Faydalı Formüller

MUKAVEMET
FORMÜLLER,
TABLOLAR VE
ŞEKĐLLER.
2008/09
1
2D Statik Denge Denklemleri:
→ + ∑ Fx = 0 ↑ + ∑ Fy = 0 ∑ M = 0
Eksenel Gerilme
P
σ =
A
Kayma gerilmesi ile Hooke Kanunu
τ = Gγ
,τ
– kayma gerilmesi
G - rijidlik modülü
γ
sabitler arasındaki ilişki ;
σ – Normal gerilme
G=
P – Kuvvet
A – Kesit Alanı
Ortalama Kayma Gerilmesi
τ ort .
V
=
A
τ–
,
büyük gerilme ( standart deneylerle saptanır)
σ ; dış yüklerin etkisinde elemanda oluşan gerilme (hesaplanan)
(veya müsaade edilen tasarım gerilmesi =emniyetli gerilme)
s
= σ em.
Genleme (strain)
δ
ε =
L0
ε – genleme (birim şekil değiştirme)
δ – uzunluktaki değişim
L0 – ilk (original) uzunluk
Kayma genlemesi (shear strain)
π
γ =
γ
−θ
2
2(1 + ν )
Eksenel Yükleme-Deformasyon
δ =∫
– kayma genlemesi
δ / L -küçük açılar için
P(x )
L
Kayma Gerilmesi
Emniyetli Gerilme (Allowable Stress) – Emniyet Katsayısı (s)
σs ; Sınır gerilme, malzemenin hasarlanmadan taşıyabileceği en
σ≤
E
0
V – kesme kuvveti
A - kesit alanı
σs
- kayma genlemesi
A(x )E
dx
Uzunluktaki değişim (A=sabit ve E=sabit ise)
δ=
PL
AE
Değişik kısımlardan oluşan eksenel yükler etkisinde uzunluktaki değişim
"
Pi Li
i =1
Ai E i
δ =∑
δ
P
L
A
E
N
uzunluktaki değişim
belirli bir kısımdaki yük
belirli bir kısmın uzunluğu
belirli bir kısmın kesit alanı
belirli bir kısmın elastisite modülü
belirli kısım sayısı
Isıl genleme ve şekil değiştirmeler
δ = α.∆T. L
δ
α
∆T
L
uzunluktaki değişim
ısıl genleşme katsayısı
sıcaklıktaki değişim
belirli bir kısmın uzunluğu
Sıcaklık nedeniyle iki şekilde genleme oluşabilir ;
1. Gerilme olmaksızın genleme
2. Gerilmeli genleme
Hooke Kanunu
Statikçe belirsiz eksenel yükler
σ = Eε
σ
,
– Normal gerilme
1.
E – Elastisite modülü
2.
Durum 1 : δ 1 = δ 2
Durum 2: geometric şartlar
δ1
ε - genleme
L1
Rezilyans Modülü
1
1
u r = σ pl ε pl = σ pl2 / E
2
2
Tokluk (Modulus of Toughness), ut gerilme-genleme eğrisi altında
kalan toplam alan.
3.
δ2
=
L1 + L2
Durum 3: δAt + δBt − δboşluk = δA + δB
Eksenel elemanların integrasyonu
dF (x )
+ q(x ) = 0
[1]
dx
Poisson oranı
ε
ν = − enine
ε boyuna
 du

F ( x ) = AE  − α∆T ( x )
 dx

[ 2 ] (here,
ε=
du )
dx
∆V = − ∫ w( x )dx & ∆M = ∫ V ( x )dx
Burulma (Torsion)
Kayma Gerilmesi (Shear Stress)
Slope on the moment diagram is the value of the shear diagram.
4.
Tr
τ=
dV
dM
= −w (x ) &
= V (x )
dx
dx
J
τ
r
T
J
kayma gerilmesi
dış yarıçap
Burulma momenti (TORK, torque (F-L))
polar atalet momenti
π
J=
2
π
J=
2
r4
Değişik yükler için SĐNGÜLARĐTE FONKSĐYONLARI.
ici dolu mil
[r
4
o
− ri 4 ]
içi boş mil
Kuvvet
Moment
< x–a>
Tekil kuvvet
< x–a>
Yayılı yük
< x–a>
Üçgen yayılı
yük
< x–a>
Kuvvet
Moment
GÜÇ
T ≅ 9550
N = Tω = Τ 2 π f,
N
T
ω
f
Function
-2
" ( kW )
= ..... "m
n ( d / dak .)
-1
0
-w < x – a>
1
Üçgen yayılı
yük
1
M(x)
0
-M < x – a>
1
-F < x – a>
-1
0
-F< x–a>
1
-w < x – a >
Yayılı yük
0
-(w/L) < x – a>
V(x)
-M < x – a >
Tekil kuvvet
güç (kuvvet-uzunluk/zaman)
Tork (Burulma Momenti)
açısal hız rad/s
frekans Hz.
F(x)
-2
-M < x – a>
-1
-F < x – a>
-(w/2) < x – a>
-(w/2L)< x – a >
2
2
-(w/6L) < x – a>
3
Atalet Momenti
Atalet momenti ve ağırlık merkezi bulmak için tablo
Burulma Açısı
θ =∫
L
0
niAi
T (x )
J ( x )G
niAiyi
niIi
di2niAi
di
dx
Sabit kesit için
θ=
yi
TL
Ai
yi
Ii
Kesit alanı
Belirli bir bölgenin ağırlık merkezi
atalet momenti
Prizmatik kesitler için , I = 1 bh 3
JG
12
π 4
Içi dolu dairesel kesit, I =
Değişik kesitlerden oluşan elemanlar için
r
4
"
θ =∑
i =1
θ
T
L
J
G
N
Içi boş dairesel kesit, I = π r 4 − r 4
o
i
[
Ti Li
J iGi
burulma açısı (radians)
belirli bir kısımdaki tork
belirli bir kısımdaki
belirli bir kısmın polar atalet momenti
belirli bir kısmın rijitlik modülü
belirli bölüm sayısı
4
di
ağırlık merkezinden olan uzaklık
ni
Elastisite modulleri oranı  Ei

]
( yi − y )

E j 
Ağırlık Merkezi—(T.E. nin yeri )
Statikçe belirsiz Tork
"
i
Uygunluk şartları
1. Case 1 : θ1 + θ2 = 0 & Τ1 + Τ = Τ2
2. Case 2: θ1 = θ2 & Τ1 + Τ2 =Τ
Kesme kuvveti (KK) ve Eğilme Momenti (EM) Diy.
1.
2.
3.
mesnet tepki kuvvetlerini bulun
Find V(x)
Find M(x) , which is the area under the shear diagram
∑n A y
y=
i
i
i =1
"
∑n A
i
i
i =1
Atalet Momenti ;
"
"
i =1
i =1
I = ∑ ni I i + ∑ ni Ai d i2
3
Elastik Eğilme gerilmesi (Flexural Stress)
σ =−
My
n
I
σ
eğilme gerilmesi
eğilme momenti
atalet momenti
T.E. den uzaklık
elastisite modulleri oranı
M
I
y
n
Basınçlı kaplar
1.
küresel kaplar
σ t = σ ek . =
2.
silindirik kaplar
σ ek . =
σek.
σt
P
r
t
Pr
2t
Pr
Pr
&σ t =
2t
t
eksenel (boyuna ) gerilme
teğetsel gerilme
iç basınç
iç yarıçap
cıdar kalınlığı
Kesit modülü – Section Modulus
I
S zz = zz
y max
Izz
ymax
z eksenine gore atalet momenti
T.E. den uzaklık
Bileşik yükleme
1.
σ =
P
τ=
Tr
Eksenel Yükleme
A
2.
Burulma
3.
Eğilme Gerilmesi
J
σ =−
My
τ =
VQ
I
Kayma (kesme) gerilmesi
4.
VQ
τ=
Ib
V
I
b
Q
5.
KK diy. dan alınan kesme kuvveti
moment of inertia
kesilen kesit kalınlığı
birinci moment
"
"
Q = ∑ Ai d i = ∑ Ai ( y i − y )
i =1
Q=
2
Kesme gerilmesi,
σ ek .
Đç Basınç
Ib
Pr
Pr
=
&σ t =
2t
t
Süperpozisyon prensibi
1.
2.
Her bir yük için ayrı ayrı gerilme hesaplayın
Sonra bulduğunuz gerilmeleri toplayın
i =1
[r
3
o
− ri
3
] -- hollow cylinder at neutral axis
Düzlem gerilme (2D) Dönüşüm Đfadeleri
3
Kayma akısı
q=
VQ
I
q
V
Q
I
kayma akısı (kuvvet/uzunluk )
kesme kuvveti
birinci moment (can include n*A)
moment of inertia
Bağlantı elemanları arası mesafe
s=
s
n
F
q
n.F
q
Đşaret Kuralı
Açı
θ
(+) SYT
Kayma gerilmesi
τxy
(+) SYT (Düşey Dz. de) ( - ) SY (Dşy Dz. de)
Normal gerilme
σ
(+) Çekme
( - ) SY
( - ) Basma
Bağlantı elemanları arası mesafe
bağlantı elemanı sayısı
bir elemana gelen kuvvet
kayma akısı
4
σ x +σ y
σ ′x =
2
σ x +σ y
σ ′y =
2
σ x −σ y
+

2


 cos(2θ ) + τ xy sin (2θ )


σ x −σ y
−

2


 cos(2θ ) − τ xy sin (2θ )


σ x −σ y

2

τ xy′ = −

 sin (2θ ) + τ xy cos(2θ )


En Büyük Kayma (EBK) Gerilmesi
τ max −3 D =
σ p max − σ p min
,σ ort . =
2
σ x +σ y
2
where, σ3 or σz =0 dır basınçlı kabın iç yüzeyi hariç, iç yüzeyde
σ3= - p = iç basınç.
Mohr Dairesinin Çizimi
Asal Gerilmeler
σ p1 , σ p 2 =
σ p3
σx +σ y
2
= 0 or − P
σ x −σ y
± 

2

1.
2.
3.
4.
2

 + τ xy 2


Genel Hooke Yasası
Asal Düzlem ve EBK düzlemi Açıları
 2τ

σ −σ


 x
y
xy
(
)
=
−
tan 2θ p = 
,
tan
2
θ
s


σ −σ 
 2τ
xy
y 
 x

( )
σp1,p2
σ x νσ y νσ z
εx = +





E
εy = −
σx
Düsey dz. de x yönünde etki eden normal gerilme
σy
Yatay dz. de y yönünde etki eden normal
τxy
Düşey dz. de etki eden kayma gerilmesi
σx’, σy’, τxy’ ; Dönüştürülmüş gerilmeler
θp
θs
Dairenin merkezinin koordinatlarını (σort. ; 0) bulun
Dairenin yarıçapını bulun (R= ……..)
Daireyi çizin.
Dairenin yarıçapı en büyük kayma gerilmesi, dairenin
yatay ekseni kestiği noktalar asal gerilmelerdir.
εz = −
νσ x
E
+
bu ifadelerde ;
−
E
E
σ y νσ z
E
−
−
E
+
E
σz
E
, τ yz = G γ yz
Asal gerilme dz. lerini elde etmek için döndürülmesi gereken açı
max. Kayma gerilmesi. dz. lerini elde etmek için döndürülmesi
gereken açı
E
νσ x νσ y
τ xy = G γ xy
(Note τxy’ is acting on the Düşey Dz.)
−
G=
, τ zx = G γ zx
E
2 (1 +ν )
Asal gerilmeler
Birim Hacımdaki değişim
Mohr Dairesi
e=
Grafik Yöntem.
σ x −σ y
yarıçap , R = 

2

σ x +σ y
merkez (σ ort . ) =
2
(σ x + σ y + σ z ) [ ]
∆V
= εx +εy +εz =
1 − 2ν
V0
E
2

 + τ xy 2


σp1 = merkez (σort) + R
σp2 = merkez (σort)- R
σn = merkez (σort) + Rcos(θ’)
τn = Rsin(θ’)
τmax.(2D) = R
Düzlem Gerilme (2D) Hali
Gerilmeler yardımıyla genlemelerin bulunması
1
(σ x −νσ y ) ⇒ σ x = E 2 [ε x +νε y ]
1 −ν
E
1
E
[ε y +νε x ]
ε y = (σ y −νσ x ) ⇒ σ y =
1 −ν 2
E
ν (σ x + σ y )
⇒σz = 0
εx = −
E
εx =
γ xy =
τ xy
G
⇒ τ xy = Gγ xy
5
(b) Ve sınır değer çözümlerinden faydalanarak asıl problem
çözülür.
Elastik Eğri ve Eğim -Sehim Hesapları
Sehimi bulmak için integre edilecek moment ifadesi
1
M
κ = =
( eğğrilik
ρ EI
elastik eğri denklemi
2
d
y (x ) = M (x )
EI
dx 2
y(x)
M (x)
E
I
x’ deki yer değiştirme
x’ deki moment
Modulus of elasticity
Moment of inertia
=
Pkr
Le
σkr
y
dy
dx
d2y
E. Momenti ( M ) = EI 2 = EIy ′′
dx
d3y
K . Kuvveti (V ) = EI 3 = EIy ′′′
dx
d4y
= EI 4 = EIy ′′′′
Yük ( − q )
dx
π 2 EI
L2e
=
π 2 EA
 Le 
 
 r 
π 2E
 Le 
 
 r 
2
Efektif uzunluk
kritik burkulma gerilmesi
kesit alanı
Modulus of elasticity
Atalet Momenti (Moment of inertia)
atalet yarıçapı (radius of gyration)
I
A
L/r
( EI sabit )
narinlik oranı
Efektif uzunluklar
Efektif uzunluk kolonun sınır şartlarına bağlıdır.
( EI sabit )
Bir ucu sabit, bir
ucu serbest
v(x)
w (x)
V (x)
M (x)
E
I
2
⇒ σ kr =
kritik burkulma yükü
r=
=
eğğim
Pkr =
A
E
I
r
Sınır şartları kullanılarak problem çözülür
Using the slope or deflection.
çokme ( sehim)
Kirişlerin Burkulması
Her iki ucu
pimli
Bir ucu sabit,
bir ucu pimli
Her iki ucu sabit
Displacement at location x
Force at location x
Shear at location x
Moment at location x
Modulus of elasticity
Moment of inertia
Kirişin sehimini hesaplamak için süperpozisyon
Kirişin herhangi bir noktasındaki eğimi ve sehimi hesaplamak için
tablolar kullanılır.
Fixed – Fixed translation Le=1.0L
Statikçe belirsiz kirişler
Đki yöntem var;
1.
Moment ifadesinin integrasyomu
(a) yayılı yük fonksiyonundan başlanabilir
(b) Đntegrasyon sabitlerini bulmak için sınır değer şartları
uyugulanır.
2.
Superposition Yöntemi;
(a) Problem static olarak belirli parçalara bölünür.
6
Standart Katsayılar
Bazı malzemelerin fiziksel özellikleri:
TEORĐK GERĐLME YIĞILMA FAKTÖRÜ (Kt) TABLOLARI ;
SABĐT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN DELĐKLĐ LEVHA
SABĐT KALINLIKLI EĞĐLMEYE ÇALIŞAN DELĐKLĐ LEVHA
7
SABĐT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN ÇENTĐKLĐ LEVHA
SABĐT KALINLIKLI ÇEKMEYE ÇALIŞAN FATURALI LEVHA
DAĐRESEL KESĐTLĐ ÇEKMEYE ÇALIŞAN FATURALI MĐL
SABĐT KALINLIKLI EĞĐLMEYE ÇALIŞAN ÇENTĐKLĐ LEVHA
SABĐT KALINLIKLI EĞĐLMEYE ÇALIŞAN FATURALI LEVHA
DAĐRESEL KESĐTLĐ BURULMAYA ÇALIŞAN FATURALI MĐL
8
DAĐRESEL KESĐTLĐ EĞĐLMEYE ÇALIŞAN MĐL
DAĐRESEL KESĐTLĐ ÇEKMEYE ÇALIŞAN MĐL
PĐMLĐ BAĞLANTI PĐM DELĐK ETKĐSĐ
DAĐRESEL KESĐTLĐ EĞĐLMEYE ÇALIŞAN MĐL
9
Kesme Kuvveti ve Eğilme Moment Diyagramlarının Grafik Yöntem ile çizimi için birkaç kural :
08/09
08/09
M
M UKAV
UKAVEM
EM ET
ET --II::
8.
8. Hafta
Hafta
dV
= −w
dx
xD
∫
∆V = VD − VC = − w dx
xC
UKAVEM
M UKAV
EM ET - I :
M UKAVEM
UKAV EM ET
ET --I ::
M
M UKAVEM
UKAV EM ET
ET - II:
dM
=V
dx
∫ V dx
xC
11
© 2008 NM
8.
8. Hafta
Hafta
V – F – (V + ∆V) = 0
∆V = – F
F aşağı doğru etki ettiğinde ∆V negatiftir,
bu nedenle KK diy. aşağı doğru şıçrar, F
yukarı doğru ise KK diy. da yukarı sıçrar.
M + ∆M – M0 – V ∆x – M = 0
∆M = M0
xD
∆M = M D − M C =
08/09
08/09
M0, SY (saat yönünde) ise ∆M pozitiftir ve EM diy. yukarı doğru şıçrar, M0
SYT (saat yönünün tersi) ise EM diy. da aşağı doğru sıçrar.
27
27
© 2008 NM
1- Kirişin herhangi bir kesidindeki kesme kuvveti diy. eğimi o kesitteki yayılı yükün şiddetine eşittir (-w=dV/dx). Kesme kuvveti diy.
değişim; tekil yükler nedeniyle sabit, düzgün yayılı yük nedeniyle lineer olur (eğimi yayılı yükün büyüklüğü ve işaretine bağlıdır)…
2- Kirişin herhangi bir kesidindeki eğilme momentinin x’ e göre değişimi o kesitteki kesme kuvvetinin değerine eşittir.
(V=dM/dx).Moment diy. değişim; tekil yükler nedeniyle lineer, düzgün yayılı yük nedeniyle 2. dereceden eğri şeklinde (parabolic)
olur.
3- Kesme kuvveti eğrisi kiriş üzerinde herhangi bir noktada tekil yük olmadığı müddetçe süreklidir. Eğer tekil yük varsa tekil yükün
büyüklüğü kadar sıçrama olur. (+ yük yukarı doğru)
4- Eğilme momenti eğrisi kiriş üzerinde herhangi bir noktada tekil moment olmadığı müddetçe süreklidir. Eğer tekil moment varsa
tekil momentin büyüklüğü kadar sıçrama olur. (+ (SDYT) moment negatif yönde )
5- Kirişin uç noktalarında tekil yük yoksa bu noktalarda kesme kuvveti sıfırdır.
6- Kirişin uç noktalarında tekil moment yoksa bu noktalarda eğilme momenti sıfırdır.
- Eğer kesme kuvveti pozitif ise moment diy. eğimi de pozitif, eğer kesme kuvveti negatif ise moment diy. eğimi de negatif eğime
sahiptir..
- Kesme kuvveti diyagramının sıfır olduğu yerde moment diy. eğimi değişir. (yani negatif veya pozitif en büyük moment
değerleri vardır)
10
11
12
S Tipi I-Kirişler
(SI Units)
(DAR BALIKLI I KİRİLER)
Tip No
S610 x 180
x 158
x 149
x 134
x 119
S510 x 143
x 128
x 112
x 98.2
S460 x 104
x 81.4
S380 x 74
x 64
S310 x 74
x 60.7
x 52
x 47
S250 x 52
x 38
S200 x 34
x 27
S180 x 30
x 22.8
S150 x 26
x 19
S130 x 22
x 15
S100 x 14.1
x 11
S75 x 11
x8
Birim Ağ.
kg/m
Alan
2
mm
Yük.
mm
Genişlik
mm
180.0
157.8
148.7
134.4
119.1
143.3
128.9
111.4
98.4
104.7
81.6
74.6
63.9
74.4
60.6
52.2
47.4
52.3
37.8
34.3
27.5
29.9
22.9
25.7
18.6
21.9
14.8
14.2
11.4
11.2
8.4
22,900
20,100
18,900
17,100
15,200
18,300
16,400
14,200
12,500
13,300
10,400
9,500
8,150
9,470
7,730
6,650
6,040
6,660
4,820
4,370
3,500
3,800
2,910
3,270
2,370
2,790
1,890
1,800
1,450
1,430
1,070
622
622
610
610
610
516
516
508
508
457
457
381
381
305
305
305
305
254
254
203
203
178
178
152
152
127
127
102
102
76
76
204
200
184
181
178
183
179
162
159
159
152
143
140
139
133
129
127
126
118
106
102
98
93
91
85
83
76
71
68
64
59
kalınlık
Web
Flanş
mm
mm
20.3
27.7
15.7
27.7
18.9
22.1
15.9
22.1
12.7
22.1
20.3
23.4
16.8
23.4
16.1
20.2
12.8
20.2
18.1
17.6
11.7
17.6
14.0
15.8
10.4
15.8
17.4
16.7
11.7
16.7
10.9
13.8
8.9
13.8
15.1
12.5
7.9
12.5
11.2
10.8
6.9
10.8
11.4
10.0
6.4
10.0
11.8
9.1
5.9
9.1
12.5
8.3
5.4
8.3
8.3
7.4
4.8
7.4
8.9
6.6
4.3
6.6
x-x axis
Ix
Sx
6
4
3
3
10 mm 10 mm
1,310
4,220
1,220
3,940
996
3,270
939
3,080
879
2,880
702
2,720
660
2,560
532
2,090
497
1,960
387
1,690
335
1,470
203
1,060
187
980
127
833
113
744
95.8
629
91.1
597
61.6
485
51.4
405
27.0
266
24.0
237
17.8
200
15.4
173
10.9
144
9.19
121
6.33
99.6
5.12
80.6
2.85
55.8
2.55
50.1
1.22
32.0
1.04
27.4
rx
mm
239
246
230
234
240
196
201
194
199
171
179
146
151
116
121
120
123
96.2
103
78.6
82.8
68.4
72.7
57.7
62.3
47.6
52.0
39.8
41.9
29.2
31.2
y-y axis
Iy
Sy
6
4
3
3
10 mm 10 mm
34.7
218
32.4
324
20.1
218
18.9
209
17.9
201
21.1
231
19.6
219
12.5
155
11.7
148
10.3
129
8.77
115
6.60
92.3
6.11
87.3
6.60
94.9
5.67
85.3
4.16
64.5
3.94
62.1
3.56
56.5
2.84
48.2
1.81
34.2
1.59
31.1
1.34
27.3
1.12
24.0
0.981
21.6
0.776
18.2
0.690
16.6
0.508
13.4
0.376
10.6
0.324
9.52
0.249
7.77
0.190
6.43
ry
mm
38.9
40.1
32.6
33.2
34.3
34.0
34.6
29.7
30.6
27.8
29.0
26.4
27.4
26.4
27.1
25.0
25.5
23.1
24.3
20.4
21.3
18.8
19.6
17.3
18.1
15.7
16.4
14.5
14.9
13.2
13.3
13
C tipi Kirişler
14
Çok kullanılan bazı kesitlerin geometrik özellikleri
15
A>KASTRE (KO>SOL) KĐRĐŞLER
KĐRĐŞ Beam
CABTILEVER BEAMS
EĞĐM Slope
SEHĐM Deflection
ELASTĐK EĞRĐ Elastic Curve
16
BASIT DESTEKLI KIRIŞLER SIMPLY SUPPORTED BEAMS
KĐRĐŞ Beam
EĞĐM Slope
SEHĐM Deflection
ELASTĐK EĞRĐ Elastic Curve
17
TEMEL YÜKLEME HALLERİ VE BUNLARA KARŞILIK KESME KUVVETİ, EĞİLME
MOMENTİNİN SİNGÜLARİTE FONKSİYONLARI CİNSİNDEN İFADESİ ;
nm-09
18