docÖğretmen Adaylarının Ürettiği Matematik Modellerinin Bilişsel Ve
download 
Şikayet Transkript
Öğretmen Adaylarının Ürettiği Matematik Modellerinin Bilişsel Ve
Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 ÖĞRETMEN ADAYLARININ ÜRETTĠĞĠ MATEMATĠK MODELLERĠNĠN BĠLĠġSEL VE KAVRAMSAL BOYUTLARI ĠTĠBARĠYLE ĠNCELENMESĠ1 Ġbrahim Bayazit1, Duygu Uğur2 Erciyes Üniversitesi, Eğitim Fakültesi/ Kayseri, [email protected] Yunus Emre İlköğretim Okulu, Kocasinan/ Kayseri, [email protected] 1 2 ÖZET Bu çalışmada ilköğretim matematik öğretmen adaylarının problem çözme sürecinde ürettiği matematik modellerinin bilişsel ve kavramsal boyutları itibariyle incelenmesi amaçlanmaktadır. Bu kapsamda problem çözme, probleme ilişkin bilişsel modellerin matematiğe has kavramsal modeller ışığında işlendiği ve sonuçların bilişsel açıdan tekrar yorumlandığı süreç olarak değerlendirilmektedir. Araştırmaya katılan 188 öğretmen adayına literatür taraması sonucu geliştirilen açık uçlu problemlerden oluşan yazılı sınav uygulanmış, daha sonra seçilen 5 öğretmen adayıyla yarıyapılandırılmış mülakatlar gerçekleştirilmiştir. Toplanılan veriler nitel yöntemler kullanılarak analiz edilmiş ve üretilen matematik modelleri bilişsel ve kavramsal boyutları göz önünde bulundurularak uygun ve yeterli modeller ve uygun ancak geliştirilmesi gereken modeller diye iki grupta toplanmıştır. Bilişsel ve kavramsal modeller arası ilişki ve etkileşim ise mülakattan elde edilen nitel verilerden yola çıkarak aydınlanılmıştır. Bulgular bilişsel ve kavramsal modeller arasında karşılıklı bir ilişki ve etkileşimin var olduğunu göstermektedir. Uygun ve yeterli model geliştiren öğretmen adaylarının bilişsel ve kavramsal modellerinin iç içe geçtiği anlaşılmaktadır. Ayrıca, elde edilen bulgular bilişsel modellerin tek başına yeterli olmadığını, bunların uygun kavramsal modellerle desteklenmesi gerektiğini göstermektedir. Bilişsel ve kavramsal modeller arasındaki ilişki ve etkileşimin sağlıklı bir şekilde kurulup yürütülmesinin üretilen matematik modelin uygunluk ve yeterliliği noktasında belirleyici olduğu görülmüştür. Anahtar Kelimeler: Öğretmen adayları, problem çözme, matematik modelleri, bilişsel model, kavramsal model. 1 Bu makalenin özeti 21-23 Eylül 2011 tarihleri arasında İstanbul Işık Üniversitesinin ev sahipliğinde Matematikçiler Derneği tarafından düzenlenecek olan 10. Matematik Sempozyumunda sunulmak üzere bildiri sunusu olarak kabul edilmiştir. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 AN INVESTIGATION OF MATHEMATICAL MODELS PRODUCED BY PROSPECTIVE TEACHERS IN TERMS OF THEIR COGNITIVE AND CONCEPTUAL ASPECTS Ġbrahim Bayazit1, Duygu Uğur2 2 1 Erciyes Üniversitesi, Eğitim Fakültesi/ Kayseri, [email protected] Yunus Emre İlköğretim Okulu, Kocasinan/ Kayseri, [email protected] ABSTRACT This study examines prospective teachers‟ proficiency at producing mathematical models for solving non-routine problems. The study employed a qualitative inquiry to produce rich and realistic data concerning the research case at hand. Data were collected through written exam and semi-structured interviews, and they were analysed using qualitative methods that included content and discourse analysis. The research was carried out with 188 prospective elementary school mathematics teachers. Models are examined in terms of their appropriateness and sufficiency and the interactions between cognitive and conceptual components of a mathematical model are investigated. The result indicated that many prospective teachers lacked the ability to produce models that are appropriate and sufficient for the solution of problems they were given. There appears to be mutual relationships between cognitive and conceptual components of a mathematical model and each aspect influences the other. The research findings show that appropriate cognitive models are essential but not sufficient to solve mathematical problems. They should be accompanied with the conceptual models so that the problem solvers could revise their cognitive models by reflecting upon the conceptual ones throughout the problem solving. The results also show that appropriateness and sufficiency of a mathematical model depends upon the quality of relationships established between its cognitive and conceptual components. Key words: Prospective teachers, problem solving, mathematical models, cognitive model, conceptual model. Öğretmen Adaylarının Ürettiği Matematik Modellerinin Bilişsel Ve Kavramsal… 51 GĠRĠġ Matematik eğitiminin vizyonunu ve teorik temellerini oluşturmada referans kabul edilen yerli ve yabancı kaynaklarda problem çözme konusunun önemi açıkça vurgulamaktadır (Cockroft, 1982; NCTM, 1989; TTKB, 2008). NCTM (1989) problem çözme aktivitelerinin matematik öğretimi kapsamında yürütülen bütün öğrenme-öğretme etkinliklerinin bütünleşik bir parçası olarak algılanması ve uygulanması gerektiğini belirtmektedir. Matematik ders programlarının problem çözme konusu etrafında yapılandırılması gerektiği düşüncesi 1980‟li yıllardan itibaren matematik eğitimcileri tarafından dillendirilmektedir. TIMSS tarafından yapılan karşılaştırmalı çalışmaların sonuçları bu öneri ve tespitlerin doğruluğunu kanıtlamış bulunmaktadır. Problem çözme sürecini açık uçlu tartışmalarla yürüten, strateji öğretimini önemseyen ve matematik öğretimini problem çözme merkezli planlayıp uygulayan bazı uzak doğu ülkelerinin matematik öğretimi ve problem çözme alanlarında diğer ülkelere kıyasla daha başarılı oldukları görülmüştür (Cai, 2003). Ülkemizde, 2005 yılı itibariyle uygulamaya konulmuş olan matematik müfredatında problem çözme konusuna gereken önem verilmiş ve öğrencilerin problem çözme yeteneğinin geliştirilmesi yeni programın temel hedefleri arasında sayılmıştır (TTKB, 2008). Öğrencilerin uygun stratejiler geliştirip bunları gerçek yaşamla alakalı problemlerin çözümünde kullanabilmeleri ise bu alanda edinilmesi gereken en temel kazanımlardan bir tanesi olarak belirtilmektedir. Yeni programda problem çözmenin süreç eksenli bir aktivite olduğu, dolayısıyla doğru yanıtın elde edilmesinden ziyade problem çözme sürecinde öğrencilerin sergilediği düşünce ve yaklaşımlar, kullandıkları stratejiler ve eldeki problemi nasıl matematikselleştirdikleri (yaptıkları modellemeler, problemin cebirselaritmetiksel dille yeniden ifade edilmesi, vs.) üzerinde durulmasının önemi vurgulanmaktadır. Problem çözme sürecine kural temelli yaklaşılmaması, bireyin sahip olduğu bilgi ve becerilerini farklı durumlara aktarabilmesine imkân sağlayacak açık uçlu problemlere yer verilmesi önerilmektedir (a.g.e). Problem çözme dinamik ve karmaşık bir süreçtir. Kavram, kural ve prensiplerin uygulanmasından ziyade bunların ilişkilendirilmesi, modellerin üretilmesi, sonuca ilişkin tahminlerin yapılması, çıkarımlarda bulunulması, hedeflerin düzenlenmesi ve önceki bilgilerin sentezlenerek kullanılması gibi birçok zihinsel beceriyi gerektirir (Jonassen, 1997). Bu gerçek problem çözmeyi alıştırmalara ve rutin problemlere çözüm üretmenin ötesinde çok daha açık uçlu ve birey merkezli bir süreç haline getirmektedir. Problem çözmenin birey merkezli ve açık uçlu bir süreç olması bu sürecin nasıl işlediğinin anlaşılması adına evrensel bir teorinin ve kuramsal çerçevenin ortaya konulmasını güçleştirmektedir. Ancak, kullanılan problemlerin ve süreç içersinde bireyden beklenen kritik davranışların niteliği dikkate alınarak problem çözme süreci iki farklı açıdan incelenebilir ( Lester ve Kehle, 2003). Bunlardan ilki problem çözmenin matematiğin uygulamalarından ayrı öğrenildiğini, dolayısıyla matematiksel kavramlar öğrenildikten sonra bu düşüncelerin uygulamaya konması amacıyla problem çözme etkinliklerine yer verilmesi gerektiğini savunan görüştür (Lester ve Kehle, 2003). Bu bakış açısına Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 İ.Bayazit , D. Uğur 52 göre problem çözücünün problem ifadesindeki verileri daha önceden bildiği kural, formül ve bağıntılar yardımıyla matematikselleştirmesi ve ardından da gerekli işlemleri yaparak çözüme ulaşması ve yorumlaması gerekir. Ancak, problem çözmeye böyle yaklaşan bireylerin öğrendiklerinden farklı, çok daha karmaşık problemlerle karşılaştıklarında farklı yaklaşımlar sergileyerek özgün çözümler üretmede sıkıntı yaşayacakları bir gerçektir. Dolayısıyla, alıştırma ve rutin problemlerin ötesinde farklı yaklaşımların ve özgün stratejilerin kullanımını gerektiren ve yeni anlamların keşfedilmesine imkân tanıyan çok daha açık uçlu ve sıra dışı problemler için bu sürecin yeniden yapılandırılması gerekmektedir. İkinci bakış açısı ise problem çözme sürecini matematiksel bilgilerin uygulamaya konulduğu, soyutlama ve genellemelerin yapıldığı, eleştirel ve yaratıcı düşüncenin yanı sıra üst bilişsel yeteneklerin işe koşulduğu zihinsel aktiviteler bütünü olarak tanımlamaktadır (Lester ve Kehle, 2003). Bu bakış açısına göre bireylerin öncelikle üzerinde çalıştığı gerçek ya da matematiksel bir durumdan yola çıkarak problemi tanımlamaları ve varsayımları doğrultusunda problemi sadeleştirmeleri, yani probleme ilişkin gerçek modeller ortaya koymaları gerekir (Lester ve Kehle, 2003). Ardından, bu modellerin önemli özelliklerini temsil edecek matematiksel kavramların seçimini yapıp bunlarla alakalı uygun işlemleri yürüterek çıkarımlarda bulunulmaları gerekir. Son aşamada ise sürecin bir bütün olarak gözden geçirilerek değerlendirilmesinin yeterli olacağı belirtilmektedir. Dikkat edilecek olunursa bu bakış açısı problem çözme sürecini matematiksel modelleme yaklaşımı açısından ele almakta ve bireylerin kurallara dayalı çözümler üretmek yerine problem ifadesindeki ilişkileri irdelemek için anlamlı modeller geliştirmelerinin yararlı olacağını savunmaktadır. Model oluşturma, problem ifadesindeki verilerin, bilgilerin ve örüntülerin düzenlenmesini, koordine edilmesini ve boyutlandırılmasını, daha genel bir ifadeyle matematikselleştirilmesini içermektedir (Lesh ve Harel, 2003). Model, kendisi dışındaki sistemleri açıklamak, yapılandırmak ya da tasvir etmek amacıyla yazılı semboller, konuşulan diller, bilgisayar tabanlı grafikler, diyagramlar ve analojiler gibi gösterimsel araçlar içeren kavramsal sistemler olarak tanımlanabilir (Lesh ve Harel, 2003). Hestenes (2010) modeli verilen bir sistemdeki yapının temsili olarak tanımlamaktadır. Sistem birbiriyle ilişkili gerçek ya da hayali, basit ya da karmaşık, fiziksel ya da zihinsel nesneler kümesi, yapı ise bu nesneler arasındaki ilişkiler ağı olarak tarif edilmekte ve model kavramı sembolik olarak aşağıdaki gibi gösterilmektedir (a.g.e): ġekil 1: Modelin sembolik gösterilmesi Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 Öğretmen Adaylarının Ürettiği Matematik Modellerinin Bilişsel Ve Kavramsal… 53 Modelin sembolik gösteriminde yer alan kaynak, bireyin karşı karşıya olduğu problemler ve bu problemlerin üstesinden gelme çabasıdır. Blum v.d. (2006) model kullanımının en temel amacını birey için problem arz eden durumları anlamlandırma ve problemin üstesinden gelme olarak ifade etmektedir. Dolayısıyla başlı başına problem durumları ile dolu olan matematiğin bu problemleri irdelemek ve çözüme kavuşturmak için kendine has modeller üretmesi kaçınılmazdır. Bireyin kendisi için sorun arz eden problemleri çözmek amacı ile matematikten yardım alarak oluşturduğu modeller matematik modelleri, bu modellerinin oluşturulduğu süreç ise matematiksel modelleme olarak tanımlanabilir (Blum v.d., 2006). Cheng (2001; Akt. Kaf, 2007) ise modellemeyi problemleri matematiksel terimlerle gösterme ve matematik diline çevirme olarak tanımlamaktadır. Ancak bu süreç rutin problemlerin çözümünde olduğu gibi verilenlerden hareketle istenenlere ulaşmayı amaçlayan pratik formüller ya da cebirsel kurallar gibi kavramsal araçların oluşturulmasına kısıtlanamaz ( Lesh ve Doerr, 2003). Bireyin problemi çözmek için ürettiği matematik modeli problemi çözüme götürmenin ötesinde matematiksel kavramların yeniden düzenlenmesini, ilişkilendirilmesi ve gerekli hallerde ise genişletilmesini gerektirmektedir (Mousoulides v.d., 2007). Yani model oluşturma bir problem durumunu çözüme götürecek uygun algoritma ya da kuralın seçiminden daha çok çözüm için uygun aracın üretilmesini içerir (Zawojewski ve Lesh, 2003). Problem çözme sürecinin modelleme yaklaşımı açısından ele alınması bu süreci lineer bir süreç, elde edilen çözümü ise statik bir ürün olmaktan çıkarmaktadır. Sürecin aşamaları arasındaki ilişki ve etkileşimlerin göz önünde bulundurulmasını ve buna paralel olarak ta uygun ve yeterli matematik modellerinin üretilmesini gerekli kılmaktadır (Mousoulides v.d., 2007). Problem durumu ile karşı karşıya kalan birey çözüm için bir başlangıç modeli üretir; süreç içerisinde ise gerek geçmişten getirdiği gerekse problem hikâyesinde verilen bilgiler ışığında başlangıç modelini sürekli geliştirerek sonuca ulaşmaya çalışır (Jonassen v.d, 2005). Bireyin problem için ürettiği matematik modeli, bireyin zihni ile matematik arasındaki dönüşümün bir ürünüdür. Bu etkileşim devam ettiği sürece birey sürecinin başlangıç aşamasında ortaya koyduğu modeli yenileyerek geliştirmeye devam eder ve bu süreç doğru sonucun elde edilmesiyle son bulur. Üretilen bir matematik modelin bilişsel ve kavramsal olmak üzere iki temel bileşeni vardır. Eldeki problemin çözümüne ilişkin bireyin düşüncelerinden oluşan ve içsel temsiller olarak adlandırılan bilişsel modeller (Greca ve Moreira, 2002) problemin anlaşılması ve algılanması için şarttır ancak matematikselleştirilmesi için yeterli değildir. Problemin uygun bir şekilde matematikselleştirilmesi için bireyin bilişsel modellerini uygun kavramsal modeller ile desteklemesi gerekir (Norman, 1983). Kavramsal modeller bir sistemi, bir problem durumunu veya bir düşünceyi izah etmek amacıyla kullanılan araçlardır (Wu v.d., 1998). Öğretmenler, bilim adamları ya da mühendisler tarafından hedef sistemin uygun, doğru, tutarlı bir şekilde temsil edilmesi amacıyla üretilen ve beş duyuyla algılanabilen yapılar olarak ta tanımlanabilir (Norman, 1983). Bu bağlamda, matematiksel formüller, analojiler, grafikler, katı materyaller ve bilgisayar ortamında oluşturulan animasyonlar birer Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 İ.Bayazit , D. Uğur 54 kavramsal model olarak kabul edilebilir (Ornek, 2008). Bu noktada bilişsel ve kavramsal modellerin ayrık yapılar olmadığını, birbirini bütünleyen yapılar olduğunu ve bunların bileşiminin matematik modelini oluşturduğunu özellikle belirmek isteriz. Yazılı kaynaklarda farklı türden problemlerin çözümünde kullanılmak üzere üretilmiş çok sayıda modele rastlamak mümkündür; ancak bu modellerin amaca yönelik bilinçli bir şekilde kullanılması zihinsel çaba ve gayret gerektirir (Lesh, 1981). Ders kitaplarında yer alan formüller, grafikler, şekil, şema ve diyagramlar gibi kavramsal modeller statik bir yapıdadır. Bu modeller düşüncenin işe koşulması ile anlam kazanırlar. Kavramsal modeller, bireylerin bilişsel modelleri ışığında düzenlendiği ve yeniden yapılandırıldığı takdirde dinamik bir matematik modeline dönüşürler. Dolayısıyla, üretilen matematik modelinin anlaşılması için bu modeli oluşturan bilişsel ve kavramsal modellerin göz önünde bulundurulması ve bunlar arasındaki ilişki ve etkileşimin incelenmesi büyük önem arz etmektedir. Bu araştırmada öğretmen adaylarının problem çözme sürecinde ürettiği matematik modelleri bilişsel ve kavramsal boyutları itibariyle incelenmektedir. Üretilen matematik modelinin ardındaki bilişsel ve kavramsal modellerin ortaya çıkarılması ve bunlar arasındaki ilişki ve etkileşimin aydınlatılması eldeki çalışmanın önemini oluşturmaktadır. Bu amaçla, eldeki çalışmada aşağıdaki araştırma problemlerine yanıt aranmıştır: 1. Öğretmen adaylarının rutin olmayan problemlerin çözümü için uygun ve yeterli modeller üretmedeki başarı düzeyleri nedir? 2. Öğretmen adaylarının problem çözme sürecinde ürettiği matematik modellerinin ardındaki bilişsel ve kavramsal modeller arasında ne tür bir ilişki ve etkileşim vardır? 3. Bilişsel ve kavramsal modeller arasındaki ilişki ve etkileşim üretilen matematik modelin niteliğini nasıl etkilemektedir? II. YÖNTEM AraĢtırma yöntemi ve veri toplama araçları Bu çalışmada öğretmen adaylarının ürettiği matematik modellerinin bütüncül bir şekilde ele alması ve bu modellerin bilişsel ve kavramsal bileşenleri arasındaki ilişki ve etkileşimin derinlemesine incelenmesi için nitel yöntemler kullanılmıştır (Yin, 2003; Yıldırım ve Şimşek, 2008). Araştırma 2010-2011 öğretim yılı bahar döneminde Erciyes Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği Bölümünde öğrenim gören 121 tanesi üçüncü sınıf ve 67 tanesi ise dördüncü sınıf öğrencisi olmak üzere toplam 188 öğretmen adayının katılımıyla gerçekleştirilmiştir. Literatür taraması sonucu geliştirilen ve pilot çalışma neticesinde son şekli verilen açık uçlu problemden oluşan yazılı sınav 188 öğretmen adayına yaklaşık 1,5 saat süreyle eş zamanlı olarak uygulanmıştır. Sınavda kullanılan problemlerin ortak özelliği öğretmen adaylarının model oluşturmadaki yeterliliklerinin belirlenmesine ve bu modellerin bilişsel ve kavramsal bileşenleri arasındaki ilişki ve etkileşimlerin incelenmesine imkân Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 Öğretmen Adaylarının Ürettiği Matematik Modellerinin Bilişsel Ve Kavramsal… 55 tanıyacak yapıda olmasıdır. Sınav esnasında katılımcıların birbirlerinden etkilenmemeleri için gerekli önlemler alınmıştır. Katılımcılardan verilen problemlere çözüm üretmenin ötesinde, problem ifadesindeki ilişkileri nasıl tanımladıklarını, problem çözme sürecinde sergiledikleri yaklaşımları, yürüttükleri işlemleri ve kullandıkları modelleri sebepleriyle birlikte açıklamaları istenmiştir. Mülakata katılan öğretmen adayları yazılı sınav kâğıtlarının ön analizleri göz önünde bulundurularak belirlenmiştir. Ürettikleri modellerin çeşitliliği, uygunluk ve yeterliliği, modelin bilişsel ve kavramsal boyutları arasındaki ilişkileri kurmadaki yeterlilikleri dikkate alınarak 5 öğretmen adayıyla yarıyapılandırılmış mülakatlar gerçekleştirilmiştir. Mülakatta yazılı sınavda kullanılan sorular öğretmenlere teker teker yöneltilmiş, konuyla alakalı görüş ve düşüncelerini açıklamaları istenmiştir. Klinik mülakat (Gingsburg, 1981) yönteminin öngörülerinden faydalanılarak verdikleri yanıtlara göre „neden‟, „niçin‟ ve „nasıl‟ içerikli yeni sorular yöneltilerek katılımcıların konuyla alakalı bilgi ve düşüncelerinin bütün boyutlarıyla ortaya çıkarılması hedeflenmiştir. Katılımcıların problem çözme sürecinde sergiledikleri bilişsel ve kavramsal modeller ile bunlar arasındaki ilişki ve etkileşimin nasıl işlediği hususunda gerçekçi verilerin toplanması için özel gayret gösterilmiştir. Mülakatlar ses kayıt cihazları kullanılarak kaydedilmiştir. Görüş ve düşüncelerini yazılı olarak desteklemeleri için öğretmenler cesaretlendirilmiştir; buna ilave olarak önemli görülen noktalar araştırmacılar tarafından da yazılı olarak not edilmiştir. Her bir öğretmen adayıyla yapılan mülakat ortalama bir saat sürmüştür. Veri analizi Araştırmada toplanan veriler öğretmen adaylarının yazılı sınavda ürettiği matematik modelleri, bunları üretme sürecine ilişkin düşünce ve yorumları ve seçilen öğretmen adaylarıyla yürütülen mülakat kayıtlarından oluşmaktadır. Bu verilerin analizinde içerik ve söylem analizi yöntemleri kullanılmış (Miles & Huberman, 1994; Philips & Hardy, 2002), giriş kısmında sunulan literatür bilgilerinden ise kuramsal çerçeve olarak yararlanılmıştır. Analiz sürecinin ilk aşamasında öğretmen adaylarının her bir problem için ürettiği matematik modelleri ve bu modelleri oluşturma sürecinde sergiledikleri düşünce ve yorumları satır satır incelenerek problem durumunun aşamalı bir şekilde nasıl matematikselleştirildiği tespit edilmiştir. Üretilen modellerin sınav kâğıtlarında yer aldığı şekliyle kavramsal yönlerinin ön planda olduğu muhakkaktır. Ancak, problem çözme sürecinde yapılan matematikselleştirme ve model oluşturma aktiviteleri ile bu çerçevede sergilenen düşünce ve yorumlar dikkatlice incelenerek üretilen modellerin bilişsel boyutları (bilişsel modeller) tespit edilmeye çalışılmıştır. Bu kapsamda üretilen matematik modelleri öncelikle kullanılan kavramsal araçların türüne göre kodlanmıştır. Bu çerçevede üretilen kodlardan bazıları şunlardır: ARTM (Aritmetiksel araçlar), CEB (Cebirsel yazılımlar, formüller, v.s.), GR (Grafiksel gösterimler), ARTM-CEB (Aritmetiksel ve cebirsel araçlar). Daha sonra bu kavramsal araçların seçimine ve uygulanmasına yön veren bilişsel modeller de göz önünde bulundurularak Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 56 İ.Bayazit , D. Uğur üretilen matematik modelleri uygunluk ve yeterliliklerine göre kategorize edilmiştir. Bu doğrultuda öğretmen adaylarının ürettiği matematik modelleri „Uygun Ve Yeterli Modeller‟, „Uygun Ancak Geliştirilmesi Gereken Modeller‟ ve „Uygun Olmayan Modeller‟ olmak üzere üç ana grupta toplanmıştır. Uygun bilişsel modeller ışığında nicelikler ve nitelikler arası ilişkinin matematiksel olarak uygun bir şekilde temsil edildiği matematiksel modeller „Uygun ve Yeterli Modeller‟ olarak değerlendirilmiştir. Buna karşın, problemde verilen nicelikler ve nitelikler arası ilişkinin tam olarak keşfedilemediği ya da modelin bilişsel ve kavramsal boyutuna dair bir takım eksiklerinin bulunduğu modeller „Uygun Ancak Geliştirilmesi Gereken Modeller‟ olarak değerlendirilmiştir. Probleme ilişkin kritik kavramların doğru tespit edilemediği ve uygun bir şekilde matematikselleştirilemeyen modeller ise „Uygun Olmayan Modeller‟ olarak kabul edilmiştir. Ayrıca kullanılan kavramsal araçların niteliğine göre modellerin tasnifi yapılmıştır. Bu bağlamda nicelik ve nitelikler arası ilişkilerin grafikler yardımıyla incelendiği modeller „Grafiksel Modeller‟, nicelik ve niteliklerin bilinmeyen bir noktadaki ilişkilerinin semboller yardımıyla tanımlandığı modeller „Cebirsel Modeller‟ ve bu ilişkilerin tespiti için sayı ve aritmetiksel işlemlerin kullanıldığı modeller ise „Aritmetiksel Modeller‟ olarak sınıflandırılmıştır. Yazılı sınav verilerinin analizinde takip edilen yöntem ve yaklaşımlar mülakat verilerinin analizinde de tekrarlanmıştır. Ses kayıt cihazlarına depolanmış olan veriler çözümlenerek analiz işlemleri bu dokümanlar üzerinden yürütülmüştür. İlk olarak öğretmen adaylarının problem çözme sürecinde sergiledikleri düşünce ve yorumları satır satır incelenmiş, problem durumunu nasıl matematikselleştirdikleri ve bu süreçte kullandıkları kavramsal araçların tespiti yapılmıştır. Yapılan tespitler kısa kodlarla ifade edilmiştir. İkinci aşamada üretilen modellerin bilişsel ve kavramsal boyutları itibariyle incelenmesine ve bunlar arasındaki ilişkilerin irdelenmesine devam edilmiş; yapılan incelemeler neticesinde ise üretilen modeller yeterlilik ve uygunluk kriterleri çerçevesinde „Uygun Ve Yeterli Modeller‟, „Uygun Ancak Geliştirilmesi Gereken Modeller‟ ve „Uygun Olmayan Modeller‟ olmak üzere üç ana grupta toplanmıştır. III. BULGU VE YORUMLAR Çok sayıda öğretmen adayının uygun ve yeterli modeller üretme noktasında sıkıntı yaşadığını görülmüştür. Bulgular bilişsel ve kavramsal modeller arasında karşılıklı bir ilişki ve etkileşimin var olduğunu, bu ilişki ve etkileşimin doğru kurulmasının ise üretilen matematik modelinin uygunluk ve yeterliliğini belirlemede en önemli faktör olduğunu göstermektedir. Verilen problem durumuna ilişkin uygun ve yeterli matematik modeli üreten öğretmen adaylarının bilişsel ve kavramsal modellerinin iç içe geçtiği görülmektedir. Sonuçlar bireylerin uygun kavramsal ve bilişsel modellere sahip olsalar bile bunları sağlıklı bir şekilde ilişkilendirememeleri durumunda üretecekleri matematik modelinin eldeki problemim çözümünde yetersiz kalacağını ve amaca hizmet etmeyeceğini göstermektedir. Bu kısımda öğretmen adaylarının ürettiği bilişsel ve kavramsal modeller ile bunlar arasındaki ilişkilere dair yazılı sınav ve Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 Öğretmen Adaylarının Ürettiği Matematik Modellerinin Bilişsel Ve Kavramsal… 57 mülakatlardan elde edilen bulgular sunulacak, üretilen matematik modellerinin uygunluk ve yeterliliklerine ilişkin sonuçlar paylaşılacaktır. Bu inceleme İş İlanı Problemi olarak adlandırılan bir problem üzerinden yapılacaktır: Yerel gazetede pizza dağıtım işinde çalışmak isteyenler için bir ilan yer almaktadır. A şirketi her çalışanına aylık 120 TL maaş ve dağıttığı her pizza başına 1,2 TL prim vermektedir. B şirketi ise çalışanına aylık 48 TL maaş ve dağıttığı her pizza başına 1,8 TL prim vermektedir. Sizce bu şirketlerden hangisinde çalışmak daha karlıdır? Neden? Öğretmen adaylarının bu problemi çözmek amacıyla uygun matematik modeli üretebilmesi için öncelikle dağıtılan pizza sayısı ile elde edilecek kazanç arasında bir ilişkinin var olduğunu fark etmesi gerekir; ancak, bu ilişkinin fark edilmesi tek başına yeterli değildir. Satılan pizza sayısı arttıkça kazançlar arası farkın kapanacağını keşfetmeleri ve buna paralel olarak ta problem durumunu belli sayıdaki pizza satışları için değil, daha bütüncül bir yaklaşımla değerlendirip yorumlamaları gerekmektedir. Problemin çözümü için öğretmen adaylarının ürettiği matematik modelleri bilişsel ve kavramsal boyutları göz önünde bulundurularak uygunluk ve yeterlilik kriterleri çerçevesinde analiz edilmiş ve sonuçlar Tablo 1 de sunulmuştur. Tablo 1: Öğretmen adaylarının iş ilanı probleminin çözümü için ürettiği matematik modellerinin uygunluk ve yeterlilik kriterlerine göre sınıflandırılması. UYGUNLUK KULLANILAN SERGĠLENEN BĠLĠġSEL FREKA VE KAVRAMSAL YAKLAġIMLAR NS YETERLĠLĠK ARAÇLAR Her iki şirketteki maaşlar arası farkın pizza başına dağıtılan primler arası farka n=20 Aritmetik oranlanması UYGUN VE YETERLĠ Şirketlerden elde edilecek kazançların n= 63 MODELLER Cebir cebirsel olarak yazılarak kıyaslanması… Cebir–Grafik Aritmetik UYGUN ANCAK GELĠġTĠRĠL MESĠ GEREKEN MODELLER MATEMATĠK MODELĠ YOK Cebir Cebir– Aritmetik Problemin AnlaĢılamamas ı Sadece BiliĢsel Modeller Mevcut Elde edilecek kazançların cebirsel olarak yazılması ve daha sonra grafikleri çizilerek bunlar üzerinden kıyaslamaların yapılması Kazançların spesifik pizza sayıları için kıyaslanması (deneme-yanılma) Şirketlerden elde edilecek kazançlar cebirsel olarak ifade edilmiş (fonksiyonları yazılmış) ancak bu yapılar arasında ilişkiler kurularak kıyaslamalar yapılamamış… Elde edilecek kazançlar cebirsel olarak ifade edilmiş (fonksiyonları yazılmış) ancak kıyaslama değişkenlere özel değerler atanarak yapılmış… Probleme ilişkin hiçbir yorum, düşünce ya da modelin üretilememesi Problem durumu anlaşılmış, kritik kavramlar tespit edilmiş, ancak gerekli varsayımda bulunularak problem matematikselleştirilememiş Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 n=11 n=42 n=26 n=13 3 10 İ.Bayazit , D. Uğur 58 Tabloda görüldüğü üzere araştırmaya katılan 188 öğretmen adayından 94‟ü problemin çözümü için uygun ve yeterli modeller üretirken 81‟i uygun ancak geliştirilmesi gereken modeller ortaya koymuştur. Ayrıca katılımcılardan 3 tanesinin problemi bilişsel olarak yapılandıramadıkları ve kritik kavramları tespit edemedikleri için hiçbir model üretemediği görülmektedir. Katılımcılardan 10 tanesi ise pizza sayısı değiştikçe kazançların değişeceğini fark etmesine rağmen kazançların eşitlendiği kritik pizza sayısı ya da şirketlerin çalışma kapasitelerine ilişkin varsayımda bulunamadıkları için problemi matematikselleştirememiştir; yani uygun ve yeterli modeller ortaya koyamamıştır. Örneğin bu öğretmen adaylarından birinin verdiği cevap şu şekildedir: Anahtar unsur çalışan kişinin karıdır. Kârda satışa bağlı olduğu için pek yorum yapılamaz ama 120 TL’yi garanti etmek daha mantıklı çünkü satış değişir. Ama sabit ücretler garantidir. … [1522]. Bu öğretmen adayının satılan pizza sayısı değiştikçe kazançların değişeceğine dair bir algısının olduğu açıktır. Ancak “Kârda satışa bağlı olduğu için pek yorum yapılamaz…” ifadesi öğretmen adayının şirketlerden elde edilecek kazançların eşitlendiği satılan pizza sayısının da eşitleneceğini göremediği anlaşılmaktadır. Bu ise öğretmen adayının problem durumuna ilişkin bilişsel modelinde bir eksikliğin var olduğunu ve bu eksikliğin ise uygun ve yeterli kavramsal model oluşturmak için engel teşkil ettiği sonucuna bizleri götürmektedir. İlk iki kategorideki öğretmen adaylarının kazançları ifade etmek için genelde aynı kavramsal araçları (cebirsel ve aritmetiksel gösterimleri) kullanmış olmalarına rağmen kazançları kıyaslarken farklı bilişsel yaklaşımlar sergiledikleri, dolayısıyla bu durumun ürettikleri matematik modelinin uygunluk ve yeterliliğini etkilediği görülmektedir. Bilişsel ve kavramsal boyutları beraberce değerlendirilerek üretilen matematik modelleri iki ana kategoride toplanmıştır. Bu bağlamda, her iki şirketten elde edilen kazancı ve dağıtılan pizza sayısını beraber ele alıp bunlar arasındaki ilişkiyi irdeleyen ve pizza sayısındaki artışın kazanç üzerindeki etkisini gözler önüne seren modeller uygun ve yeterli modeller olarak kabul edilmiştir. Farklı kavramsal araçlar kullanmış olsalar da toplamda 94 öğretmen adayının uygun ve yeterli modeller ürettiği görülmektedir (bakınız, Tablo 1). Problemi bütüncül bir yaklaşımla ele alamayıp belli sayıdaki pizza satışları için yorumlar yapan, ortaya koydukları bilişsel ve kavramsal modelleri kazançları kıyaslama noktasında yetersiz kalan öğretmen adaylarının ürettiği modeller ise uygun ancak geliştirilmesi gereken modeller olarak değerlendirilmiştir. Bu kapsamda öğretmen adayları tarafından sergilenen düşüncelerdeki eksikliğin, yani bilişsel modellerdeki sınırlılığın, kullandıkları kavramsal modellerde de sınırlılığa sebep olduğu anlaşılmaktadır. 42 öğretmen adayının aritmetiksel işlemler yardımıyla belli sayıdaki pizza satışları için kazançları kıyasladığı ve bir tür deneme yanılma yoluyla doğru yanıtı elde etmeye çalıştıkları ancak başarılı olamadıkları görülmektedir. Katılımcılardan 26 tanesinin ise kazançları cebirsel olarak ifade ettikleri, ancak bu cebirsel ifadeleri 2 Yazılı sınavdaki 152 numaralı öğrenciyi göstermektedir. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 Öğretmen Adaylarının Ürettiği Matematik Modellerinin Bilişsel Ve Kavramsal… 59 birbiri açısından değerlendiremedikleri dolayısıyla kazançlara ilişkin doğru çıkarımlarda bulunamadıkları görülmektedir. 13 öğretmen adayı ise cebirsel olarak ifade ettikleri kazançları belli sayıdaki pizza satışları için kıyaslamışlardır. Bu öğretmen adayları her ne kadar atadıkları spesifik değerler için kazançları doğru kıyaslamış olsalar da pizza satışı-kazanç arasındaki ilişkiyi irdeleme noktasında daha genel ve bütüncül bir yaklaşım sergileyememiş ve problemin çözümüne ilişkin tatmin edici yanıtlar verememiştir. Buraya kadar sunulan bulgulardan bilişsel ve kavramsal modeller arasındaki ilişki ve etkileşimin önemli olduğu anlaşılmaktadır. Uygun ve yeterli modellerin üretilebilmesi için bu ilişki ve etkileşimin sağlıklı bir şekilde kurulup işletilmesi gerektiği açıktır. Bundan sonraki kısımda kavramsal ve bilişsel modeller arasındaki ilişki ve etkileşimleri incelemek için mülakat verilerinin analizinden elde edilen bulgular paylaşılacaktır. Mülakat verilerinin analizinden elde edilen bulgular problem çözme sürecinin başında ortaya konulan bilişsel modellerin süreç içerisinde düzenlenerek geliştirilmesinin kavramsal modellerin üretimini desteklediğini göstermektedir. Öğretmen adayı Çetin3 ile yürütülen mülakattan yapılan alıntı incelendiğinde bu durum daha iyi anlaşılacaktır (Diyalog 1): ……………………… AraĢtırmacı: … A‟nın sabit ücreti daha fazla olduğu için ve primler arası fark da az olduğu için daha kazançlıdır diyorsun. Sence bu her zaman böylemidir? Çetin: (Tereddütle) Her zaman. Çok da emin değilim ama. AraĢtırmacı: 100 pizza için düşünsen? Çetin: (Kazançları hesaplar). A daha fazla oldu. AraĢtırmacı: Peki 200 pizza için? Çetin: (Kazançları tekrar hesaplar) B daha kârlı oldu. AraĢtırmacı: O zaman bunlar arasında nasıl bir ilişki vardır? Sence hangi şirket daha kârlı? Çetin: O zaman satılan pizza sayısı arttıkça B daha kârlı olacak. AraĢtırmacı: Yani belli bir noktaya kadar A daha kârlı. Çetin: Belli bir noktadan sonra B daha kârlı olacaktır. AraĢtırmacı: O kritik noktada ne olacak peki? Çetin: (Kazançlar) eşit olur. …………………………… AraĢtırmacı: İlk başta her zaman A şirketinin kârlı olacağını söyledin. Daha sonra farklı sayılardaki pizza için denedin, böyle olmadığını gördün. Aradaki farkın kapanacağını söylüyorsun. … Şimdi de hangi noktada aradaki farkın kapanacağını soruyorum. Çetin: x tane pizza için A şirketinin kazancının 120+1,2x olduğunu düşünsem B şirketinin kazancı ona eşit olduğunda yine x olur mu ya da oraya ne demem lazım? (Düşünür). Buna farklı bir değişken söylesem 120+1,2x=48+1,8y (eşitliğini yazar) ama bu defada elimdeki tek denklemle bu pizza sayılarına 3 Katılımcıların asıl isimleri yerine kod adları kullanılmıştır. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 İ.Bayazit , D. Uğur 60 ulaşamayabilirim. Çünkü iki bilinmeyen var. Deneyerek baksam rastgele sonuçlar olur… Çetinin 100 ve 200 tane pizza satışı için hesapladığı kazançlardan yola çıkarak A şirketinin sabit ücreti fazla olduğu için her zaman daha kazançlı olacağı şeklindeki başlangıçta sergilediği bilişsel modelini düzenlediği açıkça görülmektedir. Çetin buna paralel olacak şekilde pizza sayısı yerine atadığı değişkenler üzerinden problemi matematikselleştirdiği, çözüm için yeterli olmasa da kavramsal bir model ortaya koyduğu görülmektedir. Bu durum bireyin problem ile etkileşim içersinde olduğu sürece bilişsel modellerini düzenlemeye devam edeceği görüşünü desteklemektedir (Norman, 1983). Ancak 120+1,2x ve 48+1,8y şeklinde matematikselleştirdiği kazançları kıyaslayamaması, kazançların eşit olduğu anda satılan pizza sayılarının da eşit olacağını kestirememesinden kaynaklanmaktadır. Bu sonuçlar bir yandan bilişsel modellerin kavramsal modellerin üretimine öncülük ettiğini gösterirken diğer yandan bilişsel modellerdeki sınırlılıkların uygun ve yeterli kavramsal modellerin (kazançların aynı olduğu anda pizza sayılarını temsilen aynı değişkenin kullanılması: 120+1,2x=48+1,8x) üretilmesinin önünde engel teşkil ettiği sonucuna bizleri götürmektedir. Bulgular ürettikleri grafiksel modeller yardımıyla kazançlar arası farkın kapanacağını keşfeden öğretmen adaylarının bu kavramsal modeller üzerinde düşünerek probleme ilişkin bilişsel modellerini revize edip geliştirdiklerini göstermektedir. Bu durum aşağıdaki alıntıda açıkça görülmektedir (Diyalog 2): Mesela şöyle düşünelim. (Kazançları PA=120+1,2x ve PB=48+1,8y şeklinde yazar) Mesela 1 pizza dağıtmış olursa diğeri de 1 pizza dağıtmış olursa A şirketi kârlı, belli bir seviyeye kadar mesela 2,3,4,5… Öyle bir an gelecek ki belki eşitlendiği an olacak ama ondan sonra dağıttığı pizza sayıları eşit olduğu zaman B şirketinde çalışmak daha kârlı olacak. O pizza sayısına bağlı. Grafik yaparsam belli bir seviyede… AraĢtırmacı: Peki eşit olduğu noktayı nasıl bulabiliriz? Buket: Şöyle mesela acaba her ikisi de kaç tane pizza dağıttığı zaman kazançlar eşit olabilir? (120+1,2x=48+1,8x şeklindeki eşitliği yazar ve grafiklerini çizer, bakınız Şekil 2)… …………………………… AraĢtırmacı: Farklı pizza sayıları için kazançlar eşit olamaz mı? Buket: Olabilir. AraĢtırmacı: Burada pizza sayılarını bilinmeyen cinsinden aynı aldın… Bu kazançların eşit olması anlamına mı geliyor? Buket: Doğru anlamına gelmez (Düşünür). Onu bulmamız için ne yapmamız lazım? AraĢtırmacı: Peki çizdiğin grafik üzerinde x ile gösterdiğin nokta neresidir? Buket: (Grafik üzerinde göstererek) Aynı pizzayı satmış olsa bile kazançları eşit olabilir ortada bir yerde… Evet, aynı sayıda pizza Buket: Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 Öğretmen Adaylarının Ürettiği Matematik Modellerinin Bilişsel Ve Kavramsal… 61 satıldığında kazançlar eşit olur… Bakalım devam etsek kaç çıkıyor? (Eşitliği çözer)… ġekil 2: İş ilanı probleminin çözümü için Buket tarafından üretilen matematik modeli Buket yazılı sınavda kazançları pizza sayısı yerine x ve y değişkenlerini atayarak PA=120+1,2x ve PB=48+1,8y şeklinde matematikselleştirmiş ancak bunları kıyaslayarak doğru yanıtı elde edememişti. Ancak mülakat sırasında araştırmacının yönelttiği sorular karşısında bilişsel ve kavramsal modellerini yeniden düzenlediği görülmektedir. Bir taraftan grafik çizerken diğer taraftan kazançların eşit olduğu noktada pizza sayıları da eşit olacak şekilde problemi matematikselleştirdiği (120+1,2x=48+1,8x) görülmektedir. Ancak araştırmacının „Farklı pizza sayıları için kazançlar eşit olmaz mı?‟ sorusu üzerine Buketin bilişsel ve kavramsal modellerini yeniden gözden geçirip düzenlediği görülmektedir. Bu durum bireyin tüm yönleriyle bilişsel modelinin farkında olmayabileceği, ancak yöneltilen deşeleyici sorular karşısında var olan modelini geliştirme imkanı bulacağı tezini desteklemektedir (Franco & Colinvaux, 2000; Akt. Ornek, 2008). Neticede, mülakatın sonuna doğru Buket çizdiği grafik üzerinden yorumlar yaparak kazançların eşit olduğu anda dağıtılan pizza sayılarının da eşitleneceği çıkarımında bulunmuştur. Diyalogdan Buketin bilişsel ve kavramsal modelleri arasında ilişkiler kurmaya çalıştığı, oluşturduğu kavramsal model üzerinde düşünerek bilişsel modelini revize etiği ve netice olarak ta probleme ilişkin matematik modelini sürekli geliştirdiği görülmektedir. Mülakat verilerinin analizinden elde edilen bir diğer önemli bulgu ise bilişsel ve kavramsal modeller arasında anlamsal ilişkilerin kurulamaması halinde üretilecek matematik modelinin eksik ve işlevsiz kalacağı gerçeğidir. Aşağıdaki alıntıda Engin isimli öğretmen adayının uygun bilişsel ve kavramsal modellere sahip olduğu halde bunları ilişkilendiremediği için işlevsel bir matematik modeli üretemediği görülmektedir (Diyalog 3): ……………………….. Engin: A şirketinin kazancını 120+1,2x şeklinde B şirketininkini ise 48+1,8x biçiminde yazalım… AraĢtırmacı: Burada x ile gösterdiğin ne oluyor? Engin: Prim Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 62 İ.Bayazit , D. Uğur AraĢtırmacı: Her pizza satışı için 1,2 ve 1,8 TL veriyorlar; bu durumda x prim mi pizza sayısı mı sence? Engin: Pardon, pizza sayısı tabiî ki de. AraĢtırmacı: Kazançları 120+1,2x ve 48+1,8x şeklinde yazdın; birde bunları kıyaslaman gerekecek herhalde. Engin: Evet, x yerine değerler vererek kıyaslarım (x yerine sırasıyla 100, 98 ve 95 değerlerini vererek kazançları kıyaslıyor). AraĢtırmacı: Neden özellikle bu değerleri veriyorsun; neden başka bir sayı değil de 95 verdin? Engin: Çünkü o aralıkta olacağını düşündüm… AraĢtırmacı: Belli bir noktada aradaki farkın kapanacağını düşünüyorsun, ancak bu sayının ne olduğunu kestiremiyorsun, öylemi? Engin: Yani, evet. ……………………….. AraĢtırmacı: Deneme yanılmadan başka ne yapılabilir? Farklı bir yol denesen? Engin: Başka bir fikrim yok açıkçası… AraĢtırmacı: Yaptıklarına göre pizza sayısı değiştikçe kazançlarda değişiyor, öyle değil mi? Engin: Evet, …pizza sayısı 95‟e kadarsa A şirketi daha kazançlı… AraĢtırmacı: Mesela 100 verdiğinde hangisi daha karlı olmuş? Engin: 240 (A şirketinden sağlanan kazanç) ve 228 (B şirketinden sağlanan kazanç) olmuş… AraĢtırmacı: O halde burada A‟daki mi daha karlı olmuş. 95‟e kadar demiştin biraz önce. Engin: İşlem hatası mı yapmışım? Bir hata yaptım herhalde orada… AraĢtırmacı: Peki 95 olmasın. O kritik pizza sayısı hangi değer olabilir sence? Engin: Tahminim 100 ile 98 arasında olacak… (deneme yapmaya devam eder)… ……………………….. AraĢtırmacı: Pizza sayısı değiştikçe kazançların nasıl değiştiği açık; bu değişimi daha genel bir yaklaşımla bulamaz mısın? Engin: Şurada x‟e göre değişiyor da nasıl diyeyim şimdi? …(Duraksar)… Tam da bir cevap veremeyeceğim. … AraĢtırmacı: Pizza sayısındaki değişiklik hangi şirketin kazancı üzerinde daha etkili? Engin: Öyle bir yorum yapamayız ki x‟e göre değiştiği için. …………………………………. Engin: Yani aslında olabilir bir yere kadar A şirketi bir yerden sonra B şirketi daha karlı olabilir. AraĢtırmacı: Ama önemli olan o nokta. Engin: Evet. Ben burada o noktayı yanlış bulmuşum... AraĢtırmacı: Peki üstünlüğün olmadığı o noktada kazançlar nasıl olmalı? Engin: Eşit olmalı elbette. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 Öğretmen Adaylarının Ürettiği Matematik Modellerinin Bilişsel Ve Kavramsal… 63 AraĢtırmacı: Eşit olmalıysa o noktadaki kazançları kıyaslarken ne yaparsın? Engin: O noktada denklemde x gördüğüm yere pizzaları yazdığım zaman ikisinde de eşit çıktığı için kazançlar eşit olur. Diyalogdan anlaşıldığı üzere Engin her ne kadar problemi 120+1,2x ve 48+1,8x şeklinde matematikselleştirse de bu kavramsal modelini kazançları kıyaslama noktasında işe koşamamış, pizza sayısı yerine atadığı özel değerler için kazançları kıyaslama yolunu seçmiştir. Ayrıca „Bir yere kadar A şirketi bir yerden sonra da B şirketi daha kârlı olabilir‟ şeklindeki ifadesi Enginin kritik pizza sayısına kadar şirketlerden birinin daha karlı olacağını, o pizza sayısından sonra ise üstünlüğün diğer şirkete geçeceğinin farkında olduğunu göstermektedir. Ancak bu düşüncesini ürettiği kavramsal model ile ilişkilendirememiştir. Yani öğretmen adayının bilişsel ve kavramsal modelleri arasında iletişim kuramadığı görülmektedir. Bu ilişkinin kurulamammış olması ise çözüm için işlevsel bir modelin üretilip doğru yanıtın elde edilememesinin en temel sebebi olarak karşımıza çıkmaktadır. IV. TARTIġMA VE SONUÇ Bu çalışmada İlköğretim Matematik Öğretmenliği Bölümünde okuyan öğrencilerin rutin olmayan problemlerin çözümü için ürettikleri modellerin uygunluk ve yeterliliklerinin araştırılması, bu modellerin bilişsel ve kavramsal boyutları ile bunlar arasındaki ilişki ve etkileşimlerin incelenmesi amaçlanmıştı. Çalışma öğretmen adayları tarafından üretilen modellerin söz konusu yönleriyle alakalı önemli bulgular ortaya koymuştur. Bulgular bilişsel ve kavramsal modeller arasında karşılıklı bir ilişki ve etkileşimin olduğunu göstermektedir. Bu ilişki ve etkileşimin üretilen matematik modelinin uygunluk ve yeterliliği noktasında belirleyici olduğunu göstermektedir. Nitekim probleme ilişkin uygun ve yeterli matematik modeli üreten öğretmen adaylarının bilişsel ve kavramsal modellerinin iç içe geçtiği ve bunlar arasındaki anlamsal ilişkileri sağlıklı bir şekilde kurdukları görülmektedir. Öğretmen adaylarının uygun bilişsel ve kavramsal ve modellere sahip olsalar da bunlar arasındaki ilişki ve etkileşimi sağlıklı bir şekilde kuramadıkları takdirde ürettikleri modellerin uygun ancak geliştirilmesi gereken model olarak kaldığı görülmektedir. Bu bağlamda, araştırma bulguları bir matematik modelin bilişsel ve kavramsal boyutlarına dikkat çeken, amaca hizmet noktasında uygun ve yeterli modellerin üretilebilmesi için bu iki bileşen arasındaki ilişkinin sağlıklı bir şekilde kurulup yürütülmesinin önemine vurgu yapan eğitimcilerin görüşlerini desteklemektedir (Lesh ve Carmano, 2003). Bireyin problem çözme sürecinde kullandığı prosedürler ve stratejiler ürettiği modelin en önemli parçalarıdır; kullanılan bu zihinsel ve gösterimsel araçlar bireyin eldeki durumu nasıl yorumladığı ile yakından alakalıdır (Zawojewski ve Lesh, 2003). Bireylerin probleme ilişkin uygun matematik modelleri üretebilmesi için problemi zihinsel olarak yapılandırmaları gerekir. Zihinsel yapılandırma süreci problemin sadece anlaşılmasını değil aynı zamanda probleme ilişkin tüm kritik bilgilerin tespit edilmesini, bu bilgilerin birbirleriyle Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 64 İ.Bayazit , D. Uğur ve diğer matematiksel kavramlarla ilişkilendirilerek kullanılmasını gerektirir. Eldeki çalışmada kimi öğretmen adaylarının verilen problem durumuyla alakalı tespit ettikleri kritik kavramların nasıl kullanılacağına ilişkin varsayımda bulunamadıkları, dolayısıyla bu katılımcıların problemi anladıkları ancak zihinsel anlamda tam olarak yapılandıramadıkları görülmüştür. Örneğin, Diyalog 3 te görüldüğü üzere Engin isimli öğretmen adayı belli sayıdaki pizza satışı için her iki şirketten elde edilecek kazancın eşitleneceğini ifade etmesine rağmen bu kritik pizza sayısının nasıl bulunacağına ilişkin bir düşünce ve varsayım ortaya koyamamıştır. Bu sebeple de ortaya koymuş olduğu uygun kavramsal modeli kullanamadığı anlaşılmaktadır. Çalışmanın bulguları bilişsel modellerin kavramsal modellere öncülük ettiğini göstermektedir. Öğretmen adayı Çetin ile araştırmacı arasında geçen diyalog (bakınız, Diyalog 1) bir kez daha gözden geçirilecek olursa Çetinin mülakat esnasında bilişsel modelini sürekli olarak geliştirdiği, buna paralel olarak ta cebirsel gösterimleri içeren kavramsal bir model ortaya koyduğu görülecektir. Aynı diyalogdan Çetinin bilişsel modelindeki eksikliklerin ürettiği kavramsal modelin yeterliliğini negatif manada etkilediği de anlaşılmaktadır. Ancak bilişsel ve kavramsal modeller arası iletişim ve etkileşimin çift yönlü olduğu ve süreklilik arz ettiği unutulmamalıdır. Matematik modelinin bireyin zihni ile matematik arasındaki dönüşümün bir ürünü olduğu ((Jonassen v.d, 2005)) ve sadece bilişsel modeldeki değişimin kavramsal modeli etkilemediği, benzer şekilde kavramsal model üzerinde yürütülen düşüncelerin, yapılan analiz ve yorumlarında bilişsel modellerin yeniden düzenlenmesine ve geliştirilmesine imkân sağladığı görülmektedir. Örneğin, öğretmen adayı Buketin oluşturduğu grafiksel model üzerinde yapmış olduğu analiz ve incelemeler neticesinde bilişsel modelini geliştirerek kazançların eşit olduğu anda dağıtılan pizza sayılarının da eşit olacağı çıkarımında bulunduğu görülmüştür (bkz, Diyalog 2). Bulgulardan öğretmen adaylarının ağırlıklı olarak aritmetiksel ve cebirsel araçlar içeren modeller kullanma noktasında güçlü eğilimlerinin olduğu anlaşılmaktadır. Bu tür modeller toplamda 164 öğretmen adayı tarafından kullanılmış ve bunlardan 83 tanesi uygun ve geçerli modeller, 81 tanesi ise uygun ancak geliştirilmesi gereken modeller olarak sınıflandırılmıştır (bakınız, Tablo 1). Verilen İş İlanı Problemi incelendiğinde bu problemin tek bir çözümünün olmadığı görülecektir. Çözüm için üç farklı durum söz konusudur: dağıtılan pizzalar belli bir sayıya ulaşınca kazançların eşitleneceğinin, bu kritik sayıdan önceki ve sonraki durumlarda ise hangi şirketin daha kârlı olacağının belirlenmesi gerekir. Problemin bütüncül bir yaklaşımla incelenip çözüme ilişkin üç alternatifinde ortaya konulabilmesi için grafiksel gösterimlerden oluşan kavramsal modellerin pedagojiksel açıdan çok daha uygun ve güçlü olduğu söylenebilir. Ancak, 188 öğretmen adayından sadece 11 tanesi bu modeller kullanmıştır. Geçmişten getirdikleri alışkanlıkla olsa gerek çok sayıda katılımcının (62 kişi) aritmetiksel araçlar içeren modeller kullandıkları ve bunlarında 42 tanesinin bir tür deneme yanılma yoluyla çözümü elde etmeye çalıştıkları görülmektedir. Cebirsel araçlardan oluşan modeller kullananlarında yine önemli bir kısmı (39 kişi) işlevsel modeller üretememiştir. Bütün bu veriler Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 Öğretmen Adaylarının Ürettiği Matematik Modellerinin Bilişsel Ve Kavramsal… 65 öğretmen adaylarının verilen problem durumunu temsil noktasında güçlü modeller üretmek yerine cebirsel ve aritmetiksel semboller gibi daha geleneksel araçlardan oluşan modelleri tercih ettiklerini göstermektedir. Sonuç olarak, bilişsel ve kavramsal modeller arasındaki ilişkinin öncelik sonralık ilişkisinden daha çok aynı bütünü oluşturan ve yeri geldikçe birbirine dönüşen iki bileşen arasındaki ilişki olduğu söylenebilir. Bilişsel modellerin kavramsal modellerin üretimine öncülük ettiği, buna karşın uygun kavramsal modellerin de bilişsel modellerin revize edilerek geliştirilmesine imkân sağladığı görülmektedir. Bilişsel ve kavramsal modeller arasındaki ilişki ve etkileşimin sağlıklı bir şekilde kurulup yürütülmesinin ise amaca uygun işlevsel matematik modellerin oluşturulması için gerekli oldu unutulmamalıdır. Öğretmen adaylarının ağırlıklı olarak aritmetiksel ve cebirsel araçlardan oluşan kavramsal modeller kullandıkları görülmektedir ki bu durumun aldıkları eğitimle ilişkisi olabilir. Bu sebeple, öğretmen adaylarının bu alandaki yeterliliklerinin artırılması için farklı türden gösterimlerin kullanımını gerektiren model oluşturma aktiviteleri üzerinde çalıştırılması önerilebilir. KAYNAKÇA Blum, W., Galbraith, P. L., Henn, H., & Niss, M. (2006). ICMI Study 14: Applications and Modeling in Mathematics Education. New York: Springer. Cai, J. (2003). Singaporean Students‟ Mathematical Thinking in Problem Solving and Problem Posing: An Exploratory Study. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 34(5), 719-737. Cockroft, W. H. (1982). Mathematics Count. London: Her Majesty‟s Stationary Office. Doerr, H. M., & English, L. D. (2003). A Modeling Perspective on Students‟ Mathematical Reasoning about Data. Journal for Research in Mathematics Education, 34(2), 110-136. Gingsburg, H. (1981). The Clinical Interview in Psychological Research on Mathematical Thinking: Aims, Rationales, Techniques. For the Learning of Mathematics, 1(3), 57-64. Greca, I. M., & Moreira, M. A. (2002). Mental, Physical, and Mathematical Models in the Teaching and Learning of Physics. Science Education, 1, 106-121. Hestenes, D. (2010). Modelling Theory for Math and Science Education. In Lesh, R., Galbraith, P. L., Haines, C. R., & Hurford, A. (Eds.), Modelling Students’ Mathematical Modelling Competencies: ICTMA 13 (17-18). New York: Springer. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 66 İ.Bayazit , D. Uğur Jonassen, D. H. (1997). Instructional Design Models for Well-Structured and IllStructured Problem-solving Learning Outcomes. Educational Technology Research and Development 45(1), 65-94. Jonassen, D., Strobel, J., & Gottdenker, J. (2005). Model Building for Conceptual Change. Interactive Learning Environments, 13(12), 15-37. Kaf, Y. (2007). Matematikte Model Kullanımının 6. Sınıf Öğrencilerinin Cebir Erişilerine Etkisi. Yüksek Lisans Tezi. Lesh, R. (1981). Applied Mathematical Problem Solving. Educational Studies in Mathematics, 12, 235-264. Lesh, R., & Carmano, G. (2003). Piagetian Conceptual Systems and Models for Mathematizing Everyday Experiences. In R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.,), Beyond Constructivism: Models and Modelling Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning and Teaching (s. 71-122). NJ. Mahwah: Lawrence Erlbaum Associates Inc. Lesh, R., & Doerr, H. M., (2003). Foundations of a Models and Modeling: Perspective on Mathematics Teaching, Learning, and Problem Solving. In R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.), Beyond Constructivism: A Models and Modeling Perspective on Mathematics Problem Solving, Learning and Teaching (s. 3-33). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. Lesh, R., Harel, G. (2003). Problem Solving, Modelling and Conceptual Development. Mathematical Thinking and Learning, 5(2), 157-189. Lester, K. F., Kehle, E. P. (2003). From Problem Solving to Modelling: The Evolution of Thinking about Research on Complex Mathematical Activity. In Lesh, R., Galbraith, P. L., Haines, C. R., & Hurford, A. (Eds.), Modelling Students’ Mathematical Modelling Competencies: ICTMA 13 (17-18). New York: Springer. Miles, M. B., & Huberman, A. M. (1994). Qualitative Data Analysis (An Expanded Sourcebook). London: Sage Publications. Mousoulides, N., Sriraman, B., & Christou, C. (2007). From Problem Solving to Modelling – The Emergence of Models and Modelling Perspectives. Nordics Studies in Mathematics Education, 12(1), 23-47. NCTM (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Virginia, Reston: NCTM Inc. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 Öğretmen Adaylarının Ürettiği Matematik Modellerinin Bilişsel Ve Kavramsal… 67 Norman, D. A. (1983). Some Observations on Mental Models. In D. Gentner & A. L. Stevens (Eds.), Mental Models (s. 7-14). Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum. Ornek, F. (2008). Models in Science Education: Applications of Models in Learning and Teaching Science. International Journal of Environmental and Science Education, 3(2), 35-45. Phillips, N. & Hardy, C. (2002). Discourse Analysis: Investigating Processes of Social Construction. United Kingdom: Sage Publications Inc. TTKB. (2008). İlköğretim Matematik Dersi 6-8 Sınıflar Öğretim Programı ve Kılavuzu. Ankara: Milli Eğitim bakanlığı. Wu, C., Nale, D.B., & Bethel, L.J. (1998). Conceptual Models and Cognitive Learning Styles in Teaching Recursion. Proceedings of the 29th SIGCSE Technical Symposium on Computer Science Education (s. 292-296). Yıldırım, A., & Simsek, H. (2008). Sosyal Bilimlerde Nitel Araştırma Yöntemleri. Ankara: Seçkin Yayıncılık. Yin, R. K. (2003). Case Study Research: Design and Methods. United Kingdom: Sage Publications Ltd. Zawojewski, J. S., & Lesh, R. (2003). A Models and Modelling Perspective on Problem Solving. In Lesh, R., & Doerr, H. (Eds.), Beyond Constructivism: Models and Modelling Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning and Teaching (s. 317-337). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, Sayfa 49-67, 2011 68 Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, Sayı 32, 2011
