ölçülmesine neden
olmaktadır. Geliştirilen yöntem ile bu ilave kütlenin
etkisi kaldırıldıktan sonra elde edilen doğal
frekanslar gerçek değerleri ile tam olarak uyuşmasa
da oldukça yaklaşmaktadır. Zaten böyle bir
simülasyonda tam bir uyum beklememek gerekir.
Çünkü, bu uygulamada transdüserin sadece bir
yöndeki etkisi göz önüne alınmıştır. Oysa, gerçekte,
transdüserin kütlesi yanında kütlesel atalet
momentinin de etkisi vardır ve altı yönde de
etkimektedir. Geliştirilen yöntem, tüm yönlerdeki
etkilerin kaldırılmasına uygun olmakla beraber,
özellikle
yapıya
pratik
olarak
moment
uygulanmasının zor olması ve açısal yönlerdeki
cevapların ölçülmesindeki zorluklar bu etkilerin
tamamının kaldırılmasını zorlaştırmaktadır. Diğer
taraftan, tekrarlanan ölçümlerde darbe çekici ile her
defasında kuvvetin aynı noktaya aynı doğrultuda
uygulanamaması da sonucu etkilemektedir.
Deneysel Uygulama
Transdüser kütle etkisini doğrudan deneysel olarak
ölçülen FTF ‘ler üzerinde göstermek ve bu etkiyi
geliştirilen yöntem ile kaldırmak amacıyla Şekil 2
‘de görülen 480 g ağırlığında bir U-çerçeve üzerinde
FTF ölçümleri yapılmıştır. Ölçümde B&K4384 tipi
ivme ölçer kullanıldı ve kütle etkisini daha da
belirginleştirmek için mıknatıslı tabla ile yapıya
tutturuldu. Bu şekilde yapılan ölçümlerden elde
edilen FTF ‘ler ‘gerçek’ olarak nitelendirildi. Yapıya
bağlanan ivme ölçerin etkisini görmek amacıyla,
ivme ölçer ile mıknatıslı tablanın toplam kütlesine
eşdeğer 29.4 g ‘lık ilave bir kütle transdüserin
bağlandığı noktaya tutturuldu ve ölçümler
tekrarlandı. Bu ölçümlerden elde edilen FTF ‘ler ise
‘ölçülen’ olarak nitelendirildi. Bu uygulamadaki
110
Şekil 3. ‘Ölçülen’, düzeltilmiş ve ‘gerçek’ transfer FTF ‘lerin karşılaştırılması.
Şekil 4. ‘Ölçülen’, düzeltilmiş ve ‘gerçek’ noktasal FTF ‘lerin karşılaştırılması.
4. ASKI YAYI ETKİSİNİN KALDIRILMASI
Deney esnasında yapının asılmasında kullanılan
elastik elemanların katılık etkisi, ölçülen FTF
üzerinde bir ucu sabit negatif bir katılık
modifikasyonu yapılarak kaldırılabilir. Bu durumda
askı elemanının yay sabitinden (k) oluşan
modifikasyon matrisi aşağıdaki gibi yazılabilir:
0
 
 
[∆Z ] = u k 
 
 
 0 
T
T
0
0  0 
 
  
 
   
v k  = 1 − k  .
 
  
 
  
 0 
0  0 
(11)
Burada, uk=1ve vk=k ‘dır ve bunlar (8) ‘de
kullanılarak, askı yay etkisi kaldırılmış FTF
aşağıdaki gibi bulunabilir:
α *ij =
α ij( k ) − k (α (kkk ) α ij( k ) − α ik( k ) α (kjk ) )
1 − kα (kkk )
.
alındığında sistemdeki k3, askı yayını temsil
etmektedir. Dolayısı ile hesaplanan bu FTF 'ler
burada ‘ölçülen’ olarak nitelendirilmiştir. İkinci bir
grup FTF ‘de k3 yayı yok iken yani sistem serbest
sınır koşullarında iken hesaplanmıştır ki bunlar
ulaşılmak istenen gerçek FTF ‘leri temsil etmektedir.
Bu uygulamada ölçülen FTF ‘ler üzerinde k3
kadarlık bir modifikasyon yapılarak elde edilen FTF
‘lerin gerçek FTF ‘lerle olan uyumluluğu
incelenecektir ve bu uyum yöntemin geçerliliğini
gösterecektir.
(12)
Bu denkleme göre herhangi bir FTF üzerinden askı
yayının etkisini kaldırmak için askı yayının
bağlandığı
koordinatta
yani
modifikayon
)
koordinatındaki noktasal FTF ( α (k
kk ) ile cevap-
modifikasyon ve tahrik-modifikasyon koordinatları
arasındaki transfer FTF ‘ler ( α ik(k ) ve α (kjk) ) ‘in de
ölçülmesi gerekir.
Bu uygulamada deneysel ölçümlere uygunluğu
bakımından reseptans yerine ivme tipindeki FTF ‘ler
kullanılacaktır. Reseptans ile ivme tipindeki FTF
arsında A=-ω2α bağıntısı olduğu hatırlanarak,
Burada (12) denklemi elde edilirken incelenen
sistemin sadece bir noktadan elastik olarak
mesnetlendiği düşünülmektedir. Oysa deneysel
uygulamalarda genellikle yapı iki veya daha fazla
noktadan asılabilir. Bu durumda kullanılan mesnet
sayısı kadar arka arkaya modifikasyon yaparak
gerçek FTF ‘ler elde edilebilir.
( 3)
‘ölçülen’ ivme tipindeki transfer FTF A12
üzerindeki k3 askı yayının etkisini kaldırmak için
(12) denkleminden, i=1, j=2 ve k=3 yazarak,
4.1 Nümerik simülasyon
x1
( 3)
*
= A12
−
A12
x2
k1
m
m
c1
( 3)
ω 2 + k 3 A33
( 3)
ve noktasal FTF ‘lerden A11
için de
x3
k2
(3) ( 3)
k 3 A13
A32
k3
( 3)
*
= A11
−
A11
m
( 3) 2
)
k 3 ( A13
( 3)
ω 2 + k 3 A33
ifadesi yazılabilir. Bu iki FTF için
'ölçülen',
düzeltilen ve gerçek FTF ‘ler şekil 6 ve 7 ‘de
karşılaştırılmıştır. Bu şekillerde görüldüğü gibi k3
yayının kullanılması serbest durumdaki doğal
frekansların bir miktar ötelenmesine ve sıfır olan
rijid cisim frekansının da normal bir doğal
frekansmış gibi gözükmesine neden olmaktadır.
Modifikasyon yapıldıktan sonra elde edilen FTF
‘lerin serbest sınır şartı durumundaki gerçek FTF
‘lerle tamamen uyuştuğu her iki şekilde de açıkça
görülmektedir.
c2
Şekil 5. Bir yayla mesnetli üç serbestlik dereceli
mekanik bir sistem.
Örnek olarak şekil 5 ‘de verilen üç serbestlik
dereceli mekanik bir sistem göz önüne alınarak FTF
‘leri hesaplanmıştır. Deneysel ölçümler göz önüne
Şekil 6. "Ölçülen", düzeltilen ve gerçek FTF A11.
112
Şekil 7. "Ölçülen", düzeltilen ve gerçek FTF A12.
önüne alınmakla beraber sistemin iki veya daha fazla
yerden asılması durumunda arka arkaya yapılacak
modifikasyonlarla tüm askı elemanlarının etkilerini
kaldırmak
mümkündür.
Bundan
sonraki
çalışmalarda, yöntemin birden fazla elastik kordon
kullanılması durumu ve özellikle gerçek deneysel
verilerdeki performansı incelenecektir.
4.2 Sonuçlar ve Genel Değerlendirme
Modal testte, transdüserlerin kütlesi ve askı yayları
ölçülen FTF ‘lerin doğruluğunu etkileyen önemli
sistematik hatalardandır. Bu çalışmada, bu etkilerin
ölçülmüş FTF ‘ler üzerinden kaldırılması
amaçlanmıştır. Bu amaçla matris teorisinden bilinen
Sherman-Morrison formülüne dayalı olarak genel bir
modifikasyon denklemi geliştirilmiş ve bu denklem
transdüser kütlesinin ve askı yayının etkisinin
kaldırılmasında kullanılmıştır.
5. KAYNAKLAR
1.
2.
Transdüser kütlesini kaldırmak amacıyla yapılan
deneysel simülasyon da yöntemin başarılı olduğu
görülmekle beraber transdüserin diğer yönlerdeki
etkilerinin de dikkate alınmasının düzeltme
başarısını artıracağı anlaşılmaktadır. Diğer taraftan
burada darbe çekici kullanılarak yapılan testler göz
önüne alınmıştır. Bu tip bir ölçümde ivme ölçer hep
aynı noktada kalırken çekiç diğer noktalara
taşınmaktadır. Bu bakımdan transdüser etkisini
kaldırmak için ihtiyaç duyulan noktasal FTF
rahatlıkla
ölçülebilmektedir.
Ancak
sarsıcı
kullanılarak yapılan bir testte ivme ölçer yapı
üzerinde gezdirildiğinden her defasında ihtiyaç
duyulan noktasal FTF ‘yi ölçmek için sarsıcıyı
transdüserin bulunduğu noktaya taşımak gerekir ki
bu pratik değildir. Bu bakımdan yöntemin sarsıcı
testlerinde de pratik olarak uygulanmasını sağlamak
için geliştirilmesi gerekir.
3.
4.
5.
6.
İncelenen yapıda serbest sınır şartlarını sağlamak
için kullanılan elastik elemanın etkisini kaldırmak
amacıyla yöntem üç serbestlik dereceli mekanik bir
sistem üzerinde nümerik simülasyon yapılarak
denenmiş ve oldukça başarılı sonuçlar elde
edilmiştir. Burada tek bir yay modifikasyonu göz
7.
8.
113
Ewins, D.J., Modal Testing: Theory, Practice
and Applications. Second Ed., Research Studies
Press, 2000.
Marudachalam K., and Wicks, A.L., “An
Attempt to Quantify The Errors in The
Experimental Modal Analysis”. Proceedings of
the 9th International Modal Analysis
Conference, 1991, 1522-1527.
Wicks, A.L.,
“The Quality of Modal
Parameters from Measured Data”. Proceedings
of the 9th International Modal Analysis
Conference, 1991, 1623-1625.
Jung, H. and Ewins, D.J., “On the Use of
Simulated ‘Experimental’ Data for Evaluation
of Modal Analysis Methods”. Proceedings of
the 10th International Modal Analysis
Conference, 1992, 421-429.
Mitchell, L.D., “Modal Test Methods-Quality,
Quantity and Unobtainable”, Sound and
Vibration, November 1994, 10-16,.
Dossing, Ole, “Prediction of Transducer MassLoading Effects and Identification of Dynamic
Mass”, Proceedings of the 9th International
Modal Analysis Conference, 1991, 306-312.
McConnell, K.G., Vibration Testing, Theory
and Practice, John Willey & Sons, Inc, 1995.
Decker, J., and Witfeld, H., “Correction of
Transducer-Loading effects in Experimental
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
Modal Analysis”. Proceedings of the13th
International Modal Analysis Conference, 1995,
1604-1608.
Silva, J.M.M., Maia, N.M.M., and Ribeiro,
A.M.R.,
“Some
Application
of
Coupling/Uncoupling Techniques In Structural
Dynamics-Part
1:
Solving
the
Mass
Cancellation Problem”. Proceedings of the15th
1431-1439.
Silva, J.M.M., Maia, N.M.M., and Ribeiro,
A.M.R., “Cancellation of Mass-Loading Effects
of Transducers and Evaluation of Unmeasured
Frequency Response Functions”. Journal of
Sound and Vibration, 2000, 236(5), 761-779.
Ashory, M.R., “Correction of Mass Loading
Effects of Transducers and Suspension Effects
in Modal Testing”. Proceedings of the13th
815-823.
McConnell, K.G., and Cappa, P., “Transducer
Inertia and Stinger Stiffness Effects on FRF
Measurements”. Mechanical Systems and
Signal Processing, 2000, 14(4), 625-636.
Lindholm, B.E. and West, R.L., “Determination
of Suspension Effects by Direct Experiments
and Comparisons to an Analytical Model”,
Proceedings of the 12th International Modal
Analysis Conference, 1994, 262-268.
Carne, G.T. and Dohrmann, C.R. “Support
Conditions, Their Effect on Measured Modal
Parameters”, Proceedings of the 16th
477-483.
Munsi, A.S.M.Y., Waddel, A.J. and Walker,
C.A., “Modal Analysis of A Lightweight
Structure-Investigation of The Effects of The
Supports on The Structural Dynamics”,
Mechanical Systems And Signal Processing,
2002, 16(2-3), 273-284.
Cakar, O., and Sanliturk, K.Y., “Elimination of
Noise and Transducer Effects From Measured
Response Data”, Proceedings of ESDA2002:
6th Biennial Conference on Engineering
Systems Design and Analysis, Istanbul, Turkey,
2002, APM055 on CD.
Sherman, J., and Morrison, W.J., “Adjustment
of an Inverse Matrix Corresponding to a Change
in one Element of a Given Matrix”, Annals of
Mathematical Statistics, 1950, 21(1), 124-127.
Hager, W.W., “Updating The Inverse of A
Matrix”, SIAM Review, 1989, 31(2) , 221-239.
Akgün, M.A., Garcelon, J.H. and Haftka, R.T.
“Fast Exact Linear and Non-Linear Structural
Reanalysis
and
the
Sherman-MorrisonWoodbury Formulas”, International Journal for
Numerical Methods in Engineering, 2001, 50,
1587-1606.
Level, P., Moraux, D., and et. al., “On A Direct
Inversion of The Impedance Matrix in Response
Reanalysis”, Communications in Numerical
Methods in Engineering, 1996, 12, 151-159..
21. Sanliturk, K.Y., Ewins, D.J., Elliot, R., and
Green, S.J., “Friction Damper Optimization:
Simulation of Rainbow Tests”, ASME Journal
of the Engineering for Gas Turbines and Power,
2001, 123(4), 930-939.
22. Sanliturk, K.Y., Ewins, D.J., and Stanbridge,
A.B., “Underplatform Dampers for Turbine
Blades: Theoretical Modeling, Analysis and
Comparison with Experimental Data”, ASME
Journal of the Engineering for Gas Turbines
and Power, 2001, 123(4), 919-929.
23. Sanlitürk, K.Y., “An Efficient Method For
Linear and Nonlinear Structural Modifications”,
Proceedings
of
ESDA2002:6th
Biennial
Conference on Engineering Systems Design and
Analysis, 2002, Istanbul, Turkey, APM028.
114
GEREĞİNDEN ÇOK SERBESTLİK DERECELİ ROBOT KOLLARININ YÖRÜNGE
PLANLAMASI İÇİN GELİŞTİRİLMİŞ BİR YAZILIM
Erdinç Şahin ÇONKUR
Pamukkale Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Makine Mühendisliği Bölümü, Çamlık 20017, DENİZLİ,
[email protected]
ÖZET
Gereğinden çok serbestlik dereceli robot kolları (redundant manipulators) değişkenlerine sonsuz sayıda çözüm
üretebilen robot kolları olarak tanımlanır. Bu tip robot kollarının kinematik kontrolü için gerekli hareket
planlama algoritmaları yoğun bir araştırma konusudur. Amaç robotun bir hedef noktaya ulaşması olarak
verildiğinde, uzuvlar için uygun yörüngeleri hesaplamak yörünge planlaması (path planning) olarak
isimlendirilir. Bu bildiride, potansiyel alan metodunu kullanarak yörünge planlaması yapan C++’da Windows
ortamı için geliştirilmiş bir yazılım tanıtılacaktır. Bu yazılımın en önemli özellikleri, engellerin ve robotların
ekrana çizilmesi, potansiyel alanın iki ve üç boyutlu görüntülerinin elde edilmesi ve robotların hedefe varmasının
gözlemlenmesidir.
Anahtar Kelimeler: Gereğinden çok serbestlik dereceli robot kolları, yörünge planlaması, potansiyel alan
metodu
A PIECE OF SOFTWARE DEVELOPED FOR PATH PLANNING OF REDUNDANT ROBOTS
ABSTRACT
Redundant manipulators are defined as having an infinite number of solutions to their joint variables. Motion
planning algorithms for the kinematic control of this kind of robotic arms are the subject of extensive research.
When the task is given as a point that the robot is to reach, computing a feasible joint path sequence is called
path planning. In this presentation, a piece of software developed in C++ for Windows platforms is introduced,
which performs the path planning of redundant robots using the potential field method. The most important
features of the software are to draw obstacles and robots on the screen, to obtain two and three dimensional
images of the potential field and to observe robots reaching the goal.
Keywords: Redundant robots, path planning, potential field method
1. GİRİŞ
Standart sanayi robotlarının en fazla sahip
olabileceği serbestlik derecesi altıdır. Sınırlı sayıdaki
serbestlik derecesinin sebep olduğu çok sayıda
problem vardır. Bunlardan biri, robotun çalışma
alanının bir kısmının tekillikler yüzünden
kullanılamamasıdır. Bir diğeri ise ters kinematiği
için sınırlı sayıda çözüm olmasından dolayı, robotun
her zaman çalışma alanında engellerden kaçınacak
şekilde kendini ayarlayamamasıdır. Gereğinden çok
serbestlik dereceli robot kolları ise engellerden
kaçınacak tarzda kollarını istediği gibi ayarlayabilir.
Böylece her türlü karışık ortama uyum
sağlayabilmesi ve girilmesi zor bölgelere rahatlıkla
girmesi mümkündür [1].
Gereğinden çok serbestlik dereceli robot kolları için
gerekli kinematik hareket planlama algoritmaları iki
ana bölümde incelenir. Robot işlem elemanın uç
noktasının hareket edeceği yörünge çalışma alanında
verilmişse, buna uyan eklem değişkenlerinin
hesabına gereğinden çok eklemli çözümleme
(redundancy resolution) denir. Amaç bir hedef
noktaya ulaşmak olarak verildiğinde, uzuvlar için
uygun yörüngeleri hesaplamak yörünge planlaması
(path planning) olarak isimlendirilir [2].
Potansiyel alan metodu yörünge planlaması için
kullanılan önemli metotlardan biridir [3]. Bu
metottaki temel prensip çalışma alanının suni
potansiyel
kuvvetler
etkisinde
olduğunun
düşünülmesidir. Bu alandaki engeller itme etkisi
verirken, hedef noktası çekme etkisi oluşturur.
Çalışma alanında herhangi bir engelden dolayı
oluşan herhangi bir noktadaki kuvvet, bu iki etkinin
toplamı olarak bulunur. Daha sonra bu kuvvet robot
kontrolü için kullanılır. Buradaki en önemli problem
potansiyel alan metodunun yerel minimumlara sahip
olmasıdır. Yani robot hedefe varmadan, hedefe
varmış gibi bu yerel minimumlardan birinde takılıp
kalır. Bu soruna bulunan çözümlerden biri, belki de
en etkilisi, yerel minimumu olmayan potansiyel
alanlar oluşturmaktır [4].
Çonkur
Bu bildiride, yörünge planlaması için C++’da
Windows ortamı için geliştirilmiş bir yazılım
tanıtılacaktır. Yazılımda, yörünge planlaması
metodu olarak potansiyel alan metodu kullanılmıştır.
Kullanımı çok kolay olan bu yazılımda, engeller ve
robotlar ekrana çizilir ve robotun hedefe varması
gözlemlenir. Ayrıca potansiyel alanın iki ve üç
boyutlu görüntüleri bir fare tıklamasıyla elde
edilebilir. Yazılım, http://sconkur.pamukkale.edu.tr
adresinden indirilerek kullanılabilir.
uzuvları hedefe ulaşmadan yerleşik hale gelirse, bu,
robot boyunun hedefe ulaşamayacak kadar kısa
olduğu anlamına gelir.
Potansiyel Alan
Kontrol
1
Uzu
2
2. TEORİ
Dirichlet sınır şartları artında Laplace denklemiyle
tanımlanan bir skaler potansiyel alan aşağıdaki
denklemle verilir [5].
∇ 2Φ = 0
A
Şekil 1. Robotun bir uzvu üzerindeki kontrol noktası
Bir nokta robot için herhangi bir alan çizgisi,
herhangi bir noktadan engellere çarpmadan hedef
noktasına varmayı garantiler. Rijit uzuvlardan
oluşan seri robot kolları için ise bu garanti yoktur.
Özellikle keskin manevra gerektiren hallerde robot
uzuvları engellerle çarpışabilir. Bu çarpışmanın
engellenmesi önemli bir araştırma konusudur.
(1)
Bu denklem kapalı ve sürekli bir Ω bölgesinde
geçerlidir. Ω bölgesinin sınırları olan δΩ, engellerin
tamamından ve hedef noktasından oluşur. Çalışma
alanı üzerine iki boyutta eşit olarak dağıtılmış kapalı
ve birleşik bir ızgara yerleştirilir. (1) denklemi bu
ızgarada aşağıdaki kısmi diferansiyel denklem ile
temsil edilebilir.
Φ (i, j ) =
1
4
( Φ ( i +1, j ) + Φ ( i −1, j ) +
Φ ( i , j + 1 ) + Φ ( i , j −1 ) )
3. YÖRÜNGE PLANLAMA YAZILIMI
Önceden de bahsedildiği gibi bu yazılımın amacı
gereğinden çok serbestlik dereceli robot kollarını
yörünge
planlamasını
Windows
ortamında
yapmaktır. Çok az bir tecrübe ile kullanılabilen bu
yazılım ile, engeller ve robot ekrana kolaylıkla
çizilebilir ve hemen çalıştırılabilir.
(2)
Burada i, ızgarada x doğrultusundaki, j, ızgarada y
doğrultusundaki pozisyonu göstermektedir.
Programda bulunan bütün komutlar menülere
yerleştirilmiştir. Bu menülerin tanıtımı bir sonraki
bölümde yapılacaktır.
Hedef noktasına bilgisayarın alabileceği en küçük
değer, engel sınırlarına da sıfır değeri verilerek
tekrarlı işlemle ızgara üzerindeki her noktanın değeri
hesaplanır. Böylece alan içinde bütün ızgara
noktalarındaki alan değerleri elde edilir. Izgara
noktaları arasında kalan herhangi bir noktadaki alan
değeri lineer interpolasyon ile bulunur. Oluşturulan
potansiyel alan kullanılarak robotun hareket
planlaması aşağıdaki gibi yapılır.
4. MENÜLERİN TANITIMI
Bu menülerden File ve Edit menüleri Save ve Print
gibi standart komutları içerir. Robot ve engeller daha
sonraki kullanımlar için kaydedilebilir, çalışma
alanının yazıcıdan çıktısı alınabilir.
Settings menüsünde Şekil 2’de görüldüğü gibi
çalışma düzeni, robot, hedef ve alan ile ilgili ayarlar
yer alır. İstenildiğinde bu ayarlar değiştirilerek farklı
çalışma şartları oluşturmak mümkündür.
Robot uzuvları üzerinde kontrol noktaları tespit
edilir. Bir uzuvdaki kontrol noktalarının iki
tarafındaki alan değerlerinin farkı, o uzvun hangi
yönde döneceğini belirler [4]. Örneğin Şekil 1’de bir
robot kolunun üzerinde tek bir kontrol noktası olan
ilk uzvu görülmektedir. Bu kontrol noktasının iki
tarafındaki 1 ve 2 nolu noktalardaki alan
değerlerinin farkının negatif olduğunu kabul edelim.
Bu durumda bu uzuv A noktası etrafında saat
yönünde dönecektir. Robot, bu fark işaret
değiştirinceye kadar, sabit bir açı değeriyle hareket
ettirilir. İşaret değiştirmek demek o uzvun yerleştiği,
yani engeller arasında hedefe yöneldiği anlamına
gelir. Daha sonra bir sonraki uzuv yukarıdaki gibi
hareket ettirilir. Tabii, bir sonraki uzuv her hareket
ettiğinde, ilk uzuv da hareket edeceğinden onu tekrar
yerleşik hale getirmek gerekir. Bu şekilde bütün
uzuvlar her bir hareket sonrasında kontrol edilir.
Hedefe varıldığında robot durur. Robotun bütün
Şekil 2. Settings Menüsü
116
Gereğinden Çok Serbestlik Dereceli Robot Kollarının Yörünge Planlaması İçin Geliştirilmiş Bir Yazılım
Draw menüsünde, kullanıcı tarafından ekrana
çizilebilen geometrik şekil seçenekleri vardır
(Şekil 3). Basit geometrik şekillerle ifade edilebilen
engeller, bu menüde yer alan Line, Rect, Round
Rectangle ve Ellipse komutlarıyla çizilir. Daha
karışık sınırları olan engeller için ise Polygon
seçeneği kullanılabilir. Bu menünün en alt sırasında,
robotu ekranda çizmeye yarayan Arm Robot komutu
vardır.
Şekil 4. Simulate Menüsü
View menüsünde bulunan en önemli komutlar,
ekrandaki alanın büyük veya küçük olarak
görüntülenmesini sağlayan Shrink View komutu ve
ızgara çizgilerinin çizilip çizememesini belirleyen
Grid Lines komutudur (Şekil 5).
Şekil 3. Draw Menüsü
Şekillerde gösterilmeyen Object menüsünde iki
komut vardır. Bu komutlarla, engellerin sınır çizgi
ve dolgu renkleri ayrı ayrı belirlenebilir.
Ekrana engeller ve robot çizildikten sonra sıra
robotun çalıştırılması ile ilgili komutları içeren
Simulate menüsüne gelir (Şekil 4). Önce Find
Obstacles ile ekrana çizilen geometrik şekiller alan
hesaplanmasında kullanılmak üzere engel haline
çevrilir. Iterate komutu ile potansiyel alan
hesaplanır. Draw field ile potansiyel alan ekrana
çizilir. Eğer alan hızlı fakat daha az hassas olarak
çizilmek istenirse Draw Fast kullanılır. Plot 3D
komutuyla potansiyel alanın üç boyutlu görüntüsü
elde edilir. Field Ready komutu yukarıda bahsedilen
Find Obstacles ve Iterate komutlarını arka arkaya
çalıştırmaya yarar.
Şekil 5. View Menüsü
Menülerde çok kullanılan komutlar Şekil 6’de
görülen araç çubuklarına yerleştirilmiştir. Herhangi
bir ikonun üzerine fareyle gelindiğinde, ikonun
çalıştıracağı komutun menülerde olan ismi ortaya
çıkar. Böylece hangi ikonun ne işe yaradığı kolayca
anlaşılır.
Start komutu robotun hareketini başlatır. Bu
komutta, art arda olan işlemler bir zamanlayıcı
kullanılarak yapılır. Zamanlayıcının değeri 1 ms gibi
çok küçük bir değere ayarlansa bile robot hareketi
çok yavaş kalmaktadır. Bunun bir sebebi
bilgisayarın bu kadar kısa bir zaman aralığını
sağlayacak donanıma sahip olmamasıdır. Bu
problem, hareketle ilgili işlemler için zamanlayıcı
yerine bir for döngüsü kullanarak çözülebilir. Start
Fast komutu işte bu işi yapar, yani daha hızlı robot
hareketleri üretir.
Draw Araç Çubuğu
Simulate Araç Çubuğu
Restart komutu, robotun ilk durumuna getirilmesini
sağlayarak, hedefe ulaşma işleminin tekrar tekrar
yapılabilmesine olanak verir. Son olarak, Path
komutu ise kollu robotun temelinden hedef
noktasına mobil robotlar için yol bulmak ve bu yolu
ekrana çizmek için kullanılır.
Settings Araç Çubuğu
Şekil 6. Araç Çubukları
117
Çonkur
Şekil 7b, robotlar Start Fast komutuyla harekete
başladıktan bir süre sonraki bir anda çalışma alanını,
Şekil 7c ise çalışma alanındaki son durumu
göstermektedir. Şekillerden de görüldüğü gibi, sol
taraftaki iki robot engellere hedefe ulaşmıştır. Sağ
üst köşedeki robot ise en uzun halini aldığı halde
boyu yetmediği için hedefe varamamıştır.
5. ÖRNEK
Şekil 7a’da görülen çalışma alanı içine Draw araç
çubuğunu kullanarak değişik geometrik şekillere
sahip engeller çizilmiştir. Çalışma alanının değişik
yerlerinde görülen üç adet robot Arm Robot komutu
kullanılarak çizilmiştir. Sol alt köşedeki küçük daire
ise hedef noktasını göstermektedir.
Şekil 7a. Çalışma alanı, hedef, engeller ve robotlar
Şekil 7b. Robotlar hareket ettikten sonraki bir an
118
Gereğinden Çok Serbestlik Dereceli Robot Kollarının Yörünge Planlaması İçin Geliştirilmiş Bir Yazılım
Şekil 7c. Robotlar son konumları
Draw field komutunu kullanarak, bu örnek için
oluşturulan potansiyel alanın hedef etrafındaki
kısmını çizmek mümkündür (Şekil 8). Bu şekilde,
belli aralıklardaki potansiyel alan değerleri, belli
renklerle gösterilir. Potansiyel alanı gösteren
eğriler, haritalarda yükseklikleri gösteren eş-
yükselti eğrilerine benzer. Bir farkla ki, burada
hedef noktası en düşük değere sahiptir. Hedef
noktasının etrafındaki ilk halka bir üst değer
grubunu, sonraki halka bu halkadan sonraki bir üst
değer grubunu gösterir. Bu şekilde birkaç kademe
gidilir.
Şekil 8. Hedef etrafında oluşturulan potansiyel alan
potansiyel alan değerleri kullanarak o şekilde
oluşturulmaktadır ki, hedef dışındaki herhangi bir
noktadan örneğin bir futbol topu serbest bırakılsa,
bu top yuvarlanarak daima hedef noktasının içine
düşer.
Fakat Şekil 8’deki iki boyutlu görüntüyü zihinde
canlandırmaya gerek yoktur. Çünkü, Şekil 9’da
görülen Plot 3D komutu ile, aynı alanın üç boyutlu
görüntüsü elde edilebilir. Bu görüntü,
119
Çonkur
Şekil 9. Potansiyel alanın 3 boyutlu görüntüsü
Robot harekete başlamadan hemen önce, iterasyon
için harcanan zaman, çalışma alanının hemen
sağındaki boş bölgede gösterilir. Buradaki örnekte
iterasyon zamanı 1 s’den az olduğu için 00 sec ile
gösterilmiştir (Şekil 10).
7. KAYNAKLAR
1. Zghal, H., Dubey R. V. ve Euler J. A.,
“Collision avoidance of a multiple degree of
redundancy manipulators operating through a
window”, Journal of Dynamic Systems,
Measurement and Control, Sayı:114, 1992, pp.
717-721.
Bilgi ekranında ayrıca robotların hedefe ulaşıp
ulaşmadığı ve ulaşanların ne kadar zaman harcadığı
Şekil 10’da görüldüğü gibi iterasyon zamanının
hemen altında sırayla raporlanır.
2. Seereera, S. ve Wen J. T., “A global approach
to path planning for redundant manipulators”,
IEEE Transactions on Robotics and
Automation, Cilt: 11, Sayı: 1, 1995, pp. 152159.
3. Khatib, O., “Real-time obstacle avoidance for
manipulators and mobile robots”. The
International Journal of Robotics Research,
Cilt: 5, Sayı: 1, 1986, pp. 90-98.
4. Graham A. ve Buckingham R., “Real time
collision avoidance of manipulators with
multiple redundancy”, Mechatronics, Cilt: 3,
Sayı: 1, 1993, pp. 89-106.
Şekil 10. İterasyon ve robotların durumlarıyla ilgili
bilgi ekranı
5. Connolly C. I., Grupen R. A., “The
applications of harmonic functions to
robotics”, Journal of Robotic Systems, Cilt: 10,
Sayı: 7, 1993, pp. 931-946.
6. SONUÇ
Bu bildiride, potansiyel alan metodu kullanarak
gereğinden çok serbestlik dereceli robot kolları için
yörünge planlaması yapan C++’da Windows ortamı
için geliştirilmiş bir yazılım tanıtılmıştır. Verilen
örnekte de görüldüğü gibi, kullanımı oldukça kolay
olan bu yazılım ile çok kısa bir zaman içinde
istenilen bir yörünge planlaması senaryosu
uygulamaya konulabilir. Engelleri ve robotları
ekrana çizmek ve robotları çalıştırmak birkaç fare
hareketiyle yapılabilmekte, potansiyel alanın iki ve
üç boyutlu görüntüleri gibi bir çok ek bilgi de yine
kolaylıkla elde edilebilmektedir.
120
EKSENEL TİTREŞİM YAPAN ELASTİK ÇUBUKLARDA SÖNÜMLEME
ORANININ ANALİTİK VE YAKLAŞIK METODLARLA BELİRLENMESİ
Uğur DALLI
ASELSAN A.Ş., MGEO Grubu, 06511 Akyurt, Ankara
[email protected]
Şefaatdin YÜKSEL
Gazi Üniversitesi, Mühendislik-Mimarlık Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, 06570 Maltepe, ANKARA,
[email protected]
ÖZET
Bu çalışmada, eksenel titreşim yapan iki ayrı elastik çubuk sistemi için sönüm oranının elde edilmesinde
kullanılmak üzere analitik ve yaklaşık çözüm yöntemleri sunulmuştur. Bunlardan birincisi, bir ucu ankastre diğer
ucuna yay ve sönümleyici bağlı bir çubuktur. İkincisi, her iki ucu ankastre ve ortada herhangi iki noktada
sönümleyici bağlı çubuktur. Her iki sistem sürekli sistemler olarak modellenmiştir. Ele alınan analitik ve
yaklaşık çözüm yöntemleri, boyutsuz sönüm katsayısının sönüm oranına etkisi incelenerek karşılaştırılmıştır.
Anahtar Kelimeler: Eksenel titreşim, sönüm oranı
ANALYTICAL AND APPROXIMATE METHODS FOR DETERMINATION OF DAMPING RATIO
IN LONGITUDINALLY VIBRATING ELASTIC RODS
ABSTRACT
In this study, analytical and approximate solution methods are proposed to determine the damping ratio for two
different longitudinal vibrating elastic rods. One of them is fixed at one end and connected to the ground with a
spring and a damper at the other end. The second elastic rod is fixed at both ends and damped viscously in-span
with two dampers. Both systems are modeled as continuous systems. The proposed analytical and approximate
solution methods are compared to each other based on the effect of damping coefficient on damping ratio.
Keywords: Longitudinal vibration, damping ratio
1. GİRİŞ
Literatürde, köprü, viyadük, vb. eksenel titreşim
yapan yapılarda tabii frekans ve sönüm oranı gibi
karakteristik değerlerin belirlenmesine yönelik çok
çeşitli çalışmalar mevcuttur. Bu tip yapılarda, uygun
sönüm oranı elde etmek amacıyla dışarıdan
uygulanacak olan sönümleyicilerin özelliklerinin
belirlenmesi, büyük önem arz etmektedir.
Zarek ve Gibbs [1], farklı sınır şartları olan elastik
çubukta kompleks özdeğerleri ve mod şekilleri
analitik olarak hesaplamıştır. Oliveto [2], benzer bir
problemi çözmek için bir sayısal yöntem sunmuştur.
Bu çalışmalarda uygun sönümleyici değerinin
seçilmesi ile optimum çözüme gidilebileceği
belirtilmiştir. Yang ve Wu [3], farklı sınır şartlarına
sahip elastik çubuklarda sönüm oranının ve tabii
frekansların hesaplanması için analitik ve sayısal
çözüm yöntemleri sunmuşlardır. Bir ucu ankastre
diğer ucunda kütle, yay ve sönümleyici bulunan
çubuk problemini örnek olarak ele almışlar ve
sayısal sonuçlar vermişlerdir.
Eksenel titreşim yapan elastik çubuklar üzerine
yapılan çalışmalar, kablolar üzerinde yapılan
çalışmalara benzerlik göstermektedir. Köprü ve
benzeri yapılarda kullanılan kablolar için sistem
parametrelerini
belirlemek
amacıyla
benzer
çalışmalar yapılmıştır. Kovacs [4] viskoz
sönümleyicilerle bağlı kablolarda sönüm oranı
hesaplanmasında kullanabilecek bir interpolasyon
yöntemi sunmuştur. Pacheco [5] modal sönüm oranı,
mode numarası, sönümleyicinin yeri ve kablo
parametrelerini birlikte değerlendiren ve sayısal
analiz yöntemiyle elde edilen eğriler sunmuştur.
Singh [6], ekesenel tireşim yapan bir ucu sabit diğer
ucunda sönümleyici bulunan bir çubuk için
özdeğerlerin
hesaplanmasında
kullanılabilecek
analitik bir çözüm önermiştir. Hull [7], aynı
problemde dışarıdan etkiyen bir eksenel kuvvetin
etkisini de dikkate alarak yeni bir analitik çözüm
sunmuştur. Hızal ve Gürgöze [8], ortasından bir
yerde bir dış sönümleyici takılı, bir ucu sabit ve
diğer ucu serbest bir elastik çubukta özdeğerlerin
bulunması için sistemi sürekli ve ayrık olarak iki
farklı şekilde ele almışlar ve her iki yaklaşımla elde
Dallı ve Yüksel
edilen sonuçları karşılaştırmışlardır. Yüksel ve
Gürgöze [9], eksenel titreşim yapan, her iki ucu sabit
ve belirli bir orta noktasından dış sönümleyici
bağlanmış çubuğu sürekli sistem olarak ele alarak
karakteristik değerleri incelemişlerdir. Kompleks
özfrekansların ve sönüm oranının hesaplanmasında
kullanılmak üzere basitleştirilmiş bir formül elde
etmek için asimptotik çözüm geliştirmişlerdir. Diğer
bir çalışmada Yüksel ve Dallı [10], iki değişik
noktasına dış sönümleyici bağlı her iki ucu sabit
eksenel titreşim yapan bir çubuğu sürekli bir sistem
olarak ele alıp, optimum sönümleyici değeri ve
monte yerleri ile diğer çubuk parametrelerinin
belirlenmesi amacıyla analitik yöntem kullanarak
çeşitli eğriler elde etmişlerdir. Sönümleyicilerin
“yerel” ve “yerel olmayan” iki farklı şekilde, eksenel
titreşim yapan çubuğa bağlanması sonucu oluşan
sistemin tabii frekansları ve sönüm oranları, analitik
olarak elde edilmiş ve alternatif olabilecek dış
sönümleyici monte yerleri karşılaştırılmıştır.
uzunluğun kütlesini, elastisite sabitini ve kesit
alanını göstermektedir.
Sistemin hareket denklemine ait sınır şartları ise
aşağıdaki gibidir:
u(0, t ) = 0
EAu ′( L, t ) + ku ( L, t ) + du( L, t ) = 0
Analitik Yöntem
Eksenel yer değiştirme u(x, t)’nin aşağıdaki formda
konum ve zaman olarak ayrılabilir olduğu kabul
edilebilir:
u( x, t ) = U ( x )e λt
d 2U ( x )
− β 2U ( x ) = 0
dx 2
β =λ
∂t 2
(6)
U ( x ) = C1e βx + C2 e − βx
(7)
Şimdi; (2) ve (3) ile verilen sınır şartları ve bu
denklem ile verilen çözüm birlikte ele alındığında
bilinmeyen C1 ve C2 integral sabitleri için iki
bilinmeyenli iki denklem elde edilir. Bu denklemler
bir matris denklemi olarak yazılarak katsayıların
determinantı
sıfıra
eşitlendiğinde,
aşağıdaki
karakteristik denklem elde edilir:
Bir ucu ankastre diğer ucuna yay ve sönümleyici
bağlı eksenel titreşim yapan elastik çubuk modeli
Şekil 1’de gösterilmiştir. Bu sistem için hareket
denklemi aşağıdaki kısmi diferansiyel denklem ile
ifade edilir:
∂x 2
m
EA
şeklinde tanımlanmıştır. Bu diferansiyel denklemin
genel çözümü şu şekildedir:
2.1. Bir ucu ankastre diğer ucunda yay ve
sönümleyici bağlı eksenel titreşim yapan elastik
çubuk
∂ 2 u ( x, t )
(5)
Bu ifadede,
Eksenel titreşim yapan iki değişik sistem modeli ele
alınmıştır. İlk olarak, bir ucu ankastre diğer ucunda
yay ve sönümleyici bağlı eksenel titreşim yapan
elastik çubuk ele alınmıştır. İkinci olarak ise her iki
ucu ankastre ve herhangi iki orta noktasında dış
çubuk incelenmiştir.
=m
(4)
Burada U(x) ve λ sırasıyla bilinmeyen genlik
fonksiyonunu ve karakteristik özdeğeri ifade
etmektedir. Bu kullanılarak, özdeğer problemi
aşağıdaki gibi elde edilir:
2. MATEMATİK MODEL VE TEORİ
∂ 2 u ( x, t )
(3)
Yukarıdaki eşitliklerdeki üst ayırma çizgisi ve
noktalar sırasıyla x konum koordinatına ve t zamana
göre kısmi türevleri ifade etmektedir. Burada d,
sönüm katsayısını göstermektedir.
Bu çalışmada, bir ucu ankastre diğer ucuna yay ve
sönümleyici bağlı eksenel titreşim yapan bir elastik
çubuk ile her iki ucu ankastre ve herhangi iki orta
noktasında dış sönümleyici bağlı eksenel titreşim
yapan diğer bir elastik çubuk ele alınmıştır. Ele
alınan her iki sistem için sönüm oranının elde
edilmesinde kullanılmak üzere analitik ve yaklaşık
çözüm yöntemleri sunulmuştur. Her iki sistem
sürekli sistemler olarak ele alınmış ve sönüm
oranının, sönüm katsayısına göre değişimi
incelenerek sunulan analitik ve yaklaşık çözüm
yöntemleri karşılaştırılmıştır.
EA
(2)
(
)
β coshβ + K + β D sinhβ = 0
(8)
Bu denklemde yer alan β , K ve D ifadeleri kolaylık
sağlamak amacıyla aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:
(1)
β = βL , K =
Burada; u(x, t), m, E ve A sırasıyla herhangi bir x
noktasındaki eksenel yer değiştirmeyi, birim
kL
dλ
, D=
=
EA
EAβ
d
EAm
(9)
Burada yer alan D değeri, boyutsuz sönüm katsayısı
olarak değerlendirilebilir.
122
Eksenel Titreşim Yapan Elastik Çubuklarda Sönümleme Oranının
Analitik Ve Yaklaşık Metodlarla Belirlenmesi
Şekil 1. Bir ucu ankastre diğer ucuna yay ve sönümleyici bağlı eksenel titreşim yapan elastik çubuk modeli.
Sistemin kompleks özfrekanslarını elde etmek
için, kompleks özfrekans
ele alınabilir:
β = x + iy
(11) ve (12) nolu denklemlerin sayısal yöntemle
çözülmesi sonucu elde edilen x ve y değerleri bu
ifadede kullanılarak sistemin sönüm oranı
hesaplanabilir.
β aşağıdaki formda
(10)
Yaklaşık Yöntem
Burada x ve y sırasıyla kompleks sayının gerçek
ve sanal kısımlarını ifade etmektedir.
Sönümleyici bağlanmış sistemlerde sönümleyici
kuvvet,
analitik
çözüm
metodundaki
yaklaşımdan farklı olarak, sistemin sınır şartları
içerisinde gösterilmeyip, sönümleyicinin etkisi
bağlandığı noktada bir dış kuvvet olarak ele
alınabilir.
Denklem (8) ile verilen karakteristik denklemde
β ifadesi yerine konulup, denklemdeki gerçek
ve sanal kısımlar ayrı ayrı gruplanarak sıfıra
eşitlendiğinde, x ve y bilinmeyenleri cinsinden
aşağıda verilen denklem çifti elde edilir:
[xcoshx + (K + Dx )sinhx]cosy −
(sinhx + Dcoshx ) ysiny = 0
(11)
[xsinhx + (K + Dx )coshx ]siny +
(coshx + Dsinhx ) ycosy = 0
(12)
İncelenmekte olan çubuk titerişim probleminde,
bir uç ankastre ve diğer uçta sadece yay olduğu
kabul edilirse, (2) no’lu eşitlikte verilen sınır
şartı aynı kalmakta, ancak (3) no’lu eşitlikte
verilen sınır şartı şu şekilde olmaktadır:
EAu ′( L, t ) + ku( L, t ) = 0
Sayısal çözüm yöntemleri kullanılarak bu
denklem çifti birlikte çözülüp kompleks
özfrekans
edilir.
Eksenel yer değiştirme u(x, t)’nin aşağıdaki
formda
β ’nin gerçek ve sanal değerleri elde
u( x, t ) = U ( x ) F (t )
Titreşim yapan herhangi bir sistemin kompleks
özfrekansı λ çok yaygın olarak kullanılım şekli
ile gerçek ve sanal
kısımlardan oluşan
aşağıdaki formda ifade edilir [11]:
λ = −ζω n ± i 1 − ζ 2 ω n
d 2U ( x )
(13)
Burada; i = − 1 , ωn sönümsüz tabii frekansı ve
ζ , aşağıda verilen denklemle hesaplanan sönüm
2
Re( λ ) + Im(λ )
2
=
x
x2 + y2
+
mω 2
U ( x) = 0
EA
(17)
şeklinde elde edilir. Burada ω sistemin doğal
frekansını ifade etmektedir. Bu denklemin
çözümü
oranını ifade eder.
Re( λ )
(16)
konum ve zaman olarak ayrılabilir olduğu kabul
edilerek (1) ile verilen hareket denkleminden
özdeğer problemi
dx 2
ζ =
(15)
U ( x ) = c1sinβ t + c2 cosβ t
(14)
123
(18)
Dallı ve Yüksel
her iki tarafının 0-L aralığında integrali alınırsa,
aşağıdaki ifade elde edilir:
Bu ifadedeki c1 ve c2 integral sabitleridir. Bu
çözüm kabulü ile
β =ω
m
EA
(19)
L
2
2
∫
− c1 EAβ n F (t ) sin 2 β n xdx −
0
kısaltması ve (15)’de verilen sınır şartları
dikkate alınarak aşağıdaki karakteristik denklem
elde edilir:
L
∫
dc1 2 F (t ) sin 2 β n xδ ( x − L)dx =
(25)
0
L
β
tan β = −
K
∫
mc1 2 F (t ) sin 2 β n xdx
(20)
0
Bu denklemdeki integral ifadeleri elde edilip
gerekli
düzenlemeler
yapıldıktan
sonra
aşağıdaki ifade elde edilir:
Bu denklemin çözümü ile β özfrekans değerleri
elde edilir. Buradan hareketle, sistemin
özfonksiyonları her bir mod için aşağıda
verildiği gibi bulunur:
U n ( x ) = c1sinβ n x , n = 1, 2, ....∞
F (t ) +
EAβ n 2
F (t ) = 0
m
(21)
İncelenmekte olan çubuk titreşim probleminde
genel çözüm ifadesinin elde edilmesinin
ardından, çubuğa bağlı olan sönümleyicinin
etkisi, sönümleyicinin bağlandığı noktada bir
dış kuvvet f(x,t) olarak ele alınabilir. Bu
durumda (1) no’lu eşitlikte verilen sistemin
hareket denklemi aşağıdaki gibi olacaktır:
EA
∂ 2 u ( x, t )
∂ 2 u ( x, t )
+
f
(
x
,
t
)
=
m
∂x 2
∂t 2
∂u( x, t )
δ ( x − L)
∂t
(26)
Şimdi, tek serbestlik dereceli sönümlü bir
sistemin genel hareket denkleminin
x (t ) + 2ζ nω n x (t ) + ω n 2 x (t ) = 0
(27)
şeklinde olduğu dikkate alınırsa, (26)’da elde
edilen ifade ile aynı forma sahip olduğu görülür.
Bu durumda sürekli sistem olarak modellenen
çubuğun hareket denkleminin ikinci dereceden
ayrık bir sitemin hareket denklemine benzer
olduğu yaklaşımı yapılarak, bu iki denklemin
birbirine eşit olduğu kabul edilirse, sistemin
tabii frekansları ve sönümleyici oranları için
aşağıdaki ifadeler elde edilir:
(22)
Bu denklemdeki dış kuvvet f(x,t) ifadesi aşağıda
verilmiştir:
f ( x, t ) = −d
2dβ n (1 − cos 2 β n L)
F (t ) +
m ( 2 β n L − sin 2 β n L)
(23)
Bu denklemdeki δ ( x − L) , birim impulse
fonksiyonu ifadesidir.
ωn = βn
(16)’da verilen çözüm kabulü, (22)’de verilen
hareket denkleminde yerine konulursa
ζn =
EAF (t )U ( x ) − dδ ( x − L)U ( x ) F (t ) = mU ( x ) F (t )
(24)
m
EA
sin 2 β n L
mEA ( 2 β n L − sin 2 β n L)
2d
(28)
(29)
Burada, (20) no’lu denklemin çözümü ile elde
edilen β özfrekans değerleri kullanılarak,
sistemin sönümleme oranı hesaplanabilir.
ifadesi elde edilir. Burada; U(x) yerine (21) ile
verilen özfonksiyon ifadesi yazılıp, denklemin
her iki tarafı U(x) ile çarpıldıktan sonra eşitliğin
124
ankastre ve herhangi iki orta noktasından
çubuk modeli ele alınmıştır.
Analitik ve Yaklaşık Çözüm Yöntemlerinin
Sayısal Örnekle Karşılaştırılması
Şekil 1’de ele alınan sistem için her iki çözüm
yöntemi ile elde edilen sönüm oranlarının
karşılaştırılabilmesi amacıyla seçilen sayısal
değerler denklemlerdeki yerine konularak
sönüm
oranları
hesaplanmıştır:
Çubuk
malzemesi; yoğunluğu ρ=2860 kg/m3 ve
elastisite sabiti E=7x1010 N/m2 olan alüminyum
olarak seçilmiştir. Çubuk boyu ve kesit alanı
sırasıyla L=1 m ve A=3.14x10-4 m2 olarak
alınmıştır. Sistemdeki sönüm katsayısı d=100
Ns/m ve yay katsayısı k= 10000 N/m olarak
seçilmiştir.
Bu sistem için aynı yaklaşımla ele alınan
analitik ve yaklaşık yöntemler uygulanacak,
fakat denklemler daha kısa olarak belirleyici
şekilde sunulacaktır.
Analitik Yöntem
Ele alınan sistemde, sönümleyicilerin montaj
noktaları ile ayrılan üç ayrı bölgesinin eksenel
elastik yerdeğiştirmeleri; sol, orta ve sağ
kısımlar için sırasıyla u1(x, t), u2(x, t) ve u3(x, t)
olarak gösterilmiştir. (1)’de verilen hareket
denkleminin burada da geçerli olması nedeniyle
(7)’de verilen çözüme benzer olarak ele alınan
üç ayrı kısım için çözüm kabülleri
Ele alınan analitik ve yaklaşık her iki yöntem
kullanılarak, diğer tüm sistem parametreleri
sabit tutulup boyutsuz sönüm katsayısı D ile
sönüm oranının değişimi ilk dört mod için
hesaplanmıştır. Şekil 2’de analitik yöntem ile
bulunmuş
değerler
bir
eğri
şeklinde
gösterilmiştir. Görüldüğü gibi, bir optimum
sönüm oranı bulunmaktadır. Diğer taraftan
yaklaşık yöntem kullanılarak elde edilen (29)
numaralı ifade bir doğru denklemidir ve bir
optimum çözüm vermemektedir. Analitik ve
yaklaşık çözümlerle elde edilen sonuçlar, sönüm
oranı küçük olan az sönümlü sistemler (0 < ζ
<0.05) için yaklaşık aynı değerleri vermektedir.
Bu sonuç, küçük sönüm oranı ihtiva eden
sistemler için yaklaşık çözüm yöntemi ile elde
edilen çözümün doğru olduğunu ve rahatlıkla
kulanılabileceğini ortaya koymaktadır.
U1 ( x ) = C1e βx + C 2 e − βx
U 2 ( x ) = C3e
βx
+ C4 e
U 3 ( x ) = C5 e
(30)
− βx
βx
+ C6 e
(31)
− βx
(32)
şeklinde alınabilir. Sınır ve ara şartları ise
u1 (0, t ) = 0
u3 ( L, t ) = 0
u1 ( a, t ) = u2 ( a , t )
u2 (b, t ) = u3 (b, t )
d
u1′ ( a, t ) − u2′ ( a, t ) + ( )u1 ( a, t ) = 0
EA
d
u2′ (b, t ) − u3′ (b, t ) + ( )u3 (b, t ) = 0
EA
(33)
Şimdi, C1~C6 integral sabitlerinin bulunması
için verilen sınır şartları ile çözüm kabulleri
birlikte ele alınırsa, elde edilecek olan altı
bilinmeyenli
altı
denklem
setinin
determinantının sıfıra eşitlenmesiyle, aşağıdaki
karakteristik denklem elde edilir.
sinhβ + sinh(1 − 2b ) β − sinh(1 − 2a ) β −
Şekil 2. İlk dört mod için sönüm oranının boyutsuz
sönüm katsayısına göre değişimi: Analitik çözüm
yöntemi.
[
]
1
4coshβ − 2cosh(1 − 2a ) β − 2cosh(1 − 2b ) β +
D
1
sinh(1 + 2a − 2b ) β + 2 sinhβ = 0
D
(34)
2.2 Her iki ucu ankastre ve herhangi iki orta
noktasına sönümleyici bağlı eksenel titreşim
yapan elastik çubuk
Tireşim yapan sistemlerde sönüm oranı
hesaplanmasında kullanılan analitik ve yaklaşık
çözüm yöntemlerini daha iyi karşılaştırmak ve
her iki yöntemin değişik bir uygulamasını
anlatmak için Şekil 3’de gösterilen her iki ucu
Bu karakteristik denklemde β ifadesi bir
kompleks sayı olarak ele alınıp yerine
konulursa, denklemdeki gerçek ve sanal
kısımlar
ayrı
ayrı
gruplanarak
sıfıra
125
Dallı ve Yüksel
eşitlendiğinde, x ve y bilinmeyenleri cinsinden
verilen bir karmaşık denklem çifti elde edilir.
Bu iki denklem sayıssal yöntemlerle
çözüldüğünde özfrekanslar bulunmuş olur.
titreşim problemine dönüşür. İki ucu ankastre
çubuğun özfonksiyonları ve özfrekansları
aşağıdaki şekilde bilinmektedir [11]:
Yaklaşık Yöntem
U n ( x ) = c1 sinβ n x , n = 1, 2, ....∞
(35)
nπ
βn =
L
Sönüm kuvvetleri dikkate alınarak çubuğun
hareket denklemi ise
Ele alınan sistemin yaklaşık yöntemle çözümü
için sönümleyicilerin etkisi, bağlandıkları
noktalarda dış kuvvetler olarak ele alınacaktır.
Bu durumda incelenmekte olan titreşim
problemi, iki ucu ankastre bir çubuğun eksenel
Şekil 3. İki ucu ankastre ve herhangi iki noktasına sönümleyici bağlı eksenel titreşim yapan elastik çubuk modeli
EA
∂ 2 u( x, t )
∂ 2 u( x, t )
+ f ( a , t ) + f (b, t ) = m
2
∂x
∂t 2
(36)
Analitik ve Yaklaşık Çözüm Yöntemlerinin
Sayısal Örnekle Karşılaştırılması
Şekil 3’de gösterilen sistem için, analitik ve
yaklaşık çözüm yöntemleri kullanılarak, ilk
bölümde verilen sistem parametreleri ile aynı
değerler seçilip boyutsuz sönüm katsayısı ile
sönüm oranının değişimi ilk dört mod için
hesaplanmıştır. Ele alınan bu sistemde
sönümleyici yerleri çubuk uçlarına göre simetrik
olacak şekilde a = 0.05 ve b = 0.95 olarak
seçilmiştir. Analitik yöntem kullanılarak ilk dört
mod için elde edilen sonuçlar Şekil 4’de grafik
halinde sunulmuştur. Görüldüğü gibi bir
optimum çözüm mevcuttur. Diğer yandan,
yaklaşık çözümü ifade eden (39) numaralı ifade
bir doğru denklemidir ve bir optimum çözüm
sunmamaktadır. Öncekine benzer şekilde, küçük
sönüm oranları için her iki yöntem de yaklaşık
aynı sönüm oranlarını vermektedir.
Burada, dış kuvvet f(a,t) ve f(b,t) ifadeleri
aşağıda şekilde verilmiştir:
f ( a, t ) = −d
∂u( x, t )
δ ( x − a)
∂t
(37)
f (b, t ) = −d
∂u( x, t )
δ ( x − b)
∂t
(38)
Şimdi, önceki sistem için yapılan çalışmalar
benzer şekilde tekrar edilirek elde edilen ifade
(27)’de verilen sönümlü sistem hareket
denklemi ile karşılaştırıldığında, her mod için
tabii frekanslar ve sönüm oranları
m
EA
ωn = βn
ζn =
d
nπ mEA
( sin 2
nπa
nπb
+ sin 2
);
L
L
n=1, 2, ..., ∞
(39)
şeklinde elde edilir.
126
3.
Yang, B. and Wu, X., “Transient response
of one dimensional distributed systems: A
closed form eigenfunction expansion
realization”, Journal of Sound and
Vibration, 208(5), 1997, pp.763-776.
4. Kovacs, I., “Zur Frage der Seilschwigungen
und der Seildampfung”, Die Bautechnik,
59(10), 1982, pp.325-332.
5. Pacheco, B.N., Fujıno, Y. and Sulekh, A.,
“Estimation curve for modal damping in
stay cables with viscous damper”, Journal
of Structural Engineering, 119(6), 1993,
pp.1961-1979.
6. Singh, R., Lyons, W.M. and Prater, G.,
“Complex eigensolution for longitudinally
vibrating bars with a viscously damped
boundary”, Journal of Sound and Vibration,
133, 1989, pp.364-367.
7. Hull, A.J., “A closed form solution of a
longitudinal bar with a viscous boundary
condition”, Journal of Sound and Vibration,
169(1), 1994, pp.19-28.
8. Hızal, N.A. and Gürgöze, M., “Lumped
parameter representation of a longitudinally
vibrating elastic rod viscously damped inspan”, Journal of Sound and Vibration,
216(2), 1998, pp.328-336.
9. Yüksel, Ş. and Gürgöze, M., “Continuous
And Discrete Models For Longitudinally
Vibrating Elastic Rods Viscously Damped
In-Span”, Journal of Sound and Vibration,
2257(5), 2002, pp.996-1006.
10. Yüksel, Ş. and Dallı, U., “Longitudinally
Vibrating Elastic Rods with Locally and
Non-locally Reacting Viscous Dampers”,
Engineering Structures, To be Published.
11. Inman, D.J., Engineering Vibration, New
Jersey, Prentice Hall, Second Edition, 2001.
Şekil 2. İlk dört mod için sönüm oranının boyutsuz
sönüm katsayısına göre değişimi: Analitik çözüm
yöntemi.
3. SONUÇ
Bu çalışmada, dışarıdan sönümlü ve eksenel
titreşim yapan iki değişik çubuk sistemi ele
alınmıştır. Birinci çubuk sistemi, bir ucu
ankastre diğer ucuna yay ve sönümleyici bağlı
sistemdir. İkincisi ise iki ucu ankastre ve
herhangi iki orta noktasına dış sönümleyici
bağlı bir sistemdir. Ele alınan iki örnek
sistemde, sönüm katsayısı ve diğer sistem
parametrelerine bağlı olarak sönüm oranının
nasıl değiştiğini göstermek için nalitik ve
yaklaşık yöntemler önerilmiştir.
Her iki sisteme, her iki yöntem de uygulanmış
ve değişik denklemler elde edilmiştir.
Yöntemlerin verdiği sonuçları karşılaştırmak
için bir de sayısal örnek ele alınmıştır. Elde
edilen sonuçlar, analitik yöntemin daha
karmaşık olduğu ve çözümün zor elde edildiğini
göstermiştir. Yaklaşık yöntem ise daha basit
olup çözüme daha kolay ulaşılmaktadır. Diğer
taraftan, analitik çözüm bir optimum sönüm
oranı sunarken, yaklaşık çözüm ile böyle bir
sonuca varmak mümkün olmamaktadır.
Uygulamaya yönelik bir sonuç olarak: Küçük
sönüm oranına sahip sistemler için her iki
yöntem yaklaşık aynı değerleri verdiğinden,
yaklaşık yöntemin rahatlıkla tercih edilebileceği
söylenebilir.
4. Kaynaklar
1.
2.
Zarek, J.H. and Gibbs, B.M., “The
derivation of eigenvalues and mode shapes
for the bending motion of a damped beam
with general end conditions”, Journal of
Sound and Vibration, 78:, 1981, pp.185196.
Oliveto, G., Santini, A. and Tripodi, E.,
“Complex modal analysis of a flexural
vibrating beam with viscous end
conditions”, Journal of Sound and
Vibration, 200(3), 1997, pp.327-345.
127
SCARA TİPİ ROBOTUN PROGRAMLANABİLİR MANTIK DENETLEYİCİSİYLE
(PLC) KISMİ HAREKET DENETİMİ
M.Taylan DAŞ
Gaziantep Üniversitesi,Mühendislik Fakültesi,Makine Mühendisliği Bölümü,27310,Gaziantep
[email protected]
L.Canan DÜLGER
Gaziantep Üniversitesi,Mühendislik Fakültesi,Makine Mühendisliği Bölümü,27310,Gaziantep
[email protected]
ÖZET
Bu çalışmanın amacı SCARA, dört serbestlik dereceli Serpent 1 tipi robotun programlanabilir mantık
denetleyicisiyle (PLC) kısmi hareket denetimini sağlamaktır. Çalışmada Siemens S7-200 serisi PLC ve Serpent
1 robot kullanılmıştır. Mevcut sistem doğru akım servo motorları ve pnömatik sürücülerle hareket etmektedir.
Öncelikle robotun orijinal konumlandırması çözümlenmiştir. Örnek olarak ise montaj hattında olduğu düşünülen
üç farklı boyut ve ağırlıktaki parçaların bir noktadan hedef olarak belirlenen başka bir noktaya taşınarak hareket
denetiminin sağlanması üzerinde çalışılmış ve robotun pnömatik tutucu kısmının denetimi PLC ile yapılmıştır.
Anahtar Sözcükler: PLC, SCARA Robot
PARTIAL MOTION CONTROL OF A SCARA ROBOT WITH PROGRAMMABLE LOGIC
CONTROLLER (PLC)
ABSTRACT
The Purpose of this study is to achieve the motion control of a SCARA robot having four degree’s of freedom
Serpent 1 robot with a PLC based control system. Siemens S7-200 series PLC and Serpent 1 robot are used for
this study. Serpent 1 robot system has been studied mathematically. Initially, Serpent 1 control system is
activated. Partial adaptation of the PLC to the robot system is then performed. Two axes positioning and
orientation of the objects are achieved. Three different sized objects are picked from one point and placed to the
target and robot’s gripper is controlled by PLC.
Keywords: PLC, SCARA Robot
1.GİRİŞ
SCARA tipi robotlar insan kolunu model alan
özellikle kesme, yükleme, montaj ve üretim hatları
gibi sürekliliği gerektiren ortamlarda kullanılan
küçük endüstriyel robotlardır. Tasarımları Japonya
çıkışlı olup, ana amaç montaj hatlarında gereken
alıp-yerleştirme (pick and place), kaynak, boya
gibi işleri yapmasıdır. SCARA sözcüğü dilimize
‘Seçici serbest Esnemeli Robot Kolu’ (Selectively
Compliant Articulated Robot Arm) olarak
çevrilmektedir. SCARA robot yatay düzlemde
hareket eder, düşey düzlemde katıdır, esnemez. Bu
özelliği robotu montaj hatlarında kullanılmak üzere
özgünleştirir. [1-3]
SCARA robotlar ve Programlanabilir mantık
denetleyicilerinin (PLC) robotik alanda ve ölçüm
sistemleri üzerinde kullanıldığı farklı içerikte
çalışmalar gözlenmiştir. Ertürk [4] Yüksek Lisans
çalışmasında SCARA tipi robot kolunun
hareketlerinin bilgisayar destekli programlarla
denetimini sağlamıştır. Bhatia ve ark. [5] SCARA
robotun tasarımında uzman sistem yaklaşımını
uygulamışlardır. Ge ve ark. [6] bir SCARA robot
için piezoelektrik eyleyici ve duyucularla çalışan
dinamik modelleme ve denetleyici tasarımı
yapmışlardır. Omedei ve ark.[7] endüstriyel
robotların tanılanmasını içeren farklı algoritmalar
üzerinde çalışıp, SCARA IBM 7535 robotta
denemiştir. Er ve ark.[8] Seiko D-Tran 3000 serisi
SCARA robot üzerinde Hibrid Uyarlanabilir
Bulanık Denetleyici (HAFC) nin tasarımı,
geliştirilmesi ve uygulamasını yapmışlardır.
Figliolini ve Ceccarelli [9] elektro-pnömatik
yürüyen bir robotun pnömatik sürücülerinde ve
elektronik denetiminde PLC kullanmış, prototip
üzerinde deneysel çalışmalar yapılmıştır. Raviva
[10] ise akustik ölçümlerde kullanılmak üzere
mekatronik içerikte PLC ile denetlenebilen bir
ölçüm sistemi tasarlamış, ve otomatik çamaşır
makinasının akustik analizinde uygulamıştır.
Sunulan çalışmada ise SCARA tipi Serpent 1
robotu
ile
Siemens
S7-200
PLC
kullanılmıştır.Robotun
programlanmasın-da
Daş ve Dülger
elemanlarla yaygın olarak kullanılmakta olan PLC
ise
çalışmada
robotun
iki
eksende
konumlandırılması
tamamlandıktan
sonra
parçaların
alınıp
taşınmasında,
pnömatik
sürücülerle birlikte uygulanmıştır.
üzerinde çalışılan Walli (Workcell Amalgamated
Logical Linguistic Instructions) dili Cybernetics
Applications Ltd. tarafından geliştirilmiş olup, basit
ama düşük düzeyde bir programlama dilidir.
Günümüzde endüstriyel sistemlerin kumanda
devrelerinde; kontaktör, zaman rölesi ve sayıcı gibi
Şeki1 1. SCARA robot anatomisi
sağlanmaktadır. Serpent 1 robotun firma tarafından
belirtilen özellikleri Tablo 1’de verilmektedir.
Robotun çalışma alanı ise Şekil 2.(a) da ve 3 farklı
boyut ve ağırlıktaki parçaların oryantasyonu ise
Şekil2.(b) de gösterilmiştir
2. SERPENT 1 ROBOT
Robotun anatomisi Şekil 1’de gösterilmiş-tir. Burada
XY düzleminde θ1 ve θ2 omuz ve dirsek açılarını,
üçüncü açısal konum olan θ3 ise bilek hareketini
tanımlar. Pnömatik sistemle düşey hareket
Tablo 1. Serpent 1’in Özellikleri
Ana kol uzunluğu (r1)
İkinci kol uzunluğu (r2)
Omuz ekseni (θ1)
Dirsek ekseni (θ2)
Bilek hareketi (θ3)
Yukarı-aşağı hareket (Z ekseni)
En fazla uç hızı
En fazla taşıma kapasitesi
.
250 mm
150 mm
200°
250°
450°
75 mm
550 mm/s
2.0 kg
130
Scara Tipi Robotun Programlanabilir Mantık Denetleyicisiyle (Plc) Kısmi Hareket Denetimi
3. DENEY DÜZENEĞİ
Çalışmada kullanılan Serpent 1 tipi robotun fotoğrafı Şekil 3’te görülmektedir.
Şekil 3. Deney Düzeneği
tanımlanan B noktasının kordinatları aşağıdaki
biçimde yazılabilmektedir.
Robotun pnömatik olarak çalışan tutucularının
denetlenmesinde Siemens S7-200 serisi PLC
kullanılmıştır. Pnömatik sisteme programdan
bağımsız olarak kendi içerisinde otomasyon
sağlanmıştır. Montaj hattını örneklemek amacıyla
üç farklı boyut ve ağırlıktaki parçaların hedef
olarak tanımlanan konumlardan istenilen bir
konuma götürülmesi sağlanmıştır. Her iki eksen
için gereken konumlandırma dc servo motorlarla
sağlanmıştır. Bilek konumlandırılması yapılmadan
da parça istenilen konuma götürülebilmektedir.
x B = r1 cosθ 1 + r2 cos(θ 1 + θ 2 )
y B = r1 sin θ 1 + r2 sin(θ 1 + θ 2 )
(1)
(2)
Uç noktanın mafsal açıları ise ters çözümden
bulunabilir. Omuz ve dirsek açıları aşağıda
verilmektedir.
( x B2 + y B2 ) − (r12 + r22 )
cosθ 2 =
2r1 r2
3.1. Serpent 1 Konfigürasyonu
(3)
Şekil 4’te kartezyen koordinat sisteminde kullanılan
konfigürasyon gösterilmiştir. Bu koordinatlar ters
dönüşüm kullanılarak mafsal koordinatlarının
belirlenmesinde esas alınmıştır. Şekil 4’te uç olarak
tan θ 1 =
131
− (r2 sin θ 2 ) x B + (r1 + r2 cosθ 2 ) y B
(r2 sin θ 2 ) y B + (r1 + r2 cosθ 2 ) x B
(4)
Daş ve Dülger
m 2, j2
θ2
m 1 ,j
1
θ1
Şekil 4. Serpent 1 Konfigürasyonu
Programlanabilen mantık denetleyicisi (PLC) bir
sayısal işlemci ve bellek, giriş ve çıkış birimi,
programlayıcı birimi, ve besleme güç kaynağından
oluşmaktadır. PLC’ ler için genelde üç
programlama biçimi; komut kullanılması (statement
list), merdiven diyagramı gösterimi (ladder
programming) ve diğer programlama olarak
sınıflandırılmaktadır. İşlem akış şeması Şekil 5’ de
gösterilmiştir. Tarama süresi olarak bilinen bu
işlem PLC’ lerde 1 ms ile 200 ms arasında
değişebilmekte ve yazılan programın büyüklüğü ile
ilgili olmaktadır.
Gereken kinematik analiz yukarıdaki eşitliklerin
türevlerinin alınması ile istenilen hız ve ivme
bilgilerine dönüşebilmektedir. Sistemin matematik
modeli
üzerinde çalışırken bulunan noktalar
kullanılmaktadır.
4.
PROGRAMLANABİLİR
DENETLEYİCİLER (PLC)
MANTIK
Programlanabilir mantık denetleyiciler (PLC) farklı
endüstriyel uygulamalarda; CNC tezgahları, taşıma
bantları (konveyörler) ve tekstil makinelerinde
bulunan elektriksel ve pnömatik mantık devrelerin
birlikte kullanımını sağlayan elemanlardır. PLC’ ler
temel
giriş-çıkış
olanaklarının
yanı
sıra
zamanlayıcıları, sayıcıları ile günümüz otomatik
denetim uygulamalarında sanayide önemli bir yer
tutmaktadır. Günümüzde PLC kullanımları temel ve
ileri seviye olarak iki türlü gerçekleşmektedir. PLC
ilk olarak çeşitli sayıcı ve zamanlayıcı gibi benzer
rölelerin işlevlerini kolaylaştırmak için üretilmesine
rağmen günümüzde aritmetik ve özel matematik
işlemlerinin yapılması ve PID gibi denetim
tekniklerinin
endüstriyel
sistemlere
uygulanmasında kullanımı ile otomasyonda önemli
bir yere sahiptir. [11,12].
4.1. PLC Uygulama Örnekleri
Burada öncelikle günlük basit uygulamalar;
pnömatik bir sistem ve motor kumanda elemanı
olarak PLC anlatılmıştır. PLC’lerde giriş-çıkış
davranışı açısından zamanlayıcılar gecikmeli
kapatan (on-delay), geçikmeli açan (off-delay) ve
kenar tetiklemeli türlerdir. En yaygın kullanımda
ise
geçikmeli
kapatan
zamanlayıcılar
görülmektedir.
PLC
Giriş
Mantık
Çıkış
Cıkış ;
Valf,
motor, vb.
Giriş ;
Anahtar,
vb.
Şekil 5.PLC’ nin İşlem Akış Şeması
132
A silindiri de ilk hali olan A(-) konumuna
dönmektedir.
Bu
işlem
istenilen
sayıda
tekrarlanarak devrenin sürekliliği
sağlanabilir.
Sistemde ki
giriş-çıkış elemanlarının sayısı
arttırıla-rak otomasyon sistemi genişletilebilmektedir. Sistemde valflerin bağlantısı için kontaktör,
ilk hareketi başlatmak için elektrik anahtarı,
gecikmeli kapatan zamanlayıcılar ve sayıcılar
kullanılmıştır.
Pnömatik bir uygulama sistem elemanları ile
birlikte Şekil 6 da gösterilmiştir. Sistemde iki adet
çift taraflı silindir ile birlikte 5 yollu 2 konumlu yön
denetim valfleri kullanılmıştır. A silindirinde valf
tamamen solenoid denetimlidir, ancak B silindirine
ait olan yön denetim valfinin geri dönüşü yay ile
sağlanmaktadır. Sistemin denetimi PLC ile
yapılmıştır. Örnek olarak hazırlanan programda,
A(+) açıldıktan belirtilen süre sonunda B(+)
konumuna geçmekte, yine istenen süre içerisinde
B(+) kapanarak silindir B(-) olmakta ve aynı anda
B
B+
A+
A
A-
P
C
B+
A+
PL
Şekil 6. Pnömatik Uygulama
hattında olduğu düşünülen üç farklı parça için
robotun çalışma alanında yapılan programla birlikte
tekrarlanacaktır. Motor kumanda devreleri de PLC
kumanda devrelerine dönüşebilmektedir. Bir dc
motora farklı yönlerde yol verme uygulaması da
yapılmıştır. Uygulama Şekil 7’de şematik olarak
gösterilmiştir. Kontaktörlerin kullanılması ile motor
her iki yönde çalıştırabilmektedir. Ayrıca bir X-Y
koordinat düzeninde birbiriyle içice çalışan ve adım
motorlarla sürülen bir lineer hareket sisteminin
konum denetimi yapılmaya çalışılmaktadır.
Kullanılan Serpent 1 robot ta bulunan pnömatik
sistemin orijinal çalışma sistemi ise tutucu kısmı
“açık” veya “kapalı”, dikey eksendeki silindir ise
“aşağı” veya “yukarı” komutları ile çalışmaktadır.
PLC ile yapılan çalışmada, tutucu açık ve yukarı da
ise silindir aşağı inecek tutucuyu kapatacak,
yeniden yukarı çıkacak, bu işlemden sonra parça
yeni konumuna gelecek, silindir aşağı inerek
tutucuyu açacak yeniden yukarıya çıkacaktır.
Pistonların enerjileri ve çalışma süreleri
ayarlanabilmektedir. Bu işlem yukarıda verilen
pnömatik uygulamaya çok benzerdir. Taşıma
dc
motor
PLC
133
PC
Daş ve Dülger
Şekil 7. DC motora yol verme
4.2 PLC’nin SCARA Robota uygulanması
Tablo 2’de boyutları verilen parçalardan büyük
olanı örnek olarak seçildiğinde Walli programında
PLC’den bağımsız olarak seçilen parçanın
taşınması 3 saniye sürmektedir. Eğer 1 defa
hareketin yapılması isteniyorsa tek döngü yeterli
olmaktadır. parça konuma getirildiğinde Tablo 3’de
verilen PLC programı ile selenoidler çalıştırılmış,
ve parçanın yerleştirilmesi sağlanmıştır. Büyük
parçanın konumlaması sırasında aşağıda verilen açı
değerleri ölçülmüştür. Robotun konumlanması θ1 ve
θ2 olarak sağlanınca, düşey hareketin denetimi için
sistemde
PLC devreye girmiştir. Pnömatik
Denetim ünitesinde parçayı yerleştirirken ‘Aşağı’
ve ‘Yukarı’, parçayı bırakırken veya alırken ‘Aç’
ve ‘Kapa’ komutları PLC S7-200 ile yapılmış ve
parçalar istenilen konuma alınıp taşınmış ve
yerleştirilmiştir.
Burada farklı parçaların taşınması için kartezyen
koordinatlarda verilen değerlerin açısal karşılığı
ters kinematik ile hesaplanmış ve robot kolları için
gereken veri sağlanmıştır. Şekil 8’de PLC ile
kısmen denetlenebilen SCARA robotun denetim
elemanları gösterilmiştir. Serpent 1 robotu Walli
2.5 programı ile programlanmış, robot bilgisayar
klavyesi aracılığıyla istenilen başlangıç konumuna
getirilmiş, bu konumlar daha sonra kullanılmak
üzere kaydedilmiştir[13]. Böylece robot istenilen
konumları hafızadan tekrarlayabilmekte ve veri
dosyası
oluşturabilmektedir.
Bu
dosya
istenildiğinde adım adım, istenildiğinde ise sonsuz
bir döngü içerisinde çalıştırılabilir. Ayrıca yörünge
takibinde üç aşamalı (yavaş, orta, hızlı) hız
tanımlanabilmekte- dir. Gönderilen konumlar ve
geri besleme sonucu oluşan veriler bilgisayar
ekranından izlenebilmektedir. Yatay düzlemde
taşıyabileceği iş parçasına göre omuz ve dirsek
açıları ayarlanmıştır.
Parçanın alınması; (Başlangıç)
θ1=13.28° ve θ2=77.47°
Parçanın yerleştirilmesi; (Bitiş)
θ1=141.47° ve θ2=185.99°
Robotun omuz, dirsek ve bilek hareketleri servo
motorlarla gerçekleştirilmektedir. Hareketlerin
açısal geri beslemeleri servo motorlara doğrudan
bağlı potansiyometre-lerle (Şekil 8) sağlanmıştır.
Motorlardan omuz ve dirsek hareketleri dişlilerle,
bilek hareketi ise paralel kayışlarla aktarılmıştır.
Ölçülen açısal konum noktaları incelendiğinde
omuz ve dirsek açıları olarak tanımlanan θ1 ve
θ2’nin 2. dereceden bir polinom karakteriyle çok iyi
uyum gösterdiği gözlenmiştir.
134
Motorlar
θ3
Pozisyon
Geri bes.
Pot. B
θ2
θ1
Pozisyon
Geri bes
Pot. C
Çıkış
θ3
Servo
Sürücü 3
Çıkış
θ1 Çıkış
θ2
Servo
Sürücü 2
Servo
Sürücü 1
Pozisyon
Geri bes
Pot. A
C
A
B
PLC
Ara Bağlantı
Kartı
Selenoid
Sürücü
PC
Güç
Kaynağı
Şekil 8. SCARA Robotun Denetim Yapısı
Tablo 2. Oryantasyonu yapılan parçaların boyutları
Boyut(mm)
Ağırlık (gr)
Renk
Küçük
φ20 x 30
100
Kırmızı
Orta
φ38 x 40
380
Mavi
Büyük
φ58 x 50
820
Kahverengi
5. SONUÇLAR
Serpent 1 robotun düşey hareketini ve tutucu
kısmını içeren pnömatik kısım PLC ile
denetlenebilmiştir. Böylece yukarıda belirtilen
farklı parçaların sırasıyla yerlerinden alıp
oryantasyonun sağlanması ve yerleştirilmesi aşama
aşama yapılmış ve döngü ile süreklilik sağlanmıştır.
Çalışmanın amacı mikroişlemci tabanlı denetim
elemanı olan PLC’lerin robotik sisteme ve sürücü
sistemlerin denetimine yönelik kullanılmasıdır.
Serpent 1 tipi SCARA robotun hareket denetimi
kısmi olarak PLC’ye uyarlanmıştır. Çalışmanın
kısmi olarak yapılmasının en büyük nedeni ise
robotun sürücüleri olan dc motorların kapalı devre
bir paket programla denetlenebilmesidir. Burada
ancak omuz ve dirsek hareketleri ile istenilen
oryantasyon servo motorlarla sağlanmış, sonra
Daha ileriki çalışmalarda robotun denetim
sisteminin tamamen hazır program devre dışı
bırakılıp, açısal konumlamanın da PLC ile
yapılması düşünülmektedir.
135
Daş ve Dülger
Tablo 3. Tutucu kısmın hareket algoritması ve PLC programı
1
Yukarı
on
Aşağı
off
Kapalı
off
NETWORK 1
LDN I0.0
JMP 0
2
3
4
5
off
on
off
off
on
off
on
off
on
on
on
on
NETWORK 7
LD T37
AN T34
O
T36
NETWORK 2 //Pneumatic ON I0.0
=
Q0.2
//
//NETWORK COMMENTS
NETWORK 8
//
LD Q0.2
LD I0.0
O
T34
AN Q0.1
AN T36
O T34
TON T34, +Pv
=
Q0.0
6
7
off
on
off
on
off
off
NETWORK 9
LD T34
AN T36
=
Q0.3
NETWORK 3
LD Q0.0
O T33
AN T35
TON T33, Pv
NETWORK 10
LD Q0.3
TON T35, +Pv
NETWORK 4
LD T33
=
Q0.1
NETWORK 11
LD T35
TON T36, +Pv
NETWORK 5
LD Q0.1
TON T37, Pv
NETWORK 12
MEND
NETWORK 6
LBL 0
[7]. Omodei A, Legnani G., Adamini R., ‘Three
Methodologies for the Calibration of Industrial
Manipulators: Experimental Results on a SCARA
Robot’ Journal of Robotic Systems, 17(6),p. 291307, 2000.
[8] Er M.J., Lim M.T., Lim H.S., ‘Real time hybrid
adaptive fuzzy control of a SCARA robot’
Microprocessors and Microsystems, 25, p. 369-378,
2001.
[9] Figliolini G., Ceccarelli M., ’Walking
programming for an electropneumatic biped robot’,
Mechatronics 9 (1999), pp. 941-964.
[10] Ravina E., ‘A Pneumotronic equipment for
acoustic measurements’, Mechatronics 11 (2001),
pp. 183-197.
[11] Kurtulan Salman, ‘PLC ile Endüstriyel
Otomasyon’,Birsen Yayınevi, 2001.
[12] Frank D. Petrozella, ‘Industrial Electronics’,
McGraw Hill-1996.
[13] WALLI-Serpent Manual, 1993.
6. KAYNAKÇA
[1]. Dorf R.C.,’Concise International Encyclopedia
of Robotics-Applications and Automation’, John
Wiley and sons Inc.,1990.
[2]. Shimon Y. Nof, ‘Handbook of Industrial
Robotics’, John Wiley and Sons, 1985.
[3]. Rivin I. Eugene, ‘Mechanical Design of
Robots’, Mc-Graw Hill, McGraw-Hill, 1988.
[4]. Ertürk Mustafa, ‘SCARA tipi robot kolunun
hareketlerinin bilgisayar destekli programlarla
kontrolü’, Y.Lisans Tezi-Çukurova Üniversitesi,
1997.
[5]. Bhatia P., Thiunarayanan J., Dave N., ‘An
expert system-based design of SCARA robot’,
Expert Systems with Applications, 15, pp.99-109,
1998.
[6]. Ge S.S., Lee T.H., Gong J.Q., ‘A robust
distributed
controller
of
a
single-link
SCARA/Cartezian
smart
materials
robot’,Mechatronics, 9, p.65-93, 1999.
136
VİSKOELASTİK BAĞLANTILI
ANKASTRE ÇUBUĞUN MODAL ÖZELLİKLERİ
Aydın DEMİR
İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi, Makina Mühendisliği Bölümü, Taksim 80191, İSTANBUL,
[email protected]
Vahit MERMERTAŞ
[email protected]
ÖZET
Bu çalışmada, bağlantı noktası rijitlik ve sönümünün ankastre çubuğun modal özelliklerine etkisi incelenmiştir.
Yapılarda yüzey sönümü olarak viskoelastik malzemeler kullanımı, titreşim ve ses yalıtımları için etkili bir
uygulama olmakla beraber her zaman ve her koşulda uygulama imkanı olmayabilir. Bu durumda, bağlantılarda
viskoelastik malzemeler kullanılması tercih edilen yöntemlerdendir. Bağlantı sönümü, rotor yataklarında,
tesisatlarda boru bağlantılarında pasif titreşim kontrolu olarak uygulanmaktadır. Viskoelastik bağlantı doğrusal
ve dönme yönünde kompleks rijitliğe sahip yay elemanları kullanılarak modellenmiştir. Esnek ve sönümlü
bağlantının etkisi için ele alınan problem basit çubuk teorisi çerçevesinde incelenmiş, Bernoulli-Euler çubuğuna
ait diferansiyel denklem ve sınır şartlarından hareket edilmiştir. Çubuğun modal parametreleri karakteristik
denklemin iteratif çözümüyle elde edilmiştir. Sayısal sonuçlar, doğal frekans ve modal sönüm oranları olarak
viskoelastik bağlantının doğrusal ve dönme yönündeki özellikleri değiştirilerek verilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Modal özellikler, sönümlü bağlantı , kompleks yay
MODAL PROPERTIES OF CANTILEVER BEAM WITH VISCOELASTIC BOUNDARY SUPPORTS
ABSTRACT
In this presentation, the effects of damped compliant boundary conditions on modal parameters of cantilever
beams are investigated. Surface damping treatments with viscoelastic materials have been successfully used to
reduce vibration and noise structures. Although such surface damping treatments are effective in general, it is not
always possible or desirable to implement them. In such cases the damping treatments at the boundary supports
can be an alternative solutions. Support damping have been used in the design of systems such as beams, shafts,
piping for passive vibration control. The viscoelastic support regions are described in terms of equivalent
complex stiffness coefficient. The dynamic behaviour of the cantilever beam is studied using the simple beam
theory, the differential equations of Bernoulli-Euler beam vibration theory and boundary conditions. The
governing equations are solved numerically to obtained modal parameters of cantilever beam. Numerical results
are represented in natural frequencies and modal loss factors, based on which a procedure of selecting the
support parameters.
Keywords: Modal properties, resilient root, support damping, complex stiffness
1. GİRİŞ
Viskoelastik malzemeler yapılardaki titreşim ve
sesin azaltılmasında konusunda uzun süreden beri
başarıyla
kullanılmaktadırlar.
Viskoelastik
elamanların çubuk ve plak tipi yapılarda titreşim ve
ses sönümleyici elemanlar olarak yüzeye uygulanan
veya belirlenen noktalarda esas yapıya bağlantı
elemanı olarak kullanılan uygulamaları mevcuttur.
Rotorlarda sabit yatak bağlantılarına uygulama
örnekleri vardır.
Wineman ve Min [1] çubuklarda viskoelastik
mafsal bağlantısının formülasyonu yapmışlardır.
Sun [2] viskoelastik zemin üzerindeki çubuklarda
hareketli yüklerin etkisini Green fonksiyonlarını
kullanarak analiz etmiştir. Fan, Lee, Kang ve Kım
[3] viskoelastik olarak yataklanmış Bernoulli-Euler
çubuğunun zorlanmış titreşimlerini incelemişlerdir.
Abbas [4] Timoshenko çubuğunda doğrusal ve
Demir ve Mermertaş
dönme esnekliklerinin doğal frekanslar üzerindeki
etkisini sonlu elemanlar yöntemiyle incelemiştir.
EI
∂2w(x, t)
∂x2
= 0,
∂3w(x, t)
∂x3
=0
Denklemin çözümü olan w(x,t), konum ve zamanın
fonksiyonu olarak birbirinden ayrı olarak
yazılabilir.
w (x , t ) = W (x ) e j ω t
(4)
Bu denklemde ω, titreşim hareketinin frekansı,
W(x) ise titreşim şeklini verir. (4) çözümünün (1)
denkleminde yerine konmasıyla, β frekans
parametresi cinsinden
W(x) = A sin βx + B cosβx + C sinhβx + D coshβx (5)
2. DİFERANSİYEL DENKLEM VE SINIR
ŞARTLARI İLE ÇÖZÜMÜ
elde edilir. Frekans parametresi β ise,
Şekil 1'de gösterilen Bernoulli-Euler çubuğunun
eğilme titreşimlerinin kısmi türevli diferansiyel
denklemi
+ ρA
∂w ( x, t )
∂ 3 w ( x, t )
, EI
= −K*K w ( x, t )
∂x
∂x 3
x=L,
Doğrusal ve dönme yönlerinde rijitliğe ve sönüm
etkisine sahip viskoelastik eleman üzerinden sabit
noktaya bağlanan ve diğer ucu serbest olan çubuk
için bağlantının özellikleri değiştirilerek elde edilen
sayısal çözümlerle doğal frekans ve modal sönüm
oranları bulunmuş ve etkileri tartışılmıştır.
∂ 4 w (x , t )
∂x 2
= K*B
(3)
Bapat [5] farklı noktalarda doğrusal, dönme yayları
ve kütle eklenmiş olan Bernoulli-çubuğunun doğal
frekanslarını transfer matris yöntemiyle elde
etmiştir. Goel [6] elastik bağlantılı çubukların
dinamik
analizi
için
Laplace
yöntemini
kullanmıştır. Macbain ve Genin [7] sönüm
bağlantılı çubuğun enerji kaybını sonlu farklar
metoduyla incelemiştir. Kang ve Kim [8]
uçlarından viskoelastik bağlantılı çubuk ve dairesel
plağın doğal frekans ve modal sönüm oranlarını
incelemişlerdir.
ρ A ω2
(6)
EI
şeklinde tanımlanmıştır. (4) denkleminin, (3) sınır
şartları ile birlikte değerlendirilmesi sonucunda
aşağıdaki matris eşitliği elde edilir.
β4 =
∂ 2 w (x , t )
=0
(1)
∂ x4
∂ t2
şeklindedir. Bu denklemde, E çubuk malzemesinin
elastisite modülünü, I çubuğun kesit atalet
momentini göstermektedir. w(x,t) çubuk ekseni
üzerindeki x noktasının t anında bu eksene dik olan
yer değişimini gösterir. A kesit alanı, ρ ise malzeme
yoğunludur.
EI
∂ 2 w ( x, t )
[∆(β)]{A
B C D}T = {0}
(7)
 K*B
βE I
− β E I  A 0
K*B
 3
   
*
3
β EI
KK
K*K  B 0
 −β EI
=
 − sinβL − cosβL sinhβL coshβL C 0


 


   
− cosβL sinβL coshβL sinhβL  D 0
L
w(x,t)
K K ve K B yay katsayılarının boyutsuz değerleri
K K ve K B aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.
x
KK =
Şekil 1. Ankastre çubuk ve esnek-sönümlü bağlantı
K L
K K L3
, KB = B
EI
EI
(8)
Çubuğun doğal frekanslarını elde etmek için
Çubuğun esnek ve sönümlü bağlantısı j=√-1 sanal,
KK, KB, ηK ve ηB gerçel sayılar olmak üzere aşağıda
verilen kompleks doğrusal ve burulma yaylarını
kullanarak tanımlanır.
Det[∆(β)] = 0
(9)
karakteristik denklemi iteratif olarak çözülür. Bu
denklemin çözümü ile bulunan doğal frekansların
her biri
K *K = K K (1 + j η K ) , K *B = K B (1 + j η B ) (2)
Şekil 1'de gösterilen çubuk için L çubuk boyu
olmak üzere, sınır şartları aşağıda verilmiştir.
ω = ω r (1 + j η r )
x=0,
138
(10)
Viskoelastik Bağlantılı Ankastre Çubuğun Modal Özellikleri
formunda kompleks sayılardır. Bulunan kompleks
doğal frekans ile sönümlü sistemin doğal frekansı
ωr ve modal sönüm oranı ηr belirlenir.
çubuk, bir ucundan basit mesnetli diğer ucu serbest
sınır şartlarındaki çubuğun dinamik davranışlarını
göstermektedir.
Tablo 1, 3, 5 K B ve K K ’nın artan değerlerinin her
üç moddaki doğal frekans değerlerinde yükselmeye
neden olduğunu göstermektedir. K B ve K K
değerlerinin her ikisinin de yüksek olduğu
durumlarda ankastre-serbest çubuğun doğal
frekansları olan ω1=157.995 rad/s, ω2=990.139
rad/s
ve
ω3=2772.42
rad/s
değerlerine
ulaşılmaktadır. Bu durumda modal sönüm oranı da
gittikçe azalarak 0 değerine yaklaşmaktadır.
3. SAYISAL UYGULAMALAR
Elde edilen sayısal sonuçlarda çubuk uzunluğu 1 m,
çubuk kesiti 0.02m x 0.03m, malzeme yoğunluğu
ρ=7800 kg/m3 ve elastisite modülü E=2.1 1011
N/m2 olarak alınmıştır. Viskoelastik bağlantı
elemanlarında
malzeme
sönüm
oranları
ηK=ηB=0.02 olarak seçilmiş ve iteratif olarak
bulunan doğal frekans ve modal sönüm oranları
Mathematica (4.0) dilinde yazılan program
çalıştırılarak elde edilmiştir.
Tablo 2, 4 ve 6 incelendiğinde, boyutsuz K B ve
K K değerlerinin değişiminin modal sönüm oranı
üzerindeki etkisinin farklı modlarda
farklı
şekillerde olduğu görülmektedir. Tablo 2’de 1. mod
için K B ve K K ’nin artan değerleri için modal
sönüm oranları azalmaktadır. Tablo 4 ve 6’da ise
çubuğun 2. ve 3. modları için, K B ’nin değerine
Tablo 1, 3 ve 5 incelendiğinde, boyutsuz K K ve
K B parametrelerinin 0 değerinde elde edilen doğal
frekanslar, serbest-serbest sınır şartlarındaki
çubuğun doğal frekans değerlerini vermekte ve sınır
şartları nedeniyle sisteme dahil olan sönüm, etkisiz
kalarak modal sönüm oranı da 0 olmaktadır.
bağlı olarak modal sönüm oranı K K ’nın belirli bir
değerine kadar artış göstermekte ve daha sonra da
azalmaktadır.
Tablo 1 incelendiğinde, K K =0 iken K B ’nin artan
değerlerinde 1. titreşim biçimi, rijit cisim modu
olmakta ve bu moda karşılık gelen doğal frekans 0
değerini almaktadır. Aynı tabloda, K B =0 iken
Tablo 1-6 incelendiğinde, K B ve K K ’nın 104 ve
1020 değerleri arasında elde edilen doğal frekans ve
modal sönüm oranlarının çok az değiştiği
görülmektedir.
K K ’nın artan değerlerinde doğal frekansın yine 0
olduğu görülmektedir. K K 'nın büyük değerleri için
Tablo 1. Birinci doğal frekanslar (ω1)
KK
0
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
1020
KB
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10-3
0
1.2622
2.2106
2.4336
2.4583
2.4608
2.4610
2.4611
2.4611
2.4611
10-2
0
1.4034
3.9905
6.9849
7.6879
7.7656
7.7735
7.7743
7.7743
7.7743
10-1
0
1.4193
4.4371
12.5926
21.9095
24.0644
24.3018
24.3258
24.3282
24.3284
100
0
1.4208
4.4871
14.0000
39.0019
64.2455
69.3708
69.9214
69.9768
69.9830
101
0
1.4210
4.4921
14.1575
43.2875
102.1720
129.5700
132.9840
133.3300
133.3680
102
0
1.4210
4.4926
14.1734
43.7701
110.6970
149.2970
154.3550
154.8680
154.9250
103
0
1.4210
4.4927
14.1750
43.8189
111.6620
157.0850
157.0850
157.6210
157.6800
104
0
1.4210
4.4927
14.1752
43.8238
111.7590
157.3660
157.3660
157.9040
157.9640
1020
0
1.4210
4.4927
14.1752
43.8244
111.7700
157.3970
157.3970
157.9350
157.9950
Tablo 2. Birinci mod modal sönüm oranları(η1)
KK 0
0
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
1020
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
KB
-3
10
0
0.0099985
0.0099972
0.0099967
0.0099967
0.0099966
0.0099966
0.0099966
0.0099966
0.0099966
-2
10
0
0.0099985
0.0099943
0.0099808
0.0099761
0.0099755
0.0099755
0.0099755
0.0099755
0.0099755
-1
10
0
0.0099985
0.0099940
0.0099525
0.0098197
0.0097742
0.0097690
0.0097684
0.0097684
0.0097683
0
10
0
0.0099985
0.0099940
0.0099491
0.0095396
0.0084276
0.0081126
0.0080780
0.0080745
0.0080741
101
0
0.0099985
0.0099940
0.0099489
0.0094986
0.0062710
0.0033265
0.0029358
0.0028965
0.0028921
139
102
0
0.0099985
0.0099940
0.0099489
0.0094958
0.0057406
0.0011054
0.0004568
0.0003925
0.0003853
103
0
0.0099985
0.0099940
0.0099489
0.0094955
0.0056813
0.0001153
0.0001153
0.0000474
0.0000398
104
0
0.0099985
0.0099940
0.0099489
0.0094955
0.0056753
0.0000798
0.0000798
0.0000116
0.0000040
1020
0
0.0099985
0.0099940
0.0099489
0.0094955
0.0056746
0.0000759
0.0000759
0.0000076
0
Demir ve Mermertaş
Tablo 3. İkinci doğal frekanslar (ω2)
KK
0
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
1020
KB
0
0
2.842
8.987
28.408
89.448
270.793
681.510
681.510
691.701
692.830
-3
10
4.922
5.541
10.005
28.726
89.543
270.808
584.399
681.549
691.743
692.873
-2
10
15.538
15.733
17.497
31.597
90.393
270.940
584.515
681.897
692.121
693.255
-1
10
48.3369
48.3983
48.9522
54.5224
98.680
272.223
585.646
685.333
695.856
697.023
0
10
132.774
132.794
132.968
134.718
152.368
282.004
594.963
715.417
728.733
730.213
101
224.457
224.465
224.536
225.250
232.497
305.263
624.703
839.198
866.724
869.787
102
248.228
248.234
248.290
248.844
254.474
313.920
640.236
927.906
967.201
971.518
103
251.024
251.030
251.084
251.621
257.078
315.018
642.461
942.433
983.659
988.172
104
251.309
251.315
251.368
251.904
257.344
315.131
642.693
943.978
985.408
989.941
1020
251.341
251.347
251.400
251.935
257.373
315.144
642.719
944.150
985.603
990.139
Tablo 4. İkinci mod modal sönüm oranları (η2)
KB
KK
0
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
1020
0
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
1020
0
0.0099989
0.0099980
0.0099895
0.0099034
0.0090205
0.0003328
0.0003328
0.0000327
0
0.0099953
0.0099957
0.0099961
0.0099881
0.0099021
0.0090196
0.0033482
0.0003340
0.0000339
0.0000012
0.0099619
0.0099624
0.0099657
0.0099707
0.0098896
0.0090110
0.0033574
0.0003450
0.0000449
0.0000122
0.0096401
0.0096405
0.0096441
0.0096773
0.0097729
0.0089252
0.0034463
0.0004516
0.0001514
0.0001187
0.0072559
0.0072563
0.0072602
0.0072989
0.0076465
0.0081328
0.0041291
0.0012414
0.0009333
0.0008997
0.0020359
0.0020364
0.0020406
0.0020828
0.0025046
0.0054424
0.0057414
0.0022366
0.0017223
0.0016663
0.0002463
0.0002468
0.0002510
0.0002936
0.0007217
0.0042229
0.0062646
0.0012729
0.0004472
0.0003605
0.0000251
0.0000256
0.0000299
0.0000724
0.0005009
0.0040616
0.0063230
0.0010136
0.0001312
0.0000396
0.0000025
0.0000030
0.0000072
0.0000498
0.0004783
0.0040450
0.0063289
0.0009846
0.0000962
0.0000040
0
0.0000005
0.0000047
0.0000473
0.0004757
0.0040431
0.0063295
0.0009813
0.0000922
0
Tablo 5. Üçüncü doğal frekanslar (ω3)
KB
KK
0
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
1020
0
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
1020
1005.36
1005.37
1005.40
1005.76
1009.40
1047.07
1423.73
2125.39
2233.93
2245.21
1005.45
1005.45
1005.49
1005.85
1009.48
1047.15
1423.75
2125.42
2233.97
2245.26
1006.23
1006.23
1006.27
1006.63
1010.26
1047.87
1423.94
2125.65
2234.36
2245.66
1013.84
1013.85
1013.88
1014.24
1017.82
1054.95
1425.78
2127.94
2238.21
2249.68
1075.73
1075.74
1075.77
1076.09
1079.30
1112.24
1441.11
2148.90
2273.93
2287.05
1259.59
1259.60
1259.62
1259.81
1261.79
1281.90
1492.56
2256.74
2471.79
2494.79
1345.26
1345.26
1345.28
1345.42
1346.86
1361.41
1520.94
2365.27
2688.61
2721.78
1356.89
1356.89
1356.90
1357.04
1358.40
1372.25
1525.08
2386.57
2732.09
2766.93
1358.09
1358.09
1358.11
1358.24
1359.60
1373.37
1525.52
2388.91
2736.85
2771.86
1358.22
1358.23
1358.24
1358.37
1359.73
1373.50
1525.57
2389.17
2737.39
2772.42
Tablo 6. Üçüncü mod modal sönüm oranları (η3)
KB
KK
0
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
1020
0
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
1020
0
0.0000001
0.0000008
0.0000080
0.0000803
0.0008224
0.0049073
0.0011803
0.0001019
0
0.0000017
0.0000018
0.0000025
0.0000097
0.0000819
0.0008237
0.0049070
0.0011807
0.0001023
0.0000004
0.0000171
0.0000172
0.0000179
0.0000251
0.0000971
0.0008357
0.0049039
0.0011843
0.0001059
0.0000040
0.0001635
0.0001636
0.0001643
0.0001712
0.0002404
0.0009493
0.0048737
0.0012197
0.0001414
0.0000394
0.0010582
0.0010583
0.0010588
0.0010637
0.0011135
0.0016166
0.0045955
0.0015271
0.0004425
0.0003395
0.0011439
0.0011439
0.0011441
0.0011463
0.0011684
0.0013927
0.0033467
0.0026594
0.0012269
0.0010818
0.0001861
0.0001861
0.0001863
0.0001883
0.0002083
0.0004120
0.0024703
0.0030908
0.0005822
0.0003395
0.0000196
0.0000197
0.0000199
0.0000218
0.0000418
0.0002453
0.0023324
0.0030998
0.0002995
0.0000393
0.0000020
0.0000020
0.0000022
0.0000042
0.0000242
0.0002277
0.0023178
0.0030994
0.0002659
0.0000040
0
0.0000001
0.0000002
0.0000022
0.0000222
0.0002257
0.0023162
0.0030993
0.0002621
0
140
Viskoelastik Bağlantılı Ankastre Çubuğun Modal Özellikleri
4. SONUÇ
Esnek bağlantılı ankastre-serbest çubuk için
bağlantı noktası rijitlik ve sönümünün çubuğun
doğal frekans ve modal sönüm oranları üzerindeki
etkisi incelenmiştir. Bernoulli-Euler çubuğuna ait
diferansiyel denklem, bağlantı noktasındaki
kompleks yay özelliklerini göz önüne alarak yazılan
sınır şartları altında çözülmüştür. Sayısal sonuçlar,
karakteristik denklemin iteratif çözümüyle elde
edilmiştir. Bağlantı noktasının doğrusal ve dönme
rijitliklerinin sıfır değerlerinde ilk modun rijit cisim
modu olduğu görülmüştür. Rijitliklerin yüksek
değerlerinde ise tam ankastre-serbest çubuğun
dinamik özellikleri elde edilmektedir. Bağlantı
sönümünün, modlara göre farklı şekillerde etkili
olduğu görülmüştür. Sayısal sonuçlardan, istenen
doğal frekans ve sönüm oranına sahip olan çubuğun
bağlantı noktası rijitlik ve sönümünü değiştirerek
elde edilebileceği görülmektedir.
5. KAYNAKLAR
1. A. Wineman and J.H. Min, ''Viscoelastic hinge
formation in beams'', Acta Mechanica, 140, 2000,
pp. 183-205.
2. Lu Sun, ''A closed-form solution of beam on
viscoelastic subgrade subjected to moving
loads'', Computers and Structures, 80, 2002,
pp. 1-8.
3. Z.J. Fan, J.H. Lee, K.H. Kang and K.J. Kim,
''The forced vibration of a beam with
viscoelastic boundary supports'', Journal of
Sound and Vibration, 210(5), 1998, pp. 673-682.
4. B.A. Abbas, ''Vibration of Timeshenko beam
with elastically restrained ends'', Journal of
Sound and Vibration, 97, 1984, pp. 541-548.
5. C.N. Bapat and C. Bapat, ''Natural frequencies
of a beam with non-classical boundary
conditions and concentrated masses'', Journal of
Sound and Vibration, 112, 1987, pp. 177-182.
6. R.P. Goel, ''Free vibrations of a beam-mass
system with elastically restrained ends'', Journal
of Sound and Vibration, 47, 1976, pp. 9-14.
7. J.C. Macbain and J. Genin, ''Energy dissipation
of a vibrating Timoshenko beam considering
support and material damping'', International
Journal of Mechanical Science, 17, 1975,
pp. 255-265.
8. K.H. Kang and K.J. Kım, ''Modal properties of
beams and plates on resilient supports with
rotational and translational complex stiffness'',
Journal of Sound and Vibration, 190(2), 1996,
pp. 207-220.
141
ÇATLAKLI DİKDÖRTGEN PLAKLARDA DOĞAL FREKANSLAR
Aydın DEMİR
[email protected]
Vahit MERMERTAŞ
[email protected]
ÖZET
Bu çalışmada, çatlaklı dikdörtgen plakların doğal frekans değişimleri sonlu elemanlar yöntemiyle incelenmiştir.
Çatlağın plak yüzeyindeki konumu, kenarlarından birine paralel olarak seçilmiştir. Kırılma mekaniği
esaslarından faydalanılarak modellenen çatlağın açık ve ilerlemeyen yapıda olduğu kabul edilerek 4 düğüm
noktalı ve 12 serbestlik dereceli izotropik malzeme özelliği gösteren plak eleman kullanılmıştır. Geliştirilen
elemanla bulunan sonuçlar, literatürdeki teorik ve deneysel sonuçlarla karşılaştırılarak uyumlu sonuçlar elde
edildiği görülmüş, çatlağın plak üzerindeki konumu ve boyu değiştirilerek, plağın doğal frekansları üzerindeki
etkisi, değişik sınır şartlarında incelenmiştir.
Anahtar Kelimeler: Çatlaklı dikdörtgen plaklar, doğal frekanslar.
NATURAL FREQUENCIES OF CRACKED RECTANGULAR PLATES
ABSTRACT
In this study, the natural frequencies of cracked rectangular plates are investigated by using finite element
method. The position of the crack in the plate surface was selected as parallel to one edge. The crack occurring
in the plate is non-propagating and open. It was modelled by an additional flexibility matrix, the terms of which
were calculated using fracture mechanics. The rectangular isoparametric plate element of four nodes and three
degrees of freedom at the node is considered to investigate the problem. The obtained model is verified by
several numerical tests. The obtained results with improved element are compared with existing results of
theoretical and experimental data presented in the literature. The results are very close to each other. The effects
on changes in natural frequencies of the plate were examined for the different boundary conditions by changing
the length and location of the crack on the plate.
Keywords: Cracked rectangular plates, natural frequencies.
1. GİRİŞ
Makinaların çeşitli yapı elemanlarında meydana
gelen çatlaklar, bulundukları bölgede rijitlik
değişimlerine neden oldukları için bu elemanların
statik ve dinamik karakteristiklerini (statik yer
değiştirme, doğal frekanslar, zorlanmış titreşim
genlikleri, stabilite bölgeleri vs.) değiştirirler. Bu
nedenle, çatlaklı yapılar çeşitli açılardan inceleme
konusu olmuşlardır. Dimarogonas, çatlaklı yapıların
titreşimlerine ait çalışmaları
geniş bir alanda
sınıflandırmıştır [1]. Wauer ise, çatlak içeren rotorlar
ile ilgili çalışmaları sunmuştur [2]. Sonlu elemanlar
metodu ile plak ve kabukların titreşimlerine yönelik
ilk incelemeler, Lim tarafından verilmiştir [3].
Dimarogonas, hasarlı yapı elemanlarının titreşim
analizleri için
modelleme konusunda çalışma
yapmışlardır [4]. Stahl ve Keer, Green fonksiyonu
yaklaşımını kullanarak çatlaklı dikdörtgen plakların
titreşim ve stabilitesini ilk inceleyenlerden birisidir
[5]. Leissa, yalnızca dikdörtgen plakların serbest
titreşimlerini çeşitli sınır şartları için incelemiştir [6].
Krawczuk,
çatlaklı
dikdörtgen
plakların
titreşimlerini, kırılma mekaniği prensiplerini de
kullanarak sonlu elemanlar metodu ile incelemiştir
[7-8]. Qian ve diğer araştırmacılar, sonlu elemanlar
metodu ile çatlaklı dikdörtgen plakların titreşimlerini
inceleyerek, teorik ve deneysel sonuçları
sunmuşlardır [9]. Solecki, bir kenarına paralel çatlak
içeren
basit
mesnetlenmiş
plağın
eğilme
titreşimlerini incelemiştir [10]. Lee, çatlaklı halka
plakların esas frekanslarını çalışmıştır [11]. Liew ve
diğer araştırmacılar, titreşime maruz çatlaklı
plakların analizleri için bir çözüm metodu
sunmuşlardır [12]. Cornwell, Doebling ve Farrar,
titreşim analiziyle çatlaklı yapılarda hasar tespitine
yönelik uygulamalar yapmışlardır [13]. Khadem and
Rezaee, çatlaklı dikdörtgen plakların çatlak derinliği
Demir ve Mermertaş
ve pozisyonu için bir analitik yaklaşım
önermişler[14]; Lee ve Lim ise kayma
deformasyonu ve dönme eylemsizliği etkilerini de
hesaba katarak titreşim analizi yapmışlardır [15].
N i (ξ, η) =
1
(1 + ξ i ξ)(1 + η i η)
4
ifadesiyle belirlidir [16].
Bu çalışmada, çatlaklı dikdörtgen plakların doğal
frekans değişimleri, sonlu elemanlar yöntemi
kullanılarak incelenmiştir. Açık ve ilerlemeyen
yapıda olduğu kabul edilen çatlak, kırılma mekaniği
prensipleriyle modellenmiştir. 4 düğüm noktalı ve
her düğüm noktasında 3 serbestlik derecesi olan ve
izotropik malzeme özelliği gösteren plak elemanı
kullanılmıştır. Çatlağın plak üzerindeki konumu ve
boyu değiştirilerek, plağın doğal frekansları
üzerindeki etkisi, değişik sınır şartlarında
incelenmiştir.
Plak elemanın potansiyel enerjisi,
2. DİKDÖRTGEN PLAK ELEMAN VE SONLU
ELEMANLAR METODU
olmak üzere,
U=
[ε]T = [ε x
ζ
1
2ac
a
]
(5)

0 
0 
 (6)

0 

(1 − υ)π2 

24 
0
Şekil 1-2’de gösterildiği gibi çatlak, plak elemanın
tam orta noktasına yerleştirilmiştir. Plak elemanda
sabit kayma gerilmeleri ve lineer değişimli normal
gerilme alanı olduğu kabul edilmiştir. 12 serbestlik
dereceli eleman için düğüm noktalarındaki kuvvetler
denge denklemleri nedeniyle birbirinden bağımsız
olarak dokuz adet kuvvet cinsinden ifade
edilebilirler [17].
η
3
z
h
w
b
η= -
γ yz
3. ÇATLAĞIN MODELLENMESİ
4
ξ= -1
γ xz
şeklinde ifade edilebilir.
şekil
η= +1
γ xy
Plak elemanın kinetik enerjisi ise ρ plak malzemesi
yoğunluğu olmak üzere,
1
(7)
T = ∫ ρ(u 2 + v 2 + w 2 )dv
2v
(2)
Ni(ξ,η)
εy
şeklindedir.
a
ξ
2
b
y= η
(1)
2
h
z= ζ
2
bağıntıları vardır. Elemanın yer değiştirme alanı,
matris formunda yazılırsa,
x=
Burada,
(4)
υ
0
0
1

1
0
0

1− υ

0

2
[D] = E 2 
(1 − υ)π2
1 − υ  simetrik

24



Kullanılan elemanda x, y, z kartezyen koordinatları
ile ξ, η ve ζ boyutsuz eğrisel koordinatlar arasında,
şeklinde ifade edilir.
fonksiyonları olup,
1
T
∫ [ε] [D][ε]dv
2v
şeklindedir. Burada, ε birim şekil değiştirme matrisi
ile D malzeme matrisi,
Şekil 1’de 4 düğüm noktalı, 12 serbestlik dereceli
çatlaklı plak eleman gösterilmiştir. Plak elemanı her
düğüm noktası için üç serbestliğe sahiptir. Bunlar
plak orta düzlemine dik doğrultudaki w yer
değiştirmesi ile, bu doğrultuya dik iki eksen
etrafındaki θx ve θy dönmeleridir.
zN i (ξ, η)
0
u
 0
wi 
v = 4  0
− zN i (ξ, η)  θ yi 
0
  i∑

=1
 w 
 N i (ξ, η)
 θ xi 
0
0
(3)
ξ
ξ= +1
2
Şekil 1. Çatlaklı dikdörtgen plak elemanı.
144
v
y
θy
u
θx
x
Çatlaklı Dikdörtgen Plaklarda Doğal Frekanslar
Bu dönüşüm matris formunda
2

0
b
1
1

0
0

2
0 −b
− 1 1


0
TT =  0
0
0

0
0
0
0

0
0

0
0
 0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
a
0
0
−1 −1
2
0 −
a
0
0
1 −1
0
0
0
0
0
0
K II = −
0
0
0
0
0
0
0
0
−1
2
a
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
a
0
1
0
0
0
0
2
0
b
−1 −1
0
0
2
0 −
b
1 −1
0
0
−
0
0
1

− 1
0

0

1
0 
0

− 1

0
0

1

0
0 
ac
1
a +y
c
∫ τ xy (0, y)( a − y )dy (14)
πa c − a c
c
şeklinde tanımlanmıştır [19]. Şekil 2’den görüldüğü
gibi ac çatlak yarı boyu; σx(0,y) ve τxy(0,y) ise çatlak
yüzeyine etkiyen normal ve kayma gerilmeleridir.
y
(8)
σx
2ac
τxy
b
x
a
Şekil 2. Çatlaklı plak elemanda gerilme durumu.
şeklindedir. Bu durumda çatlaksız plak için esneklik
matrisi [Co], çatlaksız plağın katılık matrisi [k]'dan
faydalanılarak
[C ] = [T]
T
o
[C ]
o
 4b
 a

 0


 −υ

 −υ
12 
 − 2b
=
Eh 3  a

 0


 −υ

 υ

 0
4b
3a
υ
4a
b
υ
0
4a
3b
0
−υ
υ
2b
3a
4b
a
−υ
υ
0
−υ
− 2a
b
υ
0
0
0
0
2a
3b
0
[k ]−1 [T]
(9)
simetrik
4b
3a
−υ
υ
4a
b
−υ
υ
0
0
0
0
Çatlak yüzeyine etkiyen normal ve kayma gerilme
değerleri bağımsız düğüm kuvvetlerinin bir
fonksiyonu olarak
4a
3b
0




















2(1 + υ)ab
y
y
((0.5 + 3 ) F3 + (0.5 − 3 ) F7 ) (15)
b
b
bh
12 z
τ xy = 3 F9
(16)
h
şeklinde tanımlıdır [17]. (15-16) nolu denklemler
(13-14) nolu denklemlerde yazılırsa,
σ x (0, y ) =
(10)
şeklinde elde edilir [17]. Burada a, b sonlu elemanın
kenar uzunlukları, h plak kalınlığı, E ve ν elastisite
modülü ile Poisson oranını göstermektedir.
3

24 z  1 3a c
( +
) F3 ) πa c f c ( g )
3  2
2
b
bh 


24 z  1 3a c
= 3 ( −
) F7 ) πa c f c ( g )
bh  2 2b

K I3 =
(17a)
K I7
(17b)
12 z
F9 πa c f c ( g )
(17c)
bh 3
ifadeleri elde edilir. Burada fc(g), boyutsuz düzeltme
fonksiyonu olup
K II 9 = −
Çatlağın bölgesel olarak meydana getirdiği esneklik,
∂U 1
c1ij =
∂Fi ∂Fj
24
f c ( g ) = 1 + 0 .018 g + 0 .1825 g 2 + 2 .024 g 3 − 2 .431 g 4
(i = j = 1,9)
(18)
(11)
şeklindedir. (17a-17c) denklemlerinde ihmal edilen
kayma deformasyonları için grafiklerden seçilen Φj
katsayıları kullanılarak düzeltilmiş gerilme yoğunluk
fonksiyonları KjiR değerleri aşağıdaki şekilde elde
edilir [19].
1
matris elemanlarından meydana gelen [C ] matrisi
kullanılarak formüle edilir [7,8]. Fi, Fj elemana
etkiyen kuvvetler, U1 ise elemanın yer değiştirme
enerjisidir. Düzlem gerilmeler için, U1 ifadesi,
9
9
1
(∑ K Ii 2 + ∑ K IIi 2 )dA
(12)
∫
E A i =1
i =1
şeklindedir [18]. Burada A, çatlak alanı; Kji ‘ler
(j=I,II , i=1,9), j çatlak zorlama şekilleri indisi ve i
kuvvet indisi olmak üzere gerilme yoğunluk
faktörleridir. Bunlar,
ac + y
1 ac
KI =
∫ σ x (0, y)( a − y )dy (13)
πa c −a c
c
K jiR = Φ j K ji
U1 =
j = I, II; i = 3,7,9
(19)
(17-19) nolu bağıntılar (11-12) nolu denklemlerde
yerlerine konulursa,
145
Demir ve Mermertaş
0
0

0

0
π
6
1
0
C =
Eh 3 
0
0

0
0

0
0 c 33
0
0
0
0
0
0
0 c 73
0 0
0
verilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Sonuçların
uyumlu olduğu görülmektedir.




 (20)
0
simetrik


0 0

0 0 0


0 0 0
c 77

0 0 0
0
0

0 0 0
0
0 c 99 
0
Tablo 1. Çatlaklı ankastre-serbest kare plakta
(CFFF) doğal frekans değişim oranları.
2ac / b Mod
Ref.
[9]
teorik
0.141 1.mo 0.9891 0.9931
6
d
0.141 2.mo 0.9985 0.9989
6
d
0.141 3.mo 0.9826 0.9837
6
d
matrisi elde edilir. Burada, gk = 2ac /b olmak üzere,
gk
c 33 = 4Φ 1 2 ∫ g (0.5 + 0.75g ) 2 f c 2 (g )dg
∆ωij
Ref.
[7]
(21a)
−g k
Ref. [9]
deneyse
l
0.9917
Bu
çalışm
a
0.9844
0.9981
0.9953
0.9807
0.9802
gk
c 73 = 2Φ 1 2 ∫ g (0.5 + 0.75g )(0.5 − 0.75g )f c 2 (g )dg (21b)
Burada, ∆ωij doğal frekans değişim oranı, i ve j
yatay ve dikey doğrultulardaki yarı dalga sayısını
göstermek üzere, çatlaklı plağın doğal frekansının
çatlaksız plağın doğal frekansına oranı olarak
−g k
gk
c 77 = 4Φ1 2 ∫ g (0.5 − 0.75g ) 2 f c 2 (g )dg
(21c)
−g k
2
c99 = b Φ 2
2
gk
2
∫ gf c (g)dg
∆ωij =
(21d)
−g k
şeklindedir [7].
matrisi
−1
Tablo 2. Basit mesnetlenmiş (SSSS) çatlaklı kare
plakta doğal frekans değişim oranları.
(22)
formunda elde edilir. Çatlak, sadece katılık
matrisinde değişikliğe neden olmaktadır, kütle
matrisi ise değişmeden aynen kalır [7,8].
2ac / Mod
b
Çatlaklı plağın ωij doğal frekansları, [M] ve [K] plak
katılık ve kütle matrisleri olmak üzere aşağıda
verilen özdeğer problemi çözümünden elde edilir.
[K ] −
ωij2
[M] = 0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.00
(23)
D, plağın eğilme rijitliği ve i, j yatay ve dikey eksen
boyunca mod şekillerindeki yarı dalgaların sayısı
olmak üzere boyutsuz frekans parametresi λij
aşağıda verilmiştir.
D=
Eh 3
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.00
(24)
12(1 − υ 2 )
λ ij = ωij a 2
ρh
D
(26)
ωij
şeklinde tanmlanmıştır.
Çatlaklı durumda eleman katılık
[k ] = [T]T ([C o ]+ [C1 ]) [T]
ωijc
(25)
Sayısal hesaplamalar için plak elastisite modülü
E=2.04. 1011 N/m2 , yoğunluğu ρ=7860 kg/m3 ,
Poisson oranı ν=0.3 olarak seçilmiştir. Kullanılan
plak a x b x h = 0.1m x 0.1m x 0.001m boyutlarında
olup 5x5=25 adet elemana bölünmüştür.
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Tablo 1’de bir kenarı ankastre diğer kenarları serbest
(CFFF) sınır şartlarındaki dikdörtgen plak için aynı
çatlak boyunda elde edilen doğal frekans değişim
oranları ilk üç mod için 7 ve 9 nolu kaynaklarda
146
∆ωij
Ref.
[5]
1.mo 1.0000
d
0.9970
0.9940
0.9860
0.9780
0.9660
0.9540
2.mo 1.0000
d
0.9999
0.9996
0.9980
0.9964
0.9894
0.9824
3.mo 1.0000
d
1.0000
1.0000
0.9999
0.9996
0.9992
0.9988
Ref.
[7]
Ref.
[10]
1.0000 1.0000
Bu
çalışm
a
1.0000
0.9971
0.9942
0.9874
0.9806
0.9682
0.9548
1.0000
0.9970
0.9940
0.9855
0.9775
0.9650
0.9530
1.0000
0.9968
0.9931
0.9856
0.9773
0.9674
0.9523
1.0000
1.0000
1.0000
0.9980
0.9970
0.9890
0.9830
1.0000
0.9999
0.9998
0.9982
0.9966
0.9895
0.9824
-
0.9998
0.9997
0.9972
0.9943
0.9837
0.9794
1.0000
1.0000
1.0000
0.9999
0.9998
0.9994
0.9990
-
1.0000
1.0000
0.9972
0.9968
0.9951
0.9937
Çatlaklı Dikdörtgen Plaklarda Doğal Frekanslar
kenarların orta noktalarına yakın bölgelerde en fazla
değiştiği görülmektedir.
Tablo 2’de dört kenarı basit mesnetli (SSSS) plak
için farklı çatlak boylarında doğal frekans
değişimleri ilk üç mod için 5,7 ve 10 nolu
kaynaklarda verilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır.
Tablodan her modda çatlak boyunun artması ile
doğal frekans değişiminin de arttığı görülmektedir.
Tablo 4. İki tarafı ankastre diğer iki kenarı serbest
(CFCF) kare plakta çatlak konumuna göre
1. doğal frekans değişimleri.
x
y
0.9
0.7
0.5
0.3
0.1
İki tarafı ankastre, diğer iki kenarı ise serbest
(CFCF) sınır şartlarındaki plak eleman Şekil 3’te
gösterilmiştir. Tablo 3-6’daki hesaplamalarda
kullanılan plak 1m x 1m x 0.1m boyutlarındadır.
Plak 5x5=25 adet sonlu elemana bölünmüş olup
çatlak göz önüne alınan sonlu elemanın tam
ortasında bulunmaktadır.
0.1
0.8323
0.8480
0.8787
0.8480
0.8323
0.3
0.8386
0.8665
0.9043
0.8665
0.8336
0.5
0.8079
0.8106
0.8008
0.8106
0.8079
0.7
0.8386
0.8665
0.9043
0.8665
0.8386
0.9
0.8323
0.8480
0.8787
0.8480
0.8223
F
C
2ac
0.1
1m
Tablo 5. İki tarafı ankastre diğer iki kenarı
serbest (CFCF) kare plakta çatlak konumuna
göre 2. doğal frekans değişimleri.
C
1m
x
y
0.9
0.7
0.5
0.3
0.1
F
Şekil 3. İki kenarı ankastre diğer iki kenarı serbest
(CFCF) kare plak.
x
y
0.9
0.7
0.5
0.3
0.1
Tablo 3. Farklı sınır şartlarındaki kare plakta doğal
frekans değişim oranları
Mod
1.mod
2.mod
3.mod
∆ωij
SSSS
0.9856
0.9972
0.9972
CFCF
0.9843
0.9951
0.9849
0.3
0.9179
0.9245
0.8573
0.9245
0.9179
0.5
0.8286
0.8330
0.9119
0.8330
0.8286
0.7
0.9179
0.9245
0.8573
0.9245
0.9179
0.9
0.8852
0.8471
0.8127
0.8471
0.8852
Tablo 6. İki tarafı ankastre diğer iki kenarı serbest
(CFCF) kare plakta çatlak konumuna göre
3. doğal frekans değişimleri.
Tablo 3 doğal frekanslardaki değişimi, plağın orta
noktasında bulunan ve aynı çatlak boyuna sahip plak
için farklı sınır şartlarında göstermektedir. Bu
tablodan doğal frekansların (SSSS) sınır şartında en
az, (CFCF) sınır şartında biraz daha fazla, (CFFF)
sınır şartında ise en fazla olarak değiştiği
görülmektedir.
2ac / b
0.15
0.15
0.15
0.1
0.8852
0.8471
0.8127
0.8471
0.8852
0.1
0.8314
0.8147
0.8192
0.8147
0.8314
0.3
0.9494
0.9351
0.8254
0.9351
0.9494
0.5
0.9737
0.9902
0.8053
0.9902
0.9737
0.7
0.9494
0.9351
0.8254
0.9351
0.9494
0.9
0.8314
0.8147
0.8192
0.8147
0.8314
5. SEMBOLLER VE KISALTMALAR
CFFF
0.9831
0.9947
0.9785
Sembol Açıklama
k
Çatlaklı plak elemanın rijitlik matrisi
m
Çatlaklı plak elemanın kütle matrisi
F3, F7, F9 Bağımsız düğüm kuvvetleri
Tablo 4-6 iki tarafı ankastre diğer iki kenarı ise
serbest (CFCF) sınır şartlarındaki plak için çatlak
konumunun 1. 2. ve 3. doğal frekanslarına etkisini
göstermektedir. Çatlak boyu Şekil 3’te görüldüğü
gibi plağın ankastre kenarlarına paralel olacak
şekilde seçilmiştir. Tablolardan, çatlak konumunun
doğal frekans değişimine etkisinin her modda farklı
olduğu görülmektedir. Frekans değişimi, plağın orta
noktasından geçen yatay ve dikey doğrulara göre
simetrik olmaktadır. Tablo 4 ve 6 ‘da 1. ve 3. doğal
frekans değişiminin plağın orta noktasında en fazla
olduğu; Tablo 5’te ise 2. doğal frekansın ankastre
Kısaltma
SSSS
CFFF
CFCF
Açıklama
Her tarafı basit mesnetlenmiş plak
Bir kenarı ankastre,diğerleri serbest plak
İki kenarı ankastre, diğerleri serbest plak
6. SONUÇLAR
Bu çalışmada, çatlaklı dikdörtgen plakların doğal
frekans değişimleri sonlu elemanlar yöntemiyle
incelenmiş ve sonuçlar, literatürdeki teorik ve
deneysel sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Çatlağın plak
147
Demir ve Mermertaş
üzerindeki konumu ve boyu değiştirilerek, plağın
doğal frekansları üzerindeki etkisi, değişik sınır
şartlarında incelenmiştir. Çatlaklı plakların her sınır
şartı için doğal frekanslarının azaldığı görülmüştür.
Aynı konum ve boydaki çatlağın farklı sınır
şartlarındaki azaltıcı etkisi de farklı olmaktadır.
Çatlak konumunun doğal frekans üzerindeki
etkisinin de modlara göre farklılık gösterdiği
gözlenmiştir.
14.
15.
7. KAYNAKLAR
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
Dimarogonas A.D., “Vibration of Cracked
Structures: A State of the Art Review”,
Engineering Fracture Mechanics, 55, 5, 1996,
pp. 831-857.
Wauer, J., “On the Dynamics of Cracked
Rotors: A Literature Survey”, Applied
Mechanics Reviews, 43, 1, 1990, pp. 13-17.
Lim, G.H.,”Vibration of plates and shells using
finite elements (1996-1997)”, Finite Elements
in Analysis and Design, 31, 1999, pp. 223-230.
Dimarogonas A.D., “Modeling Damaged
Structural Members for Vibration Analysis”,
Journal of Sound and Vibration, 112, 1987,
pp. 541-543.
Stahl, B. and Keer, L.M., “Vibration and
Stability of Cracked Rectangular Plates”,
International Journal of Solids and Structures,
8, 1, 1972, pp. 69-91.
Leissa, A.W, “Free Vibration of Rectangular
Plates”, Journal of Sound and Vibration, 31,
3, 1973, pp. 257-293.
Krawczuk, M., “Natural Vibrations of
Rectangular Plates with a Through Crack”,
Archieve of Applied Mechanics, 63, 1993,
pp. 491-504.
Krawczuk, M., Zak, A. and Ostachowicz,
“Finite Element Model of Plate with ElastoPlastic Through Crack”, Computers and
Structures, 79, 2001, pp. 519-532.
Qian, G.L., Gu, S.N. and Jiang J.S., “A Finite
Element Model of Cracked Plates and
Applications
to
Vibration
Problems”,
Computers and Structures, 39, 5, 1991,
pp. 483-487.
Solecki, R., “Bending Vibration of a Simply
Supported Rectangular Plate With a Crack
Parallel to One Edge ”, Engineering Fracture
Mechanics, 18, 6, 1983, pp. 1111-1118.
Lee, .P., “Fundamental Frequencies of
Annular Plates With Internal cracks”,
Computers and Structures, 43, 1992,
pp. 1085-1089.
Liew, K.M., Hung, K.C. and Lim, M.K., “A
Solution Method for Analysis of Cracked
Plates Under Vibration”, Engineering Fracture
Mechanics, 48, 3, 1994, pp. 393-404.
Cornwell, P., Doebling, S.W. and Farrar, C.R.,
“Application of the Strain Energy Damage
Detection Method to Plate Like Structures”,
16.
17.
18.
19.
148
Journal of Sound and Vibration, 1999, 224(2),
pp. 359-374
Khadem, S.E. and Rezaee, M., “An Analytical
Approach for Obtaining the Location and
Depth of an All-Over Part-Through Crack on
Externally in-Plane Loaded Rectangular Plate
Using Vibration Analysis”, Journal of Sound
and Vibration, 230, 2, 2000, pp. 291-308.
Lee, H.P. and Lim, S.P., “Vibration of
Cracked
Rectangular
Plates
Including
Transverse Shear Deformation and Rotary
Inertia”, Computers and Structures, 49, 4,
1993, pp. 715-718.
Petyt, M., Introduction to finite element
vibration analysis, Cambridge University
Press, United Kingdom, 1990.
Przemieniecki, J.S., Theory of Matrix
Structural Analysis, McGraw-Hill Company,
New York, 1968.
Paipetis, A.S. and Dimarogonas A.D.,
Analytical Methods In Rotor Dynamics,
Applied Science Publishers LTD., England,
1983.
Sih, G.C., Handbook of Stress Intensity
Factors, Bethlehem, P.A. Lehigh University,
1973.
BİR UÇAK KANADININ YAPISAL MODELİNİN GELİŞTİRİLMESİ
Özlem ERDENER
TAI TUSAŞ Havacılık ve Uzay Sanayi AŞ, Tasarım ve Geliştirme Müdürlüğü, Akıncı 06936, ANKARA,
[email protected]
Yavuz YAMAN
Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Havacılık ve Uzay Mühendisliği Bölümü, ANKARA,
[email protected]
ÖZET
Bu çalışmada, bir uçak kanadının statik ve dinamik özellikleri incelenmiştir. Kanadın geometrik modelinin ve
sonlu elemanlar modelinin oluşturulmasında ve analiz sonuçlarının incelenmesinde MSC/PATRAN® v9.0
programı kullanılmış, analizler ise MSC/NASTRAN® v70.5 programıyla gerçekleştirilmiştir. Çalışmada
öncelikle kanadın ana parçaları olan kanat kutusu, hücum kenar kanatçığı, iç kanatçık ve firar kenar kanatçığı
belirlenmiş, ardından parça detayları olan uçak kaplaması, kirişler ve sinirler modellenmiştir. Daha sonra bu
geometrik model uygun boyutta ve yapıda bir ağ ile taranmış ve kanadın sonlu elemanlar modeli yaratılmıştır.
Sonlu elemanlar modeli oluşturulurken ana ve detay parçaların ortak düğüm noktalarına sahip olabilmesi için ağ
oluşturma işlemi çeşitli yöntemlerle kontol altına alınmıştır. Öncelikle kirişler ve sinirler üzerinde ağ yapısı
oluşturulmuş, kaplama daha sonra taranmıştır. Oluşturulan model üzerinde statik ve dinamik analizler
yapılmıştır. Üzerine harici bir dikey yük uygulandığında herhangi bir dönme olmaksızın sadece dikey
yerdeğiştirme olarak tanımlanan kanadın elastik çizgisi, etkin dikey ve dönme direngenlikleri kanadın incelenen
statik özellikleridir. Dinamik analizlerde kanadın doğal frekansları ve bu frekanslara karşılık gelen titreşim
biçimleri belirlenmiştir. Olası dahili yakıt ve harici yüklerin kanadın dinamik davranışları üzerindeki etkileri de
incelenmiştir.
Anahtar Kelimeler: Uçak kanadı, sonlu elemanlar modeli, elastik çizgi, doğal frekans, titreşim biçimi
DEVELOPMENT OF STRUCTURAL MODEL OF AN AIRCRAFT WING
ABSTRACT
In this study, the static and the dynamic characteristics of an aircraft wing are investigated. MSC/PATRAN®v9.0
finite element package program is used in construction of the geometric model, the finite element model of the
aircraft wing and post processing the analysis results whereas the analysis are run by using
MSC/NASTRAN®v70.5. In this study first, the main parts namely the wingbox, leading edge flap, flaperon and
trailing edge are located, then the detail parts such as the skins, spars and ribs are geometrically modelled.
Afterwards the finite element model of the aircraft wing is created by meshing the geometric model by using
appropriate element type with appropriate element length. During the construction of the finite element model of
the structure, the coincidence of the nodes on different components are guaranteed by using various techniques.
First, the spars and the ribs are meshed, which is followed by the construction of the finite element model of the
skins. Static and dynamic analyses are conducted on the finite element model. The elastic line, effective
transverse stiffness and effective rotational stiffness of the wing are the static characteristics of the wing which
are examined. The natural frequencies and the corresponding mode shapes of the wing are the dynamic
characteristics that are investigated. The effects of probable internal fuel and the external stores on the dynamic
characteristics are also investigated.
Keywords: Aircraft wing, finite element model, elastic line, natural frequency, mode shape
1. GİRİŞ
Bu çalışmada, bir uçak kanadının statik ve dinamik
özellikleri incelenmiştir. Kanadın geometrik
modelinin
ve
sonlu
elemanlar
modelinin
oluşturulmasında
ve
analiz
sonuçlarının
incelenmesinde MSC/PATRAN® v9.0 programı
kullanılmış, analizler ise MSC/NASTRAN® v70.5
programıyla gerçekleştirilmiştir.
Erdener ve Yaman
Bu çalışmada incelenen uçak kanadı; kanat kutusu,
hücum kenar kanatçığı, iç kanatçık ve firar kenar
kanatçığı olmak üzere dört ana parçadan
oluşmaktadır.[1] Bu ana parçalar Şekil 1’de
verilmiştir.
Kanat
kutusu
Z ekseni ile tanımlanmıştır. Şekil 2’de bu kordinat
sistemi verilmiştir.
Hücum kenar
kanatçığı
Şekil 2. Kordinat sistemi
Kanadı oluşturan ana parçalar yapısal olarak kirişler,
sinirler ve uçak kaplamasından oluşmaktadır.
Hücum kenar kanatçığı, iç kanatçık ve firar kenar
kanatçığında bu yapılar dışında alt ve üst kaplama
arasında balpeteği ara malzeme bulunmaktadır.
Kanat kutusu üzerinde, kirişler hücum kenarından,
firar kenarına doğru numaralarla, sinirler ise simetri
çizgisi üzerinde, merkezden milimetre cinsinde
uzaklıklar ile adlandırılmaktadır. Ana parçaların iç
yapısı Şekil 3’te verilmiştir.
İç kanatçık
Firar kenar
kanatçığı
Şekil 1. Kanadın ana parçaları
Tüm çalışma boyunca kullanılan ana kordinat
sistemi, kiriş boyunca artan ve simetri çizgisi (SÇ)
ile kesişen X ekseni, sinir boyunca firar kenarından
hücum kenarına doğru artan ve gövde istasyonlarıyla
(Gİ) keşisen Y ekseni ve su çizgisiyle (Su Ç) kesişen
Kiriş 1
Sinir, SÇ
1803.4
Kiriş 2
Kiriş 3
Kiriş 4
Kiriş 5
Kiriş 6
Kiriş 7
Kiriş 8
Ön Kiriş
Üst Kaplama
Sinir, SÇ
4572
Kiriş 9
Kök Siniri
Kanat Kutusu
Sinir
Balpeteği
Ara
Malzeme
Kiriş
Sinir, SÇ
3048
Hücum Kenar
Kanatçığı
Üst Kaplama
Alt
Kaplama
Üst Kaplama
Balpeteği
Ara
Malzeme
Firar Kenar
Kanatçığı
Kiriş
Kiriş
Balpeteği
Ara
Malzeme
Alt Kaplama
Sinirler
Güçlendiriciler
İç Kanatçık
Alt Kaplama
Şekil 3. Kanat ana parçalarının iç yapısal detayları
edilmiştir. Hücum kenar kanatçığı, iç kanatçık ve
firar kenar kanatçığında kullanılan aluminyum
balpeteği ara malzemelerin modellenmesinde
ortotropik malzeme özellikleri kullanılmıştır. Bu
sayede balpeteği yapının z-yönündeki eksenel
yüklere karşı daha mukavim yapısı modele
yansıtılmıştır.
2. GEOMETRİK MODELLEME
Kanadın geometrik modelinin oluşturulmasına kanat
kökü ve kanat ucundaki kanat profillerinin
modellenmesiyle
başlanmıştır.
Bu
profiller
modellendikten sonra kanadın alt ve üst yüzeyleri
oluşturulmuştur.
2.1. Malzeme Özelliklerinin Atanması
2.2. Fiziksel Özelliklerinin Atanması
Kanat yapısında metalik malzemelerin yanısıra,
kompozit malzemeler de kullanılmıştır. Metalik
malzeme olarak aluminyum alaşımları tercih
Sonlu elemanlar analizi için tüm parçaların
yoğunluk, flanş alanı, panel ve kaplama kalınlığı
gibi fiziksel özelliklerinin atanması gereklidir. Bu
150
Bir Uçak Kanadının Yapısal Modelinin Geliştirilmesi
birebir modelenmiştir. Kanat kutusu kiriş ve
sinirlerinin geometrik modeli Şekil 5’te verilmiştir.
fiziksel özellikler sonlu eleman modeline
atanabileceği gibi geometrik modelde de
tanımlanabilir. Ayrıca fiziksel özelliklerin geometrik
modelde tanımlanması, sonlu eleman modelinde
değişiklik yapılması durumunda fiziksel özelliklerin
tekrar atanmasını gerektirmediğinden daha avantajlı
olmaktadır.[2] Bu çalışmada fiziksel özellikler kanat
kutusu kaplaması ve hücum kenar kanatçığı-kanat
kutusu ve iç kanatçık-kanat kutusu bağlantı
elemanları haricinde geometrik modele atanmıştır.
Geometrik
model
oluşturulurken,
fiziksel
özelliklerin
değişimi
de
göz
önünde
bulundurulmuştur.
Kanat kutusunun alt ve üst kaplamaların geometrik
modelinin oluşturulmasında, alt ve üst kaplamaya iz
düşümü alınmış kiriş ve sinirlerin flanşlarını
oluşturan eğriler kullanılmıştır. Alt ve üst kaplama
tek parça olmasına karşın kiriş ve sinirlerde olduğu
gibi kaplamalar da ana parçalara bölünmüştür.
Kiriş ve sinirlerin modellenmesinde çubuk ve kabuk
elemanları kullanılmıştır. Alt ve üst kaplamalarda
kabuk, balpeteği ara malzemelerde ise katı elemanlar
kullanılmıştır. Dahili yakıt ve harici yüklerin
modellenmesinde
noktasal
elemanlar
kullanılmıştır.[3]
Şekil 5. Kanat kutusu kiriş ve sinirlerinin
geometrik modeli
Kanat kutusunun modellenmesinin ardından hücum
kenar kanatçığı, iç kanatçık ve firar kenar kanatçığın
modellenmesine başlanmıştır. Kiriş ve sinirlerin
flanş ve panelleri kanat kutusuna benzer şekilde
modellenmiştir. Hücum kenar kanatçığı, iç kanatçık
ve firar kenar kanatçığında bulunan balpeteği ara
malzemeyi modellemek için, kiriş ve sinir flanşlarını
kullanarak katı modeller oluşturulmuştur. Bu katı
modellerin üst ve alt yüzeyleri de hücum kenar
kanatçığı, iç kanatçık ve firar kenar kanatçığının alt
ve üst kaplamalarını oluşturmuştur.
2.3. Geometrik Modelleme
Geometrik modelin oluşturulmasına öncelikle kanat
kutusu ile başlanmıştır. Kanat kutusunu sırasıyla
hücum kenar kanatçığı, iç kanatçık ve firar kenar
kanatçığı takip etmiştir.
İlk olarak kiriş ve sinirlerin pozisyonları su çizgisi
sıfırda Şekil 4’de görüldüğü gibi modellenmiş ve
oluşturulan alt ve üst kanat kaplaması üzerine Z
yönünde iz düşürerek eğimli kiriş ve sinir flanşları
elde edilmiştir. Kiriş ve sinirler her ne kadar tek
parçadan oluşsalar da, daha sonra oluşturulacak
sonlu eleman modelinin daha kontrollü olması ve
fiziksel değişimlerin modele yansıtılabilmesi
açısından keşisim noktalarından ana parçalara
bölünmüştür.
Z yönünde
İzdüşüm
Vektörü
Hücum kenar kanatçığı kanat kutusuna beş bağlantı
noktasından, firar kenar kanatçığı ise üç bağlantı
noktasından bağlanmaktadır. Bağlantı elemanları
sonlu elemanlar modelinin düğüm noktaları
kullanılarak yaratıldığı için bağlantı elemanlarının
geometrik modeli sonlu elemanlar modelinin
yaratılmasından sonra oluşturulmuştur. Kiriş ve
sinirlerde olduğu gibi flanşların modellenmesinde
eğriler, panellerin modellenmesinde ise yüzeyler
kullanılmıştır.
Şekil 6’da tüm
verilmektedir.
Su Ç 0’da kiriş ve
sinirlerin yerleşimi
kanadın
geometrik
Şekil 4. Kiriş ve sinirlerin modellenmesi
Kiriş ve sinirlerin panelleri iz düşüm yöntemiyle
yaratılan alt ve üst flanşlar kullanılarak
modellenmiştir.
Fiziksel özelliklerin geometrik modele atanacağını
göz önüne alarak, ana parçalar fiziksel özelliklerin
değişimine göre daha da küçük parçalara
ayrılmıştır.[1]
Genelde kanat kutusunun kiriş ve sinir panellerinde
kablolama, yakıt akışı, havalandırma boruların geçişi
gibi
nedenlerle
çeşitli
ebatlarda
kesitler
bulunmaktadır. Bu kesitlerde geometrik modelde
Şekil 6. Kanat geometrik modeli
151
modeli
Erdener ve Yaman
3. SONLU ELEMANLAR MODELLEMESİ
Kanat kutusunun sonlu eleman modelinin
oluşturulmasına, alt ve üst kaplamaların uygun ağ
yapısıyla
taranmasıyla
devam
edilmiştir.
Kaplamalarda ağ yapısının sıklığı genel olarak kiriş
ve sinirlerin flanşlarının ağ yapısı tarafından
belirlenmiştir. Bu sayede alt ve üst kaplamalarla
kiriş ve sinirlerin ortak düğüm noktalarına sahip
olması garanti edilmiştir.
Kanat genel olarak kirişler, sinirler, kaplamalar ve
balpeteği ara malzemelerden oluşmaktadır. Kiriş ve
sinirlerin flanşlarının modellenmesinde 1Boyutlu
(1-B)
elemanlar,
kaplama
ve
panellerin
modellenmesinde 2Boyutlu (2-B) elemanlar,
balpeteği ara malzemelerin modellenmesinde ise
3Boyutlu (3-B) elemanlar ve dahili yakıt ve harici
yüklerin modellenmesinde ise 0Boyutlu (0-B)
elemanlar kullanılmıştır. 1-B elemanlar için BAR2
elemanları kullanılmıştır. 2-B elemanlarda genelde
QUAD4 elemanları ile modellenmiş, gereken
yerlerde TRIA3 elemanlarından da yararlanılmıştır.
3-B elemanlar olarak HEXA8 ve HEXA6 elemanları
kullanılmıştır. [4,5] 2-B yüzeyler üzerinde, geometri
elverdiği ölçüde eşit aralıklı ağ yapısı tercih
edilmiştir. Ancak kesitlerin olduğu kompleks
geometrilerde eşit aralıklı ağ yapısı kullanılamadığı
için bu yüzeyler düzensiz ağ yapısı ile taranmıştır.
3-B katılarda ise eşit aralıklı ağ yapısı kullanılmıştır.
Bu çalışmada elemanların global kenar uzunluğu 50
mm olarak belirlenmiştir.
Genel yaklaşımdan farklı olarak alt ve üst
kaplamaların fiziksel özellikleri geometrik modele
değil de sonlu elemanlar modeline atanmıştır. Bunun
için su çizgisi 0’da fiziksel özelliklerin değişim planı
çizilmiş ve özellikler sonlu elemanlar modeline
atanmıştır.
Kanat kutusu sonlu elemanlar modeli 1287 1-B
eleman ve 6636 2-B eleman olmak üzere toplam
7923 eleman ve 6233 düğüm noktasından
oluşmaktadır.
3.2. Hücum Kenar Kanatçığı, İç Kanatçık ve
Firar Kenar Kanatçığı
Kanatçıkların sonlu eleman modeli kiriş ve sinirlerin
flanşlarının uygun ağ yapısı ile taranmasıyla
başlamıştır. Bunu kiriş ve sinirlerin panellerinin
sonlu eleman modelinin oluşturulması takip etmiştir.
Ardından balpeteği ara malzemeler, 3-B elemanlar
ile kiriş ve sinirlerin ağ yapısı göz önüne alınarak
taranmış ve ortak düğüm noktaları teke indirilmiştir.
Üst ve alt kaplamaların sonlu eleman modelinin
oluşturulmasında da balpeteği ara malzemelerin ağ
yapısı kullanılmıştır. Bu sayede tüm parçaların ortak
düğüm noktalarına sahip olması garanti altına
alınmıştır.
3.1. Kanat Kutusu
Sonlu eleman modeli yaratılırken, farklı ana ve
detay parçaların birbirlerine bağlandıkları bölgelerde
ortak düğüm noktalarına sahip olmaları büyük önem
taşımaktadır. Geometrik model, bu kriteri de göz
önüne alarak yaratılmıştır. Sonlu eleman modelini
oluştururken izlenen sıralama da ortak düğüm
noktalarını kontrol altına alacak şekilde organize
edilmiştir.
Kanat kutusunun sonlu eleman modelinin
oluşturulmasına öncelikle kiriş ve sinirlerin
flanşlarının taranmasıyla başlanmıştır. Ardından
kiriş ve sinirlerin panelleri üzerindeki ağ yapısı
yaratılmış ve flanşlarla ortak düğüm noktalarının
kullanılması sağlanmıştır.
Hücum kenar kanatçığı–kanat kutusu ve iç kanatçık–
kanat kutusu bağlantıları da kiriş ve sinirler gibi
önce flanşların ve ardından panellerin sonlu eleman
modelinin oluşturulmasıyla modellenmiştir. Bağlantı
elemanlarının fiziksel özellikleri sonlu eleman
modeline atanmıştır.
Kanat kutusunun kiriş ve sinirlerinin sonlu
elemanlar modeli Şekil 7’de de görüldüğü gibi, 1287
1-B eleman, 2097 2-B eleman ve 3104 düğüm
noktasından oluşmaktadır.
3.3. Dahili
Modellenmesi
Yakıt
ve
Harici
Yüklerin
Dahili yakıt ve harici yükler ilgili pozisyonlarda
0-B
elemanlarla
toplanmış
kütle
olarak
modellenmiştir.
Kanat,
Şekil 8’de gösterildiği üzere üç bölmeden
oluşmuştur. Bu üç bölmede de dahili yakıt
bulunduğu varsayılmıştır. Her bölmede taşınan
dahili yakıtın ağırlığı komşu iki sinir üzerinde
yaratılan toplanmış kütlelerle modellenmiştir.
Şekil 7. Kanat kutusu kiriş ve sinirlerinin sonlu eleman
modeli
152
3.5. Kanat Sonlu Eleman Modeli
Kanat sonlu eleman modeli 40 0-B eleman, 1746 1B eleman, 10528 2-B eleman ve 2592 3-B eleman
olmak üzere toplam 14906 elemandan ve 10890
düğüm noktasından oluşmuştur.[1] Şekil 11’de tüm
kanadın sonlu eleman modeli verilmektedir.
Bölme
1
Bölme
2
Bölme
3
Şekil 8. Kanat kutusunda taşınan dahili yakıt
Kanatta harici yükler sinirlerin üzerine asılmaktadır.
SÇ 1803.4 siniri üzerinde harici yakıt tankı ve
paylonu, SÇ 3048 siniri üzerinde harici yük 1 ve
paylonu, kanat ucu sinirinde ise harici yük 2
taşındığı düşünülmüştür.
Şekil 11. Tüm kanadın sonlu eleman modeli
Harici yükler ilgili pozisyonlarda bağlantı boyutuna
göre iki ya da üç toplanmış kütle şeklinde
modellenmişlerdir.
4. KANADIN STATİK ANALİZLERİ
Kanadın incelenen statik özellikleri; kanadın elastik
çizgisi, etkin dikey ve dönme direngenlikleridir.
Şekil 9’da dahili yakıt ve harici yüklerin kanat
üzerindeki modellemesi gösterilmektedir.
4.1. Kanadın Elastik Çizgisi
Dahili
Yakıt
Üzerine harici bir dikey yük uygulandığında
herhangi bir dönme olmaksızın sadece dikey
yerdeğiştirme çizgisi olarak tanımlanan kanadın
elastik çizgisi, sinir boyunca kayma merkezlerinin
belirlenmesiyle bulunmuştur. Elastik çizginin
belirlenmesi için kanat dokuz bölmeye ayrılmış ve
her bölmede kiriş boyunca kayma merkezleri
hesaplanmıştır.
Toplanmış
Kütle
Harici Yakıt Tankı Bağlantısı
Şekil 9. Dahili yakıt ve harici yüklerin
sonlu eleman modeli
Her bölmedeki kayma merkezlerinin belirlenmesi
için, bölme içindeki kayma akışları hesaplanmıştır.
Daha sonra Y yönündeki kayma merkezleri
birleştirilerek kanadın elastik çizgisi bulunmuştur.
3.4. Sınır Koşulları
Kanat-gövde bağlantısı için en uygun sınır koşulu
sabit mesnet sınır koşuludur. Kanadın gövdeye
bağlandığı, sekiz üstte sekiz altta toplam on altı
noktada, tüm yerdeğiştirme ve x ekseni etrafında
dönme serbestlikleri sıfırlanarak bu sınır koşulu Şekil
10’daki gibi tanımlanmıştır.
Şekil 12’de kanadın dokuz bölmedeki kayma
merkezlerinin yerleri ve bu kayma mezkezleri
birleştirilerek
elde
edilen
elastik
çizgisi
verilmektedir.
Kayma
merkezleri
Elastik
çizgi
y=0.5162 x+8140.2
Şekil 10. Sınır koşulu
Şekil 12. Kanadın elastik çizgisi
153
Erdener ve Yaman
4.2. Kanadın Etkin Dikey Direngenliği
5. KANADIN DİNAMİK ANALİZLERİ
Kanadın etkin direngenliği elastik çizgi üzerine
Şekil 13‘te gösterilen şekilde dağılmış bir dikey yük
ile
yüklendiğinde
ortaya
çıkan
dikey
yerdeğiştirmeden hesaplanmıştır.
Dinamik analizlerde kanadın doğal frekansları ve bu
frekanslara karşılık gelen titreşim biçimleri
belirlenmiştir. Olası dahili yakıt ve harici yüklerin
kanadın dinamik davranışları üzerindeki etkileri de
incelenmiştir. Dinamik analizlerde NASTRAN/
Lanczos metodu kullanılmıştır.
5.1. Kanadın Dinamik Analizleri
Kanadın ilk dört global doğal frekansı ve bu
frekanslara karşılık gelen titreşim biçimleri
incelenmiştir. Kanadın ilk dört global doğal
frekansının benzer uçak kanatlarının doğal
frekanslarına oranı Tablo 2’de, bunlara karşılık gelen
titreşim biçimleri ise Şekil 15- Şekil 18’de kadar
verilmiştir.
Şekil 13. Kanadın etkin dikey direngenliği
Tablo 2 Kanadın doğal frekanslarının benzer uçak
kanatlarının doğal frekanslarına oranı
4.3. Kanadın Etkin Dönme Direngenliği
Doğal
Kanat, Şekil 14’teki gibi kanat ucundan bir kuvvet
çiftiyle yüklendiğinde ortaya çıkan dönmeden
kanadın etkin dönme direngenliği hesaplanmıştır.
Frekanslardaki
Değişim
Titreşim Biçimleri
[Hz]
+4.5%
+4.4%
-11.0%
+3.4%
Şekil 14. Kanadın etkin dönme direngenliği
Kanadın etkin dikey ve dönme direngenlikleri
Tablo 1’de verilmiştir.
Tablo 1. Kanadın etkin direngenlikleri
Z yönündeki etkin dikey
direngenliği [mN/mm2]
71.01 x 104
X-ekseni etrafındaki etkin
dönme direngenliği
24.4 x 1010
[mNmm/rad]
154
Y-ekseni etrafında birinci
eğilme
Y-ekseni etrafında ikinci
eğilme
Burulma
Z-ekseni etrafında birinci
eğilme
Şekil 15. Kanadın birinci titreşim biçimi
Şekil 16. Kanadın ikinci titreşim biçimi
155
Erdener ve Yaman
Şekil 17. Kanadın üçüncü titreşim biçimi
Şekil 18. Kanadın dördüncü titreşim biçimi
Dahili yakıtın kanadın dinamik özelliklerine
etkileri, her üç konfigürasyon için ilk dört global
doğal frekansının boş kanadın doğal frekanslarına
oranı şeklinde
Tablo 3’de verilmiştir.
[1]
5.2. Dahili Yakıtın Etkileri
Kanadın dahili yakıt taşıdığı durumlar göz önüne
alındığında, yukarıda bahsi geçen boş kanat
haricinde üç konfigürasyon daha incelenmiştir.
Bunlar:
•
•
•
Yakıt dolu (Bölme 1, 2 ve 3 dolu)
Bölmeler 1 ve 2 yakıt dolu
Bölme 1 yakıt dolu
156
Tablo 3. Dahili yakıtın, yakıtsız kanadın doğal frekanslarına oranla etkisi
Konfigürasyon
Bölme 1,2 ve 3
yakıt dolu
Bölme 1 ve 2
yakıt dolu
Bölme 1 yakıt
dolu
Birinci doğal İkinci doğal
frekans
frekans
Üçüncü
doğal
frekans
Dördüncü
doğal frekans
-40.9%
-43.9%
-19%
-35.6%
-9%
-16.8%
-10.4%
-12.3%
-0.2%
-1.9%
-1%
-0.7%
5.3. Dahili Yakıt ve Harici Yüklerin Etkileri
Kanadın dinamik analizleri, kanadın uçuş boyunca karşılaşacağı tüm yük durumları için incelenmiştir. İncelenen
yük durumları; tüm kanadın yakıt ile dolu olduğu, yakıt tankı ve harici yükün ilgili sinirlerde taşındığı kalkış
durumundan, kanattaki tüm yakıtın boşaldığı ve harici yüklerin atıldığı duruma kadar
Tablo 4’te detaylarıyla
verilmiştir.[1]
Tablo 4. Farklı yük durumlarında kanat konfigürasyonları
Konfigürasyon
No
1
2
3
4
5
6
Tanım
Tüm kanat yakıt ile dolu, sinirler üzerinde paylonu ile kanada asılan dolu harici
yakıt tankı ve harici yük taşınmakta
Harici yakıt tankındaki yakıt kullanılmış. Tüm kanat yakıt ile dolu, sinirler
üzerinde paylonu ile kanada asılan boş harici yakıt tankı ve harici yük
taşınmakta
Paylonla kanada bağlanan harici yük fırlatılmış, paylonu sinire bağlı durumda.
Tüm kanat yakıt ile dolu, sinirler üzerinde paylonu ile kanada asılan boş harici
yakıt tankı ve harici yük paylonu taşınmakta
Kanat kutusu bölme 3’teki yakıt kullanılmış. Bölme 1 ve 2 yakıt ile dolu,
sinirler üzerinde paylonu ile kanada asılan boş harici yakıt tankı ve harici yük
paylonu taşınmakta
Kanat kutusu bölme 2’deki yakıt kullanılmış. Bölme 1 yakıt ile dolu, sinirler
üzerinde paylonu ile kanada asılan boş harici yakıt tankı ve harici yük paylonu
taşınmakta
Kanat kutusu bölme 1’deki yakıt kullanılmış. Sinirler üzerinde paylonu ile
kanada asılan boş harici yakıt tankı ve harici yük paylonu taşınmakta
Tablo 5’de
Bu koşullar için doğal frekanslardaki değişim boş kanadın doğal frekanslarına oran olarak
verilmiştir. Birinci konfigürasyonun doğal frekanslarına karşılık gelen titreşim biçimleri Şekiller 19-22 de
verilmiştir.
Tablo 5. Dahili yakıt ve harici yüklerin, yakıtsız kanadın doğal frekanslarına oranları
Konfigürasyon
No
1
2
3
4
5
6
Birinci Doğal
Frekans
-66.5%
-66.4%
-44.2%
-21.7%
-15.8%
-15.7%
İkinci Doğal
Frekans
-74%
-73.9%
-52.8%
-29.5%
-25.4%
-25%
157
Üçüncü Doğal
Frekans
-63.4%
-59.8%
-32.9%
-23.1%
-16.4%
-15.3%
Dördüncü Doğal
Frekans
-66.3%
-65.6%
-42%
-27.6%
-20.7%
-20%
Erdener ve Yaman
Şekil 19. Birinci konfigürasyon için kanadın birinci titreşim biçimi
Şekil 20. Birinci konfigürasyon için kanadın ikinci titreşim biçimi
158
Şekil 21. Birinci konfigürasyon için kanadın üçüncü titreşim biçimi
Şekil 22. Birinci konfigürasyon için kanadın dördüncü titreşim biçimi
159
Erdener ve Yaman
6. SONUÇ
Bu çalışmada, bir uçak kanadının yapısal özellikleri
MSC/PATRAN® ve MSC/NASTRAN® programları
kullanılarak incelenmiştir.
Kanadın geometrik modelinin yaratılmasının
ardından sonlu eleman modeli de MSC/PATRAN®
ortamında oluşturulmuştur. Kanadın statik ve
dinamik özellikleri MSC/NASTRAN® ortamında
yürütülen analizlerle belirlenmişlerdir. Kanadın
elastik çizgisi, etkin dikey ve dönme direngenlikleri
incelenen statik özellikleridir. Dinamik analizlerde
de kanadın ilk dört global doğal frekansı ve bu
frekanslara karşılık gelen titreşim biçimleri farklı
yakıt ve harici yük konfigürasyonları için
incelenmiştir.
Boş kanadın doğal frekansları benzer uçak
kanatlarının doğal frekanslarıyla yakın değerlerde
çıkmıştır. Kanada eklenen dahili yakıt ve harici
yüklerin doğal frekansları beklendiği şekilde
azalttığı görülmüştür. Yakıt tamamen doluyken ve
tüm harici yükler mevcutken kanadın birinci ve
dördüncü doğal freakansının %66 oranında düştüğü,
diğer doğal frekansların da aynı miktarda azalma
gösterdiği gözlemlenmiştir.
7. KAYNAKLAR
1.
2.
3.
4.
5.
Erdener, Ö., Bir Uçak Kanadının Yapısal
Modelinin Geliştirilmesi, Y. Lisans Tezi, Orta
Doğu Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri
Enstitüsü, 2003.
Msc. Patran Version 9 MSC. Nastran Preference
Guide Structural Analysis, Volume 1 MSC
Software Corp. © 1999
Computer Based Modeling for Design and
Analysis with MSC/PATRAN, Release 6.0, The
MSC Institute of Technology, 1996
User’s
Guide,
Getting
Started
with
MSC/NASTRAN®, 1st Edition, The MacNealSchwendler Corporation©, 1993
MSC Nastran Reference Manual Version 68
The MacNeal-Schwindler Corporation
160
DIŞ SÖNÜM ETKİSİNDEKİ KADEMELİ ÇUBUKLARIN BOYUNA
TİTREŞİMLERİNİN İNCELENMESİ
Haluk Erol
İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi, 80191, Gümüşsuyu, İstanbul.
[email protected]
Metin Gürgöze
İstanbul Teknik Üniversitesi, Makina Fakültesi, 80191, Gümüşsuyu, İstanbul.
[email protected]
ÖZET
Çok sayıda değişken kesite sahip, dış sönüme maruz ve kendisine eksenel yönde impulsif kuvvetlerin etkidiği
çubuk sistemlerine, mühendislik uygulamalarında sıkça rastlanmaktadır. Uygulamalara bir örnek olarak derin
kuyu sondaj matkapları gösterilebilir. Bu çalışmada, her bir kesitte farklı dış sönüme maruz, değişken kesit ve
fiziksel özelliklere sahip, ucunda kütle bulunan elastik çubukların boyuna serbest titreşimleri, iki ayrı yöntem
kullanılarak incelenmiştir. Bu çalışmada, çubuğun özdeğer ve özfonksiyonlarının elde edilmesinde değişkenlerin
ayrıklaştırılması yöntemi uyarlanmıştır. Yöntem, üç kademeli bir örnek sisteme uygulanmış ve sonuçlar,
sistemin transfer matrisi yöntemi ile incelenmesinden elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Önerilen
yöntemin çok iyi sonuçlar verdiği görülmüştür.
Anahtar Kelimeler: Çubukların boyuna titreşimleri, Viskoz dış sönüm
ON THE VIBRATIONS OF MULTI-STEP RODS SUBJECTED TO EXTERNAL VISCOUS DAMPING
ABSTRACT
This study is concerned with the establishment of two methods for computing the eigencharacteristics of a
continuous rod, carrying a tip mass, consisting of several parts having different physical parameters and
subjected to external viscous damping. Probable applications of these rod systems include rods composed of
several different cross sections with different damping subject to impulsive axial forces in civil engineering
applications. Such systems can also be encountered in oil well drilling practices. The first method uses
separation of variables approach at the beginning and differ, actually, in the solution of the corresponding
ordinary differential equation. A second method is given for the determination of the eigencharacteristics, which
also lie on the separation of the variables approach. The second method is referred to as the transfer matrix
method in the literature. Excellent agreement of the numerical results for three sample systems obtained via the
two methods justifies the reliability of the formulae established.
Keywords: Axial vibrations of bars, External viscous damping
çerçevesinde incelenmiştir. Adı geçen çalışmayı
temel kabul ederek, Gürgöze ve Erol [2], homojen
olmayan dış sönümün etkisi altında fiziksel ve
sönüm özellikleri her kademede farklı iki kesitli
çubukların boyuna titreşimlerini incelemişlerdir.
Sürekli ve basamak şeklinde değişen kesitlere sahip
çubukların boyuna titreşimleri Li [3,4] tarafından da
etraflıca incelenmiştir. Li, bu çalışmalarında
muhtelif sınır şartlarının çubukların boyuna
titreşimlerine olan etkilerini değerlendirmiş, ancak
sönümün etkilerini göz önüne almamıştır. Diğer bir
çalışmada ise, Li, Li ve Liu [5], yaylarla birbirine
bağlı elastik çubukların boyuna titreşimlerini, sönüm
özelliklerini gözönüne almadan incelemişlerdir.
1. GİRİŞ
Çok sayıda değişken kesite sahip, dış sönüme maruz
ve kendisine eksenel yönde impulsif kuvvetlerin
etkidiği
çubuk
sistemlerine,
mühendislik
uygulamalarında
sıkça
rastlanmaktadır.
Uygulamalara bir örnek olarak derin kuyu sondaj
matkapları gösterilebilir. Homojen olmayan dış
sönümün, değişken kesitli çubukların eğilme
titreşimleri üzerindeki etkileri konusunda Friswell ve
Lees [1] çalışmalar yapmışlardır. Söz konusu
çalışmalarında, değişken kesitlere sahip çubukların
eğilme titreşimlerine ait özdeğer ve özfonksiyonları,
homojen olmayan ve her kesitte farklı dış sönümün
etkisi altında, Euler-Bernoulli basit çubuk teorisi
161
Erol ve Gürgöze
L
L1
L2
Li
2
i
Ln
w1(x,t
1
n
M
0
m1, E1A1, c1
1
mi, EiAi, ci
x
Şekil 1. Değişken kesitli ve ucunda kütle bulunan elastik çubuk.
(i = 1, …, n)
Bu çalışmada, her bir kademede farklı dış sönüme
maruz, değişken kesit ve fiziksel özelliklere sahip,
ucunda kütle bulunan elastik çubukların boyuna
serbest titreşimleri incelenmiştir. Bu amaçla,
çubuğun özdeğer ve özfonksiyonlarının elde
edilmesinde değişkenlerin ayrıklaştırılması yöntemi
uyarlanmıştır. Yöntem, üç kademeli bir örnek
sisteme uygulanmış ve sonuçlar, sistemin transfer
matrisi yöntemi ile incelenmesinden elde edilen
sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Önerilen yöntemin çok
iyi sonuçlar verdiği görülmüştür.
(1)
olarak yazılabilir. Burada, ki = EiAi ve x çubuk
üzerindeki eksenel konumu göstermektedir. Noktalar
zamana göre türevleri ve üsler x koordinatına göre
kısmi türevleri ifade etmektedir.
İlgili sınır şartları,
z1 (0, t) = 0 ,
z i-1 (L i , t) = z i (L i , t) ,
k i-1 z ′i-1 (L i , t) = k i z ′i (L i , t) ,
2. TEORİK ESASLAR
(i = 2, …, n)
k n z ′n (L, t) + M z n (L, t) = 0 ,
Çalışmada göz önüne alınan n adet değişken kesite
ve fiziksel özelliklere sahip, her kademede farklı dış
sönüme maruz, ucunda M kütlesi bulunan, boyuna
titreşimler yapan elastik çubuk Şekil 1’de
gösterildiği gibidir. Çubuğun i’nci parçasının boyu
Li, eksenel rijitliği EiAi, viskoz sönüm katsayısı ci ve
birim
uzunluğunun
kütlesi
mi
olarak
tanımlanmaktadır. Bu parametrelerin, ait oldukları
kademe içinde sabit oldukları kabul edilmektedir.
(2)
burada
i -1
Li = ∑ L j ,
j=1
n
L = ∑Lj
,
(3)
j=1
olarak tanımlanmıştır. Kompleks yer değiştirme
fonksiyonunu, değişkenin ayrıklaştırılması amacıyla,
z i (x, t) = Z i (x) D i (t) ,
Sistemde viskoz dış sönümün bulunması nedeniyle
boyuna titreşimlerinin incelenmesinde kompleks
değişkenlerin kullanılması uygundur. Çubuğun her
bir kesitindeki eksenel yer değiştirmeleri, kompleks
zi(x,t) , (i = 1, …, n) fonksiyonu ile gösterilsin. Bu
fonksiyonun reel kısmı olarak tanımlanan wi(x,t), (i
= 1, …, n) ise fiziksel olarak çubuğun boyuna yer
değiştirmelerini verecektir. Bu çalışmada çubuğun
boyuna titreşimlerinin incelenmesi nedeniyle, sadece
yer değiştirme fonksiyonunun reel kısmı ile
ilgilenilecektir. n adet değişken kesite ve fiziksel
özelliklere sahip, ucunda M kütlesi bulunan ve her
bir kademede farklı dış sönümün etkisi altında
boyuna titreşimler yapan elastik çubuğa ait hareket
denklemleri
(i = 1, …, n) (4)
olarak kabul edelim. Bu ifadede yer alan her iki
Zi(x) ve Di(t) fonksiyonları, genel olarak, kompleks
fonksiyonlardır. (4) denklemi (1) denkleminde
yerine konulursa,
c 
D i (t) +  i  D i (t)
 mi 
k i Z′i′(x)
=
:= κ i
m i Z i (x)
D i (t)
(5)
elde edilir. Burada, κi hesaplanacak kompleks
sabitlerdir. Bu ifadelerde noktalar zamana göre
türevleri ve üsler x koordinatına göre türevleri ifade
etmektedir. (2) ifadelerinde ikinci ve üçüncü geçiş
şartlarının sağlanabilmesi, ancak ilgili kompleks
zaman fonksiyonlarının eşit olması ile mümkündür.
Diğer bir söyleyişle, Di(t) = D(t), (i = 1, …, n)
k i z ′i′(x, t) - m i z i (x, t) - c i z i (x, t) = 0 ,
162
Dış Sönüm Etkisindeki Değişken Kesitli Çubukların Boyuna Titreşimlerinin İncelenmesi
olmalıdır.
Böylece,
(5)
ifadeleri
yeniden
düzenlenerek, sadece Zi(x) kompleks değişkenine
bağlı diferansiyel denklemler elde edilebilir:
Z′i′(x) −
mi
κ i Z i (x) = 0 ,
ki
(14) ifadesi sistemin karakteristik denklemidir. Bu
ifadede limit halde uçtaki kütle M yerine sonsuz
konularak, iki ucundan ankastre çubuğun boyuna
titreşimlerine ait karakteristik denklem elde edilir.
Bu karakteristik denklem kaynak [2]’de n = 2 için
elde edilmiştir. (14) ifadesinde uçtaki kütle M yerine
sıfır konularak ise, bir ucu ankastre diğer ucu serbest
çubuğun boyuna titreşimlerine ait karakteristik
denklem elde edilir.
(i = 1, …, n). (6)
Kompleks zaman fonksiyonunun ifadesi,
D(t) = e λt
(7)
(8) ve (9) denklemlerinde verilen ifadeler birlikte
kullanılarak νi, (i = 1, …, n) değerleri,
λ özdeğerlerinin fonksiyonu olarak aşağıdaki gibi
yazılabilir,
olarak kabul edilebilir. Burada, λ, genel olarak
kompleks olduğu kabul edilen, özdeğerdir. D(t) için
yapılan bu çözüm kabulü (5) denkleminde yerine
konularak,
c
κi = i λ + λ2 ,
mi
(i = 1, …, n),
ν i (λ) = ±
(8)
m
ν = i κi ,
ki
kısaltması yapılarak
düzenlenirse,
(5)
Z′i′(x) − ν i2 Z i (x) = 0 ,
 ci
2
( ) λ + λ  ,
 mi

(i = 1, …, n).
elde edilir. Burada
2
i
mi
ki
(i = 1, …, n)
denklemi
Böylece, çubuğun boyuna titreşimlerine ait (14)
karakteristik denklemi,
(9)
det A(ν1 ( λ ), ..., ν n ( λ )) = det A( λ ) = 0
yeniden
(16)
olur. Bu ifadeden, genellikle kompleks sayı olan, λ
değerleri elde edilebilir. Bu aşamadan sonra, (15)
denklemi kullanılarak νi‘ler hesaplanabilir. Bu
durumda, bulunan bu değerler (13) denklemindeki A
katsayılar
matrisinde
yerlerine
konularak,
(i = 1, …, n), (10)
bulunur. (10) ifadesinde yer alan diferansiyel
denklemlerin genel çözümleri aşağıdaki gibi
yazılabilir:
bilinmeyen A i , B i (i = 1, …, n) katsayıları
bulunabilir. Buradan da (11) eşitliğinde tanımlanan
Zi(x), (i = 1, …, n) ifadelerine ulaşılabilir.
Z i (x) = A i e ν i x + B i e − ν i x , (i = 1, …, n). (11)
Burada, A i ve B i , sınır şartlarından belirlenecek
kompleks katsayılardır. (2) denklemlerinde ifade
edilen sınır ve geçiş şartları (7) denklemi
kullanılarak, Zi(x) kompleks fonksiyonu cinsinden
aşağıdaki gibi yazılabilir:
Nihayetinde, (11) denklemleri göz
bulundurularak (4) ifadelerine gidilir.
λ = λ re + jλ im ,
(i = 2, …, n)
B i = B i re + jB i im ,
(j =
−1 )
(17)
çubuğun ayrı ayrı her bir kesitinin boyuna yer
değiştirmeleri, wi(x,t) , (i = 1, …, n) aşağıdaki gibi
ifade edilir,
(12)
(11) eşitlikleri (12) denklemlerinde yerine konularak
2n bilinmeyenli 2n homojen denklemli bir takım
w i (x, t) = Re[z i (x, t)]
= e λ re t Si (x)cosλ im t - e λ re t Q i (x)sinλ im t .
elde edilir. Burada, bilinmeyenler: A i , B i , (i =
1,…, n) dir.
Diğer sayfadaki (13) matris denkleminde yer alan
2nx2n boyutlu katsayılar matrisini A ile gösterelim.
Söz konusu matris denkleminin sıfırdan farklı
çözümlerinin olabilmesi için A matrisinin
determinantı sıfır olmalıdır:
det A(ν1 , ..., ν n ) = 0 .
ν i = ν i re + jν i im ,
A i = A i re + jA i im ,
Z i-1 (L i ) = Z i (L i ) ,
k n Z′n (L) + Mλ 2 Z n (L) = 0 .
önünde
İlgili değişkenleri, reel ve imajiner kısımlarına
ayırarak:
Z1 (0) = 0 ,
k i-1 Z′i-1 (L i ) = k i Z′i (L i ) ,
(15)
(18)
Burada,
(14)
163
Erol ve Gürgöze
1
1
0
0
0
0
...
0
0
A1
e ν1 L 2
e - ν1 L 2
- eν 2 L2
- e- ν 2 L 2
0
0
...
0
0
B1
k1ν1e ν1 L 2
- k1ν1e- ν1 L 2
- k 2 ν 2e ν 2 L 2
k 2 ν 2e- ν 2 L 2
0
0
...
0
0
A2
0
0
eν 2 L3
e- ν 2 L 3
- eν3 L3
- e- ν 3 L 3
...
0
0
B2
0
0
k 2 ν 2e ν 2 L 3
- k 2 ν 2e- ν 2 L 3
- k 3 ν 3e ν 3 L 3
k 3 ν 3e - ν 3 L 3
...
0
0
A3
0
0
0
0
eν3 L4
e- ν 3 L 4
...
0
0
B3
0
0
0
0
k 3 ν 3e ν 3 L 4
- k 3 ν 3e-ν 3 L 4
...
0
0
A4
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
0
0
0
0
0
0
...
- k n -1ν n -1e ν n-1 L n-1
k n -1ν n -1e-ν n-1 L n-1
An
0
0
0
0
0
0
...
(k n ν n + Mλ 2 )e ν n L
- (k n ν n - Mλ 2 )e- ν n L
Bn
=0
(13)
164
Si (x) = e
ν i re x
+e
Q i (x) = e
(A cosν x - A sinν x )
(B cosν x + B sinν x ) ,
(A sinν x + A cosν x )
(B cosν x − B sinν x ),
-ν i re x
ν i re x
+e
-ν i re x
i re
i re
i re
iim
i im
i im
iim
iim
iim
şeklinde yazılabilir. Burada,
iim
i im
i im
i re
S i,1 (x) = e ν i x ,
i im
i im
iim
Çubuğun sağ ucundaki Zi,1 (eksenel yerdeğiştirme)
ve Ni,1(eksenel kuvvet) parametreleri ile çubuğun sol
ucundaki Zi,0 ve Ni,0 parametreleri arasındaki ilişki
matris formunda aşağıdaki gibi yazılabilir.
dir. Çubuğun her bir kademesinin boyuna
yer değiştirme ifadeleri yeniden
düzenlenerek,
 Z i,1 
 Z i,0 
 N  = Ti  N  ,
 i,1 
 i,0 
(20)
yazılabilir. Bu ifadede,
(24)
bu ifadede,
C i (x) = S i2 (x) + Q i2 (x) ,
Q (x)
tan ε i (x) = - i
,
Si (x)
(23)
olarak tanımlanmıştır. Kaynak [3]’de sunulan
sonuçları, bu çalışmada tanımlanan sisteme
uyarlayarak, çubuğun i’nci kademesinin sol ucunu x
= 0 (Şekil 1’de 0 indisi ile gösterilen nokta) olarak
ve sağ ucunu x = 1 (Şekil 1’de 1 indisi ile gösterilen
nokta) kabul edelim.
(19)
w i (x, t) = e λ re t C i (x)cos(λ im t - ε i (x))
S i,2 (x) = e -ν i x
Si,2 (L i ) 
 Si,1 (L i )
Ti = 

k i S′i,1 (L i ) k i S′i,2 (L i )
(i = 1, …, n), (21)
göstermektedir. wi(x,t), (i = 1, …, n)’ler viskoz
sönümlü çubuğun, bir λ özdeğeri için yapacağı
boyuna titreşimlerin uzunluğu boyunca yer
değiştirmelerinin dağılımını vermektedir. Sisteme
etkiyen sönümün etkisiyle oluşan, x koordinatına
bağlı faz açısı nedeniyle, yazarlar “mod” veya
“özfonksiyon” terimlerini mümkün olduğunca az
kullanmaya özen göstermişlerdir. Bu ve benzeri
terimleri kullanmak gerektiğinde ise tırnak işaretleri
içinde yazılmıştır. Zi(x)’lerin mutlak değerini
gösteren Ci(x) ifadeleri, çubuğun i’nci kademedeki
titreşimlerin genliklerinin dağılımını göstermektedir.
.
Si,2 (0) 
 Si,1 (0)
k S′ (0) k S′ (0)
i i,2
 i i,1

(i = 1, …, n),
−1
(25)
olur. Burada, üsler x koordinatına göre türevleri
göstermektedir. Ti matrisi, çubuğun i’nci
kademesinin sol (0) ucundaki parametreleri sağ (1)
ucundaki parametrelere dönüştürdüğü için, transfer
matrisi olarak tanımlanır. Kolayca gösterilebilir ki,
değişken kesitli çubuğun ilk kesitinin sol (0)
ucundaki parametreleri çubuğun ucunda kütle
taşıyan son kesitinin sağ (1) ucuna transfer eden
transfer matrisinin ifadesi aşağıdaki gibidir:
Yukarıda açıklanan yöntem kullanılarak, boyuna
titreşimler yapan n farklı kademeye sahip elastik
çubukların λ özdeğerleri, 2nx2n boyutundaki bir
kompleks determinantın köklerinin bulunmasıyla
hesaplanabilir. Gelinen bu noktanın devamında
karakteristik denklemin, özellikle büyük n değerleri
için sayısal uygulamalarda kolaylık sağlayacak,
alternatif ifadesi verilecektir. Alternatif ifade esas
olarak
başlangıçta,
yine
değişkenlerin
ayrıklaştırılması yöntemine dayanan, transfer matrisi
yöntemidir. Bu yöntemi, Li ve çalışma arkadaşları,
bir dizi değişken kesitli çubukların boyuna
titreşimleri ve çubuk sistemleri üzerinde yaptıkları
çalışmada başarıyla uygulamışlardır [3,4,5].
T
T = TM .Tn . ... T1 =  11
T21
T12 
, (26)
T22 
burada,
0
 1
TM =  2
,
λ M 1
(27)
olup böylece, uçta bulunan kütle de göz önüne
alınmaktadır.
Şekil 1’de gösterilen değişken kesitli ve ucunda
kütle bulunan elastik çubuk sisteminde sınır şartları,
sol uçta eksenel yer değiştirme, sağ uçta ise eksenel
kuvvetin sıfır olmasını gerektirmektedir. Buradan
karakteristik denklem aşağıda verildiği gibi elde
edilmektedir:
Burada çubuğun farklı kesitlerinin alanlarının ait
oldukları kademe içinde sabit oldukları ve çubuğa
dışardan her bir kademe için farklı, fakat sabit
viskoz sönümün etkidiği kabul edilmektedir.
(11) denklemlerinden çubuğun i’nci kademesi
boyunca boyuna yer değiştirmelerin dağılımı,
T22 (ν1 ( λ ), ..., ν n ( λ )) = T22 ( λ ) = 0 .
Z i (x) = A i S i,1 (x) + B i S i,2 (x) , (22)
(28)
Çubuğun ucunda kütle bulunmaması halinde, TM
matrisi 2x2’lik birim matris olmaktadır. Bu
165
Erol ve Gürgöze
durumda, çubuğun tamamına ait T transfer matrisi, n
tane kademeye ait Ti transfer matrislerinin
çarpımından ibaret olacaktır:
T = Tn . ... T1 .
çubuğun, her bir kademe boyunca, bu frekanslara
karşı gelen mutlak genliklerinin dağılımı Abs(Zi(x))
gösterilmiştir.
(29)
Tablo 2. Birinci uygulama için “en küçük”
özdeğerler.
(28) eşitliği ile verilen karakteristic denklemde T22,
(29) ifadesinde verilen T matrisinin (2,2) elemanını
göstermektedir. Limit halde uçtaki M kütlesi yerine
sonsuz konması hali, diğer bir deyişle, iki ucundan
ankastre çubuk için sınır şartları değişken kesitli
elastik çubuğun her iki ucunda da eksenel yer
değiştirmelerinin sıfır olmasını gerektirmektedir. Bu
durumda karakteristik denklem,
T12 ( λ ) = 0 ,
I. durum
(30)
olacaktır.
Kesit 2
Kesit 3
1
2
2
mi [kg/m]
20
10
10
ci [kg/ms]
0
0
1000
EiIi [Nm2]
200
100
50
-0.00300
-0.00300
-0.15164
-0.15164
-2.92814
-2.92814
-0.73194 ± 6.02561i
-0.73194 ± 6.02561i
-1.78680 ± 16.57028i
-1.78680 ± 16.57028i
-3.79527 ± 34.38621i
-3.79527 ± 34.38621i
Tablo 2’de II. durum için değişken kesitli çubuk
sisteminin “ilk” altı özdeğeri verilmiştir. Tablo’da
özdeğerler, benzer şekilde, aşırı sönümlü ve zayıf
sönümlü “mod” lar olarak düzenlenmiştir. Tablonun
her iki kolonunda yer alan sayısal değerler tamamen
aynıdır.
Tablo 1. Çubuğun Fiziksel Özellikleri.
Kesit 1
(28) denkleminden
Şekil 3’de ise, Şekil 2’de olduğu gibi, I. durumda,
ilk üç zayıf sönümlü özdeğer için wi(x,t)’nin üç
boyutlu değişimi üst kısımda çizilmiştir. Alt
kısmında ise kademeli çubuğun, kesitler boyunca, bu
frekanslara karşı gelen mutlak genliklerinin dağılımı
Abs(Zi(x)) gösterilmiştir.
Bu bölümde, önceki bölümde elde edilen sonuçların
örnek bir sistem üzerindeki sayısal uygulaması
yapılacaktır. Uygulama olarak, 3 farklı kademeden
oluşan ve fiziksel özellikleri Tablo 1’de verilen bir
çubuk alınacaktır.
Li [m]
(16) denkleminden
Tablo 3. İkinci uygulama için “en küçük”
özdeğerler.
Bu uygulamada üç farklı durum değerlendirilebilir:
İlk durum, çubuğun ucunda kütle bulunmamasıdır.
Diğer bir deyişle, M = 0 (I. durum). İkinci durum,
çubuğun ucunda kütle bulunması, yani M ≠ 0 (II.
durum) halidir. Üçüncü ve son durum, çubuğun
ucundaki kütlenin, limit halde sonsuza gitmesi, diğer
bir ifadeyle üç farklı kademeden oluşan çubuğun
sınır şartlarının sabit-sabit olmasıdır (III. durum). II.
durum için uçtaki kütle M = 50 kg olarak seçilmiştir.
II. durum
(16) denkleminden
(28) denkleminden
-0.00300
-0.00300
-0.15346
-0.15346
-14.81754
-14.81754
-0.70181 ± 6.03149i
-0.70181 ± 6.03149i
-1.81269 ± 16.58422i
-1.81269 ± 16.58422i
-3.76469 ± 34.35086i
-3.76469 ± 34.35086i
I. durum için kademeli çubuk sisteminin “ilk” altı
özdeğeri Tablo 2’de verilmiştir. Tablo’da
özdeğerler, aşırı sönümlü ve zayıf sönümlü “mod”
lar olarak düzenlenmiştir. Tablonun ilk kolonunda,
(16)
denkleminden
karakteristik
denklemin
köklerinin
bulunması
yöntemi
kullanılarak
hesaplanan sayısal değerler gösterilmiştir. İkinci
kolonunda ise, transfer matrisi yöntemiyle elde
edilen (28) denkleminden bulunan sayısal değerler
verilmiştir. Tablonun her iki kolonunda yer alan
sayısal değerler tamamen aynıdır. Bu düzenlemeler,
Tablo 3 ve Tablo 4 için de geçerlidir.
Şekil 4 ve Şekil 5 II. durumla ilgili sonuçları, Şekil 2
ve Şekil 3’dekine benzer olarak, yansıtmaktadır.
Şekil 4 ve Şekil 5’in üst kısımları, II. durumda, ayrı
ayrı ilk üç aşırı sönümlü ve zayıf sönümlü özdeğer
için
wi(x,t)’nin
üç
boyutlu
değişimini
göstermektedir. Alt kısımlarında ise, kademeli
çubuğun, her bir kademe boyunca, bu frekanslara
karşı gelen mutlak genliklerinin dağılımı Abs(Zi(x))
yansıtılmaktadır.
Şekil 2’nin üst kısmında, I. durumda, ilk üç aşırı
sönümlü özdeğer için wi(x,t)’nin üç boyutlu
değişimi çizilmiştir. Alt kısmında ise kademeli
Son olarak, Tablo 4’de III. durum için kademeli
çubuk sisteminin “ilk” altı özdeğeri verilmiştir.
Tablo’da özdeğerler, benzer şekilde, aşırı sönümlü
166
4. SONUÇLAR
ve zayıf sönümlü “mod” lar olarak düzenlenmiştir.
Tablonun her iki kolonunda yer alan sayısal değerler
tamamen aynıdır. Şekil 6 ve Şekil 7 III. durumla
ilgili sonuçları, Şekil 2 ve Şekil 3’dekine benzer
olarak, yansıtmaktadır. Şekil 6 ve Şekil 7’nin üst
kısımları, III. durumda, ayrı ayrı ilk üç aşırı sönümlü
ve zayıf sönümlü özdeğer için wi(x,t)’nin üç boyutlu
değişimini göstermektedir. Alt kısımlarında ise
kademeli çubuğun, her bir kademe boyunca, bu
frekanslara karşı gelen mutlak genliklerinin dağılımı
Abs(Zi(x)) yansıtılmaktadır.
Bu çalışmada, her bir kademede farklı dış sönüme
maruz, değişken kesit ve fiziksel özelliklere sahip,
ucunda kütle bulunan elastik çubukların boyuna
serbest titreşimleri, iki yöntemle incelenmiştir. Bu
amaçla, çubuğun özdeğer ve özfonksiyonlarının elde
edilmesinde değişkenlerin ayrıklaştırılması yöntemi
uyarlanmıştır. Yöntem, üç kademeli bir örnek
sisteme uygulanmış ve sonuçlar, sistemin transfer
matrisi yöntemi ile incelenmesinden elde edilen
sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Önerilen yöntemin çok
iyi sonuçlar verdiği görülmüştür.
Tablo 4. Üçüncü uygulama için “en küçük”
özdeğerler.
5. KAYNAKLAR
III. durum
(16) denkleminden
(30) denkleminden
-0.16489
-0.16489
-2.91342
-2.91342
-36.00952
-36.00952
-0.73285 ± 6.02476i
-0.73285 ± 6.02476i
-1.78696 ± 16.57041i
-1.78696 ± 16.57041i
-3.79523 ± 34.38624i
-3.79523 ± 34.38624i
[1] M.I. FRISWELL and A.W. LEES 2001 Journal
of Sound and Vibration 242, 355-361. The modes of
non-homogeneous damped beams.
[2] M. GÜRGÖZE and H. EROL 2003 Journal of
Sound and Vibration 260, 357-367. On the “modes”
of non-homogeneously damped rods consisting of
two parts.
[3] Q.S. LI 2000 Transactions of the ASME Journal
of Vibration and Acoustics 122, 183-187. Exact
solutions for longitudinal vibration of multi-step
bars with varying cross-section.
[4] Q.S. LI 2000 Journal of Sound and Vibration
234, 1-19. Exact solutions for free longitudinal
vibrations of non-uniform rods.
[5] Q.S. LI, G.Q. LI and D.K. LIU 2000
International Journal of Mechanical Sciences 42,
1135-1152. Exact solutions for longitudinal
vibration of rods coupled by translational springs.
Tablo 2 ve Tablo 3’de verilen aşırı sönümlü
özdeğerler karşılaştırıldığında, çubuğun ucuna kütle
eklenmesinin, mutlak olarak özdeğerleri büyüttüğü
ve bunun sonucu olarakta sönümün etkisini arttığı
gözlenmektedir. Tablo 3’de sıralanan aşırı sönümlü
özdeğerler Tablo 4’dekilerle karşılaştırıldığında,
mutlak değer olarak daha büyüktürler. Diğer bir
söyleyişle, sabit-sabit çubuğun bu özdeğerlere karşı
gelen titreşim biçimleri, ucunda kütle bulunan
çubuğa göre daha hızlı sönümlenmektedir.
Benzer şekilde, Tablo 2 ve Tablo 3’de verilen zayıf
sönümlü özdeğerler karşılaştırıldığında, çubuğun
boyuna titreşimlerine ait (kompleks) doğal
frekansları, beklentilerimize uygun olarak, ucuna
kütle eklenmesiyle düşmektedir. Tablo 3’de
sıralanan zayıf sönümlü özdeğerler Tablo 4’dekilerle
karşılaştırıldığında, sabit-sabit çubuğun boyuna
titreşimlerine ait (kompleks) doğal frekansları,
ucunda kütle bulunan çubuğa göre daha katı olması
nedeniyle daha büyüktür.
Düğüm noktalarının sayıları, her üç aşırı sönümlü
“mod” karşılaştırıldığında, aynıdır. Şekil 2, Şekil 4
ve Şekil 6’nın alt kısmından görülebileceği gibi,
ikinci “mod” 1 düğüm noktasına, üçüncü “mod” ise
2 düğüm noktasına sahiptir. Bu durumun aksine, her
üç zayıf sönümlü “mod” için, Şekil 3, Şekil 5 ve
Şekil 7’nin alt kısmından görülebileceği gibi, düğüm
noktası yoktur.
Elde edilen sonuçlar uyarınca, göz önüne alınan
kademeli çubuğun boyuna yer değiştirmeleri, zayıf
sönümlü “en küçük” “mod”larda ve çubuğun
sönümsüz ilk iki kesitinde büyük değerler
almaktadır. Hatırlamak gerekirse, çubuğun bu ilk iki
kesitinde sönüm bulunmamakta, üçüncü kesitine ise
sönüm tesir etmektedir.
167
Erol ve Gürgöze
0
1
wi(x,t)
-0.5
0.5
1
0.8
-1
0.6
0
0.4
1
2
0
-0.5
0.8
0.6
0
x
4
0.4
1
2
0.2
3
Abs @ZHxLD
t
1
1
4
Abs @ZHxLD
0.8
-1
0.6
0
2
Abs @ZHxLD
50
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
2
3
λ = -0.00300
4
5
x
1
2
3
λ = -0.15164
4
0.2
3
1
1
0.4
1
0.2
3
50
1
0
5
x
4
1
2
50
3
λ = -2.92814
4
5
x
Şekil 2. Çubuğun, I. durumda, “ilk” üç aşırı sönümlü özdeğeri için wi(x,t)’nin üç boyutlu değişimi ve kesitler boyunca bu frekanslara karşı gelen Abs(Zi(x)) mutlak
genliklerinin dağılımı.
168
1
1
1
wi(x,t)
0.5
0.8
0
0.6
0
0.4
1
2
t
1
0
0.8
-1
0.6
0
0.4
1
2
0.2
3
4
Abs @ZHxLD
1
0
0.8
-1
0
0.6
2
Abs @ZHxLD
4
Abs @ZHxLD
50
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
2
3
4
λ = -0.73194 ± 6.02561i
5
x
1
2
3
0.2
3
1
1
0.4
1
0.2
3
50
x
1
4
λ = -1.78680 ± 16.57028i
5
x
4
1
2
50
3
4
λ = -3.79527 ± 34.38621i
5
x
Şekil 3. Çubuğun, I. durumda, “ilk” üç zayıf sönümlü özdeğeri için wi(x,t)’nin üç boyutlu değişimi ve kesitler boyunca bu frekanslara karşı gelen Abs(Zi(x)) mutlak
169
Erol ve Gürgöze
0
1
wi(x,t)
-0.5
0.5
1
0.8
-1
0.6
0
0.4
1
2
0
-0.5
0.8
0.6
0
4
2
4
Abs @ZHxLD
1
0.5
0
-0.5
1
0.8
0.6
0
2
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
λ = -0.00300
4
5
x
50
1
0.8
3
4
Abs @ZHxLD
50
1
2
0.2
3
1
1
0.4
1
0.2
3
50
x
0.4
1
0.2
3
Abs @ZHxLD
t
1
0.8
1
2
3
λ = -0.15346
4
5
x
1
2
3
λ = -14.81754
4
5
x
Şekil 4. Çubuğun, II. durumda, “ilk” üç aşırı sönümlü özdeğeri için wi(x,t)’nin üç boyutlu değişimi ve kesitler boyunca bu frekanslara karşı gelen Abs(Zi(x)) mutlak
170
1
1
wi(x,t)0.5
0.8
0
0.6
0
0.4
1
2
1
0.8
0.6
0
0.4
1
2
0.2
3
4
Abs @ZHxLD
t
1
0.5
0
-0.5
4
Abs @ZHxLD
1
1
0
0.8
-1
0.6
0
2
Abs @ZHxLD
50
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
2
3
4
λ = -0.70181 ± 6.03149i
5
x
1
2
3
4
λ = -1.81269 ± 16.58422i
0.2
3
1
1
0.4
1
0.2
3
50
x
1
5
x
4
1
2
50
3
4
λ = -3.76469 ± 34.35086i
5
x
Şekil 5. Çubuğun, II. durumda, “ilk” üç zayıf sönümlü özdeğeri için wi(x,t)’nin üç boyutlu değişimi ve kesitler boyunca bu frekanslara karşı gelen Abs(Zi(x)) mutlak
171
Erol ve Gürgöze
0
1
1
1
-0.5
wi(x,t)
0.8
-1
0.6
0
0.4
1
2
1
-1
0.8
0.6
0
4
2
0
1
-1
0.8
0.6
0
Abs @ZHxLD
4
2
Abs @ZHxLD
50
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
2
3
λ = -0.16489
4
5
x
0.2
3
1
1
0.4
1
0.2
3
50
x
0.4
1
0.2
3
Abs @ZHxLD
t
0
4
50
1
1
2
3
λ = -2.91342
4
5
x
1
2
3
λ = -36.00952
4
5
x
Şekil 6. Çubuğun, III. durumda, “ilk” üç aşırı sönümlü özdeğeri için wi(x,t)’nin üç boyutlu değişimi ve kesitler boyunca bu frekanslara karşı gelen Abs(Zi(x)) mutlak
172
wi(x,t)
1
1
1
0.5
0.8
0
0.6
0
0.4
1
2
t
1
0
0.8
-1
0.6
0
0.4
1
2
0.2
3
4
Abs @ZHxLD
1
0
0.8
-1
0.6
0
2
Abs @ZHxLD
4
Abs @ZHxLD
50
1
1
0.8
0.8
0.8
0.6
0.6
0.6
0.4
0.4
0.4
0.2
0.2
0.2
2
3
4
λ = -0.73285 ± 6.02476i
5
x
1
2
3
0.2
3
1
1
0.4
1
0.2
3
50
x
1
4
λ = -1.78696 ± 16.57041i
5
x
4
1
2
50
3
4
λ = -3.79523 ± 34.38624i
5
x
Şekil 7. Çubuğun, III. durumda, “ilk” üç zayıf sönümlü özdeğeri için wi(x,t)’nin üç boyutlu değişimi ve kesitler boyunca bu frekanslara karşı gelen Abs(Zi(x)) mutlak
173
ÇOK SERBESTLİK DERECELİ ROBOTLAR İÇİN GRAFİK YÖNTEMLE TERS
KİNEMATİK ANALİZ
H.Ali ERTAŞ
Cumhuriyet Üniversitesi Makine Mühendisliği Böl. -SİVAS
[email protected]
Mehmet ÖZKAN
TCDD. 4. Bölge Müdürlüğü-SİVAS
[email protected]
ÖZET
Ters robot kinematiğinin çözümü için geliştirilmiş bulunan genel analitik metodun, aşırı derecedeki
matematiksel karmaşıklığı ve çözüm esnasında çok fazla dikkat gerektirmesi, ters kinematiğin daha basit
metotlar kullanmak suretiyle çözülmesinin araştırılmasına yol açmıştır. Bu bakımdan ters kinematik çözüm
için, Hunt[1] tarafından önerilen ve Ridley[2] tarafından geliştirilmek suretiyle uygulanarak kullanılan
grafiksel çözüm yaklaşımı kullanılarak, öngörülen bir uç tutucu oryantasyonu ve pozisyonuna karşılık
gelecek robot kol konfigürasyonları elde edilebilmektedir. Bu bildiride, grafik metot kullanılarak bir ters
kinematik çözümleme gösterilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Robot , kinematik analiz, , ters kinematik, grafik metot.
ABSTRACT
It has been lead to researching by using more simple methods of the inverse robot kinematics, general
analytical method which has developed for the inverse kinematics because of the kinematics has got an
extremely mathematical confusion and has been involved more attention during the solution. Therefore, for
the solution of the inverse kinematics an approach of graphical solution suggested by Hunt and Ridley and
this way it is being obtained a robot link configurations with an end-effector orientation and position by
developing and practicing. In this paper it has been presented, for an inverse kinematics solution by using the
graphical method with an example.
Keywords: Robot, kinematic analysis, , inverse kinematic, graphical method.
vasıtasıyla iki komşu koordinat sistemini birbirine
bağlayan transformasyon matrisleri sırasıyla
kullanılarak uç tutucunun temel koordinat
sistemindeki pozisyon ve oryantasyonuna karşılık
gelen eklem parametreleri elde edilebilmektedir [4].
Burada, Stanford-JPL endüstriyel manipülatör için,
fazla ayrıntıya girilmeden ama önemli hususlara
değinilerek analitik çözüm sunulacak ve bir problem
çözümü de verilecektir.
1. GİRİŞ
Bir robot kolun uç tutucusuna belirli bir işi
yaptırmak
amacıyla
gerekli
robot
kol
konfigürasyonunu belirleme işi ters kinematiğinin
temel problemidir. Ters kinematik çözümleme
Denavit ve Hartenberg [3] tarafından geliştirilen
analitik çözüm metodunun aşırı derecede karışık
olması bir dezavantaj olarak karşımıza çıkmaktadır.
Buna karşılık ters kinematik çözümleme basit grafik
yaklaşımlarla da çözülebilmekte dir.
2.1. D-H Koordinat Takımları ve D-H Yapısal
Parametrelerinin Elde Edilmesi
Bu makalede amaç, Stanford-JPL manipülatör için
D-H analitik çözüm metodu ile bir örnek çözüm
sunarak burada elde edilen sonuçları, basit
geometrik yöntemler kullanılarak elde edilen
çözümler ile karşılaştırarak bir sonuç elde etmektir.
Denavit ve Hartenberg, kinematik analiz için
geliştirdikleri metotta, uzaysal bir bağlantıda iki
komşu kinematik çifti ele almışlar ve bu çiftlerin
hareket eksenleri boyunca z eksenini yerleştirmek
üzere ve uzuvların birindeki x ekseni uzuvlar
arasındaki normal boyunca olacak şekilde ( y
ekseni de sağ-el kuralına göre elde edilmek üzere )
eklem
noktasında
bir
koordinat
takımı
tanımlamışlardı. Buna göre elde edilen koordinat
takımlarına sahip kinematik çiftler art arda
eklenebilmektedirler. Bu yöntem, direkt olarak,
2. ANALİTİK ÇÖZÜM
Ters kinematik çözüm için kullanılan en genel ve en
popüler analitik metot olan, Denavit-Hartenberg
metodunda, seri bağlı bir manipülatörün eklem
noktalarında
tanımlanan
lokal
koordinat
takımlarında
bulunan
yapısal
parametreler
175
Ertaş ve Özkan
dönel, silindirik, prizmatik ve helisel eklemli
kinematik
çiftlere
uygulanabilmektedir
[1].
Yöntemin temelini oluşturan ve zahmetli bir uğraş
gerektiren bu tanımlama pek çok kaynakta
belirtilmiştir [3, 4]. Biz burada fazla ayrıntıya
girmeden Stanford-JPL endüstriyel manipülatör için
lokal koordinat takımlarını Şekil.2’de gösterdik.
Rijit bir uzvun D-H gösterimi her bir uzuvla
birleştirilmiş dört adet geometrik parametreye
bağlıdır. Bu dört parametre herhangi bir dönel veya
prizmatik eklemi tam olarak tanımlamaktadır.
koordinat takımının birbirilerine göre olan bağıl
pozisyonları, şu parametrelerle karakterize edilebilir:
Uzuvlar arasındaki a i uzunluğu; α i açısı; d i
θi
mesafesi ve
açısı. i uzvunun bu parametreleri
Şekil.2’de
gösterilmiştir.
Sözü
geçen
bu
parametreler, verilen manipülatörün “yapısal
kinematik parametreleri” olarak isimlendirilirler.
Yine bu yapısal parametreler de Stanford-JPL
manipülatör için tablo 1 de verilmiştir.
Aşağıdaki şekilde uzuv i ve uzuv i + 1 şeklinde
sıralanmış ve birleştirilmiş olan iki adet komşu
Şekil.1 Stanford-JPL Manipülatör
Tablo.1 Stanford-JPL Manipülatör İçin Yapısal Kinematik Parametreler
Eklem
Değişkeni
Uzuv i
di
ai
αi
1
d1
d2
d3
0
-900
0
90
0
0
00
2
3
d3
0
4
0
0
-90
5
0
0
900
6
d6
0
00
176
θ1
θ2
θ4
θ5
θ6
Çok Serbestlik Dereceli Robotlar İçin Grafik Yöntemle Ters Kinematik Analiz
Şekil.2 Stanford-JPL Manipülatör İçin D-H Parametreleri
2.2. Lokal Koordinat Takımları Arasındaki
Transformasyon Matrislerinin Elde Edilmesi
i
Burada Ai −1 transformasyon matrisi , i ’inci uzva
ait yapısal parametreler cinsinden elde edilebilir [4].
pi vektörü, i ’inci koordinat takımında
(i = 1, … , n) biliniyorsa, bu vektör (i − 1) ’inci
koordinat takımında p i −1 şeklinde aşağıdaki gibi
Her bir uzuv için D-H koordinat takımları
oluşturulduktan sonra, i ’inci koordinat takımı ile
(i − 1) ’inci koordinat takımı arasındaki ilişkiyi
gösteren transformasyon matrisi aşağıdaki gibi
kolaylıkla türetilebilir.
elde edilebilir;
pi −1 = Aii−1 pi
(1)
Aii−1 = Transl (0,0, d i ) Rot ( z i ,θ i ) Rot ( xi , α i )Transl (ai ,0,0)
Aii−1
cosθ i
 sin θ
i
=
 0

 0
− cos α i sin θ i
cos α i cosθ i
sin α i
0
sin α i sin θ i
− sin α i cosθ i
cos α i
0
Bu operasyonlarla amaç, (i − 1) ’inci koordinat
takımının ekseni ile buna karşılık gelen i ’inci
koordinat takımının eksenini hizalamaktır. Elde
edilen transformasyon matrisleri aşağıda verilmiştir.
(2)
ai cosθ i 
ai sin θ i 
di 

1 
(3)
i
T0i = A01 A12 … Aii−1 = ∏ Ajj−1
j −1
 x yi zi pi 
= i

0 0 0 1 
(i = 1, … , n)
(4)
[xi yi z i ]: i ’inci uzuv üzerinde kurulan i ’inci
2.3. Temel Transformasyon Matrisinin Elde
Edilmesi ve Verilen Probleme Uygun Çözümün
Bulunması
i ’inci koordinat takımının temel koordinat takımına
i
i
göre olan konumunu gösteren T0 matrisi, Ai −1
koordinat takımının yer koordinatlarına göre (3 x 3)
boyutundaki oryantasyon matrisi.
matrislerinin zincirleme çarpımıdır:
177
Ertaş ve Özkan
[ pi ] :
pozisyon vektörlerinin bileşenleri şeklinde ifade
edilebilir:
Temel koordinat takımının orijininden i ’inci
koordinat takımının orijinine yönelmiş olan (3 x 1)
boyutundaki konum vektörü.
 n x0
n
6
T0 =  y0
 n z0

 0
Stanford-JPL endüstriyel manipülatör için elde
edilen D-H çözüm metoduna dayalı matris
çarpımları EK’de verilmiştir.
İleri kinematik denklemleri böylece, bir manipülatör
için tesis edilmiştir. Bu denklemler, manipülatörün
eklem değişkenlerinin değerleri bilindiğinde, temel
kartezyen koordinat sisteminde manipülatör
üzerindeki bir noktanın pozisyonunu hesap etmek
için kullanılabilirler.
o x0
o y0
o z0
0
n s a
T06 = 
0 0 0
a x0
a y0
a z0
0
p x0 
p y0 
p z0 

1 
(5)
p0 
1 
T06 = A01 A12 A23 A34 A45 A56
Uç-tutucu için kartezyen bir koordinat takımının
tanımlanmasında özel notasyonlar kullanmak üzere
ortak bir yöntem bulunmaktadır. Böyle bir koordinat
sistemi, koordinat takımının orijini olarak vazife
gören tutucunun merkezinden çıkan n, o ve a
birim vektörlerinden ibarettir.
(6)
O halde, (5) ve (6) denklemlerindeki değerler
eşitlenerek n, o, a ve p 0 vektörlerinin bileşenleri,
eklem pozisyonları ve yapısal parametreler
cinsinden yazılabilir. Bunlar Tablo.3’de verilmiştir.
6
Aşağıda olduğu gibi , T0 matrisi, oryantasyon ve
Tablo.2: Stanford-JPL Manipülatör İçin D-H Koordinat Takımına Göre Elde Edilen Transformasyon Matrisleri
cosθ 1
 sin θ
1
1
A0 = 
 0

 0
0 − sin θ 1
0
cosθ 1
−1
0
0
0
0
0 
d1 

1
cosθ 4
 sin θ
4
4
A3 = 
 0

 0
0 − sin θ 4
0
cosθ 4
−1
0
0
0
cosθ 2
 sin θ
2
2
A1 = 
 0

 0
0 sin θ 2
0 − cosθ 2
1
0
0
0
0
0 
d2 

1
cosθ 5
 sin θ
5
5
A4 = 
 0

 0
0 sin θ 5
0 − cosθ 5
1
0
0
0
cosθ 6
 sin θ
6
6
A5 = 
 0

 0
− sin θ 6
cosθ 6
0
0
1
0
3
A2 = 
0

0
0
1
0
0
0 0
0 0 
1 d3 

0 1
178
0
0
0

1
0
0
0

1
0 0
0 0 
1 d6 

0 1
Tablo.3: Stanford-JPL Manipülatör İçin Eklem Değişkenlerine Bağlı Olarak Uç-Tutucunun Temel
Koordinatlardaki Pozisyon ve Yönlenmesine Ait Denklemler
p x0 = c1 [c 2 c 4 s5 d 6 + s 2 (d 3 + c5 d 6 )] − s1 (s 4 s5 d 6 + d 2 )
p y0 = s1 [c 2 c 4 s5 d 6 + s 2 (d 3 + c5 d 6 )] + c1 (s 4 s5 d 6 + d 2 )
p z0 = − s 2 c 4 s5 d 6 + c 2 (d 3 + c5 d 6 ) + d1
n x0 = c1 [c 2 (c 4 c5 c6 − s 4 s 6 ) − s 2 s5 c6 ] − s1 (s 4 c5 c6 + c 4 s 6 )
n y0 = s1 [c 2 (c 4 c5 c6 − s 4 s 6 ) − s 2 s5 c6 ] + c1 (s 4 c5 c6 + c 4 s 6 )
n z0 = − s 2 (c 4 c5 c6 − s 4 s 6 ) − c 2 s5 c6
o x0 = c1 [− c 2 (c 4 c5 s 6 + s 4 c6 ) + s 2 s5 s 6 ] − s1 (− s 4 c5 s 6 + c 4 c6 )
o y0 = s1 [− c 2 (c 4 c5 s 6 + s 4 c6 ) + s 2 s5 s 6 ] + c1 (− s 4 c5 s 6 + c 4 c6 )
o z0 = s 2 (c 4 c5 s 6 + s 4 c6 ) + c 2 s5 s 6
a x0 = c1 (c 2 c 4 s5 + s 2 c5 ) − s1 s 4 s5
a y0 = s1 (c 2 c 4 s5 + s 2 c5 ) + c1 s 4 s5
a z0 = − s 2 c 4 s 5 + c 2 c 5
Stanford-JPL manipülatörü için verilen fiziksel
boyutlar da d 1 = 412.5 mm , d 2 = 153.67 mm ,
2.4 Örnek Problem
Stanford-JPL manipülatörü için aşağıda verilen
oryantasyon vektörleri ve pozisyon vektörüne uygun
eklem değişken değerleri bulunacaktır.
d 6 = 262.9 mm , şeklindedir [4].
p x0 = 212.8183 mm
T06 = A01 A12 A23 A34 A45 A56
p y0 = 411.9901 mm
n s a
T06 = 
0 0 0
p z0 = 423.2512 mm
n x0 = −0.7614
p0 
1 
(7)
şeklinde verilen eşitliğin sağ tarafında verilen
değerler problemde verildiğine göre, eşitliğin sol
tarafındaki matris çarpımlarının uygun şekilde
eşitliğin diğer tarafına geçirilmesiyle tüm eklem
değişkenleri bulunabilir.
n y0 = 0.6475
n z0 = 0.0311
o x0 = 0.0907
o y0 = 0.0589
( )
A12 A23 A34 A45 A56 = A01
o z0 = 0.9941
a x0 = 0.6419
−1
n s a
0 0 0

p0 
(8)
1 
Bu şekilde eşitliğin sağ tarafında elde edilen matris
çarpımı, eşitliğin solunda bulunan ve Ek-A’da
verilen matris çarpımıyla karşılaştırıldığında bu
(4x4) matrislerin karşılıklı (3,3) ve (3,4) elemanları
eşitlenerek θ 1 açısı aşağıdaki şekilde bulunur.
a y0 = 0.7598
a z0 = −0.1036
r=
(a
x0
d 6 − p x0
) + (a
2
y0
d 6 − p y0
)
2

 a y0 d 6 − p y0 
d2
−1
 − tan 
± r 2 − d22
 a x0 d 6 − p x0 

θ1 = tan −1 
179
(9)

 + kπ


(10)
Ertaş ve Özkan
Diğer eklem değişkenleri için de benzer şekilde çözümler bulunabilir ve aşağıdaki gibi tüm eklem değişkenleri
bulunur.
(
) (
)
 p y0 − a y0 d 6 s1 + p x0 − a x0 d 6 c1 
 + kπ
p z0 − d1 − d 6 a z0


θ 2 = tan −1 
[(
) ]
) (
(
(11)
)
d 3 = p y0 − a y0 d 6 s1 + p x0 − a x0 d 6 c1 s 2 + p z0 − d1 − d 6 a z0 c 2


 + kπ
 c 2 a x0 c1 + a y0 s1 − a z0 s 2 
θ 4 = tan −1 
(
− a x0 s1 + a y0 c1
)
( (
)
(13)
) (
)
)
 c 4 c 2 a x0 c1 + a y0 s1 − a z0 s 2 + s 4 − a x0 s1 + a y0 c1 
 + kπ
s 2 a x0 c1 + a y0 s1 + a z0 c 2


θ 5 = tan −1 
(
( (
( (
)
)
)
)
(
(
)
)
 − s 4 c 2 n x0 c1 + n y0 s1 − n z0 s 2 + c 4 − n x0 s1 + n y0 c1 
 + kπ
 − s 4 c 2 o x0 c1 + o y0 s1 − o z0 s 2 + c 4 − o x0 s1 + o y0 c1 
θ 6 = tan −1 
(12)
(14)
(15)
Problemde verilen değerlere göre elde edilen eklem
değişkenleri aşağıda verilmiştir.
Tablo.4: Stanford-JPL Manipülatör İçin
Metodu İle Bulunan Eklem Değişkenleri
θ1
θ2
d3
θ4
θ5
33
76
157
mm
41
26
0
0
0
0
D-H
θ6
520
3. GRAFİK YÖNTEM
Bir robot kolun uç tutucusuna belirli bir işi
yaptırmak
amacıyla
gerekli
robot
kol
konfigürasyonunu belirleme işi ters kinematiğinin
temel problemidir. Bunu {n, s, a, pG} → {θ i }
[
Şekil.3: Altı Eklemli Seri Bir Robotun Sekiz Adet
Kol Konfigürasyonu
]
şeklinde sembolize edebiliriz ki burada n, s ve a
notasyonları uç tutucunun oryantas-yonunu,
Ters kinematik çözüm için kullanılan en genel ve en
popüler analitik metot olan Denavit-Hartenberg
metodunda, seri bağlı bir manipülatörün eklem
noktalarında
tanımlanan
lokal
koordinat
takımlarındaki yapısal parametreler vasıtasıyla iki
komşu koordinat sistemini birbirine bağlayan
transformasyon matrisleri sırasıyla kullanılarak uç
tutucunun temel koordinat sistemindeki pozisyon ve
oryantasyonuna karşılık gelen eklem açıları elde
edilebilmektedir [4]. Bu genel metodun, belirtilen
her bir aşamasında ortaya çıkan çeşitli
komplikasyonlar ve transformasyon matrisinin elde
edilmesi sırasındaki aşırı dikkat gerekliliği, bu
metodun uygu1anmasını zorlaştırmaktadır. Sonuç
olarak, kolayca görüntülene-bilecek olan çözümler,
karışık matematik formüllerle dolmuştur [2].
pG
değeri uç tutucunun temel koordinatlardaki yerini ve
θ i de uygun robot kol konfigürasyonunu belirleyen
eklem
açılarını
göstermektedir.
İleri
kinematikte θ i ’lere karşılık gelen {n, s, a, pG}
değeri bir tek olmasına karşılık ters kinematikte ise,
robot kolun uygulanabilir geometrik limitleri ve
serbestlik dereceleri içinde, elde edilebilecek (en
çok) sekiz adet kol konfigürasyonu bulunmaktadır.
Bu sekiz adet konfigürasyon Şekil.1de gösterilmiştir
[5].
180
â yönündeki ∆ farklarıdır, yani uç tutucunun
Bu bakımdan ters kinematik çözüm için, Hunt [1]
tarafından önerilen ve Ridley [2] tarafından
geliştirilmek suretiyle uygulanarak kullanılan
grafiksel çözüm yaklaşımı kullanılarak, StanfordJPL endüstriyel manipülatör için, önceki bölümde
verilen problem için ters kinematik çözüm prosedürü
hazırlan-mıştır.
geometrik değerleridir.
2)
son uzvunun nˆ , oˆ ve
doğrultman kosinüsleridir.
Robot kolun son uzvunun pozisyonu da yine
O0 ( x0 , y 0 , z 0 )
koordinat
takımına
göre
4)
 xT   x G 
   
 yT  =  y G  − (∆a ⋅ aˆ + ∆o ⋅ oˆ + ∆n ⋅ nˆ ) (16)
z  z 
 T   G
Şematik planda, komşu uzuvlar arasındaki eklem
yerlerindeki dönme eksenleri ($ ) ile gösterilmekte
ve eklemin pozitif dönme yönüne göre pozitif eksen
tarafı büyük konik oklarla gösterilmiştir. Ayrıca
küçük değerlerdeki pozitif dönme açıları da şematik
planda gösterilmiştir.
(18)
1
Şekil 4.’de, örneğin; x1 ekseni, 1 nolu eklemin
dönme yapmadan önceki x eksenini belirtmekte;
x1 ekseni ise, 1 nolu eklemin dönme yaptıktan sonra
oluşan x eksenini belirtmektedir. Bu basit prosedür
tüm eklemler için belirtilmiştir. Ancak, dikkat
edilecek olursa, örneğin; $ 2 dönme ekseni boyunca
uzanan ekseni, Denavit-Hartenberg metodundaki
gibi, O2 z 2 şeklinde yeniden isimlendirmek ve
yine robotun son uzvunun oryantasyonu da;
oy
oz
(19)
bunun için de O1 x1 ekseni etrafında 900’lik ikinci
bir (sûni) eksen dönmesine zorlama işlemi yani her
bir
aktüatör ekseni boyunca bir z -ekseni
yerleştirme işlemi terk edilmiştir [1]. Yöntemin de
en can alıcı ve ilgi çekici özelliği burada ortaya
çıkmaktadır. [3]’de izah edilen yöntemde,
transformasyon matrisini elde edebilmek için gerekli
olan yapısal parametrelerin elde edilmesi amacıyla
eklem noktalarına yerleştirilen lokal koordinat
takımlarının elde edilmesi ve bu lokal koordinat
takımlarına göre de yapısal parametrelerin
belirlenmesi işlemlerinin, kimi zaman aşrı derecede
komplike olduğu düşünülecek olursa, bu şematik
gösterimin ne kadar kolay olduğu daha iyi ortaya
çıkmaktadır. Belirtmek gerekir ki, Şekil.4’de lokal
koordinat takımları elbette sağ-el kuralına
uymaktadır.
 l   0.6419 0.0907 − 0.7614 1
  
 
 m  =  0.7598 0.0589 0.6475 .0
 n  − 0.1036 0.9941 0.0311  0
 
  
(20)
 l   0.6419 
  

 m  =  0.7598 
 n  − 0.1036

  
(21)
şeklinde O0 ( x0 , y0 , z0 ) koordinat takımında
belirtilebilir. Burada;
{∆a, ∆o, ∆n} = {62.9, 0, 0}
mm
değerleri, G noktasının T’ye göre,
nˆ , oˆ ve
1)
{∆a, ∆o, ∆n} ve {lG , mG , nG } değerleri
Şekil.4’de gösterilen şematik planın çizimi
dikkatlice incelendiğinde gerçekten de çok basit bir
prosedür ile (veya belli bir prosedür dahi izlemeden)
gerçekleştirildiği görülecektir.
(17)
n x   lG 

n y .mG 
n z   nG 
koordinatlarındaki
3.3 Şematik Planın Hazırlanması
 xT   212.8183 
 0.6419  0.0907
 − 0.7614
  
 

 



 yT  =  411.5901 − 62.9 ⋅  0.7298  + 0. 0.0589 + 0 ⋅  0.6475 
 z   423.2512 
 − 0.1036  0.9941
 0.0311 
 

 



 T 
ox
robotun
özel tutucular için verilmiş özel değerlerdir.
belirlenecektir:
 l  a x
  
 m  = a y
n 
  a z
â
değerleri,
{l , m, n} değerleri ise, (2) nolu
3)
denklemden de anlaşılacağı üzere, robotun son
uzvunun, temel koordinatlardaki doğrultman
kosinüsleridir.
3.2 Robot Kolun Son Uzvunun Konumunun Elde
Edilmesi
 xT   172.4428 
  

 yT  =  363.7987  mm.
 z   429.7676 

 T 
{l , m, n} = {1, 0, 0}
181
Ertaş ve Özkan
Şekil.4: Stanford-JPL Manipülatörün Şematik Planı
3.4 Grafik Çözümün (Çizimin) Elde Edilmesi
4)
Belirtilen bu hususlar doğrultusunda Stanford-JPL
robot kolu için öngörülen grafik çözüm aşağıda adım
adım anlatılmıştır:
yarıçaplı daire çizilerek ve OW ’den bu daireye her
Üstten görünümde O0 merkezli ve d 2
iki teğet de çizilerek muhtemel iki adet O2 noktası
tespit edilir ve OW ’den O2 ’ye ve O2 ’den de O0 ’a
x0 ve y0 eksenleri üstten görünüşte çizilir.
2)
xT , yT koordinatları vasıtasıyla, üstten
görünüşte T noktası işaretlenir.
3)
T noktasından − {L, M } = −k {l , m}
yönünde mesafeleri ölçülerek OW (O5 ) bilek
1)
doğrular çizilmek suretiyle üstten görünümde iki
adet robot konfigürasyonu elde edilir.
5)
Yan görünümde O0 ’dan z0 yönünde “ d1 ”
kadar mesafe işaretlenerek yan görünümde çakışık
olan O1 ve O2 noktaları bulunur.
merkezi üstten görünümde bulunur.
182
6)
matrisinin oluşturulmasında kullanıcıya pek çok
zorluk çıkarmaktadır. Buna karşılık grafik metotta,
birkaç basit analitik hesaplamanın ardından grafik
çizimler yardımıyla ters kinematiğin çözümü daha
kolay elde edilebilmektedir. Yapmış olduğumuz
çalışmada analitik ve grafik metotlarla elde edilen
sonuçlar birbirinin aynısı çıkmıştır.
Üstten görünümdeki T ve OW noktaları
z 0 eksenine dik olacak şekilde
yan görünüme
indirilir.
7)
zT mesafesi yan görünümde belirlenir ve
T noktasından inilen dik ile birleştirilerek T
noktası bulunur. T ’den − N = − k ⋅ {n} yönünde
Grafik
çözüm,
öngörülen
“düz
doğru
trigonometrisi”ni
sağlayan
her
robot
konfigürasyonunda uygulanabilir. Burada Ridley [2]
tarafından yapılan çalışmadan farklı olarak prizmatik
ekleme sahip bir konfigürasyon çalışılmıştır.
doğru çizilerek, bu doğru OW ’den indirilen doğru
ile çakıştırılmak suretiyle yan görünümde OW
noktası bulunur.
OW ve
8)
O2 noktası yan görünümde
Robot kolun yaptığı hareketin takip edilebilmesi
bakımından grafik metot, analitik metoda göre
görsel olarak da bir avantaj sunmaktadır. Bu, bize
simülasyon kolaylığı sağlamaktadır. Kullanıcılar
için, analitik metoda alternatif bir çözüm metodu
sunulmuştur.
birleştirilerek yan görünümde konfigürasyon
belirlenir.
9)
Bilek konisini çizmek için; yandan
görünümde, 4 nolu eklemin dönme ekseni uzatılır ve
OW merkezli ve “k” yarıçaplı bir daire parçası
çizilir.
Yan görünümde T noktasından, 4 nolu
10)
eklemin dönme eksenine dik inilerek, bu dikin daire
parçasını kestiği iki nokta ile OW noktası
Ayrıca, grafik metot için ilk bakışta bir dezavantaj
olarak ortaya çıkan hassasiyet problemi bir
bilgisayar
çizim programı vasıtasıyla bertaraf
edilmiştir. İleriki çalışmalarda, grafik metot için, bir
bilgisayar programı vasıtasıyla, verilen oryantasyon
ve pozisyona göre robot kol konfigürasyonunun elde
edilmesi için bir program da yazılabilir.
birleştirilerek iki adet “k” doğru parçası (yarıçap)
elde edilir. 4 nolu dönme ekseninin uzantısı ile bu
yarıçaplar arasındaki açı θ 5 açısını verir.
Çözümün tamamlanması için gerekli olan,
10. maddede elde edilen daireyi kesen
11)
noktadan OW O2 doğrusunun uzantısına paralel
olacak şekilde bir çizgi çizilir. Bu doğrunun,
OW O2 doğrusunun uzantısına dik olan doğruyu
[1] K.H.HUNT, “Particular or The General? (Some
Examples from Robot Kinematics)”, Mechanism
and Machine Theory, Vol. 21, No. 6, 1986, pp. 481487.
nokta arasındaki mesafe kadar yarıçapı olan bir
ikinci daire çizilir. T noktasından OW O2
doğrusunun uzantısına paralel olacak şekilde bir
çizgi çizilir ve bu doğrunun ikinci çizilen daireyi
kestiği nokta işaretlenir. Bu nokta ile merkez
birleştirilir. Daire ekseni ile bu (yeni) doğru
arasındaki açı θ 4 açısını verir.
[2] P.R. RIDLEY, “Robot Kinematics-I. Graphical
Solution of The Inverse Equations of Closure”,
Mechanism and Machine Theory, Vol. 29, No. 7,
1994, pp. 1043-1052.
[3] J.DENAVIT, R.S. HARTENBERG, “A
Kinematic Notation for Lower-Pair Mechanisms
Based on Matrices”, Journal of Applied Mechanics,
Vol. 22, 1955, pp. 215-221.
Tablo.5: Stanford-JPL Manipülatör İçin Grafik Metot İle
Bulunan Eklem Değişkenleri
330
θ2
760
d3
157
mm
θ4
410
uç–
5. KAYNAKLAR
kestiği nokta ve bu dikin OW O2 doğrusunu kestiği
θ1
θ6
tutucu açısının çözümü, kullanıcının inisiyatifine
bırakılmak kaydıyla basit analitik yöntemlerle elde
edilebilir.
[4] A.J.KOIVO, “Fundamentals for Control of
Robotic Manipulators”, John Wiley & Sons Inc.,
1989.
θ5
260
[5] S.ZEGHLOUL, B. BLANCHARD, M.
AYRAULT, “SMAR: A Robot Modelling and
Simulation System”, Robotica, Vol. 15, 1997, pp.
63-73.
4. SONUÇ
Ters kinematik işlemlerinde çözüm için sunulan
analitik metot; robot eklemlerinin her birine
yerleştirilen, lokal koordinat
takımlarının
tanımlanmasında, bu lokal koordinat takımlarına
bağlı olarak yapısal parametreleri belirlemesine ve
hareketin tanımlanması için transformasyon
[6] R.P.PAUL, “Robot Manipulators: Mathematics,
Programming and Control”, MIT Press, 1981.
183
Ertaş ve Özkan
Şekil.5: Stanford-JPL Endüstriyel Manipülatör İçin Grafik Çözüm
184
EK
A45 A56 = {{c5 c6,-(c5 s6),s5,d6s5},{c6s5,-(s5s6),-c5,(c5d6)},{s6,c6,0,0},{0,0,0,1}}
(
)
A34 A45 A56 = {{c4c5c6- s4s6, - (c6s4)- c4c5s6, c4s5,
c4d6s5}, {c5c6s4 + c4s6, c4c6 - c5s4s6,s4s5, 6s4s5}, {(c6s5), s5s6, c5, c5d6}, {0,0,0,1}}
A23 (A34 A45 A56 ) = {{c4c5c6 - s4s6, - (c6s4) - c4c5s6,
c4s5, c4d6s5}, {c5c6s4 + c4s6, c4c6 - c5s4s6, s4s5,
d6s4s5}, {-(c6s5), s5s6, c5, d3 + c5d6}, {0,0,0,1}}
(
)
A12 A23 A34 A45 A56 = {{-(c6s2s5) + c2(c4c5c6 - s4s6),
s2s5s6 + c2(-(c6s4) - c4c5s6), c5s2 + c2c4s5, (d3 + c5d6)s2
+ c2c4d6s5}, {c2c6s5 + s2(c4c5c6 - s4s6), -(c2s5s6) + s2((c6s4) - c4c5s6), -(c2c5) + c4s2s5, - (c2(d3 + c5d6)) +
c4d6s2s5}, {c5c6s4 + c4s6, c4c6 - c5s4s6, s4s5, d2 +
d6s4s5}, {0, 0, 0, 1}}
(
)
T = A01 A12 A23 A34 A45 A56 = {{-(s1(c5c6s4 + c4s6))
+ c1(-(c6s2s5) + c2(c4c5c6 - s4s6)), -(s1(c4c6 - c5s4 s6))
+ c1(s2s5s6 + c2(-(c6s4) - c4c5s6)), -(s1s4s5) + c1(c5s2 +
c2c4s5), c1((d3 + c5d6)s2 + c2c4d6s5) - s1 (d2 + d6s4s5)},
{c1(c5c6s4 + c4s6) + s1(-(c6s2s5) + c2(c4c5c6 - s4s6)),
c1(c4c6 - c5s4s6) + s1(s2s5s6 + c2(-(c6s4) - c4c5s6)),
c1s4s5 + s1(c5s2 + c2c4s5), s1((d3 + c5d6)s2 + c2c4d6s5)
+ c1(d2 + d6s4s5)}, {-(c2c6s5) - s2(c4c5c6 - s4s6), c2s5s6
- s2(-(c6s4) - c4c5s6), c2c5 - c4s2s5, d1 + c2(d3 + c5d6) c4d6s2 s5}, {0,0,0,1}}
NOT:
si = sin θ i ; ci = cos θ i
(i = 1,…,6)
185
YAPISAL SİSTEMLERİN TİTREŞİMLERİNİN
BULANIK MANTIKLI KONTROLÜ
Rahmi GÜÇLÜ
Yıldız Teknik Üniversitesi, Makine Mühendisliği Bölümü, Beşiktaş, İstanbul
[email protected]
ÖZET
Bu çalışmada, çok serbestlik dereceli bir yapının depreme karşı aktif sismik izolasyonunu gerçekleştirmek amacı
ile bulanık mantığa dayalı bir kontrolcü tasarlanmıştır. Simülasyonu gerçekleştirilen sistem, dört serbestlik
derecesine sahiptir. Deprem etkisini temsilen yapının temeline bozucu bir giriş uygulanmıştır. Bu çalışmada,
doğrusal bir motor aktif izolatör olarak kullanılmaktadır. Çalışmanın sonunda, katların yerdeğişimleri, kontrol
voltajının zaman cevabı ile kontrolcüsüz ve bulanık mantık kontrolcülü yapının frekans cevapları elde edilmiş ve
sonuçlar irdelenmiştir.
Anahtar Kelimeler: Bulanık mantıklı kontrol, yapısal sistem, titreşim.
ABSTRACT
In this study, a fuzzy logic based controller (FLC) is designed for an active seismic isolation device considering
a multi degrees of freedom structure against earthquake. The simulated system has four degrees of freedom. The
disturbance input representing the effect of an earthquake is applied to base of the structure. In this study a linear
motor is used as the active isolator. At the end of the study the time history of the storey displacements, control
voltage and frequency response of the both uncontrolled and fuzzy logic controlled structures are presented and
results are discussed.
Keywords: Fuzzy logic control, structural system, vibration.
Control dergisinde [6] yayınlandığında, 1965 deki
teknik topluluğa ilk sunulan çalışma olmasından
dolayı olağanüstü bir ilgi gördü. Bu tarihten sonra,
bu konu birçok bağımsız araştırmanın odağı haline
geldi. Bulanık mantığa gösterilen ilgi, bulanık
mantık kullanılan mevcut popüler tüketim
ürünlerinin sayısını arttırdı [7]. Rao, taşıt
titreşimlerinin aktif kontrolünde bulanık mantıklı
kontrölcü kullanmıştır [8]. Bu çalışmada, 4
serbestlik dereceli bir yapıda, temsili deprem girişine
karşı aktif sismik izolasyonu sağlamak için bulanık
mantıklı kontrolcü kullanılmıştır. Yapısal sistemin
kontrolcülü ve kontrolcüsüz durumlar için zaman ve
frekans cevapları elde edilmiştir.
1. GİRİŞ
Yapısal titreşimlerin kontrolü, oldukça hızlı bir
gelişme göstermiştir. Elastik yatak kullanılarak
titreşim izolasyonunu gerçekleştirmek, pasif titreşim
kontrol metodlarının en yaygın olanlarındandır.
Kauçuk yaprak ve çelik plakalar içeren elastik yatak,
temeline deprem girişi etki eden yapısal sistemlerde
oldukça etkilidir [1]. Ayrıca, literatürde yarı aktif
titreşim metodları da mevcuttur. Yoshida ve Fujio
titreşim kontrolünde, viskoz sönüm katsayısı
değiştirilen yarı aktif bir kontrol metodunu temele
uygulamıştır [2]. Son yıllarda, deprem kaynaklı
titreşimleri izole etmek için kullanılan aktif ikaz
edicilerle ilgili yapılmış çalışmalar vardır.
Fukushima ve diğerleri, yüksek binalarda rüzgar ve
depremden kaynaklanan titreşimleri azaltmayı
amaçlayan aktif-pasif kompozit ayarlı kütle
sönümleyiciler
geliştirdiler
[3].
Binalarda,
belirsizlikler ve sabit olmayan sistem parametreleri
mevcut olduğundan, yapıların aktif kontrolü için
robust kontrol metodları önerilmektedir [4]. Gerçek
binalar non-lineer karaktere sahip olduğundan,
kayan kipli kontrol sistemiyle etkili sonuçlar elde
edilmektedir [5].
2. YAPISAL SİSTEMİN DİNAMİK MODELİ
Yapısal sistemin tüm hareketi yatay doğrultuda
incelenmiştir. Depremin yıkıcı etkileri ve rüzgar
rahatsızlıkları, yatay titreşimlerin bir sonucu olarak
ortaya çıktığından, serbestlik derecesi sadece bu
yönde göz önüne alınmıştır (Şekil 1). Herbir katın
kütlesi sırasıyla m0, m1, m2 ve m3 olup x0, x1, x2 ve
x3 de ilgili katların yatay yerdeğişimleridir. Katlara
ait tüm yay ve sönüm elemanları, yatay yönde
hareket etmektedir. Sistem parametreleri, Ek’te
verilmiştir.
Bulanık mantık, Dr. Lotfi Zadeh tarafından “Bulanık
Set” seminer çalışması olarak, Information and
187
Güçlü
kullanılır. Bir bulanık mantıklı kontrolcü başlıca
aşağıdaki bileşenlere sahiptir.
(i)
Ölçülen
değişkenleri
uygun
sözcük
değişkenlerine dönüştürmek ve grafiklendirmek için
bir bulanıklaştırma ara yüzü (fuzzyfier).
(ii) Bilgi tabanı ile uyumlu bir kontrol kural
tabanı dili.
(iii) Ölçülen değişkenlere dayanarak bulanık
mantıklı kontrol işlemini sonuçlandıracak bir karar
verici mantık.
(iv) Kontrol edilmekte olan sisteme girilmesi için
bulanık olmayan kontrol girişlerini vermek üzere
sonuçlandırılmış, sözcüklere bağlı kontrol işlemini
dönüştürmek
ve
grafiklendirmek
için
bir
bulanıklaştırmadan ayırma ara yüzü (defuzzyfier).
Bulanıklaştırıcı, sözcüklere bağlı değişken kümesini
(bulanık kümeler) ve bunların üyelik fonksiyonlarını
kullanarak herbir giriş değişkeni değerini ilgili
bulanık değişkenlere çevirir. Örneğin, Şekil 2.a’da,
bulanık kümeler negatif büyük, negatif küçük, sıfır,
pozitif küçük, pozitif büyük ( nb, ns, zo, ps, pb)
olarak yi uzayında tanımlanmışlardır. İlgili üyelik
fonksiyonları vasıtası ile kendi sözcük uzayında
yi’nin herhangi bir değeri, aynı zamanda değişik
üyelik dereceleri ile farklı bulanık kümelere ait olur.
En çok kullanılan üyelik fonksiyonları üçgen, çan ve
trapez biçimleridir. yi’nin 0.5 değeri, 0.6 üyelik
değeri ile hem ps ve 0.17 üyelik değeri ile hem de
zo’a ait iken, nb, ns ve pb’ye ait üyelik değerleri 0
dır. Bulanık karar verme sistemi, bulanık giriş
değişkenlerini bulanık çıkış değişkenleri kümelerine
dönüştürür. Şu şekilde bulanık mantık kuralları
kümesini içerir: EĞER {Kural Dayanağı}, O
HALDE {Kural Sonucu}. {Kural Dayanağı}
sonuçları 0 ve 1 arasında değişen gerçek sayılardan
oluşan bulanık mantık operasyonları kümesidir.
Bulanık mantığın temel işlemleri, bulanık kesişim
(VE), bulanık bileşim (VEYA) ve bulanık
olumsuzlamadır (DEĞİL). Bunların işlemcileri
bulanık kümelerdir. VE (VEYA) işleminin sonucu
iki
bulanık
küme
işlemcisinin
üyelik
fonksiyonlarının minimumudur (maksimumudur);
DEĞİL işleminin sonucu, kendi bulanık küme
işleminin üyelik fonksiyonunun tamamlayıcısıdır.
{Kural Sonucu} her bir çıkış değişkeni için bir sözel
değer sağlar, gerçek değeri {Kural Dayanağı}’nın 0
ve 1 arasındaki sayısal değeridir. Bulanık kümeler
ve ilgili üyelik fonksiyonları her bir çıkış için
tanımlanmalıdır. Şekil 2.b’deki örnekte, k. kural
dayanağının sonucu 0.4 varsayılırsa sonuç, çıkış
u’nun sözcük uzayında gösterilen
şeklidir.
Bulanıklaştırmadan ayırıcı, bulanık sonuçlandırma
sisteminin sonuçlarının tekil sayısal çıkış
değişkenlerine
çevirisinden
sorumludur.
Bulanıklaştırmadan ayırma işlemini gerçekleştirmek
için çeşitli metotlar kullanılmaktadır. Bazıları:
Şekil 1. Yapısal sistemin fiziksel modeli
Sistemin hareket denklemi aşağıdadır:
[M]x + [C]x + [K ]x = Fd +
Fu
(1)
Burada, x = [ x0 x1 x2 x3 ] , Fd = [ -Fd 0 0 0 ]T ve
Fu = [ -Fu Fu 0 0 ]T dir. Fu , doğrusal motor
tarafından üretilen kontrol kuvvet vektörü, Fd ise
yapısal sisteme uygulanan bozucu kuvvet
vektörüdür. [M] , [C] ve [K] sırasıyla kütle, sönüm
ve katılık matrisleri olup, Ek’te sunulmuştur.
Doğrusal motorun denklemi,
T
R i + K e (x 1 − x 0 ) = u
(2)
u ve i , sırasıyla bobin sargısının kontrol voltajı ve
akımıdır. R ve Ke , bobin sargısının direnç değeri ve
etki eden voltaj sabitidir. Bobin sargı akımı ile
kontrol kuvveti arasında aşağıdaki ilişki vardır:
Fu = Kf i
(3)
Kf , bobin sargısının itme sabitidir. Bobin sargısının
indüktans akımı ihmal edilmiştir. Denklem (1) ile
(3) birleştirilerek, durum uzayı formunda
denklemleri yeniden düzenlemek de mümkündür.
.
x = f (x) + [B] * Fu + [ W] * Fd
x
=[x0
x1
x2
....
T
x7 ]
(4)
olup
x 4 = x 0 , x 5 = x1 , x 6 = x 2 , x 7 = x 3
dir.
Burada, f(x) birinci derece diferansiyel
denklemlerden oluşan vektör fonksiyonları, [B]
kontrol kuvveti matrisi ve [W] bozucu kuvvet
matrisidir. f(x), [B] ve [W], Ek’te verilmiştir.
3. BULANIK MANTIKLI KONTROLCÜ
Burada, bulanık mantığa dayalı kontrol sisteminin
amacı, binaların deprem kaynaklı titreşimlerini
azaltmaktır. Bulanık mantıklı kontrolcüde, Küçük,
Orta, Büyük vs. gibi dil değişkenleri, 0 ve 1 arasında
değişen üyelik değerleri ile temel bilgiyi sunmakta
i) Bulanık çıkış bölgesinin alan merkezini tek bir
çıkış değeri olarak veren bir bulanık ara yüz sistemi
olan Mamdani metodu (Şekil 2.c).
188
Yapisal sistemlerin titreşimlerinin Bulanik mantikli kontrolü
Yapısal sistemin kontrolünde, bulanık mantıklı
kontrol sisteminin yapısı, katların hareketindeki
hatayı (x1r -x1) ve onun türevini (x1r - x 1r ) kullanır.
İki giriş değişkeni (x1r, x 1r ) ve çıkış değeri olan
kontrol kuvveti (u), Şekil 3 de gösterilmektedir.
Giriş değişkenleri olarak, katların yerdeğiştirme
hareketi ve hızındaki hatayı anlamayla ilgili
geliştirilen temel kurallar, Tablo 1 de verilmiştir.
Burada; p, n, z, b, m, s sırasıyla Pozitif, Negatif,
Sıfır, Büyük, Orta ve Küçük’ü temsil etmektedir.
Üçgen üyelik fonksiyonları tercih edilmiş, deneme
ve yanılma yaklaşımı ile iyi bir kontrolcü
performansı elde edilmesi amaçlanmıştır.
Yapısal sistemin simülasyonu, temsili deprem girişi
olarak zemine uygulanan Fd=10000 N luk bozucu bir
kuvvet için gerçekleştirilmiştir. Şekil 4.a ve 4.b,
birinci ve üçüncü katın kontrolcülü ve kontrolcüsüz
zaman cevaplarını göstermektedir. Yapının yatay
yerdeğişimleri gözönüne alındığında, kontrolcülü
yerdeğişimlerinde önemli bir gelişme olduğu
gözlenmektedir.
ii) Bulanık çıkış bölgesinin ağırlıklı ortalamasını tek
bir çıkış değeri olarak veren TVFI [9].
Şekil 2. Temel bulanık mantık işlemi
4. SİMULASYON
Şekil 3. Bulanık mantık kontrolcülü yapının kapalı çevrim modeli
Tablo 1. Bulanık Mantıklı Kontrolcünün Kural Tabanı
Hatanın hızı
Vn
Xnb
Xns
Hata
Xz
Xps
Xpb
Vz
Unm
Uns
Uz
Ups
Unb
Unm
Uns
Uz
189
Vp
Uns
Uz
Ups
Upm
Güçlü
B irin c i k a t
0 .2
0 .2
K o n t ro llü
0
Üçüncü kat
0 .4
K o n t ro llü
0
-0 . 2
-0 . 2
-0 . 4
x (m )
K o n t ro ls ü z
K o n t ro ls ü z
-0 . 6
3
-0 . 6
1
x (m )
-0 . 4
-0 . 8
-0 . 8
-1
-1
-1 . 2
-1 . 2
-1 . 4
-1 . 4
0
10
a)
20
t (s )
30
-1 . 6
40
0
10
b)
20
t (s )
30
40
Şekil 4. Birinci ve üçüncü katların kontrollü ve kontrolsüz zaman cevapları
Şekil 5. Kontrol voltajı
Yapısal sistem, 4 serbestlik dereceli olduğundan
yapının doğal frekansları; 2.5, 7 ve 12.5 Hz
civarında çakışık iki değerden oluşmaktadır. Şekil 6
-4 0
ve 7, kontrolcülü ve kontrolcüsüz durumlar için
sırasıyla ilk ve en üst katın yerdeğişim ve
ivmelerinin frekans cevaplarını göstermektedir.
40
K o n t ro ls ü z
K o n t ro llü
K o n t ro ls ü z
K o n t ro llü
20
-6 0
0
[dB ]
-2 0
1
1
a /F
d
-1 0 0
x /F
d
[dB ]
-8 0
-4 0
-1 2 0
-6 0
-1 4 0
-1 6 0
0
10
a)
-8 0
1
10
fre k a n s (H z )
10
2
-1 0 0
0
10
1
10
fre k a n s (H z )
b)
10
2
Şekil 6. Birinci katın kontrollü ve kontrolsüz frekans cevapları
190
Yapisal sistemlerin titreşimlerinin Bulanik mantikli kontrolü
-40
40
K ontrols üz
K ontrollü
K ontrols üz
K ontrollü
20
-60
0
[dB ]
-20
3
3
a /F
d
-100
x /F
d
[dB ]
-80
-40
-120
-60
-140
-160
0
10
a)
-80
1
10
frek ans (Hz )
10
-100
0
10
2
b)
1
10
frek ans (Hz )
10
2
Şekil 7. Üçüncü katın kontrollü ve kontrolsüz frekans cevapları
International Conference on Motion and Vibration
Control, MOVIC’96, Chiba, Japan, September 1-6,
1996, 1-6.
[4] Nishimura, H., Ohkubo, Y. and Nonami, K.,
“Active Isolation Control for Multi-Degree-ofFreedom Structural System”, Third International
Conference on Motion and Vibration Control,
MOVIC’96, Chiba, Japan, September 1-6, 1996, 8287.
[5] Yagiz, N., “Sliding Mode Control of a MultiDegree-of-Freedom Structural System With Active
Tuned Mass Damper”, Tr. Journal of Engineering
and Environmental Sciences, 25 (2), 2001, 651-657.
[6] Zadeh, L., “Fuzzy Sets”, Information and
Control , 8 (3), 1965, 338-353.
[7] Ross, T.J., Fuzzy Logic for Engineering
Applications , McGraw-Hill Inc., New York,
1995.
[8] Rao, M.V.C. and Prahlad, V., “A Tunable Fuzzy
Logic Controller for Vehicle-Active Suspension
Systems”, Fuzzy Sets and Systems, 85 (1), 1997, 1121.
[9] De Falco, D., Della Valle, S. and Riviezzo, E.,
“Motorcycle Traction Control System based on the
Fuzzy Adjustment of Target Slip”, 2nd International
Conference on Control and Diagnostics in
Automotive Applications, CD AUTO98, Genoa,
Italy, October 29-30, 1998, 145-154.
Frekans cevaplarından da görüldüğü üzere tüm
rezonans değerlerinde, bulanık mantık kontrolcülü
sistemde oldukça düşük genlikli eğriler elde
edilerek,
başarılı
bir
kontrol
işlemi
gerçekleştirilmiştir.
5. SONUÇ
Dört serbestlik derecesine sahip yapısal sistemin tüm
hareketi yatay doğrultuda incelenmiştir. Bulanık
mantığa dayalı kontrolcü kullanılarak, binaların
deprem
kaynaklı
titreşimlerini
azaltmak
amaçlanmıştır. Yapı, kontrol cihazı olarak kullanılan
doğrusal
motor
dinamiği
dahil
edilerek
modellenmiştir. Daha sonra, katların yerdeğişimleri,
kontrol voltajının zaman cevabı ile kontrolcüsüz ve
bulanık mantık kontrolcülü yapının frekans cevapları
elde edilerek karşılaştırılmıştır. Temsili depremin
rahatsız ediciliğine karşı bulanık mantığa dayalı
kontrolcünün tasarlanması, sismik izolasyon
performansını oldukça iyileştirmiştir. Yerdeğişimi
ve ivme cevaplarındaki gelişmeler de, aktif kontrollü
yapıların depreme karşı uygun çözüm olduğunu
göstermektedir.
6. KAYNAKLAR
[1] Kelly, J.M., Earthquake Resistant Design With
Rubber, Springer-Verlag, London, 1996.
[2] Yoshida, K. and Fujio, T., “Semi-Active Base
Isolation for a Building Structure”, Proceedings of
the 1999 ASME Design Engineering Technical
Conferences, MOVIC’99 CD Proceeding, Las
Vegas, Nevada, September 12-15, 1999, 1-6.
[3]
Fukushima, I., Kobori, T., Sakamoto, M.,
Koshika, N., Nishimura, I. and Sasaki, K.,
“Vibration Control of a Tall Building Using ActivePassive Composite Tuned Mass Damper”, Third
191
Güçlü
EK
Kütle matrisi,
[M ] =
m 0
0
0
0

0
0
m1
0
0
m2
0
0


0 

m3 
0
0
Katılık matrisi,
k 0 + k 1
[K ] =  − 0k 1
 0

− k1
0
k1 + k 2
− k2
- k2
k2 + k3
0
− k3


− k3 

k3 
0
0
Sönüm matrisi,
c 0 + c 1
[C] =  − 0c1
 0

− c1
0
c1 + c 2
− c2
- c2
c2 + c3
0
− c3


− c3 

c3 
0
0
4 Serbestlik dereceli yapısal sistemin parametreleri,
5
kg
co
mo
m1
1.7
kg
c1= c2= c3
m2
1.5
kg
R
m3
2.3
kg
Kf
ko
16000 N/m
Ke
k1= k2= k3
2600 N/m
100
0.08
1.5
2
2
N.s/m
N.s/m
Ω
N/A
Volt
Kontrol kuvveti ve bozucu kuvvet matrisleri,
0
0

0

0

[B ] =  − 1
 mo
 1

m1
0

 0















,
0
0

0

0
[W ] =  − 1

 mo
0

0
0















Durum denklemleri,
f 1 (x) = x 4 ,
f 2 (x) = x 5 ,
f 3 (x) = x 6 ,
f 4 (x) = x 7
f 5 (x) = 1/m 0 [ − (c 0 + c1 ) x 4 + c1 x 5 − (k 0 + k 1 ) x 0 + k 1 x 1 ]
f 6 (x) = 1/m1 [ − (c1 + c 2 ) x 5 + c1 x 4 + c 2 x 6 − (k 1 + k 2 ) x 1 + k 1 x 0 + k 2 x 2 ]
f 7 (x) = 1/m 2 [ − (c 2 + c 3 ) x 6 + c 2 x 5 + c 3 x 7 − (k 2 + k 3 ) x 2 + k 2 x 1 + k 3 x 3 ]
f 8 (x) = 1/m 3 [ − c 3 x 7 + c 3 x 6 − k 3 x 3 + k 3 x 2 ]
192

MAKİNALARIN GÜÇ VE HAREKET İLETİM MEKANİZMALARININ LİNEER HAREKET

Transkript

Benzer belgeler

Fizik-1 Uygulama-5

çeşitli yöntemlerle kurutulmuş hünnaptan bisküvi ve kurabiyeler için

GOT-It 2.0.1 ile Elektromanyetik Sistemlerin

3D Bilgisayar Grafikleri

LDAP Administrator ile Active Directory Yonetimi Active Directory

Araştırma derinliği Yüzeyden verilen akımın nüfüz derinliği tamamen

kendi cd`ni kendin yap - Müzik Eğitimcileri Sitesi

Sistem Analizi Ders Notları – Bölüm 2