MB5002 NÜMER K ANAL Z QUIZ I

MB5002 NÜMERK ANALZ
QUIZ I - SORU VE CEVAPLARI
1.
tan x − 2x + 1 = 0
bölme algoritmas ile
denkleminin
10−6
[1, 2]
aral§nda bir kökü oldu§unu gösteriniz. Bu kök de§erine ikiye
hassaslkla bir yakla³m yaplmak istenirse algoritmann en az kaç admn
gerçeklemek gerekir tespit ediniz.
Cevap.
f (x) = tan x − 2x + 1
olsun.
f (x)
fonksiyonu
f (1) = tan 1 − 2 + 1 = 0.55741 > 0
sa§land§ndan Ara De§er Teoremi'ne göre
“imdi
n
ve
f (x)
[1, 2]
aral§nda süreklidir. Ayrca
f (2) = tan 2 − 4 + 1 = −0.51850 × 10 < 0
fonksiyonunun verilen aralkta en az bir kökü vardr.
iterasyon saysn göstermek üzere
|pn − p| ≤ 2−n (b − a) = 2−n ≤ 10−6
n saysn tespit edelim. Buna göre 10 tabannda gerekli logaritma i³lem−n log 2 < −6 log 10 yani
e³itsizli§ini gerçekleyecek olan
leri yaplrsa
n>
elde edilir. Buradan
2.
n ≥ 20
g(x) = (3x + 19)1/3
6
= 19.932
log 2
bulunur.
fonksiyonunun
[0, ∞)
aral§nda tek türlü belirli bir sabit noktas oldu§unu gös-
teriniz.
Cevap. g 0 (x)
Her
= (3x+19)−2/3 oldu§undan sürekli g(x) fonksiyonunun [0, ∞) aral§nda türevi mevcuttur.
x ∈ [0, ∞) için g 0 (x) de§eri pozitif oldu§undan g(x) verilen aralkta monoton artandr. Dolaysyla
maksimum de§erini aral§n sa§ uç noktasnda minimum de§erini aral§n sol uç noktasnda alr.
g(∞) = ∞
oldu§undan her
ve
g(0) = 191/3 = 0.26684 × 10
x ∈ [0, ∞) için g(x) ∈ [0, ∞) elde edilir. Dolaysyla Sabit Nokta Teoremi'ne göre verilen
aralkta fonksiyonun en az bir tane sabit noktas vardr (varlk ispat).
“imdi bu sabit noktann tektürlü belirli oldu§unu göstermek için foksiyonun türevini
k
gibi birden
0
g (x) = h(x) = (3x + 19)
fonksiyonunun türevi h (x) =
−2(3x + 19)
her x ∈ [0, ∞) negatif oldu§undan h(x) fonksiyonu verilen aralkta monoton azalandr.
Dolaysyla maksimum ve minimum de§erlerini [0, ∞) aral§nn uç noktalarnda alr. Buna göre
|g 0 (0)| = 19−2/3 = 0.14044 > |g 0 (∞)| = 0
küçük bir say ile snrlamaya çal³alm:
0
−2/3
−5/3
oldu§undan türev fonksiyonunun mutlak de§erinin
x = 0'da
maksimumu vardr ve
|g 0 (x)| = (3x + 19)−2/3 ≤ max (3x + 19)−2/3 = 19−2/3 = 0.14044 = k < 1
0≤x<∞
e³itsizli§i de gerçeklendi§inden
3.
sin n12
Cevap.
∞
n=1
[0, ∞)
aral§nda yer alan sabit nokta tek türlü belirlidir (teklik ispat).
dizisinin yaknsama hzn hesaplaynz.
limn→∞ sin n12 = 0
oldu§u yaknsama hz tanmnda kullanlrsa
sin 1 − 0 = sin 1 ≤ 1 n2
n2 n2 elde edilir. Buna göre
1
sin 2 = 0 + O
n
yazlr. Yani
4.
sin n12
dizisi sfra
1
n2
1
n2
'nin sfra yaknsama hznda yaknsar.
f (x) = (x − 1) ln x fonksiyonunun x0 = 1 civarnda üçüncü Taylor polinomunu
f (0.5) de§erine bir yakla³mda bulununuz ve yakla³mda olu³an
polinom yardm ile
hesaplaynz. Bu
hata için bir üst
snr belirleyiniz.
Cevap.
f ∈ C ∞ (R) oldu§undan Taylor Teoremi her n ≥ 0 için uygulanabilir. Gerekli türevler ve x0 = 1
noktasnda ald§ de§erler a³a§daki ³ekilde hesaplanr:
f (1) = (1 − 1) ln 1 = 0,
1
f 0 (x) = ln x + 1 − , f 0 (1) = 0,
x
1
2
f 000 (x) = − 2 − 3 , f 000 (1) = −3,
x
x
Buna göre istenen üçüncü Taylor polinomu hata
1
1
+ 2 , f 00 (1) = 2,
x x
2
6
f (iv) (x) = 3 + 4 .
x
x
terimi ile beraber ξ(x) says x0 = 1
f 00 (x) =
ile
x
arasnda
olmak üzere
f (x) = P3 (x) + R3 (x)
f 000 (1)
f (iv) (ξ(x))
f 00 (1)
(x − 1)2 +
(x − 1)3 +
(x − 1)4
4!
2!
3!
3
4
(x
−
1)
2
6
(x
−
1)
= (x − 1)2 −
+
+
2
ξ(x)3 ξ(x)4
24
(x − 1) ln x = f (1) + f 0 (1)(x − 1) +
³eklinde bulunur.
f (0.5)
de§erine bir yakla³m, yukardaki Taylor polinomunda
f (0.5) ≈ P3 (0.5) = (0.5 − 1)2 −
x = 0.5
yazlmas sureti ile
(0.5 − 1)3
= 0.3125
2
olarak elde edilir. “imdi bu yakla³mda olu³an hata için bir snr belirleyelim.
x0 = 1
ξ(0.5)
says
x = 0.5
ile
arasnda olmak üzere
2
6
(0.5 − 1)4 |f (0.5) − P3 (0.5)| = |R3 (0.5)| = +
ξ(0.5)3 ξ(0.5)4
24
yazlabilir. “imdi
h(x) =
fonksiyonunun
[0.5, 1]
2
6
+
x3 x4
aral§ndaki maksimum de§erini bulmak için
h0 (x) = −
6x + 24
x5
türev fonksiyonun göz önüne alalm. Fonksiyonun türevini sfr yapan
yer almad§ndan ve her
x ∈ [0.5, 1]
için
0
h (x) < 0
x = −4
de§eri
[0.5, 1]
aral§nda
oldu§undan fonksiyon verilen aralkta monoton
azalandr. Dolaysyla maksimum ve minimum de§erlerini snrlarda alr.
2
6
+
= 112 > |h(1)| = 8
3
0.5
0.54
oldu§undan mutlak de§eri ile verilen ifade maksimum de§erini x = 0.5 noktasnda alr. Buna
(0.5 − 1)4
(0.5 − 1)4
2
6
=
|R3 (0.5)| ≤
max +
· 112 = 0.29167
0.5≤ξ≤1
24
ξ(0.5)3 ξ(0.5)4 24
|h(0.5)| =
elde edilir.
göre