5. Risk

Belirsizlik ve
Sigorta Olgusu
2
Belirsizliğin Olasılık Dağılımıyla Tanımlanması
Bazı
olayların
gerçekleşmesi,
olasılık
kullanılarak
tanımlanabilir. Örneğin bir sınıfta bulunan öğrencilerin boy
uzunluklarını belirlediğimizi düşünelim. Daha sonra bu sınıfa
katılacak
bir
öğrencinin
boy
uzunluğu,
olasılıklı
olarak
söylenebilir.
Olasılık dağılımı, tesadüfi bir değişkenin alacağı bir değerin
olasılığını tanımlar.
3
Örneğin boyu 165 c. Olan bir öğrencinin sınıfa katılma olasılığı
%33.3, boyu 175 cm. olanın olasılığı %33.3 biçiminde olasılık
dağılımıyla gösterebiliriz. Bunu basit olarak tablolaştıralım:
Tablo 6.1. Üç Farklı Boy
Uzunluğunun Olasılık Dağılımı
Boy Uzunluğu
Olasılık
165 cm.
⅓
175 cm.
⅓
180 cm.
⅓
4
Bu örneğe göre, beklenen boy uzunluğunu hesaplayalım:
Beklenen Değer = ∑ π i vi
,
0 ≤π i ≤ 1 ,
∑π
i
=1
1
1
1
Beklenen Boy Uzunluğu = (165) + (175) + (180)
3
3
3
= 173.33
Burada πi , i olayının gerçekleşme olasılığı; vi , i olayının gerçekleştiğinde alacağı değerdir.
5
Bu örneği grafik olarak da gösterebiliriz.
Şekil 6.1. Kesikli Olasılık Dağılımı
Olasılık
1
0.75
0.5
0.25
0
165
175
Boy Uzunluğu
180
6
Olay sayısı sonsuz olarak ifade edildiğinde, yukarıda üç olayın
olasılığı için çizdiğimiz kesikli olasılık dağılım grafiği, sürekli
biçime dönüşmüş olacaktır.
1
B
Şekil 6.2.
Olasılık
Dağılımı
Olasılık
A
0
Boy
Uzunluğu
7
Yukarıdaki
şekilde
mavi
dağılımın
(A )
varyansı,
kırmızı
dağılımdan (B) büyüktür.
σ = ∑ π i ( vi − x )
2
2
σ 2A > σ 2B
İlerleyen konularda, tesadüfi bir değişkenin varyansının, risk
kavramıyla nasıl ilişkilendirilebileceğini göreceğiz.
Belirsizlik Koşulları Altında Karar Verme
8
Geleneksel tüketici teorisinde tüketicinin karar verme sürecini
tam bir belirlilik altında gerçekleştirdiğini varsaymıştık. Ancak
gerçek dünyada bireyler belirsizliklerle karşı karşıya kalarak
iktisadi kararlar verirler. Örneğin bir bireyin farklı risklere
sahip iki yatırım karşısında karar verme durumunda olduğunu
kabul edelim. Aşağıdaki tablo, her bir yatırımın getirisinin
gerçekleşme olasılığını vermektedir.
9
Tablo 6.2. Farklı Bölgelerde Buğday Üretme
Girişimi
A Yatırımı
B Yatırımı
Kazanç
(YTL)
Geçekleşme
Olasılığı
Kazanç
(YTL)
Geçekleşme
Olasılığı
10
0.10
10
0.00
20
0.30
20
0.30
30
0.20
30
0.40
40
0.20
40
0.30
50
0.20
50
0.00
10
Girişimci A ve B yatırımlarının sağlayacağı kazançların belirsizliği
altında
hangi
yatırımı
yapacağına
karar
verecektir.
Yukarıdan aşağıya her bir olay sırasıyla şu anlama gelmektedir:
Birinci olay kurak hava koşulları; ikinci olay yağışlı hava
koşulları; üçüncü olay soğuk hava koşulları; dördüncü olay
dondurucu hava koşulları; beşinci olay aşırı yağışlı hava
koşullarıdır.
11
Bu tabloyu, kesikli olasılık dağılım grafikleri yoluyla da aşağıda
gösterdik. Şimdi her iki yatırımın beklenen parasal değerini
hesaplayalım.
A Yatırımının Beklenen Parasal Değeri
= 0.10(10) + 0.30(20) + 0.20(30) + 0.20(40) + 0.20(50) = 31 YTL
B Yatırımının Beklenen Parasal Değeri
= 0(10) + 0.30(20) + 0.40(30) + 0.30(40) + 0(50) = 30 YTL
12
Farklı yatırım olanaklarından hangisinin seçileceği, beklenen
kazancın parasal değerine bağlıdır. Beklenen parasal değeri en
büyük olan yatırım, ekonomik karar birimi tarafından tercih
edilecektir. Yukarıdaki beklenen değer hesabına göre, girişimci
A yatırımına karar verecektir. Ancak belirsizlik altında bu
şekilde karar vermek olanaklı değildir. Bazı durumlarda çelişik
sonuçlar elde edilebilir. Bunu iki örnekle görelim.
13
Şekil 6.3. A Yatırımının Kazanç Olasılık
Dağılımı
Olasılık
1
0.75
0.5
0.25
0
10
20
30
Kazanç
40
50
14
Şekil 6.4. B Yatırımının Kazanç Olasılık
Dağılımı
Olasılık
1
0.75
0.5
0.25
0
10
20
30
Kazanç
40
50
15
Örnek 1: Sadist Yardımsever
Bir hastanın doktordan önemli bir rahatsızlığı olduğunu ve
20000 YTL değerindeki bir operasyon yapılmadığında iki aylık
ömrünün kaldığını öğrendiğini varsayalım. Bu hasta operasyon
masrafını karşılamak için yakınlarına ulaşamamıştır. Son bir
çare
olarak,
bir
sadist
yardımsever
başvurur.
Sadist
yardımsever bu hastanın önüne iki kumar seçeneği koyar. Bu
seçenekler aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.
16
Tablo 6.3.
A Kumarı
Fiyat
(YTL)
B Kumarı
Kazanç
Olasılık
(YTL)
Fiyat
(YTL)
Olasılık
Kazanç
(YTL)
10000
0.50
0
0
0.99
0
15000
0.50
0
20000
0.01
1
Beklenen
Parasal
Değer:
12500
Beklenen
Kazanç:
0
Beklenen
Parasal
Değer:
200
Beklenen
Kazanç:
0
17
Örneğimizdeki hasta birey kazancını (yararını) maksimize
etmeye çalıştığından dolayı, A kumarını tercih edecektir. Ancak
burada oluşan bityeniğine dikkat edelim. Birey A’yı tercih
ederse bir saat içinde ölecek (çünkü operasyon için 20000 YTL
gerekli), B’yi tercih ederse %1 yaşama olasılığı var. Bu nedenle
A tercihinin sağladığı kazancın hiçbir değeri yoktur. B ise bir
yaşam umudu sağlamaktadır. Tabii ki böyle bir durumda
bireyler B’yi tercih edeceklerdir.
18
Ölümün sağlayacağı yararı 0, yaşamın sağlayacağı yararı 1 ile
tanımlarsak, hasta gözünde A ve B kumarlarının beklenen
yararlarını şöyle hesaplayabiliriz:
A Kumarının Beklenen Yararı
= 0.50(0) + 0.50(0) = 0
B Kumarının Beklenen Yararı
= 0.99(0) + 0.01(1) = 0.01
19
Bireyin amacı beklenen yararı maksimize etmekse, bu durumda
B’yi tercih edecektir. Bu örnek bize, belirsizlik durumlarında
beklenen (parasal) kazancı maksimize etmenin, açık bir çözüm
üretemeyebileceğini
geçelim.
Bu
örnek
göstermektedir.
St.
Şimdi
Petersburg
ikinci
örneğe
paradoksu
olarak
anılmaktadır ve çözümü ilk kez Daniel Bernoulli tarafından
yapılmıştır.
20
Örnek 2: St. Petersburg Paradoksu
Eşit beklenen parasal getiriye sahip iki farklı kumarla karşı
karşıya olan bir bireyi dikkate alalım. A kumarında 100 YTL
elde etme şansı %100, 0 YTL elde etme şansı %0; B kumarında
200 YTL elde etme şansı %50, 0 YTL elde etme şansı %0 ’dır.
Bireyin, herhangi bir adil kumarda
yer alabilmek için yapacağı
kumar
ödeme, elde edeceği beklenen kazancına bağlıdır. Örneğin B
kumarında yer alabilmek için, 100 YTL ödeme yapacaktır.
21
Bernoulli, bir yazı tura oyunu yoluyla, bireylerin kazançlarını
maksimize edemeyebileceğini göstermiştir. Genel olarak, çok
sayıda para atımında yazı ve tura gelme olasılıkları yarı
yarıyadır. Parayı ilk tura gelinceye kadar atalım ve sonra oyunu
durduralım. Bu atışlardaki ödeme sistemimizde şöyle olsun:
Birinci atışta tura gelirse 2 YTL, ikinci atışta gelirse (2)2 YTL,
üçüncü atışta gelirse (2)3 YTL…
22
Tüm yazı-tura atışları birbirinden bağımsızdır. Birinci atışta
tura gelme olasılığı ½ , ikinci atışta olasılık (½)2 , üçüncü
atışta olasılık (½)3 ... Buna göre, bu oyunun beklenen getirisini
hesaplayalım:
2
3
2
3
⎛1⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
⎛ 1⎞
= ⎜ ⎟ ( 2 ) + ⎜ ⎟ ( 2 ) + ⎜ ⎟ ( 2 ) + ..... + ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
= 1 + 1 + 1 + ..... + 1 + .....
Bu toplam ıraksaktır.
n
( 2)
n
+ .....
23
Bu sonuç, beklenen kazancı maksimize etme amacındaki bir
bireyin bu tür bir oyunda yer alabilmek için, sınırsız miktarda
ödeme
yapması
gerektiğini
söylemektedir.
Ancak
gerçek
yaşamda, kendisine küçük bir şans veren bir oyun için hiçbir
birey sınırsız ödeme yapmaz. Bu nedenle, bireyler beklenen
kazancı maksimize etmeyebilirler.
24
Beklenen Faydanın Maksimizasyonu: Kardinal Fayda
Yukarıda incelediğimiz örnekler, belirsizlik (risk) altında seçim
yapan bireylerin, tercihlerini beklenen kazancın maksimizasyonu yerine, beklenen faydanın maksimizasyonuna göre oluşturduklarını göstermiştir. Bu, beklenen fayda hipotezi olarak
anılmaktadır. Konuyla ilgili iktisatçılar, risk altında seçim yapan
bireylerin, adeta bir (kardinal) fayda ölçeği oluşturarak tercih
belirlediklerini düşünmektedirler.
25
Bu anlamda, bireylerin birer kardinal fayda fonksiyonuna sahip
olduklarını
düşünerek
analiz
yapacağız.
Ordinal
fayda
kavramının yerine kardinal faydayı ikame etmemizin nedeni,
belirsizlik
durumlarında
ordinal
fayda
ölçeğinin
zayıf
kalmasıdır. Bunu bir örnekle görelim. Bize üç şey arasında bir
seçim olanağı sağlanmış olsun: Çikolata (100 birim fayda),
elma (70 birim fayda) ve portakal (50 birim fayda). Bu
durumda birey fayda maksimizasyonu gereği, çikolatayı tercih
edecektir.
26
Benzer şekilde sayısal faydalar (aynı sırayla) 5, 4 ve 2 olsaydı,
tercihimiz yine aynı şekilde olacaktı. Sıralama esaslı bir fayda
yaklaşımı yaptığımızda, sıralama bireyin tercihlerini doğru
yansıttığı sürece, atfedilen sayıların bir önemi yoktur. Ancak
böyle bir durumda birey tercihini açık bir belirlilik altında
yapmaktadır.
Gerçek
dünyada
belirsizlik
durumlarında
bu
yaklaşım (ordinal fayda) yetersiz kalacaktır. İktisatçılar bu
yaklaşım yerine, kardinal fayda yaklaşımını önermektedirler.
27
Bunu aynı örneğe devam ederek açıklayalım. Yine yukarıda
yaptığımız gibi iki farklı ordinal fayda fonksiyonu düşünelim.
Ancak şimdi bireye sunulan seçenek biçimini değiştirelim.
Seçeneklerden biri elma, diğeri de yarı yarıya bir şansla
çikolata ve portakal olsun. Yani birey ya kesin olarak elmayı
seçecek, ya da bir kumar oynayarak daha çok sevdiği çikolata
ile daha az sevdiği portakal arasında bir karar verecektir. Şimdi
ordinal bir fayda fonksiyonu çerçevesinde, beklenen faydayı
maksimize etmeye çalışalım.
28
Eğer
bireyi
doğrudan
(kesin
bilgi
sahibi
olduğu)
elmayı
seçerse, faydası 70 birimdir. İkinci seçenek üzerinde (%50%50
şansla)
kumar
oynarsa,
beklenen
faydası
½(100)+½(50)=75 birim olacaktır. Bu durumda birey, ikinci
seçeneğin beklenen faydası daha yüksek olduğundan kumar
oynamayı tercih edecektir. Şimdi aynı durumu ikinci ordinal
fayda fonksiyonu için uygulayalım. doğrudan elmayı seçerse,
faydası
4
birim;
½(5)+½(2)=3.5
kumar
birim
oynarsa,
olacaktır.
seçmek rasyonel davranıştır.
Bu
beklenen
durumda
ise
faydası
elmayı
29
Bireyin her iki fayda fonksiyonundaki sıralama tercihleri aynı
olmasına karşın, çelişik sonucun ortaya çıkışı, bizi belirsizlik
durumlarında
kardinal
fayda
fonksiyonlarını
kullanmaya
zorlamaktadır.
Şimdi bireyin, ödülleri (A1 , A2 ,…, An) olan bir kumarla karşı
karşıya bulunduğunu ve A1’i
A2’ye , A2’yi A3’e ,…, An-1’i An’e
tercih ettiğini varsayalım ve bireyin her bir ödüle atayacağı
sayısal (kardinal) fayda belirleyelim.
30
Sayısal (kardinal) faydayı belirlemek için üç örnek ödülü
dikkate alalım: A1 ,en iyi ödül; Ak , orta derecede ödül; An , en
kötü ödül.
İlk aşamada Ak ,ödülüne atanacak sayıyı belirleyelim. Örneğin
basit biçimde en kötü ödüle (An) 0, en iyi ödüle (A1) 1 değerini
verebiliriz.
Olasılıklar
da
sırasıyla
%40 ve %60 ise, bu
durumda ödülünün beklenen sayısal faydası (U( Ak )):
U ( Ak ) = p ( 1) + ( 1 − p )( 0 ) = p
= 0.6 ( 1) + 0.4 ( 0 ) = 0.6
31
Bu süreci bu şekilde sürdürdüğümüzde, tüm öneriler için fayda
sayılarına ulaşmış oluruz. Başlangıçta belirlediğimiz en iyi ödül
için 1, en kötü ödül için 0 değerleri tesadüfi seçilmiştir. Bu
değerler yerine, örneğin 1000 ve 100 değerleri de alınarak, bu
araya düşen diğer fayda sayıları hesaplanabilir. Dolayısıyla
ölçeği değiştirmemiz, bireyin kardinal fayda fonksiyonunu
etkilememektedir. Örneğin ısı ölçümünde ölçeği Fahrenheit ya
da Celcius almamızın ölçüm üzerinde bir önemi yoktur.
32
Fayda Fonksiyonu ve Risk Altında Davranış
Riske Karşı Yansız Tutum
Bazı bireyler riske karşı kayıtsız (yansız) davranabilirler. Şu
örneği dikkate alalım. Aşağıdaki şekilde yatay eksende YTL
olarak kazançlar, dikey eksende de bu parasal kazancın fayda
karşılığı
yer
bireyin
fayda
almaktadır.
Orijinden
fonksiyonudur.
nedeniyle, marjinal fayda sabittir.
çıkan
Doğrusal
doğru
fayda
(kırmızı),
fonksiyonu
Şekil 6.5. Riske Karşı Yansızlık
Fayda
Kumarın ve Kesin
Tercihin Beklenen
Faydası
e
U (0)
a
0
U (YTL)
b
U (100)
U (50)
50
100
Kazanç (YTL)
33
34
Burada olduğu gibi, doğrusal fayda fonksiyonuna sahip birey,
riske karşı yansız tutum takınır (risk-neutral). Riske karşı
yansız olmak, bireyin kumarlar arasında yapacağı seçimini,
elde edeceği beklenen parasal değere dayandırması anlamına
gelmektedir. Eğer bir kumarın getirisinin varyansı artarsa, riski
de giderek büyür. Örneğin kesin belirlilik altında 50 YTL öneren
G1 kumarı, %50 olasılık altında 100 YTL öneren G2 kumarından
daha az risklidir. Kesin belirli bir seçim, bir kumardan daha az
risklidir.
Riske
karşı
olmayacak,
yansız
iki
olan
seçeneğin
birey,
belirsizliklerin
(kumarın)
beklenen
35
farkında
getirileriyle
ilgilenecektir. G1 ve G2 kumarları eşit beklenen getiriye sahip
olduğundan, birey bu iki seçeneğe karşı yansızdır. Şekil 6.5’de
G2 tercihi e noktasıyla gösterilmiştir. Bu kumarın beklenen
faydasını bulurken en iyi durum (b noktası 100 YTL) ile en kötü
durumu (a noktası 0 YTL) kullanıyoruz:
G 2 = (0.50)U ( 0YTL ) + (0.50)U ( 100YTL ) = 50YTL
G1 kumarının beklenen faydası, e noktasının yatay eksenden
yüksekliğine eşittir. Yani 50 YTL’dir.
36
Riskten Kaçınma Tutumu
Bazı bireyler riske karşı kaçınma davranışında olabilirler.
Aşağıdaki şekilde (Şekil 6.6.) fayda fonksiyonu konkav biçimde
çizilmiştir. Marjinal fayda giderek azalmaktadır. Birey bu
durumda risk almaktan kaçınan
bir tutum izleyecektir. Artık
birey kesin bilinen tercih ile kumar tercihi arasında kayıtsız
değildir. Bunu anlayabilmek için bir önceki örneği kullanmayı
sürdürelim.
37
Şekil 6.6.’da b noktası yine en yüksek kazanç düzeyini (100
YTL) göstermektedir. Bireyin seçimi (yansızlık örneğindeki
gibi) ya kesin bilinenden yana (50 YTL) ya da %50-%50
olasılıklarla en iyi olan (100 YTL) ile en kötü olan (0 YTL)
arasında
oluşacaktır.
noktalarının
tam
Kumarın
ortası,
yani
beklenen
faydası,
a ile b
e noktasıdır. Ancak fayda
fonksiyonumuz artık doğrusal değil, konkav biçimlidir. Bu
nedenle, fayda eğrisi (mavi eğri) üzerindeki d noktası, belirli
olan seçimin sağlayacağı parasal faydadır.
38
Şekil 6.6. Riskten Kaçınma
Fayda
Kesin Bilinen
Seçimin Faydası
b
U (YTL)
d
•
U ( 50 )
•
e
Kumarın
Beklenen
Faydası
(0.50)U (0) + (0.50)U ( 100 )
a
0
50
100
Kazanç (YTL)
39
Belirli seçimin faydası, belirsiz seçimin faydasından büyük
olduğundan, birey risk taşıyan belirsiz bir seçimden kaçmayı
daha rasyonel bulacaktır.
40
Riski Tercih Etme Tutumu
Son olarak, bazı durumlarda bireylerin risk taşıyan seçimleri
tercih edebileceği durumu inceleyelim. Bu durum, aşağıdaki
Şekil
6.7
ile
gösterilmiştir.
Fayda
fonksiyonu
konvekstir.
Riskten kaçınma durumunun tersine, burada bireyin belirli
seçimde elde edeceği fayda, belirsiz (risk taşıyan) seçime göre
daha düşüktür. Bireyin daha yüksek parasal fayda sağlayan
riskli seçimi tercih etmesi rasyonel bir davranıştır.
41
Şekil 6.7. Riski Tercih Etme
Fayda
b
U (YTL)
Kumarın Beklenen
Faydası
e
•
d
•
a
0
50
U ( 50 )
Kesin Bilinen
Seçimin Faydası
100
Kazanç (YTL)
42
Bireylerin Sigorta Talepleri: Riskten Kaçınma
Riskten
Kaçınma
tutumuna
sahip
bir
bireyin,
100
YTL
değerinde bir eve sahip olduğunu ve ayrıca, evin yanması
durumunda, evin bulunduğu arsanın 20 YTL olduğunu kabul
edelim. Evin yanma olasılığının da %20 olduğunu (yanmama
olasılığı %80) düşünelim. Buna göre bireyin risk taşıyan
(kumar) seçeneğini şöyle ifade edebiliriz:
G ( 20YTL, 0.20 ; 100YTL,0.80 )
43
Örneğimizi aşağıdaki Şekil 6.8. ile gösteriyoruz. Eğer birey
hiçbir şey yapmazsa (evini sigorta yaptırmazsa) elde edeceği
fayda e′e dir. Ancak birey aynı fayda düzeyini (g′g), evini
sigorta yaptırarak da elde edebilir. Birey yıllık 20 YTL’den evini
sigortalarsa, evin bedeli olarak 80 YTL’yi garanti altına almış
olacaktır (belirli seçim). 20 YTL’lik bir sigorta primi düzeyinde
birey sigorta yaptırıp yaptırmamakta kayıtsızdır. Sigorta bedeli
20 YTL’nin altında ise, sigorta yaptırmak (riskten kaçınmak)
daha rasyonel bir davranıştır.
44
Şekil 6.8. Sigorta ve Riskten Kaçınma
Fayda
80 YTL’nin
Faydası
h
•
g
e
•
•
15 YTL
(0.20)(20) + (0.80)(100)
U ( 20 )
a
0
U (YTL)
Bir Eve
Sahip
Olmanın
Beklenen
Faydası
20
80
g′
84
e′
85
h′
100 Kazanç (YTL)
45
Örneğin 15 YTL’lik bir sigorta primi öderse, elde edeceği belirli
fayda 85 YTL eşdeğerindeki h′h yüksekliğine eşittir. Böylesi bir
sigortalama eylemi, bireyin tercih edebileceği (yani riskten
kaçacağı) bir olanak sağlar. Fakat bu tür durumlarda dahi riski
tercih
eden
bireyler
açısından
ne
gibi
sonuçların
ortaya
çıkabileceğine de bakalım. Şekil 6.9. bu durumu göstermektedir. Böylesi bir fayda fonksiyonuna sahip birey için evin %20
olasılıkla yanmasının yol açacağı beklenen kayıp 16 YTL’dir.
Şekil 6.9. Sigorta ve Riskin Tercih Edilmesi
46
Fayda
e
•
10 YTL
0
20
84
e′
90
100 Kazanç (YTL)
47
Bireyin sigorta yaptırmaya razı olacağı (ya da bir başka
ifadeyle,
sigorta
yaptırmadığında
elde
ettiği
faydayı
yakalayabileceği) en yüksek prim 10 YTL’dir (e′e ’nin eşdeğer
yüksekliği).
Bu
kumarın
sonucunda
beklenen
kazanç
16
YTL’dir. Çünkü evin yanma olasılığı %20 ve kaybedilecek para
da 80 YTL’dir. Bir önceki örnekte birey riskten kaçma davranışı
içindeyken, sigorta primi olarak en çok 20 YTL ödemeye
razıydı. Buradaki durumda ise bireyin sigorta için ödeyeceği en
yüksek prim 10 YTL’dir.
48
Buna göre, risk almayı tercih eden birey 10 YTL’ye sigorta
yaptırmakla yaptırmamak arasında kayıtsızdır. Gerçekte ise, bu
durumdaki birey 16 YTL’lik adil primi ödemekten kaçınarak,
sigorta yapmak yolunu seçecektir. Bu tür bir davranış, risk
almayı seven bireyden beklenmeyen bir durumdur.
49
Sigortalama Sistemi ve Sigorta Piyasasının Oluşumu
Sigortacılık
sisteminin
(piyasasının)
nasıl
oluşabildiğini
görebil-mek için, iki bireyin (A ve B) yaşadığı ve meyve
toplayıcılığıyla
geçindiği basit bir tarım bölgesini dikkate
alalım. Bu bireyler topladıkları elmanın kilosunu 1 YTL’den,
çileği de 6 YTL’den her sabah satmaktadır. Ayrıca A ve B
bireyinin ürünlerinin tamamını %10 olasılıkla tahrip edebilen
bir böcek riskinin var olduğunu düşünelim. Eğer A bireyi her
gün
8
kilo
kazanacaktır.
elma,
2
kilo
çilek
satarsa
günlük
20
YTL
50
Ancak böceklerin, toplanan meyvenin tamamına %10 olasılıkla
zarar verebilmesi nedeniyle A bireyinin %90 olasılıkla geliri 20
YTL, %10 olasılıkla da 0 YTL olacaktır. Bu nedenle A bireyinin
beklenen kazancı 18 YTL, beklenen kaybı 2 YTL’dir. Eğer birey
risk almaktan hoşlanmıyorsa, durumu aşağıdaki Şekil 6.10a ile
tanımlanacaktır. Birey risk alacak olursa beklenen kazancı 18
YTL, beklenen faydası da e′e olacaktır. Böceklerden görülecek
zarara karşı korunmak için, kendisine önerildiği taktirde 4
YTL’ye kadar prim ödemeye razı olacaktır.
51
Şekil 6.10a. Riskten Kaçınan A Bireyi
Fayda
U (20)
•e
4 YTL
a
0
16
e′
18
20
Kazanç
(YTL)
52
Bu noktada temel soru şudur: Bireyleri risklere karşı korumak
için sigorta teklifini kim ve neye göre yapacaktır? Bu soruyu
yanıtlayabilmek
için,
risk
almaktan
hoşlanan
ve
fayda
fonksiyonu Şekil 6.10b’de gösterilen bir başka birey (B)
dikkate alalım. Bu bireyin meyve satışından elde edeceği
günlük geliri 38 YTL’dir. Faydası şekilde b′b yüksekliğiyle
gösterilmiştir.
Şekil 6.10b. Risk Tercih Eden B Bireyi
Fayda
b
• U (38)
d
•
10 YTL
U (18)
•
0
18
d′
36
b′
38
(0.10)(18) + (0.90)(38)
Kazanç
(YTL)
53
54
Şimdi B bireyinin A bireyine şöyle bir öneri götürdüğünü
düşünelim: “Sen bana π kadar bir ödeme yaparsan, ürünün
böceklerden dolayı tamamen zarar gördüğünde ben sana
YTL
ödeme
yapacağım;
aksi
durumda
hiçbir
20
ödeme
yapmayacağım”. Eğer A bireyi bu öneriyi kabul ederse, B için
38 YTL’lik günlük gelir kesin olmaktan çıkar. Artık B bireyi
üzerine bir risk almıştır:
%90 olasılıkla 38+π YTL kadar
kazanabileceği bir kumarın içerisinde yer almaktadır.
55
Böcekler meyvelere zarar vermezse, B bireyi kazanç %10
olasılıkla 18+π YTL kazanacak; zarar verirlerse, B bireyi A
bireyine 20 YTL ödeme yapacaktır. Buna göre, B bireyi hangi
fiyattan (ya da hangi sigorta priminden, π) A bireyine sigorta
hizmeti vermek isteyecektir? Bir an için sigorta bedelini sıfır
olduğunu varsayalım. B, A’ya sigorta satarsa, kendisinin kesin
olan 38 YTL’lik gelirini risk altına sokmuş olacaktır. Çünkü %90
olasılıkla
38
kaybedecek
YTL’yi
koruyacak,
(meyvelerin
yapacağı ödeme).
zarar
%10
olasılıkla
görmesi
20
nedeniyle
YTL
A’ya
56
B bireyi için bu şekildeki bir kumarın beklenen faydası, Şekil
6.10b’de d′d yüksekliğiyle gösterilmiştir. Ancak bu, B bireyinin
risk altına girmeme (sigorta satmama) durumunda ortaya
çıkacak beklenen faydayı gösteren b′b yüksekliğinden daha
düşüktür. Bu nedenle B, sıfır risk primi altında A’ya sigorta
satmak istemeyecek, yani sigorta olgusu ortaya çıkmayacaktır.
B’nin sigorta satmaya razı olacağı fiyatı (primi) görebilmek için
Şekil 6.11’i dikkate alalım. B bireyinin satış yapmadığı nokta
b′b dir. Şimdi sigorta priminin 1.50 YTL olduğunu varsayalım.
Şekil 6.11. Sigorta Satmaya İstekli Olma
Fayda
•
k
•
b
•
10 YTL
•
0
19.5
18 + π
k′
•
b′
•
38 39.5
38 + π
Kazanç
(YTL)
57
58
Bu durumda, böcekler A bireyinin meyvesine %10 olasılıkla
zarar verdiğinde B’nin kazancı 19.50 YTL (38 YTL asıl gelir-20
YTL A’ya yapılacak sigorta zararı gideri+1.50 YTL prim geliri);
meyveler zarar görmediğinde (%90 olasılık), B A’ya hiçbir
ödeme yapmayacağından kazancı 39.50 YTL (38 YTL asıl
gelir+1.50 YTL prim geliri) olacaktır. Bu kumarın beklenen
faydası
k′k
olduğundan,
yüksekliğidir.
bu
prim
k′k
b′b
ile
düzeyinde
B,
yükseklikleri
A’ya
sigorta
eşit
satıp
satmamakta kararsızdır. Bu nedenle 1.50 YTL, B’nin sigorta
yapmaya razı olacağı en düşük primdir.
59
Risk Havuzu: Sigorta Şirketlerinin Büyümesi
Yukarıda gördüğümüz gibi, günlük yaşamda belirsizliklerin
varlığı sigortanın gerekliliğini ortaya çıkartmakta ve insanların
bu belirsizlikler karşısında farklı tutumlar takınması, sigortalamanın kârlılığını belirlemektedir. Bazı bireyler risk almaktan
kaçınmazlarken,
bazıları
ise
riskten
pek
hoşlanmazlar.
Yukarıdaki A ve B bireyi örneği bir birey için sigorta olgusunun
ortaya çıkışını göstermiştir. Ancak bireyin kendisini (gelirini)
güven altına alabilmek için başka yolları da vardır.
60
Bu yollardan birisi risk havuzu ya da öz-sigortadır.
Bu tür
sigorta
sigortayı anlayabilmek için riskten kaçınan birey örneğini
yeniden ele alalım. Bunu Şekil 6.12’de görebiliriz. Şekle göre
risk almayı sevmeyen birey aynı beklenen kazancı sağlayan iki
kumarla karşı karşıyadır. Şekil 6.12a’daki birinci kumar %60
olasılıkla 100 YTL, %40 olasılıkla da 50 YTL kazandırmaktadır.
Bu kumarın beklenen kazancı 80 YTL’dir:
(0.60)(100) + (0.40)(50) = 80
Şekil 6.12a. Risk ve Varyans
Fayda
U (YTL )
0
50
70
80
100
(0.40)(50) + (0.60)(100)
Kazanç
(YTL)
61
62
Kazancın varyansı:
(0.60)(100 − 80) + (0.40)(50 − 80) = 600
2
2
Birey 100 YTL’lik varlığını ya %60 olasılıkla aynı düzeyde
koruyacak ya da %40 olasılıkla 50 YTL’ye düşecektir. Bu
koşullar altında birey varlıklarının değer kaybına karşılık 30
YTL’ye kadar sigorta primi ödemeye razıdır. Varlıklarının değeri
düşerse, sigortacı bireye 50 YTL’lik ödeme yapacaktır.
63
Şimdi de Şekil 6.12b’ye bakalım. Bu kumarda bireyin varlığı
%40 olasılıkla değerini koruyacak; %33.3 olasılıkla 80 YTL’ye
ve
%26.7
olasılıkla
da
50
YTL’ye
düşecektir.
Beklenen
kazançlar, bir önceki örnekteki kadardır:
Beklenen Kazanç = (0.40)(100) + (0.333)(80) + (0.267)(50) = 80
Buna karşılık varyans daha düşüktür:
σ 2 = (0.40)(100 − 80)2 + (0.333)(80 − 80)2 + (0.267)(50 − 80)2 = 400.3
Şekil 6.12b. Risk ve Varyans
Fayda
c
•
•b
•e
0
50
70 75 80
U (YTL )
100
Kazanç
(YTL)
(0.40)(100) + (0.333)(80) + (0.267)(50)
64
65
Kazançlar eşitken varyansının daha düşük olması, ikinci kumarı
daha çekici kılmaktadır. İkinci durumda risk, üç farklı olasılığın
bir bileşimidir. Şekil 6.12b’deki b noktası, ikinci kumardaki
beklenen faydayı göstermektedir. Birinci kumarın beklenen
faydası ise e noktasına karşılık gelmektedir. b ile e noktaları
arasındaki fark, % 33.3 olasılıkla 80 YTL’lik değere düşüş
olanağıyla oluşmaktadır.
66
Bu şekilde bireyin karşısına çok olasılıklı bir durum çıktıkça,
beklenen fayda giderek c noktasına yaklaşacaktır. c noktasında
varyans
sıfırdır.
Bu
nokta
birey
kesin
olarak
varlığının
değerinin 80 YTL’ye düşeceğini bilmektedir. Buna göre şunu
söyleyebiliriz:
Risk
almayı
sevmeyen
bireyler,
eş
kazanç
kumarlardan varyansı düşük olanı tercih edeceklerdir.
sağlayan
67
Ayrıca bireyin ikinci kumarda ödeyeceği sigorta primi daha
düşük olacaktır. Bu örnekte en çok 25 YTL ödemeye razıdır.
Farklı iki kumarı karşılaştırdığımız bu örneklerde kumarlardaki
kazançların ortalaması aynı kalmakla beraber (80 YTL), çeşitli
olasılıklar karşısında elde edilebilecek kazançların yayılımı
giderek artmaktadır. İstatistik diliyle veri setinin ortalaması
aynı kalmakta, ancak varyansı düşmektedir de diyebiliriz.
68
A bireyinin bu durumlar karşısında sigorta yaptırmamaya karar
verdiğini,
fakat
(birleştirdiğini)
risklerini
varsayalım.
bir
Ayrıca
havuzda
iki
tane
topladığını
A
bireyi
de
aralarında şu şekilde sözleşmiş olsunlar: Her ikimiz de üründen
zarar gördüğümüzde ya da hiçbir zarar görmediğimizde bu
durumlara katlanalım. Ancak yalnızca birimizin ürünü zarar
görürse, diğerinin gelirini eşitçe paylaşalım.
69
Bu sözleşmeyi incelediğimizde, bireylerin sigorta yaptırmaları
ile elde edecekleri beklenen kazanç ile sözleşmeden elde
edecekleri beklenen kazançların eşit olduğu görülecektir. Her
iki
bireyin
ürününün
zarar
görme
olayları
birbirinden
bağımsızdır. Bu nedenle, her ikisinin birden zarar görme
olasılığı (0.10)(0.10)=0.01; her ikisinin birden zarar görmeme
olasılığı
(0.90)(0.90)=0.81;
yalnızca
birinin
olasılığı da (0.10)(0.90)+(0.10)(0.90)=0.18’dir.
zarar
görme
70
Her ikisi birden zarar görürse, her ikisi de 40 YTL kayba
uğrayacak, ortak bir gelir olmayacak; hiç birisi zarar görmezse,
her birinin 20 YTL geliri olacak; yalnızca biri zarar görürse,
ortak olarak 20 YTL gelirleri olacaktır. Bu durumları dikkate
alarak,
sözleşmeden
kaynaklanan
beklenen
parasal
bulalım.
Beklenen Parasal Kayıp:
= (0.81)(0 2) + (0.18)(20 2) + (0.1)(4 0 2) = 2
kaybı
71
Her
iki
birey
de
bir
risk
havuzu
oluşturacak
sözleşme
yapmamış olsalardı beklenen parasal kayıp:
= (0.10)(20) + (0.90)(0) = 2
Sözleşme olsa da olmasa da elde edilecek beklenen parasal
kayıplar aynıdır. Ancak varyanslara baktığımızda, sözleşmenin
daha avantajlı olduğunu görebiliriz.
72
σ sözleşmeli = (0.81) ( ( 0 2 ) − 2 ) + (0.18) ( ( 20 2 ) − 2 ) + (0.10) ( ( 40 2 ) − 2 ) = 18
2
2
2
σ sözleşmesiz = (0.10)(20 − 2) + (0.90)(0 − 2) = 36
2
2
n sayıda bireyin olduğu bir ekonomide, her biri ortalaması x ve
varyansı
σ2 olan bir riskle karşılaştığında, birey başına
ortalama kayıp x, varyans da σ2/n ’dir. n (birey sayısı) sonsuza
giderken, varyans sıfıra yaklaşır.
73
Bu sonuca göre, yukarıdaki basit ekonomiyi dikkate almaya
devam
edersek,
sigorta
talebinde
bulunan
birey
sayısı
yeterince çok olduğunda, sigorta şirketi her yıl oluşacak
kayıpları
tazmin
etmek
için
2n
kadar
ödeme
yapacağını
bildiğinden (birey başına yani ortalama beklenen kayıp 2 YTL
idi), riskini hemen hemen sıfıra yaklaştırabilir. Birey başına
sigorta priminin 4 YTL olduğunu düşünürsek, sigorta şirketinin
yıllık kârı:
n ( 4 − 2 ) − Sigortalama Maliyetleri
74
Bu
koşullar
altında
çok
sayıda
şirket
sigorta
piyasasına
gireceğinden, tam rekabetçi piyasa yapısına doğru sigorta
primi 2 YTL’ye kadar düşer:
P = MC = MR = 2 YTL
Tam rekabetçi yapıda sigorta şirketlerinin aşırı kârı sıfırdır.