1.9 En Büyük Kompaktlama olarak Stone-Cech Kom

Transkript

1.9. En Büyük Kompaktlama olarak Stone-Cech Kompaktlama
1.9
25
En Büyük Kompaktlama olarak Stone-Cech Kompaktlama
Bizim kompaktlama dememi beklemeyin lütfen!
Tümüyle düzenli her uzayın bir kompakt Hausdorff uzayın bir yoğun altuzayına homeomorfik olduğu kanıtlandı. Diğer taraftan bu özellikteki kompakt
uzay tek bir tane olmak zorunda değildir. Yani, tümüyle düzenli bir X uzay
birbirlerine homeomorfik olmayan Y ve Z kompakt Hausdorff uzayların yoğun
altuzaylarına homeomorfik olabilir. Buna karşın bu özellikteki Y ve Z uzaylarının βX uzayı arasında tanımla verilecek ”belirgin” bir ilişkisi vardır. Bahsi
geçen belirginlinlik kompakt uzayın Stone-Cech kompaktlama olmasını da karakterize eder. Önce şu tanımı verelim.
Tanım 1.4. X topolojik uzayı kompakt K uzayının yoğun bir altuzayına homeomorfik ise K uzayına X uzayın bir kompaktlaması denir.
Tümüyle düzenli X uzayinın kompaktlamalarının kümesi C(X) ile gösterilecektir. C(X) kümesinin her elemanının Hausdorff olduğu açıktır.
Aşağıdaki teorem her topolojik uzayın bir kompaktlamasının varlığını gösterir. Teoremin kanıtı kolaydır ve okuyucuya bırakılmıştır.
Teorem 1.19. (X, τX ) bir topolojik uzay ve ∞ 6∈ X olmak üzere K = X ∪{∞}
kümesi üzerine
τK = τX ∪ {K \ A : A ⊂ X
kapalı ve kompakt}
olarak tanımlansın. (K, τK ) kompakt topolojik uzaydır. Ayrıca X uzayının
kompaktlamasıdır. K uzayına X uzayının Alexandroff bir nokta kompaktlama denir.
X = (0, 1) Euclidean uzayının üç farklı kompatlamasını verebiliriz. Bunlar: [0, 1] uzayı, Aleandroff bir nokta kompaktlaması ve Stone-Cech kompaktlamasıdır. Bu uzaylar birbirlerine homeomorfik değillerdir.
X tümüyle düzenli uzay olsun. K ∈ C(X) ise, k : X → K homeomorfik
gömme olmak üzere K uzayını kX uzayı ile göstermek kolaylık sağlayacaktır.
Tanım 1.5. X tümüyle düzenli uzay olsun. C(X) kümesinde c1 X ve c2 X ∈
C(X) olmak üzere
f ◦ c2 = c1
özelliğinde sürekli f : c2 X → c1 X fonksiyonu varsa c1 X ≤ c2 X yazarız. (resim
koy ???)
26
1. Stone Cech Kompaktlama
Teorem 1.20. (Lubben, 1941) X tümüyle düzenli uzay ve
C0 = {ci X : i ∈ I} ⊂ C(X)
verilsin. Aşağıdaki anlamada C0 kümesinin en küçük üst sınırı CI X ∈ C(X)
vardır:
(i) Her i ∈ I için ci X ≤ CI X.
(ii) cX ∈ C(X) ve her i ∈ I için ci X ≤ cX ise cI X ≤ cX olur.
Q
Kanıt: CI : X → i∈I ci X fonksiyonu
cI (x) = (ci (x))
olarak tanımlansın. cI süreklidir. Çarpım uzayında cI X = cI (X) olmak üzere,
cI X ∈ C(X) olduğu açıktır. Ayrıca her i ∈ I için
ci X ≤ cI X
olur. cX ∈ C(X), her i ∈ I için
ci X ≤ cX
özelliğinde olsun. Her i ∈ I için
fi ◦ c = ci
özelliğinse sürekli fi : cX → ci X sürekli fonksiyonları vardır.
F : cX → cI X, F (x) = (fi (x))
fonksiyonunu tanımlıyalım. F fonksiyonu sürekli ve
F ◦ c = cI
sağlanır. cI X ≤ cX olduğu gösterimiş olur.
Teorem 1.21. (Stone, 1948) X tümüyle düzenli uzay olsun. Her cX ∈ C(X)
için cX ≤ c∞ X özeliğinde c∞ X ∈ C(X) vardır. Ayrıca her kompakt Hausdorff
K uzayı için sürekli her f : X → K fonksiyonunun sürekli genişlemesi f :
c∞ X → K vardır.
Kanıt: Yukarıdaki teoremden C(X) kümesinin en küçük üst sınırı vardır. Bu
uzayı c∞ X ile gösterelim. K kompakt uzay ve f : X → K sürekli fonksiyon
olsun. c∞ X × K uzayı kompakt uzay ve
c : X → c∞ X × K, c(x) = (c∞ (x), f (x))
fonksiyonu homeomorfik gömmedir.
1.9. En Büyük Kompaktlama olarak Stone-Cech Kompaktlama
27
cX = c(X) ∈ C(X)
olur. c∞ X uzayının seçiminde dolayı cX ≤ c∞ X. Tanım gereği
g : c∞ X → cX, g ◦ c∞ = c
özelliğinde sürekli g gonksiyonu vardır. P : c∞ X × Z → Z, P (a, b) = b projesksiyon olmak üzere p = P |cX diyelim.
f = p ◦ g : c∞ X → K
olarak tanımlansın.
f ◦ c∞ = p ◦ g ◦ c∞ = p ◦ c = f
olacağından ve X ve c(X) uzayları homeomorfik olduğundan, f , f ’nin bir
sürekli genişlemesidir.
Sonuç 1.22. X tümüyle düzenli uzay olsun. c∞ X ∈ CX yukarıta tanımlanan
özellikte olsun. c∞ X ve βX uzyları homeomorfiktir.
Alıştırmalar
1.15. nokrasal cebirse işlamker ve supremum nirm altında c ve c0 normlu uzayları
c = {f ∈ RN ) : limn f (n)
var}
ve
c = {f ∈ RN ) : limn f (n) = 0}
olarak tanımlıyalım. N∗ = N ∪ {∅}, N ayrık uzayının Alexandroff bir nokta kompaktlaması olsun. Aşağıdakilerin doğruluğunu kanıtlayınız.
(i) c ve C(N∗ normlu uzayları izometrikli izomorfik uzaylardır.
(i) c ve {f ∈ C(N∗ : f (∞) = 0} normlu uzayları izometrikli izomorfik uzaylardır.
1.16. X tümüyle düzenli uzay olsun. c1 X, c2 X ∈ C(X) uzayları c1 X ≤ c2 X ve c2 X ≤ c1 X
özelliğinde ise, bu uzaylara denk uzaylar denir. Aşağıdakilerin denkliklerini gösteriniz.
(i) c1 X ve c2 X uzayları denktir.
(ii) f ◦ c1 = c2 özelliğinde f : c1 X → c2 X homeomorfizması vardır.
(iii) f ◦ c2 = c1 özelliğinde f : c2 X → c1 X homeomorfizması vardır.
(iv) Kapalı her A, B ⊂ X için
c1 (A) ∩ c1 (B) = ∅ ⇐⇒ c2 (A) ∩ c2 (B) = ∅
olur.
1.17. X tümüyle düzenli uzay olsun. Her cX ∈ C(X) için cX ≤ βX olduğunu gösteriniz.

1.9 En Büyük Kompaktlama olarak Stone-Cech Kom

Transkript

Benzer belgeler

1.6 Stone-Cech Kompaktlamanın Bir Baska Insası

1.2 Stone-Cech Kompaktlama

Google ile Güvenlik Açıkları Tarama∗

1. Stone Cech Kompaktlama

EKİM 2015 - Anakent Koleji