1 Giri s 2 Sinyal ve Olas l k Modelleri

GAUSS-DAGILIMLI
OLMAYAN GU RU LTU DE SI_NU ZOI_DAL
PARAMETRE KESTI_RI_MI_
Mustafa A. Altnkaya, Bulent Sankur, Emin Anarm, Hakan Delic
Elektrik-Elektronik Muhendisligi Bolumu, Bogazici Universitesi,
80815, Bebek, I_stanbul
E. Posta : altink, sankur, anarim, delic @busim.ee.boun.edu.tr
Ozetce
Sinuzoidal sklk kestiriminde toplanr gurultu Gauss-olmayan bir daglma, ozellikle de
durtun (impulsive) bir karaktere sahipse verinin bolutlere ayrlmas ve her bir bolutteki
parametre kestirimlerinin dogrusal-olmayan ortalamalarnn kullanlmasyla parametre kestirimlerinin iyilesebilecegi gosterilmistir. Bu amacla ortalama isleminin farkl parametreler uzerinde alnmasnn, kullanlan ortalama yonteminin, bolut saysnn, gurultu tipinin
durtunlugunun kestirim basarmna etkisi arastrlmstr. Kullanlan ortalama tekniklerinden sra (rank) suzgeclemesi genel olarak diger tekniklere ustunluk saglamaktadr.
1 Giris
Toplanr beyaz gurultu ortamnda ksa bir veri kaydndan ton tipindeki sinyallerin parametrelerinin kestirimi problemi, saysal sinyal islemenin kuramnda ve uygulamasnda hala guncelligini surdurmektedir. Toplanr beyaz gurultu cogu kez Gauss-olmayan bir olaslk daglm
sergiler. Bu durumlarda, ozellikle gurultu etekleri daha dolu bir olaslk daglmna sahipse,
dogrusal olmayan ortalama tekniklerinin modele dayal kestiricilerin basarmlarn, sapkn (outlier) kestirimleri eleyerek iyilestirmesi beklenebilir.
Cal
smann bir amac da dogrusal-olmayan ortalamalarn, gurultu daglm Gauss olsun ya
da olmasn, nasl bir basarm sergileyeceklerinin arastrlmasdr. Gauss gurultusu durumunda
kestirim basarmn pek azaltmayan, fakat Gauss-olmayan gurultu ortamlarnda onemli basarm
arts saglayan, baska bir deyisle gurultunun olaslk daglmna kars gurbuz ortalama alma
yontemlerinin degerlendirilmesi calsmann baslca amacn olusturmaktadr.
2 Sinyal ve Olaslk Modelleri
Sinyalin gercel sinuzoidallerin toplamndan olustugunu,
sn =
K
X
Ak sin(2fk n + k )
(1)
ve toplanr beyaz gurultu ortamnda gozlemlendigini,
xn = sn + en n = 1 N
(2)
k=1
Bu calsma TU BI_TAK tarafndan EEEAG-83 ve EEEAG-139 sayl projeler kapsamnda desteklenmektedir.
'
&
'
&
'
&
Veri L parcaya bolutlenir.
?
Her bir bolut icin gecis parametreleri hesaplanr. Bu parametreler ozilinti
katsaylar, ozbaglanml model katsaylar, kutuplar, yansma katsaylar
olabilir.
?
Bu parametrelerin ortalamalar dogrusal ya da dogrusal-olmayan (geometrik, harmonik, KEYK ve -krplms ortalamalar gibi) yontemlerle
hesaplanr.
?
Sklk, genlik gibi asl kestirilecek parametreler modele dayal kestiriciler ile onceki asamada hesaplanan, gecis parametrelerinin genel olarak
dogrusal-olmayan ortalamalar kullanlarak bulunur.
$
%
$
%
$
%
Sekil 1: O nerilen ortalama yonteminin aks cizenegi.
varsayalm. Burada feng bagmsz ozdes daglml, degisintisi (degisintinin tanml oldugu
olaslk daglmlar icin) 2 olan bir gercel raslantsal degisken dizisini, N veri orneklerinin
saysn, K ton sinyallerinin saysn gostermektedir. Bilinmeyen parametrelerin k'nc ton
sinyali icin genlik Ak , ton sklg fk ve evre acs k oldugu varsaylmstr. Cal
smadaki benzetimler K = 1 tek ton icin yurutulmustur.
C alsmada kullanlan toplanr gurultunun olaslk daglmlar ise sunlardr:
Laplace da
glm: Laplace olaslk daglm asagdaki sekilde verilir:
fX (x) = 2 exp ;jxj
;1<x<1
(3)
Laplace daglml bir raslantsal degiskenin beklentisi = 0 ve degisintisi 2 = 22 'dir.
Simetrik -Kararl (S K) Da
glmlar: SK daglmlar karakteristik islevleri
(!) = exp (j! ; j!j)
(4)
ile tanmlanrlar. Burada (0 < 2) daglmn karakteristik usteli, (;1 < < 1)
konum parametresi ve ( > 0) saclm (dispersion) parametresidir. arttkca SK
daglmn durtun ozelligi azalr. Saclm parametresi , Gauss daglmdaki degisintiye benzer bir islev ustlenmistir. Bu olaslk daglmlarnn ack ifadeleri genel olarak yazlamamakla birlikte = 1 ve = 2 degerleriyle cok bilinen iki daglm Cauchy
f (x) = 1 x; 2
;1<x<1
(5)
1 + ve Gauss daglmlar elde edilir. Eger gurultu dizisi feng sfr konum parametreli birim
saclml Cauchy bir surec ise , feng dizisi sfr konum parametreli saclml Cauchy
bir surectir. Genel olarak SK bir daglmn yalnzca dereceleri p < olan momentleri
tanmlanabildigi icin, bu degiskenlerin beklenti ve degisintileri tanmlanamaz.
3 Gurultuye Kars Ortalama Alma Yontemi
Toplanr gurultu etekleri dolu bir olaslk daglmna sahip oldugunda dogrusal-olmayan ortalama tekniklerinin sapkn degerleri eleyerek sinuzoidal parametre kestirimlerini iyilestirecegi
savlanmaktadr. Ortalama alma islemleri ozilinti katsaylar, kutuplar gibi gecis parametrelerine
uygulanabilmekle birlikte dogrudan kestirilmesi amaclanan sinuzoidal sklk gibi parametrelere
de uygulanabilir. O nerilen yontemin aks cizenegi Sekil 1'de sergilenmistir.
Bu calsmada ele alnan dogrusal olmayan ortalama yontemleri geometrik, harmonik, K-enyakn komsu (KEYK) ve -krplms (-trimmed) ortalamalardr 2]. KEYK yonteminde, ortalamas alnacak parametrelerin aritmetik ortalamasna en yakn konumda olan K adet degerin
ortalamalar alnmaktadr. KEYK yonteminin C izelge 1'deki aritmetik tanmnda fxig artan
Oklid
uzaklgna i = i(AR xi) gore sralanms gozlemleri gostermektedir. -krplms ortalama ise , bLc, L'dan kucuk olan en buyuk tamsayy gosterdiginde, sra suzgeclemesi
ile (bLc + 1)'nci sra ile (L ; bLc)'nc sra arasndaki degerlerin aritmetik ortalamasnn
alnmasyla bulunur 1]. 'nn alabilecegi degerler 0 0:5 aralgndadr. I_ki uc deger ise
cok bilinen ortalama tekniklerine yaknsar :
=0
) aritmetik ortalamay verir,
= 0:5 ) ortanca degeri verir.
Cizelge
2'de ise hangi sklk kestiricilerinde hangi parametrelere ortalama yontemlerinin uygulandg verilmistir. Pisarenko, Yuksek Kerteli Yule-Walker (YKYW) ve Tufts-Kumaresan (TK)
sklk kestiricileri verinin ozilinti matrisini kullanrlar. Pisarenko ve TK kestiricileri alt-uzay
teknikleri olup, Pisarenko kestiricisi tek boyutlu gurultu uzay ozvektorunu, TK kestiricisi
ise sinyal uzay ozvek- torlerini kullanarak ton sklklarn kestirirler. YKYW ton kestirimleri Levinson-Durbin algoritmas ile bulunan ozbaglanml cokterimlinin sfrlar olarak elde
edilir. Matris Kalemi (MK) yonteminde ise sinyalin kutuplar biri digerine gore bir ornek
kaydrlms veri dizisiyle olusturu- lan iki matristen elde edilen genellestirilmis ozdegerleri olup
ton sklklar bu kutuplarn acs ola- rak bulunmaktadr 3]. Kestiricilerin kerteleri ise \YKYW12" deki gibi belirtilmistir.
4 Benzetim Sonuclar
Benzetimlerde aksi belirtilmedikce ornek says N = 275, bolut says L = 11'dir. Gurultu
gerceklemesi 30 kez yinelenmis ve her bir gercekleme icin 20 rasgelece secilmis sinuzoid evresi
uygulanm
str. Sinyal Gurultu Oran (SGO), Gauss ve Laplace daglml gurultuler icin SGO =
A2 seklinde hesaplanr. Cauchy g
urultuler icin ise Cauchy bir rastlantsal degiskenin degisintisi22
nin tanml olmamas nedeniyle SGO yerine
N
X
GSGO = 10 log ( 1
jx(n)j2)
(6)
N n=1
Cizelge
1: Ortalama yontemlerinin tanmlar
Ortalama Yontemi Simge Aritmetik tanm
Aritmetik Orta
AR L1 PLi=1 xi
Geometrik Orta
GE QLi=1 xi 1=L
Harmonik Orta
HAR PLL 1
i=1 xi
KEYK-Ortalamas KNN K1 PKi=1 i(AR xi) i = 1 : : : K -krplms orta
x(bLc+1) ++x(L;bLc)
L;2bLc
1 2 L
Cizelge
2: Sklk kestiricileri ve bolut ortalamalarnn alndg parametreler
glanm katsays Yansma katsays Kutuplar Sklk
O zilinti Ozba
Pisarenko
*
*
*
*
YKYW
*
*
*
*
TK
*
*
MK
*
*
seklinde verilen genellestirilmis SGO (GSGO) kullanlmstr. Yine aksi belirtilmedigi durumlarda GSGO = 10 dB 'dir. Benzetim calsmalar sonucunda Gauss-olmayan gurultu ortamnda
kestirilen sklgn ortalama kare hatasnn (OKH)
ortalama alma yontemine gore sralamas
ortalamas alnacak parametreye gore sralamas
belirlenmis, boylece gurultuye kars en fazla dayankllk saglayan parametre ve ortalama yontemleri saptanmstr. OKH ise f^1 kestirilen sklk olmak uzere f2 = E (f1 ; f^1)2] olarak hesaplanms, sekil ve cizelgelerde ise ;10 log OKH olarak verilmistir. Boylece, sozgelimi OKH
degeri ;40 dB ve ornekleme sklg da 1000 Hz oldugunda sklk kestiriminin standart sapmas 10 Hz'den az olacaktr.
4.1 Ortalama yontemlerinin (sklk uzerinde) karslastrlmas
Sekil 2'de YKYW-12'nin herbir bolutten elde edilen sklk kestirimlerinin ortalanmas ile Cauchy
gurultude OKH'nn sklga bagl degisimi gorulmektedir. C izelge 3'te ise yine Cauchy gurultude
ortalama yontemleri farkl parametrelere uygulandgnda ortalamasz kestirime gore saglanan
OKH kazancnn 0:1 ; 0:4 sklk degerlerindeki ortalamas verilmektedir. Sekil 2'deki sonuclarn,
C izelge 3'deki son kolonda verilen sklk ortalamasnn sagladg OKH kazancyla birlikte degerlendirilmesiyle, geometrik ve harmonik ortalamann sklk kestirimini kotulestirdigi, aritmetik
ortalamann 14:6 dB gibi bir OKH kazanc saglamakla birlikte bu kazancn 27:6 dB 'lik KEYK
ortalamas (K = 9) ve 32:0 dB 'lik ortanca suzgec ve -krplms ortalama ( = 0:3) OKH
kazancndan cok az oldugu gorulmektedir. Ortalama yontemlerinin Sekil 2'de gorulen basarm-
C izelge 3: YKYW-12 sklk kestiricisinde farkl ortalama yontemlerinin, farkl parametrelere
uygulanmasyla Cauchy gurultude (GSGO = 10 dB ve L = 11) ortalamasz kestirime
gore saglanan OKH kazanc (dB). (OKH kazanc 0:1 ; 0:4 sklk degerleri arasndaki OKH
kazanclarnn ortalamasdr.)
glanm katsays Sklk
Ozilinti
Yansma katsays Ozba
Aritmetik Orta
2.7
21.2
23.5
14.6
Geometrik Orta
-5.6
-7.2
-7.7
1.3
Harmonik Orta
-2.8
-6.5
-7.7
2.0
Ortanca
28.0
22.8
17.6
32.0
KEYK-Ortalamas 29.1
22.6
18.4
27.6
-krplms orta
33.6
23.6
20.0
32.0
larn bir iki sozcuk ile betimlemek gerekirse: 1) ortalamasz, geometrik orta ve harmonik orta
ile kestirim cok kotu, 2) aritmetik orta ile kestirim kotu, 3) KEYK ortalamas ile kestirim iyi,
4) ortanca ve -krplms orta ile kestirim cok iyi sonuc vermislerdir. Ortalama yontemlerinin
Pisarenko, TK ve MK kestiricileriyle kullanlmas ile de benzer varglara ulaslmstr.
4.2 Ortalanan parametre turunun karslastrlmas
Ortalama yontemlerini karslastrp -krplms ortalamann en iyi sonucu verdigini gordukten
sonra, ortalama alma islemini hangi parametrelere uygulamann daha etkin olacagn bulmak
onemli olmaktadr. Bu amacla YKYW-12 kestiricisi ile -krplms ortalamann degisik parametrelere uygulandg zaman elde edilen OKH'nn sklga bagl degisimi S ekil 3'de gosterilmektedir.
Bu sekildeki sonuclarn C izelge 3'deki son satrda verilen -krplms ortalamann farkl parametrelerde sagladg OKH kazancyla birlikte degerlendirilmesiyle, yansma ve ozbaglanm katsaylarnn ortalanmasnn 23:6 dB ve 20:0 dB gibi oldukca iyi bir OKH kazanc saglamakla
birlikte, sklk ortalamasnn 32:0 dB , ozilinti ortalamasnn ise 33:6 dB OKH kazanc ile cok
daha basarl olduklar gorulmustur.
Cizelge
3'deki sonuclara gore secilen baz ortalama yontemlerive baz parametrelerin olusturdugu en iyi ciftler icin OKH sonuclar Cizelge
4'de TK ve MK yontemlerindeki baska ciftlerle
birlikte listelenmistir.
Cizelge
4'de goruldugu gibi YKYW ve Pisarenko karslastrldgnda, goreli sralarn tam
korumamakla birlikte, biri icin iyi olan ortalama-parametre ciftinin (ornegin ozilinti ve ortanca) digeri icin de iyi oldugu saptanmstr. TK ve MK kestiricileriyle ise ortalama yontemleri Cizelge
2'deki parametrelere uygulandgnda TK icin ozbaglanm katsaylarnn ortalanmasnn, MK icin ise kutuplarn ortalanmasnn sklk degerlerinin ortalanmasna oranla daha
basarl olduklar gorulmustur.
4.3 OKH'nn SGO veya GSGO'na bagl degisimi
Sekil 4'de TK-12 sklk kestiricisinin C izelge 4'de en basarl sonuclar verdikleri gorulen ozbaglanm katsaylarna ortanca suzgec, KEYK ortalama ve -krplms ortalama teknikleri uygulanmasyla ve ortalamasz elde edilen sklk band uzerinde ortalamas alnms OKH'nn Cauchy
gurultude GSGO'ya, Laplace gurultude SGO'ya bagl olarak degisimi gorulmektedir. Cauchy
C izelge 4: Ortalama yontemi ve uygulandg parametrelerin olusturdugu en iyi ciftler icin sklga
gore ortalamas alnms (1/OKH) (dB) (Cauchy gurultu)
YKYW-12 Pisarenko YW-2 TK-12 MK-12
Ozilinti ve
40.6
33.6
19.1
-krplms orta
Sklk ve
39.0
35.5
21.3 41.8
41.5
ortanca
Sklk ve
39.0
34.0
21.1 37.5
37.2
-krplms orta
35.9
29.4
16.5
Ozilinti
ve
KEYK-Ortalamas
35.5
33.6
20.1
Ozilinti
ve
ortanca
Sklk ve
34.5
31.7
18.4 30.2
28.4
KEYK-Ortalamas
glanm katsays ve
42.03
Ozba
-krplms orta
glanm katsays ve
Ozba
41.3
KEYK-Ortalamas
Kutup ve
40.7
ortanca
gurultude 0 dB 'den baslayarak GSGO arttkca KEYK ve -krplms ortalama ile ortanca deger
kullanmnn sagladg kazanc artmakta ve GSGO = 10 dB yoresinde en yuksek degerine ulasp
sonra azalmaktadr.
Laplace gurultu daglm durumunda ise bolutleme ve bolutler uzerinden ortalama islemi
OKH'y Sekil 4'deki (II)'de goruldugu gibi tum ortalama yontemlerinde yaklask 20dB kotulestirmektedir. Geometrik ve harmonik ortalamalarn basarmlar ise GSGO < 10dB oldugunda
daha da dusuktur. Ortalama yontemi PK , YKYW-12 ve MK-12 kestiricilerinde kullanldginda
da benzer sonuclar elde edilmistir. Sonuc olarak sapkn gidermeye yonelik algoritmalar Cauchy
gibi genis etekli daglmda ise yararken, Laplace, Gauss gibi derlesik bir olaslk kutlesine sahip
gurultu ortamlarnda kayplara bile yol acmaktadr.
4.4 OKH'nn -kararl daglmlarn 'sna bagl degisimi
Laplace ve Gauss gurultulerde bolutleme ve ortalama alma isleminin ortalama yonteminden
bagmsz olarak kestirim basarmn kotulestirmesi, gurultunun durtun ozelligi zay$adgnda ortalama yonteminin yararnn zarara donustugunu gostermistir. Bu bakmdan toplanr gurultu
olarak, durtun karakteri parametresiyle belirlenen -kararl sureclerin kullanmyla ortalamann yararnn zarara donustugu durtun karakter esigi parametresi cinsinden incelenmistir.
Sekil 5'de YKYW-12 sklk kestiricisinin sklga gore ortalama OKH kazancnn -kararl gurultunun 'sna bagl degisimi gorulmektedir. Ortanca, KEYK ortalamas (K = 9) ve -krplms
ortalama ( = 0:3) icin elde edilen sonuclar kararl daglm usteli artttkca yani durtun
karakter azaldkca kazancn da giderek azaldgn ve = 1:5'den itibaren bolutleme ve ortalama yonteminin OKH'nn artmasna yol actg gorulmektedir.
4.5 OKH'nn bolut saysna bagl degisimi
Ortalama yontemlerinin bolut saysna bagl davransn belirlemek uzere degisen N ve L
degerlerinde ortalamal kestirimlerin , ortalamasz kestirimlere olan OKH kazanclar arastrlmstr. Sekil 6'de GSGO = 10 dB iken Cauchy gurultude Pisarenko kestiricisi ile elde edilen
sonuclar gorulmektedir. OKH kazancnn bolut says ile birlikte duzenli olarak arttg izlenmektedir. Aslnda bolut says cok arttrldgnda cozunurluk azalmaktadr, bu bakmdan en
kucuk bolut uzunlugu 25'e snrlandrlmstr.
5 Sonuclar
Sinuzoidal sklk kestiriminde Gauss'tan cok daha buyuk degerlere erisebilme olaslg olan etekleri dolu gurultulere kars dogrusal olmayan ortalama yontemlerinin kullanm ile alnan sonuclar
soyle ozetlenebilir.
Ortalama alma isleminin S ekil 1'de de gosterildigi gibi gecis parametrelerine yani ozilinti
katsaylar, ozbaglanml model katsaylar, kutuplar, yansma katsaylarna uygulanmas
cogu kez, kestirilecek sklk parametresine uygulanmasndan daha etkili olmustur.
Sra s
uzgeclemesi yani -krplms ortalama ve ortanca deger kullanm Cauchy gurultude
diger ortalama yontemlerine kyasla daha basarl sonuclar vermislerdir.
Genel olarak KEYK ve -krplms ortalamalarda, ortalamann sagladg kazancn K ve degerlerine cok duyarl olmadg gorulmustur.
Ortalama yontemlerinin etkili olabilmesi icin bol
ut saysnn 10'dan daha buyuk olmas gerektigi ve bolut uzunlugu kestiricilerin basarl olabilecegi en kucuk uzunlugun altna
dusmediginde OKH kazancnn bolut says ile birlikte duzgunce arttg gorulmustur.
Ortalama yontemlerinin toplanr g
urultunun durtun karakterini yitidikce yararlarnn yok
oldugu ve sfr kazanc durumuyla -kararl gurultunun yaklask = 1:5 degerinde karslaslmstr. Ancak durtun ozelligi olmayan gurultulerde ortalama yonteminin neden olacag
snrl basarm azalmasna karslk, Cauchy benzeri gurultulerde ortalama yonteminin sagladg buyuk basarm arts, gurultunun durtun de olabilecek daglmnn tam olarak bilinemedigi durumlarda kestiricilere gurbuzluk kazandracaktr.
Kaynakca
1] P.J. Huber, \Robust Statistics: A Review", The Annals of Mathematical Statistics, Vol.
43, No. 4, 1972, s. 1041-1067.
2] J.M.H. Du Buf ve T.G. Campbell, "A Quantitative Comparison of Edge-Preserving
Smoothing Techniques", Signal Processing, Vol. 21, No. 1, Temmuz 1990, s. 289-301.
3] Louis L. Scharf, Statistical Signal Processing, Addison Wesley Pub. Company,1991.
0
0
a
-5
-5
-10
-10
c,d
-20
b
-25
-30
a
-15
OKH (dB)
OKH (dB)
-15
f
-20
-25
d
-30
-35
c
-35
-40
e
-40
e,g
-45
b
-45
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25 0.3
SIKLIK
0.35
0.4
0.45
0.5
Sekil 2: YDYW-12'nin Cauchy gurultude bolut sklk kestirimleri ortalamasnn OKH'snn
sklga bagl olarak degisimi a: ortalamasz
(L = 1), b: aritmetik, c: geometrik, d: harmonik, e: ortanca, f: KEYK (K = 9), g:
-krplms ( = 0:3) ortalamalar (N = 275,
L = 11, GSGO = 10 dB )
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25 0.3
SIKLIK
0.35
0.4
0.45
S ekil 3: YDYW-12 sklk kestiricisine uygulanan -krplms ortalama ( = 0:3) ile bulunan OKH'nn sklga bagl olarak degisimi
a: ortalamasz (L = 1), b: ozilinti, c: yansma
katsays, d: ozbaglanm katsays, e: sklk ortalamalar (N = 275, L = 11, GSGO = 10dB )
70
100
90
60
80
f
40
70
g
30
-10log(OKH)
-10log(OKH)
50
e
20
b
a
50
40
30
20
10
a
b,e,f,g
60
c
d
10
0
0
-10
-10
0
5
10
GSGO (dB)
15
20
-5
(I) Cauchy gurultu
0
5
10
15
20
SGO (dB)
25
30
35
40
(II) Laplace gurultu
Sekil 4: MN-12 sklk kestiricisinin sklga gore ortalamas alnms OKH'snn Cauchy gurultude
GSGO'ya, Laplace gurultude SGO'ya bagl olarak degisimi a: ortalamasz (L = 1), b: aritmetik, c: geometrik, d: harmonik, e: ortanca, f: KEYK (K = 9), g: -krplms ( = 0:3)
ortalamalar (N = 275, L = 11) (ozbaglanm katsaylar ortalamas,N = 275, L = 11)
30
35
30
c
b
a
10
OKH KAZANCI (dB)
OKH KAZANCI (dB)
20
0
-10
25
20
15
10
5
-20
0
-30
1
1.2
1.4
1.6
1.8
Kararl Daglmn Karakteristik U steli, -5
2
Sekil 5: YDYW-12'nin sklga gore ortalama
OKH kazancnn -kararl gurultunun 'sna
bagl degisimi a: ortanca, b: KEYK ortalamas (K = 9), c: -krplms ortalama ( =
0:3) (ozilinti ortalamas, N = 275 , L = 11,
GSGO = 10 dB )
0
10
20
30
40
50
Bolut Says, L
60
70
80
S ekil 6: Pisarenko sklk kestiricisinin sklga
gore ortalamas alnms OKH kazancnn bolut
saysna bagl olarak degisimi (ozilinti katsaylar ortalamas, L = 200'den 2000'e kadar,
GSGO = 10 dB )