İnfinitezimal Hesabın Metafizik Prensipleri

Rene Guenon
İnfinitezimal Hesabın
Metafizik Prensipleri
Türkçesi
Ali Sebetci
5 Şubat 2016
Konya
İçindekiler İçindekiler ................................................................ 2
Önsöz ....................................................................... 4
1. Sonsuz ve Belirsiz ............................................... 11
2. 'Sonsuz Sayı' Çelişkisi ....................................... 20
3. Sayısı Belirlenemeyen Çokluk ........................... 24
4. Süreklinin Ölçümü ............................................. 31
5. İnfinitezimal Metottan Kaynaklanan Sorular..... 36
6. 'Sağlam İnşa Edilmiş Kurgular'.......................... 41
7. 'Sonsuzluğun Dereceleri' .................................... 47
8. 'Sonsuz Bölünme' yahut Belirsiz Bölünürlük .... 53
9. Belirsizce Artan ve Belirsizce Azalan ................ 61
10. Sonsuz ve Sürekli............................................. 67
11. ‘Süreklilik Yasası’ ............................................ 71
12. Limit Mefhumu ................................................ 76
13. Süreklilik ve Limite Geçiş ............................... 81
14. ‘Yok Olan Nicelikler’ ...................................... 86
15. Sıfır Bir Sayı Değildir ...................................... 91
16. Negatif Sayılar Gösterimi ................................ 97
17. Kuvvetlerin Dengesinin Temsili .................... 104
18. Değişken ve Sabit Nicelikler ......................... 109
19. Ardışık Türev Alma......................................... 113
20. Belirsizliğin Farklı Seviyeleri ......................... 116
2
21. Belirsiz Analitik Biçimde Tüketilemez .......... 122
22. İntegralin Sentetik Karakteri .......................... 126
23. Elea’lı Zeno’nun Argümanları ....................... 131
24. ‘Limite Geçiş’in Doğru Anlamı ..................... 135
25. Sonuç.............................................................. 138
Dizin ..................................................................... 141
3
Önsöz İlk bakışta ‘uzmanlık gerektiren’ bir yapıya sahip gibi görünse de,
matematiksel sembolizmi kullanırken çeşitli nedenlerle başvurduğumuz
birçok mefhumu adamakıllı netleştiren ve açığa kavuşturan bu çalışma
için sıkıntı çekmeye değer ve sadece bu neden bile onu savunmaya yeter.
Ancak, özellikle sorunun ‘tarihi’ vechesiyle ilgili, ikinci dereceden başka
nedenler olduğunu da ekleyelim. Aslında bu ikinci dereceden nedenler,
yani infinitezimal hesabın tabiatı ve değeri hakkında ortaya atılan tüm
sorular, modernlerin bildiği ve hatta mümkün kabul ettiği tek bilim olan
profan (dindışı) bilimi karakterize eden prensip eksikliğinin çarpıcı birer
örneği olduğu sürece, bizim bakış açımızın ilgi alanının tamamen dışında
değildir. Bu bilimlerin çoğunun, hâlâ bazı gerçeklere karşılık gelseler
dahi, kadim ve geleneksel bilimlerin basit, değeri düşürülmüş
kalıntılarından başka bir şey olmadığını daha önce birçok kez söyledik.
Bu bilimlerin, prensiplerle temasını kesmiş ve dolayısıyla doğru ve
orijinal değerini yitirmiş en düşük parçası, sonuçta bağımsız bir gelişime
maruz kalmış ve kendi kendine yeten bir bilgi olarak görülmeye
başlanmıştır. Oysa gerçekte bu yolla onun bilgi olarak kendi değeri adeta
bir hiçe indirgenmiştir. Bu durum özellikle fiziksel bilimlerde görülür
ama başka bir yerde açıkladığımız gibi1 sayılar ve geometri biliminin
eskiler için ne anlama geldiği fark edildiğinde modern matematiğin de bu
konuda bir istisna olmadığı anlaşılır. Eskiler derken ‘klasik’ antikiteyi
kast ediyoruz. Pisagor’un en küçük bir çalışması ve Platon’un teorileri
bugün onları yorumladığını iddia eden kimselerin fevkalade
anlayışsızlığını göstermeye yeter. Bu anlayışsızlık o kadar tam olmasa,
nasıl olur da birisi, örneğin, bahsettiğimiz bilimlerin ‘deneysel’ orijinine
1
Bakınız The Reign of Quantity and the Signs of the Times (Niceliğin
Egemenliği ve Çağın Alametleri ismiyle Türkçeye çevrilmiştir
–Çev.–).
4
inanmaya devam edebilir? Çünkü gerçekte, bu iddianın aksine, zamanda
geriye doğru gittikçe bütün ‘deneyselcilik’lerden uzaklaşıldığı görülür ve
bilimsel bilginin tüm diğer branşları için de bu aynı ölçüde doğrudur.2
Modern matematikçiler ve daha özelde bizim çağdaşlarımız sanki
gerçekte sayının ne olduğunu önemsemez gibidir. Bununla sadece,
Pisagorcular ve Kabbalacılar tarafından anlaşılan analojik ve sembolik
sayı algısını kastetmiyoruz, bunlar zaten çok açık, aynı zamanda – bu
tuhaf ve paradoksal gelebilir – sayının basit ve tamamen niceliksel
algısını da kast ediyoruz. Hakikaten, onların bütün bilimi kelimenin en
dar anlamıyla hesaplamaya3, yani sadece sebeb oldukları pratik
uygulamalar nedeniyle değerli görülen az çok yapay işlemlerin sırf bir
koleksiyonuna indirgenmiştir. Temelde onlar sayıyı (number) sayısal
işaretle (numeral) değiştirmişlerdir. Bu ikisinin karıştırılması bugün o
kadar yaygındır ki herhangi bir anda kolayca günlük dilde kullandığımız
ifadelerde bulunabilir.4 Sayısal, açık konuşmak gerekirse, sayının
giysisinden başka bir şey değildir. Onun bedenidir dahi demiyoruz, çünkü
belli bazı bakımlardan geometrik form meşru bir biçimde sayının bedeni
olarak düşünülebilir. Sayı sembolizminin ışığı altında bakıldığında,
eskilerin çokgenler ve çokyüzlüler hakkındaki teorileri bunu gösterir.
Ayrıca bu, tüm ‘vücut kazanma’ların (‘embodiment’) zorunlu olarak
‘mekansallaşma’yı (‘spatialization’) gerektirdiği gerçeğiyle de uyum
içindedir. Ancak, sayısal işaretlerin tamamen keyfi işaretler olduğunu,
formlarının bir ya da birkaç kişinin zevkine göre belirlendiğini söylemek
2
Bakınız Miscellanea, pt.3 bölüm 1, ED.
Fransızca calcul kelimesi hem hesap (calculus) hem de hesaplama
(calculation) anlamlarına gelmektedir. ED.
4
Konuşmak istedikleri şey hakkında çok az şey bilen belli bazı
‘psödo-esoterist’ler için de durum aynıdır. Sayının geleneksel bilimi
yerine koyduklarını farz ettikleri, gerçeklikten çok uzak
saçmalıklarında asla bu ikisini karıştırmadan edemezler.
3
5
istemiyoruz. Hem sayısal hem de alfabetik karakterlerin – bazı dillerde
bu ikisi birbirinden ayrılmamıştır5 – her ikisine de hiyeroglif mefhumu,
yani ideogram (kavram yazı) ve sembolik orijin görüşü uygulanabilir.
İstisnasız tüm yazılar için bu geçerlidir ama yakın tarihli sapmalar ve
değişiklikler yüzünden bazı durumlarda bu orijin gizlenmiş
bulunmaktadır.
Kesin olan şudur; matematikçiler gösterimlerinde artık
manalarını anlamadıkları, unutulan geleneklerin kalıntılarına benzeyen
semboller kullanıyorlar. Daha da ciddi olanı, kendi kendilerine sadece bu
mananın ne olabileceğini sormamaları değil ayrıca bir de bu sembollerin
herhangi bir anlamının olmamasını istiyor gibi görünmeleridir.
Hakikaten, tüm gösterimi basit bir ‘antlaşma, âdet’ (‘convention’) gibi
görme eğilimleri her geçen gün artıyor. Bununla tamamen rastgele ortaya
çıkmış bir şeyleri kast ediyorlar, oysa aslında bu mümkün değil, çünkü bir
neden olmadan herhangi bir antlaşma tesis edilmez ve yine bir neden
olmadan başka bir şekil değil de özellikle o şekil tercih edilmez. Sadece
bu akıl yürütmeyi önemsemeyenler için bir antlaşma tesadüfi olabilir,
tıpkı ‘kaza’ (‘fortuitous’) gibi görünen bir olayın nedenini
önemsemeyenler gibi. Gerçekten de burada, bilimin – ya da öyle
5
İbranice ve Yunanca bunun iki örneğidir. Hindistan kaynaklı sayısal
işaretlerin kullanılmaya başlanmasından önce Arapça da böyle idi.
Sonra bu işaretler Orta Çağda az çok değişerek Avrupa’ya geçti. Bu
bağlamda ‘cipher’ (Fransızca chiffre, ‘sayısal’) kelimesinin Arapça
sıfr’dan başka bir şey olmadığı not edilebilir, gerçekte bu kelime
sıfırın (zero) sadece ismidir. Öte yandan, İbranice saphar’ın ‘saymak’
veya ‘numaralandırmak’ ve aynı zamanda ‘yazmak’ anlamlarına
geldiği ve bu yüzden sepher’in ‘kutsal kitap’ (‘scripture’) ya da ‘kitap’
(Arapça sıfr hususi olarak bir kutsal kitabı isimlendirir), sephar’ın
‘numaralandırma’ veya ‘hesaplama’ anlamlarına geldiği de doğrudur.
Kabbala’nın, ilahi sıfatlarda özümsenmiş ana ‘sayılar’ olarak
Sephiroth isimlendirmesi de bu son kelimeden gelmektedir.
6
adlandırılan şeyin, çünkü bu noktada artık hiçbir açıdan o ismi hak
etmemektedir – makul bütün değerini yitirmesine neden olan prensip
eksikliğinin en uç sonuçlarından biri görülmektedir. Üstelik, güncel bilim
anlayışının özellikle niceliksel olması münasebetiyle bu ‘antlaşmacılık’
(‘conventionalism’), zamanla matematikten fiziksel bilimlerin daha yeni
teorilerine yayılmıştır. Bu durum o teorileri, açıklamaya niyet ettikleri
gerçeklikten daha da uzaklaştırır. Bu noktayı başka bir çalışmamızda
yeterince vurguladığımızdan burada daha fazla yorum yapmak
istemiyoruz zira bu çalışmaya özel niyetimiz sırf matematikle meşgul
olmak. Bu bağlamda sadece şunu ekleyeceğiz: bir gösterimin anlamı
tamamen kaybedildiğinde o gösterimin makul ve geçerli kullanımından
gayri meşru ve hiçbir şeye karşılık gelmeyen ve bazen tamamen mantıksız
olan kullanımlarına geçmek çok kolay bir hâl alır. Mantıkla çok sıkı
bağları olan matematik gibi bir bilim söz konusu olduğunda bu çok garip
gelebilir. Lakin günümüzde, yaygın olarak anlaşıldıkları şekilleriyle
birçok mantıksız matematiksel mefhumun bulunduğu da ortadadır.
Bizim en başta ele alacağımız bu mantıksız mefhumların en
dikkate değer olanı, her ne kadar yorumlarımız boyunca üstünde
duracağımız sadece o olmasa da, matematiksel ya da niceliksel sonsuzluk
(infinite) diye adlandırılan şeydir. Bu mefhum, infinitezimal hesaba ya da
daha doğrusu infinitezimal metoda karşı yöneltilen hemen hemen tüm
zorlukların
kaynağıdır.
Çünkü
‘antlaşmacılar,
âdetciler’
(‘conventionalists’) ne düşünürse düşünsün burada, kelimenin sıradan
anlamıyla basit bir ‘hesaplama’nın sınırlarını aşan bir şey vardır. ‘Limit’
mefhumunun hatalı ya da yetersiz bir biçimde anlaşılmasından
kaynaklanan zorluklar hariç istisnasız diğer tüm zorlukların kaynağı bu
niceliksel sonsuzluk fikridir. İnfinitezimal metodun kesinliğini savunmak
ve onun basit bir yaklaşım metodundan daha fazla bir şey olduğunu
göstermek için gerekli olan şey işte bu doğru limit anlayışıdır. Ayrıca
ileride göreceğimiz üzere zorluklarla ilgili şu iki farklı durum söz
7
konusudur: bazen ‘sonsuz sayı’ düşüncesinde olduğu gibi sonsuz denen
şey saf ve basit bir absürtlük, yani kendi kendiyle çelişen bir fikirdir,
bazen de bu kelime uygun olmayan bir biçimde belirsizlik (indefinite)
yerine kullanılmaktadır. Fakat, sonsuz ile belirsizin karıştırılması yalnızca
bir kelime sorununa indirgenemez, çünkü sorun tam olarak bu fikirlerin
kendileriyle ilgilidir. Tuhaf olan şey, bir defa giderilse bu kadar çok
tartışmayı bitirecek olan bu karışıklığın, genellikle infinitezimal hesabın
mucidi olarak görülen Leibnitz’in kendi yazılarında da bulunması. Biz
Leibnitz’e infinitezimal hesabın ‘formüle edicisi’ demeyi tercih ediyoruz,
çünkü O’nun metodu belli bazı gerçeklere karşılık gelmektedir, ancak bu
gerçekler kendilerini anlayan ve az çok eksiksiz bir şekilde ifade eden
kişiden bağımsız bir şekilde mevcutturlar. Matematiksel düzenin
gerçekleri, diğer tüm gerçekler gibi, sadece keşf edilebilir (discovered)
icad edilemezler (not invented). Aksi takdirde, matematik alanında sık sık
görüldüğü gibi, insan kendisini gösterim ‘oyunu’ ile sırf bir fantazi
âlemine sürüklenmiş bulduğunda sorun, işte bu ‘icad etme’ sorunudur.
Fakat bazı matematikçilerin bu ayrımı anlamalarını sağlamak kesinlikle
çok zordur, çünkü onlar isteyerek, kendi bilimlerinin tümünün ‘insan
zihninin üretimi’nden başka bir şey olmadığını hayal etmektedirler. Eğer
bu matematikçilere inanmış olsaydık onlar kendi bilimlerini gerçekten
çok değersiz bir şeye indirgemiş olurlardı. Bu söylediklerimiz doğru olsa
da, Leibnitz hiçbir zaman kendi hesabının prensiplerini net bir şekilde
açıklayamamıştır. İşte bu durum, bu hesapta Leibnitz’i aşan bir şeylerin
olduğunu, kendisinin bilincinde olmaksızın O’na empoze edilen bir şeyler
olduğunu gösterir. Eğer Leibnitz bunun farkında olsaydı, hiçbir şekilde
Newton ile bir ‘öncelik’ kavgasına girmezdi. Ayrıca, bu tür kavgalar
tamamen boştur, çünkü fikirler doğru oldukları sürece, modern
‘bireycilik’in (‘individualism’) söylediğinin aksine, hiç kimsenin mülkü
olamaz. İnsana en uygun bir şekilde atfedilebilecek tek şey hata dır. Bizi
konumuzdan çok uzaklara götürecek olan bu sorunun ayrıntılarına daha
fazla girmeyeceğiz. Yine de şunu açıklığa kavuşturmak belli bazı
8
bakımlardan faydasız olmayacaktır; ‘büyük adam’ denilen bazı
kimselerin rolü, büyük ölçüde bir ‘alma’ (‘reception’) rolüdür, her ne
kadar bu kimseler aldıkları o şeylerin kendilerine ait ‘orijinalite’ler
olduğu hususunda kendi kendilerini kandıran ilk kimseler olsa da.
Şu an bizi daha doğrudan ilgilendiren şey şu: Leibnitz’deki bu
eksikliklere – bilhassa prensipler sorununu ilgilendiren çok ciddi
eksikliklere – işaret etmemiz gerekiyorsa, her şeye rağmen Leibnitz’in
kesinlikle onlardan daha üstün olduğu başka bazı modern matematikçiler
ve filozoflarda bulunan eksikliklere ne demeli? O’nun üstünlüğü bir
yandan, her zaman tam olarak anlamamış olsa bile, Skolastik doktirinler
üzerine yaptığı çalışmalardan, öte yandan ileride bazı örneklerde
göreceğimiz gibi, kendisinin belli ki çok eksik ve hatta bölük pörçük ve
çok yetersiz bir şekilde uyguladığı, özellikle Rozikruziyan (Rosicrucian)
kaynaklı veya ilhamlı6 belli bazı esoterik verilerden kaynaklanmaktadır.
Tarihciler gibi konuşucak olursak, O’nun teorilerinde gerçekten geçerli
olan hemen hemen her şeyi, açık bir şekilde, bu iki ‘kaynak’la
ilişkilendirmek mümkündür. Ve bu sayede O, kusurlu bir biçimde de olsa,
Dekartçılığa karşı tepki gösterebilmiştir. Dekartçılık, felsefe ve bilim
alanlarında özellikle modern olan tüm kavram ve eğilimlerin bütünü
anlamına gelir. Bu yorum, birkaç kelimeyle Leibnitz’in ne olduğunu
anlatmaya yeter. Bu yüzden, başlangıçta ortaya koymaya değer
bulduğumuz bu genel bilgi, O’nun anlaşılabilmesi için kesinlikle gözden
6
Bu kaynağın inkar edilemez işareti, Leibnitz tarafından kendi eseri
De Arte Combinatoria’nın başına yerleştirilen Hermetik figürde
bulunabilir: Bu figür Rota Mundi’nin bir temsilidir, elementlerin (ateş
ve su, hava ve toprak) ve niteliklerin (sıcak ve soğuk, kuru ve ıslak)
çift çaprazının merkezinde beş yapraklı (diğer dört elementle birlikte
onların prensibi olarak esirin [ether] kendisine karşılık gelen) bir gül
ile quantia essentia sembolize edilir. Doğal olarak bu ‘imza’ tüm
akademik yorumcular tarafından tamamen görmezden gelinmiştir.
9
kaçırılmamalıdır. Fakat şimdi, infinitezimal hesabın gerçek değerini tespit
etmemize imkan verecek incelemeye başlayabilmek için giriş
mahiyetindeki bu düşünceleri bırakmamız gerekiyor.
10
1. Sonsuz ve Belirsiz Her şeyden önce, profan bilim tarzının tam aksine bir usül takip
ederek ve tüm geleneksel bilimlerin değişmeyen bakış açısına uygun
olarak, infinitezimal metottan doğan zorlukları bir anda çözmemizi
sağlayacak prensibi ortaya koymalıyız ki bu prensipten mahrum
olduklarından, o zorluklara hiçbir zaman tatmin edici ve eksiksiz bir
çözüm bulamayan modern filozof ve matematikçiler gibi bitmek
bilmeyen tartışmalara neden olacak yanlış bir yola sapmayalım. Bu
prensip, ancak saf metafiziksel anlamıyla doğru bir şekilde anlaşılabilen
Sonsuzluk düşüncesidir. Bu konuda daha önce başka bir yerde7 daha
kapsamlı bir şekilde ifade ettiklerimizi burada özet olarak hatırlatacağız;
'sonlu' açıkça 'sınırlı'nın eşanlamlısı olduğuna göre Sonsuz, herhangi bir
sınırı, hududu olmayan demektir. Dolayısıyla bu terim, mutlak anlamda
hiçbir sınırı olmayan, bütün imkânları ve ihtimalleri içinde
barındırdığından herhangi bir şey tarafından herhangi bir biçimde
sınırlandırılmayan 'Âlemşümul Küll'den, ‘Evrensel Tümel’den
(Universal All) başka bir şeye doğru bir biçimde uygulanamaz.
Sonsuzluğun bu şekilde anlaşılması, sadece bir çelişki ima etmediğinden
ve içinde negatif bir şey barındırmadığından değil aksine böyle
anlaşılmadığında bir çelişki doğuracağından metafiziksel ve mantıki
anlamda bir zarurettir. Dahası, sadece bir tane Sonsuz olabilir; çünkü iki
ayrı sözüm ona sonsuz, birbirini sınırlayacak ve mecburen bir şekilde
birbirlerini dışarıda bırakacaklardır. Sonuç olarak, 'sonsuz' teriminin
bahsettiğimiz bu anlamın dışında kullanıldığı her durumda, ya
metafiziksel Sonsuzluk kavramı toptan göz ardı edilmektedir ya da onun
yanında bir başka sonsuzluğun varlığı kabul edilmektedir ki böyle bir
kullanımın hatalı olduğundan a priori (en baştan) emin olabiliriz.
7 The Multiple States of the Being (Varlığın Mertebeleri ismiyle
Türkçeye çevrilmiştir –Çev.–), bölüm 1.
11
Skolastiklerin infinitum secundum quid (belli bir açıdan sonsuz)
dedikleri şeyi kabul ettikleri ve onu dikkatli bir şekilde metafiziksel
Sonsuz olan infinitum absolutum’dan (mutlak sonsuz) ayırdıkları
doğrudur. Fakat onların bu terminolojisinde biz sadece bir kusur
görüyoruz. Çünkü bu ayrım her ne kadar doğru biçimde anlaşılan
sonsuzluğun birden fazla olması çelişkisinden kaçmalarına imkân
sağlamışsa da sonsuz kelimesinin iki kere kullanılmış olması kesinlikle
birçok karışıklığa neden olma riski taşır. Ayrıca, bu iki anlamdan ilki
tamamen hatalıdır zira bir şeyin sadece belli bir açıdan sonsuz olduğunu
söylemek ki bu infinitum secundum quid ifadesinin tam anlamıdır, onun
aslında hiçbir biçimde sonsuz olmadığını söylemekle aynı şeydir.8
Aslında bu hatalı kullanım, bir şey sadece belli bir anlamda veya belli bir
açıdan sınırlı olmadığında, birinin meşru bir şekilde o şeyin hiçbir şekilde
sınırlı olmadığı ki bu onun gerçekten sonsuz olması için gereken şeydir,
sonucunu çıkarabileceğinden kaynaklanmaz. Sonsuzun bu şekilde
kullanılması daha çok, belli bir açıdan sonsuz olduğu düşünülen şeyin,
hem aynı anda başka açılardan sınırlı olmasından hem de tespit edilmiş
ve belirlenmiş karakteri yüzünden bütün imkânları kapsamadığından,
yani kendisinin dışında kalan şeyler tarafından sınırlandırılmış
olduğundan hatalıdır. 'Âlemşümul Küll'ün sonsuz olması, kesin olarak
onun dışında hiçbir şeyin kalmamasından kaynaklanır.9 Dolayısıyla, ne
kadar genel olursa olsun, terim ne kadar genişletilirse genişletilsin bütün
tespitler mecburen doğru Sonsuzluk kavramını dışlar.10 Ne olursa olsun
8 Spinoza'nın daha sonra oldukça benzer bir biçimde kullandığı
'kendi türü içinde sonsuz' ifadesi de aynı itirazın doğmasına neden
olur.
9 Şunu da söylemek mümkündür: 'Âlemşümul Küll'ün dışında
sadece imkânsız vardır; imkânsız olan saf hiçlik olduğundan
'Âlemşümul Küll'ü hiçbir şekilde sınırlayamaz.
10 Bu sadece basit genel tespitler için değil, tüm tespitlerin ilki olan
12
bir tespit daima bir sınırlamadır, çünkü tespitin asıl karakteri belli bir
imkân kümesini geriye kalan tüm imkânlardan ayırarak tanımlamaktır. Bu
yüzden Sonsuzluk fikrini verilen herhangi bir tespite, örneğin burada
özellikle üzerinde duracağımız kemmiyete (niceliğe) ya da onun o veya
bu biçimine uygulamak anlamsızdır. Bu çelişki çoğu kez modernlerin
profan düşünce tarzından kaçmış olmasına rağmen, 'tespit edilmiş sonsuz'
fikri bize daha fazla üzerinde duramayacağımız kadar çelişkili
gelmektedir. Leibnitz gibi yarı-profan şeklinde adlandıra bileceklerimiz
bile11 bu çelişkiyi açık bir biçimde hissedememişlerdir. Bu çelişkiyi biraz
daha ortaya çıkarabilmek için temelde aynı anlama gelen ifadelerle şunu
söyleyebiliriz; Sonsuzu tanımlama isteği apaçık abes bir çabadır, çünkü
bir tanım, aslında bir tespit ifadesinden başka bir şey değildir, ve
kelimelerin kendisi yeterince açık bir şekilde gösterir ki bir tanıma konu
olan her şey ancak sonlu ya da sınırlı olabilir. Sonsuzu bir formül içine
yerleştirmeye çalışmak veya onu herhangi bir forma sokmak, bilerek ya
da bilmeyerek 'Âlemşümul Küll'ü kendisinin minicik bir parçasına
sığdırma teşebbüsüdür ki bu tüm imkânsızlıkların en açık olanıdır.
Yukarıda söylediklerimiz, en küçük bir şüpheye yer
bırakmaksızın ve başka hiçbir çekinceyi doğurmaksızın, matematiksel ya
da niceliksel bir sonsuzun olamayacağını ve niceliğin kendisi bir tespit
olduğundan 'niceliksel sonsuz' ifadesinin herhangi bir anlamının
olmadığını ispat etmeye yeter. Bazı kimselerin bu sözüm ona sonsuzluk
Olma'yı, Varlığı da (Being) içine alan evrensel tespitler için de aynı
ölçüde geçerlidir; fakat bu düşünce bu çalışmada ilgilendiğimiz,
saf kozmolojik uygulamalara dâhil değildir.
11 'Yarı-profan' ifadesini kullanmamızdan kaynaklanabilecek
muhtemel bir şaşkınlığa cevaben deriz ki bu ifade, başka bir
sebeple açıkladığımız (bakınız Perspectives on Initiation
[İnisiyasyona Toplu Bakışlar ismiyle Türkçeye çevrilmiştir –Çev.–
], bölüm 30) bilfiil inisiyasyon ile bilkuvve inisiyasyon arasındaki
fark sayesinde hassas bir biçimde açıklanmıştır.
13
kavramını uygulamaya çalıştıkları sayı, mekân ve zaman tespit edilmiş
durumlardır ve bu yüzden ancak sonlu olabilirler. Bunlar, kendilerinin
yanında ve dışında başkaları da olan ve böylece sınırlanmış olan belli
imkânlar veya imkân kümeleridir. Burada şunu da söylemek mümkündür;
niceliksel bir sonsuzluk düşünmek yalnızca onu sınırlamak değil ayrıca
onu bir artış veya azalışa da konu etmek demektir ki bu daha az abes bir
şey değildir. Benzer düşüncelerle insan kolayca kendisini sadece birbirine
karışmayan ya da birbirini dışlamayan değil aynı zamanda birbirinden
küçük ya da büyük birçok ayrı sonsuz tasavvuruyla içiçe buluverir.
Sonunda, sonsuzluk o kadar göreceli bir hâl alır ki bu şartlar altında artık
yetersiz kalmaya başlar ve sonsuzdan büyük nicelikler kümesini tarif
etmesi için 'sonlu üstü' (transfinite) kavramı icad edilir. Böylece iş, hiçbir
hakikate karşılık gelmeyen bu tür kavramlar uydurma meselesi hâline
dönüşür. Mantık ilminde uzman olduğunu iddia eden kimseler arasında
dahi görülen, en basit ve en temel mantık kaidelerinin hiçe sayıldığı o
kadar çok söz, o kadar abes ifade, yaşadığımız zamanın o denli büyük
entelektüel kafa karışıklığının bir göstergesidir.
Burada sadece 'niceliksel bir sonsuz' düşünmeyi değil aynı
zamanda, kısa bir açıklama gerektiren, 'sonsuzu niceliksel metotlarla
ortaya çıkarmayı' da kast ettiğimizi belirtmeliyiz. Bu ifade ile özellikle,
çağdaş felsefi jargonda 'sonsuzcu' (infinitist) şeklinde adlandırılanları
anlatmak istiyoruz. Gerçekten, 'sonlucular' (finitists) ile sonsuzcular
arasındaki tüm tartışmalar açıkça göstermiştir ki her iki grup da
metafiziksel Sonsuzluk ile matematiksel sonsuzluğun, bu ikisini yalın ve
basit bir şekilde ayırt etmediklerinden, birbirine benzediği gibi tamamen
yanlış bir fikre sahiptirler.12 Dolayısıyla her iki görüş de metafiziğin en
12 Karakteristik bir örnek olarak burada L. Couturat'ın tezi De l'infini
mathematique verilebilir. Couturat tezinde, niyetinin bu yolla
“Renouvier ve okulunun teorilerine dayanan yeni eleştirilere
rağmen sonsuzcu bir metafiziğin makul olduğunu göstermek”
14
temel prensibi olan, niceliksel sonsuzluk gibi bütün hususi sonsuzlukları
tamamen reddetmemizi sağlayan, doğru, metafiziksel Sonsuzluk
kavramını eşit ölçüde gözardı etmiştir. Niceliksel sonsuzluk kavramıyla
nerede karşılaşılırsa karşılaşılsın onun bir yanılsama olduğundan emin
olabiliriz. Hakikate daha yakın bir kavramla değiştirebilmek için bu
yanılgıya neyin neden olduğunu sormamız gerekiyor. Ne zaman belli bir
şey, tespit edilmiş bir imkân söz konusu olsa baştan söylenebilir ki işte bu
gerçek, onun tabiatının belirlenmiş olması, o şeyi sınırlandırır. Sebeb ne
olursa olsun, bir şeyin sınırlarına fiilen ulaşamadığımızda dahi bu aynen
böyledir. Bazı şeylerin hudutlarına ulaşmanın imkânsızlığı ve bazen
onların berrak bir şekilde tasavvur edilemeyişi, en azından metafizik
prensiplerden habersiz kimseler için, o şeylerin bir sınırının olmadığı
yanılgısına sebeb olur. Hadi, yeniden söyleyelim: 'tespit edilmiş sonsuz'
şeklindeki çelişkili savda ifade edilen, bu yanılsamadan öte bir şey
değildir.
Burada, bu sahte kavramı düzeltmek ya da doğru bir kavramla13
yer değiştirmek için sınırlarına fiilen ulaşamadığımız imkânların devamı
ve gelişimi anlamına gelen 'belirsizlik' (‘indefinite’) mefhumunu
olduğunu söyleyerek sayıların ve büyüklüklerin sonsuzluğunu
ispatlamaya çalışmıştır.
13 Tam bir mantıksal hassasiyet içinde, 'sahte kavram'la (‘false
notion’) (ya da bir başkasının tercih edebileceği şekliyle 'psödo
kavram'la) 'hatalı kavram’ı (‘incorrect notion’) birbirinden ayırt
etmek gerekir: 'hatalı kavram', belli bir ölçüye kadar gerçeğe
karşılık gelse de, yeteri kadar bunu yapamayan kavramdır. Oysa,
'sahte kavram', bu örnekte olduğu gibi, çelişki doğuran bir
kavramdır. Dolayısıyla, bu çelişkiyi algılayamayanlara öyle
gelmese de, 'sahte kavram' gerçek bir kavram, hatta 'hatalı bir
kavram' bile değildir. Çünkü, hiçlikle özdeş olan imkânsızı ifade
etmek hiçbir şeye karşılık gelmez. 'Hatalı kavram' düzeltilebilir
ama 'sahte kavram' ancak toptan reddedilir.
15
sunmamız gerekiyor. İşte bu yüzden, Sonsuz ile belirsiz arasındaki bu
ayrımı, matematiksel sonsuzluk denilen şeyin göründüğü tüm sorunlarda
temel kabul ediyoruz. Şüphesiz bu, - 'mutlak sonsuz' ve 'belli bir açıdan
sonsuz' - Skolastik ayrımın yazarlarının amaçlarına denk düşer. Ne yazık
ki Skolastisizmden çok şey alan Leibnitz, her ne kadar mükemmel bir
formda ifade edilmiş olmasa da, metoduna yöneltilen birçok itiraza
kolayca cevap vermesini sağlayacak bu ayrımı ihmal etmiş ya da farkına
varamamıştır. Bunun aksine, Dekart'ın gerçekten bir ayrım kurmaya
çalıştığı görülür. Fakat bu ayrımı kâfi derecede hassas ifade etmekten,
hatta düşünmekten oldukça uzaktır. Çünkü O'na göre belirsiz, sınırlarını
idrak edemediğimiz şeydir ve öyle olduğunu doğrulayamasak bile
gerçekte sonsuz olabilir. Oysa hakikat şudur ki biz, aksine, belirsizin
sonsuz olmadığını ve sınırlarının varlığı hakkında emin olabilmek için
onları idrak etmemizin hiçbir şekilde gerekli olmadığını iddia edebiliriz.
Aynı prensip eksikliğinden dolayı şu açıklamaların ne kadar muğlak ve
karışık olduğu görülebilir. Dekart şöyle söyler: “bir takım şeyleri,
sınırlarını fark edememeyeceğimiz şekilde görüyoruz14 diye sonsuz
olarak addetemeyiz, onları ancak belirsiz olarak değerlendirebiliriz.”15 Ve
cisimlerin uzamını (extension) ve bölünebilirliğini örnek olarak verir.
Bunların sonsuz olduğunu ileri sürmez, ama bunu resmen inkâr etmek
istiyor gibi de görünmez. Çünkü, bir süre sonra, “bize sınırları yokmuş
gibi gelen özellikler gözlemlememize rağmen, bunun, onların doğasından
değil bizim anlayışımızdaki eksiklikten kaynaklandığını görebiliriz”
demiş olmasına rağmen, zorlukları kenara süpürmenin çok kolay bir yolu
olarak, “sonsuzluk hakkındaki anlaşmazlıklarla başını derde sokmak”
istemediğini beyan etmiştir.16 Kısacası, gayet güzel nedenlerle sonsuz
14 Bu kelimeler Skolastik secundum quid’e atıfta bulunuyor gibi
gözükmektedir. Dolayısıyla bu cümlenin ana maksadı infinitum
secundum quid ifadesini dolaylı olarak eleştirmek olabilir.
15 Principes de la Philosophie, 1, 26.
16 Ibid., 1, 27.
16
adını, sınırı olmayana ayırmak istemiştir ama bir yandan mutlak bir
kesinlikle tüm metafiziksel bilgilerde kastedilen, sınırı olmayan şey ancak
Âlemşümul Küll dür ilkesini bilmediği görülür, öte yandan, kendisinin
belirsizlik kavramının çok daha hassas olması gerekir. Eğer öyle olsaydı
ardından gelen bu kadar çok karışıklık şüphesiz bu kadar kolay ortaya
çıkmazdı.17
İster bir uzam, ister bir süre, ister bir bölünebilirlik veya isterseniz
bir başka imkân olsun, belirsiz olan sonsuz olamaz çünkü o daima belli
bir tespiti ima eder. Yani, belirsiz olan ne olursa olsun ve hangi açıdan
düşünülürse düşünülsün hâlâ sonludur ve ancak sonludan müteşekkildir.
Şüphesiz, onun sınırları (limits) bizim ulaşabileceğimiz alanın dışına
kadar genişler. İleride adamakıllı açıklayacağımız gibi, en azından
'analitik' şeklinde adlandıracağımız bir tarzda ulaşabileceğimiz alanın
dışına kadar. Fakat, bu sınırlar hiçbir şekilde bu yüzden hükümsüz
kalmaz. Herhangi bir şekilde, belli bir düzenin (order) sınırları hükümsüz
bırakılabilse de onunla aynı tabiata sahip diğer düzenlerin sınırları var
olmaya devam edecektir. Çünkü bu sınırlar, birtakım dış etkenler veya
kazara oluşan koşullar yüzünden değil, o şeyin tabiatı yüzünden vardırlar.
Sınırlar ne dereceye kadar genişletilirse genişletilsin her belirli şey
sonludur. Bu bağlamda, matematikçilerin sonsuz dedikleri şeyi göstermek
için kullandıkları ∞ işareti kapalı bir şekildir, dolayısıyla bu işaret görünür
bir şekilde sonludur. Aynen bazı kimselerin çemberi, ebediyetin (eternity)
(zamansızlığın –Çev.–) bir sembolü yapmak istemeleri gibi. Oysa o
aslında sadece, yalnız kendi düzeninde belirsiz olan zamansal bir devrin,
17 İnfinitezimal nicelikler hesabı konusunda Leibnitz ile
yazışmalarında Varignon, 'sonsuz' ile 'belirsiz' terimlerini bir fark
gözetmeksizin kullanmıştır, sanki neredeyse eşanlamlılarmış veya
en azından bu fark önemsizmiş ya da güya biri diğerinin yerini
alabilirmiş gibi. Oysa tam aksine bu iki terimin anlamları
arasındaki fark tüm bu tartışmaların esasıdır.
17
yani daimiliğin (perpetuity) bir sembolü olabilir.18 Modern batılılar
arasında çok yaygın olan bu ebediyet ve daimilik karışıklığının çok yakın
bir şekilde Sonsuz ve belirsiz arasındaki karışıklıkla alâkalı olduğunu
görmek kolaydır.
Belirsiz fikrini ve sıradan anlamıyla sonludan oluşma şeklini daha
iyi anlayabilmek için sayılar dizisi örneğini düşünebiliriz: her sayıdan
sonra o sayıya bir ekleyerek daima bir başka sayı elde edilebileceğinden,
sayılar dizisi üzerinde belirlenmiş bir noktada durmak asla mümkün
değildir. Dolayısıyla, bu belirsiz dizinin sınırlanması, belirli iki sayı
arasında kalan sayılar kümesine uygulayabildiğimiz sınırlama
durumundan farklı olmak zorundadır. Bu sınırlama, belli sayıların
kendilerine has özelliklerinden değil, bütün genelliği içinde sayının
tabiatından, esasen bu tabiatı oluşturan tespitten, yani sayıyı başka bir şey
değil de sayı yapan şeyden kaynaklanır. Mesele, sayı değilde de mekân
veya zaman olduğunda ve bunlar için söz konusu olabilecek herhangi bir
genişleme düşünüldüğünde de insan, tamamen aynı gözlemi yapabilir.19
Böyle bir genişleme ne kadar belirsiz olursa olsun bizi hiçbir şekilde
sonlunun dışına götürmez. Aslında sonlu, daha baştan, ister istemez
Sonsuzun varlığını kabul eder, çünkü Sonsuz tüm imkânları kavrar ve
18 Yine şunu not etmeliyiz: başka bir yerde açıkladığımız gibi, böyle
bir devir asla tam olarak kapalı olamaz ve insan onu ancak, sınırları
arasında gerçekten var olan mesafeyi görmesine izin vermeyen bir
perspektiften baktığı sürece kapalı gibi görür. Aynen düşey ekseni
üzerine oturtulmuş bir helisin yatay düzlem üzerine yansıtılmış
görüntüsünün bir çember olarak görülmesi gibi.
19 Bu yüzden örneğin mekânın, ancak kendisi de mekânsal olan bir
şeyle sınırlanabileceğini söylemenin bir yararı yoktur çünkü bu,
mekânın artık hiçbir şey tarafından sınırlanamayacağı anlamına
gelir. Aksine mekân, kendi tabiatını oluşturan tespit tarafından
sınırlanır ve mekân dışında kalan tüm mekânsız imkânlara yer
bırakır.
18
sarar. Buna karşılık belirsiz, gerçekte sadece bir devamı olduğu ve bu
yüzden daima ona geri dönüşebildiği sonludan kaynaklanır. Çünkü kimse
sonludan, ne daha fazla bir şey ne de zaten potansiyel olarak sonluda
mevcut olandan başka bir şey üretemez. Yeniden sayılar dizisini ele
alacak olursak diyebiliriz ki bu dizi, ima ettiği tüm belirsizlikle beraber,
kendisinin oluşum kanunu sayesinde bize verilmiştir. Onun belirsizliği,
bir sayı verildiğinde o sayıya bir eklenerek bir sonraki sayının oluşması
kanunuyla birlikte doğar. Dolayısıyla sayılar dizisi, birin kendisine art
arda, belirsiz bir biçimde tekrarlanarak eklenmesiyle oluşur ki bu temelde
sadece herhangi bir aritmetik toplam sürecinin belirsiz uzamıdır. İşte
burada belirsizin sonludan başlayarak nasıl oluştuğu açıkça görülür.
Ayrıca bu örnek, netliğini sayısal niceliğin ayrık karakterine borçludur.
Ancak, bütün durumlara uygulanabilecek şekilde daha genel bir tarzda ele
almak gerektiğinde, 'belirsiz' terimi ile ima edilen 'oluş' (‘becoming’) fikri
üzerinde durmak yeterli olacaktır. İşte bu, yukarıda imkânların devamı ve
gelişimi şeklinde ifade ettiğimiz, kendi içinde ve bütün seyri boyunca
daima bitirilmemiş bir şeylerden oluşan ilerlemedir.20 Bu son noktanın
tüm önemini ileride infinitezimal hesabla ilgili 'değişken' düşüncesi
gösterecektir.
20 Başka bir yerde (The Reign of Quantity and the Signs of the Times,
bölüm 3) atıfta bulunduğumuz A.K. Coomaraswamy'nin
'ölçme'nin Platonik anlamı üzerindeki düşüncelerine bakınız:
'ölçülmemiş' olan, henüz tanımlanmamış yani kısaca belirsiz
olandır, aynı zamanda ve aynı sebeple zuhur (manifestation) içinde
sadece eksik olarak fark edilebilmiş olandır.
19
2. 'Sonsuz Sayı' Çelişkisi İleride daha açık bir şekilde göreceğimiz gibi bazı durumlarda
sonsuz diye adlandırılan kavramı belirsiz ile yer değiştirmek bütün
zorlukları anında çözmek için yeterlidir. Fakat bunun mümkün olmadığı
başka bazı durumlar da mevcuttur. Çünkü bazen, açıkça tespit edilmiş,
yani tabiri caizse varsayım gereği sabit olan, dolayısıyla yukarıdaki
düşüncelerimize göre belirsiz olarak adlandıramayacağımız durumlar söz
konusudur. Örneğin, sayı dizisinin sonu belirsizdir diyebiliriz ama ne
kadar büyük olursa olsun ve dizide hangi konumu işgal ederse etsin belli
bir sayı belirsizdir diyemeyiz. Bir 'sonsuz sayı' fikri, 'bütün sayıların en
büyüğü' veya 'tüm sayıların sayısı' ya da 'tüm birimlerin sayısı' şeklinde
anlaşıldığında, 'sonsuz' kelimesinin yanlış kullanımı gözardı edilse bile,
kendi kendisiyle çelişen bir fikirdir. Bir sayı ne kadar büyük olursa olsun,
yukarıda belirttiğimiz oluşum yasasına göre, her zaman o sayıya bir
ekleyerek daha büyük bir sayı oluşturabileceğimiz için tüm sayılardan
daha büyük bir sayı olamaz. Sayı dizisi bir son terime sahip olamaz ve
işte tam da bu yüzden, dizi sona ermediği için aslında belirsizdir. Sadece
dizideki tüm terimlerin sayısı dizinin son terimi olabileceğinden, ileride
daha kapsamlı bir şekilde döneceğimiz gibi, sayı dizisinin ‘sayısı
belirlenemez’ (‘not numerable') diyebiliriz.
Bir 'sonsuz sayı'nın imkânsızlığı başka birçok açıdan ortaya
konabilir. En azından bunu çok açık bir şekilde fark etmiş olan Leibnitz,21
bu konuda çift sayı ve tam sayı dizilerini karşılaştırır: her sayı için
kendisinin iki katına eşit olan bir başka sayı bulunabilir öyle ki insan bu
iki diziyi terim terim eşleştirebilir ve sonuçta her iki dizideki terim
21 Leibnitz şöyle demiştir: “Kendi infinitezimal hesabıma rağmen,
gerçek bir sonsuz sayıyı kabul etmiyorum, şeylerin çokluğunun
tüm sonlu sayıları, hatta tüm sayıyı aştığını itiraf etmiş olsam da.”
20
sayısının eşit olması gerekir. Oysa, çift sayılar tam sayılar dizisinde birer
atlayarak gittiklerinden, çift sayıların iki katı kadar tam sayı olması
gerektiği açıktır. Dolayısıyla insan apaçık bir çelişkiyle karşılaşır. İkinin
katları olan çift sayılar dizisi yerine herhangi bir sayının katları alınarak
veya sayıların kareleri22 ya da daha genel anlamda herhangi bir kuvveti
alınarak oluşturulacak diziler için bu tartışma genelleştirilebilir. Durum
ne olursa olsun sonuç daima aynıdır; tam sayıların sadece bir kısmını
içeren bir dizi, tam sayılar dizisinin terim sayısına eşit sayıda terime sahip
olur. Bu, bir bütünün kendi parçasından daha büyük olmadığı anlamına
gelir ki tüm sayıların sayısı gibi bir kavrama izin verildiği sürece bu
çelişkiden kurtulmak imkânsızdır. Buna rağmen bazıları, belli bir sayı ile
çarpılmaları veya belli kuvvetlerinin alınması mümkün olmayan sayılar
olduğunu farz ederek bu çelişkiden kurtulmayı düşünmüşlerdir. Aksi
takdirde bu işlemler 'sonsuz sayısı'nı aşan sonuçlar verecektir. Hatta
'sonsuzdan daha büyük' sayılar tasarlayanlar olmuştur. Cantor'un 'sonlu
üstü' (transfinite) gibi yaratıcı teorileri bu yüzden mantıksal olarak geçerli
değildir:23 Bir sayı gayet 'sonlu' olduğunda, yani tüm sayıların en büyüğü
olmadığında, o sayıyı 'sonsuz' diye adlandırmayı insanın hayal etmesi
22 Cauchy, Galileo’ya atfettiği bu argümanı göstermiştir (Sept leçons
de Physique generale, üçüncü ders).
23 Daha Leibnitz zamanında Wallis, spatia plus quam infinita (sonsuz
mekândan daha fazlası) diye bir şey tahayyül etti. Bir çelişki
doğurduğu Varignon tarafından ihbar edilen bu görüş, Guido
Grandi'nin kitabı De Infinitis infinitorum’da (Sonsuzların
Sonsuzluğu Üzerine) aynen benimsendi. Öte yandan, Jean
Bernoulli, Leibnitz ile yaptığı tartışmalar sırasında şöyle yazdı: Si
dantur termini infiniti, dabitur etiam terminus infinitesimus (non
dico ultimus) et qui eum equuntur (Eğer sonsuzun limiti elde
edilirse, infinitezimal limitler de elde edilir [mutlak limitler
demiyorum]). Hiçbir zaman kendi kendine bundan daha açık bir
açıklama yapmış olmasa da bu, Bernoulli'nin, sayı dizisinde
'sonsuzun ötesi'nde terimler olabileceğini düşündüğünün bir
göstergesidir.
21
mâkul olabilir mi? Ayrıca, bu teoriler yüzünden bilinen hesaplama
kurallarının hiçbirinin uygulanamadığı ya da kısaca, gerçekte sayı
olmayan ama yalnızca alışkanlık yüzünden sayı denilen sayılar ortaya
çıkar.24 Tüm sayıların en büyüğünden daha başka bir 'sonsuz sayı'
arandığında bu kaçınılmaz olarak gerçekleşir. Sıradan sayılarla ortak
hiçbir özellik taşımayan, birbirlerine eşit olmayan birçok 'sonsuz sayı'
tahayyül edilir. Yani, bir çelişkiden kaçmak için bir başka çelişkiye
düşülür. Bütün bunlar temelde sadece, hayal edilebilecek en anlamsız
'antlaşmacılığın, âdetciliğin' ürünüdür.
Dolayısıyla, ne şekilde sunulursa sunulsun ve hangi isimle
adlandırılırsa adlandırılsın, 'sonsuz sayı' olarak söylenen fikir her zaman
çelişkili unsurlar ihtiva eder. Ayrıca, sayının belirsizliğinin gerçekten ne
olduğu doğru bir şekilde anlaşıldığı andan itibaren böyle abes bir
varsayıma ihtiyaç kalmaz. Dahası insan, sayının bu belirsizliğine rağmen
hiçbir şekilde tüm varlığa uygulanamayacağının da farkına varır. Başka
bir yerde yeterince açıkladığımız için bu nokta üzerinde burada daha fazla
durmayacağız. Sayı, niceliğin sadece bir biçimidir. Niceliğin kendisi ise,
Varlığın (Being) yalnızca bir kategorisi ya da özel bir biçimidir ve onunla
aynı sınırları paylaşmaz. Daha dakik bir ifadeyle söylersek nicelik,
evrensel varlık durumlarının tamamı içinde, sadece varlığın belli bir
durumuna uygun düşen bir koşuldur. Ancak her şeyi niceliğe indirgemek
isteyen ve hatta her şeyi sayısal olarak değerlendirmeye alışmış birçok
modern bunu anlamakta zorlanır.25 Oysa nicelik kümesinde, süreklilik
24 Kimse bunun sayı düşüncesine benzer bir kullanım olduğunu
söyleyemez, çünkü bu aslında nicelik kümesinden başka bir
kümeye geçişi ima eder. Oysa bu çeşit düşünceler daima harfi
harfine sırf niceliği kastetmektedir.
25 Renouvier sayının en azından idealde her şeye uygulanabileceğini,
yani biz gerçekten ‘sayamasak’ da her şeyin kendi içinde
'sayılabileceğini' (numerable) düşündü. Dolayısıyla O, Leibnitz'in
22
(continuity) konusuna geldiğimizde göreceğimiz gibi, sayıdan kurtulan
şeyler vardır. Sonuçta - belli bir imkân seviyesini sınırlayan, sınırladığı
şeyin ötesinde ve dışındadır -26 itiraz kabul etmez gerçeğinin sadece bir
uygulaması olan - sayıların çokluğu bir sayı oluşturmaz – ilkesi
anlaşıldığında, insan en azından zımnen, sayının her şeye
uygulanamayacağını, ayrık (discontinuous) nicelik kavramından
ayrılmadan bile kabul etmek zorunda kalır. Anlaşılması gereken tek şey,
ister sayılar dizisinde olduğu gibi ayrık olsun, isterse biraz sonra ele
alacağımız gibi sürekli olsun, böyle bir çokluğun hiçbir surette sonsuz
olarak adlandırılamayacağıdır. Buradaki mesele belirsizlik meselesinden
başka bir şey değildir. Şimdi bu çokluk kavramını daha yakından
inceleyelim.
'çokluk' (multitude) mefhumuna verdiği anlamı tamamıyla yanlış
anladı ve çokluk ile sayı arasındaki farkın 'sonsuz sayı'
çelişkisinden kurtulmaya nasıl yaradığını hiçbir zaman
anlayamadı.
26 Oysa daha önce, ne olursa olsun her özel ve belirlenmiş şeyin
kendi tabiatı tarafından sınırlandırılmış olduğunu söylemiştik.
Burada kesinlikle hiçbir çelişki yoktur. Gerçekte şeyler
tabiatlarının negatif taraflarıyla sınırlıdırlar (Spinoza'nın söylediği
gibi, omnis determinatio negatio est [her tanımlama bir nefiydir]).
Yani, diğer şeyleri dışlayan ve onlara kendi dışında bir yer bırakan,
o şeyin tabiatıdır öyle ki sonuçta düşündüğümüz şeyi sınırlayan,
gerçekten onunla birlikte var olan bu diğer şeylerdir. Bu ayrıca
neden yalnızca Âlemşümul Küll'ün herhangi bir şey tarafından
sınırlandırılamayacağının da sebebidir.
23
3. Sayısı Belirlenemeyen Çokluk Leibnitz’in bir 'sonsuz sayı'yı asla kabul etmediğini daha önce
söylemiştik. Aksine O, her ne anlamda alınırsa alınsın bunun kesinlikle
bir çelişki doğuracağını bildirmiştir. Öte yandan, en azından
Skolastiklerin söylediği gibi bunun sadece bir infinitum secundum quid
olabileceğini açıkça belirtmeden, 'sonsuz çokluk' diye adlandırdığı şeyi
kabul etmiştir. Sayı dizisi O'nun için böyle bir çokluktur. Fakat bir başka
açıdan sonsuzluk fikri O'na daima, nicelikler, hatta sürekli büyüklükler
(magnitude) kümesinde muhtemel çelişkiler doğurabilecek bir şüpheli
gibi görünür. Çünkü bu sonsuzluk mefhumu yeterli bir fikir olmaktan
uzak, kaçınılmaz şekilde bir takım karışıklıklar doğuran bir düşüncedir.
Bir fikrin tüm elemanlarını açık bir biçimde kavramadan onun bir çelişki
doğurup doğurmayacağından emin olamayız.27 Bu durum, 'sembolik' –
veya 'temsilci' (‘representative’) diyeceğimiz – bir karaktere neredeyse
hiç izin vermez ve daha sonra göreceğimiz gibi bu yüzden Leibnitz
'sonsuz küçük'ün gerçekliği hakkında bir hüküm verme cesaretini asla
gösterememiştir. Oysa bu tereddüt ve şüpheli tutum, 'sonsuz çokluk'tan
bahsedilebileceğini kabul etmesine yol açan prensip eksikliğini daha iyi
27 Dekart, 'açık (clear) ve belli (distinct)' fikirlerden yalnızca söz
eder. Leibnitz ise bunları şu şekilde açıklar: bir fikir belli olmadan
da açık olabilir, açık fikir tanınmaya ve diğer fikirlerden tefrik
edilmeye müsaittir, belli fikir ise sadece bu anlamda ‘tefrik edilen’
değil aynı zamanda kendi içinde kendi elemanları da ‘tefrik edilen’
fikirdir. Ayrıca, her fikir az ya da çok belli olabilir ama yeterli bir
fikir tümüyle ve tüm elemanlarıyla belli olan fikirdir. Ancak
Dekart, insanın her şey için 'açık ve belli' bir fikre sahip olabileceği
düşüncesine sahipken, Leibnitz aksine sadece sayılar gibi belli
elemanlardan oluşan matematiksel fikirlerin yeterli olabileceğine
inanmıştır. Diğer tüm fikirler, analizi tam olarak asla
tamamlanamayan bir takım elemanlar içerdiğinden, hep bir takım
karışıklıklar taşırlar.
24
ortaya çıkarıyor. Burada insan şunu merak ediyor: kendisinin söylediği
gibi 'sonsuz' olabilmesi için böyle bir çokluğun sadece 'sayısının
belirlenemez' olması değil, ki bu çok açıktır, aynı zamanda, niceliği tüm
genişliği ve bütün modlarıyla almak kaydıyla, hiçbir surette niceliksel de
olmaması gerektiğini düşünmemiş midir? Bazı durumlarda bunu
düşünmüş olabilir ama her zaman değil. Yine de, kendi kendine hiçbir
zaman açıkça izah etmediği bir nokta hep kalmıştır.
Bütün sayıları aşan, dolayısıyla bir sayı olmayan çokluk fikri,
ister 'sonlucu' ister 'sonsuzcu' olsun, Leibnitz'in düşüncelerini tartışan
birçok kişiyi şaşırtmışa benzer. Oysa bu fikir, genellikle öyle inanılsa da
yalnız Leibnitz'e ait bir şey değildir. O, Skolastikler arasında da oldukça
yaygındı.28 Bu düşünce, gerek sayı olmayan gerekse 'sayısı belirlenebilir'
olmayan her şeye özellikle uygulanmıştır, yani ister niceliğin diğer
modlarına ait bir mesele olsun isterse tamamen nicelik alanının dışında
kalanlar olsun, ayrık nicelik alanıyla ilgili olmayan her şeye. Çünkü
çokluk, 'tecrübe üstü' (transcendental) düzenle ilgili ya da nicelik gibi
özel modlarının aksine, varlığın kendisiyle aynı sınırlara sahip genel
modları seviyesiyle ilgili bir fikirdir.29 Bu çokluk kavramı ayrıca insanın,
28 Bu konuda diğerlerinin arasından oldukça açık olan şu metni
aktaracağız: Qui diceret aliquam multitudinem esse infinitam, non
diceret eam esse numerum, vel numerum habere; addit etiam
numerus super multitudinem rationem mensurationis. Est enim
numerus multitudo mensurata per unum ... et propter hoc numerus
ponitur species quantitatis discretae, non autem multitudo, sed est
de transcendentibus (Eğer birisi bir çokluğun sonsuz olduğunu
söylüyorsa, bu o çokluğun bir sayı olduğunu ya da bir sayısı
olduğunu söylüyor demek değildir, çünkü sayı çokluğa ölçme
fikrini ilave eder. Sayı, bir ile ölçülmüş çokluk olduğundan ... ve
bu yüzden sayı, ayrık niceliğin bir türü olarak sınıflandırılır, oysa
çokluk böyle değildir, o tecrübe üstü [transcendental] olan
şeylerden biridir) Aziz Thomas Aquinas, Physics, III, 1.8.
29 Skolastiklerin, kendi doktrinlerinin metafiziksel bölümlerinde bile
25
örneğin, ilahi sıfatların çokluğu veya meleklerin çokluğu gibi sayıya konu
olmayan durumlar hakkında konuşmasına imkân sağlar. Üstelik bu
kavram, belirsiz bir çokluktan müteşekkil varlık dereceleri veya olma
durumları hakkında konuşmaya da izin verir, nicelik onlardan tek birinin
varlığının özel bir şartı olsa da. Öte yandan çokluk fikri sayının aksine var
olan her şeye uygulanabilir olduğundan, nicelik düzeyinde, özellikle
sürekli nicelikler alanında çokluklar olması gerekir. Bu yüzden diyoruz ki
sayının tamamını aşan 'sonsuz çokluğun' her durumda nicelik kümesinden
tamamen kurtulduğunu düşünmek doğru olmaz. Ayrıca sayının kendisi,
ölçülmüş olması şartıyla çokluğun bir türü olarak düşünülebilir. Aziz
Thomas Aquinas'ın ifadesiyle sayı 'bir ile ölçülmüş çokluktur'. 'Sayısı
belirlenemez' olan çokluğun tüm diğer çeşitleri 'ölçülmemiştir'. Bu
onların sonsuz değil ancak belirsiz olmaları demektir.
Bu konuda şu tuhaf gerçeği not etmek uygun olacak: Leibnitz için
bir sayı olmayan bu çokluk yine de 'birimlerin bir sonucudur'.30 Bunu
nasıl anlamalıyız ve buradaki birimler gerçekten nedir? Birim kelimesi
tamamen iki farklı manada anlaşılabilir:31 Bir tarafta sayının ilk elemanı
ve hareket noktası olan aritmetik veya niceliksel birim, diğer tarafta saf
Varlığın kendisi ile tanımlanan metafizik Birlik. Bunun dışında muhtemel
başka bir anlam göremiyoruz. Ancak, ne zaman birisi çoğul olarak
'birimler'den bahsetse, bu yalnız nicelik biçiminde anlaşılabilir. Öyleyse,
birimlerin toplamı sayıdan başka bir şey olamaz ve hiçbir şekilde sayıyı
aşamaz. Leibnitz'in 'toplam' değil de 'sonuç' dediği doğrudur, fakat
asla Varlık, Olma (Being) düşüncesinin ötesine geçmediklerini
biliyoruz öyle ki onlar için metafizik aslında sadece ontolojiye
indirgenmişti.
30 Systeme nouveau de la nature et de la communication des
substances.
31 Guenon'un kendisinin de açıkladığı gibi Fransızca unite kelimesi
hem 'birim' (unit) hem de 'birlik' (unity) anlamlarına gelir. ED.
26
maksatlı olduğunu varsaysak bile bu ayrım ne yazık ki kapalı kalmıştır.
Başka bir yerde O, bir sayı olmayan çokluğun sayı analojisiyle
anlaşılabileceğini söyler: ”Herhangi bir sayıyla kavranabilecek olandan
daha fazla şeyler olmasına rağmen” der Leibnitz, “yine de biz, analojik
olarak bir sayı atfeder ve sadece bir 'söz gelimi' (modus loquendi)32 olarak
onlara sonsuz deriz.” Söz konusu olan şey gerçekte hiçbir surette bir sayı
olmadığından bu konuşma şekli dahi hiç doğru bir anlatım biçimi değildir.
Fakat ifadelerdeki kusurlar ve neden olduğu karışıklıklar ne olursa olsun,
her hâlukârda kesinlikle O'nun düşüncesinin temelinde, çokluğu bir sayı
ile tanımlamanın olmadığını kabul etmek zorundayız.
Leibnitz'in büyük önem atfediyor gibi göründüğü bir başka nokta
da şudur: O'nun anladığı 'sonsuz' bir bütün oluşturmaz.33 O bunu, kendi
sonsuzluk anlayışındaki çelişkiden kurtulmak için gerekli bir şart gibi
görür. Oysa bize göre bu bir başka anlaşılması güç noktadır. Birisi pekâlâ
burada nasıl bir 'bütün'den bahsedildiğini merak edebilir. Her şeyden önce
başından beri söylediğimiz gibi tek doğru sonsuzluk olan ve burada hiçbir
şekilde söz konusu olmayan metafiziksel Sonsuzluğun kendisi,
Âlemşümul Küll kavramını tamamen bundan ayrı tutmak gerekiyor.
32 Observatio quod rationes sive proportiones non habeant locum
circa quantitates nihilo minores, et de vero sensu Methodi
infinitesimalis (Gittikçe Küçülen Niceliklere Uygulanamayan
Hesaplar ve Orantılarla İlgili Bir Gözlem ve İnfinitezimal
Metodun Doğru Anlaşılması Hakkında), Acta Eruditorum,
Leipzig, 1712.
33 Aynı eserde: Infinitum continuum vel discretum proprie nec unum,
nec totum, nec quantum est (Sürekli ya da ayrık sonsuz, doğrusunu
isterseniz, ne tektir, ne bir bütündür, ne de bir niceliktir), Leibnitz,
eğer buradaki quantum kelimesiyle, 'sonsuz sayı' gibi çelişkisini
daha önce kendisinin göstermiş olduğu belli bir niceliği
kastetmemişse, bu nec quantum ifadesi, O’nun 'belirsiz çokluğu'
bir nicelik gibi anlamadığını gösterir.
27
Hakikaten, ister sürekli isterse ayrık olsun Leibnitz'in tahayyül ettiği
'belirsiz çokluk' ancak sınırlı ve koşullu olan kozmolojik düzeyde bir
anlam taşır yoksa metafizik düzeyde değil. Ayrıca burada söz konusu
olan, parçalardan oluşmuş bir bütünlüktür. Oysa başka bir yerde
açıkladığımız gibi34 Âlemşümul Küll, sonsuz olduğu için ‘parçasızdır’,
çünkü parçalar zorunlu olarak göreceli ve sonludurlar ve bu yüzden
sonsuzla gerçekte herhangi bir bağlantıları yoktur. Başka bir deyişle
sonsuzun parçası olmaz. Bu yüzden sorumuzla ilgili olarak özel bir
bütünlük anlayışı içinde kalmamız gerekir. Fakat burada yine, böyle bir
bütünün nasıl bir modda oluştuğu ve bu bütünün parçalarıyla nasıl bir
ilişki içinde olduğu hususunda düşünmemiz gereken iki ayrı durum, aynı
'bütün' (‘whole’) kelimesinin iki farklı anlamı vardır. Bunlardan birincisi,
bir aritmetik toplam şeklinde oluşan, kendi parçalarının basit toplamından
daha farklı ya da daha fazla bir şey olmayan bir bütünlüktür. Leibnitz, tam
olarak sayıya uygun olan bu çeşit bütünlüğün temel olduğunu söyleyerek
bizim sayının ötesine giçmemize izin vermez. Oysa gerçekte bir bütünü
tasavvur etmenin tek yolunu temsil etmekten çok uzak olan bu anlayış,
terimin en hassas anlamıyla gerçek bir bütün bile değildir. Aslında, sadece
parçalarının toplamı ya da sonucu olan, dolayısıyla onlardan sonra gelen
bir bütün, bir ens rationis’den (akılda ya da zihindeki varlık) başka bir
şey değildir. Çünkü o sadece bizim onu tahayyül ettiğimiz ölçü içinde 'bir'
ve 'bütün'dür. Gerçekte kelimenin tam anlamıyla o yalnızca bir
'koleksiyon'dur. Tahayyül ediş şeklimizle, belli ve göreceli bir anlama
kadar ona birlik ve bütünlük karakteri ihsan eden bizleriz. Bunun tam
aksine, bütünlük karakterine kendi tabiatıyla sahip olan gerçek bütünlük,
mantıksal olarak parçalarından önce gelmelidir ve onlardan bağımsız
olmalıdır. Gerçekten var olup olmadıklarını önceden düşünmedem, keyfi
bir şekilde, istediğimiz herhangi büyüklükte parçalara ayırabileceğimiz,
34 Bu konuda daha fazla bilgi için bakınız The Multiple States of the
Being, bölüm 1.
28
sürekli bir küme işte böyle bir bütündür. Bu defa biz, ideal ya da etkin bir
bölme sayesinde oluşan bu parçalara bir gerçeklik veririz ve bu bir önceki
durumun tam tersidir.
Şimdi tüm sorun Leibnitz'in, “sonsuz bir bütün değildir” derken
bütünün birinci anlamının yanında ikinci anlamını da kastedip etmediği
meselesidir. Öyle anlaşılıyor ki kastediyordu. Bu mümkün, çünkü bu
ikinci anlam bütünün gerçekten 'bir' olabileceği tek durumdur ve O'na
göre sonsuz nec unum, nec totum dur (ne bir, ne de bütündür). Bunu teyit
eden bir başka şey de bu ikinci anlamın bütünlük bakış açısından
düşünüldüğünde bir canlı varlığa ya da organizmaya uygulanabilmesidir.
Leibnitz şöyle der: “Evren bile bir bütün değildir, ve o, kadim
uygarlıklarda olduğu gibi ruhu Tanrı olan bir hayvan olarak tahayyül
edilmemelidir”.35 Ancak eğer gerçekten böyle ise insan, O'nun sonsuz ve
sürekli kavramlarını nasıl ilişkilendirebildiğini anlayamaz, oysa bunu sık
sık yapmıştır. Zira sürekli kavramı, en azından belli bir anlamda, tam da
bu ikinci bütünlük anlayışıyla bağlantılıdır. Fakat bu nokta gelecek
bölümlerin ışığı altında daha iyi anlaşılacak. Her hâlükârda kesin olan şu:
eğer Leibnitz, 'bütün'ün üçüncü bir anlamını tasavvur etmiş olsaydı, yani
diğer ikisinin üstünde sırf metafiziksel anlam olan, ilk başta ortaya
koyduğumuz Âlemşümul Küll fikrini tasavvur etmiş olsaydı, sonsuzun
bütünlüğü dışladığı fikrini söyleyemezdi. Çünkü O ayrıca şunu da
söylemiştir: “Gerçek sonsuz muhtemelen kendi içinde mutlaktır,
35 Jean Bernoulli'ye mektup. - Leibnitz burada aslında kadim
uygarlıkların sadece bir kısmında görülen bir görüşü sebepsiz yere
genele atfetmiştir. Besbelli aklında, Tanrıyı her yerde var olarak
tahayyül eden ve O’nu Anima Mundi ile tanımlayan Stoacıların
teorisi vardı. Ayrıca şu da gayet açık; buradaki mesele sadece
zuhur etmiş âlem (manifested Universe), yani kozmos ile ilgili bir
konudur, yoksa tüm imkânı yani zuhur etmiş (manifested) olanla
birlikte zuhur etmiş olamayan (non-manifested) imkânı da
kapsayan Âlemşümul Küll meselesi değildir.
29
parçalardan oluşmaz ama parçalara sahiptir, onları seçkin bir nedenle,
kendi mükemmel derecesi yüzünden kapsar.”36 Her ne kadar sonsuzun
parçalara sahip olduğunu söylemek hatalı olsa da bu hata anlayışla
karşılanabilir ve bu kez istisnai bir şekilde O, 'sonsuz' kelimesini doğru
anlamıyla kullandığı için burada küçük bir ışık olduğu söylenebilir. Fakat
daha sonraki düşüncelerini, sanki bu fikrin önemini tam olarak
yerleştirememiş gibi, yine muğlak ve kafa karıştırıcı bir biçimde ifade
etmiş olması tuhaftır. Belkide bunu gerçekten hiç yapamadı. Aksi
takdirde, neden çok sık bu uygun anlamdan saptığı ve sonsuzdan
bahsettiğinde niyetinin bu terimi, yanlış da olsa, hassas bir biçimde ele
almak mı yoksa sadece 'söz gelimi' olarak kullanmak mı olduğunu
anlamanın bazen neden çok zor olduğu açıklanamaz.
36 Jean Bernoulli'ye mektup, 7 Haziran 1698.
30
4. Süreklinin Ölçümü Şimdiye kadar sayı dediğimizde yalnızca tam sayıları kastettik.37
Sayısal niceliği tam anlamıyla ayrık nicelik olarak düşündüğümüzden bu
mantıksal olarak gerekliydi. Tam sayılar dizisinin ardışık iki terimi
arasında daima, bu iki sayı arasındaki birim farka denk gelen belli bir
aralık vardır ki tam sayılar söz konusu olduğu sürece bu fark hiçbir
şekilde yok edilemez. Ayrıca, saf sayı olarak adlandırabileceğimiz gerçek
sayılar aslında yalnızca bu tam sayılardır. Birden başlayan tam sayı dizisi,
bir son terime varmaksızın belirsiz bir şekilde artar, çünkü bunun aksi
daha önce gördüğümüz gibi bir çelişki doğurur. Dizinin tamamen tek bir
yöne doğru büyüdüğü açıktır. Başka bir bakış açısından ileride
göstereceğimiz gibi belirsiz bir biçimde büyüyen niceliklerle belirsiz bir
biçimde küçülen nicelikler arasında belli bir ilişki ve bir çeşit simetri
olmasına rağmen ters yön, yani belirsiz küçülme yönü tam sayılarla temsil
edilemez. Ne var ki insanlar tam sayılarla kalmamış başka birçok çeşit
sayı düşüncesine yönelmişlerdir. Genellikle bu düşüncelerin, sayı fikrinin
genişletilmesi ya da genelleştirilmesi olduğu söylenir ki bu belli bir
dereceye kadar doğrudur. Ancak bu genişlemeler aynı zamanda bir
sapmadır. Modern matematikçilerin çok kolay bir şekilde unutmuş
gözüktükleri şey işte budur. Çünkü sahip oldukları 'antlaşmacılık' bu
sayıların kökenini ve sebebini yanlış anlamalarına yol açmaktadır.
Gerçekten de, tam sayıların dışındaki sayılar her şeyden öte, sadece tam
sayılarla yapılan aritmetikte mümkün olmayan işlemlerin sonuçlarını
gösterirler. Dolayısıyla örneğin bir kesirli sayı, aslında yapılamayan yani
37 'Bütün sayılar' (whole numbers [nombres entiers]) günümüzde
'tam sayılar' (integers) terimiyle ifade edilen sayılardır. Herkes ne
anlama geldiğini hemen anlasa da 'bütün sayılar' terimi deyimsel
(idiomatic) değildir. Ayrıca, Guenon’un nombres entiers’den
bahsettiğinde, pozitif tam sayıları ya da doğal sayıları kastettiği
ortaya çıkmaktadır. ED.
31
aritmetik olarak mümkün olmayan bir bölme işleminin sonucunun temsil
edilmesinden başka bir şey değildir. Alışılmış matematik terminolojiyle
bu ve şu tam sayılar birbirini bölmez dendiğinde bu durum zımnen kabul
edilmiş olur. Burada şunu belirtmeliyiz ki kesirli sayılara yaygın olarak
verilen tanım absürttür. Kesirler söylendiği gibi 'bir bütünün parçaları'
olamazlar, çünkü gerçek aritmetik birim bölünemez ve parçasız olmak
zorundadır. Bu birimden meydana gelen sayıların temel ayrık karakteri
işte buradan kaynaklanır. Şimdi bu absürtlüğün nereden doğduğuna
bakalım.
Gerçekten, sözü edilen işlemlerin basit ve saf bir biçimde
imkânsız oldukları düşünülmediğinde, işlemlerin sonuçları keyfi bir
biçimde ele alınamaz. Genel olarak bu, sayıdan müteşekkil ayrık
niceliğin, mekânsal büyüklükler gibi sürekli nicelikler düzenine ait
büyüklüklerin ölçümüne uygulanmasının bir sonucudur. Niceliğin bu iki
modu arasında doğal bir fark vardır öyle ki, bunların arasında mükemmel
bir tekabüliyet kurulamaz. Buna belli bir ölçüde, en azından şimdiye
kadar mümkün olabildiği kadarıyla bir çözüm bulmak için, tam sayılar
dizisinde oluşan ayrık aralıklar, terimler arasına sokulan başka sayılarla,
ilk başta bunun dışında bir anlamı olmayacak olan kesirli sayılarla,
küçültülmeye çalışılmıştır. Az önce ifade ettiğimiz kesirlerin tanımındaki
absürtlüğün, aritmetik birim ile 'ölçü birimi'nin karıştırılmasından
kaynaklandığını anlamak artık kolaydır. 'Ölçü birimi' sadece uzlaşılan bir
birimdir ve gerçekte sayıdan farklı, bilhassa geometrik bir büyüklüktür.
Örneğin uzunluk ölçü birimi, aritmetiğe yabancı nedenlerle seçilmiş
yalnızca belli bir uzunluktur. Diğer bütün uzunluklar ona kıyasla ölçülsün
diye, bir sayısı ona tekabül eder. Oysa birim uzunluk dahil bütün
uzunluklar tabiatları gereği daima ve belirsiz bir şekilde bölünebilen
sürekli büyüklüklerdir. Kendisinin tam katı olmayan başka uzunluklarla
kıyaslandığında bu ölçü biriminin daha küçük parçaları düşünülür ki bu
parçalar hiçbir biçimde aritmetik birimin parçaları olamaz. İşte sadece bu
32
yüzden kesirli sayı düşüncesi birbirlerine tam olarak bölünemeyen
büyüklüklerin oranı şeklinde ortaya konmuştur. Aslında bir büyüklüğün
ölçülmesi, kendi cinsinden ölçü ya da kıyas birimi olarak alınan başka bir
büyüklüğe oranının sayısal olarak ifade edilmesinden başka bir şey
değildir. İşte bu, geometrik büyüklüklerin ölçümündeki metodun neden
bölmeye dayandığının sebebidir.
Bu metoda rağmen sayının ayrık tabiatından süreklinin
mükemmel eşdeğirini elde etmeye engel olan bir şeyler daima baki kalır.
Bu aralıklar ne kadar küçültülürse küçültülsün, belirsiz bir dereceye kadar
küçültülseler, önceden verilen herhangi bir değerden daha küçük hâle
getirilseler dahi tamamen ortadan kaldırılamazlar. Bu noktayı biraz daha
açmak için en basit geometrik sürekliliği, düz çizgiyi (sayı doğrusunu) ele
alalım. Bu düz çizginin yarısını yani bir yöne doğru belirsiz bir biçimde
uzayan kısmını düşünelim.38 Çizginin üstündeki her bir noktaya, o
noktanın başlangıç noktası (orijin), sıfırdan uzaklığını ifade eden bir sayı
karşılık gelir. Başlangıç noktasının kendisine olan uzaklığı bir hiç
olduğundan ona sıfır tekabül eder. Tam sayılar, bu orijinden başlayarak
art arda gelen, birbirlerine ve birim uzunluğa eşit bu parçaların uç
noktalarına denk düşerler. Bu uç noktaların arasında kalan noktalar,
orijine uzaklıkları birim uzunluğun tam katı olmadığından, kesirli
sayılarla gösterilirler. Şüphesiz iki kesirli sayının paydaları büyüdükçe
aralarındaki fark azalır ve karşılık geldikleri aralık aynı nispette küçülür.
Bu şekilde aralıklar belirsiz bir şekilde, teorik olarak herhangi bir
dereceye kadar küçültülebilir, çünkü kesirlerin olası paydaları belirsiz bir
biçimde büyüyebilen tam sayılardır.39 Teorik olarak diyoruz çünkü
38 Sayı doğrusunun neden yarısını almak zorunda olduğumuz, ileride
negatif sayıların geometrik temsili konusunda görülecektir. Daha
önce söylediğimiz gibi, sayı dizisinin tek bir yöne doğru ilerliyor
olması bu nedene yeterince işaret eder.
39 Negatif sayıları konuşmaya başladığımızda bu daha da açık hâle
33
gerçekte kesirli sayıların çokluğu belirsizdir ve tamamı kullanılamaz.
Fakat idealde tüm kesirli sayıların, düşündüğümüz yarım düz çizgi
üzerinde bir noktaya karşılık geldiğini varsayalım. Aralıkların belirsiz bir
biçimde küçülmesine rağmen, bu doğru üzerinde hâlâ hiçbir sayının
karşılık gelmediği noktalar kalacaktır. İlk bakışta bu garip hatta
paradoksal görünebilir. Ama çok basit bir geometrik yapıyla böyle bir
noktanın varlığı gösterilebilir. Bir kenarı 0 ve 1 noktaları arasında kalacak
şekilde bir kare çizelim. Orijinden başlayan bir köşegen ve bu köşegeni
yarıçap kabul eden, merkezi orijin olan bir çember çizelim. Bu çemberin
doğrumuzu kestiği nokta hiçbir tam ya da kesirli sayıyla gösterilemez.
Çünkü bu noktanın orijine uzaklığı karenin köşegenine eşittir. Köşegenin
uzunluğu ise kenar ya da birim uzunluğun tam veya kesirli bir katı
şeklinde ifade edilemez. Dolayısıyla, kesirli sayılar topluluğu, ne kadar
küçülürlerse küçülsünler, doğrunun noktaları arasındaki aralıkları
doldurmaya yetmez.40 Yani bu topluluk doğrusal sürekliliğin gerçek ve
yeterli bir karşılığı değildir. Belli bazı uzunlukların ölçüsünü ifade
edebilmek için, ortak-ölçülemez (incommensurable) denilen, yani birim
uzunlukla ortak-ölçüsü olmayan, başka çeşit sayılar bulmak zorunda
kalırız. Bunlar, tam kare olmayan sayıların karekökü gibi aritmetik olarak
mümkün olmayan kök alma işlemlerinin sonucunu temsil eden irrasyonel
sayılardır. Dolayısıyla biraz önceki örnekteki karenin köşegeninin
kenarına oranı ve orijine köşegen kadar uzaklıktaki nokta sadece 2
irrasyonel sayısıyla temsil edilebilir. Bu sayı gerçekten de ortakölçülemez bir sayıdır çünkü karesi 2 olan hiçbir tam ya da kesirli sayı
yoktur. Bu irrasyonel sayıların yanında, geometrik orijini belli, çemberin
çevresinin çapına oranını temsil eden π sayısı gibi, başka ortak-ölçülemez
gelecektir.
40 Noktaların doğruyu oluşturduğunu ya da terkip ettiğini
söylemediğimizi not ediniz. Çünkü bu sürekliliğin doğru şekilde
anlaşılmasına ihanet etmek olur. Bu konu ileride
söyleyeceklerimiz sayesinde açıklığa kavuşacaktır.
34
sayılar da vardır.
'Sürekliliğin oluşumu' sorununa daha fazla girmeden şunu
görebiliriz: kavram ne kadar genişletilirse genişletilsin, sayı asla sürekli
olana tam olarak uygulanamaz. Sonuçta bu uygulama daima sürekli olanı
ayrık olanla değiştirmek anlamına gelir. Bu sürekliliğin aralıkları çok
küçük olabilir, hatta belirsiz bir şekilde tekrarlanan bölme işlemleriyle
daha da küçük hâle getirilebilir. Ancak gerçekte bu bölme işlemleri,
sonunda bir 'son terim'e ulaşarak bitirilemez. Çünkü sürekli bir nicelik, ne
kadar küçük olursa olsun, daima belirsiz bir şekilde bölünebilir olarak
kalır. Kesirli sayı düşüncesine hakkıyla karşılık gelen şey süreklinin bu
bölünebilirliğidir. Ancak şunu özellikle kaydetmek gerekir ki ne kadar
küçük olursa olsun bir kesir daima belirlenmiş bir niceliktir ve iki kesir
arasındaki fark ne kadar minik olursa olsun bu iki sayı arasında tespit
edilmiş bir aralık vardır. Sürekli büyüklükleri karakterize eden belirsiz
bölünebilme özelliği, istenildiği kadar küçük elemanlar elde
edilebilmesini ve bu elemanlar arasındaki aralıkların verilen herhangi bir
nicelikten daha küçük hâle getirilebilmesini gerektirir. Fakat - bizim
kesirli sayıları, hatta diyebiliriz ki tümüyle sayıyı yetersiz gördüğümüz
yer işte burasıdır - gerçekten bir sürekliliğin olabilmesi için bu elemanlar
ve bu aralıklar belirlenmiş bir şey olarak tasavvur edilmemelidir.
Dolayısıyla, sürekli niceliğin en mükemmel ifadesi, az önce tartışılan
sabit ve belirlenmiş büyüklükler biçiminde değil aksine değişkenler
düşüncesiyle elde edilebilir. Çünkü bu değişkenliğin kendisi, sürekli bir
biçimde başarılmış olacaktır. Bu nicelikler, değişkenlikleri sayesinde
kendilerini iptal etmeksizin ya da bir 'minimum'a ulaşmaksızın belirsiz
bir şekilde küçülme kabiliyetine sahip olmalıdırlar. Bunun aksi, bir
sürekliliğin 'son bir terim'e sahip olması kadar çelişkili olur. İleride
göreceğimiz gibi, infinitezimal niceliklerin doğru anlamı işte tam olarak
budur.
35
5. İnfinitezimal Metottan Kaynaklanan Sorular Leibnitz, infinitezimal metodu ilk sunuşunda41 ve sonraki birçok
çalışmasında,42 uygulamalarına bilimden daha çok önem veren modern
eğilime uygun olarak, yeni hesabın özellikle kullanımı ve uygulanması
üzerinde durmuştur. Bu gerçekten Leibnitz'de var olan bir eğilim miydi
yoksa kendi metodunu bu şekilde takdim etmesi O'nun için sadece bir
taviz miydi, söylemek zor. Ne olursa olsun, bir metodu savunmak için o
metodun daha önce kabul edilmiş diğer metotlara göre avantajlarını ya da
özellikle hesaplamalarda sağlayacayı kolaylıkları, hatta verdiği sonuçları
göstermek kesinlikle yeterli değildir. İnfinitezimal metodun muhalifleri
bunu kullanmakta başarısız değillerdi ve onların bu itirazları yüzünden
Leibnitz, metodunun prensiplerini ve hatta kaynağını açıklamaya ikna
oldu. Yoksa O, metodunun kaynağı hakkında hiç konuşmaya da bilirdi.
Ama sonuçta bunun fazlaca bir önemi yoktur, çünkü nadiren bir keşfe
neden olan şartlar, genellikle oldukça önemsiz durumlardır. Yine de, bu
konu hakkında yazdıkları43 arasında bizi ilgilendiren tek şey şu gerçektir:
O, sayılar arasında bir değer 'atanabilen' (‘assignable’) farklar
görüşünden, geometrik büyüklüklerde görülen süreklilikler yüzünden bir
41 Nova Methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae
nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro
illis calculi genus (En Büyük ve En Küçük Niceliklerle Birlikte
Teğetler İçin Kesirli ya da İrrasyonel Değerler İçermeyen Yeni Bir
Metot ve Özgün Bir Hesap), Acta Eruditorum, Leipzig, 1684.
42 De Geometria recondita et Analysi indivisibilium atque
infinitorum (Bölünemeyen ve Sonsuz Niceliklerin Gizli
Geometrisi ve Analizi Hakkında), 1686. Sonraki çalışmalarının
hepsi belli bazı problemlerin çözümleriyle ilgilidir.
43 İlk olarak mektuplarında, sonra Historia et origo Calculi
differentialis’de (Türev Hesabının Tarihi ve Orijini), 1714.
36
değer 'atanamayan' (‘unassignable’) farklar görüşüne geçmiştir ve bu
görüşe deyim yerindeyse, 'varlıkların tabiatının isteği' gerekçesiyle büyük
önem atfetmiştir. Dolayısıyla O'nun için infinitezimal nicelikler doğal
olarak bize doğrudan görünmezler, ancak ayrık niceliğin
değişkenliğinden sürekli niceliğin değişkenliğine geçişte ya da birincisi
ikincinin ölçümüne uygulandığında görünürler.
Leibnitz'in ne olduklarını tanımlamadan kullandığı için
ayıplandığı bu infinitezimal nicelikler tam olarak ne anlama gelir ve bu
anlam O'nun hesabını mutlak bir biçimde kesinliştirir mi yoksa sadece
yaklaşık bir metot mu yapar? Bu iki soruya cevap vermek, O'na
yöneltilmiş itirazların en önemlilerini halletmek olacaktır. Fakat ne yazık
ki kendisi bunlara asla çok açık bir şekilde cevap verememiştir. Hatta
vermeye çalıştığı çeşitli cevaplar her zaman birbirleriyle tam uyum içinde
değildir. Bu bağlamda şunu kaydetmek gerekir: Leibnitz genellikle aynı
şeyi hitap ettiği dinleyiciye göre farklı biçimlerde açıklama alışkanlığına
sahipti. Elbette biz O'na karşı, sistematik zihinleri tahrik eden bu tutumu
benimsemeyeceğiz. Çünkü prensipte O sadece herkesle kendi diliyle
konuşmayı münasip gören bir öğretinin, özellikle Rozikruziyan
(Rosicrucian) tarikatının talimatını yerine getiriyordu. Bazen bu talimatı
çok başarısız bir şekilde uyguladı. Sahiden, eğer aynı gerçeği farklı
ifadelerle söylemek mümkün ise bunun, yanlış kavramlar doğuracak söz
gelişlerinden kaçınarak çok dikkatli bir şekilde, o gerçeği bozmadan ya
da eksiltmeden yapılması gerekmez mi? Leibnitz bu konuda birçok yerde
başarısız olmuştur.44 'Uzlaşma' düşüncesini, kendi metodunu sadece
yaklaşık bir hesap olarak görmek isteyenleri savunuyor görünecek bir
44 Birisi Ruzikruziyan bir dil kullanarak şunu söyleyebilir: bu durum,
O’nun characteristica universalis projesinin başarısızlığı kadar
hatta ondan daha fazla, 'dil yeteneği'nin doğası hakkında teorik bir
fikre sahip olmasına rağmen bu yeteneğe kendisinin yeterince
sahip olmadığını ispatlar.
37
noktaya kadar getirmiştir. Çünkü bir zamanlar kendi metodunu hesaplara
yardımcı olarak kullandığını, bunun sadece eskilerin 'tüketme metodu'nun
kısa bir şekli olduğunu ve eğer kesin bir delil isteniyorsa öteki metotla
doğrulanması gerektiğini söylüyordu. Yine de şu kesindir ki O'nun
temelde düşündüğü şey bu değildi. Gerçekte O bunda, hesapları kısaltma
basit çıkarından çok daha fazlasını görüyordu.
Leibnitz sık sık infinitezimal niceliklerin 'kıyaslanamaz'
(‘incomparable’) olduklarını belirtmiştir. Fakat bu kelime tam olarak bu
anlamda anlaşıldığında, sadece tatmin edici olmaktan uzak kalmıyor aynı
zamanda oldukça üzücü bir açıklama yapmış olmasına neden oluyordu.
Çünkü bu, muhaliflerine yararlanabilecekleri bir fırsat sunuyordu. Burada
O yine kesinlikle gerçekten düşündüğü şeyi ifade etmemiştir. Bir
öncekinden daha ciddi bir örnek olarak şu aşırı 'uzlaşmacı' sözlerde, hatalı
görüşlerin 'adapte' edilmiş ifadelerle nasıl da hakikatin yerine konduğunu
görebiliriz:
Burada sonsuz, çok sıkı bir şekilde ele alınmamalıdır,
sadece optikte olduğu gibi güneşten gelen ışınların
sonsuz bir uzaklıktan geldiğini ve dolayısıyla paralel
kabul edilebileceğini söylememiz gibi ele alınmalıdır.
Sonsuzun veya sonsuz küçüğün birçok derecesi vardır:
yerküreyi sabit yıldızların uzaklığına kıyasla bir nokta
gibi düşünürken elimize aldığımız bir topu da yerin
yarıçapına oranla bir nokta gibi değerlendirebiliriz.
Böylece sabit yıldızların uzaklığı topun çapına göre
sonsuz kadar sonsuz olur. Sonsuzun veya sonsuz
küçüğün yerine, hatanın verilen herhangi bir değerden
daha küçük olması için, nicelikleri istediğimiz kadar
büyük ya da istediğimiz kadar küçük alabiliriz. İcad etme
sanatına daha doğrudan ve daha uygun olan bizim bu
38
metodumuz, Arşimed’in tarzından sadece söylemde
farklılık gösterir.45
Yerküre göklere kıyasla ya da bir kum tanesi yerküreye kıyasla
ne kadar küçük olursa olsun, bunların her şeye rağmen tespit edilmiş ve
sabit nicelikler olduğu ve eğer bunlardan birisi diğerine oranla pratikte
ihmal edilebiliyorsa bunun sadece basit bir yaklaşım olduğu Leibnitz'e
her defasında ihtar edilmiştir. O, cevaben sadece 'inceliklerden kaçınmak'
istediğini ve 'mantığının herkesce anlaşılabilir olmasını' istediğini
söylemiştir46 ki bu tamamen bizim yorumumuzu doğrular ve ayrıca
modern bilim adamlarının 'popüler hâle getirme' eğilimlerinin bir
tezahürüdür. En garip olanı ise ardından şunları yazabilmesidir: “Her ne
olursa olsun, benim gerçekten de çok küçük ama daima sabit ve belirli bir
niceliği kast ettiğimi düşündürecek en küçük bir şey yoktur.” Sonra ekler:
“Bununla birlikte, birkaç yıl önce Groningen'li Bernoulli'ye yazdığım gibi
sonsuzlar ve sonsuz küçükler, sanal kökler47 gibi hesaplarımıza zarar
vermeyen birer kurgu (fiction) olarak alınabilirler; faydalı ve gerçekte var
olan kurgular olarak.”48 Ayrıca, yaklaşık on yıl sonra aynı ifadelerle bunu
bir daha söylediğinden bu karşılaştırmanın ne açıdan hatalı olduğunu hiç
anlamadığı görülür.49 Fakat her hâlükârda, niyetinin infinitezimal
nicelikleri belirlenmiş nicelikler olarak sunmak olmadığını kesin bir
ifadeyle belirttiği için, bu karşılaştırmanın O'nun için şu anlama geldiği
sonucuna varmamız gerekiyor: bir kum tanesi, sonsuz küçük olmasa bile,
hissedilir bir dezavantajı olmaksızın, dünyaya göre öyleymiş gibi
45 'Memoire de M.G.G. Leibnitz touchant son sentiment sur le Calcul
differentiel', Journal de Trevoux, 1701.
46 Verignon'a mektup, 2 Şubat 1702.
47 Sanal kökler negatif sayıların kökleridir. Negatif sayı problemi ve
neden olduğu mantıksal zorlukları ileride konuşacağız.
48 Verignon'a mektup, 14 Nisan 1702.
49 Yukarıda atıf yapılan Memoire, Acta Eruditorum, Leipzig, 1712.
39
düşünülebilir ve bu yüzden sonsuz küçüğü 'sıkı' bir şekilde (rigorously)
anlamak gerekmez, hatta o eğer istenirse sırf bir kurgu olarak dahi
görülebilir. Oysa, nasıl alınırsa alınsın, Leibnitz'in kendi gözünde bile
kesinlikle yetersiz kalacak olan bu düşünce, infinitezimal hesaba basit bir
yaklaşımdan daha başka bir anlam vermek için hiç uygun değildir.
40
6. 'Sağlam İnşa Edilmiş Kurgular' Her defasında aynı kuvvetle iddia ediyor olmamasına ve nadiren
de olsa kategorik bir hüküm biçiminde söylemek istemiyor gibi
görünmesine rağmen Leibnitz'in en karakteristik düşüncesi, esasen
sonsuzun ve sonsuz küçük niceliklerin sadece bir kurgu olmalarıdır.
Fakat, bunların 'sağlam inşa edilmiş kurgular' olduğunu ekler, ve bununla
onların yalnızca hesaplama50 için, hatta 'gerçek doğruları bulmak' için
faydalı olduğunu kastetmez. Bazen bu faydanın üstünde ısrarla durmasına
rağmen sürekli bu kurguların 'gerçeğe dayandığını, gerçekte var
olduğunu' tekrar eder durur, öyle ki onlar fundamentum in re’dir (zihinde
değil kendinde şeylerdir –Çev.–). Oysa bu apaçık yalnız fayda sağlayan
bir değerden fazlasını ima eder, dolayısıyla her şeyden öte bu değerin
kendisi, bu kurguların gerçek kökeni tarafından açıklanabilmelidir. Her
hâlükârda Leibnitz, metodunun güvenilir olması için sonsuzun ve sonsuz
küçük niceliklerin – bu ifadelerin kesin anlamları ile değil, çünkü o
anlamlar herhangi bir gerçekliğe karşılık gelmez – sadece ne kadar
isteniyorsa o kadar büyük ya da küçük olabilen veya belirlenen herhangi
bir değerden daha küçük bir hata verebilen nicelikler şeklinde
düşünülmesinin yeterli olduğuna inanır. Yine de kendisinin belirttiği gibi,
bu yolla o hatanın sıfır olup olmayacağı, yani infinitezimal hesabın bu
şekilde tasarlanmasının ona mükemmel kesinlikte bir temel sağlayıp
sağlamayacağı incelenmelidir. Bu soruya biz ileride geri döneceğiz. Bu
son noktayla ilgili olarak, sonsuz ve sonsuz küçük niceliklerle ilgili
ifadeler, O'na göre sadece toleranter verae (oldukça doğru) ya da 'tolere
edilebilir' iddialar kategorisine girerler. Negatif niceliklerin 'sıfırdan daha
50 Carnot, işte bu pratik yararlılık düşüncesinde yeterli bir gerekçe
bulduğuna inandı. Leibnitz'in zamanından O'na kadar modern
bilimin 'pragmatist' eğiliminin çok daha belirgin bir hâle geldiği
meydandadır.
41
az' nicelikler olarak algılandığı veya geometri dilinin 'tasviri (figurative)
ve şifreli (cryptic) bir konuşma biçimi'51 ima ettiği birçok durumda olduğu
gibi, bu ifadeler de bir açıklama ile 'düzeltilmelidir'. 'Şifreli' kelimesi,
geometrinin sembolik ve derin anlamına bir gönderme gibi görülebilir
fakat Leibnitz'in aklında olan hiç de bu değildi. Belki de, birçok kez
olduğu gibi, O'nun aklında yeterince anlaşılmamış bir takım esoterik
kavramlar kalmıştı.
Leibnitz, infinitezimal niceliklerin 'sağlam inşa edilmiş kurgular'
olmasının şu şekilde anlaşılabileceğini belirtir: “sonsuza ve sonsuz
küçüğe, geometri dünyasında ve hatta tabiatta sanki gerçekten
mevcutlarmış gibi davranılabilir”.52 Hakikaten, O’nun için tabiatta var
olan her şey bir şekilde sonsuz düşüncesini ya da en azından öyle
adlandırılabileceğine inandığı şeyi içerir. Şöyle söyler: “bir takım
sonsuzluklar içeren transandantal (doğaüstü) analizin veya geometrinin
mükemmelliği, sahip olduğu tüm sonsuzluğu bize sunan tabiata
uygulandığında kuşkusuz çok daha önemli olacaktır”53. Fakat bu belki de
biz sadece onlar hakkında yeterli bir fikre sahip olmadığımız ve tabiat
sürekli tam bir açıklıkla kavrayamadığımız elementler içerdiği için
böyledir. Eğer öyle ise, örneğin şunun gibi bazı ifadeleri harfi harfine
almak uygun olmaz: “Bizim metodumuz, genel matematiğin sonsuz ile
ilgilenen bölümü olduğundan matematik fiziğe uygulanırken ona büyük
ihtiyaç duyulur, çünkü sonsuz-Yazarın karakteri, bir kural olarak tabiatın
işleyişine dahil olmaktadır”.54 Fakat bununla Leibnitz sadece, tabiî
şeylerin karmaşıklığının, açık algının sınırlarının ötesine geçtiğini
51 Yukarıda atıf yapılan Memoire, Acta Eruditorum, Leipzig, 1712.
52 Yukarıda atıf yapılan Verignon'a mektup, 2 Şubat 1702.
53 Marquis de l’Hospital’e mektup, 1694.
54 'Considerations sur la difference qu’il y a entre l’Analyse
ordinaire et le nouveau Calcul des transcendantes', Journal des
Sçavans, 1694.
42
söylemek istiyor olsa da, sonsuz ve sonsuz küçük nicelikler yine de kendi
fundamentum in re’lerine sahip olmak zorunda kalırlar. İşte bu dayanağı,
en azından O’nun tahayyül ettiği şekliyle, şeylerin tabiatında ve biraz
sonra sorgulayacağımız, kendisinin 'süreklilik yasası' dediği şeyde buldu.
O bu süreklilik yasasını, doğru ya da yanlış, kesin bir 'adalet kanunu'nun
özel bir durumu olarak değerlendirdi. Adalet kanunu nihayetinde düzen
(order) ve uyum (harmony) fikirleriyle ilgilidir. Bu adalet kanununun
uygulanabildiği
her
durumda,
örneğin
kombinasyonlar
ve
permutasyonlarda olduğu gibi, belli bir simetri gözlenmelidir.
Şimdi, eğer sonsuz ve sonsuz küçük nicelikler yalnızca bir kurgu
ise, ve hatta onlar gerçekten 'sağlam inşa edilmiş kurgular'sa, kendimize
şunu sormalıyız: toleranter verae şeklinde değerlendirilmelerine rağmen
böyle ifadeler kullanmak neden doğru değildir? Bu noktada, modern
bilimin ‘antlaşmacılık’ şeklinde adlandırılabileceğimiz özelliği daha
baştan sezilebilir; şu belirgin farkla ki modern bilim artık, başvurduğu bu
kurguların ‘sağlam inşa edilmiş’ olup olmadıkları, veya Leibnitz’in başka
bir ifadesine göre sano sensu (akla yatkın bir biçimde) yorumlanıp
yorumlanamayacakları, hatta herhangi bir anlamının olup olmadığı
konusunda hiçbir kaygı taşımamaktadır. Ayrıca bu mantığa göre, bu
hayali nicelikler olmadan da yapılabileceğine ve onların yerine birinin
istediği kadar küçültüp, büyütebileceği nicelikler konabileceğine ve
böylece onların belirsiz büyüklük ya da küçüklükte oldukları
söylenebileceğine göre, bunu en başında yapmak ve bu sayede
fundamentum in re’leri ne olursa olsun hem hesaplamada hem de
infinitezimal metotta sonuçta pratik bir kullanımı olmayan bu
kurgulardan daha başta kaçınmak şüphesiz çok daha iyi olurdu. ‘Belirsiz
bir biçimde büyük’ ve ‘belirsiz bir biçimde küçük’ ifadeleri ya da aynı
anlama gelen ama belki daha hassas olan ‘belirsiz bir biçimde artan’ ve
‘belirsiz bir biçimde azalan’ deyimleri yalnız kati olan tek ifade olma
avantajına sahip değillerdir, onlar ayrıca şunu da açıkça gösterirler: bu
43
deyimlerin uygulandığı nicelikler ancak değişken nicelikler olabilir,
saptanmış nicelikler olamazlar. Bir matematikçinin haklı olarak söylediği
gibi “sonsuz küçük, gerçekten tespit edilebilecek bir değere sahip çok
küçük bir nicelik değildir. Onun karakteri tamamıyla değişken olması ve
birisinin ona atamak istediği herhangi bir değerden daha küçük başka bir
değer alabilmesidir. Onu belirsiz bir biçimde küçük şeklinde
isimlendirmek çok daha uygun olacaktır.”55
Eğer bu son terimler kullanılmış olsaydı birçok zorluk ve tartışma
önlenmiş olurdu. Bunda şaşılacak bir şey yoktur, çünkü bu sadece bir
kelime meselesi değil, yanlış bir fikrin doğru olanla, kurgunun gerçekle
değiştirilmesi meselesidir. Bu terimler özellikle infinitezimal niceliklerin
sabit ve belirlenmiş nicelikler olarak algılanmasını önlemiş olurdu.
Çünkü yukarıda söylediğimiz gibi ‘belirsiz’ kelimesi daima ‘oluş’
(‘becoming’) fikrini, dolayısıyla değişim düşüncesini veya niceliklerle
ilgili bir şey olduğunda değişebilirlik düşüncesini taşır. Leibnitz bu
terimleri kullanma alışkanlığına sahip olsaydı, şüphesiz talihsiz bir
şekilde ve kolayca kum taneleri karşılaştırmasına çekilmekten kendini
alıkoyabilirdi. Dahası, infinite parva ad indefinite parve (sonsuz küçüğün
belirsiz küçüğe) indirgenmesi ad incomparabiliter parva (kıyaslanamaz
küçüğe) indirgenmesinden çok daha açık olur ve bu sayede doğruluktan
hiçbir şey kaybedilmeden hassasiyet elde edilmiş olurdu. İnfinitezimal
nicelikler elbette sıradan niceliklerle ‘kıyaslanamazlar’. Fakat bunu
55 Charles de Freycinet, De l’Analyse infinitesimale, s. 21-22. Yazar
ekler: ‘Fakat kullanımı yürürlükte olan sonsuz küçük ifadesinin
korunması gerektiğine inanıyoruz.’ Bu kesinlikle aşırı bir
çekingenliktir, çünkü öyle kullanılıyor olması dildeki
uygunsuzlukların ve hataların gerekçelendirilmesinde yeterli bir
neden olamaz. Ve eğer biri kendisini hiçbir zaman bu çeşit kötüye
kullanmaların üstüne çıkarma cüretini göstermezse, terimlere
mevcut kullanımlarında taşıdıklarından çok daha fazla bir
hassasiyet ve kesinlik kazandırmayı asla deneyemez bile.
44
değişik şekillerde anlamak mümkündür ve aslında sık sık kastedilen
anlamının dışında anlaşılmıştır. Leibnitz’in bir başka ifadesini kullanarak
onlara bir değer ‘atanamayan’ (‘unassignable’) demek daha doğru
olacaktır, çünkü bu terim tam olarak sadece herhangi birinin istediği kadar
küçük olabilen, yani verilen herhangi bir değerden daha küçük olabilen,
dolayısıyla ne kadar küçük olursa olsun birinin saptanmış bir değer
‘atayamayacağı’ nicelikler şeklinde anlaşılabilir, ve bu gerçek indefinite
parve (belirsiz küçüklük) algısıdır. Neyazık ki, Leibnitz’in düşüncesinde
‘kıyaslanamaz’ ile ‘atanamaz’ın hakikaten ve tamamen eşanlamlı olup
olmadığını bilmek mümkün değil. Fakat her hâlükârda en azından şu
kesin: gerçekten bir değer ‘atanamayan’ bir nicelik, ima ettiği belirsizce
azalma imkânı yüzünden verilmiş herhangi bir nicelikle ‘kıyaslanamaz’.
Bu fikir infinitezimal niceliklerin farklı seviyelerine genişletilebilir: ilişki
içinde olduğu niceliğe nispetle belirsizce azalan bir nicelik, ilişki içinde
olduğu o nicelikle kıyaslanamaz, yeter ki bu nicelik ötekine göre izafi bir
sabitliğe sahip olsun.
Prensiplerin derinliklerine inmeden herkesin üstünde kolayca
anlaşabileceği bir nokta varsa o da şudur: belirsiz küçüklük algısı, en
azından saf matematiksel bakış açısından infinitezimal analiz için
tamamen yeterlidir, ve ‘sonsuzcular’ bunu büyük bir zorluk olmaksızın
görürler.56 Bu bağlamda Carnot’ın verdiği şu tanımla yetinebiliriz:
‘Matematikteki sonsuz küçük nicelik nedir? Kıyaslandıkları nicelikleri
değişmeye zorlamaksızın birinin istediği kadar küçük hâle getirebileceği
56 Özellikle L. Couturat, De l’infini mathematique, s. 265’e bakınız,
Not: ‘Birisi infinitezimal hesabı mantıksal olarak sadece belirsiz
kavramı üzerine kurabilir ...’ Buradaki ‘mantıksal’ kelimesinin bir
çekince ima ettiği doğrudur, çünkü yazar için bu, oldukça ilginç bir
terminoloji olarak, ‘rasyonel’in karşıtıdır. Yine de bu kabul, akılda
tutacak kadar ilginçtir.
45
nicelikten başka bir şey değil.’57 Fakat infinitezimal niceliklerin gerçek
önemi için tüm konu bununla sınırlı değildir. İnfinitezimal niceliklerin
sadece bir kurgu olması, hesaplamayı pek az ilgilendirir, zira onlar
mantıksal bir zorlukla karşılaşılmadan belirsiz küçüklüklerle
değiştirilebilir. Ancak en başta ortaya koyduğumuz metafiziksel nedenler
yüzünden bizim, ister sonsuz büyük ister sonsuz küçük olsun,58 niceliksel
bir sonsuzu kabul etmemiz ya da aslında saptanmış ve göreceli herhangi
bir düzenin sonsuzluğunu kabul etmemiz mümkün değildir. Şu çok açıktır
ki bu mefhumlar sadece bir kurgu olabilirler, başka bir şey değil. Doğru
ya da yanlış, bu kurgular başlangıçta infinitezimal hesaba katılmışsa
bunun nedeni, ne kadar yanlış ifade etmiş olursa olsun, Leibnitz’in onları
her şeye rağmen bir şeylere karşılık getirme niyetidir. Biz burada sırf bir
hesaplama yöntemiyle değil de (bu bizim ilgimizi çekmemektedir)
prensiplerle ilgilendiğimiz için sırf mantık açısından değil özellikle
ontolojik açıdan bu kurguların tam olarak değerinin ne olduğunu
sormamız gerekiyor. Leibnitz’in inandığı gibi ‘sağlam inşa edilmiş’ olup
olmadıklarını, ve O’nun gibi bizim de söyleyebileceğimiz şekilde
toleranter verae olup olmadıklarını, en azından modo sano sensu
intelligantur (makul bir biçimde anlaşılabilir) kabul edilip
edilemeyeceklerini sormamız gerekiyor. Bu soruları cevaplayabilmek
için Leibnitz’in ‘süreklilik yasası’ anlayışını daha yakından incelememiz
gerekiyor, çünkü O sonsuz küçüğün fundamentum in re’sini burada
bulduğunu düşünüyordu.
57 Reflexions sur la Metaphysique du Calcul infinitesimal, s. 7, not;
bakınız aynı eser s. 20. Gerçekte içinde metafizik düzen fikriyle
ilgili bir şey bulunmadığından bu çalışmanın başlığını haklı
çıkarmak oldukça güçtür.
58 Pascal’ın aşırı meşhur olmuş ‘iki sonsuzluk’ anlayışı metafiziksel
açıdan absürttür, ve bu yine sadece artan ve azalan büyüklüklerin
iki zıt yönde alınan sonsuzluğunun belirsizlikle karıştırılmasının
bir sonucudur.
46
7. 'Sonsuzluğun Dereceleri' Sonsuzluk fikri, tek doğru ve uygun şekli olan metafizik
anlamıyla alınmadığında kaçınılmaz olarak karşılaşılan karışıklıkların
tümünü önceki sayfalarda henüz görmedik. Özellikle Leibnitz’in Jean
Bernoulli ile yaptığı, sonsuzun ve sonsuz küçük niceliklerin gerçekliği
hakkındaki uzun ama asla kesin bir sonuca ulaşamamış tartışmada bu
konuda birden fazla örnek bulunabilir. Aslında bu tartışma bir sonuca
ulaşılamazdı. Her iki tarafdaki sürekli kafa karışıklığı ve bu karışıklığı
doğuran prensip eksiklikleri yüzünden kesin bir sonuca ulaşmak mümkün
değildi. Ayrıca, bir sorudaki fikirlerin seviyesi ne olursa olsun,
nihayetinde problemi çözümsüz bırakan, daima bu prensiplerin
eksikliğidir. İnsan, diğerlerinin yanında şunu da öğrendiğinde şaşırır:
Leibnitz ‘sonsuz’ ile ‘bitmez’ kavramlarını birbirinden ayırmıştır, ve
açıkça çelişkili olsa da ‘biten bir sonsuz’ fikrini mutlak anlamda
reddetmemiştir ve kendi kendine ‘örneğin, her iki ucunda da biten ama
yine de sonsuz olan bir doğru parçasının mümkün olup olamayacağını’
soracak kadar ileri gitmiştir.59 Bu ihtimali kabul etmedeki isteksizliğinde
şüphe yoktur. Başka bir yerde şöyle der: “bana öyle geliyor ki sonsuz, titiz
bir biçimde düşünüldüğünde, kaynağını bitirilemez oluşundan almak
zorundadır, bu kaynak olmaksızın sonsuzu sonludan ayırmanın uygun bir
temelini göremiyorum.”60 Fakat biri bunu daha keskince söylese (O böyle
yapmadı) ve “sonsuzun kaynağı bitirilemezliktir” dese bile, yine de
bunlar mutlak anlamda özdeş olarak alınamazlar. Belli derecede
birbirlerinden ayrılırlar ve öyle olduğu sürece insan kendisini tuhaf ve
çelişkili fikirler kalabalığını onaylar şekilde bulur. Leibnitz’in, “şüphe
götürmez kanıtların zorlaması” olmadan başlangıçta bu fikirleri kabul
etmek istemediğini ifade ettiği doğrudur. Fakat onlara belli bir önem
59 Jean Bernoulli’ye mektup, 18 Kasım 1698.
60 Daha önce atıf yapılan, Varignon’a mektup, 2 Şubat 1702.
47
atfetmesi ve hatta onları saf imkânsızlıktan farklı bir şey olarak
düşünebilmesi bile zaten yeterince ciddi bir şeydir. Bu bağlamda öne
sürdüklerine bir örnek olarak, O’nun bir çeşit ‘biten ebediyet’ fikrine
baktığımızda ebediyet ile daimi süre (zaman) algılarının karıştırıldığını
görüyoruz ki bu karıştırma metafizik açıdan tamamen yersizdir. Şunu
gönülden kabul ediyoruz: içinde cismani hayatlarımızı geçirdiğimiz
zaman gerçekten belirsizdir ama bu onun ‘her iki ucunda da bitiyor
olmasıyla’ hiçbir şekilde uyuşmaz değildir. Geleneksel çevrimsel
(dairesel) anlayışla uyum içinde zamanın hem bir başlangıcı hem de bir
sonu vardır. Ayrıca Skolastiklerin aevum dedikleri gibi sürenin (zamanın)
başka modlarının olduğunu da kabul ediyoruz. Bunun belirsizliği, eğer
biri böyle ifade etmek isterse, önceki zamanın belirsizliğinden belirsiz bir
biçimde büyüktür. Fakat bütün mümkün genişlemelere rağmen tüm bu
modlar yine de sadece belirsizdirler. Çünkü bu daima varlığın şu ya da bu
durumuna uyan özel şartlar meselesidir ve bunların hepsi kesinlikle bir
çeşit süre olduğundan – bu birbirini izlemeyi gerektirir – hiçbiri ebediyet
ile tanımlanamaz veya benzeştirilemez. Bunlar ile ebediyet arasında,
modu ne olursa olsun, sonlunun gerçek Sonsuzla arasındaki bağlantıdan
daha fazla bir şey yoktur, zira izafi ebediyet algısının izafi sonsuzdan daha
fazla bir anlamı yoktur. Tüm bu düşüncelerde, biraz sonra daha açıkça
görüleceği üzere, sadece belirsizliğin çeşitli seviyelerine sahip oluruz.
Oysa Leibnitz, gerekli ve esas ayrımları yapmış olmayı istemesine
rağmen, her şeyden önce kendisini yanlış yola sapmaktan tek başına alı
koyacak olan prensibi ortaya koyamadığından, Bernoulli’nin görüşlerini
reddetme konusunda başarısız oldu. Gerçekten Leibnitz’in cevapları o
kadar muğlak ve çekingendi ki sonunda Bernoulli O’nu ‘âlemlerin
sonsuzluğu’ ve ‘sonsuzluğun farklı dereceleri’ konularında kendi sahip
olduğu düşüncelerin çok yakınlarına getirdi.
‘Sonsuzluğun dereceleri’ düşüncesi kısaca, bizim dünyamızdan
kıyaslanamaz derecede büyük ve kıyaslanamaz derecede küçük başka
48
dünyalar varsaymak demektir. Bu farklı dünyaların sakinleri, bizim
sonsuz dediklerimize kendi dünyalarında ne karşılık geliyorsa onlara
sonsuz diyeceklerdir, çünkü bu farklı dünyaların birbirine denk düşen
parçaları aynı orana sahip olurlar. Amaç için bir şey ifade etmeyen bu
düşünce biçiminin absürtlüğü sonsuz fikrini ortaya koymadan a priori
(baştan) anlaşılmaz, zira bu dünyalar ne kadar büyük olurlarsa olsunlar
her biri sonuçta yine de sınırlı olacaktır. Öyleyse nasıl sonsuz olarak
adlandırılabilirler? Gerçek şu ki bu dünyaların hiçbiri aslında sonsuz
değildir. Eğer mesele sadece farklı dünyaların tahayyül edilmesiyse bu
bizi yeniden birden çok sonsuzluk çelişkisine götürür. Yok eğer mesele bu
dünyaların bazılarının ya da çoğunun bizim dünyamızı sonsuz görmeleri
ise, bu iddianın da kabul edilebilir hiçbir yanı yoktur. Ayrıca, insan onların
gerçekten farklı dünyalar mı yoksa sadece aynı dünyanın az çok
genişletilmiş hâlleri mi olduğunu merak edebilir. Çünkü hipotez gereği
hepsi, sadece genişletilmiş ya da küçültülmüş bir ölçekte ama yine de aynı
varlık şartlarına – özellikle mekansal şartlara – tabidirler. Doğru bir
biçimde tamamen farklı bir anlamda başka dünyaların sonsuzluğundan
değil de belirsizliğinden bahsedilebilir. Çünkü elverişli oldukları tüm
genişlemelerle birlikte mekan ve zaman gibi bizim dünyamıza has varlık
durumlarından farklı, ama onlar kadar mümkün olan belirsiz çoklukta
başka varlık durumları vardır. Dolayısıyla, bir dünya ya da kısaca bir
varlık durumu, konusu olduğu şartların toplamıyla tanımlanır. Fakat
daima şartlı olacağı gerçeği yüzünden, yani belirlenmiş ve sınırlanmış
olduğundan ve bu yüzden tüm imkânları barındıramayacağından, asla
sonsuz olarak değerlendirilemez, ancak belirsiz olabilir.61
Temelde, Bernoulli’nin
anladığı şekliyle, birbirinden
kıyaslanamaz derecede büyük veya kıyaslanamaz derecede küçük
‘dünyalar’ düşüncesi, Leibnitz’in şu karşılaştırmaları yaptığı sırada
61 Bu konu için The Multiple States of the Being’e bakınız.
49
başvurduğu düşünceden çok farklı değildir: “yere kıyasla gök kubbe
(firmament), kum tanesine kıyasla yer ve mercekten geçen bir manyetik
parçacığa kıyasla bir kum tanesi”. Leibnitz sadece burada, gradus
infinitatis’den (sonsuzluğun dereceleri) sıkı bir şekilde bahsetmez.
Aksine hiçbir mantıksal itirazın yapılamayacağı ‘kıyaslanamaz’
düşüncesiyle tatmin olarak ‘birinin sonsuzu kesin bir biçimde alması
gerekmediğini’ göstermeye çalışır. O’nun karşılaştırmalarının kusurlu
tarafı tamamen başka bir düzene aittir ve daha önce söylediğimiz gibi bu
kusur hesaplamalarda yer aldıkları şekliyle infinitezimal niceliklerin tam
olmayan, hatta tamamen yanlış olan tasarımlarından kaynaklanır. İleride
bu yanlış anlayışın yerine doğrusunu, gerek artan gerekse azalan yönde
‘farklı belirsizlik dereceleri’ kavramını koyacak fırsat bulacağımızdan
burada bu konu üzerinde daha fazla durmayacağız.
Kısacası, Bernoulli ile Leibnitz arasındaki fark şudur: birincisi
için sorun tam olarak, her ne kadar infinitezimal nicelikleri muhtemel bir
varsayım biçiminde almış olsa da, ‘sonsuzluğun dereceleri’ sorunudur,
ikincisi ise kendisini, onların muhtemel ve hatta mümkün olup
olmadıklarından
emin
olmadan,
‘sonsuzluğun
derecelerini’
‘kıyaslanamazlığın dereceleriyle’ değiştirmekle sınırlı tutmuştur. Bu
farkla birlikte, kesinlikle son derece önemli olan bir şey daha vardır; her
ikisi de farklı ölçeklerde olan ama birbirleriyle benzeşen dünyalar dizisi
görüşünü paylaşırlar. Bu düşüncenin, o dönemde mikroskop ile yapılan
keşiflerle ve bu keşiflerden kaynaklanan ‘embriyoların sandıklanması’
(canlıların kendi minyatürlerini kendi spermlerinde taşıyor oldukları –
Çev.–) teorisi gibi bazı görüşlerle doğal bir bağı yok değildir, her ne kadar
sonraki gözlemler bu teorileri desteklemese de. Şimdi biliyoruz ki canlı
varlığın her bir parçasının hakikaten ve fiziksel olarak önceden
embriyoda olduğu doğru değildir ve bir hücrenin yapısı, parçası olduğu
vücudun tamamına hiç benzemez. Bernoulli’nin düşüncesinin asıl
kaynağının bu olduğuna dair bir şüphe yok gibidir. Gerçekten de bu
50
konuda kayda değer diğer şeylerin yanında O, vücudun parçalarının
bütünün içinde şu şekilde bulunduğunu söyler: “Harvey ve diğerleriyle
aynı fikirde fakat Leeuwenhoeck’a katılmayarak diyoruz ki bir hayvanda
sayısız yumurtacık vardır. Her bir yumurtacığın içinde bir ya da birkaç
mikroskobik hayvancık vardır. Her mikroskobik hayvancığın içerisinde
yine sayısız yumurtacık vardır ve bu sonsuza kadar böyle devam eder
gider”.62 Leibnitz’in hareket noktası muhtemelen tamamen farklıydı.
Görebildiğimiz tüm yıldızların, kıyaslanamaz bir biçimde büyük olan bir
varlığın parçaları olduğu fikri, Kabbalistik ‘Büyük Adam’ (‘Great Man’)
kavramını hatırlatan bir fikirdir, ancak geleneksel sembolizmin gerçek
analojik değerinden habersiz olarak özellikle maddileştirilmiş ve
‘mekansallaştırılmış’ bir fikir. Benzer şekilde ‘can’ (‘anima’) fikri, yani
öldükten sonra minyatür bir biçimde bedensel olarak yaşamaya devam
eden şey fikri, belli ki Yahudilere ait geleneksel luz veya ‘ölümsüzlük
çekirdeği‘ kavramından mülhemdir.63 Leibnitz, “Canları öldükten sonra
böyle dünyalara geçmekten hiçbir şey alı koyamaz. Gerçekten ölümün
canın daralmasından başka bir şey olmadığını düşünüyorum, tıpkı neslin
canın evriminden başka bir şey olmaması gibi”64 demiş ve bu luz
kavramını, bizim dünyamızdan kıyaslanamaz biçimde küçük dünyalarla
ilişkilendirerek çarpıtmıştır. Buradaki evrim kelimesi etimolojik anlamı
olan gelişme biçimde kullanılmıştır. Bütün bunlar aslında, geleneksel
mefhumların profan bilim bakışıyla bağdaştırılmak istendiğinde, ki bu
ancak öncekinin zararına olabilir, ortaya çıkan tehlikelerin birer örneğidir.
Bu mefhumlar açık bir biçimde mikroskobik gözlemlerle gelen
teorilerden bağımsızdır ve Leibnitz bunları kıyaslayarak ve karıştırarak,
daha sonra böyle haksız karşılaştırmalar yapmaktan mutluluk duyan
okkultistler gibi davranmıştır. Ayrıca, farklı düzenlerin ‘kıyaslanamaz’ bir
62 23 Temmuz 1698 tarihli mektup.
63 The King of the World, bölüm 7’ye bakınız.
64 18 Kasım 1968 tarihinde Bernoulli’ye yazılmış daha önce
bahsedilen mektup.
51
biçimde üst üste konması O’na, kendisinin ‘en mükemmel dünya’
düşüncesiyle uyum içinde gibi göründü. Bu düşünce kendi tanımından
alıntılarsak, “mümkün olduğu ölçüde var veya gerçek olan” o dünyayı
araştırma için bir imkân sağlıyordu. Başka bir yerde daha önce işaret
ettiğimiz gibi,65 bu ‘en mükemmel dünya’ fikri bile başka bir geleneksel
doktrinin, Pisagorcuların sembolik geometrisinden ödünç alınan
doktrinin yanlış bir uygulamasından gelmektedir. Bu geometriye göre,
eşit uzunluktaki tüm çizgiler arasında en büyük alanı çevreleyen hat bir
çemberin çevresidir, ve benzer şekilde eşit yüzey alanına sahip tüm
cisimler arasında en geniş hacime sahip olan cisim bir küredir. İşte bunlar,
çember ve kürenin en mükemmel şekiller olarak kabul edilmesinin
nedenlerinden biridir. Ancak, her ne kadar burada bir en büyük varsa da
bir en küçük yoktur, yani diğer hepsinden daha küçük alan veya daha
küçük hacim kaplayan bir şekil yoktur. İşte bu Leibnitz’i şu düşünceye
sevk etmiştir: ‘dünyaların en mükemmeli’ olsa bile ‘dünyaların en
kötüsü’, yani mümkün herhangi bir dünyadan daha az varlık içeren bir
dünya yoktur. Ayrıca, ‘kıyaslanamazlar’ mefhumu gibi ‘en mükemmel
dünya’ mefhumu da ‘bitkilerle dolu bahçeyi’ ve ‘balıklarla dolu gölü’
içeren, iyi bilinen karşılaştırmalarla ilgilidir. Bu karşılaştırmalarda
‘bitkinin her bir dalı, hayvanın her bir parçası, suyun her bir damlası yine
aynen öyle bir bahçe veya öyle bir göldür’;66 bu doğal olarak bizi başka
ama ilgili bir soruya götürür, ‘maddenin sonsuz kez bölünmesi’ sorusuna.
65 The Symbolism of the Cross (Yatay ve Dikey Yönlerin Sembolizmi
ismiyle Türkçeye çevrilmiştir –Çev.–), bölüm 6. ‘En mükemmel
dünya’ düşüncesinin daha ötede dayandığı ‘mümkünler’ ve
‘birlikte mümkünler’ arasındaki fark için The Multiple States of the
Being, bölüm 2’ye bakınız.
66 Monadologie, 67; daha önce bahsi geçen eser., 74.
52
8. 'Sonsuz Bölünme' yahut Belirsiz Bölünürlük Leibnitz için sadece madde bölünebilir değildir aynı zamanda
maddenin tüm parçaları da “hakikaten sonsuza kadar bölünmüştür, ... her
parça yeni parçalara, her biri kendine ait bazı işlemlere sahip olarak”;67
ve son olarak açıkladığımız kavramı teorik olarak desteklemek için bu
nokta üzerinde durur: “Hakiki bölümün sonucunda şu ortaya çıkar: ne
kadar küçük olursa olsun maddenin her bir parçasında sayısız
yaratıklardan oluşan bir dünya var gibidir.”68 Benzer şekilde Bernoulli
maddenin bu hakiki bölümünü in partes numero infinitas (sonsuz
parçacıklara bölüm) şeklinde düşünür. Fakat O buradan Leibnitz’in kabul
etmediği sonuçlar çıkarır: “Eğer sonlu bir cisim” der “sonsuz sayıda
parçaya sahipse, her zaman inandığım gibi, bu parçaların en küçüğü
bütüne göre tayini mümkün olmayan veya sonsuz derecede küçük bir
orana sahip olmak zorundadır”69; Leibnitz buna şöyle cevap verir: “Biri
maddenin hakikaten bölünmemiş herhangi bir parçasının olmadığını
kabul edebilir, ancak insan bölünemez elemanlara ulaşamaz ya da diğer
tüm parçalardan daha küçük parçalara veya sonsuz küçük parçalara
ulaşamaz. Sadece sıradan niceliklere kıyasla daha küçük parçalara
ulaşabilir. Tıpkı sıradan niceliklerden daha büyük niceliklere ulaşılan
çoğalmada olduğu gibi.”70 Dolayısıyla Leibnitz’in itiraz ettiği bu minimae
portiones (en küçük parçalar) veya ‘son elemanlar’ın varlığıdır. Aksine,
Bernoulli için hakiki bölünebilirliğin, tartışılan elemanların hepsinin aynı
anda var olmalarını gerektirdiği açıktır, tıpkı ‘sonsuz’ bir dizi verildiğinde
diziyi oluşturan terimlerin tamamının aynı anda verilmesi gerektiği gibi.
67 Monadologie, 65.
68 Jean Bernoulli’ye mektup, 12-22 Temmuz 1698.
69 23 Temmuz 1698 tarihli, daha önce sözü edilen mektup.
70 29 Temmuz 1698 tarihli mektup.
53
Bu bir terminus infinitesimus’un (infinitezimal limit) varlığını ima eder.
Oysa Leibnitz için böyle bir limitin varlığı ‘sonsuz sayı’ çelişkisi kadar
tutarsızdır, ve en küçük sayı veya fractio omnium infima (en küçük parça)
mefhumu en büyük sayı mefhumu kadar absürttür. O’nun bir dizide
‘sonsuz’ olarak düşündüğü şey, son bir terime ulaşmanın imkânsızlığı ile
karakterize edilir, ve maddenin bölünmesi tamamlansa ve bir ‘son
eleman’ ile bitse, sonsuz kez bölünememiş olur. Bu sadece Bernoulli’nin
kabul etmek zorunda kaldığı gibi son elemanlara ulaşamama meselesi
değildir. Aslında tabiatta böyle elemanların hiç var olmadığı meselesidir.
Bölünemez cismani (corporeal) elemanlar veya kelimenin uygun
anlamıyla ‘atomlar’ yoktur, sayı düzeninde kendinden küçük oranlar
üretemeyecek bölünemez oranların olmaması gibi ya da geometride
kendinden küçük elemanlara bölünemeyecek doğrusal elemanların
olmaması gibi.
Bunların tümünde Leibnitz ‘sonsuz’ kelimesini tam olarak
‘sonsuz çokluk’tan bahsederken kullandığı anlamda kullanmaktadır.
O’nun için, tam sayılar dizisi de dahil olmak üzere herhangi bir dizinin
sonsuz olması o dizinin bir terminus infinitemus’a veya ‘sonsuz sayı’ya
gelmesi demek değildir, aksine bir son teriminin olmaması demektir.
Çünkü bu dizinin terimleri plus quam numero designari possint’dir
(numaralandırılabilecek olandan çoktur), yani bu terimler tüm sayıları
aşan bir çokluk oluştururlar. Benzer şekilde, biri madde sonsuz kez
bölünebilir dediğinde bu onun ne kadar küçük olursa olsun herhangi bir
parçasının daima böyle bir çokluğu içermesindendir. Başka bir değişle,
maddenin partes minimae’si (en küçük parçası) veya basit elemanları
yoktur. O esasen bir bileşikdir (composite): “Bir araya toplanma ile
oluşmayan, basit cevherlerin (substances) gerçekten bölünemez oldukları
doğrudur, fakat bunlar maddi değillerdir ve sadece eylemin
54
prensibidirler”.71 Sonsuz diye adlandırılan fikir, sayısı belirlenemez
çokluk anlamında – ki bu Leibnitz’in en çok kullandığı anlamdır –
maddeye, geometrik uzama ve genel olarak kendi oluşumuyla ilişkisi
bakımından sürekliye, uygulanabilir. Ayrıca, bu anlam sadece infinitum
continuum’a (sürekli sonsuz) has değildir. Tüm sayıların çokluğu ve
‘sonsuz dizi’ örneklerinde gördüğümüz gibi infinitum discretum’a (ayrık
sonsuz) da uzanır. Çokluk ‘bitip tükenmez’ (‘inexhaustible’) oldukça
Leibnitz ona sonsuz dedi. Bu şu anlama geliyordu: “biri, bir büyüklüğü
her zaman ne kadar istiyorsa o kadar küçük hâle getirebilir” ve “örneğin,
"
"
"
"
"
"
$
%
&
"'
+ + + +
+
"
($
+
"
'%
+ ⋯ serisi payları 1, paydaları 2 nin
geometrik katları şeklinde artan kesirlerden oluşan sonsuz bir seridir. Bu
seride sadece sıradan sayılar kullanılmıştır, yani herhangi bir sonsuz
küçük kesir ya da paydası sonsuz olan bir kesir kullanılmamıştır ve serinin
toplamının 2 olduğu doğrudur.”72 Dahası yukarıda söylenenler,
Leibnitz’in kendi anladığı şekliyle sonsuzun bir bütün olmadığını iddia
ederken nasıl olup da bu fikri yine de sürekliye uygulayabildiğini
anlamamızı sağlar. Verilen herhangi bir cisim gibi sürekli bir küme
aslında bir bütün oluşturur, hatta yukarıda dediğimiz gibi mantıksal olarak
parçalarından önce gelen ve onlardan bağımsız olan gerçek bir bütünü
oluşturur. Fakat o bu hâliyle daima ve açıkça sonludur. Dolayısıyla
Leibnitz’in sonsuz olarak adlandırabildiği, onun bu bütün yönü değil
bölünebileceği parçaları yönüdür ve sadece bu parçaların çokluğu etkin
bir biçimde tespit edilebilir herhangi bir sayıyı aştığı sürece böyledir.
Buna analitik sonsuzluk kavramı diyebiliriz, çünkü gerçekte buradaki
çokluk, biraz sonra açıklayacağımız gibi, sadece analitik olarak bitip
tüketilemez.
Şimdi ‘sonsuz bölünme’ düşüncesinin değerini sorgulayacağımız
71 Varignon’a mektup, 20 Haziran 1702.
72 Daha önce atıf yapılan, Varignon’a mektup, 2 Şubat 1702.
55
için şunu itiraf etmek istiyoruz: ifade ediliş biçimi eleştirilebilir olmasına
rağmen, ‘sonsuz çokluk’ gibi bu fikir de hakikatin belli bir kısmına
karşılık gelir. İlk olarak, buraya kadar yaptığımız açıklamaların tümüyle
uyum içinde, bunun yine bir sonsuz sayıda bölünme meselesi değil
belirsiz sayıda bölünme meselesi olduğunu söylemeliyiz. Öte yandan bu
düşüncenin genel olarak maddeye değil, zira bunun hiçbir anlamı olmaz,
cisimlere veya bu mefhumun aşırı muğlaklığı ve ortaya çıkardığı
ikircikliğe rağmen illa ‘madde’den söz etmek isteniyorsa cismani
maddeye uygulanması gerekir.73 Aslında, bölünebilirliğe uygun olan
uzamdır, hangi anlamda anlaşılırsa anlaşılsın madde değil ve bu ikisi
ancak Kartezyen görüş benimsendiğinde karıştırılabilir. Kartezyen görüş
cisimlerin tabiatının temelde ve sadece uzamdan meydana geldiğini
söyler. Leibnitz bu düşünceyi kabul etmemiştir. Eğer tüm cisimler zorunlu
olarak bölünebiliyorlarsa bunun nedeni uzama sahip olmalarıdır, maddi
olmaları değil. Şimdi yeniden hatırlayalım: uzam, tespit edilmiş bir şey
olduğundan sonsuz olamaz. Bu yüzden açıktır ki kendinden daha fazla bir
sonsuzluğu ima edemez. Fakat bölünebilirlik uzamın doğasında var olan
bir nitelik olduğundan, onun sınırı ancak bu tabiatın kendinden gelebilir.
Uzam oldukça bölünebilirlik de hep olacaktır ve dolayısıyla biri onun
bölünebilirliğinin tamamen belirsiz bir biçimde olduğunu düşünecektir.
Dahası bu belirsizlik uzamın belirsizliğine bağlıdır. Sonuç olarak, bu
şekilde var olan uzamlar bölünemez elemanlardan oluşamazlar, zira bu
elemanların gerçekten bölünemez olabilmeleri için uzamlarının olmaması
gerekir ve uzamları olmayan elemanların toplamı, sıfırların toplamı ne
kadar bir sayı oluşturabilirse o kadar bir uzam oluşturur. İşte bu, başka bir
yerde açıkladığımız gibi74 neden noktaların, doğruların elemanı ya da
parçası olmadığının sebebidir. Gerçek doğrusal elemanlar her zaman
73 Bu konuda The Reign of Quantity and the Signs of the Times’a
bakınız.
74 The Symbolism of the Cross, bölüm 16.
56
noktalar arasındaki uzunluklardır. Noktalar uzunlukların sadece sınırıdır.
Ayrıca, Leibnitz’in kendisi de şeyleri bu şekilde tasavvur etmiştir ve O’na
göre bu, kendi infinitezimal hesabı ile Cavalieri’nin ‘bölünemezler
metodu’ arasındaki temel farkı oluşturur. Yani O, bir doğrunun
noktalardan, bir yüzeyin doğrulardan, bir hacmin de yüzeylerden
meydana geldiğini düşünmez. Bu noktalar, doğrular ve yüzeyler sadece
limitler veya sınırlardır, oluşturan elemanlar değil. Gerçekten de herhangi
bir nicelikle çarpılan bir nokta, bir uzunluk vermez. Çünkü titiz bir şekilde
söylersek noktalar uzunluğa göre bir hiçtir. Bir büyüklüğün gerçek
elemanı her zaman büyüklükle aynı tabiata sahip olmak zorundadır,
ondan kıyaslanamaz bir şekilde küçük olsa bile. Bu durum,
‘bölünemezler’ düşüncesine hiç yer bırakmaz. Ayrıca bu, infinitezimal
hesabın türdeşlik kuralını görmemizi sağlar. Bu kurala göre çeşitli
düzenlerin sıradan nicelikleriyle infinitezimal nicelikleri, her ne kadar
kendi aralarında kıyaslanamaz olsalar da, aynı cins büyüklükler olmalıdır.
Bu bakış açısından şu da söylenebilir: aritmetik toplamada olduğu
gibi bütünün yeniden kendi parçalarından inşa edilebileceği düşünüldüğü
sürece ne olursa olsun bir parça her zaman bütünün doğasıyla türdeşliği
ve uyumu korumak zorundadır. Dahası bu, gerçekte hiçbir basit şeyin
olmadığı anlamına gelmez, çünkü bileşikler, kendi elemanlarından
başlayarak bundan tamamen farklı bir biçimde oluşturulabilirler. Ancak
doğrusunu söylemek gerekirse bu elemanlar artık tam anlamıyla bir
‘parça’ değillerdir ve Leibnitz’in farkettiği gibi onlar hiçbir şekilde
cismani düzen içinde olamazlar. Aslında kesin olan şudur: biri uzam özel
şartından ayrılmadan basit, yani bölünemez elemanlara ulaşamaz. Uzama
son vermeden şeyler bölünemez elemanlara indirgenemezler. Bu durum
derhâl şu sonucu doğurur: bölünemez cismani eleman diye bir şey yoktur,
zira bu mefhum bir çelişki ima eder. Gerçekten, bu elemanların uzamsız
olması gerekir ve bu yüzden cismani değillerdir, çünkü cisimlerin
tabiatlarının tamamı bu olmasa dahi ‘cismani’ kelimesi tanım gereği
57
uzamı icap ettirir. Dolayısıyla, diğer yönlerden koymak zorunda
olduğumuz tüm çekincelere rağmen Leibnitz, en azından atomculuğa
karşı aldığı pozisyon açısından tamamen haklıdır.
Fakat şu ana kadar sadece bölünebilirlik hakkında konuştuk, yani
bölünme imkânı hakkında. Daha ileri giderek Leibnitz gibi ‘hakiki
bölünme’yi kabul etmeli miyiz? Bu düşünce de çelişkiden muaf değildir,
zira tamamen gerçekleşmiş bir belirsizliği varsaymaktadır ve bu varsayım
belirsizliğin doğasıyla çelişir. Daha önce söylediğimiz gibi belirsizlik
sürekli bir gelişim imkânıdır. Bu yüzden esasında bitmemiş bir şeyi ima
eder, tamamen gerçekleşmiş bir şeyi değil. Üstelik, gerçekte böyle bir
varsayımda bulunmak için bir neden yoktur, çünkü sürekli olan bize bir
küme olarak sunulduğunda bölünebileceği parçalar olarak değil bir bütün
olarak verilmiştir. Biz, eğer yeterince devam edersek, bu bütünü verilen
herhangi bir büyüklükten daha küçük parçalara kadar bölebileceğimizi
düşünürüz. Aslında sonuçta parçaların farkında olan, bölme işlemini icra
ettiğimiz oranda bizleriz. Dolayısıyla, ‘hakiki bölünme’ varsayımından
bizi muaf tutan şey, bir bütünü tasavvur etmenin farklı yolları konusunda
daha önce ortaya koyduğumuz ayrımdır. Sürekli bir küme, kendilerine
bölünebileceği parçaların bir sonucu değildir, aksine onlardan
bağımsızdır. Dolayısıyla, böyle bir şeyin bize bir bütün olarak verilmiş
olması gerçeği hiçbir şekilde onun parçalarının hakiki varlığını
gerektirmez.
Benzer şekilde, başka bir bakış açısından ve sürekli olmayan
nicelikler düşüncesine geçerek söyleyebiliriz ki belirsiz bir sayı dizisi
verildiğinde bu hiçbir şekilde o dizinin tüm terimlerinin ayrı ayrı verildiği
anlamına gelmez. Dizi belirsiz olduğu müddetçe bu tamamen
imkânsızdır. Gerçekte, böyle bir diziyi vermek, sadece dizide belli
herhangi bir pozisyonu işgal eden terimi hesaplamaya yarayan kuralı
58
vermek demektir.75 Eğer Leibnitz, Bernoulli’ye bu cevabı vermiş olsaydı,
terminus infinitesimus’un varlığı hakkındaki tartışmaları hemen bir
sonuca ulaşırdı. Ancak, niceliğin sürekli ve sürekli olmayan modları
arasında birbirlerini etkileyen karşılıklı ilişkiyi tamamen reddetmedikçe,
mantıksal bir yol gösterme olmaksızın kendi ‘hakiki bölünme’ fikrini
terketmesi mümkün değildi.
Sürekli nicelik söz konusu olduğunda, Leibnitz’in anladığı
biçimde bir sonsuz fikrinin kökenlerini biz tam olarak süreklinin
parçalarının ‘ayırt edilemezliği’nde görüyoruz, çünkü daha önce
söylediğimiz gibi bu düşünce daima belli bir kafa karışıklığı taşıyor. Oysa
bu ‘ayırt edilemezlik’, gerçekleşmiş bir bölünmeyi varsaymaktan uzaktır.
Hatta aksine az önce not ettiğimiz tamamen belirleyici nedenlerden ayrı
olarak onu dışlama eğilimindedir. Bu yüzden, Leibnitz’in teorisi
atomculuğa karşı olması bakımından doğru olsa bile hakikate tam olarak
denk gelebilmesi için diğer yönlerden düzeltilmelidir. ‘Maddenin sonsuz
bölümü’ ‘uzamın belirsiz bölünebilirliği’ ile değiştirilmelidir. Şimdiye
kadar ortaya koyduğumuz düşüncelerin önderlik ettiği sonucun en kısa ve
75 Bakınız L. Couturat, De l’infini mathematique, s. 467: ‘Diğer bütün
sonsuz diziler ve serilerde olduğu gibi doğal sayılar dizisi de
tamamen kendi oluşum yasası tarafından verilmiştir. Genel olarak,
bunları tamamen tanımlamak için bir yenileme formülü yeterlidir,
öyle ki onların limiti ya da toplamı (varsa) bu sayede tam olarak
tespit edilebilir... Doğal sayıların bu oluşum yasası sayesinde her
bir tam sayı için bir fikrimiz vardır ve bu anlamda onlar tümüyle
bu yasa tarafından verilmişlerdir.’ Gerçekten de biri, dizinin n’inci
terimini ifade eden genel formülün fiilen ve açıkça olmasa bile
potansiyel ve örtülü olarak dizinin tüm terimlerini içerdiğini
söyleyebilir, çünkü terimlerden herhangi biri, o terimin dizideki
pozisyonuna karşılık gelen n değerinin formülde yerine
konmasıyla üretilebilir. Fakat Couturat’ın düşüncesinin aksine
Leibnitz, ‘doğal sayılar dizisinin hakiki sonsuzluğunu korurken’
kesinlikle bunu kastetmemiştir.
59
en kesin ifadesi işte budur.
60
9. Belirsizce Artan ve Belirsizce Azalan Sürekliyle ilgili soruları incelemeye devam etmeden önce
yukarıda fractio omnium infima’nın var olmadığıyla ilgili söze geri
dönelim. Bu bizim, belirsizce artan ve belirsizce azalan nicelikler
arasındaki belli bazı ilişkilerin veya simetrinin sayısal bir biçimde nasıl
sunulabileceğini görmemizi sağlar. Sürekli olmayan nicelikler alanında
söz konusu olan ve düşünülmesi gereken tam sayılar dizisi olduğundan
bu sayılar, birden başlayarak belirsizce artan sayılar biçiminde
düşünülmelidir ve o birim esasen bölünemez olduğundan belirsizce
azalan şeklinde bir mesele olmamalıdır. Sayılar azalan yönde
düşünüldüğünde, kendimizi mecburen birde durmuş olarak buluruz, öyle
ki belirsizin tam sayılarla temsili tek yönle, belirsizce artış yönüyle sınırlı
kalır. Öte yandan, sürekli bir niceliğin belirsizce artması gibi belirsizce
azalması da söz konusudur. Bu imkânı ifade etmek için kesirli sayılar
düşüncesi ortaya konduğunda aynı şey sürekli olmayan nicelikler için de
geçerli olur. Gerçekten insan, belirsiz bir biçimde azalan bir kesirler dizisi
tasavvur edebilir. Yani, bir kesir ne kadar küçük olursa olsun daha küçüğü
her zaman oluşturulabilir ve bu azalma, tam sayılardaki artışın bir
numerus maximus’a (en büyük sayı) ulaşamaması gibi bir fractio
minima’ya (en küçük kesir) ulaşamaz.
Belirsizce artan ile belirsizce azalan arasındaki ilişkiyi sayısal bir
biçimde göstermek istersek tam sayılar dizisi ile bunların tersleri dizisini
düşünmek yeterli olacaktır. İki sayının çarpımı bire eşit olduğunda bu iki
sayı birbirinin tersidir denir. Bu yüzden n sayısının tersi 1/n ile gösterilir.
Tam sayılar dizisi birden başlayarak belirsizce artarken onların
terslerinden oluşan dizi de aynı birden başlayarak belirsizce azalır. Birin
tersi yine bir, yani kendisidir. Bu yüzden o, her iki dizinin de ortak
başlangıç noktasıdır. Bu dizilerin birindeki herhangi bir sayıya diğer
61
dizide tersi olan sayı karşılık gelir, öyle ki bu iki dizi ters yönlerde olsalar
da eşit şekilde ve tamamen aynı biçimde belirsizdirler. Bir sayı ne kadar
büyükse tersi de o kadar küçüktür, çünkü çarpımları daima bir sabittir. n
sayısı ne kadar büyük olursa olsun, tam sayıların belirsiz dizisini
oluşturma yasası gereği n+1 sayısı daha büyük olacaktır ve benzer şekilde
1/n sayısı ne kadar küçük olursa olsun 1/(n+1) sayısı daha küçük
olacaktır. Bu açıkça ‘tüm sayıların en küçüğü’ diye bir sayı olamayacağını
ispat eder. Bu mefhum, ‘tüm sayıların en büyüğü’ mefhumundan daha az
çelişkili değildir. Çünkü, eğer artış yönünde belli bir sayıda durmak
mümkün değilse azalış yönünde de belli bir sayıda durmak mümkün
değildir. Ayrıca, sayısal süreksizlikte bulunan bu karşılıklı ilişki her
şeyden önce süreksiz olan sayının sürekli niceliklere uygulanmasının bir
sonucu olarak ortaya çıkar. Daha önce kesirli sayılarla ilgili olarak
söylediğimiz gibi sürekli niceliklerin kendi içindeki belirsizce artma ve
belirsizce azalma ilişkisini bu sayılar ancak sayı olmanın şartları içinde
temsil edebilirler. Dolayısıyla, ne zaman sürekli niceliklerin, birinin
istediği kadar büyük ya da küçük olabileceği düşünülse, yani tespit
edilmiş herhangi bir nicelikten daha büyük veya daha küçük olabileceği
düşünülse, daima bir simetri, tabiri caizse bu iki ters değişkenle temsil
edilen bir paralellik gözlenir. Bu konuya dikkat etmek daha sonra,
infinitezimal niceliklerin farklı seviyelerini daha iyi anlamamızda bize
yardımcı olacaktır.
Şunu belirtmeliyiz: 1/n sembolü kesirli sayılar fikrini
çağrıştırmasına ve inkar edilemez biçimde ondan türetilmiş olmasına
rağmen, burada tam sayıların tersi bu şekilde tanımlanmak zorunda
değildir. Bu tanım, tamamen aritmetik bakış açısından, yani kesirli
sayıların sıradan anlamıyla ‘bir birimin parçaları’ olarak
düşünülmesinden kaynaklanır. Aslında, bu iki dizinin sırasıyla bir
birimden büyük ve bir birimden küçük sayılardan oluştuğunu düşünmek
yeterlidir. Yani, ortak sınırları aynı birim olan, ve aynı zamanda her ikisi
62
de gerçekten tüm sayıların ilk kaynağı olan bu birimden doğan bir
büyüklüğün iki düzeni olarak düşünmek. Dahası, eğer biri bu iki belirsiz
diziyi tek bir dizi olarak düşünmek isterse, bu birim o tek dizinin tam da
orta noktasını işgal eder, çünkü gördüğümüz gibi bunlardan birindeki
terim sayısı diğerindeki terim sayısıyla tam tamına aynıdır. Ayrıca, sadece
tam sayılar dizisi ve bu sayıların terslerini düşünmek yerine eğer daha
genel bir şekilde tüm kesirli sayılar düşünülürse, artan ve azalan nicelikler
bakımından bir şey değişmeyecektir. Bir tarafta birden büyük tüm kesirli
sayılar, diğer tarafta birden küçük tüm kesirli sayılar yer alır. Burada yine
a/b > 1 olan her sayı için diğer grupta b/a < 1 olan bir sayı karşılık gelir,
öyle ki (a/b)(b/a) = 1 olur, tıpkı daha önce (n)(1/n) = 1 olması gibi.
Dolayısıyla, bir tarafından ayrılan bu sayısı belirsiz iki grupta tam olarak
aynı sayıda terim mevcuttur. Ayrıca şunu da not etmeliyiz: ‘aynı sayıda
terim’ dediğimiz vakit, biz sadece bu iki büyüklüğün terim terim
eşleştirilebileceğini kastediyoruz, onların çokluğunun ‘sayılabilir’
olduklarını değil. Birbirinin tersi olan herhangi iki sayı çarpıldığında
daima yeniden kendisinden türedikleri bir sonucunu verirler. Daha ileri
giderek denebilir ki bu iki grubun ortasında bulunan ve her iki gruba da
aynı anda ait olarak düşünülebilecek tek sayı olan bir,76 – aslında ona bu
grupları ayırıyor demektense bu grupları birleştiriyer demek daha
doğrudur – mükemmel denge durumuna karşılık gelir. Bir kendi içinde
tüm sayıları içerir, çünkü diğer sayıların hepsi çiftler hâlinde birbirlerinin
tersi ya da tamamlayıcısı olarak birden kaynaklanırlar. Bu tamamlayıcılık
sayesinde her bir çift kendi ayrılmaz ikiliğinde izafi bir birlik oluşturur.77
Ancak bu son noktaya ve onun ima ettiklerine bir süre sonra yeniden
76
Ters sayıların tanımına göre bir birim, önce 1 şeklinde görünür,
sonra 1/1 şeklinde, öyle ki (1)(1/1) = 1 olur; fakat öte yandan 1/1 = 1
olduğundan, iki farklı şekilde sunulan şey de aynı bir birimdir ve
dolayısıyla yukarıda dediğimiz gibi o kendisinin tersidir.
77
Ayrılmaz diyoruz, çünkü ne zaman bu çiftleri oluşturan sayılardan
birisi var olsa diğeri de var olmak zorunda kalır.
63
döneceğiz.
Tam sayı dizisinin belirsiz bir şekilde arttığını ve tam sayıların
terslerinden oluşan dizinin belirsizce azaldığını söylemek yerine, bununla
aynı anlama gelecek şekilde biri bu sayıların bir yönde belirsiz
büyüklüğe, diğer yönde ise belirsiz küçüklüğe doğru yaklaştığını
söyleyebilir. Ancak belirsiz büyüklük ve küçüklük ifadelerinden bu
sayıların oluşturdukları kümenin hakiki limitlerini anlamak şartıyla, zira
değişen bir nicelik bir limite ancak yaklaşabilir. Burada sayısal nicelik
kümesi mümkün olan her türlü genişlemeyle birlikte ele alınmıştır.78
Nicelik kümesinin limiti, ne kadar büyük veya ne kadar küçük olursa
olsun şu ya da bu sayı tarafından belirlenmez. Bu sınır sayı olma tabiatı
tarafından belirlenir. Tanımlanmış diğer tüm şeylerde olduğu gibi sayı,
sayı olmayan her şeyi dışladığından kendisi için sonsuzluk diye bir şey
söz konusu olamaz. Ayrıca, biraz önce söylediğimiz gibi, her ne kadar
kendisi hiçbir biçimde sayı dizisinin bir terminus ultimus’u (nihayi terimi)
olmasa da, belirsizce büyük olanın bir limitinin olduğu kaçınılmaz olarak
düşünülmelidir. Bu bağlamda biri, matematikçiler tarafından ‘belirsizce
büyüme’ anlamında sıkça kullanılan ‘sonsuza meyletme’ ifadesinin
absürtlüğüne işaret edebilir. Çünkü sonsuz açıkça herhangi bir limitin
olmamasını gerektirir ve bu yüzden onun yaklaşabileceği bir şey yoktur.
Dikkat çekici bir başka şey ise belli bazı matematikçilerin ‘sonsuza
meyletme’ ifadesindeki hata ve uygunsuzluğu görmekle birlikte,
‘belirsizce küçülme’ anlamında ‘sıfıra meyletme’ ifadesini kullanmakta
78
Büyüklük olarak aynı birimle ölçülemeyen (incommensurable)
sayılar (irrasyonel sayılar –Çev.–), birden büyük ya da küçük
olmalarına göre ya tam sayı ya da kesirli sayı olan sıradan sayıların
arasına zorunlu olarak serpiştirilmiştir. Bu, daha önce işaret ettiğimiz
geometrik karşılıkla birlikte bu tam ya da kesirli sayıların ortak
limitleri oldukları iki yakınsak, aynı ölçekli (commensurable) sayı
dizisi ile tanımlanabileceğini de gösterir.
64
hiçbir tereddüt göstermemeleridir. Oysa artan niceliklere kıyasla
‘niceliksel sonsuzluk’ ne ise, azalan niceliklere kıyasla sıfır ya da ‘boş
değer niceliği’ odur. Fakat bu sorunlara ileride özellikle sıfır ve farklı
anlamları konusuna geldiğimizde yine döneceğiz.
Kendi bütünlüğü içinde sayı dizisi, verilen herhangi bir sayı ile
‘sonlanmadığından’, ne kadar büyük olursa olsun az önce anlaşılan
anlamıyla belirsizce büyük bir sayı tanımlanamaz. Doğal olarak bu
belirsizce küçük sayı için de doğrudur. İnsan bir sayıyı, bir kelime ya da
yazı ile ifade edemediği zaman onun pratik olarak tanımsız olduğunu
söyler. Bu durum sayıların artışı ve azalışı sürdüğünde kaçınılmaz olarak
ortaya çıkar. Bu noktada basit bir ‘bakış açısı’ meselesiyle karşı
karşıyayız. Fakat neticede bu düşünce, limitlerin alabileceği değerden
başka bir şey olmadığı sürece, belirsizin karakterini koruyor olsa da
şeylerin doğasına aykırı bir biçimde sorunu ortadan kaldırmaz, sadece
gözden tamamen kaybolacak kadar uzağa iter. Bu bağlamda bazı ilginç
sorular dikkate alınmalıdır: Çincede tanımsızın sembolik olarak neden on
bin sayısı ile temsil edildiği sorulabilir. Bu dilde örneğin ‘on bin varlık’
ifadesi, tüm varlıklar anlamına gelir ki bu gerçekten tanımsız ya da
‘sayılamaz’ çokluk demektir. Yunancada da aynı şeyin olması çok dikkat
çekicidir. Orada da tek bir kelime, ikincil bir ayrıntı olarak ve şüphesiz
kullanırken iki anlam arasındaki farkı ortaya koyma ihtiyacından,
vurguda yapılan basit bir farkla: µνριοι (on bin), µνρι’οι (belirsizlik)
kelimesi her iki düşünceyi de ifade etmek için kullanılır. Bunun asıl
nedeni on bin sayısının onun dördüncü kuvveti olmasıdır. Tao Te Ching
formülasyonuna göre ‘bir ikiyi, iki üçü, üç ise tüm sayıları üretmiştir’.
Bu, üçten hemen sonra gelen dördün bir şekilde tüm sayılar kümesine
denk olduğunu ima eder. Çünkü biri dörtlüğe sahip olduğunda, ilk dört
sayıyı birbirine ekleyerek: 1+2+3+4=10, tamamlanmış sayısal bir
çevirimi temsil eden onluğa da sahip olur. Başka yerlerde ifade ettiğimiz
gibi bu Pisagorcu Tetraktys’in sayısal formülüdür. Ayrıca sayısal
65
belirsizliğin bu şekilde temsil edilişinin mekansal bir karşılığı da vardır:
bir sayının kuvvetinin artırılması ona yeni bir boyutun eklenmesi
anlamına gelir. Bizim uzayımızın üç boyutu vardır. Üçüncü kuvvetin
ötesine gidildiğinde uzayımızın sınırları aşkın hâle gelir, başka bir
ifadeyle dördüncü kuvvete yükselmek onun belirsizliğini işaret eder,
çünkü dördüncü boyuta çıkıldığında insan bizim uzayımızdan ayrılır ve
başka imkânlar seviyesine geçer.
66
10. Sonsuz ve Sürekli Asla unutmayalım ki Leibnitz’in genellikle anladığı şekliyle tüm
sayıları aşan çokluk biçimindeki sonsuzluk fikri, bazen sonsuz sayı dizisi
durumunda olduğu gibi ‘sürekli olmayan sonsuzluk’ biçiminde görünür.
Fakat bu fikrin en alışılagelmiş yönü ve infinitezimal hesabın değeri
düşünüldüğünde en önemli yönü ‘sürekli sonsuzluk’ yönüdür. Bu
anlamda şunu hatırlamak faydalı olacaktır: Leibnitz sayı dizileriyle
çalışırken ilkin, kendi söylediğine göre metodunu keşfetmesine yol
açacak olan ‘sonlu’ farkları düşündü, kelimenin sıradan anlamıyla ‘sonlu’
farkları. İnfinitezimal farklar O’na sadece sayısal süreksizliğin mekansal
sürekliliğe uygulanması sorununda göründü. Niceliğin bu iki moduna ait
değişkenler arasında gözlenen benzerlik gerekçesiyle diferansiyeller öne
sürüldü. Ancak, onların infinitezimal karakteri uygulandıkları
büyüklüklerin sürekliliğinden kaynaklanıyordu. Bu yüzden Leibnitz için
‘sonsuz küçük’ düşüncesi ile ‘sürekliliğin oluşumu’ düşüncesi çok yakın
bir ilişkiye sahipti.
Kesin bir biçimde alındığında ‘sonsuz küçük’, Bernoulli’nin
düşündüğü gibi süreklinin partes minimae’sidir. Oysa sürekli açıkça,
sürekli kaldığı sürece, daima bölünebilir demektir, ve bu yüzden partes
minimae’ye sahip olamaz. ‘Bölünemezler’in, kendilerine göre bölünemez
oldukları şeylerin parçası oldukları dahi söylenemez. Buradaki
‘minimum’ sadece bir limit ya da bir sınır (extremity) şeklinde
anlaşılabilir, yoksa bir eleman şeklinde değil. “Bir çizgi bir yüzeyden
sadece az değildir” der Leibnitz, “o yüzeyin bir parçası bile değildir,
sadece onun bir minimumu veya sınırıdır”.79 O’nun bu bakış açısından
79
Meditatio nova de natura anguli contactus et osculi, horumque usu
in practica Mathesi ad figuras faciliores succedaneas difficilioribus
substituendas (Kontak ve Teğet Açıların Doğası Üzerine Yeni
67
ekstremum ile minimum arasındaki asimilasyon, ileride göreceğimiz gibi
O’na göre ‘limite geçişe’ izin veren ‘süreklilik yasası’ ile
gerekçelendirilebilir. Daha önce söylediğimiz gibi, aynı şey bir çizgiye
kıyasla bir nokta için ve bir hacime kıyasla bir yüzey için de geçerlidir.
Öte yandan, infinitezimal elemanlar, o olmadan bir nicelik dahi
olamayacakları bir süreklinin parçası olmalıdırlar. Onlar ancak gerçekten
‘sonsuz küçük’ olmama şartıyla bir süreklinin parçası olabilirler, aksi
takdirde partes minimae’den (en küçük parçalar) veya ‘son elemanlar’dan
başka bir şey olmazlar ki bu süreklilikle bir çelişki doğurur. Bu yüzden
sürekliliğin oluşumu, sonsuz küçük niceliklerin basit kurgulardan başka
bir şey olmalarına izin vermez. Fakat başka bir bakış açısından, en
azından Leibnitz’in gözünde, tam da işte bu süreklilik onları ‘iyi
temellenmiş kurgular’ yapar. ‘Geometri dünyasında onlara tamamen
gerçek muamelesi gösterilmesinin’ nedeni, geometrinin nesnesi olan
uzamın sürekli olmasıdır. Tabii âlemde onlara tamamen gerçek
muamelesi gösterilmesinin nedeni cisimlerin benzer şekilde sürekli
olmasıdır. Ayrıca mekaniğin ve fiziğin nesneleri olan bu cisimlerin
hareketleri gibi tüm fenomenlerin de sürekli olmasıdır. Dahası, eğer
cisimler sürekliyse bunun nedeni bir uzama sahip oldukları ve uzamın
doğasına iştirak etmeleridir. Benzer şekilde hareketin sürekliliği ve az çok
onunla ilişkili olan birçok olayın sürekliliği temelde onun mekansal
karakterinden kaynaklanır. Dolayısıyla, cismani (corporeal) doğada
gözlemlenen diğer tüm sürekliliklerin asıl temeli sonuçta uzamın
sürekliliğidir. Leibnitz’in bu anlamda yapmadığı bu önemli ayrımı,
gerçekte ‘belirsizce bölünebilirlik’ özelliğini ‘madde’ye değil uzama
atfetme gerekliliğini biz belirtiyoruz.
Burada süreklinin mekansal formundan bağımsız diğer muhtemel
Düşünceler ve Bunların Pratik Matematikte Zor Figürleri Kolaylarıyla
Değiştirmede Kullanılması), Leipzig’in Acta Eruditorum’unda, 1686.
68
formlarını incelemek zorunda değiliz. Aslında, biri büyüklükleri ele
aldığında daima bu mekansal sürekliliğe dönmek zorunda kalır.
Dolayısıyla bu biçim, infinitezimal ile alakalı her şey için yeterli olacaktır.
Ancak, Dekart’ın bu konudaki tuhaf fikrinin aksine, bizim ona, zamanın
sürekliliğini de eklememiz gerekiyor. Zaman bizatihi özünde süreklidir,
yalnızca onu ölçmek için kullandığımız mekansal hareket temsili içinde
değil.80 Bu bağlamda biri diyebilir ki hareket hem mekansal hem de
zamansal şart yüzünden çifte süreklilik içerir. Eğer biri sürekli diğeri
süreksiz olsaydı mekanın ve zamanın hareketi doğuran bu birleşimi
mümkün olmazdı. Bu düşünce, örneğin organik gelişmenin herhangi bir
sürecinde olduğu gibi her ikisinde de görülse bile, sürekliliğin, doğal
fenomenlerin mekandan çok zamanla daha dolaysız ilgili olan, çeşitli
kategorilerine uygulanmasına izin verir. Mekansal sürekliliğin oluşumu
için söylenen her şey zamansal sürekliliğin oluşumu için tekrar edilebilir.
Zaman ve mekan arasında belli bir açıdan var olan bu simetri sayesinde
insan tam anlamıyla benzer sonuçlara ulaşacaktır. Burada, Leibnitz’in de
fark ettiği gibi Skolastiklerin oldukça aşina oldukları bir görüşe sahibiz:
Bölünemez olarak algılanan anlar sürenin parçası değillerdir, noktaların
uzamın parçası olmadıkları gibi. Kısacası tüm sürekliliklerin genel
karakteri şudur: sürekliliğin tabiatı ‘son elemanları’ imkansız hâle getirir.
Buraya kadar söylediğimiz her şey şunu yeterince gösteriyor:
Leibnitz’in bakış açısından sürekli, zorunlu olarak sonsuzu kapsar. Fakat
elbette biz, sanki bir bütün verildiğinde tüm olası parçalar da hakikaten
verilmiş gibi bir ‘fiili sonsuzluk’ (‘actual infinity’) durumu düşünemeyiz.
Ayrıca bir gerçek Sonsuzluk durumu da düşünemeyiz zira ne olursa olsun
herhangi bir tanımlama gerçek Sonsuzu dışlayacak ve sonuçta belli
herhangi bir şey düşüncesi sonsuzu ima edemeyecektir. Eğer insan,
sonsuz denileni belirsiz ile değiştirirse ve eğer basitce tüm sürekliliklerin
80
The Reign of Quantity and the Signs of the Times, bölüm 5.
69
kendi elemanlarına kıyasla belli bir belirsizliği kapsadığını söylerse, işte
o zaman gerçek metafizik sonsuzdan farklı olan, ancak kendi içinde saf
ve basit bir absürtlükten başka bir şey olmayan sözde sonsuz fikrinin
sürekli ortaya çıkardığı tüm çelişkiler ve mantıksal zorluklar orada yok
olur. Sonsuz ve belirsiz arasındaki bu temel ayrım yapılmadığından bazı
kimseler yanlış bir biçimde sürekliyi toptan reddetmeden ve onu
süreksizle değiştirmeden belirlenmiş bir sonsuz çelişkisinden
kurtulmanın mümkün olmadığına inanmaktadır. Dolayısıyla, haklı olarak
matematiksel sonsuzluğu reddeden ancak metafiziksel Sonsuzluk fikrine
tamamen yabancı olan Renouvier bu ‘sonluculuk’ mantığı yüzünden
atomculuğu kabul etmek zorunda olduğuna inandı ve böylece daha önce
gördüğümüz gibi kaçınmak istediği bir durumdan daha az çelişik olmayan
bir başka duruma düştü.
70
11. ‘Süreklilik Yasası’ Ne zaman sürekli bir şey söz konusu olsa, Leibnitz gibi biz de, o
şeyin doğasında sürekli bir şeylerin olduğunu veya tüm bu süreklilik
karakterini ortaya çıkaran belli bir ‘süreklilik yasası’nın uygulandığını
söyleyebiliriz. Ancak yeterince açık olan bu durum, O’nun iddia ettiği
gibi bu yasanın mutlak olarak her şeye uygulanabileceği anlamına
gelmez. Çünkü nicelik alanında bile süreklilikle birlikte süreksizlik de
mevcuttur.81 Sayı esasen süreksizdir ve niceliğin ilk ve temel modu
sayının bu sürekli olmayan ayrık modudur. Bir başka yerde ifade ettiğimiz
gibi birinin doğru bir biçimde saf nicelik olarak adlandırabileceği mod.82
Ayrıca, saf niceliğin dışındaki her yerde bir çeşit sürekliliğin olduğunu a
priori kabul etmemiz için bir neden yoktur. Gerçeği söylemek gerekirse,
mümkün olan her şeyin içinde sadece sayının özünde ayrık bir özelliğe
sahip olması çok şaşırtıcı olurdu. Fakat bizim buradaki niyetimiz,
‘süreklilik yasasının’ doğru bir şekilde uygulanabileceği alanın sınırlarını
tespit etmek ya da en genel anlamda anlaşılan biçimiyle nicelik alanının
ötesine geçen şeylere hangi sınırlamaların getirilmesi gerektiğini tespit
etmek değil. Kendimizi, doğal fenomenler dünyasındaki süreksizlikler
içinden basit bir örnekle sınırlandıracağız: Bir ipi koparmak için belli bir
kuvvet gerekir ve eğer ipe bundan biraz daha az bir kuvvet uygulanırsa
81
L. Couturant, De l’infini mathematique, p.140: ‘Genel olarak,
süreklilik prensibinin cebirde bir yeri yoktur ve sayıların cebirsel
olarak genelleştirilmesinde bu prensibe başvurulamaz. Süreklilik
yalnızca genel aritmetik alanındaki spekülasyonlar için gereksiz
değildir o aynı zamanda bilimin ruhuna ve sayının doğasına da
aykırıdır. Esasen sayı neredeyse tüm aritmetik özellikleri gibi
süreksizdir... Dolayısıyla ne kadar karmaşık olurlarsa olsunlar cebirsel
fonksiyonlara süreklilik yüklenemez, çünkü bu fonksiyonların
elemanlarını sağlayan tam sayılar süreksizdir, herhangi bir geçiş
olmadan bir değerden ötekine atlarlar.’
82
The Reign of Quantity and the Signs of the Times, bölüm 11.
71
kısmi bir kopma, yani ipi oluşturan liflerin bir kısmının kopması değil
gerilme, yani kopmadan tamamen farklı bir şey olur. Kuvvet sürekli bir
biçimde artırılırsa gerilme de sürekli olarak artar, fakat sonra kopmanın
gerçekleşeceği bir an gelir ve birden doğası çok farklı bir etki meydana
gelir ki bu açıkça süreksizliği ima eder. Bu yüzden, hiçbir sınırlama
koymadan genel olarak natura non facit saltus (tabiat sıçrama yapmaz)
demek doğru değildir.
Oysa, geometrik büyüklüklerin sürekli olması için ki gerçekten
de öyledirler, onlardan istediğimiz kadar küçük elemanlar alabilmemiz
yeterlidir. Bu elemanlar, atanabilir herhangi bir büyüklükten daha küçük
olma kabiliyetine sahiptirler. Leibnitz’in dediği gibi “infinitezimal
hesabın kesin ispatı şüphesiz bu noktadan oluşmaktadır”, işte bu
geometrik büyüklüklere uygulanmasından. Dolayısıyla ‘süreklilik yasası’
bu kurguların, yani infinitezimal niceliklerin ve diğer sanal köklerin
(çünkü Leibnitz bunları bu bağlamda birbirleriyle ilişkilendirmiştir)
fundamentum in re’si görevini görür. Ancak, Leibnitz’in muhtemelen
yapmak istediği gibi bu yasayı ‘tüm gerçekliğin mihenk taşı’ olarak
görmemiz gerekmez. Ayrıca, alanı hakkında belli sınırlamalarla birlikte
bir ‘süreklilik yasası’ ve bu yasanın infinitezimal hesabın temeli olduğu
kabul edilse bile, modo sano sensu intelligantur, bu yasanın tam olarak
Leibnitz’in anladığı gibi anlaşılması ya da Leibnitz’in ondan çıkardığı
tüm sonuçların kabul edilmesi gerekmez. Şimdi bu anlam ve sonuçları
biraz daha yakından incelememiz gerekiyor.
En genel biçiminde bu yasa, Leibnitz’in değişik terimlerle birçok
kez ifade ettiği ama sonuçta daima aynı temel anlamı taşıyan şu noktaya
çıkar: her zaman, başlangıç noktası olarak alınan seviyeye izafeten başka
bir seviyeyi oluşturan prensiplerden çıkartılan sonuçlara karşılık gelen bir
başka seviye vardır. Daha önce işaret ettiğimiz gibi bu sadece ‘evrensel
akledilebilirliği’ varsayan ‘adalet yasasının’ ya da düzen yasasının özel
72
bir durumudur. Dolayısıyla, Leibnitz için temelde bu, özellikle
kombinasyonlara ve değişen niceliklere uygulanan ‘yeterli neden
prensibinin’ bir sonucu veya bir uygulamasıdır. O’nun dediği gibi
“süreklilik ideal bir şeydir [bu ifade yeterince açık değildir], ancak gerçek
ideal ya da soyut tarafından yönetilir ... zira her şey akıl tarafından
yönetilir”.83 Elbette şeylerin belli bir düzeni vardır, sorguladığımız bu
değil, ancak bu düzen Leibnitz’in anladığından çok farklı bir biçimde
anlaşılabilir. Zira bu bağlamda O’nun fikirleri daima ‘en iyi prensibi’ diye
bilinen kendi düşüncesinden az ya da çok etkilenmiştir. Mümkün olan ile
gerçek olanın metafiziksel özdeşliği anlaşılır anlaşılmaz bu prensip tüm
anlamını yitirir.84 Üstelik, sıkı bir Kartezyen rasyonalizm savunucusu
olduğu ilan edilmiş olmasına rağmen, kendisinin ‘evrensel
akledilebilirlik’ kavramı ele alındığında O, ‘akledilebilir’ ile ‘rasyonel’
olanı çabucak karıştırmakla suçlanabilir. Fakat ele aldığımız konudan bizi
uzaklaştıracağı için bu nokta üzerinde daha fazla durmadan sadece şunu
söyleyeceğiz: “matematiksel analiz, metafiziksel tartışmalara dayanmak
zorunda değildir” dedikten sonra - ki bu yargı gayet tartışılabilir bir
yargıdır zira bu, saf profan bakış açısına uygun bir biçimde matematiği
kendi prensiplerinden habersiz hâle getirmek demektir, üstelik metafizik
alanında sadece idrak eksikliği ihtilaf doğurabilir – işte bu savdan sonra
Leibnitz’in kendisinin matematiksel analizi bağladığı kendi ‘nedensellik
yasasını’ desteklemek için sonuçta aslında metafiziksel değil tamamen
teolojik olan ve birçok tartışmaya yol açan bir argümana başvurmuş
olması gayet şaşırtıcıdır. Leibnitz şöyle söylüyor: “Bu, her şey nedensel
akılla (reason) yönetildiğinden böyledir ve aksi olsaydı ne bilim ne de
kurallar olurdu ki o durum hükmeden prensibin tabiatına uygun
olmazdı”.85 Bu argümana şu şekilde karşılık verilebilir: gerçekte nedensel
83
Daha önce atıfta bulunulan Varignon’a mektup, 2 Şubat 1702.
Bakınız The Multiple States of the Being, bölüm 11.
85
Varignon’a yazılan aynı mektuptan. – ‘Süreklilik yasası’ ilk kez
bahsettiğimiz bu bakış açısıyla temmuz 1687 de Nouvelles de la
84
73
akıl (reason) sadece kişisel düzene ait olan insani bir fakültedir ve
‘hükmeden prensibe’ kadar gitmeye gerek kalmadan, saf ve aşkın akıl
(intellect) olarak en evrensel anlamda akıl (intelligence), nedensel akıldan
(reason) tamamen farklı bir şeydir ve hiçbir şekilde onunla özdeş
görülemez. Öyle ki hiçbir şeyin ‘irrasyonel’ olmadığı doğru olsa bile
‘rasyonelin üstünde’ (‘supra-rational’) olan ancak daha az ‘akledilebilir’
(‘intelligible’) olmayan birçok şey vardır.
Şimdi ‘süreklilik yasasının’ çok daha hassas bir biçimde ifade
ediliş şekline, öncekinden çok daha direkt olarak infinitezimal hesabıyla
ilgili biçimine geçelim: “Eğer bir durum, kendi aldığı değerler sayesinde
bir başka duruma sürekli bir biçimde yaklaşıyorsa ve sonuçta onun içinde
görünmez oluyorsa, bu şu anlama gelir: bu iki durumun sonuçları aynı
oranda sürekli bir biçimde istenen çözüme yaklaşır ve sonuçta karşılıklı
olarak birlikte son bulurlar.”86 Burada birbirinden ayrılması gereken iki
şey vardır: ilki, eğer iki durum arasındaki fark, atanabilir herhangi bir in
datis (verilmiş) büyüklükten daha az olana kadar küçülüyorsa, aynı şey in
quaesitis (aranan) büyüklük için de geçerli olacaktır, bu yalnızca daha
genel ifadenin bir uygulamasıdır. Yasanın bu kısmı sürekli değişkenlerin
Republique des Lettres’da şu dikkat çekici başlık altında izah
edilmiştir: Principium quoddam generale non in Mathematicis tantum
sed et Physicis utile, cujus ope ex consideratione Sapientiae Divinae
examinantur Naturae Leges, qua occasione nata cum R.P.
Mallebranchio controversia explicatur, et quidam Cartesianorum
errores notantur (Sadece Matematikte değil Fizikte de Yararlı Olan,
İlahi Hikmete Göre Tabiat Kanunlarının İncelenmesini Sağlayan ve
R.P. Mallebranche’ın Başlattığı Tartışmayı Açıklayan ve Bazı
Kartezyen Hatalara İşaret Eden Kesin Bir Genel Prensip).
86
Specimen Dynamicus pro admirandis Naturae Legibus circa
corporum vires et mutuas actiones detegendis et ad suas causas
revocandis (Cisimler Arası Kuvvetleri İlgilendiren, Etkileşimleri
Ortaya Çıkaran ve Nedenleri İzleyen Tabiat Kanunları İçin Dinamik
Bir Model), Bölüm II.
74
varlığı kabul edildiğinde herhangi bir itiraza neden olmaz. İnfinitezimal
hesap tam olarak böyle değişkenlerin etkilendiği alana, yani geometri
alanına, doğru bir biçimde bağlanmıştır. Ancak, casus in casum tandem
evanescat (bir durumun sonuçta öteki içinde görünmez olmasının) ve
dolayısıyla eventus casuum tandem in se invicem desinant (iki durumun
çıktılarının nihayetinde birbirlerinde sonlanmasının) da kabul edilmesi
gerekir mi? Başka bir değişle, iki durum arasındaki fark sürekli ve belirsiz
azalışlarının sonucu olarak tam anlamıyla bir hiç hâline gelecek midir?
Ya da belirsiz bile olsalar onların bu azalışları bir sona ulaşacak mıdır?
Bu, temelde sürekli bir değişkenin bir limite ulaşıp ulaşamayacağı
sorunudur. Bu noktada biz her şeyden önce şunu belirtiyoruz: süreklilik
bunu gerektirdiği sürece belirsiz olan daima tüketilemez bir şeyleri
içerdiği hâlde ve Leibnitz süreklinin bölünerek bir son terime ulaşacağını
asla düşünmediği, hatta böyle bir son terimin gerçekten var olduğunu dahi
düşünmediği hâlde, O’nun hâlâ sürekli bir değişimin per infinitos gradus
intermedios (sonsuz ara adımlarla)87 kendi limitine ulaşabileceği
düşüncesini sürdürmesi tam olarak mantıksal ve tutarlı mıdır? Bu,
kesinlikle böyle bir limite ulaşmanın hiçbir yolunun olmadığını söylemek
değildir, zira öyle söylemek infinitezimal hesabı basit bir yaklaşım
metoduna indirgemek olur. Ancak eğer limite hakikaten ulaşılıyorsa, bu
sürekli değişimin kendi içinde ya da gradus mutationis (değişim
derecelerinin) belirsiz dizisinin son terimi şeklinde olmamalıdır. Buna
rağmen Leibnitz ‘limite geçisi’ gerekçelendiren şeyin bu ‘süreklilik
yasası’ olduğunu iddia etmiştir. Bu iddia, O’nun metodunun doğurduğu
mantıksal zorlukların en önemsizi değildir ve tam da burası O’nun
çıkardığı sonuçların tamamen kabuledilemez hâle geldiği noktadır.
Ancak, sorunun bu yönünü tümüyle anlaşılır hâle getirmek için
matematiksel limit mefhumunun kendisini açıklamaya başlamamız
gerekiyor.
87
Schulenburg’a mektup, 29 Mart 1698.
75
12. Limit Mefhumu Limit mefhumu, infinitezimal hesabın kıymetini değerlendirmek
için, en azından bu hesabın kesinliği söz konusu olduğunda burada
incelememiz gereken en önemli düşüncelerden biridir. Onun değeri
tamamen bu nosyona dayanır. Hatta daha ileri giderek diyebiliriz ki
sonuçta ‘tüm infinitezimal algoritma sadece limit mefhumu üzerinde
durur, çünkü infinitezimal hesabın bütün sembollerini ve formüllerini
tanımlamaya ve haklı çıkarmaya hizmet eden tamamen bu kesin
nosyondur’.88 Gerçekten bu hesabın konusu “oranların veya toplamların
limitlerini hesaplamak yani verilen bir yasaya göre belirsizce azalarak
değişen niceliklerin oranlarının veya toplamlarının yaklaştığı sabit
değerleri bulmak demektir”.89 Daha kesin olması için şöyle söyleyelim:
infinitezimal hesabın bölünebileceği iki branştan biri olan diferansiyel
(türev) hesap, iki terimi de belirsizce azalan oranların limitinin bulunması
demektir. Bu terimler aynı anda belli bir yasayı izlediklerinden bu oranlar
sonlu ve tespit edilmiş değerlerdir. İkincisi ise elemanların toplamlarının
limitini hesaplamak olan integral hesabıdır. Toplanan bu elemanların
çoklukları belirsizce artarken büyüklükleri belirsiz bir şekilde azalır.
Toplamın limitinin sonlu ve tespit edilmiş bir nicelik olması için bu iki
şartın daima birlikte sağlanması gerekir. Dolayısıyla daha genel bir
biçimde şu söylenebilir: değişen bir niceliğin limiti, sabit olarak
düşünülen bir başka niceliktir. Değişen niceliğin art arda aldığı değerlerle
bu limite yaklaştığı varsayılır. Bu yaklaşma, limit ile değişkenin değeri
arasındaki fark birinin istediği kadar küçük olana kadar ya da başka bir
deyişle bu fark tespit edilebilir herhangi bir değerden daha küçük olana
kadar devam eder. İleride söyleyeceklerimizin daha iyi anlaşılabilmesi
için en çok vurgulamamız gereken nokta, limitin esasen sabit ve tespit
88
89
L. Couturat, De l’infini mathematique, giriş, s. 23.
Charles de Freycinet, De l’Analyse infinitesimale, önsöz, s. 8.
76
edilmiş bir nicelik olarak algılanması meselesidir. Problemin şartları
tarafından verilmiş olmasa dahi, biri her zaman onu belirlenmiş bir değer
olarak düşünmeye başlamalı ve hesabın sonuna kadar sabit tutmalıdır.
Fakat limit kavramının kendisi bir şeyken, ‘limite geçişin’
mantıksal olarak savunulması oldukça başka bir şeydir. Leibnitz şuna
inanmıştır:
Genel olarak ‘limite geçişi’ haklı kılan şey, değişim
sürekliyken çeşitli değişken büyüklükler arasındaki
ilişkinin sabit limitleri arasında da mevcut olmasıdır,
çünkü böylece onlar gerçekten kendi limitlerine ulaşırlar;
bu süreklilik prensibini ortaya koymanın başka bir
yoludur.90
Fakat tüm sorun, limitin tanımına göre sabit bir limite belirsiz bir
biçimde yaklaşan, dolayısıyla o limitle arasındaki fark birinin istediği
kadar küçük olabilen değişken bir niceliğin, bu değişkenliğin bir sonucu
olarak o limite fiilen ulaşıp ulaşamayacağını bilmektir. Yani, bir limit
sürekli bir değişimin son terimi olarak algılanabilir mi? Gerçekte bu
çözümün kabul edilemez olduğunu göreceğiz. Fakat ileride dönmek üzere
bu sorunu bir kenara koyarak şimdilik sadece şunu söyleyeceğiz:
sürekliliğin doğru anlamı, infinitezimal niceliklerin sıfıra eşit olarak
düşünülmesine izin vermez, çünkü öyle olsaydı nicelik olmaları son
bulurdu. Leibnitz’in kendisi de ortadan yok olacak kadar küçülseler bile
infinitezimal niceliklerin daima gerçek bir niceliğin karakterini koruması
gerektiğini söylemiştir. Dolayısıyla infinitezimal bir fark asla tam olarak
90
L. Couturat, De l’infini mathematique, s. 268. – Bu, özellikle
Justification du Calcul des infinitesimales par celui de l’Algebra
ordinaire’de ifade edilmiş olan bakış açısıdır.
77
bir hiç olmaz. Bu yüzden, bir değişken bu şekilde anlaşıldığı sürece daima
kendi limitinden farklı olacak ve değişken karakterini kaybetmediği
sürece o limite ulaşamayacaktır.
Bu noktada küçük bir çekincenin yanında daha önce atıfta
bulunduğumuz bir matematikçinin şu ifadelerle ortaya koyduğu
düşünceleri tamamen kabul edebiliriz:
Tanımladığımız biçimiyle bir limiti karakterize eden şey
değişkenin ona asla tam olarak ulaşamadan birinin
isteyebileceği
kadar
yaklaşabilmesidir.
Çünkü
değişkenin gerçekten limite ulaşması belli bir
sonsuzluğun gerçekleştirilmesi olacaktır ki bu zorunlu
olarak mümkün değildir... Biri ayrıca daha büyük bir
yaklaşım olarak belirsiz fikrini de aklında tutmalıdır.91
Bizim için hiçbir anlamı olmayan ‘belli bir sonsuzluğun
gerçekleştirilmesi’ ifadesi yerine biz olsak şöyle söylerdik: belli bir
belirsizlik bitip tüketilemez olmasına rağmen o belirsizlik tamamen bitip
tüketilmek zorunda kalacaktır. Fakat aynı zamanda bu belirsizlikte
kapsanan imkânlar istenen ölçüde yaklaşmaya izin verir, öyle ki
Leibnitz’in ifadelerinden birine göre ut error fiat minor dato (hata verilen
herhangi bir hatadan daha küçük hâle gelir). Onun için bu sonuç elde
edilir edilmez ‘metot kesinleşir’.
Limitin ayırt edici özelliği ve değişkenin tam olarak ona
ulaşmasına engel olan şey, onun tanımının değişkenin
tanımından farklı olmasıdır. Değişken limite her
defasında daha da yaklaşır ancak asla ona ulaşamaz,
91
Charles de Freycinet, De l’Analyse infinitesimale, s. 18.
78
çünkü kendi orijinal tanımını karşılamayı sonlandıramaz,
limitten farklı olduğunu söylediğimiz tanımını. Limit ve
değişkenin tanımları arasındaki gerekli farka her yerde
rastlanır... Bu iki tanımın mantıksal olarak farklı
olmalarına rağmen tanımladıkları nesneler birbirlerine
yaklaşabilir.92 Bu, ilk bakışta tuhaf gelen şeyi açıklar;
yani birinin farkı yok edebilmek için ifade edilebilir
olanın ötesine çıkana kadar onu küçültmek zorunda
olmasını gerektiren iki niceliği aynı yapmanın
imkânsızlığını.93
Her şeyi münhasıran niceliğe indirgeme modern eğilimi
yüzünden bazı insanlar limitin bu şekilde anlaşılmasında bir hata buldular,
çünkü bu kavram nicelik bilimine niteliksel bir fark getiriyordu. Ancak
eğer nitelik bu yüzden çöpe atılacaksa, benzer şekilde daha önce başka
bir yerde açıkladığımız gibi şekillerin sadece formlarıyla ilgilenen, onları
büyüklüklerinden soyutlayan, dolayısıyla tamamen niteliksel olan
benzerlik düşüncesinin de geometriden tamamen çıkarılması gerekir. Bu
bağlamda şunu not etmek de yerinde olacaktır: diferansiyel hesabın
başlıca kullanım alanlarından birisi, bir eğrinin her bir noktasında ona
teğet olan doğrunun yönünün belirlenmesidir. Bunların tamamı eğrinin
şeklini tanımlar. Mekansal düzende yön ve şekil esasen niteliksel
karakterli elemanlardır.94 Ayrıca, hesabı o sonuca doğru itmeyi
92
Onlardan birinin diğerine git gide yaklaştığını söylemek daha dakik
olacaktır, çünkü biri değişken iken diğeri esasen sabittir. Dolayısıyla
bir araya gelmeleri, tam olarak limitin tanımı gereği hiçbir şekilde
birbirlerinin yerine geçebilecekleri karşılıklı bir ilişki oluşturmaz.
Ayrıca bu birbirlerinin yerine geçememe, aralarındaki farkın nitelik
seviyesinde olduğunu ima eder.
93
Aynı eserde, s. 19.
94
The Reign of Quantity and the Signs of the Times, bölüm 4’e
bakınız.
79
engellemeksizin matematikçinin limite geçişten vazgeçmesi bir çözüm
değildir. Bu doğru olabilir, fakat önemli olan şudur: bu şartlar altında biri
bu hesabın hangi dereceye kadar sağlam akıl yürütmelere dayandığını
düşünebilir ve eğer ‘bu metot kesinse’ bu sadece basit bir yaklaşım
olduğundan olmayacak mıdır? Biri bizim burada açıkladığımız kavramın
‘limite geçişi’ imkânsız hâle getirdiği itirazında bulunabilir. Çünkü bu
limitin karakteri asla erişilmesine izin vermez. Ancak bu sadece belli bir
bakımdan ve değişken nicelikler bu şekilde düşünüldüğünde doğrudur,
zira biz limitin hiçbir biçimde erişilemez olduğunu söylemedik. Ona
ancak – bunu açığa kavuşturmak çok önemlidir – değişimin içinde ve
değişkenin bir terimi olarak ulaşılamaz. Tek gerçek imkânsızlık sürekli
bir değişimin sonucunda oluşan ‘limite geçiş’ mefhumudur. Bu yüzden o
mefhumu bir başkasıyla değiştirmemiz gerekir. İlerideki bölümlerde bunu
daha açık bir biçimde yapacağız.
80
13. Süreklilik ve Limite Geçiş Şimdi ‘süreklilik yasasını’ tartışmaya ya da daha kesin bir
ifadeyle bu yasanın katılmadığımız yönünü tartışmaya geri dönebiliriz.
Leibnitz, yasanın tam da bu yönü sayesinde ‘limite geçişin’in mümkün
olduğuna inanmıştı. O’nun için bu yasayı takip eden sonuç şudur:
Sürekli niceliklerle dışarıda tutulan ekstrem duruma,
tabiatı tamamen farklı olsa da sanki diğer durumların
genel yasasında içerilen gizli bir durum gibi içeride
muamelesi yapılabilir.95
Leibnitz’in kendisi bundan şüphelenmiş gibi gözükmese de
O’nun süreklilik kavramındaki temel mantıksal hata tam da burada
yatmaktadır. Herhangi biri bu hatayı, O’nun bu kavramdan çıkardığı
sonuçlarda ve kavramı uygulayış biçiminde kolayca farkedebilir. İşte
birkaç örnek:
Benim süreklilik yasama göre birisi hareketsizliği,
sonsuz küçük hareket gibi düşünebilir, yani, kendi karşıt
türüne denk bir şey gibi, ve çakışmayı sonsuz küçük
mesafe, eşitliği eşitsizliklerin sonuncusu gibi, ve saire.96
Tüm ani değişiklikleri dışlayan bu süreklilik yasasına
göre hareketsizlik hâli hareketin özel bir durumu gibi
95
Epistola ad V.Cl. Christianum Wolfıum, Professorem Matheseos
Halensem, circa Scientiam Infiniti (Halensem matematik profesörü
V.Cl. Christian’a sonsuzun bilimi üzerine mektup), Leipzig’in Acta
Eruditorum’unda, 1713.
96
Daha önce atıfta bulunulmuş olan Varignon’a mektup, 2 Şubat 1702.
81
düşünülebilir, yani gözden kaybolan bir hareket veya en
küçük bir hareket gibi ve eşitlik gittikçe yok olan bir
eşitsizlik hâli gibi düşünülebilir. Dolayısıyla, hareket
kanunları dengedeki ve hareketsiz cisimlere özel kurallar
gerektirmeyecek bir biçimde oluşturulmalıdır. Aksine bu
cisimlerin kuralları, dengede olmayan ve hareketli
cisimlerin kurallarından çıkarılmalıdır. Ya da eğer biri
hareketsizlik ve denge için özel yasalar öne sürmek
isterse bu yasaların, hareketsizliğin henüz başlamakta
olan bir hareket veya eşitliğin, eşitsizliğin sonuncusu
olduğu hipoteziyle uyuşmasına dikkat etmesi gerekir.97
Hadi konu hakkında mantıksal açıdan daha az itiraz edilebilir
olmayan ama öncekilerden bir şekilde farklı olan bir alıntı daha
ekleyelim:
Tıpkı çemberin, düzgün bir çokgenin bir türü olmaması
gibi hareketsizliğin, hareketin bir türü olduğu veya
eşitliğin, eşitsizliğin bir türü olduğu tam olarak doğru
olmasa da biri yine de diyebilir ki hareketsizlik, eşitlik ve
çember hareketin, eşitsizliğin ve düzgün çokgenin
bitmesidir. Sonrakiler gittikçe küçülen sürekli bir
değişimle öncekilere ulaşırlar. Ve çemberi, sonsuz sayıda
kenarı olan düzgün bir çokgen olarak alan sonsuzluk ve
sonsuz küçüklük diline uygun olarak bu sonlanmalar
harici olsa da, yani tam olarak sınırlandırdıkları çeşitlere
dahil olmasalar da, o çeşitlere dahil olduklarında sahip
olacakları özelliklere yine de sahiptirler. Aksi takdirde
süreklilik kanunu ihlâl edilmiş olur. Çünkü herhangi bir
97
Yukarıda daha önce atıfta bulunulmuş olan Specimen Dynamicum.
82
ara olmadan sürekli bir değişimle çokgenden çembere
geçilirken
çokgenin
özelliklerinden
çemberin
98
özelliklerine geçişte de bir fasıla olmamalıdır.
Şuna işaret etmek gerekir ki yukarıda alıntıladığımız son pasajın
başında söylendiği gibi Leibnitz, bu iddiaları sadece toleranter verae
cinsinden savlar olarak düşünmektedir. Başka bir yerde şöyle demektedir:
Bence, kurgusal ve farazi şeyler içerseler de ki bunlar bir
hata oluşturmamaları için kolayca olağan ifadelere
dönüştürülerek düzeltilebilirler, her şeyin üstünde keşif
sanatı görev yapmaktadır.99
Ama bunlar zaten gerçekte saf ve basit çelişkiler içermekte değil
midir? Leibnitz’in, ekstrem durumun veya ultimus casus’un harici
oluşunu fark etmiş olmasında bir şüphe yoktur. Ekstrem durumun harici
olması açıkça onun, genel yasayla doğal olarak kapsanan durumların
oluşturduğu dizinin dışında kalmasını gerektirir. Fakat buna rağmen sonra
hangi hakla o bu yasaya dahil edilebilir ve ona sanki dizide içerilen tek
özel durummuş gibi ut inclusivum (dahil) muamelesi gösterilebilir? Kenar
sayısı belirsiz bir biçimde artan düzgün çokgenin limitinin çember olduğu
doğrudur. Ancak onun tanımı özünde çokgenin tanımından farklıdır. Ve
böyle bir örnekte açıkça daha önce söylediğimiz, limitin kendisi ile
sınırlandırdığı şey arasındaki niteliksel fark görülebilir. Ne hareketsizlik
98
Justification du Calcul des infinitesimales par celui de l’Algebre
ordinaire, Varignon’dan Leibnitz’e gönderilen mektuba eklenen not
23 Mayıs 1702. Bu notta Leibnitz’in notu Journal de Trevoux’a
eklenmesi için gönderdiği söylenmektedir. Leibnitz, ‘continual’
kelimesini ‘continuous’ anlamında kullanmaktadır.
99
Yukarıda daha önce atıfta bulunulmuş olan ‘Epistola ad V.Cl.
Christianum Wolfium’.
83
bir şekilde hareketin özel bir durumudur, ne eşitlik, eşitsizliğin özel bir
durumu, ne çakışma, mesafenin özel bir durumu, ne de paralellik, aynı
noktaya kavuşmanın özel bir durumudur. Ayrıca, Leibnitz bunların kesin
bir biçimde böyle olduklarını farz etmemekte fakat yine de ‘tür, karşı
sözde-türle son bulur’ ve bir şey ‘kendi karşı türüne eşit olabilir’
sonuçlarıyla birlikte bir şekilde öyle olduklarının düşünülebileceğini
söylemeye devam etmektedir.100 Bununla birlikte sırası gelmişken
Leibnitz’in ‘sanallık’ mefhumunun buna benzer fikirlerle bağlantılı
olduğunu not edelim, zira O, sanallığa (virtuality) imkânın (potentiality)
yeni başlayan hakiki gerçekliği (actuality) biçiminde özel bir anlam
vermektedir101 ki bu yine daha önce belirttiğimiz çelişkilerden daha az
çelişkili bir şey değildir.
Hangi bakış açısından bakılırsa bakılsın belli bir tür, karşı tür ya
da cinsin ‘sınır durumu’ olabilir, çünkü buradaki karşıtlık, bu şeylerin
birbirlerini biri artarken diğeri azalacak şekilde sınırlamaları biçiminde
değil kesinlikle tam tersine birbirlerini dışlayarak sınırlama biçimindedir
ve bir çelişkinin bir başkasına indirgenmesi mümkün değildir. Örneğin,
eşitsizliğin, eşitliğin tersi ve inkarı olması dışında bir anlamı olabilir mi?
Biz kesinlikle bunun gibi önermelerin toleranter verae dahi olduklarını
söyleyemeyiz. Çünkü birbirlerinden mutlak bir biçimde ayrılmış türlerin
varlığı kabul edilmese dahi, şu yine de doğrudur: bu şekilde tanımlanan
herhangi bir tür aynı şekilde tanımlanan bir başka türün asla bütünleyici
100
Initia Rerum Mathematicarum Metaphysics (Matematiksellerin
Metafizik Prensipleri) . Leibnitz’in kendi kelimeleri şunlardır: genus
in quasi-speciem oppositam desinit, ve ‘sözde-tür’ tekil ifadesinin
kullanılması en azından böyle bir cümleye daha makul bir görünüm
vermedeki zorluğa işaret ediyor gibi görünmektedir.
101
Buradaki ‘ hakiki gerçeklik’ (actuality) ve ‘imkân’ (potentiality)
kelimeleri elbette bunların Aristocu ve Skolastik anlamlarında
kullanılmıştır.
84
bir parçası olamaz, zira bu ikincisinin tanımı, çelişkilerde olduğu gibi
resmen dışlamasa dahi birincisini içermemektedir. Eğer farklı türler
arasında bir ilişki kurulacaksa bu, onların hakiki farklılıkları aracılığıyla
değil fakat ancak her ikisini de içeren bir üst tür meziyetiyle kurulmalıdır.
İki türü daha üst ya da daha genel bir türe indirgemeden, bir türden ötekine
doğrudan geçişe izin vererek, sadece tüm ayrımları değil ayrıca tüm etkili
farkları da ortadan kaldıran böyle bir süreklilik anlayışı, gerçekte doğru
tüm mantıksal prensiplerin bir inkarıdır. Ve bu noktadan sonra Hegel’in
‘çelişik olanların özdeşliği’ bildirisine kolayca atılacak tek bir adım
kalmış olacaktır.
85
14. ‘Yok Olan Nicelikler’ Sonuçta Leibnitz için ‘limite geçişin’ gerekçesi şu gerçekten
müteşekkildir: kendisinin söylediği gibi, ‘gittikçe yok olan niceliklerin’
özel durumu süreklilik meziyetiyle belli bir biçimde genel kuralın içinde
kalır. Ayrıca bu gittikçe yok olan nicelikler ‘mutlak hiçlikler’ veya saf
sıfırlar olarak düşünülemezler. Çünkü aynı süreklilik yüzünden yok
oldukları esnada kendi içlerinde tespit edilmiş oranlar olarak – genellikle
birden farklı oranlar olarak – kalırlar. Bu da her ne kadar olağan
niceliklere kıyasla ‘tayini mümkün olmasalar’ bile hâlâ gerçek (real)
nicelikler oldukları anlamına gelir.102 Ancak, bu gittikçe yok olan
nicelikler – veya aynı anlama gelen infinitezimal nicelikler– ‘mutlak
hiçlik’ değillerse de, bir üst seviyenin türevi olduklarında ‘izafi hiçlikler’
olarak düşünülürler. Bu şu anlama gelir: gerçek nicelik karakterlerini
korumalarına rağmen olağan niceliklerle ‘kıyaslanamaz’ olduklarından
ihmal edilmelidirler.103 Fakat bunlar, ‘sonsuz’ ile veya olağan
niceliklerden kıyaslanamaz bir şekilde büyük niceliklerle çarpılarak
yeniden olağan nicelikler üretirler. Eğer onlar mutlak anlamda bir hiç
olsalardı bu mümkün olmazdı. Daha önceki tanımların ışığı altında arz
etmiştik: gittikçe küçülen (yok olan) fakat hâlâ tespit edilmiş bulunan
niceliklerin oranı düşüncesi türev hesabını gösterirken, bu niceliklerin
‘sonsuz’ niceliklerle çarpımından elde edilen olağan nicelikler düşüncesi
integral hesabına karşılık gelir. Buradaki tüm zorluk, mutlak anlamda bir
102
Leibnitz’e göre 0/0 = 1 dir. Çünkü, kendisinin söylediği üzere ‘bir
hiçlik ötekinin aynısıdır’. Ancak (0)(n) = 0 olduğundan n in herhangi
bir değeri için 0/0 = n de denebilir. İşte bu 0/0’ın genellikle ‘tespit
edilmemiş formun’ temsilcisi olarak düşünülmesinin nedenidir.
103
Bununla kum tanesi kıyası arasındaki fark şu dur: ‘Gittikçe yok
olan nicelikler’ konuşulurken söz konusu olan zorunlu olarak değişken
niceliklerdir, ne kadar küçük olursa olsun sabit ve belirlenmiş
nicelikler değil.
86
hiç olmayan niceliklere sanki öylelermiş gibi davranılıyor olduğunun
kabul edilmesidir. Bu durum, bu hesaba basit bir yaklaşım izlenimi verme
riski taşır. Bu anlamda Leibnitz bazen ‘sınır durumunu’ genel kuralın
içine alan ‘süreklilik yasasına’ başvuruyor gibi görünür, sanki metodu için
gerekli olan tek varsayım buymuş gibi. Oysa bu argüman hiç açık değildir
ve hesabın sonunda kalan infinitezimalin elenmesine gerekçe olması için
kendisinin sık sık yaptığı gibi ‘kıyaslanamazlar’ mefhumuna dönmeyi
gerektirir.
Aslında Leibnitz yalnız aralarındaki farkın hiç (null) olduğu
nicelikleri eşit olarak düşünmez, aralarındaki fark niceliklerin
kendileriyle kıyaslanamaz olduğunda da nicelikleri eşit kabul eder. O’nun
için bu ‘kıyaslanamazlar’ mefhumu sadece olağan niceliklerin yanında
infinitezimalin elenmesi için değil, ayrıca infinitezimal ya da diferansiyel
niceliklerin farklı seviyeleri için de bir temel oluşturur. İlk seviyenin
niceliklerinin olağan niceliklerle kıyaslanamaz olması gibi diğer her bir
seviyenin nicelikleri de bir önceki seviyedekilerle kıyaslanamaz. Ancak
bu nicelikler (hangi seviyede olurlarsa olsunlar –Çev.–) hiçbir zaman
‘mutlak hiçliğe’ ulaşmazlar. Leibnitz şöyle söylemektedir: “Bir büyüklük
nasıl olursa olsun sonlu bir sayı ile çarpıldığında diğerini geçemiyorsa bu
iki büyüklüğe kıyaslanamaz diyorum, tıpkı Euclid’in beşinci kitabındaki
beşinci tanımda yaptığı gibi.”104 Ancak, burada bu tanımın sabit ve tespit
edilmiş nicelikler için mi yoksa değişken nicelikler için mi anlaşılması
gerektiğini gösteren bir şey yoktur. Fakat genel olarak her iki durum için
de uygulanması gerektiği kabul edilebilir. Bu durumda tüm soru,
büyüklük ölçekleri ne kadar farklı olursa olsun iki sabit niceliğin
gerçekten ‘kıyaslanamaz’ olarak mı görüleceği yoksa onların sadece
kullandığımız ölçüm araçlarına izafi olarak mı böyle olduklarının
düşünüleceğidir. Fakat bu nokta üzerinde daha fazla durmayacağız, çünkü
104
Marquis de l’Hospital’ e mektup, 14-24 Haziran 1695.
87
Leibnitz kendisi başka bir yerde diferansiyeller için durumun böyle
olmadığını (elimizdeki ölçüm araçlarına izafeten öyle olmadığını –Çev.–
) bildirmiştir.105 Buradan şu sonucu çıkarmak gerekir: kum tanesi
kıyaslaması açıkça sadece kendi içinde hatalı değildir, bu kıyas ayrıca
O’nun kendi düşüncesi içinde en azından infinitezimal niceliklere
uygulanırken dahi, ‘kıyaslanamazlar’ın doğru mefhumuna temelde bir
cevap vermez.
Buna rağmen bazı kimseler sadece infinitezimal nicelikler bir hiç
olarak düşünüldüğünde, infinitezimal hesabının mükemmel bir kesinlik
kazanacağına inanmışlardır. Bunlar aynı zamanda yanlış bir biçimde bir
hatanın da biri o hatayı istediği kadar küçültebildiği sürece bir hiç
olduğunu düşünmüşlerdir. Yanlış diyoruz çünkü bu bir değişkenin kendi
limitine ulaşabileceğini kabul etmekle aynı şeydir. Carnot bu konuda
şunları söylemiştir:
İnfinitezimal analizin prensibini şu mantıkla yeterli bir
biçimde tesis ettiklerine inanan kimseler vardır: derler ki
infinitezimal analiz yönteminin sonunda çıkan hatanın
her zaman birinin istediği kadar küçültebileceği açık ve
genel kabul görmüş bir şeydir. Birinin istediği kadar
küçültebileceği bir hata ise bir hiç dir. Çünkü birinin
istediği kadar küçüktebileceği bir hata sıfır gibi
düşünülebilir. Bu yüzden infinitezimal analizin sonuçları
tam ve kesindir. İlk bakışta makul gelen bu argüman
aslında geçerli değildir. Çünkü birinin istediği kadar
küçültebildiği bir hatayı mutlak bir hiç gibi görmek
yanlıştır... Burada şu iki alternatifle karşılaşılır: ya ne
105
Daha önce atıfta bulunulmuş olan Varignon’a mektup, 2 Şubat
1702.
88
kadar küçük olursa olsun bir hata olduğunu kabul etmek
ya da hiçbir şey söylemeyen bir formüle geri dönmek.
İşte tam da burası, infinitezimal analizdeki zorluğun
düğüm noktasıdır.106
Bir oranın 0/0 şeklinde göründüğü herhangi bir formülün ‘bir şey
söylemediği’ kesindir ve hatta bu oranın özünde bir anlamının olmadığı
söylenebilir. 0/0 ifadesine ancak gerekçelendirilmiş bir ortak kabul
sayesinde belirsizliğin bir sembölü biçiminde bir anlam verilebilir.107
Fakat bu belirsizlik bir yandan bu oranın herhangi bir şeye eşit olabileceği
anlamına gelirken öte yandan aksine her hususi durumda tespit edilmiş
bir değer alması gerekir. Leibnitz’in öne sürdüğü işte bu belirli değerin
varlığıdır108 ve bu argüman özünde tamamen tartışılamazdır.109 Ancak
‘gittikçe yok olan nicelikler’ mefhumunun, Lagrange’ın ifadesini
kullanırsak, nicelikleri “deyim yerindeyse nicelik olmaya son verdikleri
bir durumda düşünen muazzam bir kusuru olduğunu” fark etmek çok
önemlidir. Oysa Leibnitz’in düşüncesinin aksine onları tam yok olacakları
bir anda düşünmek ya da gerçekten yok olacaklarını varsaymak dahi
gerekmez, çünkü bu durumda bir nicelik olmaya son vermiş olurlar.
Ayrıca, bu temelde tam olarak ‘sonsuz küçük’ bir niceliğin olmadığını
varsaymak demektir. Çünkü bu ‘sonsuz küçük’ nicelik – ya da en azından
Leibnitz’in dilinde öyle söylenen şey – ancak sıfır olabilir, tıpkı aynı
biçimde düşünülen ‘sonsuz büyük’ niceliğin sadece bir ‘sonsuz sayı’
106
Reflexions sur la Metaphysique du Calcul infinitesimal, s. 36.
Bu konuda bir önceki nota bakınız.
108
Daha önce söylediğimiz gibi O’nun için 0/0 oranı belirsiz değil
daima 1’e eşittir. Oysa gerçekte bu değer her bir durumda farklıdır.
109
Bakınız Charles de Freycinet, De l’Analyse infinitesimale, s. 45-46:
‘Eğer artışlar saf sıfır durumuna indirgenirse onların artık bir anlamı
kalmayacaktır. Onların özellikleri tam olarak bir hiç olmamalarıdır, bir
değişken asla kendi limitiyle çakışamaz genel prensibine uygun olarak
sıfırla asla karıştırılmadan belirsiz bir biçimde küçülmeleridir.’
107
89
olabileceği gibi. Oysa hakikatte sıfır bir sayı değildir ve ‘hiç nicelikler’,
‘sonsuz nicelikler’den daha fazla bir varlığa sahip değildirler.
Matematiksel sıfır, en azından niceliksel yönü düşünüldüğünde tam ve
kesin anlamıyla bir olumsuzlamadır ve niceliğin yokluğunun kendisi, bir
nicelik oluşturur denilemez. Sonuçlarını daha eksiksiz bir biçimde
geliştirmek için bu noktaya kısaca tekrar döneceğiz.
Kısacası, ‘gittikçe yok olan nicelikler’ ifadesi her şeyden öte bir
kelime oyunu olma kusuruna sahiptir. Bu kelime oyunu, infinitezimal
niceliklerin etkin bir şekilde ortadan kaldırılabilen nicelikler olduğu
inancına yol açar. Çünkü bir nicelik söz konusu olduğunda bu kelimelerin
anlamını değiştirmeden nasıl olup da ortadan kaldırmanın, yok olmaktan
farklı bir şey olacağını anlamak zordur. Gerçekte, belirsiz bir biçimde
azalan şeklinde anlaşılan bu infinitezimal nicelikler ki bu onların asıl
özelliğidir, kelimenin doğru anlamında asla ‘yok olan’ şeklinde
adlandırılamazlar. Temelde Leibnitz’in süreklilik algısıyla ilgili
olduğundan ve bu şekliyle kaçınılmaz olarak bu algının özündeki
mantıksal çelişkinin aynısını barındırdığından, bu mefhumun hiç
sunulmamış olması kesinlikle çok daha tercih edilirdi. Şimdi, eğer bir
hata, birisinin istediği kadar küçülebilecek dahi olsa, asla mutlak olarak
yok olamıyorsa, infinitezimal hesap nasıl olur da gerçekten kesin bir
hesaplama olur? Ve eğer hata aslında sadece pratikte ihmal edilebilir bir
hata ise, bu durumda hesabın basit bir yaklaşım metoduna ya da en
azından Carnot’un söylediği gibi ‘telafi’ metoduna indirgenmiş olduğu
sonucu çıkmaz mı? İşte bu sorun ilerideki bölümlerde çözümlemek
zorunda olduğumuz sorundur. Ancak bu bölümde sıfırdan ve ‘hiç nicelik’
(‘null quantity’) şeklinde adlandırılan şeyden söz etmek durumunda
kaldığımız için biraz sonra göreceğimiz gibi önemi ihmal edilemeyecek
olan bu konuya daha önce değinmek yararlı olacaktır.
90
15. Sıfır Bir Sayı Değildir Sayıların belirsiz bir şekilde azalması ne kadar bir ‘hiç (null)
sayı’sında sonuçlanırsa, belirsiz bir şekilde artması da o kadar bir ‘sonsuz
sayı’da sonuçlanır. Ve yine aynı nedenden, bu sayılar ötekilerin tersi
olmak zorunda olduklarından, daha önce ters sayılar konusunda
söylenenlere uygun olarak bu iki kümenin her biri – artan ve azalan –,
gerçekten de her ikisinin ortak hareket noktası olan birden eşit
uzaklıktadırlar. Üstelik bunların birindeki terimlerin çokluğu
ötekindekine eşit olduğundan, son terimleri – yani ‘sonsuz sayı’ ve ‘hiç
sayısı’ – eğer bunlar gerçekse, birden eşit uzaklıkta bulunurlar ve
dolayısıyla birbirlerinin tersidirler.110 Bu şartlar altında, eğer ∞ işareti
gerçekte sadece belirsiz bir şekilde artan niceliğin bir sembolü ise
mantıksal olarak 0 işareti de bu ikisi arasında var olduğunu daha önce
söylediğimiz simetrinin simgesel ifadesi için benzer şekilde belirsiz bir
şekilde azalan niceliğin bir sembolü olarak alınabilir. Ancak ne yazık ki
bu 0 işareti zaten çok başka bir anlama sahiptir. Çünkü o aslen niceliğin
tam bir yokluğunu işaret etmek için kullanılmıştır. Bununla birlikte ∞
işaretinin yukarıda söylediğimiz anlama denk geldiğine dair gerçek bir
his yoktur. Burada ‘gittikçe yok olan nicelikler’le birlikte bir başka
karışıklık nedenine sahibiz. Bu karışıklıktan kurtulmak için belirsizce
azalan niceliklere sıfırdan farklı bir sembol bulmak gerekir, zira bu
nicelikler nasıl bir değişiklik geçirirlerse geçirsinler asla tamamen yok
110
Olağan gösterimde bu (0)(∞) = 1 formülü ile belirtilir. Ancak
gerçekte (0)(∞) formu da 0/0 gibi ‘belirsiz bir form’dur ve birisi, n
herhangi bir sayı olmak üzere (0)(∞) = n diyebilir. Aslında bu 0 ve
∞’un
tespit
edilmiş
sayıları
temsil
ediyormuş
gibi
düşünülemeyeceklerini gösterir. Bu noktaya tekrar döneceğiz. Bir
başka açıdan türev hesabındaki ‘oranların limiti’ için 0/0 ne ise
integral hesabındaki ‘toplamaların limiti’ için (0)(∞)’un o olduğu
söylenebilir.
91
edilememeleri özelliğiyle karakterize edilmişlerdir. Matematikçilerin
hâlen kullandıkları simgelerle karışıklıkların önlenmesi imkânsız gibi
görünmektedir.
Sıfır, niceliğin tam bir yokluğunu temsil ettiği müddetçe – belli
bir takım tartışmalarla hiç karşılaşmamış bazılarına bu çok açık gelse de
– onun bir sayı olmadığı ve bir sayı gibi düşünülemeyeceği gerçeği
üzerinde vurgu yapmamızın nedeni şudur: ‘tüm sayıların en küçüğü’
olması gereken ‘hiç sayı’sının varlığı kabul edilir edilmez karşılıklı ilişki
yoluyla onun tersi olan ‘tüm sayıların en büyüğü’ anlamında bir ‘sonsuz
sayı’nın varlığına da kaçınılmaz olarak inanılır. Bu yüzden eğer sıfırın bir
sayı olduğu faraziyesi kabul edilirse ‘sonsuz sayı’ lehindeki argümanlar
mükemmel bir mantık silsilesini takip eder.111 Ancak tam da bu faraziye
bizim reddetmemiz gereken şeydir, çünkü eğer onun doğurduğu sonuçlar
çelişkiliyse – bir ‘sonsuz sayı’nın varlığının gerçekten bir çelişki
olduğunu gördük – faraziyenin kendisi de çelişik olmalıdır. Gerçekte
niceliğin inkarı hiçbir şekilde özel bir nicelikle asimile edilemez. Sayının
ya da büyüklüğün inkarı, hiçbir anlamda ve hiçbir derecede bir sayı ya da
büyüklük türü oluşturamaz. Aksini iddia etmek, Leibnitz’in ifadesiyle bir
şeyin ‘kendi karşıt türüne eşit olabileceği’ iddiasını sürdürmek demektir.
Ve bu doğrudan doğruya mantığın inkarının kendisinin mantık olduğunu
söylemek olur.
Bu yüzden sıfırı bir sayı gibi söylemek veya ‘sıfır büyüklüğü’
hâlâ bir büyüklük zannetmek tutarsızlıkdır. ‘Sıfır büyüklük’, bir büyüklük
olarak alındığında kaçınılmaz olarak farklı büyüklük çeşitleri kadar farklı
sıfırlar düşünülmüş olur. Gerçekte saf ve basit olan, tasarlanan modu ne
olursa olsun niceliğin reddinden başka bir şey olmayan tek bir sıfır
111
Gerçekten de L. Couturat’ın tezi De l’infini mathematique’deki
argümanların çoğu bu faraziyeye dayanmaktadır.
92
vardır.112 Bu düşünce, aritmetik sıfırın doğru anlamı olarak kabul edilirse,
özenle bakıldığında, onun belirsizce azalan niceliklerle hiçbir ortak
yanının olmadığı çok açık bir hâl alır, zira onlar daima niceliktirler.
Belirsizce azalan nicelikler asla ne niceliğin olmaması ne de sıfır ile
nicelik arası bir şey değildirler. Çünkü bu sıfır ile nicelik arası bir şey
kavramı tamamen anlamsızdır ve kendi düzeyinde daha önce
bahsettiğimiz Leibnitzci ‘sanallık’ kavramını çağrıştırır.
Bahsettiğimiz karışıklıklara nasıl neden olduğunu görmek için
şimdi sıfırın mevcut yaygın gösterimde sahip olduğu diğer anlama geri
dönebiliriz. Daha önce söylediğimiz gibi bir sayı bizim için belirgin
herhangi bir yolla temsil edilemez ya da ifade edilemez olduğunda o sayı,
pratikte belirsiz olarak kabul edilebilir. Ne olursa olsun artarak büyüyen
böyle bir sayı, ∞ işareti ancak belirsiz bir büyüklüğü temsil ettiği sürece,
∞ işaretiyle sembolize edilebilir. Dolayısıyla buradaki mesele tespit
edilmiş bir sayı meselesi değil, bütün bir alan (domain) meselesidir. Bu
durum ayrıca, belirsizliğin içinde eşitsizlikler ve hatta farklı büyüklük
seviyeleri tahayyül etmenin mümkün olabilmesi için gereklidir.
Matematiksel gösterimde,
belirsiz küçüklükler alanı şeklinde
adlandırılabilecek olan, azalan yöne karşılık gelen alanda bir sembol
eksikliği vardır. Ancak bu alana ait bir sayı, hesaplarda ihmal edilebilir
112
Bundan şu sonuç da çıkar: sıfır, kelimenin matematiksel anlamıyla
bir limit olarak düşünülemez çünkü gerçek bir limit tanım gereği bir
niceliktir. Ayrıca, belirsizce azalan bir niceliğin, belirsizce artan bir
nicelikten daha fazla bir limite sahip olmadığı ortadadır. Veya en
azından, bunlardan hiçbirinin zorunlu olarak niceliğin tabiatından
kaynaklanandan başka bir limite sahip olamayacakları ortadadır.
İlerde göstereceğimiz gibi bu iki anlam arasında her ne kadar belli bir
bağlantı olsa da, burada ‘limit’ kelimesi oldukça farklı bir anlamda
kullanılmıştır. Matematiksel olarak belirsizce artan veya belirsizce
azalan iki niceliğin sadece oranları için bir limitten söz edilebilir,
yoksa bu niceliklerin kendileri için bir limitten söz edilemez.
93
olduğundan pratikte adet olduğu üzere bir hiçmiş gibi düşünülür. Oysa bu
sadece bizim ifade ve ölçme imkânlarımızın kaçınılmaz yetersizliğinden
kaynaklanan basit bir yaklaşımdır. Şüphesiz işte bu yüzden bu sayılar
niceliğin tam bir yokluğunu da temsil eden 0 işaretiyle temsil edilir
olmuşlardır. Ancak bu anlamda, 0 işareti ∞ işaretine bir biçimde simetrik
hâle gelir. Bu ikisi daha önce söylediğimiz tam sayıların ve terslerinin
artan ve azalan biçimde iki zıt yönde belirsizce genişledikleri serinin iki
ucuna yerleştirilebilir. Bu seri kendisini şu şekilde ortaya koyacaktır: 0 ...
1/4, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4 ... ∞. Ancak 0 ve ∞’un seriyi her iki yönde
sonlandıran, tespit edilmiş sayıları temsil etmediğini hatırlamak
konusunda dikkatli olmalıyız. Bunlar aksine kesinlikle belirsiz oldukları
için içlerinde hiçbir son terimin olmadığı iki belirsiz alanı temsil
etmektedirler. Ayrıca, yine şu apaçıktır ki buradaki sıfır ne serinin azalan
yönündeki son terimi olabilecek bir ‘hiç sayı’sıdır ne de niceliğin reddi
anlamındaki sıfırdır, zira öyle olsa bu sayısal nicelik serisinde kendine bir
yer bulamazdı.
Daha önce açıkladığımız gibi, bu seride merkezi bire eşit
uzaklıktaki iki sayı, birbirinin tersi ya da birbirinin tamamlayıcısıdır.
Dolayısıyla birbirleriyle çarpıldıklarında bir sonucunu verirler: (1/n)(n) =
1, öyle ki iki ekstrem birbiriyle çarpıldığında (0)(∞) = 1 de yazılabilir.
Ancak, bu çarpımın iki faktörü 0 ve ∞ tespit edilmiş (belli) sayıları temsil
etmediklerinden (0)(∞) ifadesinin kendisi de belirsizliğin bir sembolünü
oluşturur ya da başka bir ifadeyle bir ‘belirsiz form’ oluşturur. Bu yüzden
n herhangi bir sayı olmak üzere (0)(∞) = n yazılmalıdır.113 Bu iki zıt
belirsizlik bir bakıma birbirlerinin etkisini yok ederek bizi her hâlükârda
tekrar olağan sonluluğa getirmektedir. Yine burada şu açıkça
görülmektedir ki ∞ sembölü Sonsuzu temsil etmemektedir. Çünkü doğru
anlamda kullanılan Sonsuzun ne zıddı ne de tamamlayıcısı vardır. Bu
113
Bu konuda bir önceki nota bakınız.
94
Sonsuz herhangi bir şeyle, hangi anlamda anlaşılırsa anlaşılsın sıfırla,
birle ya da başka bir sayıyla veya niceliksel ya da değil hangi seviyeden
olursa olsun herhangi belli bir şeyle karşılıklı bir ilişkiye (correlation)
girmez. Mutlak ve Âlemşümul Küll olarak O, Varlığı da (Being) Varlık
Ötesini de (Non-Being) kapsar, öyle ki sıfırın kendisi dâhi saf hiçlik
(nothing) anlamında kullanılmadığında zorunlu olarak Sonsuzun içinde
kalır.
Varlık Ötesine (Non-Being) değinerek burada sıfırın az önce
söylediğimizden çok farklı, metafizik sembolizm açısından en önemli
anlamına temas ettik. Ancak bu anlamda sembol ile temsil ettiği şey
arasındaki karışıklıkların tümünü izale temek için şunu açıkça söylemek
gerekir: Varlık (Being) olan metafiziksel Bir’in aritmetik bir olmaması
gibi Varlık Ötesi (Non-Being) olan metafiziksel Sıfır da niceliğin sıfırı
değildir. Dolayısıyla bu terimlerle tasarlanan şey sadece kıyas yoluyla
aktarımdır. Çünkü insan kendini Evrensel olanın içine yerleştirdiğinde
tabii ki nicelik gibi her özel alanın ötesine geçmiş olur. Ayrıca sıfır bu
aktarım yoluyla, belirsiz küçüklüğü temsil ettiği sürece Varlık Ötesinin
(Non-Being) sembolü olarak alınamaz. Ancak en sıkı matematiksel
kullanımına uygun olarak, niceliğin olmayışını temsil ettiği müddetçe,
aslında kendi düzeninde zuhur etmeme (non-manifestation) imkânını
sembolize eden Varlık Ötesinin (Non-Being) bir sembolü olarak
alınabilir, tıpkı birin tüm zuhurun (manifestation) prensibi olması gibi.
Çünkü sayıların belirsiz çokluğunun başladığı nokta olarak bir, Varlığın
(Being) zuhur etme imkânını sembolize eder.114
Bu bizi, nasıl düşünülürse düşünülsün sıfırın hiçbir durumda saf
hiçlik (pure nothingness) olarak alınamayacağına götürür. Saf hiçlik
metafiziksel anlamda yalnızca imkânsıza karşılık gelir ve bu imkânsızlık
114
Bu konuda The Multiple States of the Being bölüm 3’e bakınız.
95
mantıksal olarak herhangi bir şeyle temsil edilemez. Tüm bunlar belirsiz
küçüklükler söz konusu olduğunda çok açıktır. Tamamen herhangi bir
nicelik olmama anlamının bir türevi olarak, bizim için ihmal edilebilir
niceliklerin asimilasyonu biçiminde bu doğrudur. Ancak bir nicelik
olmama durumu söz konusu olduğunda, bu bağlamdaki hiçlik (null) başka
bir açıdan, nokta örneğinde görüldüğü gibi, kesinlikle öyle olmayabilir:
bölünemeyen nokta herhangi bir uzamı (extension) olmadığından uzaysal
olarak bir hiçtir,115 ancak bununla birlikte o başka bir yerde açıkladığımız
gibi tüm uzamın asıl prensibidir.116 Ayrıca matematikçilerin sıfırı, belirsiz
bir imkân (potentiality) ile donatılmış olarak düşünmemeleri imkânsız
olmasına rağmen, saf hiçlik gibi tasavvur etme eğilimi göstermeleri çok
ilginçtir. Çünkü ‘anlamlı’ (‘significant’) şeklinde terimlendirilen bir başka
basamağın sağına konulduğunda sıfır, bir sayının temsiline katkıda
bulunur ve bu aynı sıfırın tekrarıyla sayı belirsiz bir biçimde büyütülebilir,
örneğin on sayısı ve bu sayının ardışık kuvvetlerinde olduğu gibi. Eğer
sıfır gerçekten sadece saf hiçlik olsaydı bu böyle olamazdı ve etkin
değerinden mahrum bırakılmış kullanışsız bir işaret olurdu. Burada,
modern matematikçilerin daha önce işaret etme fırsatı bulduğumuz
tutarsız kavramlar listesine bir yenisini eklemiş oluyoruz.
115
İşte bu daha önce söylediğimiz gibi neden noktanın, bir uzunluğun
bir parçasını oluşturan bir eleman olarak düşünülemeyeceğinin
sebebidir.
116
The Symbolism of the Cross bölüm 16’ya bakınız.
96
16. Negatif Sayılar Gösterimi Şimdi sıfırın ikinci ve daha önemli olan matematiksel anlamına,
yani belirsiz küçüklükleri temsil ettiği anlamına dönüyoruz, çünkü çifte
belirsiz sayı serisinde bu ikinci alan belli bir yöndeki hesaplama
imkânlarımızdan kurtulan her şeyi kapsar, tıpkı aynı sayı serisindeki
belirsiz büyüklükler alanının, öteki yöndeki hesaplama imkânlarımızdan
kurtulan her şeyi kapsaması gibi. Bu böyle olduğuna göre, ‘sıfırdan
küçük’ sayılardan söz etmek, ‘belirsizden büyük’ sayılardan söz etmekten
daha uygun değildir. Ve sıfır saf ve basit bir şekilde bir nicelik olmama
durumunu temsil ettiği diğer anlamında alındığında, bu tamamen kabul
edilemez olur, çünkü hiçten (nothing) daha küçük bir nicelik tamamen
akıl dışı bir şeydir. Ancak, negatif sayılar olarak adlandırılan düşüncenin
matematiğe alınmasıyla yapılan şey belli bir anlamda tam da budur. Bu
sayıların başlangıçta, büyük bir sayıyı küçükten çıkarmak şeklindeki
gerçekte imkânsız çıkarma işleminin sonucunu göstermenin bir yolundan
başka bir şey olmadığı, modern ‘antlaşmacılığın’ bir sonucu olarak
unutulmuştur. Ayrıca, daha önce işaret ettiğimiz üzere, sayı fikrinin tüm
genelleme ve uzamları sadece, saf aritmetik bakış açısına göre mümkün
olmayan işlemlerin düşünülmesinden doğmaktadır. Ancak bu negatif
sayılar kavramı ve yol açtığı sonuçlar bir miktar daha açıklamayı
gerektirmektedir.
Daha önce söylediğimiz gibi tam sayılar serisi sıfırdan değil
birden başlayarak oluşturulmuştur. Gerçekten de tüm sayı serisi bu sabit
bire atıfta bulunur, öyle ki serinin zaten baştan, birdeki bu prensip117
117
Benzer şekilde, kıyas yoluyla aktarım sayesinde, zuhurun
(manifestation) tüm imkânlarının belirsiz çokluğu, prensip olarak
‘fazlasıyla’ (‘eminently’) saf Varlıkta (Being) ya da metafizik Birlikte
(Unit) içerilmektedir.
97
tarafından imâ edildiği ve onda içerildiği söylenebilir. Oysa sıfırdan hiçbir
sayının türetilemeyeceği açıktır. Sıfırdan bire geçiş, birden diğer sayılara
ya da verilen bir sayıdan bir sonrakine geçiş gibi yapılamaz ve sıfırdan
bire geçişi mümkün görmek zımnen zaten birin varlığını kabul etmek
demektir.118 Son olarak, sıfırı sanki sayı serisinin ilk terimiymiş gibi
serinin başına koymak ancak şu iki şeyden birisi anlamına gelir: ya daha
önce söylenmiş olanların tersine sıfırın bir sayı olduğunu, dolayısıyla
diğer sayılara oranının bu sayıların kendi aralarındaki oranlarla aynı
seviyede olduğunu kabul etmek – ancak sıfır bir sayıyla çarpıldığında
veya bir sayıya bölündüğünde daima sıfır çıktığından durum bu değildir
– , ya da bunun gösterim için basit bir araç olduğunu düşünmek ki bu
sadece o ya da bu ölçüde girift karışıklıklara yol açar. Aslında bu aracın
kullanımı, negatif sayılar gösterimine izin verilmesinin dışında asla haklı
çıkarılamaz. Bu gösterim, hesapların kolaylığı için şüphesiz bazı
avantajlar sunsa da – burada bahis konusu olmayan ve bizim bakış
açımızdan herhangi bir öneme sahip olmayan tamamen ‘faydacı’
(‘pragmatic’) bir anlayış – onun mantıksal zorluklar mezarlığından âzâde
olmadığını görmek kolaydır. Bu zorlukların ilki kesinlikle negatif
niceliklerin ‘sıfırdan küçük’ nicelikler olarak düşünülmesidir. Bu,
Leibnitz’in yalnızca bir toleranter verae şeklinde sıraladığı
düşüncelerden birisidir. Oysa gerçekte bu, az önce söylediğimiz gibi
tamamen herhangi bir anlamdan mahrumdur. “Sıfırdan küçük, izole
edilmiş negatif bir nicelik ileri sürmek” der Carnot, “berraklık ilmi olması
gereken matematik biliminin, nüfuz edilemez bir bulutla perdelenmesi ve
insanın kendisini her biri diğerinden daha tuhaf paradokslar labirentine
saplaması demektir.”119 Bu konunda biz O’nun şüphe götürmez ve
kesinlikle abartılı olmayan hükmünü takip edebiliriz. Ayrıca, bu negatif
118
Sayı serisini oluşturan genel kuralla uyum içinde bu geçiş şu
formülle sunulduğunda 0 + 1 = 1, bu tamamen açıkça ortaya çıkar.
119
Reflexions sur la Metaphysique du Calcul infinitesimal’ın sonunda
yer alan ‘Note sur les quantites negatives’, s. 173.
98
sayılar gösterimini kullanan birisi asla bunun basit bir antlaşmadan başka
bir şey olmadığını unutmamalıdır.
Bu antlaşmanın nedeni şu dur: verilen bir çıkarma aritmetik
olarak mümkün olmadığında, bu çıkarmaya konu olan büyüklükler
birbirine zıt iki yönle bağlantılı iseler sonuç yine de anlamdan yoksun
olmaz. Örneğin, bir çizgi üzerinde ölçülen mesafeler veya sabit bir nokta
etrafında dönerken oluşan açılar ya da belli bir andan geçmişe veya
geleceğe doğru giden süreler bu şekildedir. Bu nedenle geometrik
gösterim negatif sayılara âdet olduğu üzere razı olmuştur. Sadece bir
değil, daha önce olduğu gibi, her iki yönde de ucu belirsiz olan doğrusal
bir çizginin tamamı ele alındığında çizgi üzerindeki mesafeler,
gösterdikleri yöne göre pozitif veya negatif olarak düşünülürler. Ve
başlangıç noktası olarak görev yapması için bir nokta seçilir. Noktanın bir
tarafındaki mesafeler pozitif, diğer tarafındaki mesafeler negatif olur.
Çizgi üzerindeki her bir nokta için, o noktanın başlangıç noktasına olan
mesafesinin ölçümünü gösteren bir sayı vardır. Kullandığımız dili
basitleştirmek için bu sayıya biz katsayı diyebiliriz. Başlangıç noktası
kendi katsayısı için doğal olarak sıfıra sahip olacaktır. Çizgi üzerindeki
diğer tüm noktaların katsayıları + ve – işaretleriyle düzeltilmiş sayılar
olacaktır. Bu işaretler gerçekte sadece o noktanın başlangıç noktasının ne
tarafına düştüğünü gösterir. Benzer şekilde bir çember üzerinde pozitif ve
negatif dönme yönleri tayin edilebilir. Yarıçap için seçilen belli bir
pozisyona göre pozitif ve negatif açılar tespit edilebilir. Ancak doğrusal
çizgi örneğinde kalırsak, başlangıç noktasından eşit mesafede bulunan iki
nokta, aynı katsayı fakat zıt işaretlere sahiptirler. Her durumda, başlangıç
noktasından daha uzak mesafede bulunan bir noktanın katsayısı
diğerinden büyüktür. Dolayısıyla eğer bir n sayısı m sayısından büyükse,
genellikle yapıldığı gibi -n sayısının -m sayısından küçük olduğunu
söylemek absürttür. Çünkü aksine o daha büyük bir mesafeyi temsil eder.
Ayrıca, bir sayının önüne konan bir işaret nicelik anlamında o sayıyı
99
gerçekten değiştiremez. Çünkü o işaretin, mesafenin ölçümünün kendisi
açısından bir anlamı yoktur. Ancak o mesafenin kat edileceği yön olarak
bir anlamı vardır. Aslında yön, niceliksel değil niteliksel düzenin bir
elementidir.120
Üstelik, doğru her iki taraftan da belirsiz olduğundan sırasıyla ∞
ve -∞ işaretleriyle temsil edilen, genellikle ‘büyük sonsuzluk’ ve ‘küçük
sonsuzluk’ absürt ifadeleriyle belirtilen pozitif ve negatif belirsizlikler
tasavvur edilebilir. İnsan pekâlâ negatif bir sonsuzluğun ne olduğunu
sorabilir ya da bir şeyden, hatta sıfırdan, sonsuz bir miktar çıkarıldığında
ne kaldığını, zira matematikçiler sıfırı bir hiç gibi görmektedirler.
Bunların nasıl da bir anlamdan yoksun olduklarını anında görmek için
sadece birisinin bu meseleleri açık bir dille ortaya koyması gerekir. Ayrıca
şunu da eklemek zorundayız: özellikle fonksiyonların değişimi
çalışılırken negatif ve pozitif belirsizliklerin birleştiklerine inanılır, öyle
ki başlangıç noktasından çıkıp pozitif yöne doğru giden bir hareketli bu
yönde uzaklaşır, uzaklaşır ve sonunda negatif taraftan gelerek tekrar
başlangıç noktasına ulaşır ya da bunun tam tersi olur. Eğer hareket
belirsizce uzun bir süre devam ederse, düz çizgi ya da öyle olduğu
varsayılan şey her ne kadar belirsiz olsa da aslında kapalı bir çizgiye
dönüşür. Ayrıca, bir düzlemdeki doğrusal çizginin özelliklerinin
tamamen, büyük bir çemberin ya da bir küre yüzeyindeki çapsal çemberin
özelliklerine benzediği gösterilebilecektir. Düzlem ve doğrusal çizgi
sırasıyla, belirsizce büyük yarıçapları sayesinde belirsizce küçük
eğrilikleri olan küre ve çembere bağlanmış olacaktır. Böylece düzlem
120
The Reign of Quantity and the Signs of the Times, bölüm 4’e
bakınız. İnsan bir çeşit şuursuz hafızanın bulunup bulunmadığını
merak ediyor. Çünkü matematikçiler hâlâ bazen ‘nitelenmiş sayılar’
(‘qualified numbers’) adı altında bu ifadeye başka hiçbir açık anlam
yüklemeden ‘işaretlenmiş’ yani pozitif veya negatif olarak
düşünülmüş sayılar tanımlıyorlar.
100
üzerindeki sıradan çemberler, küre üzerindeki küçük çemberlerle
kıyaslanabilir olur. Bu kıyasın dakik olabilmesi için ‘limite geçiş’in farz
edilmesi zorunludur, çünkü belirsiz bir artış yoluyla bir yarıçap ne kadar
büyük bir hâle gelirse gelsin onun daima bir düzlemi değil bir küreyi
tanımlayacağı açıktır. Kürenin düzleme ve onun büyük çemberinin (veya
yarıçapının) çizgiye dönüşmesi ancak kendi limitleri olan düzlem ve
çizgiye geçmeleri demektir, aynen çemberin, kenar sayısı belirsizce artan
düzgün çokgenin limiti olması gibi. Bu meseleyi daha da ileriye
götürmeksizin sadece şunu belirtmek istiyoruz: bu tarz mülahazalar
vasıtasıyla insan uzaysal belirsizliğin kesin limitini doğrudan doğruya
kavrayacak gibidir. O zaman birazcık mantıklı olmak isteyen birisi nasıl
olur da hâlâ tüm bunlarda bir sonsuzluktan bahsedebilir?
Az önce yaptığımız gibi pozitif ve negatif sayıları ele aldığımızda
sayı dizisi şu formu alır: -∞ ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ... +∞. Bu sayıların
sırası, çizgi üzerinde denk geldikleri noktaların sırasıyla aynıdır. Yani
oluşan bu serinin gerçek kaynağını, katsayıları bu sayılar olan noktalar
işaret ederler. Bu seri her iki yönde de aynı oranda belirsiz olmasına
rağmen daha önce tasarladığımız tam sayılar ve terslerinden oluşan
seriden tamamen farklıdır. Bu seri bire göre değil, mesafelerin başlangıç
noktası olan sıfıra göre simetriktir. Bu kez merkezi terimden eşit uzaklıkta
bulunan iki sayı merkeze, ters sayıların durumunda olduğu gibi çarpma
yoluyla değil ‘cebirsel’ toplama yoluyla döner. Aritmetik dille söylersek
işaretler hesaba katıldığında bu toplama bir çıkarma anlamına gelir.
Ayrıca, hiçbir biçimde bu yeni serinin bir öncekinde olduğu gibi bir yönde
belirsizce arttığını diğer yönde belirsizce azaldığını söyleyemeyiz. Eğer
birisi öyle olduğunu iddia ederse bu ancak ‘sıfırdan küçük’ sayılar
tasavvur etmek gibi çok yanlış bir ‘konuşma tarzı’ olacaktır. Aslında bu
seri her iki yönde de belirsizce artmaktadır, çünkü merkezi sıfırın her iki
yanında da aynı tam sayılar serisi ihtiva edilmektedir. Bir başka tuhaf
ifade olarak ‘mutlak değer’ şeklinde adlandırılan şey ancak sırf nicelik
101
açısından dikkate alınmalıdır. Pozitif ve negatif işaretleri bu anlamda
hiçbir şeyi değiştirmezler, çünkü az önce açıkladığımız gibi gerçekte
onlar mevki farkından başka bir şey ifade etmezler. Dolayısıyla eksi
belirsizlik hiçbir şekilde belirsiz küçüklükle kıyaslanamaz. Aksine o, artı
belirsizlik gibi belirsiz büyüklüğe aittir. Nicelik düzenine ait olmayan tek
fark onun diğer yöne ilerlemesidir. Mekansal ya da zamansal büyüklükler
söz konusu olduğunda bu mükemmel bir şekilde anlaşılabilir. Fakat
aritmetik büyüklükler için onun hiçbir anlamı yoktur zira böyle bir
ilerleme zorunlu olarak tektir. Çünkü bu ilerleme tam sayılar serisinden
başka bir şey olamaz.
Negatif sayılar gösteriminin mantıksız veya garip sonuçları
arasında yukardakilere ilaveten, cebirsel eşitliklerin çözümünde takdim
edilen ve daha önce gördüğümüz gibi Leibnitz’in ‘sağlam inşa edilmiş
kurgular’ şeklinde sınıflandırdığı ve infinitezimal niceliklerle aynı
durumda olduğunu söylediği ‘sanal’ (‘imaginary’) nicelikler biçimde
isimlendirilen düşünceye dikkat çekeceğiz. Gerçekte saf ve basit bir
imkânsızlığa denk gelmesine rağmen bu nicelikler ya da öyle adlandırılan
şeyler negatif sayıların kare kökleri olarak sunulurlar. Çünkü cebirsel
çarpım kuralı gereğince, pozitif de olsa negatif de olsa bir sayının karesi
zorunlu olarak daima pozitifdir. Birisi gerçek bir şeylere denk getirmek
süretiyle – burada sınamayacağımız bir ihtimal – bu ‘sanal’ niceliklere
başka bir anlam vermeyi başarsa bile en azından şu oldukça kesindir:
çağdaş matematikçilerin sunduğu şekliyle ‘sanal’ sayılar teorisi ve
analitik geometriye uygulanması, açıkça çelişkili önermelerin önünde
dahi geri çekilmeyen, aşırı ve tamamen yapay genellemeler ihtiyacının bir
ürünü olarak, karışıklıkların hatta absürtlüklerin gerçek bir ağından başka
bir şey değildir. Örneğin ‘çemberin asimtotları’yla ilgilenen bazı
teoremler bu yorumun bir abartı olmadığını fazlasıyla ispatlar. Aslında
102
bunun artık geometriyle ilgili olmadığı fakat uzayın ‘dördüncü boyutu’121
mülahazalarında olduğu gibi sadece cebirin geometri diline çevrilmesiyle
ilgili olduğu söylenebilir. Ancak tam da bu çevirmenin ve tersinin bir
dereceye kadar mümkün ve yasal olması yüzünden bazı kimseler onu
daha fazla hiçbir anlam taşımayacağı durumlara kadar genişletmek
istemektedirler. Bu gerçekten çok ciddi bir şeydir. Çünkü bu olağanüstü
fikir karışıklıklarının bir göstergesi olduğu gibi bazı kimselerin tüm
gerçeklik algısını yitirmelerine neden olan ‘antlaşmacılığın’ en uç
sonucudur.
121
Bakınız The Reign of Quantity and the Signs of the Times, bölüm
18 ve 23.
103
17. Kuvvetlerin Dengesinin Temsili Negatif sayılar bağlamında şimdi, çalışmamızın esas konusuna
nazaran sadece bir arasöz olarak, bu sayıların kullanımının mekanik bakış
açısından doğurduğu tartışmalı sonuçlardan söz edeceğiz. Konusu gereği
mekanik alan gerçekten fiziksel bir bilim olduğundan, günümüz biliminin
sırf nicelik bakış açısının bir sonucu olarak, ona matematiğin tamamlayıcı
bir parçası gibi muamele ediliyor olması, bazı tuhaf çarpıklıkların
doğmasına neden olmuştur. Modern matematikçilerin bu bilimi üzerine
kurmak istedikleri sözde ‘prensipler’, onların anladığı biçimiyle ancak
kelimenin tamamen bir kötüye kullanımı anlamında ‘prensipler’ olarak
anılabilir. Çünkü bunlar aslında sadece az ya da çok sağlam temelli
varsayımlar ya da en iyi durumda bile bir dereceye kadar genel olan, belki
başka bazı kurallardan biraz daha genel olan, bazı basit yasalardır ama
gerçek evrensel prensiplerle ortak hiçbir yanları yoktur. Geleneksel bakış
açısına göre oluşturulmuş bir bilimde mekanik yasaları, bu gerçek
evrensel prensiplerin daha özel bir alana uygulanmasından başka bir şey
olamaz. Çok uzun açıklamalara girmeden birinci örnek olarak hiçbir şeyin
savunamayacağı ‘eylemsizlik prensibi’ (‘principle of inertia’) denilen
şeyden bahsedelim: Ne deneyim, eylemsizliğin tabiatta bir rolü olduğunu
gösterir, ne de sırf tüm özelliklerin tam bir yokluğundan oluşan bu
eylemsizliği kavrayamayan anlayış onu savunabilir. Böyle bir terim
meşru bir biçimde ancak evrensel cevherin (substance) saf imkânına
(potentiality) ya da Skolastiklerin materia prima’sına uygulanabilir.
Ayrıca işte bu nedenle o tam anlamıyla ‘anlaşılamaz’ (‘unintelligible’) dır.
Ancak bu materia prima kesinlikle fizikçilerin ‘madde’sinden (‘matter’)
tamamen farklı bir şeydir.122 İkinci örneğimiz, doğal kuvvetlerin dengesi
genel yasasından hemen çıkarılabilecek çok küçük bir prensip olan ‘etki122
Bakınız The Reign of Quantity and the Signs of the Times, bölüm
2.
104
tepki eşitliği prensibi’dir. Ne zaman bu doğal kuvvetlerin dengesi rahatsız
edilse derhâl denge kendisini yeniden kurmak ister ve bu yüzden
kendisini tahrik eden etkiye eş şiddetli bir tepki oluşturur. Dolayısıyla bu,
Uzak Doğu geleneğinin ‘ahenkli etkiler ve tepkiler’ prensibinin sadece
özel bir durumudur. Bu prensip, mekanik yasalarında olduğu gibi yalnız
cismani (corporeal) dünyayla ilgili değil, gerçekten tüm mod ve
durumlarında zuhurun (manifestation) tamamıyla ilgilidir. Geçici bir ara
vermeye değecek kadar önemli olduğundan bir süreliğine bu denge
sorunu ve onun matematiksel temsili üzerinde durmak istiyoruz.
Denge durumundaki iki kuvvet genellikle zıt iki ‘vektör’ ile
gösterilmektedir, yani eşit uzunlukta ama zıt yönleri gösteren iki doğru
parçasıyla. Aynı şiddete sahip ve aynı doğru üzerinde bulunan ama zıt
yönleri gösteren iki kuvvet aynı noktaya uygulandığında dengededirler.
Uygulandıkları noktada bir eylemleri olmaz. Hatta genellikle birbirlerini
iptal ettikleri söylenir. Oysa kuvvetlerden birisi bastırıldığında diğerinin
hemen eyleme geçmesi, bunların aslında önceden birbirlerini iptal
etmediklerini ispatlar. Kuvvetler şiddetleriyle doğru orantılı olan sayısal
katsayılarla karakterize edilirler. Zıt yönleri gösteren kuvvetlerin birinin
katsayısının işareti pozitif, diğerinin işareti negatifdir, yani kuvvetlerden
biri f ise diğeri -f’ olacaktır. Az önce düşündüğümüz gibi kuvvetlerin
şiddetinin eşit olduğu durumda, onları karakterize eden katsayıların
‘mutlak değerleri’ eşit olmalıdır. Dolayısıyla, f = f’ elde edilir. Buradan
denge şartı olarak f - f’ = 0 çıkarılır. Bu da, dengedeki iki kuvvetin ya da
onları temsil eden iki ‘vektör’ün cebirsel toplamının bir hiç (null) olduğu
anlamına gelir. Böylece denge sıfır ile tanımlanmış olur. Daha önce
söylediğimiz gibi sıfır, matematikçiler tarafından yanlış bir biçimde
hiçliğin (nothingness) bir sembolü olarak görüldüğünden – sanki hiçlik
(nothingness) herhangi bir şeyle sembolize edilebilirmiş gibi – bu sonuç,
dengenin bir var olmama (non-existence) durumu olduğu gibi görünür ki
bu gerçekten tuhaf bir neticedir. Bu yüzden, çok temel bir gözlem yoluyla
105
ortaya koyduğumuz gibi, dengedeki iki kuvvetin birbirlerinin tesirlerini
etkisiz hâle getireceklerinin söylenmesi daha doğru olacaktır. Bunun
yerine bu kuvvetlerin birbirlerini iptal ettiklerinin söylenmesi gerçeğe
zıddır.
Doğru denge mefhumu tamamen farklı bir şeydir. Bunu anlamak
için, sadece çok özel bir durumdan daha fazlası olmayan mekanik
kuvvetlerin değil tüm doğal kuvvetlerin, cismani düzenin (order)
kuvvetleri gibi hemen göze çarpmayan (subtle) düzenin kuvvetlerinin de
ya çekici ya da itici olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Çekici
kuvvetler sıkıştırıcı veya daraltıcı (kabz edici –Çev.–), itici kuvvetlerse
genişletici ya da açıcı (bast edici –Çev.–) kuvvetler olarak
düşünülebilir.123 Esasında bu, temel kozmik ikiliğin (duality) kendisinin
özel bir alandaki ifadesinden başka bir şey değildir. Başlangıçta homojen
olan bir ortam verildiğinde, nasıl her sıkıştırma noktasına eş bir genişleme
noktasının zorunlu olarak denk geldiği ve nasıl biri olmadan diğerinin
olamayacağı, iki kuvvet merkezinin birbirine bağlı olarak nasıl tasavvur
edildiği kolayca anlaşılır. İşte bu, birçok değişik formda, doğal
fenomenlerin hepsine uygulanabilen kutupluluk yasasıdır (law of
polarity). Zira bu yasa, tüm zuhuru (manifestation) kontrol eden
prensiplerin ikiliğinden ileri gelir. Fiziğin kapladığı bu özel alanda bu
123
Merkezcil ve merkezkaç kuvvetlerin sıradan anlamı
düşünüldüğünde ilkinin sıkıştırıcı, ikincisinin ise genişletici kuvvetler
kategorisine düştüğü kolayca görülür. Benzer şekilde sürtünme
kuvveti genişletici kuvvetler arasına konabilir, çünkü uygulama
noktasından dışarıya doğrudur. İtme veya vurma kuvvetleri sıkıştırıcı
kuvvetler arasında düşünülebilir, zira bu kuvvetler aksine uygulama
noktasının içine doğrudur. Ancak eğer meseleye yayılma nokta-i
nazarından bakılırsa tersi doğru olur ve ayrıca bu kutupluluk yasasının
(law of polarity) istediği bir şeydir. Başka bir alanda, Hermetik
‘pıhtılaşma’ (‘coagulation’) ve ‘çözülme’ (‘solution’) sırasıyla
sıkışmaya ve genişlemeye denk gelir.
106
yasa bilhassa elektrik ve manyetik olaylarda belirgindir. Ancak hiçbir
şekilde bu olaylarla sınırlı değildir. Şimdi, biri sıkıştırıcı diğeri genişletici
iki kuvvet aynı noktaya etki ederse bu kuvvetlerin dengede olması için ya
da tesirlerinin etkisiz hâle getmesi için gereken şart, sağlandığında ne
sıkışmanın ne de genişlemenin olmayacağı şart, şiddetlerinin denk
(equivalent) olmasıdır. Eşit (equal) olması demiyoruz, çünkü bu kuvvetler
farklı türdendirler ve ayrıca bu fark basit bir nicelik farkı meselesi değil
gerçek bir nitelik farkı meselesidir (bu ‘kuvvetlerin’ fiziksel boyutlarının
birbirlerinin tersi olacağı biraz sonra anlaşılacaktır –Çev.–). Kuvvetler,
meydana getirecekleri sıkışma ve genişlemelerle doğru orantılı olan
katsayılarla karakterize edilebilirler, öyle ki sıkıştırıcı bir kuvvetle
genişletici bir kuvvet birlikte düşünüldüklerinde birincisi n > 1, diğeri n’
< 1 şeklinde katsayılara sahip olurlar. Bu katsayıların her biri, mevzu
bahis olan noktayı kuşatan uzayın, etki eden kuvvet altındaki
yoğunluğunun, aynı uzayın orijinal yoğunluğuna oranı olacaktır. Burada
yeterli neden prensibinin basit bir uygulaması marifetiyle herhangi bir
kuvvete maruz kalmayan uzay homojen olarak alınır.124 Ne sıkışma ne de
genleşme meydana gelmediğinde uzayın yoğunluğu değişmediğinden
oran, zorunlu olarak bire eşit olur. Aynı noktaya etti eden iki kuvvetin
dengede olabilmesi için bu iki kuvvetin bileşkesinin (resultant)
katsayısının bir olması gerekir. Bu bileşke kuvvetin katsayısının,
alışılagelmiş görüşte olduğu gibi söz konusu iki kuvvetin katsayılarının
toplamı değil çarpımları olduğunu görmek kolaydır. Dolayısıyla, bu iki
katsayı n ve n’ birbirlerinin tersi olmalıdır: n’ = 1/n. Böylece denge şartı
olarak (n)(n’) = 1’e sahip oluruz ve denge artık sıfırla değil birle
tanımlanmış olur.125
124
Yeterli neden prensibinden (principle of sufficient reason) söz
ettiğimizde aklımızda olan tabii ki Leibnitz’in veya başkalarının ona
vermek istedikleri özel ve az ya da çok itiraz edilebilir formlardan
farklı olarak sadece prensibin kendisidir.
125
Bu formül, Uzak Doğu kozmolojisindeki birbirlerini tamamlayan
107
Dengenin bire göre olan bu tanımı – onun tek gerçek tanımı –
birin, tam sayılarla terslerinden oluşan çifte belirsiz serinin tam orta
noktasında bulunduğu gerçeğiyle örtüşmektedir. Oysa bu merkezi
pozisyon pozitif ve negatif sayıların yapay serisinde sıfır tarafından gasp
edilmiştir. Var olmama durumundan çok farklı bir şey olarak denge
aksine, kendisinin ikincil ve çoklu zuhurundan bağımsız biçimde bizatihi
mevcuttur. Ayrıca o kesinlikle kelimenin metafizik anlamında bir Varlık
Ötesi (Non-Being) değildir, çünkü varlık (existence) bu en eski
(primordial) ve farklılaşmamış durumda bile hâlâ ayrışmış tüm zuhurun
başlama noktasıdır, tıpkı birin, sayıların tüm çokluğunun başlama noktası
olması gibi. Az önce söylediğimiz şekilde, içinde dengenin ikamet ettiği
bu birlik, Uzak Doğu geleneğinin ‘Değişmez Orta’ dediği şeydir. Ve bu
geleneğe göre bu denge ya da ahenk, varlığın tüm modlarının ve tüm
durumlarının merkezinde bulunan ‘Göklerin Aktivitesi’nin (‘Activity of
Heaven’) bir yansımasıdır.
yang ve yin prensiplerinin dengesi anlayışına tam olarak uymaktadır.
108
18. Değişken ve Sabit Nicelikler Şimdi infinitezimal hesabın kesinliğinin gerekçelen-dirilmesi
sorununa geri dönelim. Leibnitz’in, iki niceliğin farkı tam olarak bir hiç
(null) olmasa dahi bu fark, niceliklerin kendileriyle kıyaslanamaz
olduğunda, bu nicelikleri eşit kabul ettiğini daha önce gördük. Başka bir
deyişle O’nun için, infinitezimal nicelikler nihila absoluta (mutlak
hiçlikler) olmasa da nihila respectiva (bir açıdan hiçlik) dir ve böyle
olduklarından, olağan niceliklere kıyasla ihmal edilebilirler. Ne yazık ki
bu ‘kıyaslanamazlık’ argümanı, infinitezimal hesabın kesin karakterini
tam olarak sadece onun üstüne inşa etmek için yeterince dakik değildir.
Bu bakış açısıyla hesap kısaca, bir belirsiz yaklaşım metodu olarak
görülür ve biz Leibnitz gibi “bu bir defa ileri sürüldüğünde, hata yalnızca
sonsuz küçük olmaz, aynı zamanda bir hiç olur” diyemeyiz.126 Oysa bu
sonuca ulaşmanın daha kesin bir yolu yok mudur? En azından
hesabımızdaki hatanın istenildiği kadar küçük hâle getirilebileceğini
kabul etmemiz gerekir ki bu zaten çok şey demektir. Fakat hesabın sadece
seyri değil de sonucu düşünüldüğünde, hatanın tam da bu infinitezimal
karakteri, onu tamamen ortadan kaldırmaz mı?
Bir infinitezimal fark, yani sonu belli olmadan küçülen fark,
yalnız iki değişken niceliğin farkı olabilir, çünkü iki sabit niceliğin
farkının ancak sabit bir nicelik olabileceği açıktır. Bu yüzden, iki sabit
nicelik arasındaki infinitezimal farktan söz etmek anlamsız olur.
Dolayısıyla, şunu söylemeye hakkımız var: iki sabit nicelik “aralarındaki
fark birisinin istediği kadar küçük olduğunda tamamen eşittirler.”127
Şimdi, “olağan hesap gibi infinitezimal hesap da gerçekten görünürde
126
127
26 Mart 1676’ya tarihlenen bir parça.
Carnot, Reflexions sur la Metaphysique du Calcul infinitesimal, s.
29.
109
sadece sabit ve tespit edilmiş niceliklere sahiptir.”128 Kısacası bu
hesaplama, değişken niceliği yalnız, sırf geçici karaktere sahip bir
yardımcı olarak işin içine sokar. Bu değişkenler, yalnızca sabit
niceliklerin oranını ifade edebilen hesabın sonunda ortadan
kaybolmalıdır. Dolayısıyla bu sonuçları elde edebilmek için değişken
nicelikler düşüncesinden sabit nicelikler düşüncesine geçmek gerekir. Bu
geçişin sonucu tam olarak, esasen değişken olan ve ancak değişken
niceliklerin farkları şeklinde görünebilen infinitezimal niceliklerin
elenmesidir.
Şimdi niçin daha önce aktardığımız tanımda Carnot’ın,
hesaplamada çalıştırılan infinitezimal niceliklerin “kıyaslandıkları
nicelikleri değişmeye zorlamaksızın”, birinin istediği kadar küçük hâle
getirebileceği nicelikler oldukları konusunda ısrar ettiğini anlamak kolay
olacaktır. Çünkü bu ikinci nicelikler gerçekte sabit nicelikler olmalıdır.
Hesapta onların, değişken niceliklerin limiti şeklinde düşünüldükleri
doğrudur. Fakat bu sonrakiler sadece basit yardımcılar rolünü oynarlar,
tıpkı yanlarında getirdikleri infinitezimal niceliklerin yaptığı gibi.
İnfinitezimal hesabın kesinliğini doğrulayan esas nokta sonuçta sadece
sabit niceliklerin yer alması gerektiğidir. Dolayısıyla hesaplama açısından
eninde sonunda değişken niceliklerden sabit niceliklere geçmek bir
zorunluluktur. Ve bu gerçekte bir ‘limite geçiştir’. Fakat Leibnitz’in
düşündüğü gibi değil, çünkü değişkenin kendisinde bir sonuç ya da ‘son
terim’ yoktur. Şimdi, – ve işte bu gerçekten önemli olan şeydir –
infinitezimal nicelikler bu geçişte kendilerini, çok basit bir şekilde,
değişken niceliklerin yerine sabit niceliklerin konulması nedeniyle,
ortadan kaldırırlar.129
128
Bakınız Charles de Freycinet, De l’Analyse infinitesimale, önsöz, s
viii.
129
Bakınız Charles de Freycinet, aynı eser s. 220: “Carnot’ın ‘kusurlu’
(‘imperfect’) dediği denklemler aslında karşılanmamış (unfulfilled)
110
Fakat Carnot’un söyleyebileceği gibi onların ortadan kalkması
yalnızca ‘hataların telafi edilmesi’nin bir sonucu mudur? Biz öyle
olduğunu düşünmüyoruz. Hakikaten öyle görünüyor ki değişken ve sabit
nicelikler birbirinden ayırt edilir edilmez, aralarında şüphesiz bir ilişki ve
benzerlik olan – her ne kadar böyle bir geçiş etkilenecek olsa da birinden
ötekine geçebilmek için bu gereklidir – iki ayrı alan oluşturdukları
gözlenebilir. Fakat bunların gerçek oranları herhangi bir içiçe geçme,
hatta bir süreklilik bile tesis etmezler. Ayrıca bu, limit mefhumu hakkında
daha önce söylenenlere uygun bir biçimde, niceliğin iki çeşiti arasında
esasen niteliksel bir farkın mevcut olduğunu imâ eder. Leibnitz bu ayrımı
asla açıkça yapmamıştır. Şüphesiz O’nun evrensel bir biçimde
uygulanabilen süreklilik anlayışı bunu yapmasına engel olmuştur. O,
‘limite geçiş’in aslında bir süreksizliği imâ ettiğini göremedi, çünkü
O’nun için süreksizlik diye bir şey yoktu. Oysa tek başına bu ayrım, şu
önermeyi formüle etmemize izin vermektedir: eğer iki değişken nicelik
arasındaki fark birinin istediği kadar küçük hâle gelebiliyorsa, bu
değişkenlerin limiti olan sabitler kesin bir şekilde eşittirler. Dolayısıyla,
infinitezimal bir fark asla bir hiç hâline gelemez. Fakat böyle bir fark
yalnız değişkenler arasında var olabilir. Bu değişkenlere karşılık gelen
sabit nicelikler arasındaki fark gerçekten bir hiç olmalıdır. Bu yüzden,
değişken nicelikler alanında (tam olarak bu niceliklerin karakteri
yüzünden belirsiz yaklaşımdan başka bir sorunun olamayacağı alan)
birinin istediği kadar küçük hâle gelebilen bir hata, sabit nicelikler
denklemler ya da geçiş denklemleridir. Bunlar sadece limit
hesaplarında kullanıldıkları sürece kesindirler. Öte yandan bu
denklemler limitleri fiilen bulamadıklarında tümüyle hatalı olurlar.
Geçilen oranların değeri hakkında bir şüphenin oluşmaması için
hesabın fiili hedefinin akılda tutulması yeterli olur. Her bir oranda,
oranın o an için ne ifade ettiğine değil, limiti alındıktan sonra ne ifade
edeceğine bakılmalıdır.”
111
alanında zorunlu olarak kesinlikle bir hiç olan hataya karşı gelir.
İnfinitezimal hesabın kesinliğinin doğru gerekçesi özü itibariyle işte
yalnız bu düşüncede oturmaktadır, ne olurlarsa olsun daima az ya da çok
sorunun çevresinde kalan diğer düşüncelerde değil.
112
19. Ardışık Türev Alma Şimdiye kadar söylediklerimiz hâlâ infinitezimal niceliğin farklı
seviyeleri düşüncesiyle ilgili bir zorluk bırakmaktadır: bir nicelik nasıl
sadece olağan niceliklere göre değil aynı zamanda kendileri de
infinitezimal olan başka niceliklere göre bile infinitezimal olabilir?
Leibnitz burada yine ‘kıyaslanamazlar’ mefhumuna başvurmaktadır.
Fakat bu bizi tatmin edemeyecek kadar müphemdir ve ardışık türev alma
imkânını yeterli bir biçimde açıklayamaz. Mekanikten bir örnek ya da
kıyasla bu imkân şüphesiz çok iyi anlaşılabilir: “Ağırlık Conatus’u
(kuvveti) veya merkezkaç eğilimi sürat için ne ise ddx de dx için o dur.”130
Leibnitz bu düşüncesini Hollandalı matematikçi Nieuwentijt’in
itirazlarına verdiği cevapta geliştirmiştir. Nieuwentijt, birinci dereceden
diferansiyelleri (infinitezimal farkları) kabul ederken daha üst dereceden
olanların sadece bir hiç (null) olduklarını iddia ediyordu.
Olağan nicelik, ilk infinitezimal veya diferansiyel nicelik
ve ikinci infinitezimal ya da diferenzo-diferansiyel
nicelik birbirlerine göre hareket (yer değiştirme –Çev.–),
sürat ve hareketin bir elemanı olan istem (solicitation)131
dirler. Hareket bir çizgiyi tanımlar, sürat çizginin bir
elemanını ve istem elemanın bir elemanını.132
130
Huygens’e mektup, 1-11 Ekim 1693.
‘İstem’ (‘solicitation’) ile kast edilen, yaygın olarak ‘ivme’ terimi
ile belirtilen şeydir.
132
Responsio ad nonnullas difficultates a Dn. Bernardo Nieuwentijt
circa Methodum differentialem seu infinitesimalem notas
(Diferansiyel veya İnfinitezimal Metot Hakkında Bay Bernard
Nieuwentijt Tarafından Ortaya Konan Bazı Zorluklara Cevaplar)
Leipzig’in Acta Eruditorum’unda, 1695.
131
113
Fakat burada biz, bir savunmaya değil açıkçası yalnız basit bir
‘illüstrasyon’ şeklinde hizmet eden özel bir örneğe veya duruma sahibiz.
Bu örneğin zımnen içerdiği delili daha genel bir seviyeden göstermek
gerekir.
Gerçekten de, birinci dereceden differensiyeller artışları – ya da
daha doğrusu değişimleri, çünkü duruma göre artış yönünde
olabilecekleri gibi kolayca azalış yönünde de olabilirler – gösterirler. Bu
artış ve azalışlar her an olağan nicelikler tarafından ulaşılır; belli bir
harekette kaplanan uzaya (alınan yola –Çev.–) nispetle sürat gibi. Aynı
şekilde, belli bir seviyeden diferansiyeller bir önceki seviyenin
diferansiyellerinin anlık değişimlerini gösterirler. Bu değişimler dönüşte,
belli bir aralıkta var olan büyüklükler olarak alınır; sürate nispetle ivme
gibi. Dolayısıyla infinitezimal niceliklerin farklı seviyeleri arasındaki
ayrım gerçekte kıyaslanamaz büyüklükler düşüncesinden çok; değişimin
farklı dereceleri düşüncesine dayanmaktadır.
Bunu, tam olarak anlaşılması gerektiği şekle sokabilmek için şu
açıklamayı yapalım: daha önce sabit ve değişken nicelikler için yapılan
ayrımın benzeri, değişkenlerin kendisi içinde de yapılabilir. Bu şartlarda
Carnot’ın tanımına yeniden dönersek bir niceliğin diğerlerine oranla
infinitezimal olduğunu söyleyebilmek için o niceliğin ‘kıyaslandığı
nicelikleri değişmeye zorlamaksızın’ birinin istediği kadar küçük hâle
gelebiliyor olması gerekir. Gerçekten bu, mutlak anlamda sabit olmayan
ya da hatta esasen değişken olan bir niceliğin – derecesi ne olursa olsun
infinitezimal niceliklerde olduğu gibi – sanki sabit ve tespit edilmiş bir
nicelik gibi dikkate alınabilmesinden, yani belli başka değişkenlere göre
sabit nicelik rolü oynayabilmesindendir. Ancak bu şartlar altında bir
değişken nicelik bir başka değişkenin limiti olarak görülebilir. Limit
terimi tanımı gereği, en azından belli bir açıdan, yani limiti olduğu şeye
nazaran, bir sabit olarak varsayılır. Bir nicelik yalnız kendi kendine veya
114
mutlak sabit niceliklerle aynı görülen şeylere göre değişken olmanın
aksine aynı zamanda izafi olarak sabit görülen diğer değişkenlere göre de
değişken olur.
Bu bağlamda az önce yaptığımız gibi değişimin derecelerinden
söz etmek yerine, nihayetinde tamamen aynı şey olan, sadece bir parça
başka bir bakış açısından düşünülen, belirsizliğin derecelerinden de söz
edilebilir. Tabiatı gereği tespit edilmemiş bir nicelik dahi, aynı anda diğer
niceliklerin belirsizliğini sürdürmesine izin veren belli bazı varsayımlar
yoluyla, izafi bir anlamda tespit edilebilir. Dolayısıyla bu ikinci nicelikler
öncekilerden tabiri caizse daha fazla ya da daha büyük derecede belirsiz
olacaklardır. Bu yüzden, bunlar diğerleriyle, belirsiz niceliklerle
gerçekten tespit edilmiş nicelikler arasındaki ilişkiye benzer bir ilişki
kuracaklardır. Ne kadar özet olursa olsun bu konu hakkında kendimizi
buradaki açıklamalarla sınırlayacağız. İnanıyoruz ki bu mülahaza, çeşitli
ve ardışık diferansiyellerin mümkün olduğuna yeterli bir açıklamadır.
Fakat bu sorunla ilgili olarak bize, farklı belirsizlik dereceleri
düşüncesinde gerçekten hiçbir mantıksal zorluk olmadığını daha açık bir
şekilde göstermek kalıyor. Hem infinitezimal niceliklerin ve
diferansiyellerin ait olduğu, küçülen nicelikler düzeninde, hem de ardışık
türev almanın simetriği olan farklı seviyeden integrallerin ait olduğu
büyüyen nicelikler düzeninde göstermek. Daha önce açıkladığımız gibi
bu, belirsizce artan ile belirsizce azalan arasındaki karşılıklı ilişkiyle
uyum içindedir. Tabii ki buradaki bütün mesele, belirsizliğin dereceleri
meselesidir, yoksa Jean Bernoulli’nin anladığı şekliyle ‘sonsuzluğun
dereceleri’ meselesi değil. Leibnitz, Bernoulli’nin bu düşüncesini bu
anlamda tümüyle ne kabul etmeye ne de ret etmeye cüret edememiştir. Ve
burada biz yine, sonsuzluk diye adlandırılan şey yerine belirsizlik
kavramını koyduğumuzda tüm zorlukların anında çözüleceği bir başka
durumla karşı karşıyayız.
115
20. Belirsizliğin Farklı Seviyeleri Birbirlerinden farklı olan, hatta tamamen farklı seviyelere ait olan
‘sonsuz büyük’ veya ‘sonsuz küçük’ nicelikleri düşündüklerinde
matematikçilerin karşılaştıkları mantıksal zorluklar ve hatta çelişkiler
yalnızca
belirsiz
olana
sonsuz
itibarı
göstermelerinden
kaynaklanmaktadır. Genellikle onların bu zorluklardan pek endişe
duymadıkları doğrudur. Ancak bu zorluklar ve çelişkiler mevcuttur ve
sanki matematik bilimi mantıksızlıklarla (illogicalities) ya da ‘mantığa
aykırılıklarla’ (‘para-logicalities’) doluymuş gibi bir görünüme sebep
olduklarından gayet ciddidir. Böyle bir bilim, kelimelerle aldatılmalarına
izin vermeyen kimselerin gözünde tüm gerçek değer ve önemini yitirir.
Sonsuz büyüklüklerin varlığına izin verenlerin, bu mefhumu geometrik
büyüklüklere uyguladıklarında oluşturdukları çelişkilerin bazılarına şu
örnekler verilebilir: Bir düz çizgi sonsuz kabul edildiğinde onun
sonsuzluğunun düzlem gibi bir yüzeyin sonsuzluğundan daha az, hatta
sonsuz kez daha az olması gerekir. Çünkü o düzlemin içinde hem bu düz
çizgi hem de sonsuz sayıda başka çizgiler vardır. Düzlemin sonsuzluğu
da üç boyutlu uzayın sonsuzluğundan sonsuz kez az olacaktır. Bazıları
aynı bazıları farklı derecelere kadar sonsuz oldukları varsayılan tüm bu
sözde sonsuzlukların birlikte var olma imkânı, metafizik seviyeye daha
uygun başka hiçbir düşünceye girmeden, onların hiçbirinin gerçekten
sonsuz olmadığını ispatlamaya yeter. Bu hakikatlerin önemini gerçekten
yeterince belirtemeyeceğimizden bir kez daha söyleyelim: eğer birisi ayrı
ayrı sonsuzlukların çokluğunu farz ederse, bunlardan her birinin diğeri
tarafından sınırlandırılacağı, bunun, birinin diğerini dışladığı anlamına
geleceği açıktır. Ayrıca doğruyu söylemek gerekirse, ‘sonsuzlukların
sonsuzluğu’ sözlü birikiminin bir çeşit ‘akıl sarhoşluğu’ oluşturduğu
‘sonsuzcular’ bu çelişkiler karşısında geriye çekilmezler. Çünkü, daha
önce söylendiği gibi, başka başka sonsuz sayıların var olduğunu iddia
116
etme hususunda ve dolayısıyla bir sonsuzun diğerinden büyük ya da
küçük olabileceği hususunda herhangi bir zorluk görmezler. Ancak bu
sözlerin absürtlüğü gerçekten çok açıktır. Bunların çağdaş matematikte
ortak olarak kullanılıyor olması hiçbir şeyi değiştirmez. Fakat bu durum
günümüzde en basit mantık hissinin hangi noktalara kadar kaybedildiğini
gösterir. Önceki kadar bariz bir başka çelişki de kapalı, dolayısıyla belli
ki ve görünüyor ki sonlu olan bir yüzeyde sonsuz sayıda çizgi olduğunun
söylenmesidir; örneğin bir kürenin sonsuz sayıda çember içermesi gibi.
Leibnitz’in yaptığı şekilde birisi sürekli bir kümenin elemanlarının
‘hakiki sonsuzluğunu’ iddia ettiğinde olduğu gibi burada da içeriği sonsuz
olan sonlu bir kabımız vardır.
Oysa, farklı seviyelerde belirsiz büyüklüklerin aynı anda var
olmalarına izin vermenin doğurduğu herhangi bir çelişki yoktur. Böylece,
tek boyutta belirsiz olan bir çizginin bu bağlamda birinci dereceden basit
bir belirsizlik oluşturduğu düşünülebilir. Belirsiz sayıda belirsiz çizgiler
kapsayan, iki boyutta belirsiz olan bir yüzey ise ikinci dereceden bir
belirsizlik oluşturur. Benzer şekilde belirsiz sayıda belirsiz yüzeyleri
kapsayan üç boyutlu uzay, üçüncü dereceden bir belirsizliktir. Tıpkı bir
çizginin noktalardan oluşmadığı, ancak onların belirsiz bir çokluğunu
kapsadığı gibi, burada yüzeyin belirsiz sayıda çizgiyi kapsadığını
söylediğimizi ama belirsiz sayıda çizgiden oluştuğunu söylemediğimizi
bir kez daha hatırlatmak oldukça önemlidir. Yüzeylerine nazaran bir
hacim de böyledir. Üç boyutlu uzayın kendisi belirsiz bir hacimden başka
bir şey değildir. Ayrıca bu temelde, ‘bölünemezler’ ve ‘sürekliliğin
oluşumu’ konularında yukarıda söylediğimiz şeydir. İşte tamamen bu
çeşit sorunların karmaşıklığı yüzünden kesin bir dile ihtiyaç vardır. Bu
bağlamda şunu da eklememize izin verilsin: eğer biri belli bir bakış
açısından meşru bir şekilde çizginin noktadan, yüzeyin çizgiden, hacmin
yüzeyden üretildiğini düşünürse, bu esasen nokta, çizgi veya yüzeyin,
ardışık pozisyonların belirsizliğini kapsayan sürekli bir hareket yoluyla
117
yer değiştirdiğini farz etmek şeklinde olur. Ve bu, söz konusu
pozisyonların her birinin bir diğerinden izole edilmiş olarak
düşünülmesinden tamamen farklı bir şeydir. Yani, noktaları, çizgileri ve
yüzeyleri sabit ve tespit edilmiş olarak ele almaktan ve bunların sırasıyla
çizginin, yüzeyin ve hacmin parçası veya elemanı olduklarını
düşünmekten tamamen farklı. Hakeza, tersinden söylenirse, bir yüzey iki
hacmin arakesiti, bir çizgi iki yüzeyin arakesiti ve bir nokta iki çizginin
kesişimi biçiminde düşünüldüğünde, bu arakesitler, tabii ki, hacimlerin,
yüzeylerin ve çizgilerin ortak parçaları olarak asla tasavvur
edilmemelidir. Onlar Leibnitz’in dediği gibi sadece diğerlerinin limiti
yahut ekstremiteleridir.
Az önce söylediğimiz şeye göre her bir boyut uzaya eklenen yeni
bir belirsizliktir, yani uzamın belirsiz artışına konu olan mekansal
sürekliliğe eklenen yeni bir belirsizlik. Böylece, belirsizliğin ardışık
kuvvetleri şeklinde adlandırılan şey elde edilir.133 Belli bir seviyedeki
yahut kuvvetteki belirsiz niceliğin, daha alt seviyeki veya daha düşük
kuvvetteki belirsiz niceliklerden belirsiz çoklukta içerdiği söylenebilir.
Tüm bunlarda mesele sadece belirsizlik meselesi olduğu müddetçe, bu ve
benzeri tüm mülahazalar mükemmel bir şekilde kabul edilebilir olarak
kalırlar. Çünkü farklı ve çok sayıda belirsiz nicelik arasında mantıksal bir
tutarsızlık yoktur. Belirsizliklerine rağmen onlar esasında yine de sonlu
bir tabiata sahiptirler. Dolayısıyla diğer tüm özel ve tespit edilmiş
imkânlar gibi onlar da toplam İmkânın içinde kusursuzca birlikte var
olabilirler. Âlemşümul Küll’e özdeş olduğundan tek gerçek sonsuzluk bu
toplam İmkândır.134 Bu mülahazalar belirsiz ile sonsuz birbirine
karıştırıldığında imkânsız ve absürt bir hâl alır ve bu yüzden, ‘sonsuz
çokluk’ mefhumunda olduğu gibi bir kez daha, tespit edilmiş sonsuzluk
133
134
Bakınız The Symbolism of the Cross, bölüm 12.
Bakınız The Multiple States of the Being, bölüm 1.
118
ifadesindeki içkin çelişkinin gizlendiği, kendi içinde çelişkili olmamasına
rağmen neredeyse tanınmaz hâle getirerek bir başka fikre dönüştüren bir
duruma düşmüş oluruz.
Az önce büyüme yönünde alınan niceliklerle ilgili farklı
belirsizlik derecelerinden bahsettik. Aynı mefhumu, küçülme yönünde
uygulayarak farklı derecelerdeki infinitezimal nicelikler düşüncesini
yukarıda zaten açıkladık. Bu infinitezimal nicelik imkânı, daha önce not
ettiğimiz, belirsizce artan ve belirsizce azalan nicelikler arasındaki
ilişkinin ışığı altında daha anlaşılır olmaktadır. Belirsiz niceliklerin çeşitli
seviyeleri, olağan niceliklere göre olduğu gibi bir önceki seviyedekilere
göre de daima belirsiz olacaklardır. Tersinden söylersek, çeşitli
seviyelerdeki infinitezimal niceliklerden her bir seviyeyi sadece olağan
niceliklere göre değil kendinden bir önceki seviyenin infinitezimal
niceliklerine göre de infinitezimal olarak görmek meşrudur.135 Belirsiz
niceliklerle olağan nicelikler arasında mutlak bir heterojenlik yoktur. Ve
yine infinitezimal niceliklerle olağan nicelikler arasında da mutlak bir
heterojenlik yoktur. Kısacası bu, bir tür farkı meselesi değil, sadece bir
135
‘İnfinitezimal’ adını, kolaylık olsun diye sadece ‘belirsiz’ şeklinde
isimlendirebileceğimiz belirsizce artan niceliklerden ayırmak için,
genel kullanıma uygun olarak, belirsizce azalan nicelikler için
kullandık. Sadece ortak kullanıma aykırı bir biçimde değil aynı
zamanda kelimenin açık kökenine de aykırı olarak Carnot’ın her
ikisine de ‘infinitezimal’ demesi gerçekten ilginçtir. Biz ‘infinitezimal’
kelimesini burada verilen anlamında kullanmaya devam ederken, bu
terimin ciddi bir kusurunun olduğunu, yani ‘sonsuz’ kelimesinden
türetildiğini işaret etmekten geri duramayız. Terim gerçekten ifade
ettiği anlamı güç bela vermektedir. Bu terimin sorunsuz bir şekilde
kullanılabilmesi için tabiri caizse kökeninin unutulması ya da sadece
Leibnitz’in ‘sağlam inşa edilmiş kurgular’ kavramından neşet eden
‘tarihsel’ bir karakteri olduğunun düşünülmesi gerekir. (Guenon’un
bahsettiği infinitezimal teriminin kusurunun indefinitezimal terimiyle
giderilebileceğini düşünüyoruz –Çev.–).
119
derece farkı meselesidir. Çünkü gerçekte derecesi ne olursa olsun
belirsizlik düşüncesi bizi sonlu olanın dışına asla çıkarmaz. Yine
söylüyoruz, niceliğin değişik seviyeleri arasında görülen, esasında
tamamen anlaşılmaz olan radikal farklılıklar, yanlış sonsuzluk kavramı
tarafından getirilmektedir. Bu farklılıklar ber taraf edilerek, Leibnitz’in
değişkenler ile limitleri arasında kurmaya çalıştığından çok farklı bir tür
süreklilik inşa edilmiş olur. O’nun inandığının aksine gerçekte değişken
ve sabit nicelikler arasındaki fark tabiatlarından gelen bir farktır.
Bu şartlar altında olağan niceliklere, en azından değişkenlerle
meşgul olurken, belirsizce artan niceliklere göre infinitezimal muamelesi
gösterilebilir. Çünkü, bir nicelik bir başkasına kıyasla birinin istediği
kadar büyük hâle gelebiliyorsa, karşı bakış açısından ikincisi birincisine
göre istenilen kadar küçük olabiliyor demektir. Bunun değişkenlerle ilgili
bir şey olduğunu söyledik, zira infinitezimal nicelik her zaman asli bir
değişken olarak düşünülmelidir. Bu kısıtlama onun doğasından gelir.
Ayrıca, farklı belirsizlik seviyelerine ait nicelikler kaçınılmaz surette
birbirlerine göre değişkendir ve bu izafi ve ters (reciprocal) değişkenlik
özelliği mükemmel bir biçimde simetriktir. Çünkü az önce söylenene
uyum içinde, bir niceliği diğerine göre belirsizce artar şekilde ya da
ötekini berikine göre belirsizce azalır şekilde tasavvur etmek aynı anlama
gelir. Bu izafi değişkenlik olmaksızın ne belirsiz artış ne de belirsiz azalış
olabilir, sadece bu iki nicelik arasında belli ve tespit edilmiş oranlar
olabilir.
Aynı şekilde, A ve B cisimlerine göre ne zaman bir pozisyon
değişimi olsa, A cismi B’ye göre hareket etmektedir demek ile tersinden
söyleyerek B cismi A’ya göre hareket etmektedir demek, en azından
değişim sırf zatında düşünüldüğünde, aynı anlama gelir. Bu bağlamda
izafi hareket mefhumu az önce sözünü ettiğimiz izafi değişkenlik kadar
simetriktir. Bunu tüm doğal fenomenleri açıklayan fiziksel bir teori olarak
120
Kartezyen mekanizminin yetersizliğini göstermek için kullanan
Leibnitz’e göre bu, neden yalnızca pozisyonların değişimi
düşünüldüğünde hareket durumu ile hareketsizlik durumunun ayırt
edilemeyeceğinin sebebidir. Bu ayrımın yapılabilmesi için kuvvet
mefhumu gibi başka seviyeden bir şeyin göz önüne alınması gerekir.
Kuvvet bu değişikliklerin en yakın sebebidir ve tek başına bu cisme değil
de şu cisme atfedilebilir. Çünkü kuvvet bir cisimde ve yalnız o cisimde
bulunan değişimin gerçek sebebine imkân verir.136
136
Bakınız Leibnitz, Discours de Metaphysique, bölüm 18; Bakınız
The Reign of Quantity and the Signs of the Times, bölüm 14.
121
21. Belirsiz Analitik Biçimde Tüketilemez Az önce, belirsizce artan ve belirsizce azalan şeklinde iki
durumda ele aldığımız belli bir seviyeden bir nicelik, her biri tek başına
toplama göre infinitezimal bir nicelik olan, belirsiz sayıda elementin
toplamı
şeklinde
düşünülebilir.
İnfinitezimal
niceliklerden
bahsedebilmek için bunların ayrıca, toplamlarına göre tespit edilmemiş
nicelikler olması gerekir. Gerçekten ne zaman toplam, elemanlarına göre
belirsiz olsa durum budur. Belirsizliğin kendi öz karakteri yüzünden böyle
olur zira o, daha önce söylediğimiz gibi, açıkça ‘oluş’ (‘becoming’) fikrini
ve dolayısıyla belli bir belirsizlik durumunu ima eder. Elbette bu
belirsizliğin sadece izafi bir belirsizlik olduğu ve belli bir bakış açısına
göre var olduğu ya da onun belli bir şeye göre belirsiz olduğu
anlaşılmaktadır. Örneğin, olağan bir nicelik olan ve bu yüzden bizatihi
belirsiz olmayan toplamın sadece kendi infinitezimal elemanlarına göre
belirsiz olması gibi. Herhangi bir şekilde aksi olsaydı ve bu belirsizlik
kavramı öne sürülmüş olmasaydı, dünyaya nispeten kum tanesi ve
göklere nispeten dünya kaba algısıyla yorumlanan ‘kıyaslanamazlar’
kavramına mecbur kalınırdı.
Söz konusu toplam, aritmetik tarzdaki toplamdan hiçbir surette
etkilenmez, çünkü öyle olması için ardışık toplama işlemlerinden oluşan
belirsiz bir serinin bitirilmesi gerekir ki bu bir çelişkidir. Toplamın sıradan
ve tespit edilmiş bir nicelik olduğu durumda, daha önce integral hesabın
tanımını ortaya koyarken söylediğimiz gibi, elemanların sayısı ya da daha
doğrusu çokluğu belirsizce artarken büyüklükleri belirsizce azalır ve bu
anlamda bu elemanların belirsizlikleri gerçekten bitip tüketilemez.
Toplam, çok sayıda ayrık ve ardışık işlemin bir sonucu olma biçimindeki
yoldan etkilenmez ama diğer yandan integral alma denilen tek bir işlemin
122
bir defade çıkardığı sonuç olarak anlaşılabilir.137 Burada sahip olduğumuz
şey türev alma işleminin tersidir, çünkü kendi infinitezimal
elemanlarından başlayarak toplamı yeniden oluşturur. Türev alma ise
tersine, verilen ifadedeki niceliğin anlık değişimi için bir kural formüle
ederek, toplamdan elemanlara doğru gider.
Dolayısıyla ne zaman bir belirsizlik söz konusu olsa, aritmetik
toplama mefhumu artık uygulanamaz olur ve infinitezimal elemanların
sayılmasının imkânsızlığını telafi etmek için integral alma yöntemine
başvurmak zorunda kalırız. Bu imkânsızlık bizim tarafımızdaki bir
kusurdan değil, elbette bu elemanların tabiatlarından kaynaklanmaktadır.
Sırası gelmişken söyleyelim: bu, geometrik büyüklüklere uygulanması
sırasında görüldüğü üzere (bu uygulama sonuçta infinitezimal hesabın
gerçek raison d’etre’si [var olma nedeni] dir), daha önce ‘ölçme birimleri’
konusunda söylediğimiz, büyüklüğün belli parçalara bölünmesine
dayanan olağan ölçme metodundan tamamen farklı bir ölçme metodudur.
Özetle söylersek, ikincisi daima toplamı, birimle138 aynı büyüklükteki
muhtelif parçalara bölürek sürekli olanın süreksiz olanla değiştirilmesi
şeklinde olur. Böylece elde edilen sayı, sürekli niceliklerin ölçülmesinde
doğrudan uygulanmış olur. Ancak bu uygulama, ölçülen büyüklüğün
sürekli tabiatını, ayrık tabiatlı sayıda fiilen asimile etmeden mümkün
137
Yürürlükte olan ‘integral’ ve ‘integral alma’ terimleri Leibnitz’in
değil Jean Bernoulli’nin terimleridir. Bunların yerine Leibnitz, bu
kullanımın söz konusu işlemle aritmetik toplam arasında bir benzerlik
ima eder gibi bir sakıncayla, sadece ‘toplam’ ve ‘toplama’ kelimelerini
kullanmıştır. Bu iki işlem arasındaki temel farkın Leibnitz’in
dikkatinden kaçamayacağı çok bariz olduğundan, sadece ima eder gibi
diyoruz.
138
Veya birimin bir kesriyle. Ama bu pek önemli değildir, çünkü
bölüm ilk birimle tam olarak alınamadığında bu ikinci daha küçük
birim birincisinin yerine geçer. Kesin ya da daha kesin bir sonuç elde
etmek için bu kesir kullanılır.
123
olmaz. Öteki metot, aksine, sürekliliğin gerçek karakterini mümkün
olduğu kadar gözetir. Sabit ve tespit edilmiş ölçümü, esasen değişken olan
ve bu sayede atanabilen herhangi bir değerden daha küçük hâle gelebilen
elemanların bir toplamı olarak görür. Dolayısıyla bu metot, mekansal
niceliğin, sözü edilen elemanların limitleri arasında birinin istediği kadar
küçülebilmesine izin verir. İşte bu yüzden o, her şeye rağmen
değiştirilemeyen sayının tabiatını hesaba kattığı için, sürekli değişimin
olabilecek en az kusurlu temsilidir.
Bu gözlem, başlangıçta yaptığımız gibi, hangi anlamda belirsizin
limitlerine herhangi bir analitik yöntemle ulaşılamayacağını veya başka
bir deyişle, belirsizin mutlak anlamda ve her yönden tüketilemez olmasa
da en azından analitik olarak tüketilemez olduğunu anlamamıza imkân
verecektir. Bu bağlamda doğal olarak bir bütünü oluşturmak için o
bütünün elemanlarını ayrı ayrı ve ardışık bir şekilde ele alan, aritmetik
toplamı oluşturan yöntem gibi analitik yöntemleri düşünmemiz gerekir.
İşte bu yöntem tam da bu temel anlamda integral almadan farklıdır. Bizim
bakış açımızdan bu özellikle ilginçtir, çünkü burada analiz ile sentez
arasındaki gerçek ilişki çok açık bir şekilde görülür. Analizi, senteze bir
hazırlık gibi ya da senteze yol açan bir şey gibi gören, o kadar ki orda
durmaya niyeti olmasa dahi her şeye mutlaka analizle başlanması
gerektiğini düşünen mevcut görüşün aksine gerçek şudur: senteze analiz
yoluyla asla hakikaten ulaşılamaz. Kelimenin gerçek anlamında tüm
sentezler tabiri caizse derhâl olan şeylerdir, kendinden önce herhangi bir
analiz ile olan şeyler değil. Ve analizden tamamen bağımsız şeylerdir.
Aritmetik toplamanın elemanlarıyla kıyaslanabilir elemanları olduğunun
düşünülmesi hiçbir biçimde mümkün olmayan, bir defada alınan
integraller gibi. Aritmetik toplam, belirsize ulaşmak ya da onu tüketmek
için herhangi bir araç sağlamadığından, bu diğeri her alanda, tabiatı gereği
analize direnen ve sadece sentez yoluyla bilinebilen şeylerden biri
124
olmalıdır.139
139
Şu anlaşılmalıdır ki burada ve gelecek bölümlerde ‘analiz’ ve
‘sentez’ terimlerini doğru ve orijinal anlamlarıyla kullanıyoruz. Bu
anlamın, tamamen farklı ve hiç uygun olmayan bir şekilde hâlen
kullanılan ‘matematiksel analiz’ algısından ayrıldığına dikkat
edilmelidir. Matematiksel analiz düşüncesinde, integralin kendisi
özündeki sentetik karaktere rağmen ‘infinitezimal analiz’ denen şeyin
bir parçası olarak düşünülür. Bu yüzden bu son ifade yerine böyle
karışıklıklara yol açmayan ‘infinitezimal hesap’ ve ‘infinitezimal
metot’ ifadelerinden yararlanıyoruz.
125
22. İntegralin Sentetik Karakteri Az önce söylediğimiz gibi tam anlamıyla analitik bir karaktere
sahip olan aritmetik toplamın oluşumunun aksine, integral alma özünde
sentetik bir işlem olarak düşünülmelidir. O, toplamın hesaplanacak tüm
elemanlarını, bir sürekliliğin parçalarının ‘ayırt edilemezliğini’
(‘indistinction’) koruyarak, aynı anda kucaklar. Çünkü sürekliliğin tabiatı
gereği bu parçalar sabit ve tespit edilmiş şeyler olamaz. Ayrıca, ne zaman
belirsiz bir serinin ayrık elemanlarının toplamı hesaplanmak istense bu
‘ayırt edilemezlik’in, biraz farklı bir nedenle de olsa, benzer şekilde
korunması gerekir. Çünkü her bir elemanın büyüklüğü tespit edilmiş olsa
bile, toplam eleman sayısı tespit edilmiş değildir. Hatta daha kesin bir
şekilde diyebiliriz ki bu elemanların çokluğu tüm sayıları aşar. Bu çokluk
belirsizce artmasına rağmen, bazı durumlarda serinin elemanlarının
toplamı belli bir limite doğru gider. Bu tarz bir söylem ilk bakışta biraz
garip gelse de, böyle bir ayrık serinin ‘dış değer bulma yoluyla’ (‘by
extrapolation’) belirsiz, sürekli bir kümeninse ‘iç değer bulma yoluyla’
(‘by interpolation’) belirsiz olduğu söylenebilir. Bununla kast edilen
şudur: ayrık serinin herhangi iki terimiyle sınırlanan belli bir bölümü
alındığında bu bölüm hiçbir şekilde belirsiz olamaz, çünkü hem bir bütün
olarak hem de terim terim tespit edilmiş demektir. Serinin belirsizliği,
herhangi bir son terime ulaşmaksızın bu parçanın dışına uzanmasında
yatar. Öte yandan, sürekli bir kümenin belirsizliği tam olarak onun içinde
bulunur, çünkü elemanları tespit edilmiş değildir ve bir son parçası
olmadığından sürekli olan her zaman bölünebilir. Bu anlamda bu iki
durum birbirinin tersidir. Terimler tek tek ele alındığında belirsiz bir sayı
serisinin toplamı asla tamamlanamaz, zira serinin biteceği bir son terim
yoktur. Böyle bir toplam ancak belirsizliği kendi bütünlüğü içinde ele alan
sentetik bir yöntemin, toplamı tek bir defada yakalamamıza izin
vermesiyle mümkün olabilir. Bu yöntemde elemanlar ayrı ayrı
126
düşünülmez, çünkü belirsiz bir çokluk oluşturduklarından bu imkânsızdır.
Benzer şekilde belirsiz bir dizi bize, tam sayılar dizisinde olduğu gibi,
oluşma kuralıyla örtülü olarak verildiğinde, tamamen sentetik bir biçimde
verildiğini ve başka türlü verilemeyeceği söyleyebiliriz. Gerçekten bunu
analitik olarak yapmak için her terimi tek tek yerleştirmek gerekir ki bu
mümkün değildir.
Dolayısıyla, ister bir sürekli küme isterse bir ayrık dizi olsun ne
zaman bir belirsizlik verilirse, limite ulaşabilmek için daima sentetik bir
işleme ihtiyaç olacaktır. Derece derece ilerleme burada işimize yaramaz
ve bizi amacımıza asla ulaştırmaz. Çünkü böyle bir ilerleme son terime
ancak şu iki şartın sağlanması durumunda ulaşabilir: hem bu son terim
hem de ona ulaşmak için kapsanması gereken derece sayısı tespit edilmiş
olmalıdır. İşte bu yüzden, hiçbir şekilde belirsizin limitine ulaşılamaz
demiyoruz, zira bu, limitin olduğu durumlar için doğru olmaz, fakat
sadece limite analitik olarak ulaşılamaz diyoruz. Belirsizlik derecelerle
tüketilemez ama aşkın bir işlemle, kendi bütünlüğü içinde kapsanabilir.
Matematik alanında integral alma işlemi bunun klasik bir örneğidir. Bu
derece derece ilerleme, ayrık seri durumunda doğrudan, sürekli değişim
durumunda sayının ayrık tabiatının izin verdiği ölçüde, niceliğin
değişimine karşılık gelmektedir. Öte yandan sentetik işlemler, yukarıda
söylediğimiz şekilde ‘limite geçişin’ hakikaten gerçekleşebilmesi için bizi
aniden değişim alanının dışına ve ötesine götürmektedir. Başka bir
deyişle, analiz aslında sadece değişimleri süresince değişkenlerle, sentez
ise yalnız bunların limitlerine ulaşmakla alakalıdır. Değişkenin limiti
kesin ve gerçekten değerli olan tek sonuçtur, çünkü bir sonuçtan
bahsedebilmek için özellikle sabit ve tespit edilmiş niceliklerle ilgili bir
şeylere ulaşmak gerekir.
Ayrıca, imkânın belirsizce gelişmesi fikri niceliğin dışındaki
şeylere de uygulanabileceğinden, sentetik işlemlerin benzerleri nicelik
127
alanının dışında da bulunabilir. Yani, ister kozmozun tümüne göre isterse
belli bir varlığa göre düşünülsün, ne olursa olsun herhangi bir durumda
zuhur etmiş bir varlık ve bu duruma konu olan şartlar için, ister
makrokozmik, isterse mikrokozmik bakış açısından benzer sentetik
işlemler bulunabilir.140 Bu durumda ‘limite geçiş’, zuhurun sonuçlarının
prensipler seviyesinde (principle order) kesin bir şekilde sabitlenmesine
denk gelmektedir. Sonuçta varlık, sadece bu şekilde, tüm zuhurun
tabiatında zorunlu olarak var olan değişim ve ‘oluş’tan (‘becoming’)
kurtulabilir. Böylece, bu saptamanın hiçbir şekilde zuhurun gelişiminin
bir ‘son terimi’ olmadığı, fakat esasında bu gelişimin dışında ve ötesinde
olduğu görülür. Çünkü o gerçekliğin başka bir seviyesine, zuhuru ve oluşu
aşan bir seviyeye aittir. Bu anlamda, zuhurat seviyesi (manifested order)
ile prensipler seviyesi (principle order) arasındaki fark, benzerlik yoluyla,
değişkenler alanı ile sabitler alanı arasında kurduğumuz farka denk gelir.
Sabit nicelikler söz konusu olduğunda herhangi bir işlemle değişiklik
yapılamayacağı açıktır. Dolayısıyla bu alanda ‘limite geçiş’ bir şey
üretmez. Bize sadece onun bilgisini verir. Benzer şekilde, değişmez
(immutable) olan prensipler seviyesine ulaşmak, daha önce var olmayan
bir şeyi ‘etkilemek’ değil, olanın kalıcı ve mutlak anlamda farkına varmak
demektir. Bu çalışmanın konusu gereği, özellikle nicelik alanıyla ilgili
şeyleri düşünmemiz gerekiyordu. Daha önce gördüğümüz gibi nicelik
alanında imkânların gelişimi, gerek belirsizce büyüme gerekse belirsizce
küçülme yönünde olsun, değişim düşüncesiyle tercüme edildi. Ancak,
burada söylediğimiz bu birkaç söz, uygun bir benzetme yoluyla, bunların
görünürde sahip olduğu anlamlardan kıyaslanamaz derecede daha önemli
anlamlar alabileceklerini göstermektedir. Çünkü integral alma ve onunla
aynı cins işlemler hakikaten, metafizik ‘gerçekleşme’nin (‘realization’)
sembolleri gibi görünmektedir.
140
İntegral alma yöntemini andıran uygulamalar için bakınız The
Symbolism of the Cross, bölüm 18 ve 20.
128
Bu tip düşüncelere imkân veren geleneksel bilimle, modernlerin
profan bilimi arasındaki büyük fark bu örnekte görülmektedir. Bu
bağlamda, analitik bilgi ile sentetik bilginin farklılığıyla ilgili bir başka
yorum yapabiliriz. Gerçekten profan bilim özü itibariyle yalnızca
analitiktir. Prensipleri asla dikkate almaz. Kendisini fenomenlerin
ayrıntısı içinde kaybeder. Bu fenomenlerin belirsizliği ve belirsizce
değişen çokluğu tüketilemez olduğundan, bilgi anlamında gerçek ve kesin
bir sonuca asla ulaşamaz. Sadece fenomenlerin kendilerine yani dış
görünüşlere bağlı kalır. Leibnitz’in bu yüzden Kartezyen mekanizmini
ayıplaması gibi şeylerin kalplerine ulaşmaya kabiliyetli değildir. Ayrıca
bu, modern ‘agnostisizm’in (‘bilinemezcilik’) nedenlerinden biridir.
Çünkü sırf analitik yolla ilerleyen kimseler, ancak sentetik yolla
bilinebilecek şeyleri ‘bilinemez’ olarak ilan ederler, zira onlar analitik
yolla gerçekten bilinemezler. Tıpkı, belirsize analitik bakış açısından
bakmayı sürdürerek onun belirsizliğinin mutlak anlamda tüketilemez
olduğuna inanan kimse gibi. Oysa gerçekte belirsizlik sadece analitik
yolla tüketilemez. Sürekli bir kümenin veya belirsiz bir serinin elemanları
tek tek gözler önüne serilemeyeceği için sentetik bilgi, ‘küresel’ bilgi
olarak da isimlendirilebilir. Ancak, nihayetinde gerçekten önemli olan bu
bilgi olmasına rağmen – prensipte her şey onda içerildiğinden – biri her
zaman ondan istediği kadar aşağıya, detaya inerek özel şeyler düşünebilir.
Örneğin, oluşum yasasıyla bir belirsiz seri sentetik olarak verildiğinde
serinin herhangi bir terimi, istendiğinde hesaplanır. Oysa, eğer başlama
noktası olarak bu özel şeyler alınırsa, bütün bu belirsiz ayrıntılar içinde
insan asla prensipler seviyesine yükselemez. Başta söylediğimiz gibi,
nasıl sentez analizin tersi ise, geleneksel bilimin metodu ve bakış açısı da
işte bu anlamda profan bilimin tersidir. Burada yaptığımız şey aslında şu
apaçık hakikatin bir uygulamasından başka bir şey değildir: ‘daha küçük’
(‘lesser’) olan ‘daha büyük’ (‘greater’) olandan neşet edebilir ama ‘daha
büyük’ olan ‘daha küçük’ olandan asla doğamaz. Oysa modern bilimin
129
mekanik ve materyalist kavramlarla ve sırf niceliksel bakış açısıyla
yaptığını iddia ettiği şey tam da budur. Ne var ki bu bilim işte bu yüzden
gerçekte hiçbir şeyin doğru açıklamasını verme yeteneğine sahip değildir.
130
23. Elea’lı Zeno’nun Argümanları Buraya kadar söylediklerimiz, Elea’lı Zeno’nun hareket
imkânına karşı dile getirdiği meşhur argümanlardaki tüm problemlerin
çözümü için, ya da en azından, bu argümanların genellikle sunuluş
biçiminde problem gibi gözüken şeylerin çözümü için zımnen bir cevap
içermektedir. Aslında bunun o argümanların gerçek değeri olup
olmadığından pekâlâ şüphe edilebilir. Zeno’nun geçekten hareketi
reddetmiş olması çok uzak bir ihtimaldir. Daha muhtemel olan O’nun
sadece hareket düşüncesiyle, atomcuların kabul ettiği, şeylerin doğasında
var olan indirgenemez (irreducible) çokluk varsayımı arasındaki
tutarsızlığı göstermek istemesidir. Dolayısıyla, bu argümanlar aslında söz
konusu çokluğa karşı yöneltilmiş argümanlardır. Her tür çokluğa karşı
olduğunu söylemiyoruz, çünkü her değişim gibi hareket de zorunlu olarak
çokluğu gerektirdiğinden harekette çokluk mevcuttur. Fakat, geçici ve
anlık değişim karakteriyle hareket, kendi kendine yeten bir şey değildir
ve eğer o Aristo’nun ‘hareketsiz hareket ettirici’si gibi kendisini aşan üst
bir prensibe bağlanmazsa yalnızca bir yanılsama olur. Dolayısıyla çokluk,
sayı dizisinin oluşumunda matematiksel olarak yansıtıldığı gibi, sadece
kendisine indirgenirse ve birlikten getirilmezse gerçekten var olamaz.
Üstelik indirgenemez çokluk varsayımı, kaçınılmaz olarak şeylerin
elemanları arasındaki tüm gerçek ilişkileri, dolayısıyla bu ilişkilerin
sadece belirli bir durumu veya özel bir formu olan tüm sürekliliği de
dışlar. Yukarıda daha önce söylediğimiz gibi, atomculuk zorunlu olarak
her şeyin ayrık (süreksiz) olduğunu ima eder. Gerçekten de sonuçta
hareket bu süreksizlikle bağdaşmaz ve aslında Zeno’nun argümanlarının
gösterdiği şey işte budur.
Örneğin şu argümanı ele alalım: hareket hâlindeki bir nesne bir
konumdan bir diğerine geçemez, çünkü bu iki konum arasında daima
131
sonsuz sayıda başka konum vardır. Hareket esnasında ardışık olarak
birinden diğerine geçilen konumlar ne kadar yakın olursa olsun ve bu
geçişleri tamamlamak için geçen süre ne kadar çok olursa olsun bu
sonsuzluk asla tüketilemez. Elbette genellikle söylendiği gibi bu bir
sonsuzluk meselesi değildir, çünkü öyle olsa bunun gerçek bir anlamı
olmazdı. Fakat, alınan her bir aralık için hareket eden nesnenin belirsiz
sayıda konumu olacaktır ve bu konumlar ayrık bir dizinin terimlerinin tek
tek ele alınması gibi analitik bir biçimde, her konum tek tek işgal edilerek
tüketilemez. Hatalı olan şey hareketin işte bu şekilde tasavvur edilmesidir,
yani kısacası, cisimlerin atomlardan
oluşması gibi, süreklinin
noktalardan veya nihayi, bölünemez elemanlardan oluştuğunun
düşünülmesidir. Bu gerçekte hiçbir sürekliliğin olmaması demektir,
çünkü ister nokta ister atom olsun bu son elemanlar ancak süreksiz (ayrık)
olabilirler. Ayrıca süreklilik olmaksızın hareketin olamayacağı doğrudur
ve argümanın ispatladığı şey de işte budur. Aynı durum, uçmakta olan ama
yine de hareketsiz kalan ok argümanı için de geçerlidir. Çünkü her bir an
ancak bir konum görünür. Her konum kendi içinde sabit ve tespit edilmiş
olduğundan ardışık konumlar ayrık bir seri oluşturur. Sonra şunu görmek
gerekir, hareketli bir nesne sabit bir konumu işgal ediyor gibi
düşünülemez. Tam aksine hareket yeterince hızlı olduğunda nesne ayırt
edilmiş bir cisim şeklinde görünmez, sadece kendisinin sürekli
yerdeğiştirmesinin yolu görünür. Dolayısıyla alevli bir kor parçası hızlı
bir şekilde döndürülürken korun kendi şekli artık görünmez olur, onun
yerine ateşten bir çember görünür. Ayrıca bunun, fizyologların yaptığı
gibi ister retinadaki etkinin devamı şeklinde, isterseniz buna benzer başka
bir şekilde açıklanmasının pek bir önemi yoktur. Çünkü bu durumların
hepsinde hareketin sürekliliği doğrudan ve algılanır bir biçimde kavranır.
Üstelik, birisi böyle argümanları formüle ederken ‘her bir an’ ifadesini
kullandığında zamanın, her birine nesnenin tespit edilmiş bir konumunun
denk geleceği, bölünemez anlardan meydana geldiğini ima etmiş olur.
Oysa gerçekte mekansal sürekliliğin noktalardan oluşmaması gibi
132
zamansal süreklilik de anlardan oluşmaz. Daha önce işaret ettiğimiz gibi
hareket imkânı, hem zamansal hem de mekansal sürekliliğin birliğini ya
da tercihen birleşimini farz eder.
Verilen bir mesafenin katedilmesi için önce yarısının, sonra kalan
kısmın yarısının, sonra kalanın yarısının ve böyle belirsizce devam
eden141 mesafelerin katedilmesi gerektiği, öyle ki bu şekilde
tasarlandığında gerçekten daima tüketilemez bir belirsizlikle
karşılaşılacağı da tartışılmıştır. Buna hemen hemen denk bir başka
argümansa şudur: Hareketli iki nesne arasında belli bir mesafe olduğunda,
geride olan diğerinden daha hızlı bile olsa önde olana hiçbir zaman
yetişemez, çünkü gerideki öndekinin ilk konumuna ulaştığında öndeki bir
miktar daha ilerlemiş olacaktır, gerideki bu yeni konuma ulaştığında
öndeki daha küçük de olsa yine bir miktar daha ilerlemiştir, bu belirsiz bir
biçimde devam eder. Dolayısıyla iki nesne arasındaki mesafe daima
küçülmesine rağmen hiçbir zaman tamamen ortadan kalkmaz.
Öncekilerde olduğu gibi bu iki argümandaki temel problem, belli bir son
noktaya ulaşmak için aradaki tüm derecelerin ayrı ayrı ve ardışık olarak
katedilmesi gerektiğinin varsayılmasıdır. Burada şu iki sonuçtan birini
çıkarmalıyız: ya sorguladığımız hareket gerçekten süreklidir, dolayısıyla
bu şekilde parçalanamaz, çünkü süreklinin bir indirgenemez elemanı
yoktur, ya da hareket yürüyen bir insanın adımlarında olduğu gibi,142 her
birinin büyüklüğü belli, ardışık, ayrık aralıklardan oluşmaktadır veya en
141
Bu, Leibnitz’in yukarıda atıfta bulunduğumuz pasajlardan birinde
örnek olarak kullandığı
1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2 belirsiz
serisinin ardışık terimlerine karşılık gelir.
142
Gerçekte diğer tüm hareketler gibi yürüyüşü oluşturan hareketler
de süreklidir. Fakat yere dokunulan noktalar ayrık bir seri oluştururlar,
öyle ki her bir adım belli bir aralığı işaretler. Böylece kat edilen mesafe
bu aralıklara bölünebilir. Adımların arasında herhangi bir noktada yere
basmak gerekmez.
133
azından öyle olduğu düşünülebilir. Ancak bu ikinci durumda düşünülen
aralıklar açıkça arada mümkün olan tüm pozisyonları fiilen alınması
gerekmeyen bir çok adım olarak göz ardı eder. Bununla beraber, sürekli
bir değişimin gerçek hâli olan ilk durumda, tanım gereği sabit olan son
noktaya, değişimin kendi içinde erişilemez. Onun fiilen erişilmesi
niteliksel bir farklılaşmayı gerektirir ki bu gerçek bir süreksizlik oluşturur.
Bu durumda o süreksizlik, hareket hâlinden durgun hâle geçişle temsil
edilmektedir. Bu bizi, hâlâ doğru anlamının açıklanması gereken ‘limite
geçiş’ sorununa götürür.
134
24. ‘Limite Geçiş’in Doğru Anlamı Yukarıda bahsettiğimiz ‘limite geçiş’ düşüncesi infinitezimal
metodun pratik uygulamaları için değilse de bu metodun teorik savunması
için gereklidir. Bizi burada ilgilendiren tek şey işte bu savunmadır, çünkü
tam olarak nedenini bilmeden ‘deneysel’ tarzda başarılan hesapların basit
pratik kuralları bizim bakış açımızdan hiçbir ilgi uyandırmaz. Şüphesiz,
hesapları gerçekleştirmek ve sonuna kadar takip edebilmek için
değişkenin limitine ulaşıp ulaşmadığının ya da bunu nasıl yaptığının
sorulması gerekmez. Ama eğer o limite ulaşmamışsa böyle bir hesap
yalnızca basit bir yaklaşım hesabı olma değeri taşır. Burada belirsiz bir
yaklaşımla uğraştığımız doğrudur, zira infinitezimal niceliklerin tabiatı,
tamamen ortadan kalkmaksızın, birinin istediği kadar küçük hâle
gelebilmeye izin verir ve belirsiz küçülmeye rağmen bu infinitezimal
nicelikler asla bir hiç olmazlar. Pratik bir konuşma diliyle bu hesabın,
kusursuz kesinlikte bir hesaba denk olduğu söylenebilir. Ancak, bizi
ilgilendirdiği için sorduğumuz bir şey olmamakla beraber, eğer
değişkenler arzu edilen sonuçlara nispetle sabit ve tespit edilmiş nicelikler
olarak düşünülürse belirsiz yaklaşımın kendisinin herhangi bir anlamı
kalır mı? Bu şartlar altında sonuçlar söz konusu olduğunda şu
alternatiflerin birinden kaçış mümkün değildir: ya limite ulaşılmamıştır,
bu durumda infinitezimal hesap çeşitli yaklaşım hesapları arasında en
ince olanıdır, ya da limite ulaşılmıştır ve dolayısıyla uğraştığımız metot
gerçekten kesin bir yöntemdir. Fakat gördük ki limitler, tanımları gereği,
değişkenler tarafıntan asla tam olarak ulaşılamazlar. O zaman nasıl oluyor
da yine de onlara ulaşıldığını söyleyebiliyoruz? Bu, hesap sırasında değil
tam olarak sonuçta gerçekleşir, çünkü limitin kendisi gibi yalnız sabit ve
tespit edilmiş nicelikler orada arz-ı endam edebilir, değişkenler artık
orada görünmezler. Dolayısıyla, değişken ve sabit nicelikler arasındaki
tamamen niteliksel bu fark, daha önce söylediğimiz gibi, infinitezimal
135
hesabın kesinliğinin tek doğru gerekçesidir.
Bir daha tekrarlayalım: limite, değişim içinde ve onun bir terimi
olarak ulaşılamaz. Limit, değişkenin aldığı bir son değer değildir. Bir ‘son
değere’ veya bir ‘son duruma’ ulaşan sürekli değişim fikri, belirsiz bir
serinin bir ‘son terime’ ulaşması ya da sürekliliğin bölünerek bir ‘son
elemana’ ulaşması gibi akıl almaz ve çelişkili olacaktır. Dolayısıyla limit,
değişkenin aldığı ardışık değerler dizisine ait değildir, bu dizinin dışında
kalır. İşte bu yüzden biz ‘limite geçiş’in esasen bir süreksizliği ima ettiğini
söylüyoruz. Diğer türlü olsaydı, analitik olarak tüketilebilecek bir
belirsizlikle karşı karşıya gelirdik ki bu asla olamaz. Bu anlamda daha
önce ortaya koyduğumuz fark burada tüm anlamını gösterir, çünkü
kendimizi, daha önce kullandığımız bir ifade olarak, verilen belirsiz bir
niceliğin limitine erişme meselesi içinde buluruz. Bu yüzden aynı ‘limit’
kelimesinin yeniden, fakat başka bir anlamda, şimdi göreceğimiz belli
durumdaki daha özel anlamıyla ortaya çıkması nedensiz değildir. Bir
değişkenin limiti, bu değişkenin tanımıyla kapsanan belirsiz durumlar ve
imkânlara, kelimenin genel anlamıyla bir had koymalıdır. İşte tam da bu
yüzden o, zorunlu olarak sınırladığı şeyin dışına yerleştirilmiştir. Bu
belirsizliğin, kendisini oluşturan değişim içinde tüketilmesi söz konusu
olamaz. Gerçekte mesele, limitin içerilmediği bu değişim alanının ötesine
geçme meselesidir. Ve sonuç, analitik yolla, derece derece değil, bir
defada gerçekleşen, değişkenlerden sabit niceliklere geçişin ürettiği
süreksizliğe karşılık gelen bir ‘aniden’lik biçiminde, sentetik bir yolla
elde edilir.143
Limitler esasen sabit nicelikler alanına aittir. Bu yüzden ‘limite
geçiş’ mantıksal olarak niceliğin iki türünün üst üste getirilmesini talep
143
Bu ‘ani’ ya da ‘anlık’ karakter, tabii fenomenler seviyesinde,
yukarıda verdiğimiz gergin ipin kopması örneğiyle karşılaştırılabilir.
Kopmanın kendisi gerginliğin bir limitidir ama derecesi ne olursa
olsun bir gerginlikle kıyaslanamaz.
136
eder. ‘Limite geçiş’ niceliğin yüksek türüne geçişten başka bir şey
değildir. Niceliğin yüksek türünde olan şey sadece, düşük türün kendisine
meylettiği durumdur. Aristo’nun terimlerini kullanırsak bu, imkândan
(potentiality) hakiki gerçekliğe (actuality) geçiştir. Bunun, Carnot’un
aklındaki basit ‘hataların telafi’ edilmesi düşüncesiyle hiçbir ortak yanı
yoktur. Matematiksel limit mefhumu tanımı gereği, devamlı ve belirli
şeylere uygulanabilen kararlılık ve denge karakterini ima eder. Bu
karakter, niceliğin iki türünden düşük olanla, özü itibariyle değişken
olanla gerçekleştirilemez. Bu yüzden limite asla kademeli olarak
ulaşılamaz, ancak bir türden ötekine ani bir geçiş şeklinde ulaşılabilir.
Sadece bu anilik, aradaki tüm aşamaların atlanmasına imkân verir, çünkü
o, onların belirsizliğinin tümünü sentetik olarak içerir ve kapsar. Bu
şekilde, değişimde var olabilen tek şey olan meyil, gerçek ve belirli bir
sonuçta beyan edilmiş ve sabitlenmiş olur. Yoksa ‘limite geçiş’ her zaman
saf ve basit bir mantıksızlık olurdu, çünkü değişkenler alanında kalındığı
sürece limitlere uygun olan sabitliğin elde edilemeyeceği aksi takdirde
daha önce değişken olarak düşünülen niceliğin geçici ve mümkün
(contingent) karakterini kaybedeceği açıktır. Değişken niceliklerin
durumu gerçekten son derece geçici ve kusurludur, çünkü onlar, değişim
durumuyla yakından ilgili olan belirsizlik fikrinin kökünde bulduğumuz
gibi sadece ‘oluşun’ (‘becoming’) ifadeleridir. Dolayısıyla hesaplama
yalnızca, içinde değişken ya da belirsiz bir şey kalmamış olan, sadece
sabit ve tespit edilmiş niceliklerden oluşan sonuçlara ulaşıldığında
kusursuz veya gerçekten tamamlanmış olur. Ve bunun benzerlik
yöntemiyle, nicelik seviyesinin ötesine – niceliğin sembolik anlamından
başka bir anlamın kalmayacağı alana – nasıl uygulanabileceğini ve nasıl
varlığın metafiziksel ‘gerçekleşimi’ (‘realization’) düşüncesine kadar
genişletilebileceğini zaten gördük.
137
25. Sonuç Bu çalışma boyunca incelenen konular, infinitezimal metotla
ilgili gerek onun gerçek önemi gerekse kesinliği açısından ortaya konan
tüm problemlere bir çözüm içerdiklerinden tamamen matematiksel bir
bakış açısı ile sunulmuştur. Bu çözüme ulaşmanın gerek ve yeter şartı,
doğru prensiplerin sıkı bir biçimde uygulanmasından başka bir şey
değildir. Ancak bu prensipler, bütün diğer profan (kutsala karşı saygısız)
aydınlar gibi modern matematikçilerin de tamamen habersiz oldukları
ilkelerdir. Nihayetinde bu bilgisizlik, ‘sonlucular’ ile ‘sonsuzcular’
arasındaki kavganın çok güzel bir şekilde gösterdiği gibi, bir sonuca
ulaşmak yerine aksine problemi daha da karmaşık hâle getiren ve
karışıklıkları katlayarak devam ettiren birçok tartışmanın tek sebebidir.
Doğru metafizik Sonsuzluk kavramı ve Sonsuz ile belirsiz arasındaki
temel fark en baştan açıkça ortaya konmuş olsaydı, bütün bu tartışmalar
çok kısa bir sürede kolaylıkla sonuçlanmış olurdu. Bu konuda Leibnitz’in
kendisi sık sık, bazı sorularla açıkça yüzleşme erdemini gösterdiği için
daha sonra gelenlere benzememesine rağmen, birçok modern filozofun
sıradan spekülasyonuna benzer bir biçimde, neredeyse hiç metafiziksel
olmayan, hatta bazen açıkça metafizik karşıtı şeyler söyler. Onu
rakiplerine karşı tatmin edici ve kesin cevaplar vermekten alıkoyan ve
sonuçta devam eden bütün bu tartışmalar için açık bir kapı bırakan şey
yine aynı metafizik prensiplerden mahrum oluşudur. Şüphesiz herhangi
biri Carnot gibi şunu söyleyebilir: ‘Leibnitz yanılıyorsa sadece kendi
analizinin kesinliği hakkında kendisinin sahip olduğu şüpheler yüzünden
yanılıyordur’.144 Ancak sonuçta yanılmamış olsa bile yine de, onun
kesinliğini tam olarak gösterememiştir, çünkü ne metafiziksel ne de
mantıklı olan süreklilik kavramı, gerekli ayrımları yapmasına ve
dolayısıyla limit mefhumunun tam bir tanımını yapmasına engel
144
Reflexions sur la Metaphysique du Calcul infinitesimal, s. 33.
138
olmuştur. Gösterdiğimiz üzere bu tanım, infinitezimal metodun temeli
için başlıca öneme sahiptir.
Bütün bunlardan, o bilimin desteğiyle bu prensiplerin anında
uygulanabileceği izafi ve mümkün alanın ötesine geçme niyeti olmasa
bile, prensiplerin özel bir bilimde ne kadar önemli olduğu görülebilir.
Şüphesiz, modernlerin tamamen yanlış anladıkları işte budur; profan
bilim anlayışlarıyla canı gönülden övünerek yaptıkları, bilimi
metafizikten ve ilahiyattan bağımsız hâle getirmektir.145 Oysa gerçek şu
ki böyle yaparak onlar sadece bilgiyi gerçek değerinden tam anlamıyla
mahrum bırakıyorlar. Ayrıca, bilimin yeniden prensiplere bağlanması
gerekliliği bir kez anlaşılınca, o noktada durmak için bir neden
kalmayacak, doğal olarak, ne olursa olsun herhangi özel bir bilimin
kendisinin ne olduğundan çok, onun daha üst bir bilgi seviyesine
yükseltici bir ‘destek’ olarak kullanılabilme ihtimalini daha değerli gören
geleneksel görüşe geri dönülecektir.146 Bizim buradaki amacımız, profan
görüşler tarafından sakatlanan ve saptırılan bilimin gerçek değer ve
kapsamını, hem doğrudan sunduğu göreceli bilgi seviyesi hem de yol
açabileceği yüksek bilgi seviyesi açısından, yeniden inşa etmek için en
azından belli bazı durumlarda tam olarak ne yapılabileceğini karakteristik
bir örnekle göstermekti. Bu anlamda, bilhassa integral alma ve ‘limite
geçiş’ gibi kavramlardan neler çıkarılabileceğini görebiliyoruz. Dahası,
metafiziksel hakikatlerin ifadesinde, bizim diğer çalışmalarımızdan
haberdar olanların bildiği gibi, bu hakikatler ifade edilebilir olduğu
ölçüde, matematiğin diğer bilimlerden çok daha uygun bir sembolizm
145
Örneğin bir yerde, Orta Çağ zamanında Teslisten üçgen geometrisi
ile ilişkili bir şekilde bahsedilmesine kızan çağdaş bir ‘bilim adamı’
gördüğümüzü hatırlıyoruz; o kişi muhtemelen bunun bugün hâlâ
‘Compagnonnage’ sembolizminde geçerli olduğundan habersizdi.
146
Bu konuda bir örnek için bakınız, The Esoterism of Dante, bölüm
2, Orta Çağ ‘liberal sanatlar’ının esoterik veya inisiyatik yönleri.
139
sunduğu söylenmelidir. Bu, gerek genelde geleneksel bakış açısından,
gerekse özelde inisiyatik bakış açısından neden matematiksel
sembolizmin çok sık kullanıldığının sebebidir.147 Ancak, bunun
gerçekleşebilmesi için her şeyden önce bu bilimlerin, modernlerin yanlış
düşüncelerinden kaynaklanan birçok hata ve karışıklıktan temizlenmesi
gerekir. Eğer bu çalışma bu amaca bir şekilde en azından bir katkıda
bulunabildiyse mutlu oluruz.
147
Matematiğin sayısal ve geometrik sembolizminin çok özel değeri
için özellikle The Reign of Quantity and the Signs of the Times’daki
açıklamalara bakılabilir.
140
Dizin Compagnonnage · 139 Couturat, L. · 14, 45, 59, 76, 77, 92 A A" lemşü mul Kü ll · 11, 12, 13, 17, 23, 27, 28, 29, 95, 118 algoritma · 76 Anima Mundi · 29 Aquinas, Aziz Thomas · 25, 26 Aristo · 131, 137 Aristocu · 84 aritmetik · 19, 26, 28, 32, 34, 57, 62, 71, 93, 95, 97, 99, 102, 122, 123, 124, 126 Arşimed · 39 atom · 54, 132 atomculuk · 58, 59, 70, 131 Avrupa · 6 D Dekart · 16, 24, 69 Dekartçılık · 9 denge · 63, 82, 105, 106, 108, 137 E Elea’lı Zeno · 131 Euclid · 87 Evrensel Tü mel · Bkn. A" lemşü mul Kü ll evrim · 51 B F Bernoulli, Jean · 21, 29, 30, 47, 53, 115, 123 bireycilik · 8 Bü yü k Adam (Kabbalistik) · 51 Fizik(sel) · 4, 7, 50, 74, 104, 107, 120 fizikçi · 104 fizyolog · 132 Freycinet, Ch. de · 44, 76, 78, 89, 110 C Cantor · 21 Carnot · 41, 45, 88, 90, 98, 109, 110, 111, 114, 119, 137, 138 Cauchy · 21 Cavalieri · 57 cebir · 71, 103 cebirsel · 71, 101, 102, 105 G Galileo · 21 geometri · 4, 36, 42, 52, 54, 68, 75, 79, 102, 139 141
geometrik · 5, 32, 33, 34, 36, 55, 64, 72, 99, 116, 123, 140 Grandi, Guido · 21 47, 49, 50, 53, 54, 56, 57, 58, 59, 67, 69, 71, 72, 75, 77, 78, 81, 83, 84, 86, 87, 89, 90, 92, 98, 102, 107, 109, 110, 111, 113, 115, 117, 118, 119, 120, 121, 123, 129, 133, 138 luz · 51 H Harvey · 51 Hegel · 85 helis · 18 Hermetik · 9, 106 hiçlik · 12, 15, 86, 95, 96, 105, 109 Hindistan · 6 Huygens · 113 M Mallebranche · 74 Marquis de l’Hospital · 42, 87 matematik · 7, 8, 24, 32, 42, 45, 68, 74, 81, 84, 98, 116, 117, 127 matematikçi · 5, 6, 8, 9, 11, 17, 31, 44, 64, 78, 80, 92, 96, 100, 102, 104, 105, 113, 116, 138 matematiksel · 7, 45, 95, 97, 105, 131, 138 analiz · 73, 125 dü zen · 8 gö sterim · 93 limit · 75, 93, 137 sembolizm · 4, 140 sıfır · 90 sonsuzluk · 13, 14, 16, 70 metafizik · 26, 28, 47, 48, 73, 116, 138, 139 dü zen · 46 metafiziksel · 11, 17, 29, 46, 73, 138 Birlik · 26, 95, 97 gerçekleşme · 128, 137 hakikat · 139 imkâ nsızlık · 95 ö zdeşlik · 73 prensipler · 15, 84, 138 sembolizm · 95 sıfır · 95 I ilahiyat · 139 K Kabbala · 6 Kabbalacı · 5 Kabbalistik · 51 Kartezyen · 56, 73, 74, 121, 129 kesir · 123 kozmos · 128 kozmik · 106 L Lagrange · 89 Leeuwenhoeck · 51 Leibnitz · 8, 9, 13, 16, 17, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 29, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 142
Sonsuzluk · 11, 12, 14, 15, 27, 70, 138 Varlık Oatesi (Non-­‐‑Being) · 95, 108 ontoloji(k) · 26, 46 Orta Çağ · 139 ortak-­‐‑ölçü lemez (incommensurable) · 34, 64 tam · 20, 21, 31, 59, 64 Schulenburg · 75 Sephiroth · 6 sıfır · 6, 33, 41, 56, 65, 77, 86, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 95, 96, 97, 99, 101, 107 Skolastik · 9, 12, 16, 24, 25, 48, 69, 104 Sonsuzluk · 7, 12, 13, 14, 15, 16, 24, 27, 46, 47, 49, 55, 64, 65, 67, 69, 82, 100, 115, 118, 120, 132 Spinoza · 12, 23 Stoacı · 29 P T Pascal · 46 Pisagor(cu) · 4, 5, 52, 65 Platon(ik) · 4, 19 Tao Te Ching · 65 Teslis · 139 Tetraktys · 65 R U Renouvier · 14, 22, 70 Rota Mundi · 9 Rozikruziyan (Rosicrucian) · 9, 37 Uzak Doğ u geleneğ i · 105, 108 kozmolojisi · 107 N Newton · 8 Nieuwentijt · 113 O V S Varignon · 47, 55, 73, 81, 88 Varlık (Being) · 26, 95, 97 Varlık (existence) · 108 sayı kesirli · 31, 32, 33, 34, 35, 36, 55, 61, 62, 63, 64 ortak-­‐‑ölçü lebilir (commensurable) · 64 143
W Y Wallis · 21 Wolf, V. Cl. Christian · 81, 83 yang · 108 yin · 108 yıldızlar · 38, 51 Yunanca · 6, 65 144