Asimetrik GARCH Modelleri ile bir Uygulama

İMKB Piyasalarındaki Volatilitenin Modellenmesi ve Öngörülmesi:
Asimetrik GARCH Modelleri ile bir Uygulama
Murat MAZIBAŞ♣
[email protected]
Bankacılık Düzenleme ve Denetleme Kurumu (BDDK)
ÖZET
Çalışmada, 15 adet simetrik ve asimetrik GARCH modeli ile İMKB Bileşik, Mali, Hizmet ve Sınai
endekslerindeki volatilite modellenerek, örneklem dışı öngörülerde bulunulmakta ve öngörülerin güvenilirliği ele
alınmaktadır. Bu amaçla öncelikle 1997-2004 dönemine ait günlük, haftalık ve aylık volatilite verileri kullanılarak,
finansal verilerde sıkça rastlanan volatilite kümelenmesi, asimetrik fiyat hareketleri, kaldıraç etkisi ve kalın kuyruk
özellikleri araştırılmıştır. Simetrik hareketleri modelleyen GARCH modelinin yanında asimetrik hareketlerin
modellenmesinde EGARCH, GJR-GARCH, Asimetrik PARCH ve Asimetrik CGARCH modellerinden oluşan 15
modelden yararlanılmıştır. 1997-2003 dönemine ait veriler modellerin tahmininde (estimation), 2004 yılına ait veriler
ise modellerin öngörü (forecast) performanslarının değerlendirilmesinde kullanılmıştır. Tahmin edilen modellerle
günlük, haftalık ve aylık olarak öngörülerde bulunulmuş ve bu öngörüler aynı döneme ait gerçekleşen volatilite ile
karşılaştırılarak modellerin öngörü performansları değerlendirilmiştir. Değerlendirmede simetrik ve asimetrik öngörü
hatası istatistiklerinden yararlanılmıştır. Tahmin sonuçlarında, günlük, haftalık ve aylık verilerde asimetri ve kaldıraç
etkilerinin mevcut olduğu belirlenmiştir. Yapılan öngörülerde, haftalık ve aylık bazda yapılan öngörülerin daha
isabetli sonuçlar verdiği görülmüştür. Günlük öngörülerde ise, günlük verilerdeki yüksek derecedeki volatilitenin
modellenmesinde ARCH tipi modellerin yetersiz kaldığı belirlenmiştir.
Anahtar Kelimeler: Hisse senedi piyasası volatilitesi, volatilite, volatilite modellemesi, volatilite öngörüsü,
GARCH, asimetrik hareketler, kaldıraç etkisi, doğrusal olmayan modelleme.
ABSTRACT
This study evaluates the out-of-sample forecasting accuracy of fifteen symmetrical and asymmetrical
GARCH models for daily, weekly and monthly volatility in composite, financial, services and industry indices of
Istanbul Stock Exchange (ISE). Some properties of financial data namely volatility clustering, asymmetrical price
movements, leverage effects and fat-tail, has been investigated in stock market data of 1997-2004. In modeling and
forecasting stock market volatility along with classical GARCH model, EGARCH, GJR-GARCH, Asymmetrical
PARCH and Asymmetrical CGARCH models have been employed. Stock market data has been analyzed in two parts:
first part is retained for the estimation of parameters while the second part is for the evaluation of forecast accuracy. In
order to assess the forecast accuracy of each model, model forecasts has been compared with realized volatility for the
forecast period. To evaluate the performance of each model, asymmetric loss functions as well as standart
(symmetrical) loss functions has been employed. Model estimations have demonstrated the existence of asymmetry
and leverage effects in daily, weekly and monthly market data. In model forecasts, it has been found that weekly and
monthly forecasts are more precise than daily forecasts. Moreover, it has also been found that due to high volatility in
daily returns, ARCH-type models are incompetent in modeling daily volatility.
Key words: Stock market volatility, volatility modeling, volatility forecasting, GARCH, asymmetric price
movements, leverage effects, non-linear modeling.
♣
Yazar, halen Bankacılık Düzenleme ve Denetleme Kurumunda (BDDK) Bankacılık Uzmanı olarak görev
yapmaktadır. Çalışmada yer alan görüşler yazarın kendisine aittir. Görüş ve düşünceler hiçbir şekilde Bankacılık
Düzenleme ve Denetleme Kurumunu bağlamaz.
Yazar, çalışmanın gerek teorik gerekse de uygulama altyapısının oluşturulmasında ve uygulama sürecinde
yönlendirmeleri ve değerli katkılarından dolayı Dr. C. Coşkun Küçüközmen’e (BDDK) teşekkürü bir borç bilir.
İletişim bilgileri: Adres; BDDK, Atatürk Bulvarı No:191/B Kavaklıdere-Ankara, telefon; (312) 455 6641, faks; (312)
424 0875, e-posta: [email protected]
1
1
GİRİŞ
Uluslararası finansal piyasalarda son 20-25 yılda yaşanan çalkantılar ile riskten korunma ve
spekülatif gelir elde etme amacına dönük olarak türev ürünlerin özellikle de opsiyonların yoğun bir
şekilde kullanılmaya başlanması, finansal piyasalardaki hareketlerin tahmin edilmesine olan ilgiyi
artırmıştır. Finansal piyasalardaki volatilitenin nedenlerinin belirlenmesi ve bu hareketlerin
önceden öngörülmesi bu piyasalarda finansal başarının vazgeçilmez koşullarından birisi haline
gelmiştir.
Finansal piyasaların işleyiş dinamiklerinin geleneksel iktisadi yöntemlerle açıklanamaması,
bu alana sayısal yöntemlerin ve özellikle de fizik ve matematiğin artan bir şekilde girmesini
beraberinde getirmiştir. Sayısal tekniklerin giderek artan bir şekilde kullanılması ve finansal
piyasaların dinamiklerinin daha iyi anlaşılmaya başlanması, geleneksel olarak “finansman”
amaçlarına dönük olarak faaliyet gösteren bu piyasaların artan bir şekilde risk yönetimi ve
spekülasyon saikleri ile işlemeye başlamasını beraberinde getirmiştir.
Finansal piyasalardaki aşağı ve yukarı yönlü hareketler ile bu hareketlerin büyüklüğü
konusunda yapılan çalışmalar, birçok tekniğin geliştirilmesini de beraberinde getirmiştir.
Mandelbrot (1963), finansal piyasalarda işlem gören finansal varlıkların fiyatlarındaki büyük
miktarlı değişimleri büyük miktarlı, küçük miktarlı değişimleri de yine küçük miktarlı
değişimlerin takip ettiğini, diğer bir ifade ile volatilite kümelenmelerinin (volatility clustering)
oluştuğunu ifade etmektedir. Bu durum, finansal değişkenlerin en önemli karakteristik özelliği
olan statik olmayıp dinamik olma (zaman içinde değişme) özelliğini ön plana çıkarmaktadır.
Finansal piyasaların bu dinamik özelliğinin daha iyi anlaşılması ve zaman içinde değişen
volatilitenin tahmin edilebilmesi amacıyla 1980’li yıllarda Engle (1982), Bollerslev (1986) ve
Nelson (1991) tarafından ekonometrik araçlar geliştirilmiştir. Bu amaca dönük olarak Engle
(1982) tarafından Otoregressif Koşullu Değişen Varyans (ARCH) modeli geliştirilmiş, bu model
Bollerslev (1986) tarafından geliştirilerek Genelleştirilmiş ARCH (GARCH) modeli olarak
adlandırılmıştır.
Bu çalışmada, İMKB bileşik, mali, hizmet ve sınai endekslerine ait günlük, haftalık ve
aylık volatilite verilerinde, finansal verilerde sıkça rastlanan volatilite kümelenmesi, asimetrik
fiyat hareketleri, kaldıraç etkisi ve kalın kuyruk özellikleri araştırılmıştır. Volatiliteyi
modelleyebilmek için günlük ve haftalık bazda ARCH tipi değişen varyansa dayalı modeller
kullanılmıştır. Tahmin edilen modellerle geleceğe dönük öngörülerde (forecast) bulunulmuş ve bu
öngörüler gerçekleşmelerle karşılaştırılarak modellerin öngörü performansları değerlendirilmiştir.
2
TEORİ
Finansal varlıkların fiyatlarında özellikle; deregülasyon, yatırım portföylerinin uluslararası
nitelik kazanması, yeni risk azaltımı teknik ve araçları ile izlenen makro ekonomik politikalar
nedeniyle 1980 ve 1990’lı yıllarda ortaya çıkan yüksek volatilitenin nedenlerinin belirlenmesi ve
bunun ölçülmesi hem piyasa katılımcılarının hem de akademisyenlerin ilgi odağı haline gelmiştir.
Finans teorisinin temel kuralı gereği volatilitenin yükselmesi risklerin de artmasını beraberinde
getirmiştir. Finansal varlıkların fiyatlarındaki volatiliteden kaynaklanan risklerin artması yatırım
kararlarının riskler göz önünde bulundurularak verilmesini zorunlu hale getirmiştir.
Finansal piyasalardaki artan risk, piyasaların bu koşullar altında finansal varlıkları doğru
fiyatlandırabilmesi için uygun ve doğru tanımlanmış bir risk ölçütünün önemini ön plana
çıkarmıştır. Riskin “getirilerin olasılık dağılımının varyansı” olarak tanımlanması finansal
ekonomide genel kabul görmüştür. Varyans zaman içinde özellikle türev araçların
fiyatlandırılması, risk azaltım stratejilerinin değerlendirilmesi ve risk priminin belirlenmesinde
riskin bir ölçütü olarak kullanılmaya başlanmıştır.
2
Riskin ölçütü olarak varyansın alınması, finansal getiri dağılımlarının da belirlenmesini
gündeme getirmektedir. Finansal varlıkların fiyat değişimlerinin izlediği stokastik süreçlere ilişkin
genel kabul gören varsayım bu fiyat değişimlerinin “rassal yürüyüş süreci” (random walk process)
olarak adlandırılan bir stokastik süreç takip ettiğine yönelik varsayımdır. Rassal yürüyüş sürecine
göre, fiyat değişimleri birbirinden bağımsız ve benzer dağılıma sahiptir (iid1), beklenen değeri
(ortalaması) sıfırdır ve varyansı sabittir (zaman içinde değişmez). İlave bir varsayım olarak
değişimlerin normal dağıldığı varsayımının eklenmesi ile süreç, “Brownian motion” olarak
adlandırılan bir stokastik sürece dönüştürülür (Mills, 1993). Değişimlerin normal dağılım özelliği
taşıması teorik görüş açısından genellikle gerekli kabul edilmemektedir. Bu varsayım, tahmini
(estimation) ve öngörüyü (forecasting) basitleştirmesi nedeniyle istatistiki kolaylık açısından tercih
edilmektedir.
Sıfır ortalama varsayımı, gerçek ortalamanın sıfıra yakın olduğunu teyit eden ampirik
çalışmalarla ortaya konulmuştur (Figlewski, 1994). Bu varsayım aynı zamanda, getirilerdeki
rassal hareketlerin öngürülemeyeceğini ifade eden etkin piyasa hipotezi ile de uyumlu
bulunmaktadır. Diğer taraftan, rassal yürüyüş sürecinin sabit varyans ve bağımsızlık varsayımları
birçok finansal getiri serisine ilişkin olarak yapılan ampirik çalışmalarda sağlanamamaktadır.
Özellikle finansal değişkenlere ait yüksek frekanslı zaman verilerinin koşulsuz (unconditional)
dağılımlarında ortaya çıkan kalın kuyruk (fat tail) ve ortalama etrafındaki aşırı basıklık
(leptokurtosis) bu varsayımlardan sapmaları göstermektedir. Finansal değişkenlerin gösterdiği bu
özellikler, zaman serilerinde küçük ve büyük değişimlerin kümelenmesi şeklinde kendisini
göstermektedir. Bu kümelenmeler, fiyat değişimlerinin bağımsız olmadığını, fiyat değişimlerinin
birbirini etkilediğini göstermektedir. Normal dağılım varsayımından sapma ile birinci ve ikinci
momentlerdeki (ortalama ve varyans) zamana bağımlılık, normal dağılmış rassal yürüyüşe dayalı
genel kabul görmüş tahmin ve öngörülerin uygun olmadığı sonucunu beraberinde getirmektedir.
GARCH modelleri, finansal değişkenlerin sergilediği bu özelliklerle başa çıkarak sağlıklı
tahmin ve öngörüler gerçekleştirebilmek amacıyla Engle (1982) ve Bollerslev (1986) tarafından
geliştirilmiştir. Bu modellerde getirilere ilişkin stokastik süreç ile stokastik gerçekleşmeler
arasında ilinti bulunmadığı, ancak bunun bunların bağımsız olduğu anlamına da gelmediğini ifade
eden “martingale” olarak tanımlanmaktadır. Bu modellerde bağımlılık, koşullu varyansı geçmiş
dönemlere ait varyanslar ile geçmiş dönemlere ait hata terimlerinin karesinin bir fonksiyonu olarak
modelleyen koşullu varyans denkleminde gösterilmektedir.
2.1 Finansta Doğrusal Olmayan Modelleme
Ekonometride sıklıkla kullanılan ve (1)’de genel gösterimi yer alan yapısal modeller
genellikle “parametrelerde doğrusal” modellerdir. Yapısal modellerin çok değişkenli analizlerde
kullanılmaya elverişli gösterimi ise (2)’de yer almaktadır.
y = β1 + β 2 x2 + β3 x3 + β 4 x4 + u
(1)
y = Xβ +u
(2)
Doğrusal modellerde genellikle hata terimlerinin (u), sıfır ortalamaya ve sabit varyansa
sahip ( σ 2 ) Normal dağılım özelliği taşıdığı (3) varsayılmaktadır.
(
u t ≈ N 0, σ 2
)
(3)
Doğrusal modellerin tahmini konusunda oldukça önemli mesafeler katedilmiş, bu alanda
matematiksel olarak sağlam (robust) tahminciler geliştirilmiştir. Ancak, finansal değişkenler
1
Independent and identically distributed: birbirinden bağımsız ve aynı dağılıma sahip.
3
arasındaki ilişkilerin birçoğunun doğrusal olmayan özellikler göstermesi doğrusal modellerin
finanstaki kullanım alanını daraltmaktadır.
Finansal veriler genellikle aşırı basıklık (leptokurtosis), volatilite kümelenmesi (volatility
clustering) ve kaldıraç etkisi (leverage effects) özellikleri göstermektedir. Finansal verilerin sahip
olduğu bu özellikler kısaca şu şekilde özetlenebilir:
a. Aşırı basıklık (leptokurtosis): Finansal varlık getirilerinin dağılımlarının genellikle
kalın kuyruk ve ortalamada yüksek sivrilik (excess peakedness) özellikleri göstermesini ifade
etmektedir. Buna göre, finansal varlık getirilerinin dağılımları normal dağılıma göre ortalamada
daha sivri ve kuyrukta daha kalın dağılım özellikleri göstermektedir.
b. Volatilite kümelenmesi: Finansal piyasalardaki volatilite hareketleri genellikle birbirini
takip etmekte, yüksek dalgalanmaları yüksek dalgalanmalar, düşük şiddetli dalgalanmaları ise yine
küçük hareketler takip etmektedir. Bu nedenle, yüksek getirileri (artı veya eksi) yüksek getiriler
takip etmekte, düşük getirileri de düşük getiriler takip etmektedir.
c. Kaldıraç etkisi: Büyük fiyat düşüşleri, aynı miktarlı fiyat yükselişlerinden daha yüksek
volatiliteye neden olmaktadır.
Campbell vd (1997), doğrusal olmayan veri üretme süreci ile ilgili olarak, bir serinin
bugünkü değerinin doğrusal olmayan bir şekilde hata terimlerinin bugünkü ve geçmiş değerleri ile
bağlantılı olduğunu ifade etmektedir (4).
yt = f (ut , ut −1 , ut − 2 ,...)
(4)
(4)’de, ut hata terimi bağımsız ve aynı dağılıma sahiplik (iid) özelliği göstermekte ve f
ise doğrusal olmayan bir fonksiyonu ifade etmektedir. Campbell vd. (1997)’e göre, doğrusal
olmayan bir modelin daha kullanışlı ve daha spesifik bir tanımı şöyle olmalıdır:
yt = g (ut , ut −1 , ut − 2 ,...) + ut σ 2 (ut , ut −1 , ut − 2 ,...)
(5)
(5)’e göre, g yalnızca hata teriminin gecikmeli değerlerinin bir fonksiyonudur. σ 2 ise hata
teriminin cari dönemdeki değeri ile çarpıldığından varyans terimi olarak ifade edilmektedir.
Campbell, g (...) fonksiyonunu “ortalamada doğrusal olmayan” (non-linear in mean) ve σ 2 (...) 2 ’yi
ise “varyansta doğrusal olmayan” (non-linear in variance) fonksiyon olarak nitelendirmektedir.
İktisadi ve finansal uygulamalarda kullanılan modeller doğrusal olup olmadıklarına göre
başlıca 3 grupta incelenebilir:
1-Ortalamada ve varyansta doğrusal modeller (lineer in mean and variance): KEKK
modelleri, ARMA modelleri
2- Ortalamada doğrusal- varyansta doğrusal olmayan modeller: GARCH modelleri
3- Ortalamada ve varyansta doğrusal olmayan modeller: Hybrid threshold models with
GARCH errors.
Finanstaki en popüler doğrusal olmayan modeller ARCH-GARCH modelleri ve türevleri
ile değişim modelleridir (switching models).
2.2 Volatilitenin Modellenmesi
Finans yazınında volatilite genellikle finansal varlık getirilerinin standart sapması veya
varyansı olarak ifade edilmekte ve çok genel bir ifade ile finansal varlıkların toplam riskini ifade
etmekte kullanılmaktadır. Piyasa riskinin ölçülmesinde kullanılan birçok riske maruz değer
(RMD) modelinde bir volatilite parametresi yer almaktadır. Ayrıca, hisse senetlerinin
fiyatlarındaki volatiliteyi gösteren parametre opsiyon fiyatlama modeli olan Black-Scholes
modeline doğrudan dahil edilmektedir.
4
Finans yazınında önemli bir yere sahip olan volatilitenin modellemesinde kullanılan
modeller başlıca 6 grupta incelenmektedir (Brooks, 2002):
a)
b)
c)
d)
e)
f)
3
Tarihi volatilite (historical volatility) modelleri
Zımni volatilite (implied volatility) modelleri
Üssel Olarak Ağırlıklandırılmış Hareketli Ortalama (EWMA) modelleri
Otoregresif (AR) ve Hareketli Ortalama (MA) modelleri (ARMA modelleri)
Otoregresif Koşullu Değişen Varyans (GARCH) modelleri
Stokastik Volatilite modelleri.
YAZIN
Finansal getirilerin modellenmesine ilişkin yazında birbirinden farklı iki yaklaşımdan
bahsedilmektedir (Ahlstedt 1998): Bu yaklaşımlardan birincisi “iktisadi teoriye dayalı modeller”,
ikincisi ise “zaman serisi analizlerine dayalı modeller” yaklaşımıdır.
İktisadi teoriye dayalı modeller, makroekonomik değişkenler arasındaki yapısal bağımlılığı
açıklamada kullanılmaktadır. Bu yaklaşımda, finansal risklerin nedeni olarak kabul edilen iktisadi
değişkenler arasındaki ilişkilerdeki olası değişmeler alternatif iktisadi teorilere göre
modellenmektedir. Bu modeller, iktisadi değişkenler arasında uzun dönemli denge ilişkisini ifade
eden durağanlığı (stationarity) göstermektedir. Finansal varlık teorilerinin üzerine inşa edilen
makro ekonomik yapısal modeller, (GSYİH ve enflasyon gibi) makro ekonomik verilere dayalı
olarak üçer ay veya bir yıl gibi düşük frekanslı olarak tahmin edilmektedir. Bu nedenle bu
modeller, uzun dönemli analizler ve öngörüler için daha uygun modellerdir. Bu modeller, günlük,
hatta gün içerisinde (intraday) dahi verileri mevcut olan döviz kurları, faiz oranları, hisse senedi
fiyatları gibi değişkenlerin kısa dönemli analizinde ve öngörüsünde kullanılmaya uygun değildir.
Zaman serisi analizine dayalı modeller, finansal değişkenlere ait yüksek frekanslı verilerin
kullanılmasına uygun modellerdir. Zaman serisi analizleri, finansal değişkenlerin kısa dönemli
hareketlerinin belirlenmesinde ve kısa dönemli dengeye ulaşma çizgisinin analizinde
kullanılmaktadır. Döviz kurları, faiz oranları ve hisse senedi fiyatları kısa dönemde bu
değişkenlere yönelik beklentilere dayalı spekülatif akımlarla belirlenmektedir. Bu nedenle, bu
çalışmada kullanılan zaman serisi analizleri finansal değişkenlerde kısa dönemde ortaya çıkan
etkilerin dikkate alındığı modellerdir.
İktisadi modellerde, iktisadi değişkenlerin düzeydeki değeri veya değişiminin birinci
momenti (ortalama) modellenir ve öngörüsü gerçekleştirilir. Zaman serisi analizi yaklaşımı ise,
finansal değişkenlere ait yüksek frekanslı verilerin ikinci momentinin analizine imkan
vermektedir. İkinci momentin modellenmesi, ARCH modellerinin koşulsuz dağılımdaki aşırı
basıklığı belirlemede yeterli olduğuna dair sağlam ampirik kanıtlar ortaya koymaktadır (Nerlove
vd., 1988). ARCH model ailesi ilk kez Engle (1982) tarafından ortaya konulmuş, daha sonra
Bollerslev (1986) tarafından GARCH modeline genelleştirilmiştir. Daha sonraki dönemde, birinci
ve daha yüksek momentlerdeki doğrusal ve doğrusal olmayan bağımlılıkların modellenmesi için
GJR-GARCH, EGARCH, PARCH, IGARCH ve GARCH-M gibi versiyonları geliştirilmiştir.
GARCH modellerinin, finansal değişkenlerin getiri serilerinin olasılık dağılımlarının farklı
özelliklerini dikkate alan bir öngörü yöntemine duyulan ihtiyaca cevap vermesi bu modellerin
akademik çalışmalarda yoğun olarak kullanılmasını da beraberinde getirmiştir. GARCH
modellerinin akademik çalışmalarda kullanımına yönelik yazın taraması olarak Bollerslev vd.
(1992), Bera-Higgins (1993) ile Bollerslev vd. (1994)’den yararlanılabilir.
Finansal değişkenlerin modellenmesinde ileriye doğru atılmış çok önemli bir adım olmakla
birlikte, ARCH modellerinin kullanılması zaman serilerindeki doğrusal olmayan durumları
yakalama yeteneği konusunda hala bir takım şüpheler bulunmaktadır. Zaman serilerinin
modellenmesinde GARCH yöntemine alternatif bir yöntem de Hull-White (1987) ve Taylor
5
(1993) tarafından geliştirilen Stokastik Varyans (SV) modelleridir. GARCH ve SV modelleri,
koşullu varyans denklemine gözlemlenmemiş stokastik bir bileşen eklenmek suretiyle
birleştirilebilmektedir. Örneğin, Hsieh (1989) GARCH modelindeki değişen ortalama ve varyansın
döviz kurlarındaki aşırı basıklığı tam anlamıyla dikkate almakta yetersiz kaldığını, zamana göre
değişen parametrelere sahip SV-GARCH modelinin verilerdeki doğrusal olmayan özellikleri
açıklayabildiği sonucuna ulaşmıştır (Hsieh 1991). Andersen (1996), Dağılım Karışımı Hipotezini,
(Mixture of Distribution Hypothesis) geliştirerek, bir stokastik volatilite süreci ile GARCH
yöntemini birleştirerek bir model oluşturmuştur. Oluşturduğu modelin finansal getirilerde
gözlemlenen volatilite kümelenmesinin ardındaki iktisadi faktörlerin analiz edilmesinde yararlı
olduğunu ifade etmektedir.
Hisse senedi piyasalarında yaşanan volatilitenin modellenmesi konusuna olan ilgi 1987
yılında yaşanan krizin ardından hızla artmıştır. Gelişmiş piyasaların yanında gelişmekte olan
piyasalarda yaşanan volatilitenin modellenmesi amacıyla yapılan çalışmalardan başlıcaları olarak
Scott (1991), Kupiec (1991), Figlewski (1997), Feinstein (1987), Aydemir (1998) ve Knight ve
Satchell (1998) sayılabilir.
İMKB üzerinde yapılan çalışmalarda ise genellikle ilgi volatilitenin modellenmesi ve bazı
krizlerin İMKB üzerine etkilerinin araştırılması üzerinde odaklanmıştır. Volatilite modellemesi
konusunda diğer çalışmaların yanında özellikle zikredilmesi gerekenler Muradoğlu ve Metin
(1996), Okay (1998), Yılmaz (1987), Yavan-Aybar (1998) olmaktadır. Volatilitenin öngörülmesi
konusunda ise ilk çalışma Balaban (1999)’a aittir. Balaban (1999)’da, hisse senedi piyasasına ait
aylık veriler kullanılarak rassal yürüyüş modelinden ARCH tipi modellere kadar 17 farklı volatilite
modeli kullanılarak volatilite öngörüleri gerçekleştirilmektedir. Volatilitenin öngörülmesine ilişkin
bir diğer çalışma olan Mazıbaş (2004)’de ise İMKB bileşik endeksindeki asimetrik fiyat
hareketleri modellenmekte ve simetrik ve asimetrik ARCH tipi modeller kullanılarak öngörüler
gerçekleştirilmektedir.
4
YÖNTEM
Doğrusal ekonometrik modeller ile doğrusal zaman serisi modelleri finansal verilerin sahip
olduğu birtakım özellikleri modellemekte yetersiz kalmaktadır. Finansal verilerin gösterdiği bu
temel özellikler şunlardır:
- Aşırı basıklık,
- Volatilite kümelenmesi,
- Asimetrik tepkiler ve kaldıraç etkileri.
Finansal değişkenlere ait verilerin gösterdiği bu özellikleri modelleme esnasında dikkate
almak amacıyla bu özelliklerin öncelikle mevcut olup olmadıklarının araştırılması gereklidir. Bu
amaçla geliştirilen birçok test ve yöntem bulunmaktadır. Çalışmada yararlanılan bu test ve
yöntemlerden başlıcaları doğrusallık testleri, otokorelasyonun belirlenmesine yönelik testler ile
otoregressif koşullu değişen varyans (ARCH) etkilerinin belirlenmesine yönelik testlerdir.
Çalışmanın bundan sonraki bölümünde, her bir volatilite modeli tahmin edilmekte,
modellerle öngörülerde bulunulmakta ve modellerin öngörü performansları bir takım istatistiklerle
değerlendirmeye tabi tutulmaktadır.
4.1 Modeller
Finansal verilerin sahip olduğu özelliklerin modelleme amacına dönük olarak
kullanılabilmesi için birçok farklı model geliştirilmiştir. Her bir modelin kendine özgü
varsayımları, kısıtları ve diğer modellere göre üstün yönleri bulunmaktadır. Hisse senedi
piyasasındaki volatilitenin modellenmesi ve volatilite öngörüsü amacıyla, verilerin taşıdığı
6
özelliklere ve çalışmanın amacına bağlı olarak ARMA modelleri ile ARCH tipi modellerden
simetrik model olan GARCH ile asimetrik modeller EGARCH, GJR-GARCH, Asimetrik PARCH
ve Asimetrik CGARCH modelleri kullanılmıştır.
4.1.1
ARCH Modeli
Engle (1982) tarafından geliştirilen ARCH modelleri, doğrusal ve doğrusal olmayan bölüm
olarak başlıca iki bölümde ele alınmaktadır.
Rt = β1 + β 2 x2t + β3 x3t + β 4 x4t + ut
ut N (0,σ t2 )
σ t2 = α 0 + α1ut2−1 + α 2ut2− 2 + ... + α q ut2− q
(6)
(7)
Doğrusal bölüm, bağımlı değişken Rt ’nin zaman içindeki değişimini gösteren koşullu
ortalama denklemidir (6). Doğrusal olmayan bölüm ise, bağımlı değişken olan koşullu varyans σ t2
ile hata teriminin gecikmeli değerlerinin ilişkisini gösteren koşullu varyans denklemidir (7).
(7)’de yer alan ARCH modeli gecikme değeri (q)’nin aldığı değer ile adlandırılmaktadır: ARCH
(1), ARCH (2) gibi.
4.1.2
GARCH Modeli
ARCH modellerinin genişletilmiş halini ifade eden ve Bollerslev (1986) tarafından
geliştirilen GARCH modelleri, koşullu varyansın hata teriminin gecikmeli değerlerine ilave olarak,
kendi gecikmeli değerlerine de bağlı olduğu volatilite modelidir. GARCH (p,q) modelleri (6)’da
yer alan koşullu ortalama denklemine ilave olarak (8)’deki koşullu varyans denkleminden
oluşmaktadır.
q
p
i =1
j =1
σ t2 = α 0 + ∑ α i ut2−i + ∑ β jσ t2− j
4.1.3
(8)
EGARCH Modeli
GARCH modellerinin en önemli kısıtlarından birisi de pozitif ve negatif volatilite şoklarına
simetrik tepki vermesidir (Brooks, 2002). Özellikle kaldıraç etkisinin modellenmesinde modelin
yetersiz kalmasına neden olan bu kısıtın giderilebilmesi için Nelson (1991) tarafından Üssel
GARCH (Exponential GARCH, EGARCH) modelleri geliştirilmiştir.
EGARCH modelleri (6)’da yer alan koşullu ortalama denklemine ilave olarak (9)’daki
koşullu varyans denkleminden oluşmaktadır.
log(σ t2 ) = ω + β log(σ t2−1 ) + γ
ut −1
σ t2−1
 u
2

+ α  t −1 −
π
 σ t2−1

(9)
EGARCH modellerinin saf GARCH modellerinden üstün taraflarından ilki koşullu
varyansın logaritmik düzeyde modellenmesi nedeniyle log(σ t2 ) , parametreler negatif olsa dahi
σ t2 ’in pozitif olmasıdır. Bu nedenle, GARCH modellerinde getirilen negatif olmama koşuluna bu
modelde ihtiyaç kalmamaktadır. Diğeri ise, volatilite ile getiri arasındaki ilişki negatif ise (9)’daki
γ katsayısının negatif olmasıyla asimetrik hareketlerin modellenmesine imkan vermesidir.
4.1.4
GJR-GARCH Modeli
GJR-GARCH modeli, birbirinden bağımsız olarak Zakoian (1994) ve Glosten, Jaganathan
ve Runkle (1993) tarafından geliştirilmiştir. GJR-GARCH modeli, (6)’da yer alan koşullu
ortalama denklemine ilave olarak (10)’daki koşullu varyans denkleminden oluşmaktadır.
7
q
p
i =1
j =1
σ t2 = ω + ∑ α i .ut2−i + γ .ut2−1dt −1 + ∑ β j .σ t2− j
(10)
(10)’daki varyans denkleminde yer alan kukla değişken ( dt ), ut < 0 değerini aldığında
dt = 1 , diğer durumlarda ise dt = 0 değerini almaktadır. Bu nedenle asimetri parametresi γ , dt = 1
değerini aldığında anlamlı olmaktadır. Bu modelde, iyi haberlerin ve kötü haberlerin koşullu
varyans üzerindeki etkileri farklı olarak ele alınmıştır. Modelde iyi haberlerin (ut > 0) koşullu
varyans üzerindeki etkisi α ile ve kötü haberlerin (ut < 0) koşullu varyans üzerindeki etkisi
(α + γ ) olarak gösterilmektedir. Modelin parametrelerinden γ > 0 durumunda, kaldıraç etkisinin
mevcut olduğunu ve kötü haberlerin volatiliteyi artırdığı ifade edilebilir. Yine, γ ≠ 0 olması
durumunda, haberlerin volatiliteye etkisi simetrik olmayacaktır.
4.1.5
Asimetrik PARCH Modeli
Diğer GARCH modellerinden farklı olarak varyans yerine standart sapmanın modellendiği
ve standart sapma GARCH modeli olarak da bilinen model Taylor (1986) ve Schwert (1989)
tarafından geliştirilmiştir. Model, Ding vd. (1993) tarafından Power ARCH (PARCH) olarak
genelleştirilmiştir.
PARCH modelinde, standart sapmanın üs parametresi olan δ modele empoze edilmek
yerine model içerisinde tahmin edilebilmektedir. Ayrıca, modele τ düzeyine kadar olan
asimetrinin modellenebilmesi için γ asimetri parametresi eklenebilmektedir:
σ tδ = ω +
q
p
j =1
i =1
∑ β jσ tδ− j + ∑ α i ( ut − i − γ i ut − i )δ
(11)
(11)’de yer alan δ > 0, i = 1...τ için γ i ≤ 1 , tüm i < τ için γ İ = 0 ve τ ≤ p ’dir.
Simetrik PARCH modelinde asimetri parametresi olan γ , tüm i değerleri için γ = 0 ’dır.
δ = 0 ve tüm i değerleri için γ i = 0 olduğunda, PARCH modeli standart GARCH modeline
dönüşmektedir. Modelin asimetrik hale getirilebilmesi için asimetri parametresi olan γ ’nin
sıfırdan farklı olması gerekmektedir.
4.1.6
Asimetrik CGARCH Modeli
GARCH(1,1) modelinin koşullu varyans denklemi olan
σ t2 = ω + α (ut2−1 − ω ) + β (σ t2−1 − ω )
(12)
zaman içerisinde değişmeyen, yani sabit kalan ortalama volatiliteye ( ω ) geri dönüşü
göstermektedir. (12)’deki GARCH modelinde ortalama sabit iken, model, ortalamanın zamana
bağlı olarak değişeceğini dikkate alarak, sabit ω yerine değişen volatilitenin ( qt ) modele dahil
edilmesine imkan vermektedir. Buna göre, qt ’nin dahil edildiği model şu şekilde ifade edilebilir:
σ t2 − qt = ω + α (ut2−1 − ω ) + β (σ t2−1 − ω )
qt = ω + ρ (qt −1 − ω ) + φ (ut2−1 − σ t2−1 )
(13)
(13)’de yer alan σ t2 değişkeni volatiliteyi gösterirken, qt değişkeni ω ’nin yerini almakta
ve zaman içinde değişen uzun dönem volatiliteyi ifade etmektedir. (13)’de yer alan ilk denklem,
(α + β ) üssel değeri ile sıfıra yaklaşan kısa dönemli etkilerin yer aldığı “geçici” kısmı ( σ t2 − qt )
8
ifade etmektedir. İkinci denklem ise ω ’ye ρ üssel değeri ile yaklaşan uzun dönem etkilerinin yer
aldığı “kalıcı” kısım olan qt değişkenini göstermektedir. İkinci denklemde yer alan ρ ’nin değeri
genellikle 0.99 ile 1 arasında yer almaktadır. Bu nedenle, qt ’nin ω ’ye yaklaşması oldukça yavaş
gerçekleşmektedir. (13)’de yer alan “geçici” ve “kalıcı” bölümlerin bir araya getirilmesi ile
aşağıdaki model oluşturulabilir:
σ t2 = (1 − α − β )(1 − ρ )ω + (α + φ )ut2−1 − (αρ + (α + β )φ )ut2− 2
+ ( β − φ )σ t2−1 − ( βρ − (α + β )φ )σ t2− 2
(14)
(14)’de yer alan model, doğrusal olmayan kısıtlanmış GARCH (2,2) modelidir. Modelin
koşullu varyans denkleminin geçici ve kalıcı bölümlerine dışsal değişkenler eklenebilmektedir.
Geçici bölümü gösteren denkleme eklenen değişkenler volatilitedeki kısa dönemli hareketler
üzerinde etkide bulunurken, kalıcı etkileri gösteren denkleme eklenecek değişkenler volatilitenin
uzun dönemdeki seviyesine etkide bulunacaktır.
Asimetrik Component GARCH modeli, (14)’de yer alan GARCH (2,2) modeli ile (10)’da
yer alan GJR-GARCH modelinin bir araya getirilmesinden oluşmaktadır. (14)’de yer alan modelin
kalıcı etkileri gösteren bölümünde herhangi bir değişiklik yapılmazken, GJR modelinden alınan
asimetrik terimler modelin geçici etkileri gösteren bölümüne ilave edilmektedir:
yt = xt′ π + ut
qt = ω + ρ (qt −1 − ω ) + φ (ut2−1 − σ t2−1 ) + θ1 z1t
σ t2 − qt = α (ut2−1 − qt −1 ) + γ (ut2−1 − qt −1 )d t −1 + β (σ t2−1 − qt −1 ) + θ 2 z2t
(15)
(15)’de yer alan modelde, z , denklemlere ilave edilebilen dışsal değişkenleri, d ise negatif
şokları gösteren kukla değişkeni göstermektedir. Negatif şokları gösteren değişkenin parametresi
olan γ ’nin aldığı değer kaldıraç etkisinin mevcut olup olmadığını göstermektedir: γ > 0 ise
koşullu varyans modelinde geçici kaldıraç etkisi mevcuttur.
4.2 Dağılım Yöntemleri
Finansal verilerin taşıdığı aşırı basıklık ve kalın kuyruk özellikleri nedeniyle, ARCH
modellerinin varsayımlarından koşullu standart sapmaların ( v t = u t σ t ) normal dağıldığı varsayımı
genellikle ihlal edilmektedir. Koşullu standart sapmanın örneklemdeki karşılığı olan
standartlaştırılmış hata terimlerinin ( vˆt = uˆt σˆt ), ARCH modellerinde normal dağıldığı
varsayımının ihlali, en yüksek olabilirlik tahmini (MLE) sonuçlarının (parametre tahminlerini
etkilememesine rağmen) standart hataların hesaplanmasında hatalı sonuçlar vermesine neden
olmaktadır.
Finansal verilerdeki aşırı basıklık ve kalın kuyruk özellikleri nedeniyle hata terimlerinin
koşullu dağılımında normal dağılımın yerine Student-t ve Genelleştirilmiş Hata Dağılımı (GED2)
da kullanılmaktadır. Student-t dağılımı, normal dağılıma benzer şekilde simetrik bir dağılımdır.
GED ise, finansal verilerdeki asimetri özelliklerini dikkate alan Nelson (1991) tarafından
geliştirilmiştir. Nelson (1991), EGARCH modelinin GED özelliğini gösterdiğini varsaymaktadır.
2
Generalized Error Distribution.
9
4.3 Öngörü Performansının Değerlendirilmesi
Modellerin öngörü performanslarının değerlendirilmesinde simetrik ve asimetrik öngörü
hatası istatistiklerinden yararlanılmaktadır3.
4.3.1
Simetrik Öngörü Hatası İstatistikleri
Simetrik hata istatistikleri, öngörülen volatilite ile gerçekleşen volatilite arasındaki
farkların işaretini ve büyüklüğünü dikkate almaksızın modellerin öngörülerinin gerçekleşen
değerlerle karşılaştırılmasında kullanılır. En çok kullanılan öngörü hatası istatistikleri, ortalama
mutlak hata (mean absolute error, MAE), ortalama hata karesinin kökü (root mean square error,
RMSE), ortalama mutlak yüzdelik hata (mean absolute percentage error, MAPE) ve Theil
eşitsizlik katsayısıdır (Theil inequality coefficient, TIC).
Öngörü serisi f = T + 1, T + 2,..., T + h olmak üzere, gerçekleşen ve öngörülen volatilite
sırasıyla σ r ve σˆ f , öngörü yapılan tarih t , öngörü sayısı ise h olarak tanımlandığında simetrik
hata istatistikleri;
RMSE =
MAE =
1 T +h
(σˆ f ,t − σ r ,t ) 2
∑
h t =T +1
1 T +h
∑ σˆ f ,t − σ r ,t
h t =T +1
MAPE = 100
TIC =
1 T + h σˆ f ,t − σ r ,t
∑
h t =T +1 σ r ,t
1 T +h
∑ (σˆ f ,t − σ r ,t )2
h t =T +1
1 T +h 2
1 T +h 2
ˆ
σ
σ r ,t
+
∑ f ,t h t =∑
h t =T +1
T +1
(16)
(17)
(18)
(19)
olarak tanımlanmaktadır.
TIC istatistiği, sapma, varyans ve kovaryans bileşeni olmak üzere üç alt bileşene
ayrılmaktadır4. TIC istatistiğinin sapma bileşeni, öngörü ortalaması ile gerçek serinin ortalaması
arasındaki uzaklığı; varyans bileşeni, öngörünün varyansı ile gerçek serinin varyansı arasındaki
uzaklığı; kovaryans bileşeni ise hata ve varyanstan geri kalan sistematik olmayan öngörü hatasını
göstermektedir. Her üç bileşenin toplamı 1’i vermektedir. Bir modelin öngörüsünün başarılı
olabilmesi için, TIC istatistiğinin sıfıra yakın olması, kovaryans bileşeninin mümkün olduğunca
büyük, sapma ve varyans bileşenlerinin ise mümkün olduğunca küçük olması gereklidir.
Öngörü modellerinin karşılaştırılmasında, başarılı bir modelin simetrik hata
istatistiklerinden RMSE, MAE, MAPE ve TIC istatistiklerinin mümkün olduğunca küçük olması
beklenmektedir.
4.3.2
Asimetrik Öngörü Hatası İstatistikleri
Hisse senedi piyasası verilerinde asimetrik fiyat hareketlerinin geçerli olması ve
yatırımcıların da volatilite konusunda farklı beklentilere sahip olması nedeniyle modellerin gerçek
volatilitenin üzerinde veya altında kalan öngörülerinin birbirinden farklı ağırlıklandırılması
gereklidir. Bu amaçla, gerçek volatiliteyi aşan veya onun altında kalan öngörüler Ortalama Bileşik
3
GARCH modellerinin seçim kriterlerine ilişkin geniş bir değerlendirme için bakınız Mitchell vd. (2003).
4
Daha fazla bilgi için bakınız: Pindyck-Rubinsfeld (1991.
10
Hata (mean mixed error, MME) istatistiği ile değerlendirilmektedir. Bu amaçla, gerçek
volatilitenin üzerindeki öngörülere daha çok ağırlık vererek altında kalan öngörüleri cezalandıran
MME (U) ile gerçek volatilitenin altında kalan öngörülere daha çok ağırlık vererek üzerindeki
öngörüleri cezalandıran MME (O) istatistikleri hesaplanır (Balaban, 1999).
U
1 0

MME (U ) =  ∑ σˆ f ,t − σ r ,t + ∑ σˆ f ,t − σ r ,t 
h  t =1
t =1

(20)
U
1 0

MME (O ) =  ∑ σˆ f ,t − σ r ,t + ∑ σˆ f ,t − σ r ,t 
h  t =1
t =1

‘ U ’ gerçekleşen volatiliteden daha düşük, ‘ O ’ ise daha yüksek öngörü sayısını
göstermektedir. Modellerin öngörülerinin karşılaştırılmasında daha düşük hata istatistiğine sahip
model daha başarılı olarak nitelendirilmektedir.
4.4 Testler
ARCH modellerinin kullanılabilmesi için, modelde kullanılacak verilerin taşıdığı birtakım
özelliklerin belirlenmesi gerekmektedir. ARCH modelleri, modelin koşullu varyans bölümünün
doğrusal olmaması nedeniyle “doğrusal olmayan modeller” olarak da bilinmektedir.
ARCH modelleri, ekonometride En Küçük Kareler (EKK) yönteminin temel
varsayımlarından sapmalara neden olduğundan genellikle bir “hastalık” olarak nitelendirilen
otokorelasyon ve değişen varyansın doğrusal modellerin yetersiz kaldığı durumlarda modelleme
amacıyla kullanılmasını sağlayan modellerdir. ARCH modellerinin kullanılabilmesi için zaman
serisi verilerinde ARCH etkilerinin mevcut olması gereklidir.
Bu bölümde, ARCH modellerinin kullanılma gerekçelerinden olan verilerde ARCH etkisi
ile otokorelasyonun bulunması durumunun araştırılmasında kullanılacak test ve yöntemlerle
doğrusallık testlerine yer verilmektedir.
4.4.1 Doğrusallık Testleri
Finansal zaman serilerindeki doğrusal olmayan davranışın belirlenmesinde, zaman serileri
analizinin geleneksel yöntemleri (otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon fonksiyonları ile spektral
analizler) yetersiz bir kullanım alanına sahiptir (Brooks, 2002). Zaman serilerindeki doğrusal
olmayan davranışların ve özelliklerin belirlenmesinde birçok testten yararlanılmaktadır. Doğrusal
olmayan davranışların belirlenmesinde kullanılan testler “genel testler” ve “özel testler” olmak
üzere başlıca iki grup altında incelenmektedir.
Portmanteau testleri olarak da adlandırılabilen genel testler, verilerdeki rassallıktan
sapmaların belirlenmesinde kullanılmaktadır. Bu testler, genellikle, verilerde mevcut bulunan
birçok doğrusal olmayan davranışın belirlenmesinde kullanılırken, verilerde hangi tür doğrusal
olmayan davranışların bulunduğu konusunda herhangi bir bilgi vermemektedir. Doğrusal olmayan
davranışların belirlenmesinde en çok kullanılan genel testler Ramsey’in RESET testi ile BDS
testidir. Diğer testler ise bispectrum testi ile bicorrelation testidir.
Özel testler ise özel doğrusal olmayan yapıların belirlenmesinde kullanılmak amacıyla
geliştirilmişlerdir. Özel testler, finansal verilerde belirli bir doğrusal olmayan yapının bulunup
bulunmadığını test etmek amacıyla geliştirildiklerinden diğer doğrusal olmayan yapılar konusunda
herhangi bir bilgi vermemektedirler.
11
4.4.2
Otokorelasyonun Belirlenmesine Yönelik Testler
Zaman serilerinde otokorelasyonun belirlenmesine yönelik olarak kullanılan başlıca testler
Ljung-Box-Pierce-Q Testi ve Serial Correlation LM Testidir.
Otokorelasyonun varlığının araştırılmasında genellikle korelogramdan yararlanılır.
Korelogram, otokorelasyon (ACF) ve kısmi otokorelasyon (PACF) fonksiyonları ile Ljung-BoxPierce-Q Testi istatistiklerini birlikte veren bir analiz yöntemidir5.
Serial Correlation LM Testi, otokorelasyonun belirlenmesinde Q istatistiğine alternatif
olarak geliştirilmiş, asimptotik (büyük örnek) testler olarak da bilinen Lagrange çarpanı (LM)
testlerindendir. LM testinde, H 0 hipotezi, önceden belirlenen bir tam sayı olan p gecikmeli değere
kadar seride otokorelasyonun olmadığını ifade etmektedir. LM testi de, modelin hata terimlerinde
otokorelasyonun bulunup bulunmadığının araştırılmasında kullanılır.
4.4.3
ARCH Etkilerinin Belirlenmesine Yönelik Test
Zaman serilerinde otoregressif koşullu değişen varyans (ARCH) etkilerinin bulunup
bulunmadığının belirlenmesine yönelik olarak geliştirilen özel test Engle (1982) tarafından
geliştirilmiştir. ARCH LM Testi olarak da bilinen bu test, modelin hata terimlerinde ARCH
etkilerinin bulunup bulunmadığını araştıran bir Lagrance çarpanı (LM) testidir. Değişen varyansın
özel bir şekli olan ARCH etkilerinin araştırılmasının nedeni, birçok finansal zaman serilerinde
gözlemlenen ve ihmal edilmesi halinde tahminlerin etkinliğinin azalmasına neden olan cari hata
terimi ile yakın geçmişe ait hata terimlerinin daha önceki dönemlere ait hata terimlerinden daha
çok birbiri ile ilişkili olması durumunun dikkate alınması gereğidir.
5
VERİ
Çalışmada, 01.01.1997 ile 31.12.2004 tarihleri arasındaki dönemi kapsayan İMKB Bileşik,
Mali, Hizmet ve Sınaî fiyat endekslerine ait Merkez Bankasından alınan veriler kullanılmıştır.
Çalışmada günlük, haftalık ve aylık olmak üzere üç farklı ölçekte tahmin ve öngörü yapılmıştır.
Tahmin ve öngörülerde kullanılmak üzere gözlemlenen haftalık ve aylık volatilite, Balaban
(1999)’a benzer şekilde endekslere ait günlük logaritmik getiri verilerinin standart sapması olarak
tanımlanmıştır. Günlük tahmin ve öngörülerde ise endekse ait verilerin günlük logaritmik getiri
serisi kullanılmıştır. Günlük logaritmik getiri serisi şu şekilde hesaplanmaktadır:
Rw,t = ln( Pw,t / Pw,t −1 )
(21)
Pw,t w haftasının t işgününe ait endeks kapanış fiyatını, Rw,t ise bir önceki işgününe göre
logaritmik düzeyde hesaplanmış fiyat değişimini ifade etmektedir. Haftalık standart sapma σ a , w şu
şekilde hesaplanmaktadır6:
σ a,w
n
2
 1
Rw,t − µ w ) 
=
(
∑
 (n − 1) t =1

0.5
(22)
Haftalık standart sapmanın hesaplanmasında, w ilgili haftayı, t işgününü, n hafta
içerisindeki işgünü sayısını, µ w ise ilgili haftaya ait ortalama getiriyi ifade etmektedir. Haftalık
ortalama getiri şu şekilde hesaplanmaktadır:
5
Korelogram ve Ljung-Box-Pierce-Q Testi hakkında detaylı bilgi için bakınız: QMS (2002).
6
Aylık standart sapma verileri de ( σ a, m ) haftalık standart sapmaya benzer şekilde hesaplandığından, ayrıca aylık hesaplamaya yer
verilmemiştir.
12
1 n
µ w =   ∑ Rw,t
 n  t =1
(23)
Çalışmada, 01.01.1997-31.12.2004 dönemine ait 1975 adet günlük gözlem, 418 haftalık ve
96 aylık volatilite verisi kullanılmıştır. 1997-2004 arasındaki dönem iki bölüme ayrılmıştır. İlk
dönem olan 01.01.1997-30.12.2003 dönemine ait volatilite verileri modellerin tahmini (estimation)
ve parametrelerinin hesaplanması amacıyla kullanılmıştır. İkinci dönem olan 01.01.200431.12.2004 dönemine ait veriler ise tahmin edilen modellerin volatilite öngörülerinin (forecast)
gerçekleşen volatilite ile karşılaştırılması ve modellerin öngörü performanslarının
değerlendirilmesi amacıyla kullanılmıştır.
6
UYGULAMA
İMKB hisse senedi piyasalarına ait endekslerin Grafik 2’de yer alan getiri verileri
incelendiğinde, volatilite hareketlerinin genellikle birbirini takip ettiği, diğer bir ifadeyle,
endeksteki yüksek dalgalanmaları yüksek dalgalanmaların, düşük dalgalanmaları ise yine düşük
dalgalanmaların takip ettiği görülmektedir. Volatilite kümelenmesi olarak nitelendirilen bu durum,
incelenen dönemin tamamında özellikle de kriz dönemlerinde belirgin bir şekilde ortaya
çıkmaktadır.
İMKB endekslerine ait getiri verilerinde karşılaşılan volatilite kümelenmesi durumu, borsa
endeksini etkileyen faktörlerin olumlu ve olumsuz etkilerinin endeks üzerindeki etkisinin simetrik
olup olmadığı sorusunu gündeme getirmektedir. Diğer bir ifadeyle, İMKB endeksleri üzerinde
etkide bulunan olumlu ve olumsuz gelişmelerin endeks üzerindeki etkisinin aynı olup olmadığı, iyi
haberlerle kötü haberlerin endekse yansımasının birbirinden farklı olup olmadığı sorusu önem
kazanmaktadır.
Olumlu haberlerin endeks üzerindeki etkisi ile olumsuz haberlerin etkisinin birbirinden
farksız olması durumunda standart ARCH-GARCH modelleri ile endeksteki volatilite
modellemesini yapmak ve bu model ile öngörüde bulunmak yeterli olmaktadır. Ancak, olumlu ve
olumsuz gelişmelerin endeks üzerindeki etkilerinin farklı olması, endeksin verdiği tepkide bir
asimetrinin söz konusu olduğunu, dolayısı ile bu asimetri durumu ile olumsuz gelişmelerin olumlu
gelişmelerden fazla etkide bulunduğunu gösteren “kaldıraç etkisinin” de modelleme ve öngörü
esnasında dikkate alınması gerekmektedir. Bu nedenle, verilerde asimetrinin ve kaldıraç etkisinin
bulunup bulunmadığının ve mevcut ise seviyesinin belirlenmesi, öngörülerin isabeti açısından
gereklidir.
İMKB endekslerindeki volatilitenin modellenmesi ve öngörülmesi esnasında, borsa
endeksindeki volatilite kümelenmesi, asimetri ve kaldıraç etkilerini dikkate alan alternatif modeller
de kullanılmıştır. Asimetri etkisini dikkate almayan klasik GARCH modelinin yanında asimetrinin
modellenmesine dönük olarak geliştirilen EGARCH, GJR-GARCH, Asimetrik PARCH ve
Asimetrik CGARCH modellerinden yararlanılmıştır.
Bu bölümde, öncelikle verilerdeki normallik, otokorelasyon ve ARCH etkilerinin mevcut
olup olmadığının belirlenmesi amacıyla veriler analize tabi tutulmuştur. Verilerin analizini
takiben, modeller tahmin edilmiştir. Tahmin edilen modellerle öngörülerde bulunulmuş, bu
öngörüler gerçekleşmelerle karşılaştırılmış, modellerin öngörü performansları değerlendirmeye
tabi tutularak her üç ölçekte de en iyi performans gösteren modeller belirlenmiştir.
6.1 Verilerin Analizi
İMKB endekslerindeki gelişim (Grafik 1), piyasaların ilgili dönemdeki gelişmelere anında
tepki vermesi ve yatırımcıların geleceğe yönelik beklentilerine göre pozisyon almaları nedeniyle
günlük değişmeleri gösteren getiri verileri ile birlikte haftalık ve aylık bazda da yüksek volatilite
13
olarak karşımıza çıkmaktadır (Grafik 2, 3 ve 4). Her dört grafikte de, Kasım 2000 ve Şubat 2001
krizlerinin piyasadaki volatilite üzerindeki etkileri görülebilmektedir.
Özellikle Grafik 2, 3 ve 4’den yararlanılarak, kriz dönemlerinde gözlemlenen yüksek
volatilite sırasında, yüksek miktarlı piyasa hareketlerini aynı yönde olmasa dahi yine yüksek
miktarlı piyasa hareketlerinin takip ettiği, nispeten istikrarlı dönemlerde ise düşük volatiliteye
bağlı piyasa hareketlerini yine küçük miktarlı hareketlerin takip ettiği söylenebilir. Hisse senedi
piyasasında yaşanan bu hareketler, birçok finansal değişkene ait zaman serilerindekine benzer
şekilde, İMKB piyasalarında volatilite kümelenmesinin mevcut olduğunu göstermektedir.
Volatilite modellemesi öncesi, modellemede kullanılacak verilerin analizi ve modellemeye
uygunluğunun değerlendirilmesi gerekmektedir.
Bu amaçla, öncelikle, günlük ve haftalık verilere ait betimleyici istatistikler hesaplanmıştır.
Tablo 1’de yer alan istatistik değerlerine göre, İMKB endekslerine ait verilerde yüksek volatilite
bulunmaktadır. Ayrıca, tüm dönemlere ait verilerin basıklık katsayısının normal dağılımın basıklık
değerinden yüksek olması ve çarpıklık katsayılarının sıfırdan farklı olması finansal serilerin
taşıdığı aşırı basıklık (kalın kuyruk) ve ekstrem değerler alabilme ve simetrik olmama (asimetri)
özelliğinin bir göstergesidir.
Finansal değişkenler genellikle zaman içerisinde yükselme eğilimi taşıması nedeniyle bu
değişkenlere ait seriler durağan seriler değildir. Serilerin durağan hale getirilebilmesi için çeşitli
dönüşümler (fark alma şeklinde) yapılmaktadır. Verilerin analizi amacıyla, ikinci olarak, İMKB
endeksine ait günlük verilerin birim kök taşıyıp taşımadığının belirlenmesi amacıyla, logaritmik
düzeydeki endeks verilerine (getiri verilerine değil) birim kök testi uygulanmıştır. Augmented
Dickey Fuller (ADF) testi sonucunda, İMKB endeksine ait serinin düzeyde durağan (stationary)
olmadığı, birinci sıra farkının alınması ile serinin durağan hale geldiği, diğer bir ifadeyle serinin
birinci sıra I(1) durağan olduğu bulunmuştur. Buna göre, İMKB piyasasının etkinliği düşük bir
piyasa olduğu söylenebilir.
Finansal değişkenlerin t dönemindeki değeri ( Pt ) genellikle t − 1 veya t − k gibi daha çok
gecikmeli dönemlerdeki değerlerinden etkilenebilmektedir. Finansal değişkenlere ait verilerin t
dönemi ile k’ya kadar olan gecikme dönemlerindeki hata terimleri arasında görülen otokorelasyon
özelliğinin günlük getiri verilerinde bulunup bulunmadığının belirlenmesi amacıyla 36 gecikmeli
değere kadar otokorelasyon fonksiyonu (ACF) ile kısmi otokorelasyon fonksiyonlarını (PACF)
veren korelogramlardan yararlanılmıştır. Ayrıca, Breusch-Godfrey Lagrange çarpanı
(Otokorelasyon LM) testinden yararlanılmıştır. ACF ve PACF fonksiyonları ve Otokorelasyon
LM testi ile günlük getiri verisine ait sadece sabit terimin bulunduğu modelde yüksek gecikmeli
değerlerde otokorelasyon sorununun bulunduğu, modelin sağ tarafına otoregressif ve hareketli
ortalama (ARMA) terimlerinin bağımsız değişken olarak eklenmesi ile modelin hata
terimlerindeki otokorelasyon sorununun ortadan kalktığı görülmüştür. ARCH modellerinin koşullu
ortalama denklemlerinde AR ve MA değişkenlerinin yer alması ile modellerin hata terimlerindeki
otokorelasyon sorununun ortadan kalktığı belirlenmiştir.
Volatilite modellerinden ARCH ailesine ait modellerin finansal verilerin modellenmesinde
kullanılabilmesi için, öncelikle verilerde otoregresif koşullu değişen varyans (ARCH) etkilerinin
bulunup bulunmadığının belirlenmesi gerekmektedir. Bu amaçla gerçekleştirilen ARCH LM
testinde günlük getiri verilerinde otoregresif koşullu değişen varyans etkilerinin bulunduğu
belirlenmiştir.
İMKB endeksine ait günlük getiri verilerinin incelenmesinden, verilerde otokorelasyon ve
ARCH etkilerinin mevcut olduğu belirlenmiştir. Bu nedenle, verilerdeki volatilitenin
modellenmesinde otoregressif koşullu değişen varyans modellerinin (ARCH) kullanılabileceği
sonucuna ulaşılmıştır.
14
6.2 Modellerin Tahmin Edilmesi
İMKB endekslerindeki volatilitenin modellenmesi süreci üç ayrı bölümde ele alınmıştır. İlk
bölümde aylık, ikinci bölümde haftalık volatilite verileri, üçüncü bölümde ise günlük getiri verileri
kullanılarak GARCH, EGARCH, GJR-GARCH, Asimetrik PARCH ve Asimetrik CGARCH
modelleri tahmin edilmiştir7.
Modellerin tahmini esnasında, standart GARCH modelinin temel varsayımlarından olan
hata terimlerinin koşullu dağılımının Normal dağılım özelliği gösterdiği varsayımının
sağlanmadığı görülmüştür. Bu nedenle, modellerin tahmininde Bollerslev-Wooldridge (1992)
tarafından geliştirilen “quasi-maximum likelihood (QML)” yöntemi kullanılmıştır8.
Ayrıca, İMKB endekslerine ait verilerdeki aşırı basıklık ve kalın kuyruk özellikleri
nedeniyle her bir model için hata terimlerinin koşullu dağılımında normal dağılımın yanında
Student-t ve GED dağılımları da kullanılmıştır.
Tahmin edilen modellerin ortalama denklemine, aylık ve haftalık veriler için ARMA(1,1)
modeli, günlük veriler için ise ARIMA(1,1,1) modeli ilave edilmiştir.
Volatilite ölçütü olarak haftalık ve aylık standart sapma verileri ve günlük getiri verileri ile
yapılan tahminlerde, modellerin asimetri parametrelerinin tahminleri büyük çoğunlukla istatistiksel
olarak anlamlı bulunmuştur. Modellerin tahmin sonuçları bir arada değerlendirildiğinde,
modellerin asimetri terimlerinin anlamlı olduğu, günlük, haftalık ve aylık verilerde asimetri ve
kaldıraç etkilerinin bulunduğu sonucuna ulaşılmıştır.
6.3 Öngörü
Finansal araçların getirilerindeki volatilitenin modellenmesinin yanında, getirilerde
geleceğe yönelik öngörülerde bulunmak (forecast) da finansal kararların alınmasında önemli bir
yere sahiptir. Bu bölümde, hisse senedi piyasasının volatilitesine ilişkin öngörülerde bulunmak
amacıyla daha önce tahmin edilen ARCH tipi modellerden yararlanılmıştır.
ARCH-tipi modeller, hata teriminin ( ut ) koşullu varyansındaki σ t2 değişimleri açıklayan
modellerdir. Modelin bu özelliği mevcut verilerdeki volatilite konusunda bilgi verirken, gelecekte
volatilitenin ne olacağı konusunda herhangi bir bilgi vermemektedir. Ancak,
var ( Rt | Rt −1 , Rt − 2 ,...) = var ( ut | ut −1 , ut − 2 ,...)
(24)
olduğu gösterilebilir (Brooks, 2002). Dolayısıyla, geçmiş değerleri veri iken Rt ’nin koşullu
varyansı, ut ’nin koşullu varyansı ile aynıdır (u’nun geçmiş değerleri de veri iken). Dolayısıyla,
koşullu varyansın modellenmesi getirilerin varyansının modelini ve öngörülerini de verecektir.
Koşullu varyans öngörüleri, aynı zamanda Rt ’nin gelecekteki varyansının da öngörüsü olacaktır.
İMKB endeksine ilişkin olarak günlük, haftalık ve aylık olarak yapılan öngörüler “statik”
olarak gerçekleştirilmiştir. Statik öngörüde her adımda tahmin edilen σ t2 ’lar bir sonraki günün
7
Modellerin parametrelerinin tahmin edilen değerleri talep edildiğinde verilebilecektir.
8
Finansal verilerin taşıdığı aşırı basıklık ve kalın kuyruk özellikleri nedeniyle, ARCH modellerinin varsayımlarından koşullu
standart sapmaların ( v t = u t σ t ) normal dağıldığı varsayımı genellikle ihlal edilmektedir. Koşullu standart sapmanın örneklemdeki
karşılığı olan standartlaştırılmış hata terimlerinin ( vˆt = uˆt σˆt ), ARCH modellerinde normal dağıldığı varsayımının ihlali, en yüksek
olabilirlik tahmini (maximum likelihood estimation, MLE) sonuçlarının (parametre tahminlerini etkilememesine rağmen) standart
hataların hesaplanmasında hatalı sonuçlar vermesine neden olmaktadır. Tahmin esnasında MLE tahmincisi ile tahmin edilen
günlük, haftalık ve aylık verilere ait modellerin standartlaştırılmış hata terimlerinin normal dağılıma uymadığı belirlenmiştir. Bu
nedenle, modellerin tahmininde Bollerslev-Wooldridge tarafından geliştirilen ve “quasi-maximum likelihood (QML)” olarak
adlandırılan tahmin yöntemi kullanılmıştır.
15
σ t2 ’nın tahmininde kullanılarak, öngörüler birer günlük, haftalık ve aylık olarak
gerçekleştirilmektedir. Her bir endekse ait günlük veriler için 249, haftalık veriler için 52 ve aylık
veriler içinse 12 adet öngörü gerçekleştirilmiştir.
Modellerin öngörü performansının değerlendirilebilmesi için her bir modelin öngörüleri
gerçekleşmelerle karşılaştırılarak simetrik ve asimetrik öngörü hatası istatistikleri hesaplanmıştır.
Her bir sektör endeksi itibariyle her bir modelin günlük, haftalık ve aylık öngörüsü için
hesaplanan simetrik öngörü hatası istatistiklerinden MAE, RMSE, MAPE ve TIC istatistiklerinin
değerleri, en kötü performans gösteren modelin istatistik değerine göre hesaplanan karşılaştırmalı
oranlar ve performanslarına göre modellerin sıralaması sırasıyla Tablo 2, 3 ve 4’de yer almaktadır.
Modellerin bileşik endekse ilişkin günlük, haftalık ve aylık volatilite öngörülerine ait
simetrik hata istatistiklerine göre performansları incelendiğinde;
günlük öngörülerde en iyi performansı hata dağılımları GED olan modellerin gösterdiği,
bunu Student-t dağılımlı modellerin takip ettiği, asimetrik modellerin yanında simetrik
GARCH modelinin de iyi bir performans gösterdiği,
haftalık öngörülerde belirgin bir şekilde en iyi performansı GED dağılımlı modellerin
gösterdiği, bunu Student-t dağılımlı modellerin takip ettiği, asimetrik modellerin en iyi
performans gösteren modeller olduğu,
aylık öngörülerde ise, Student-t ve GED dağılımlı modellerin en iyi performans gösteren
modeller olduğu, günlük öngörülere benzer şekilde asimetrik modellerin yanında
simetrik GARCH modelinin de iyi performans gösterdiği
belirlenmiştir.
Mali endekse ilişkin günlük, haftalık ve aylık volatilite öngörülerine ait simetrik hata
istatistiklerine göre model performansları incelendiğinde;
günlük öngörülerde, belirgin bir şekilde en iyi performansı GED dağılımlı modellerin
gösterdiği, bunları Student-t dağılımlı modellerin takip ettiği, simetrik GARCH
modelinin en iyi performans gösteren model olduğu, bunu GJR-GARCH, Asimetrik
PARCH ve EGARCH modellerinin takip ettiği,
haftalık öngörülerde, GED dağılımlı modellerin belirgin bir şekilde en iyi performans
gösteren modeller olduğu, günlük öngörülerin aksine asimetrik modellerin daha iyi
performans gösterdiği,
aylık öngörülerde ise, EGARCH modelinin belirgin bir şekilde en iyi performansı
gösterdiği
belirlenmiştir.
Hizmet endeksine ilişkin günlük, haftalık ve aylık volatilite öngörülerine ait simetrik hata
istatistiklerine göre model performansları incelendiğinde;
günlük öngörülerde, GED ve Student-t dağılımlı modellerin daha iyi performans
gösterdiği, simetrik GARCH modelinin en iyi performans gösteren model olduğu,
haftalık öngörülerde, GED modellerinin ön plana çıktığı, bunu Student-t dağılımlı
modellerin takip ettiği, simetrik GARCH modelinin Asimetrik PARCH modeli başta
olmak üzere diğer asimetrik modellerle birlikte iyi performans gösterdiği,
aylık öngörülerde ise, Student-t dağılımlı modellerin daha iyi performans gösterdiği,
bunu GED dağılımlı modellerin takip ettiği, EGARCH modelinin en iyi performans
gösteren model olduğu
belirlenmiştir.
16
Modellerin sınai endeksine ilişkin günlük, haftalık ve aylık volatilite öngörülerine ait
simetrik hata istatistiklerine göre model performansları incelendiğinde ise;
günlük öngörülerde, Student-t ve GED dağılımlı modellerin iyi performans gösterdiği,
asimetrik modellerin yanında simetrik GARCH modelinin de iyi performans gösteren
modeller arasında olduğu,
haftalık öngörülerde, belirgin bir şekilde en iyi performansı GED dağılımlı modellerin
gösterdiği, asimetrik modellerden özellikle Asimetrik CGARCH modelinin ön plana
çıktığı,
aylık öngörülerde ise, Student-t ve GED dağılımlı modellerin iyi performans gösterdiği,
Asimetrik PARCH modelinin en iyi performans gösteren model olduğu
belirlenmiştir.
Her bir sektör endeksi itibariyle her bir modelin günlük, haftalık ve aylık öngörüsü için
hesaplanan asimetrik öngörü hatası istatistikleri olan MME(U) ve MME(O) istatistiklerinin
değerleri, en kötü performans gösteren modelin istatistik değerine göre hesaplanan karşılaştırmalı
oranlar ve performanslarına göre modellerin sıralaması sırasıyla Tablo 5, 6 ve 7’de yer almaktadır.
Modellerin bileşik endekse ilişkin günlük, haftalık ve aylık volatilite öngörülerine ait
asimetrik hata istatistiklerine göre performansları incelendiğinde;
Hesaplanan MME(U) değerlerine göre gerçekleşen volatilitenin altında öngörülerde
bulunduğu için en çok cezalandırılan modeller günlük öngörülerde EGARCH modeli,
haftalık öngörülerde EGARCH-GED modeli, aylık öngörülerde ise GARCH-GED
modelidir. Günlük, haftalık ve aylık öngörülerde en az cezalandırılan model ise GARCH
modelidir.
MME(O) istatistiklerine göre, gerçekleşen volatilitenin üzerinde öngörülerde bulunduğu
için en çok cezalandırılan modeller günlük öngörülerde GARCH-t modeli, haftalık
öngörülerde Asimetrik PARCH modeli, aylık öngörülerde ise Asimetrik CGARCH
modelidir. Günlük, haftalık ve aylık öngörülerde en az cezalandırılan modeller ise
sırasıyla EGARCH, Asim. PARCH-t ve GARCH-GED modelleridir.
MME(O) ve MME(U) istatistikleri birlikte değerlendirildiğinde; günlük, haftalık ve aylık
öngörülerde gerçekleşen volatiliteye göre en dengeli öngörülerde bulunan modeller
sırasıyla GARCH-t, Asim. PARCH-t ve GARCH-GED modelleridir.
Modellerin mali endekse ilişkin günlük, haftalık ve aylık volatilite öngörülerine ait
asimetrik hata istatistiklerine göre performansları incelendiğinde;
MME(U) değerlerine göre günlük, haftalık ve aylık öngörülerde gerçekleşen volatilitenin
altında öngörülerde bulunduğu için en çok cezalandırılan modeller sırasıyla Asim.
GARCH-t, EGARCH-GED ve EGARCH modelleridir. En az cezalandırılan modeller ise
sırasıyla EGARCH-t, GJR-GARCH ve GJR-GARCH-t modelleridir.
MME(O) istatistiklerine göre günlük, haftalık ve aylık öngörülerde gerçekleşen
volatilitenin üzerinde öngörülerde bulunduğu için en çok cezalandırılan modeller ise
sırasıyla Asim. CGARCH, GJR-GARCH ve Asim. CGARCH modelleridir. En az
cezalandırılan modeller ise sırasıyla Asim. GARCH-GED, EGARCH-GED ve EGARCH
modelleridir.
MME(O) ve MME(U) istatistikleri birlikte değerlendirildiğinde; günlük, haftalık ve aylık
öngörülerde gerçekleşen volatiliteye göre en dengeli öngörülerde bulunan modeller
sırasıyla GARCH, GARCH-GED ve EGARCH-t modelleridir.
17
Modellerin hizmet endeksine ilişkin günlük, haftalık ve aylık volatilite öngörülerine ait
asimetrik hata istatistiklerine göre performansları incelendiğinde;
MME(U) değerlerine göre günlük, haftalık ve aylık öngörülerde gerçekleşen volatilitenin
altında öngörülerde bulunduğu için en çok cezalandırılan modeller sırasıyla Asim.
CGARCH-t, GARCH-GED ve EGARCH-t modelleridir. En az cezalandırılan modeller
ise sırasıyla GARCH-t, GJR-GARCH ve GJR-GARCH-GED modelleridir.
MME(O) istatistiklerine göre günlük, haftalık ve aylık öngörülerde gerçekleşen
volatilitenin üzerinde öngörülerde bulunduğu için en çok cezalandırılan modeller
sırasıyla GARCH, GJR-GARCH ve EGARCH modelleridir. En az cezalandırılan
modeller ise sırasıyla Asim. CGARCH-t, GARCH-GED ve EGARCH-t modelleridir.
MME(O) ve MME(U) istatistikleri birlikte değerlendirildiğinde; günlük, haftalık ve aylık
öngörülerde gerçekleşen volatiliteye göre en dengeli öngörülerde bulunan modeller
sırasıyla GARCH, GARCH-GED ve EGARCH-t modelleridir.
Son olarak öngörü modellerinin sınai endeksine ilişkin günlük, haftalık ve aylık volatilite
öngörülerine ait asimetrik hata istatistiklerine göre performansları incelendiğinde ise;
MME(U) istatistiğine göre günlük, haftalık ve aylık öngörülerde gerçekleşen volatilitenin
altında öngörülerde bulunduğu için en çok cezalandırılan modeller sırasıyla Asim.
PARCH, Asim CGARCH-GED ve Asim. PARCH-t modelleridir. En az cezalandırılan
modeller ise sırasıyla GARCH-t, GJR-GARCH ve GJR-GARCH-GED modelleridir.
MME(O) istatistiklerine göre günlük, haftalık ve aylık öngörülerde gerçekleşen
volatilitenin üzerinde öngörülerde bulunduğu için en çok cezalandırılan modeller
sırasıyla GARCH-t, GJR-GARCH ve Asim. CGARCH modelleridir. En az cezalandırılan
modeller ise sırasıyla Asim. PARCH, Asim CGARCH-GED ve EGARCH-t modelleridir.
MME(O) ve MME(U) istatistikleri birlikte değerlendirildiğinde; günlük, haftalık ve aylık
öngörülerde gerçekleşen volatiliteye göre en dengeli öngörülerde bulunan modeller
sırasıyla Asim. CGARCH-t, Asim. CGARCH-GED ve EGARCH-t modelleridir.
7
SONUÇ VE DEĞERLENDİRME
Çalışmada, İMKB Bileşik, Mali, Hizmet ve Sınai endekslerine ait 1997-2004 dönemine ait
günlük, haftalık ve aylık volatilite verilerinde, finansal verilerde sıkça rastlanan volatilite
kümelenmesi, asimetrik fiyat hareketleri, kaldıraç etkisi ve kalın kuyruk özellikleri araştırılmıştır.
Volatiliteyi modellemek için günlük, haftalık ve aylık bazda ARCH tipi değişen varyansa dayalı
modeller kullanılmıştır. Simetrik hareketleri modelleyen GARCH modelinin yanında asimetrik
hareketlerin modellenmesinde EGARCH, GJR-GARCH, Asimetrik PARCH ve Asimetrik
CGARCH modellerinden yararlanılmıştır. İMKB sektör endekslerine ait 1997-2003 yıllarına ait
veriler modellerin tahmininde (estimation), 2004 yılına ait veriler ise modellerin öngörü (forecast)
performanslarının değerlendirilmesinde kullanılmıştır. Tahmin edilen modellerle günlük, haftalık
ve aylık olarak öngörülerde bulunulmuş ve bu öngörüler aynı döneme ait gerçekleşen volatilite ile
karşılaştırılarak modellerin öngörü performansları değerlendirilmiştir. Değerlendirmede simetrik
ve asimetrik öngörü hatası istatistiklerinden yararlanılmıştır.
Diğer finansal verilerde olduğu gibi İMKB endekslerine ait verilerde bulunan aşırı basıklık
ve kalın kuyruk özelliklerinin, ARCH modellerinin varsayımlarından koşullu standart sapmaların
normal dağıldığı varsayımını ihlal edilmesine neden olduğu belirlenmiştir. Bu nedenle modellerin
hata terimlerinin koşullu dağılımlarında, verilerdeki aşırı basıklık ve kalın kuyruk özelliklerini
dikkate alan Student-t ve GED dağılımlarından da yararlanılmıştır.
Model tahminlerinde, İMKB endeksine ait haftalık verilerde asimetri ve kaldıraç etkileri
belirgin bir şekilde öne çıkarken, günlük verilerde asimetri etkisi nispeten daha düşük olarak
18
bulunmuştur. Günlük, haftalık ve aylık verilerle yapılan tahminlerde, olumsuz haberlerin volatilite
üzerindeki etkisinin olumlu haberlerden daha yüksek olduğu yani kaldıraç etkisinin mevcut olduğu
belirlenmiştir. Bunun en önemli nedenlerinden ilkinin, yatırımcıların son 10-15 yılda belli
dönemlerde yaşanan krizlerden edindikleri tecrübeyle olumsuz haberlere karşı gösterdikleri aşırı
reaksiyon olduğu söylenebilir. Diğer bir nedenin ise İMKB piyasasının yeterince derin olmaması
nedeniyle yatırımcıların özellikle düşüş yönlü spekülatif hareketlere karşı aşırı hassas olmaları
olduğu söylenebilir. Olumsuz senaryolara göre oluşturulan beklentiler endeksteki aşağı yönlü
hareketlerin yukarı yönlü hareketlerden daha şiddetli olmasına neden olmaktadır.
Modellerle yapılan öngörülerde, haftalık ve aylık verilerle yapılan öngörülerin daha isabetli
sonuçlar verdiği, günlük öngörülerde ise günlük verilerdeki yüksek derecedeki volatilitenin
modellenmesinde ARCH tipi modellerin yetersiz kaldığı belirlenmiştir. ARCH tipi modellerin
günlük verilerdeki aşırı volatilitenin modellenmesinde yetersiz kalmasına rağmen haftalık ve aylık
volatilite öngörülerinde daha başarılı olduğu söylenebilir.
Çalışmada, volatilite modellerinden yararlanılarak İMKB piyasalarındaki volatilite
modellenmiş ve volatilite öngörülerinde bulunulmuştur. Bu aşamada, modellere Riske Maruz
Değer (RMD) boyutu dahil edilmemiştir. Çalışmadaki modeller finansal karar alma ve risk
yönetimi amaçlarına dönük olarak doğrudan kullanılabileceği gibi RMD hesaplamalarında yer alan
volatilite değişkeninin tahmininde ve öngörüsünde yararlanılmak suretiyle de kullanılabilecektir.
19
KAYNAKÇA
[1]
Ahlstedt, M. (1998) “Analysis of Financial Risks in a GARCH Framework”, Suomen Pankki, Bank of
Finland, Helsinki, Finland.
[2]
Andersen, T.G. (1996) “Return Volatility and Trading Volume: An Information Flow Interpretation of
Stochastic Volatility”, Journal of Finance, Vol. 51, No: 1.
[3]
Aydemir, A. B. (1998) “Volatility Modelling in Finance”, yer aldığı kitap J. Knight & S. Satchell (eds.)
Forecasting Volatility in the Financial Markets. Oxford. UK. Butterwoth-Heinemann, 1-46.
[4]
Balaban, E. (1999), “Forecasting Stock Market Volatility: Evidence from Turkey”, The ISE Finance
Award Series Volume: 1, International Conference in Economics at the Middle East Technical University in
1999.
[5]
Bera, A.K., H.L. Higgins (1993) “A Survey of ARCH Models: Properties, Estimation and Testing”,
Journal of Economic Surveys, Vol. 7 no. 4, 1993.
[6]
Bollerslev, T. (1987) “A Conditionally Heteroskedastic Time Series Model for Speculative Prices and
Rates of Return,” Review of Economics and Statistics, Vol. 69, pp. 542-547.
[7]
Bollerslev, T. (1986) “Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity,” Journal of
Econometrics, Vol. 31, pp. 307-327.
[8]
Bollerslev, T., R.Y. Chou, K.F. Kroner (1992) “ARCH Modeling in Finance: A Review of the Theory and
Empirical Evidence,” Journal of Econometrics, Vol. 52, pp. 5-59.
[9]
Bollerslev, T., Wooldridge J. M. (1992) "Quasi-Maximum Likelihood Estimation and Inference in
Dynamic Models with Time Varying Covariances," Econometric Reviews, 11, 143-172.
[10]
Bollerslev, T., R.F. Engle, D.B. Nelson (1994) Handbook of Econometrics: Volume IV (Chapter 49, ARCH
Models), pp. 2959-3038, Elsevier Science B.V.
[11]
Brooks, Chris (2002) Introductory Econometrics for Finance, Cambridge University Press, Cambridge, UK.
[12]
Campbell, J.Y., Lo, A.W. and MacKinlay, A.C. (1997) The Econometrics of Financial Markets, Princeton
University Press, Princeton, New Jersey.
[13]
Ding, Z., C. W. J. Granger, and R. F. Engle (1993). “A Long Memory Property of Stock Market Returns
and a New Model,” Journal of Empirical Finance, 1, 83–106.
[14]
Engle, Robert F. (1982) “Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance
of United Kingdom Inflation,” Econometrica, Vol. 50, pp. 987-1007.
[15]
Feinstein, S. P. (1987) “Stock Market Volatility”, Federal Reserve Bank of Atlanta Economic Review,
November/December, 42-47.
[16]
Figlewski, S. (1994) “Forecasting Volatility Using Historical Data”, New York University Working Paper,
S-94-13.
[17]
Figlewski, S. (1997) “Forecasting Volatility”, Financial Markets, Institutions & Instruments, 6(1).
[18]
Glosten, L.R., Jaganathan,R. and Runkle, D. (1993) "On the Relation between the Expected Value and
the Volatility of the Normal Excess Return on Stocks," Journal of Finance, 48, 1779-1801.
[19]
Hsieh, D.A. (1989) “Testing for Nonlinear Dependence in Daily Foreign Exchange Rates”, Journal of
Business 62(3), 339-368.
[20]
Hsieh, D.A. (1991) “Chaos and Nonlinear Dynamics, Application to Financial Markets”, Journal of
Finance, Vol. 46, No.5.
[21]
Hull, J., White, A. (1987) “Hedging the Risks from Writing Foreign Currency Options”, Journal of
International Money and Finance, 6.
[22]
Knight, J., Satchell, S. (eds.) (1998) Forecasting Volatility in the Financial Markets. Butterwoth-Heinemann,
Oxford. UK.
[23]
Kupiec, P. (1991) “Stock Market Volatility in OECD Countries: Recent Trends, Consequences for the
Real Economy, and Proposals for Reform”, Economic Studies, 17, 31-63.
[24]
Mandelbrot, B. (1963) “The Variation of Certain Speculative Prices”, Journal of Business, Vol. 36, 394419.
20
[25]
Mazıbaş, M. (2004) “İMKB Piyasasındaki Volatilitenin ve Asimetrik Fiyat Hareketlerinin
Modellenmesi ve Öngörülmesi: GARCH Uygulaması”, VIII. Ulusal Finans Sempozyumunda Sunulan
Bildiri, 27-28 Ekim 2004, Sempozyum Bildiri Kitabı, İstanbul.
[26]
Mills, T.C. (1993) The Econometric Modelling of Financial Time Series, Cambridge University Press,
Cambridge, UK.
[27]
Mitchell, H., McKenzie, M.D. (2003) “GARCH Model Selection Criteria”, Quantitative Finance, Vol 3,
262-284.
[28]
Muradoğlu, G., Metin K. (1996) “Efficiency of the Turkish Stock Market with respect to Monetary
Variables: A Cointegration Analysis, European Journal of Operational Research, 90, 566-576.
[29]
Nelson, D.B. (1991) “Conditional Heteroscedasticity in Asset Returns: A New Approach”,
Econometrica, Vol. 55, 703-708.
[30]
Nerlove, M., Diebold F.X., van Beeck, H., Cheung, Y.-W. (1988) “A Multivariate ARCH Model of
Foreign Exchange Rate Determination”, Research Report.
[31]
Okay, N. (1998) “Asymmetric Volatility Dynamics: Evidence from the Istanbul Stock Exchange”,
makalenin yer aldığı kitap, D. Kantarelis (ed) Business & Economics for the 21st Century-Volume II, Selected
Papers: 1998 Business & Economics Society International Conference.
[32]
Pindyck, R.S., Rubinfeld D.L. (1991) Econometric Models and Economic Forecasts, 3rd edition, McGrawHill.
[33]
Quantitative Micro Software, LLC (2001) E-Views 4.0 Econometrics Package, “E-Views 4.0 User’s Guide”,
CA.
[34]
Scott, L. O. /1991) “Financial Market Volatility: A Survey”, IMF Staff Papers, 38, 582-625.
[35]
Schwert, W. (1989) “Stock Volatility and Crash of ‘87,” Review of Financial Studies, 3, 77–102.
[36]
Taylor, S. (1986) “Modeling Financial Time Series”, New York, John Wiley & Sons.
[37]
Taylor, S.J. (1993) “Modelling Stochastic Volatility”, Mathematical Finance.
[38]
The MathWorks, Inc. (2002) MatLab 6.1 Mathematics Package, “GARCH Toolbox User’s Guide”, Version 2.
Massachusetts.
[39]
Yavan, Z. A. ve Aybar C.B. (1998) “İMKB’de Oynaklık”, İMKB Dergisi, 2 (6), 35-47.
[40]
Yılmaz M.K. (1997) “Hisse Senedi Fiyat Oynaklığı ve Fiyat Oynaklığının Vade Yapısı: Türkiye İçin
Genel Bir Değerlendirme”, İMKB Dergisi 1 (3), 25-45.
[41]
Zakoïan, J.M. (1994) "Threshold Heteroskedastic Models," Journal of Economic Dynamics and Control,
18, 931-944.
21
TABLO ve GRAFİKLER
Grafik 1: İMKB Hisse Senedi Piyasasına ait Endeksler (Fiyat Verileri)
Grafik 2: İMKB Endeksleri Günlük Getiri Verileri
Grafik 3: İMKB Piyasalarındaki Haftalık Volatilite
Grafik 4: İMKB Piyasalarındaki Aylık Volatilite
22
Tablo 1: Günlük, haftalık ve aylık verilerin tahmin dönemi, öngörü dönemi ve tüm döneme ait
betimleyici istatistikleri
23
Tablo 2: Günlük Volatilite Öngörülerine Ait Simetrik Öngörü Hatası Test İstatistiği Hesaplamaları ve Modellerin Performans Karşılaştırmaları
MAE: ortalama mutlak hata (mean absolute error), RMSE: ortalama hata karesinin kökü (Root Mean Squared Error), MAPE: ortalama mutlak yüzdelik hata (Mean Absolute
Percent Error) HD:Hesaplanan istatistik değerini, KO: modellerin en kötü performans gösteren modele göre karşılaştırmalı oranını, MS: performanslarına göre modellerin en
iyiden kötüye doğru sıralamasını göstermektedir.
24
Tablo 3: Haftalık Volatilite Öngörülerine Ait Simetrik Öngörü Hatası Test İstatistiği Hesaplamaları ve Modellerin Performans Karşılaştırmaları:
25
Tablo 4: Aylık Volatilite Öngörülerine Ait Simetrik Öngörü Hatası Test İstatistiği Hesaplamaları ve Modellerin Performans Karşılaştırmaları
26
Tablo5: Günlük Volatilite Öngörülerine Ait Asimetrik Öngörü Hatası Test İstatistiği Hesaplamaları ve Modellerin Performans Karşılaştırmaları
27
Tablo 6: Haftalık Volatilite Öngörülerine Ait Asimetrik Öngörü Hatası Test İstatistiği Hesaplamaları ve Modellerin Performans Karşılaştırmaları
28
Tablo 7: Aylık Volatilite Öngörülerine Ait Asimetrik Öngörü Hatası Test İstatistiği Hesaplamaları ve Modellerin Performans Karşılaştırmaları
29