Untitled - TED Ankara Koleji

 “Ben öğrenim devrimde matematik konusuna çok önem vermişimdir ve bundan hayatımın çeşitli safhalarında başarı elde etmek için faydalanmış olduğumu söyleyebilirim. Onun için herkes matematik bilgisinin çok gerekli olduğuna inanmalıdır.”
***
“Bilim deyince, onda hakikat diye öne sürdüğü önermelerin pekin olmasını ister; pekinlik ise en mükemmel şekliyle matematikte bulunur. O halde bilim o disiplindir ki; önermeleri matematikle ifade edilir. O zaman matematiği kullanmayan disiplinler bilimin dışında kalacaklardır.”
£#£*
“Ruhunda bir şair barındırmıyorsan matematikçi olman imkânsızdır.” Bu sözler ünlü kadın matematikçi Sofya Kovalevskaya’ya ait. Hayatını cinsiyet ayrımcılığının had safhada olduğu bir dönemde, matematik gibi erkeklerin egemenliğinde olan bir bilim dalına adayan ve önüne çıkarılan onca engele rağmen pes etmeyip yaptığı çalışmalarla adını matematik tarihine yazdıran Sofya Kovalevskaya günümüzde özellikle kadın matematikçiler için bir rol model olmaya devam etmektedir. Kendisinin “Hakkında bilgi sahibi olma şansını yakalamış olanlar matematiği aritmetikle karıştırır ve onu yavan bir bilim zanneder ama aslında matematik çok geniş bir hayal gücüne ihtiyaç duyan bir bilimdir. “ sözlerine katılmamak ne mümkün? Çoğumuz matematiği sayılardan ve karmaşık görünen formüllerden ibaret zannetmiyor muyuz? Dört işlem yapmayı matematik yapmakla karıştırmıyor muyuz? Oysa matematikle yakından ilgilenme şansı bulanlar bilirler ki, matematikte ileri aşamalara geçildikçe somuttan soyuta bir geçiş olur ve sayıların yerini harfler alır. Bundan sonrasında ise matematikçilerin teoremler ortaya koyması tıpkı şairlerin şiir yazması gibi hayal gücü ve yaratıcılık gerektirir. Matematiğin içindeki güzellik ve estetik kavramları ancak bu noktadan sonra açığa çıkar. Bazı teorem ve ispatları güzel veya zarif olarak tanımlamamız da bu yüzdendir.. AETERNUM ekibi olarak, önceki sayılarımızda olduğu gibi bu sayımızda da siz sevgili okuyucularımıza matematiğin farklı yönlerini tanıtmayı, günlük hayatta hiç dikkat etmediğimiz pek çok alanda matematiğin farklı kullanımlarını göstermeyi amaçladık. Bu sayıda, ünlü Katalan mimar Gaudi’nin, “Sagrada Familia” gibi pek çok ünlü eserinde ilham aldığı matematiksel ve geometrik formlar; matematiğin son yıllarda oldukça popüler olan bazı bilgisayar oyunlarında kullanılışı; mükemmel sayı tanımı; ünlü fizikçi ve matema
tikçi Arşimet’in hayat hikâyesi; Monty Hall Problemi; Pi sayısının ilginç özellikleri ve okumaktan keyif alacağınızı düşündüğümüz daha birçok konudaki yazılarımızı bulacaksınız.
DERYA ÇELİK ERGEV AETERNUM YAYIN KOORDİNATÖRÜ MATEMATİK ÖĞRETMENİ
6
7
8
Formüller şu anki zaman ve de gelecek hakkında varsayımlarda bulunmamıza yardımcı olur. Denklemler, hayatımızda olan olumsuz olayların mizahla yön değiştirebileceğinin kanıtıdır. Denklemlerle kanıtlanmış birkaç bilgiye örnek olarak; bir insan günde ortalama 15 kez güler. İnsanların %45’i komik bir olayı anlatırken, dinleyenlerden daha çok güler. Kendileri ile en az alay edebilen Japonlardır… Şimdi klasik bir olguya göz atalım. Sağlıklı bir görüntüyü size bronzlaşmanın mı
verdiğini sanıyorsunuz? Tekrardan düşünün
derim. Güneşten gelen direk ışınlar cilt kanserine sebep olur fakat güneş kremleri sizi güneşten kaynaklanan yanıklardan korur ve kanser riskini azaltır. Simdi bu “sağlıklı, canlı görüntü” kalıbını denklemlerle bağdaştıralım. Aritmetik ve denklemlerin arasındaki en büyük fark, denklemlerde kullanılan değişkenlerdir. Değişken, sayıların çeşitliliğini ve değişkenliğni gösteren harftir.
Örneğin, x’i bir insanın güneş kremsiz ve yanmadan güneşlenme süresi olarak alalım. 6 tane güneş kremiyle, güneşe yanık olmadan maruz kalma süresi de 6 kat daha fazladır, ya da diğer gösterimiyle 6x’tir. Bu gösterim bir “denklemsel gösterim” örneğidir. Bu denklemsel gösterimi tekrardan baştaki örneğimizle ilişkilendirirsek; güneş kremsiz 15 dakika boyunca güneş altında durulabiliyorsa, 6 kutu güneş kremiyle 90 dakika boyunca güneş yanığı olmadan durulabilir. Denklemler günlük yaşamımızda da bizim farkında bile olmadığımız durumlarda karşımıza çıkıp, ha
ayatımızı biz fark etmeden kolaylaştırırlar. Dilara SANCAR 11/M
9
10
matematikçi de
yy
11
matematikçi
ve
özel
Londra’ya
12
hâlâ
da
ı
ve
14
Bu
15
Googol Sayısı
Googol, matematikteki büyük sayılardan biridir ve 10100'e eşittir. Başka bir söylemle 1 googol, 1 rakamına yüz sıfır ekleyerek yazılır. Bu terim Amerikalı matematikçi Edward Kasner'ın yeğeni Milton Sirotta (1929–1980) sadece 9 yaşındayken bu terimi kullanmaya başlamıştır. Kasner bu kavramı Matematik ve Hayal Gücü adlı kitabında da ele almıştır.
Googolplex Sayısı
1 rakamının ardından gelen bir googol sıfırla yazılan sayıya googolplex adı verilir. Bu sayı 10 üzeri bir googol olarak da ifade edilebilir: 10googol = 10(10100). Bilim insanları googolplexin kâğıt üzerine yazılmasının olanaksız olduğunu öne sürmüştür. Bunun nedeni sayının evrenin kapladığı toplam alandan büyük oluşudur.
Googol büyüklük derecesi bakımından 70 faktöriyele eşdeğerdir (70! yaklaşık olarak 1.198 googola eşittir) ve yalnızca iki asal çarpana sahiptir (her birinden 100'er tane olmak üzere 2 ve 5 çarpanları). İkilik tabanlı sayı sisteminde 1 googol 333 basamaktan oluşur. Googolun matematiğe çok yararlı olduğu söylenemez. Bu sayı daha çok görünür evrendeki atomik parçacıkların sayılarının karşılaştırılmasında ve olası satranç oyunlarının sayısının hesaplanmasında kullanılır. Edward Kasner bu sayının düşlenemeyecek büyüklükteki bir sayı ile sonsuz çokluğun arasındaki farkı yansıttığını düşünmektedir. Sayının matematikteki kullanımı bununla sınırlıdır. Googolun geleneksel yazımı şu şekildedir: 1 googol = 10100 = 10, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000, 000
Mert ÖZDEMİR 11/D
16
RASTGELE
SAYILAR
Bilgisayar bilimlerinde çeşitli amaçlarla hizmet edecek rastgele sayılara ihtiyaç duyulur. Örnek olarak şifreleme dizilerini verebiliriz. Rastgele sayılar şifreleme işleminin gizliliği ve güvenilirlik açısından önemlidir. Örneğin Örneğin kaydırma şifrelemesi(basitçe bir metini veya sayı dizisini birkaç harf yada sayı kaydırarak orjinalinden farklı ve anahtarı(kaç harf yada sayı kaydığı ) olmadan anlamsız bir söz veya sayı dizisine benzeyen şifreleme tekniği) kullanımı sırasında rastgele bir anahtar üretilmesi istendiğini varsayalım. Bilgisayarın her zaman için sayıyı üretmesi istenmeyen bir durumdur çünkü bu durumda sisteme bir kere saldırarak anahtarı ele geçiren kişinin bundan sonraki saldırılarda anahtarı bulmak için vakit kaybetmesine gerek kalmaz. Bilgisayarın rastgele sayı üretmesi her seferinde anahtarı değiştir ve saldıran kişinin işini zorlaştırır.
Bilgisayarlar rastgele sayı üretme konusunda çok kötüdür. Çünkü yapıları gereği bilgisayarlar rastgeleliğe yer bırakmayan belirli ve her adımında olacak şeylerin önceden tasarlandığı makinelerdir. Bilgisayarlar tahmin yapamaz, bir giriş dizisini alır, yapmaya programlandığı işlemden geçirir ve bir sonuç çıkarırlar. Müsvette rastgele sayı üretimiyöntemi bu ilke üzerinden gider. Amaç aslında belirli bir matematiksel fonksiyona dayanarak bir dizi sayı üretmektir. Örnek olarak:
F(x)=2x (mod 9) bu yöntemin en basit hali diyebiliriz. (X={0,1,2,3…n})
Buna göre işlemin sonucu {1,2,4,8,7,5,1,...}
Elimizdeki sayının 4 olduğunu varsayalım. Sayıların işlendiği fonkisyonu bilmiyorsak sonraki sayıyı tahmin etmek zordur (bu örnekte 9 farklı sayı olabilir , mod değeri büyüdükçe sonraki sayıyı tahmin etmek zorlaşır). Ama bu tamamen rastgele değildir.
Şu ana kadar ele aldığımız yöntemler ile tamamen rastgele bir sayı üretilemez. Günümüz teknoloŞu
jisinde rastgele sayı üretimi fonksiyona eklenen bir besleme değeri ile sağlanır. Bu besleme değeri fonksiyona karmaşıklık katarak sonucun yukarıdaki gibi belli bir sayı dizisi olmasını engeller. Bu dış besleme değeri tahmin edilmesi zor bir değer olmalıdır. Dış besleme değeri en çok işlem yapıldığı anda bilgisayar saatinin milisaniye cinsinden değeri kullanılır. Ancak bu yöntem de geçilmesi zor bir engel değildir. Bu yüzden bilgisayar dışında gerçekten tahmin edilemeyecek dış besleme değerleri kullanılır. Buna örnek olarak radyoaktif bir maddenin birim zamanda ışıma ile gönderdiği elektron sayısının dış besleme değeri olarak kullanılmasını verebiliriz.
Kadir EFECİK
11/J 18
Monty Hall problemi olasılık ile ilgili bir bulmacadır. Soru anlaşılacak kadar basit olsa bile, cevap bu kadar kolay değildir. O zaman yarışmacı ne yapmalı? Kulağa ilginç gelecek olsa da seçilen kapıyı değiştirmek araba kazanma şansını ikiye katlamaktadır. Peki ama neden? Kapıyı değiştirmenin daha karlı bir yöntem olduğunu ispatla
manın birçok yolu olsa bile, en kolay yol her iki seçenek (kapıyı değiştirmek ve değiştirmemek) içinde arabayı kazanma olasılıklarına bakmaktır. Öncelikle eğer seçilen kapının değiştirilmediği durumu inceleyelim. Oyunun başında seçilmesi istenen kapı arkasında araba olma olasılığı 1 araba ve 3 kapı olduğundan 1/3 yani %33.3tür. Seçilen kapı arkasında bir keçi olma olasılığı ise 2 keçi ve 3 kapı olduğundan 2/3 yanı %66.6 ya eşittir. Seçilen kapı değiştirilmediğinden, sunucunun hangi kapıyı açıp açıp hangisini değiştirmek için sunduğu önemli değildir. Yola ilk seçilen kapı ile devam edilirse araba kazanma olasılığı %33.3 olarak kalmıştır. Eğer kapı değiştirilecek olursa, araba kazanma olasılığı iki farklı durumda incelenebilir. İlk seçilen kapıda araba olması ve ilk seçilen kapıda araba olmaması. Eğer şans eseri ilk seçilen kapı araba olan kapı ise, kapıyı değiştirmek keçi kazanmakla sonuçlanır. İlk seçilen kapıda araba olması olasılığı 1/3, ve böyle bir durumda keçili kapının açılma olasılığı olasılığı 1 olduğundan, keçi kazanma olasılığı 1/3×1 yani %33.3tür. Ancak eğer seçilen kapının arkasında bir keçi varsa, sunucunun açması için geriye yalnız bir keçili kapı kalır. Bir başka deyişle seçilen ve açılan kapılar keçili olduğundan sona kalan kapıda araba olmak zorundadır dolayısıyla kapıyı değiştirmek araba olan kapıyı kazanmak demektir. İlk seçişte keçi olan bir kapı seçme olasılığı 2/3, ve böyle bir durumda arabalı kapının açılma olasılığı 1 olduğundan, araba kazanma olasılığı 2/3×1 yani %66.6dır.
21
Aynı olasılık hesabı daha kolaya da indirilebilir. Böyle bir yarışmada açılacak 3 kapı olduğundan, seçimi 3 farklı durumda ele alabiliriz. Bu üç kapıdan 1.sinde araba ve diğer ikisinde keçi olduğunu olduğunu düşünelim. Eğer kapı değiştirilmeyecekse 1. kapı seçildiğinde araba kazanılır, 2. ve 3. kapılar seçildiğinde keçi kazanılır. 3 durumdan birinde araba kazanılacağından değişim yapılmazsa araba kazanma olasılığı 1/3tür. Eğer değişim yapılacaksa, 1. kapı seçilirse değiştirileceği için keçi kazanılır, 2.ve 3. kapılar seçilirse sunucunun açacağı kapıda keçi olduğu ve geriye değiştirmek için kalan kapıda araba olduğu düşünülürse araba kazanılır. Yani 3 durumdan 2sinde araba kazanıldığından değiştirmek seçildiğinde 2/3 olasılığıyla araba kazanılır. Seçilen kapı değiştirilmezse 1/3, değiştirilirse 2/3 olasılıkla araba kazanılacağını hesapladık. Öyleyse kapıyı değiştirmeyi seçmek araba kazanma şansını ikiye katlamaktadır. Yani kapıyı değiştirmek kazandırır.
1FLJOFEFOEFHJM
Birçoğumuzun ilk başta düştüğü tuzağı değiştirmek bir şeyi değiştirmez düşüncesinde arabayı kazanma olasılığının 1/2 olduğunu hesaplamıştık, ancak bunun yanlış olduğunu kanıtladık. Peki neden yanlış? Yarışmacının ilk turda araba olan kapıyı seçmesi 1/3tür. Sunucu kalan iki kapıdan birini açacaktır. Ancak açılacak kapı rastgele değil bilinçli olarak seçilmiş keçili kapıdır. Yani sunucunun açtığı kapı, başlangıçta seçilen kapıda araba olup olmadığını etkilememektedir.
Sonuç olarak yarışmacılar seçtikleri kapıları Sonuç değiştirmeyi kabul etmelidir. Bu problemdeki tek sorun yarışmacının araba mı keçi mi kazanmak istediği olmalıdır.
23
Gaudi
24
yararlandığı
.
25
26
27
Arşimet antik dünyanın ilk ve en büyük bilim adamı olarak kabul edilir. Hidrostatiğin ve mekaniğin temelini atmıştır. Bir hamamda yıkanırken bulduğu iddia edilen suyun kaldırma kuvveti bilime en çok bilinen katkısıdır. Ayrıca, pek çok matematik tarihçisine göre integral hesabın kaynağı da Arşimet’tir.
M.Ö. 287 yılında Sicilya’da dünyaya gelen Arşimet’in hayatı hakkında fazla bilgi yoktur. 12 yaşında İskenderiye’ye gittiği, orada eğitim gördüğü ve Öklit’in öğrencisi olduğu söylenir. Ardından Sicilya’ya dönmüş ve hayatının geri kalanını çeşitli alanlarda araştırma ve deneylere adamıştır. İskenderiye'de bulunduğu dönemde arkadaş olduğu Eratosthenes ile ve Samoslu (Sisam) Konon ile yazışmaları eser haline gelerek günümüze kadar ulaşmıştır. Bu yapıtlarda küre ve silindirin hacmini hesaplamak için formül verir; kendinden 12 bin yıl sonra gelişmeye başlayacak integral kavramına ilişkin başlangıç uygulamaları, karekök 3 ve Pi’nin çok karmaşık yöntemlerle hesaplanmış yaklaşık değeri vardır. Arşimet, teorik matematiğin en değerli konu olduğuna inanıyordu ama matematiğin
ülkesinde matematikçi olarak değil, bir mucit olarak tanınmıştır. 31
Sirakuza Savunması
Arsimet, hemsehrileri kendisinden Romalılara karsı şehri savunması için
yardım isteyince kabul etti. İcatları
sayesinde ülkelerine saldıran Romalılar’ı
aylarca körfezde durdurdular. Roma gemilerini kavrayıp havaya kaldıran ve suya
bırakan vinçler; duvar deliklerinden Roma
gemilerine kaya ve metal fırlatan makineler geliştirdi. Sonunda Romalılar sehre
saldırmaktan vazgeçtiler.
Mekanik
Bileşik makaralar, sonsuz vidalar, hidrolik vidalar ve yakan aynalar sayılabilir. İlk defa denge prensiplerini ortaya koyan bilim adamı da Arşimet'tir. Bu çalışmalarına dayanarak söylediği "Bana bir dayanak noktası verin Dünya'yı yerinden oynatayım." sözü yüzyıllardan beri dillerden düşmemiştir.
Eserlerinin dokuz tanesinin Yunanca asılları günümüze kadar ulaşmıştır. Bunlar uzun yıllar karanlıkta kalmış; matematiğe katkısı 8. ya da 9. yüzyılda Arapça’ya çevrilmesine kadar gerçekleşememiştir. Denge Üzerine (2 cilt): Mekaniğin belli başlı prensipleri, geometri metodları ile açıklanır.
Geometri
Geometriye yapmış olduğu en önemli katkılardan İkinci derecede paraboller, konoidler üzerine, birisi, bir kürenin yüzölçümünün hacminin ise direnin ölçülmesi.
‘e eşit olduğunu kanıtlamasıdır. Bir dairenin alanının, tabanı bu dairenin çevresine ve yüksekliği Küre ve Silindir Yüzeyi Üzerine (2 cilt): Bir kürenin ise yarıçapına eşit bir üçgenin alanına eşit old- bir parçasının alanı, bir dairenin alanı, silindirin alanı ve bu cisimlerin alanlarının karşılaştırılması uğunu kanıtlayarak pi değerinin ile ilgili bilgiler vermiştir.
arasında bulunduğunu göstermiştir. Matematik
Arşimet'in
Arşimet'in en parlak matematik başarılarından biri de, eğri yüzeylerin alanlarını bulmak için bazı yöntemler geliştirmesidir. Bir parabol kesmesini dörtgenleştirirken sonsuz küçükler hesabına yaklaşmıştır. Bu yöntem sonradan modern matematiğin gelişmesinin temelini oluşturmuş, Newton ve Leibniz'in bulduğu diferansiyel denklemler ve inte
gral hesap için de iyi bir temel oluşturmuştur. Arşimet, Parabolün Dörtgenleştirilmesi adlı kitabında, tüketme metodu ile bir parabol kesmesinin alanının, aynı tabana ve yüksekliğe sahip bir üçgenin alanının 'üne eşit olduğunu ispatlamıştır.
Hidrostatik
Arşimet, kendi adıyla tanınan “sıvıların dengesi kanununu” da bulmuştur. Suya batırılan bir cismin taşırdığı suyun ağırlığı kadar kendi ağırlığından kaybettiğini fark etmiştir.
32
Spiraller Spiraller Üzerine: Arşimet bu eserde spirali tanımlamış, spiralin yarıçap vektörünün uzunlukları ile açılarını incelemiş ve vektörün tanjantını hesaplamıştır.
Yüzen Cisimler Üzerine (2 cilt): Hidrostatiğin temel prensipleri verilmiştir.
Sandreckone Arşimet’in sayı sistemleri üzerine yazdığı ve büyük sayıları ifade etmek için oluşturduğu sistemi içerir.
Mekanik Teoremlerin Yöntemi: Ünlü dilbilimci Heiberg tarafından 1906 yılında, İstanbul'da eski parşömenler arasında (üzeri kazınmış ve sonra yeniden yazılmış olarak) bulunmuştur.
Bilimin ilginç yönlerinden biri, keşif ve buluşların bazen beklenmedik anlarda, rastlantı sonucu ortaya çıkmasıdır. Rastlantı sonucu keşif ya da buluş yapabilmek için yalnızca şanslı olmak yeterli değildir. Bu rastlantıları değerlendirecek akla sahip olmak da önemlidir. Kaldıraç deneyleri, Arşimet burgusu buluşu ve sıvıların dengesi kanunları ile ünlüdür. Fakat biz onu hamamdan bir anda çıplak bir şekilde fırlayıp sokaklarda “Buldum! Buldum!” diye bağırarak koşmasıyla tanırız. Arşimet’i o gün hamamdan fırlayıp sokaklarda çıplak koşturacak kadar heyecanlandıran olay nedir?
Her şey Sirakuza kralının yeni bir taç istemesiyle başlar. Kral kuyumcusunu çağırır ve kuyumcuya kendisine saf altından bir taç yapmasını buyurur. Taç hazırlanıp kendisine sunulduğunda birden içine bir kuşku düşer. Kral her şeyden kuşkulanan bir adamdır. Ya taç saf altından değilse, içine değeri altından daha az olan gümüş ya da bakır eklenmişse? Altının ilginç bir özelliği vardır. Ne kadar öteki metallerle karışırsa karışsın kendi rengini, parlaklığını korur. Bir kral için tacının saf altından olması önemlidir. Saf altın onun gücünü simgeler. Bir sabah karar verir. Akıllılığıyla tanınan matematikçi ve mühendis Arşimet’i sarayına
sarayına çağırır. Ondan tacının saf altından olup olmadığını bulmasını ister. Arşimet hemen düşünür. Eğer tacın boşlukta kapladığı alanı, yani hacmini bulursa bu sorunu çözecektir. Çünkü farklı maddeler, aynı ağırlıkta; fakat değişik hacimde olabilirler. Hatırlayın! Birbirimize sorduğumuz hileli bir soruyu anımsayalım. Bir kilo demir mi, bir kilo pamuk mu daha ağır? Dikkatli olmazsak bu soruyu hemen demir diye yanıtlarız. Günlük yaşamdaki deneyimlerimizden pamuğun hafif, demirin ağır bir madde olduğunu biliriz. Fakat bir kilo pamuk da bir kilo demir kadar ağırdır. İkisini yan yana görme şansımız olsaydı, bir kilo altını elimizde kolaylıkla taşıyabileceğimizi fark ederdik. Bir kilo pamuk ise demirden daha fazla yer kaplar. Taşımak için bir torbaya gereksinimiz olur. Arşimet, taç saf altındansa hacminin farklı, altından başka metalleri de içeriyorsa hacminin farklı olacağını biliyordu. Ama yine de bir sorunu vardı: Tacın saf mı, karışım mı olduğunu nasıl kanıtlayacaktı? Arşimet banyoda yıkanırken tam da bu sorunun yanıtını düşünüyordu? Küvetteydi ve musluk açıktı. Suyun dolmasını bekliyordu. Düşüncelere dalmışken su taşmaya başladı. Birden fark etti! Taşan suyun hacmi, küvet içindeki vücudunun hacmine eşitti. Birden taç gibi katı bir maddenin hacminin bu yöntemle ölçülebileceğini keşfetti.
Eğer taç ağzına kadar suyla dolu bir kabın içine daldırılırsa, su taşacaktır. Taşan suyun hacmi ölçülürse, tacın hacmi de bulunmuş olacaktır. Arşimet hemen kralın sarayına gider. Kraldan eski taçlarını ve yenisini getirmesini ister. Bir yandan hizmetçilere bir kap ve su getirmelerini söyler. Öte taraftan kuyumcu saraya çağırılır. Her şey tamam olunca, Arşimet önce eski taçları ağzına kadar su dolu kabın içine atar. Taşan suyun hacmini ölçer. Sonra yeni tacı suya daldırır. Yeni tacın daha çok su taşırdığını görürler. Arşimet’in rastlantı sonucu yaptığı bu keşif onun açısından bir şanstır, kuyumcu içinse yapılan deney tam bir
bir utançtır. Bugün, Arşimet’in keşfi sayesinde biz, taş gibi düzgün geometriye sahip olmayan maddelerin hacimlerini kolaylıkla ölçebiliyoruz.
33
, 40/46;,Ã.&-&3ś/
#Ã:Ã,-ÃŀÃ
,"3%ś/"-4":*-"3
(FPSHF$BOUPSVO±Ú[àNà
Sonsuzluk her insanın merak ettiği bir kavramdır. Herkes gibi matematikçiler de son4BZ‘MBNBNB[M‘L
suzluğun gizemini çözmeye çalışmaktadırlar. Sonsuzluğun gizemini çözmek isteyenlerin Önceki örnekte öğrenci B, aşağıdaki gibi bir öncelikle sonsuz kümelerin kardinallerini eşleşme oluşturacak şekilde, tüm sayıları iki katıyla eşleştirmiştir:
bilmeleri gerekir. Kardinal sayıları açıklamak için örnek verilecek …-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5…
olursa, bir A öğrencisi ve bir B öğrencisinin ...-10, -8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10...
Tamsayılar şu şekilde doğal sayılarla bire bir eşlenesayılarla ilgili bir oyun oynadığını düşünelim:
• A öğrencisinin söylediği bir tamsayıya B bilir:
1, 2, 3, 4, 5,…
öğrencisinin çift sayılıyla karşılık verecektir. • A öğrencisinin söylediği sayılar farklı olursa, B 0, -1, 1, -2, 2,…
öğrencisinin de söyleyeceği sayılar farklı olacak- Bundan yola çıkarak, Cantor şu tanımı yaptır. Birbirlerine söyledikleri sayılar aşağıdaki gibi mıştır: İki küme, eğer elemanları arasında bire bir eşleme yapılabiliyorsa, büyüklükte eşittir. Bu ifade, olacaktır:
doğal sayılar, tamsayılar ve çift sayılar kümeleri hep A: 1
“aynı sayıda” elemana sahiptir demektir. Cantor, B: 2
doğal sayıların sayısını sınırlı dönüşüm sayısı olan A: 2
No ile gösterdi. Gösterim kolaylığı açısından, doğal B: 4
sayılar sayılar kümesi genelde sayılamaz dendiği için, bu A: 18
sayıyı d ile göstereceğiz. Bir küme sayılamazdır B: 36
ancak ve ancak sonsuz bir dizi {a1, a2, a3…} olarak A: -100
yazılabiliyorsa. Bu durumda a1 terimi 1 sayısına, a2 2 B: -200
ye, vb. eşleşir.
A: n
B: 2n
Kümelerin büyüklüklerini gösteren sayılara Görüldüğü üzere her seferinde B öğrencisi- kardinal sayılar denir. Sınırlı kümeler için kardinal nin söylediği sayılar A öğrencisinin örnek sayılar doğal sayılardır. Sınırsız kümelerin kardinal verdiği sayıların iki katı olmuştur. Bu durumu sayıları ise “Alef” sayısıdır. Herhangi sonsuz bir matematik dersinde öğrendiğimiz küme konu- kümenin, {a1, a2, a3…} gibi sonsuz bir alt kümesi olasuyla açıklayabiliriz. B öğrencisinin verdiği cağından, en küçük sınırlı dönüşüm (transfinite) sayılar çift sayılar kümesine örnektir ve bu küme sayısı d’dir.
tamsayılar kümesinin içinde yer alır ancak bu iki küme hiçbir zaman eşit olamaz.
Yukarıdaki problemle karakterize edilen paradoks, matematikçileri uzun yıllar şaşırtmıştır. Soru işaretleriyle dolu olan konu sonsuzluk olmuştur. Neyse ki 1874’ de George Cantor, ilk ve son kez problemi çözen sonsuzluk dereceleri sistemi üzerine çalışmıştır ve matematikçilerin sonsuzluk ve küme teorisi anlayışlarını büyük ölçüde arttırmıştır.
(FPSHF$BOUPS
34
i3BTZPOFMTBZ‘MBSLàNFTJ
TBZ‘MBNB[E‘SZBOJELBSEJOBMTBZ‘T‘OB
TBIJQUJSw
İlk bakışta, rasyonel sayıların doğal sayılardan “daha” fazla olduğu düşünülür, çünkü herhangi farklı iki rasyonel sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır. Bu doğal sayılar için doğru değildir. Bununla birlikte, Cantor yukarıdaki teoremi şu şekilde ispatlamıştır:
d sayısı en küçük sınırlı dönüşüm (transfinite) sayısı olduğundan, sadece rasyonel sayıları içeren bir kümenin sayılamaz olduğunu ispatlamak yeterlidir. Yani, rasyonel sayılar kümesi sonsuz bir kümedir, böylece büyüklüğü d olur ve kendini kapsayan bir kümenin büyüklüğünden daha büyük olamaz.
Şu kümeyi ele alalım:
Bu küme rasyonelleri içeriyor. Şimdi, bu kümeyi şu şekilde sıralayalım:
Sayılamaz {1, 2, 1/2, 1/3, 2/2, 3…} kümesi elde edilir.
sıfırla başlayıp her sayının negatifini de Şimdi, katarak aşağıdaki kümeyi bulalım:
{0, 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 2/2, -2/2, 3, -3…}
Böylelikle rasyonelleri içeren bir küme, doğal sistematik bire-bir eşlemeye sokulmuştur.
sayılarla (0, 1, -1, 2, -2, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 2/2, -2/2, 3, -3...)
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13...)
Ece ŞÖLENDİL 11/J
35
37
38
8 bit = 1 byte (1 ve 0 lar gurubu)
1024 Byte = 1 KB (kilobyte)
1024 Kilobyte = 1 MB (megabyte)
1024 Megabyte = 1 GB (gigabyte)
1024 Gigabyte = 1 TB (terabayte)
1024 Terabyte = 1 PT (petabyte)
Aradaki dönüşümler de klasik yöntemle hesapAradaki
lanabilir. Örneğin:
1 MegaByte = 1.024 x 1.024 = 1.048.576 Byte
1 TeraByte = 1.024 x 1.024 x 1.024 Kilobyte = 1.073.741.824 Kilobyte
1 KiloByte = 1 /1024 = 0,97656 x 〖10〗^(-4) MegaByte
Murat Han TEZEL 11/J
39
#İ-(İ4":"30:6/-"3*/%"
."5&."5İ,
Her gün gelişen teknoloji ile bilgisayar artık hayatımızın büyük bir parçası haline geldi. Artık her türlü işimizi bilgisayar ekranı karşısında görüyoruz. Bilgisayarın yaygın kullanımı ile artık çocuklar ve bizim yaşımızdaki gençler de sokakta oynanan oyunlardan çok bilgisayar oyunlarına yöneliyor. Tabi bu oyunları oynarken insan “Acaba bu oyunlar nasıl yapılmış, ne tür bir mantık üzerine kurulmuş?” diye düşünmeden edemiyor. Bu sorunun cevabında da hayatımızın her alanının bir parçası olan matematik karşımıza çıkıyor. Oynarken saatlerce zaman geçirdiğimiz bilgisayar oyunlarının büyük bir kısmı aslında matematiğe dayanıyor. Peki matematikten nasıl yararlanılıyor?
Öncelikle bilgisayar oyunlarında tam sayılar çok önemli. Uzun bir süredir tam sayılar oyundaki değişkenleri depolamak için kullanılıyordu çünkü tam sayılarla işlemler yapmak çok daha kolay. Ancak son zamanlarda çok daha hızlı oldukları için gerçel sayılar kullanılmaya başlandı.
Bilgisayar oyunlarında genellikle her değerin bir sayısı var. Örneğin oynadığınız oyunda zaman sonsuz değil, saniyenin 1/60lık dilimlerine bölünmüş durumda. Çoğu oyunda görülen 60 FPS yazısı da bunu gösteriyor. Oyundaki bağımsız görüntülerin (daha büyük bir sahneye ilave edilen iki boyutlu cisimler) de sonu var. Onlar da piksel uçları ile sınırlanmış durumda. Bunların hepsi de matematik kullanılarak sağlanıyor.
Oyundaki önemli ögelerden biri de resim kareleri. Her oyunda belli bir zaman aralığında tıkırdayan bir saat var ve bunun yardımı ile oyunda bir objenin hareket etmesi, belli kararların verilmesi, karakterinizin hareket etmesi, etrafınınızdaki görünümün değişmesi gerçekleşiyor. Eğer bir kareyi kaçırırsanız oyun yavaşlıyor ve oyuna hakim olmakta sorunlar yaşıyorsunuz. İşte oyunun dengede kalmasını ve sizin rahatça oyun oynayabilmenizi matematik sağlıyor.
40
Oyunlarda geometri de çok sık kullanılıyor. Sinüs ve kosinüs fonksiyonları oyunda depolanarak kartezyen koordinatlar ve kutupsal koordinatlar arası geçişi sağlıyor. Bu da karakterinizin nerede bulunduğuna, nereye ne kadar uzakta olduğuna, haritada ne gördüğüne etki ediyor. Karakterinizin hızı da iki boyutlu basit oyunlarda kutupsal koordinat kullanılarak hesaplanıyor. Ayrıca Pisagor Teoremi de cisimler arası uzaklığın bulunmasını sağlıyor. Örneğin Assasin’s Creed oynarken bulunduğunuz yer ile yakınınızdaki bina arasındaki en basit şekilde Pisagor Teoremi sayesinde bulunuyor. Tabi ki bilgisayar oyunlarındaki matematik bununla da sınırlı değil, cisimlerin hareketleri de matematik yardımı ile kontrol ediliyor. Alan Turing tarafından geliştirilen bir sınırlı bir makine düşüncesi bilgisayarın temelini oluşturuyor. Bu sistem bir bilgisayarın belirli bir durum, program ve belli verilere ulaşılabilirlikte olması gerektiğini söylüyor. Oyunlarda belli komutlar verilerek belli olaylar yapılıyor, bu komutların sınıflandırması da matematik sayesinde başarılıyor. Örneğin Inıt komutu verildiğinde rakip karakter rastgele bir yöne yürümeye başlıyor.
Oyunda matematik gibi fizik de çok büyük yer tutuyor. Oyunların %99’u fizik kurallarına uymak zorunda ve bunu başarmak için matematiksel formüller kullanıyorlar. Eylemsizlik, yerçekimi, geri sekme, sürtünme, zıplama, hoplama olayları hep fizik kuralları sayesinde oluyor. Bir örnek vermek gerekirse en basit Mario oyununda Mario’nun bir cismin kutu olduğunu anlaması ve içinden geçemeyeceğine karar vermesi bunlar sayesinde oluyor.
Kısacası, derslerde matematiği hayattan çok uzak bir bölüm olarak görsek de aslında saatlerde oynadığımız bilgisayar oyunlarının çoğu matematiğe dayanıyor. Matematik sayesinde bu kadar gelişmiş ve ileri düzey oyunlar yapılabiliyor ve daha iyisine ulaşma arayışı devam ediyor.
Ege TANBOĞA 11/J
41
34"
4*"'(
30
&3
-*
&5
..
&"
4
*
RSA, çok büyük tamsayıları oluşturma ve bu sayıları işleminin zorluğu üzerine oluşturulmuş genel anahtarlı bir şifreleme tekniğidir. Daha güvenli bir yapı oluşturabilmek anahtar oluşturma işleminde asal sayılar kullanılmıştır. İşlem şu şekildedir:
• P ve Q gibi çok büyük iki asal sayı seçilir. • Bu iki asal sayının çarpımı N = P.Q ve bu bir eksiklerinin ϲ(N)=(P-1)(Q-1) hesaplanır. • 1’den büyük ϲ(N)’den küçük ϲ(N) ile aralarında asal bir E tamsayısı seçilir. • Seçilen E tamsayısının mod ϲ(N)’de tersi alınır, sonuç D gibi bir tamsayıdır. • E ve N tamsayıları genel anahtarı, D ve N tamsayıları ise özel anahtarı oluşturur.
Genel ve özel anahtarları oluşturduktan sonra gönderilmek istenen bilgi genel anahtar ile şifrelenir. Şifreleme işlemi şu şekilde yapılmaktadır: Şifrelenecek bilginin sayısal karşılığının E’ ninci kuvveti alınır ve bunun mod N‘deki karşılığı şifrelenmiş metni oluşturmaktadır. Genel anahtar ile şifrelenmiş bir metin ancak özel anahtar ile açılabilir. Bu yüzden şifrelenmiş metin, yine aynı yolla, şifrelenmiş metnin sayısal karşılığının D’ninci kuvveti alınır ve bunun mod N’deki karşılığı orijinal metni oluşturur.
Basitliği için daha küçük asal sayılarla şu şekilde bir örnek gösterilebilir:
• P=7 ve Q=17 gibi iki asal sayı seçelir. • Bu iki asal sayının çarpımı N=P.Q; N=119 ve bu iki asal sayının bir eksiklerinin çarpımı ϲ(N)=(P-1)(Q-1); ϲ(N)=96 olarak hesaplanır. • 1’den büyük 96’dan küçük 96 ile aralarında asal bir E=5 tamsayısı seçelim. • Seçilen E=5 tamsayısının mod 96’da tersi alınır, sonuç D=77 gibi bir tamsayıdır. • 5 ve 119 tamsayıları genel anahtarı, 77 ve 119 tamsayıları ise özel anahtarı oluşturur.
43
Arda BAYTAROĞLU 11-J 1) BİLGİ TOPLAMA AŞAMASI
a) Oyuncu listesini ve bilgilerini bulma (Konum, Can, Takım…)
b) Oyuncunun pozisyonunu 2Dʼ’ye çevirme. (ViewMatrix ve matematik)
c) Aimbot hız fonksiyonunu belirleme
2) TOPLADIĞIMIZ BİLGİLERİ KULLANARAK PROGRAMI
YAZMA AŞAMASI
a) Windows API yi kullanarak dışardan
b) Code Injection kullanarak içerden
3) PROGRAMI ANTİ-HİLE SİSTEMLERİNDEN KORUMA AŞAMASI
a) Polymorphic code
b) Ring0 Kernel Driverları
1. BİLGİ TOPLAMA
a) Oyuncu Listesini ve Bilgilerini Bulma
Hiç üç boyutlu bir oyun için kodlanan hilelerin nasıl çalıştığını merak etmiş miydiniz? Alt tarafı hile deyip küçümsesek de, aslında bir hile kodlanırken hedef oyunun, onun kullandığı 3D oyun motorunun ve varsa kullandığı anti-hile sisteminin nasıl çalıştığı ile ilgili bilgiye sahip olunmalıdır. Hani hep duyarsınız, “Mühendislik matematik gerektirir” diye, bu lafın aslında ne kadar gerçek olduğunu işte bu örneğimizde bile görebiliriz. Belki oyunu kodlayan kişinin bile haberi olmadığı, kullandığı API1’nin onun yerine yaptığı matematik işlemler ini tersine çevirerek veya replike ederek bilgi edinmeye çalışacağız.
Örnek olarak, oldukça ünlü ve turnuvaları yapılan bir oyun olan “Counter-Strike: Global Offensive”’i örnek olarak kullanarak basit bir hile yazmayı deneyeceğiz. Programcılık kısmında çok detaya girmemeye çalışacadetaya
ğım.
Ayrıca bundan sonraki bölümlerde 0xFF, FF gibi yazacağım sayılar, Hexadecimal olarak yazılmış numaralardır ( 255 = 0xFF ). Hexadecimal, 16 tabanlı sayı sistemidir ve bilgisayar belleğindeki adresleri veya bazı değerleri göstermek için kullanılan bir kestirme yoldur.
Bir uygulama her kapanıp açıldığında bilgilerin bulunduğu adresler ASLR (Address space layout randomization, işletim sistemlerinin uygulamaların güvenliği için kullandığı bir sistem) yüzünden değişir. Bazı statik pointerlar ve statik veriler ise sabit kalır.
İşaretçi, bellekteki başka bir yeri işaret eden numaralar olarak düşünülebilir. İşaretçi arama tekniğini kullanarak canımızın pointerını bularak oyuncu listesini ve oyuncunun can değerinin oyuncu bilgilerinin neresinde bulunduğunu öğrenebilriz.
Yapılacak işlemleri 3 ana gruba toplayabiliriz.
API : Uygulama programlama arayüzü (Application Programming Interface), bir yazılımın başka bir yazılımda tanımlanmış fonksiyonlarını kullanabilmesi için oluşturulmuş bir tanım 45
Şuanki CS:GO güncellemesinde bu değer: [“Client.DLL” + 0xA7094C] + 0xFC olarak bulunabilir. [“Client.DLL” + 0xA7094C + x * 0x10] konumunda bulunan değer bir işaretçidir ve x’inci oyuncuyu işaret eder. Yani oyuncu verilerinin bulunduğu dizideki bir elemanın yerini f(index)=Client.DLL(Demanın
ğişken)+10946892+index*16 ile bu- b) Oyuncu pozisyonunu 2D’ye çevirme
labiliriz.
Üç boyutlu bir objenin ekrandaki ekrandaki (iki boyutlu) konumunu bulurken ViewMatrix adı verilen 4’e 4 matrisler kullanılır.
Üç boyutlu bir objeyi ekranda gösterirkende oyun motorları objelerin üç boyutlu konumlarını bulunduran Her programlama dili, kodu bilgisavektörlerle bu matrisleri kullanıp yarın anlayacağı dile çevirirken arabiekran boyutuna ölçekleyerek ekranrim olan Assembly dilini kullanır. da gösterirler.
Makine dili ve Assembly birbirine direk olarak çevrilebilir fakat Assembly gerçek koda direk geri çevirilemez. C++ gibi diller programcıya class/struct (Nesne/Yapı. Oyuncu bilgileri gibi, birden çok değeri ve fonk- Örneğin;
siyonu tutan, programlama dillerinde bir işaretçi kullanarak gösterilen bellek öbekleri), değer isimleri ve API’ler gibi bazı yardımcı elemanlar sunarken, Assembly de bunlar bu
lunmamaktadır, tamamen makine Oyuncuların kemiklerinin (3D moiçin yazılmış ve optimize edilmiştir. dellerdeki her özgür yapı) hepsinin Bu nedenle ters mühendisliğin te- pozisyonlarının aralarına çizgiler çimellerinden biride Assembly dili öğ- zerek ve köşelerini birleştirip dikdörtrenmektir ve anlamaktır. C++’da 10 gen çizerek böyle bir sonuç elde satırda bitebilecek bir program as- edebiliriz. semblyde binlerce satır sürer. Bu denle doğru yerlere bakılmalı ve araştırmanın her noktasında edinilen bilgi ile ilgili not tutulmalıdır. Alttaki küçük kod parçasında gördüğümüz üzere 0xFC nin canımızın olduğunu kanıtlamış olduk. Bunun gibi, oyunun kodunda araştırma yaparak birçok farklı bilgiye ulaşabiliriz ve bu bilgiler farklı
kolaylıkla Aimbot (Otomatik nişan alma), No-Spread (Sekmeme), Triggerbot (Otomatik vurma) gibi hilelerin yapılmasında kullanılabilir.
46
c) Aimbot hız fonksiyonunu belirleme
Md’nin sayesinde kafa ile crosshair (Oyuncunun nişan aldığı yeri gösteren, ekranın ortasında olan nokta) aynı noktada birleştiğinde, bölen 1 yerine 1 (md = minimum bölen)
+ md olacak, ve mouse direk olarak kafaya ışınlanmayacaktır, md sıfır olHız=25, MD=2, FPS=400, 500 pixel fark için Bölen-Zaman Grafiği: [Düşük saydı, birine hedef aldıktan sonra Bölen->Daha hızlı]
kafası dışında başka bir yere dönemezdik, crosshair geri ışınlanırdı. Bölenin saniye başına çizilen kare (frames per second) ile çarpılmasındaki neden ise hareketin çizilen kare başına yerine saniye başına indirgenmesi ve hareketlerin böylece stabilize edilmesidir.
Yandaki grafiktede gördüğümüz gibi zaman geçtikce/crosshair hedefe yaklaştıkça, hız artmakta ve bölen azalmaktadır, böylece hız ve mouse hareketleri doğal gözükür, hile izleyiciler tarafından farkedilemez. a) Windows API / External
OpenProcess, ReadProcessMemory, WriteProcessMemory… gibi API fonksiyonları kullanılarak başka bir uygulamanın kendine özel olan bellek alanını okuyup/yazabiliriz. Bu mantıkla CS:GO’nun önüne aynı boyutta olan başka saydam bir pencere çizip, mouse klavye gibi verileri görmezden gelmesini sağlayarak hiçbirşey farkedilmeden CS:GO’nun üstüne istediği
miz şeklilleri çizebiliriz ve CS:GO’dan bilgi alabiliriz.
a) Polymorphic Code
Polymorphic code, kelime anlamı olarak, kendi kendini değiştiren (mutasyon) kod parçalarıdır. VAC, PunkBuster vs. gibi anti-hileler, kodlardaki paternleri arar, bu nedenle, bu teknik, anti-hilelerden kaçarken oldukça etkilidir. Hileler belirli paternler bulduğunda ise banlamaya ayarlanmıştır.
Anti-Virüsler bu paternleri 66 %% 45 gibi kodlar. Böylece 66 33 45, 66 87 45, 66 FF 45 gibi tüm kodlar o paterne uymuş sayılır. Fakat anti-hileler hala bunu yapamadığı (sadece koddaki konumonum
lar için %% koyulur) için biz kodun içine junk-code adı verilen işe yaramayan 0x90 [NOP] gibi kodları enjekte ederek anti-hilenin kafasını karıştırabiliriz.
Matematik yüzyıllardır var olan, tarihin en eski dillerinden biridir. Bulunan her yeni ipucu teknolojik ve bilimsel alanda birçok kapı açmakta ve bir türlü anlam veremediğimiz, cevabını bulamadığımız sorulara ışık tutmaktadır.
Matematik, tarih boyunca sonsuz bir hızla gelişim gösterMatematik,
miş fakat nerede ve nasıl doğduğu tam olarak saptanamamıştır. Arkeolojik bulguların ve yazılı belgelerin dayanağında; MÖ 5. yüzyılda yaşamış Yunan tarihçi ve yazar Herodot'a göre matematikle ilgili ilk çalışmalar, M.Ö 3000-2000 yılları arasında Mısır’da başlamıştır. Tarihi bulgulara göre, bu dönemde Mısır’da toprakların büyük kısmı tarıma elverişli değildi. Mısır’a hayat veren tek şey, Nil Deltası’nı oluşturan yüzde üçlük kısmıydı ve bu nedenle topraklar son derece değerliydi. Fakat her sene Nil Nehri’nin neden olduğu taşkınlar sonucu, toprak sahiplerine ait arazilerin sınırları belirsizleşmekteydi. Toprak sahipleri de sahip oldukları toprakla orantılı olarak vergi ödedikleri
ödedikleri için, her taşkından sonra yönetimin bu işlerle görevli elemanları gelip, gerekli ölçümleri yaparak toprak sahiplerine bir önceki yılda sahip oldukları yaklaşık toprak kadar alan vermekteydiler. Herodot, geometrinin bu ölçüm ve hesapların sonucu olarak ortaya çıktığını öne sürmüştür. Yani matematik, insanlığın bir ihtiyacından ötürü ortaya çıkmıştır. Günümüzde okullarda öğretilen matematik konularının çoğunun ortaya çıkma ya da kullanılma sebebini anlatan olaylar ve öyküler yer almaktadır. 51
Bazı öğrencilerin korkulu rüyası, bazılarının ise en sevdiği ders olarak bilinen matematik, tahmin edemeyeceğimiz kadar çok alanda kullanılmaktadır. Bizim jenerasyonumuzun en vazgeçilmez zevklerinden biri olan yüksek çözünürlük ve grafiklere sahip olan konsol oyunlarının yapılmasında cebirsel geometri, fonksiyonlar, fraktalar gibi aslında lisede temeli öğretilen konular yer almaktadır. Savaş uçakları, uzay mekikleri, mekikleri, roketler ve uydu modellemelerinde, dinamik sistemlerin değişimlerini ölçmede diferansiyel denklemler ve sayısal analiz kullanılır. Hayatımızın neredeyse en kullanışlı cihazı haline gelmiş dokunmatik cep telefonunun en temel uygulamaları ve oyunları yazılırken bile belirli matematiksel veriler bolca kullanılmaktadır. Murat Han TEZEL 11/J
52
Taşpınar Mahallesi 2800. Cadde No:5
06830 İncek, Gölbaşı / Ankara
Santral: 0 312 586 90 00
Faks: 0 312 586 90 37