rasyonel sayılar

2011
RASYONEL SAYILAR
AKDENİZ
ÜNİVERSİTESİ
06.01.2011
A.Tanım __________________________________________________________________ 3
B.Kesir ____________________________________________________________________ 3
C.Kesir çeşitleri ____________________________________________________________ 3
1.Basit kesirler __________________________________________________________________ 3
2.Birleşik kesirler ________________________________________________________________ 3
3. Tam sayılar ___________________________________________________________________ 3
D.Rasyonel sayıları sıralama __________________________________________________ 4
E.Rasyonel sayılarda işlemler _________________________________________________ 5
1.Rasyonel sayılar kümesinde toplama işlemi _________________________________________ 5
1.1Rasyonel sayılarda toplama işleminin özellikleri ___________________________________________ 5
1.1.1Kapalılık özelliği ________________________________________________________________ 5
1.1.2Değişme özelliği ________________________________________________________________ 6
1.1.3Birleşme özelliği ________________________________________________________________ 6
1.1.4 Etkisiz eleman _________________________________________________________________ 6
1.1.5Ters eleman ___________________________________________________________________ 6
2.Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma işlemi _________________________________________ 6
3.Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işlemi __________________________________________ 7
3.1Rasyonel sayılarda çarpma işleminin özellikleri____________________________________________ 7
3.1.1Kapalılık özelliği ________________________________________________________________ 7
3.1.2Değişme özelliği ________________________________________________________________ 7
3.1.3Birleşme özelliği ________________________________________________________________ 7
3.1.4Etkisiz eleman__________________________________________________________________ 8
3.1.5Ters eleman ___________________________________________________________________ 8
3.1.6Yutan eleman __________________________________________________________________ 8
3.1.7Dağılma özelliği_________________________________________________________________ 8
4.Rasyonel sayılar kümesinde bölme işlemi ___________________________________________ 9
F.Rasyonel sayılarla çok adımlı işlemler _________________________________________ 9
2
RASYONEL SAYILAR
A.Tanım
𝑎
A ve b tamsayı, b≠0 olmak üzere şeklinde ifade edilen sayılara
𝑏
rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir.
𝑎（𝑝𝑎𝑦）
→kesir
𝑏（𝑝𝑎𝑦𝑑𝑎）
0
𝑎
𝑏
0
=0（b≠ 0） =tanımsız
B.Kesir
a ve b birer tamsayı, b≠0 olmak üzere
𝑎
𝑏
şeklindeki ifadelere
kesir denir.
C.Kesir çeşitleri
1.Basit kesirler
Payı paydasından küçük olan sayılara basit kesir denir.
2 8 11
Örneğin ; , ,
5 9 20
,…
2.Birleşik kesirler
Payı paydasından eşit ve paydasından büyük olan sayılara
birleşik sayılar denir.
5
8
5
7
Örneğin; ,
,
88
71
,…
3. Tam sayılar
a,b,c birer doğal sayı b<c ve a e sıfırdan farklı olmak üzere a
5
6
6
12
şeklinde gösterilen kesirlerdir. Örneğin;1 ,2
,3
79
84
𝑏
𝑐
,…
3
D.Rasyonel sayıları sıralama
*Paydaları eşit olan sayılardan payı en büyük olan kesir en
büyüktür.
ÖRNEK:
5
,
8
6
,
,
11
rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru
11 11 11 11
sıralayınız.
5
11
<
6
11
<
8
<
11
11
11
*Payı eşit olan sayılardan paydası en küçük olan sayı en
büyüktür.
ÖRNEK:
11 11 11 11
,
5
8
,
6
,
11
rasyonel sayılarını küçükten büyüğe doğru
sıralayınız.
11 11 11 11
<
<
<
11
8
6
5
∗Rasyonel sayıların payları ile paydaları arasındaki fark eşit ise;
Şayet rasyonel sayılar basit kesir şeklinde iseler, payı küçük olan daha
küçüktür.
ÖRNEK:
12 14 21
,
,
17 19 26
rasyonel sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.
21 14 12
>
>
26 19 17
-Şayet rasyonel sayılar birleşik kesir şeklinde iseler payı küçük
olan daha büyüktür.
ÖRNEK:
104 359 15
,
,
102 357 13
rasyonel sayılarını büyükten küçüğe doğru
sıralayınız.
15 104 359
>
>
13 102 357
*Rasyonel sayılar, ondalık kesre çevrilerek de sıralanır.
4
ÖRNEK:
10
A=
11
B=
10 100
,
11 111
rasyonel sayılarını sıralayınız.
olsun. O zaman
100
1
=
𝑎
11
10
1
111
𝑏
100
olsun. O zaman =
111
= 1,1
= 1,11 burdan a>b olur.
NOT: Bütün pozitif rasyonel sayılar, bütün negatif rasyonel sayılardan
büyüktür.
Negatif rasyonel sayılar ̏ 0 ̋ yaklaşırken büyür, pozitif rasyonel
sayılar ̏ 0 ̋ yaklaşırken küçülür.
E.Rasyonel sayılarda işlemler
1.Rasyonel sayılar kümesinde toplama işlemi
Rasyonel sayılarla toplama işlemi yapılırken;
 Paydalar eşit değil ise paydalar eşitlenir.
 Paylar toplanır.
 Paydaya ortak payda yazılır.
1.1Rasyonel sayılarda toplama işleminin özellikleri
1.1.1Kapalılık özelliği
𝑎 𝑐
𝑎
𝑐
𝑏 𝑑
𝑏
𝑑
, ∈ 𝑄 İçin ( + ) olduğundan rasyonel sayılar kümesi toplama
işlemine göre kapalıdır.
2
3
3
4
ÖRNEK: + işleminin sonucunun rasyonel sayı olup olmadığını
bulunuz.
2
3
3
8
4
12
+ =
+
9
12
=
17
12
∈ 𝑄 olur.
5
1.1.2Değişme özelliği
𝑎 𝑐
𝑎
𝑐
𝑐
𝑎
𝑏 𝑑
𝑏
𝑑
𝑑
𝑏
, ∈ 𝑄için ( + = + ) olduğundan rasyonel sayılar
kümesinde, toplama işleminin değişme özelliği vardır.
ÖRNEK: +
4
1
3
6
4
1
8
1
9
6
6
6
6
3
1
4
6
3
, + işlemlerini yapalım ve sonuçlarını karşılaştıralım.
+ = + =
1
4
1
8
9
4
1
1
4
6
3
6
6
6
3
6
6
3
ve + = + = ⇒ + = +
1.1.3Birleşme özelliği
𝑎 𝑐 𝑒
𝑎
𝑐
𝑒
𝑎
𝑐
𝑒
𝑏 𝑑 𝑓
𝑏
𝑑
𝑓
𝑏
𝑑
𝑓
, , ∈ 𝑄 İçin ( + ) + = + ( + )olduğundan rasyonel
Sayıların toplama işlemine göre birleşme özelliği vardır.
1
3
1 1 3
2
4
4 2 4
ÖRNEK:( + ) + ,
+
1
4
işlemlerini yapalım ve sonuçlarını
karşılaştıralım.
1
3
1
2
3
1
6
2
4
4
4
4
4
4
3
1
1
4
2
6
4
4
2
4
4
4
( + )+ =( + )+ =
( + )+ = + =
1
3
1
1
3
1
2
4
4
2
4
4
( + )+ = +( + )
1.1.4 Etkisiz eleman
̏0 ̋ tamsayısına rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin
etkisi elemanıdır.
1.1.5Ters eleman
𝑎
𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
, − ∈ 𝑄 İçin
+ −
𝑎
𝑏
= 0 olduğundan
𝑎
𝑏
ve −
𝑎
𝑏
rasyonel
sayıları, toplama işlemine göre birbirlerinin tersidir.
2.Rasyonel sayılar kümesinde çıkarma işlemi
İki rasyonel sayının farkı bulunurken eksilen rasyonel sayı, çıkan
rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi ile toplanır.
9
5
27
4
3
12
ÖRNEK: − =
−
20
12
=
7
12
6
3.Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işlemi
İki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı paya,
paydaların çarpımı paydaya yazılır 1.
NOT: Tam sayılı kesir biçiminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken
önce tamsayılı kesirler birleşik kesre çevrilir. Sonra çarpma işlemi
yapılır.
3.1Rasyonel sayılarda çarpma işleminin özellikleri
3.1.1Kapalılık özelliği
𝑎 𝑐
𝑎
𝑐
𝑏 𝑑
𝑏
𝑑
, ∈ 𝑄için ( × ) ∈ 𝑄 olduğundan rasyonel sayılar kümesi,
çarpma işlemine göre kapalıdır.
2
5
3
2
ÖRNEK: × (− )işleminin sonucu rasyonel sayı olup olmadığını
bulunuz.
2
3
5
5
2
3
× (− ) = − ∈ 𝑄 Olur.
3.1.2Değişme özelliği
𝑎 𝑐
𝑎
𝑏 𝑑
𝑏
, ∈ 𝑄 İçin
𝑐
𝑐
𝑎
𝑑
𝑑
𝑏
× = × olduğundan rasyonel sayılar
kümesinde, çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
9
10 10
5
3
ÖRNEK: ×
9
5
×
10
3
= 6 ve
,
3
10
3
9
× sonuçlarını karşılaştıralım.
5
9
9
10
5
5
3
× =6⇒ ×
=
10
3
9
× tir tir.
5
3.1.3Birleşme özelliği
𝑎 𝑐 𝑒
𝑎
𝑐
𝑒
𝑎
𝑐
𝑒
𝑏 𝑑 𝑓
𝑏
𝑑
𝑓
𝑏
𝑑
𝑓
, , ∈ 𝑄 için ( × ) × = × ( × )olduğundan rasyonel
sayılar kümesinde, çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
1𝑎
𝑏
𝑐
𝑎×𝑐
× 𝑑 = 𝑏×𝑑
7
4
1
5 4
1
3
2
7 3
2
ÖRNEK:( × ) × , ×
×
5
7
işlemlerini yapalım ve sonuçlarını
karşılaştıralım.
4
1
5
2
5
10
3
2
7
3
7
21
( × )× = × =
4
3
1
5
4
5
2
7
3
14
×( × )= ×
=
4
1
5
4
1
5
3
2
7
3
2
7
∗( × )× = ×( × )
10
21
3.1.4Etkisiz eleman
̏ 1 ̋ rasyonel sayılarla çarpma işleminin etkisiz elemanıdır.
𝑎
𝑏
∈ 𝑄 Olmak üzere
𝑎
𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
×1 = 1× =
3.1.5Ters eleman
Bir rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi, o sayının pay ve
𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
paydasının yer değiştirmiş haline eşittir. ∈ 𝑄 Olmak üzere
𝑏
sayısının çarpma işlemine göre tersi
𝑎
3
4
3
2
8
4
3
2
3
22
ÖRNEK: × = 1 ,− × − = 1 ,
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
rasyonel
dır dır. × = 1
×
22
8
=1
3.1.6Yutan eleman
̏ 0 ,̋ rasyonel sayılarla çarpma işleminin yutan elemanıdır.
𝑎
𝑏
∈ 𝑄Olmak üzere
𝑎
𝑏
𝑎
×0 =0× =0
𝑏
3.1.7Dağılma özelliği
Rasyonel sayılarla çarpma işleminin toplama işlemi ve çıkarma
𝑎 𝑐 𝑒
işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. , , ∈ 𝑄 Olmak üzere
𝑏 𝑑 𝑓
𝑎
𝑐 𝑒
𝑎 𝑐 𝑎 𝑒
×( + )= × + ×
𝑏
𝑑 𝑓
𝑏 𝑑 𝑏 𝑓
2
3
1
2
3
2
1
3
5
4
2
5
4
5
2
10
ÖRNEK: × ( − ) = × − × =
−
2
10
=
1
10
8
4.Rasyonel sayılar kümesinde bölme işlemi
Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken birinci kesir aynen
yazılır. İkinci kesrin çarpma işlemine göre tersi alınıp birinci kesirle
çarpılır.
2
1
3
9
ÖRNEK: rasyonel sayısının içinde
rasyonel sayısından kaç tane
bulunur ve modelleyiniz.
2
2
3
3
1
÷ =6
9
̏ 0 ̋ in bir rasyonel sayıya bölümü ̏ 0 ,̋ bir rasyonel sayının ̏ 0 ̋ a
bölümü tanımsızdır.
F.Rasyonel sayılarla çok adımlı işlemler
Çok adımlı işlemler yapılırken aşağıdaki sıra takip edilmelidir.
 Kesir çizgisinin altında ve üstünde bulunan işlemler yapılır.
 Bu işlemleri yaparken pay ve paydaya en içteki parantezden
başlanır.
 Parantez içindeki işlemler yapılırken önce çarpma ve bölme
işlemleri sonra toplama ve çıkarma işlemleri yapılır.
ÖRNEK:7 +
3
1+
= 8 denkleminde ki x değeri nedir?
2
1
2+
𝑥
3
1+
=1⇒1+
2
2+
1
𝑥
2
1
2+
𝑥
=3⇒
2
1
2+
𝑥
1
1
𝑥
𝑥
= 2 ⇒ 2 + = 1 ⇒ = −1
⇒x= −1
9
KESİR ÇEŞİTLERİ
AÇIKLAMASI
Basit Kesir
a<b ,
Birleşik Kesir
a≥b , 𝑏
Tam Sayılı Kesir
C≠ 0, a<b; c𝑏
ÖRNEK
𝑎
12 25 32
, ,
13 27 49
48 132 19
,
,
17 101 15
1 2
3 ,6
4 5
𝑏
𝑎
𝑎
2 8
2 32
30
5
− =
−
=−
=−
12 3 12 12
12
2
a+
1
𝑐
1
1
𝑏+𝑐
=
44
19
=2
6
19
→𝑎=2
1
19
𝑐
6
𝑏+ =
1
=3 →𝑏=3
6
1
= → 𝑐 = 6 a×b-c=6-6=0
6
10