Kümeler Kuramı Üzerine Düşünmek

Kümeler Kuramı Üzerine Düşünmek
CAN BAŞKENT
1. Sezgisel Kümeler Kuramı ve Çelişkileri
Hepimizin bildiği sezgisel kümeler kuramı (naive set theory) Cantor'a atfedilir. Bu kümeler
kuramı, bizim Math111 dersinden tanıdığımız kuram.
19. yüzyılın ikinci yarısında, bizzat Cantor'un kendisi de dahil olmak üzere, matematikçiler
ve mantıkçılar kümeler kuramında çelişkiler ve tutarsızlıklar bulmaya başladı.
Örneğin: [ Cantor (Burali - Forti) Açmazı ]
Tüm kümelerin kümesine T diyelim. T'nin tüm alt kümelerinden oluşan kümeye (power set)
de A diyelim.
Biliyoruz ki: |A| > |T|, çünkü 2m > m
Fakat T tanım gereği tüm kümeleri kapsıyor, dolayısıyla |A| > |T| koşulu nedeniyle, A
kümesi tüm kümlerin kümesinden de büyük bir küme olmalıdır.
Çelişki!
Bu açmazda ilginç olan nokta, Cantor'un farklı sonsuzluk türleriyle ilgili ilk çalışmalarının
ipucunu taşımasıdır. Diğer bir deyişle, ontolojik olarak farklı iki tür sonsuzluğun mümkünatı
Cantor'un ilgi alanlarındandı. Farklı 3'ler var olamıyorsa, nasıl farklı sonsuzluk türleri var
olabiliyordu? Dahası bu sonsuzluk türleri birbirlerinden türetilemiyordu. Gerçel sayıların
sayılamayan sonsuzluğunun, sayılabilir sonsuzluğa sahip doğal sayılardan türetilememesi
gibi.
Bu açmazı aklımızda tutalım, çünkü makalenin ilerleyen satırlarında Cantor'un continuum
hipotezinden söz edeceğiz.
Cantor açmazı üzerine çalışan Bertrand Russell, 1901 yılında daha 28 yaşındayken kendi
adıyla anılan açmazı keşfeder. (Bazı kaynaklara göre ise, aynı açmaz Zermelo tarafından
Russell'dan bağımsız olarak da bulunmuştur. Zermelo, Hilbert'e yazdığı bir mektupta bu
açmaz söz ediyormuş.)
Açmazı sembolik olarak anlatmaya geçmeden, Russell'ın ifadeleriyle açmazı öğrenelim:
Bir köyün berberi, yalnızca kendini tıraş etmeyen köylüleri tıraş edermiş. Peki bu berber
kendini tıraş eder mi?
Kendini tıraş ederse kendini tıraş etmeyecek, kendini tıraş etmezse kendini tıraş edecek..
Sembolik olarak yazmak gerekirse:
Aşağıdaki R kümesini ele alalım.
R:={x : x ∉ x}
Acaba R kendisinin bir elemanı mı?..
Eğer R ∈ R ise, yani berber kendini tıraş ederse, tanım gereği: R ∉ R, yani berber
kendini tıraş edemez.
Eğer R ∉ R ise, yani berber kendini tıraş edemiyorsa, tanım gereği:R ∈ R, yani berber
kendini tıraş ediyor.
Sonuç: R ∈ R ⇔ R ∉ R, çelişki...
Russell açmazının çözüm süreci aslında oldukça ilginç. Russell'ın kendisi dahil olmak
üzere, bu açmazın çözümü için bir çok fikir öne sürülmüş. Şimdi ise biliyoruz ki, böyle bir R
kümesi var olamaz. Tıpkı, Cantor açmazındaki T kümesini var olamayacağı gibi.
Görüyoruz ki, bir zamanların sezgisel kümeler kuramının açmazları, teorem olarak
aksiyomatik kümeler kuramında yer alıyor. Russell açmazının önemli noktalarından biri de,
her özelliğin küme tanımlamadığının gösterilmesiydi. Diğer bir ifadeyle A={x | Ψ(x) } ifadesi
her Ψ(x) ifadesi için küme tanımlamıyor. Örneğin, T kümesi için Ψ(x) := {x = x }, R kümesi
içinse Ψ(x) := {x ∉ x} olarak verilmişti ve T ile R küme olamıyordu.
Russell bir matematikçi, mantıkçı, filosof ve sıkı bir savaş karşıtıydı. Alfred North
Whitehead ile yazdığı Principia Matematica önemli bir projeydi. Bu eserde Russell ve
Whitehead, matematiği mantığa ve kümeler kuramına indirgemeye çalışmışlardı. Fakat,
biraz önce gördüğümüz açmazlar nedeniyle, bu proje başarısızlıkla sonuçlandı. İlk
aklımıza gelen soru şu: 'Acaba modern kümeler kuramında da böyle bir proje başarısız
olur mu?'.. Bu çalışmanın kapsamını aşan bu önemli soru matematiksel mantığın felsefesi
ve yöntembilgisi alanında ufuk açıcı bir araştırma konusu olarak belirmekte.
Principia Matematica, alanında ne ilk ne sondu. Frege'nin Aritmetiğin Temelleri'ni,
Hilbert'in Geometrinin Temelleri'ni es geçmemeliyiz.
Hilbert'ten söz etmişken, ünlü matematikçinin 1900 Uluslararası Paris Matematikçiler
Konferansında sunduğu soruları, daha doğrusu bu sorulardan bizi ilgiliendirdiklerini
düşündüklerimi, atlamamlıyız. Şöyle sormuş Hilbert: 'Acaba fizik aksiyomatikleştirilebilir
mi?' Bizi daha da çok ilgilendiren sorusu ise: 'En genel bir matematik probleminin çözümü
için (sonlu) bir algoritmik yöntemin bulunup bulunmayacağı'. Hilbert'in amacı, aksiyomlarını
ve yöntem kurallarını belirleyecek bir program yardımıyla matematiği tartışılmaz
sağlamlıklta temellendirmekti. Kant'ın hemşerisi olan Hilbert'in bu iddiasını önce Platoncu
bir mantıkçı olan Gödel, sonrasında da Alan Turing yanıtladı: Böyle bir algoritma var
olamaz!
2. Matematiği Aksiyomatikleştirme Çabaları
Peki sizce matematik neden aksiyomatikleştirilmek istendi? 19., 20. yüzyıla kadar
aksiyomatik yapıdan, Öklid dışında, haberi olmayan, dahası böyle bir gereklilik bile
hissetmeyen yüzlerce matematikçi matematiğe muhteşem katkılarda bulundu. Acaba
aksiyomatik sistem, bizlerin matematik yapma biçimini nasıl etkiledi? Bir dirimbilimcinin
hücrenin ne olduğunu bilmeden bilimsem çalışma yapması bize komik görünür, oysa
yüzlerce matematikçi bu kümeyi ve sayıyı bilmeden matematik yaptı.
1880'lerin sonunda İtalyan matematikçi ve mantıkçı Peano doğal sayıları
aksiyomatikleştirdi. Bu aksiyomlar, kısaca:
M Sıfır bir sayıdır ve hiç bir sayının ardılı değildir.
M Bir sayıyı farklı iki sayı takip edemez.
M Eğer sıfıra ait bir özellik, bir sayıya da ait olduğunda o sayının ardılına da ait
oluyorsa, o özellik tüm sayılara aittir. (Matematiksel Tümevarım ilkesi)
Peano, bu aksiyomları gerekçelendirmek için uğraşmadı. Zira, oldukça sezgisel bu
aksiyomlar, pek de tepki uyandırmamış anlaşılan. Bir istisna dışında: Frege
Frege, Peano aksiyomlarını mantıktan çıkarmaya çalıştı. Aritmetiğin Temelleri'nde şöyle
yazar: "Matematikte sayının ne olduğu üzerine bugüne değin bir açıklığa ulaşılamamış
olunması bir skandaldır. Sayı bir nesneler kümesi mi, yoksa karatahta üzerinde insan
eliyle çizilen bir şekil mi, psikolojiden öğrenmemiz gereken ruhsal bir nesne mi, yoksa
sonsuza dek sürecek bir varlık mı? Matematik uğraştığı nesnelerin doğasını anlamantan
uzak kalmaktadır. Peki, bu bir skandal değilse nedir? "
1900'lerde kümeler kuramı Zermelo ve Frænkel tarafından aksiyomatikleştirildi. Zermelo,
1904'te seçim aksiyomunu, 1908'de de her kümenin iyi sıralanabileceğini kanıtlamıştı.
Fazla formel olması nedeniyle kümeler kuramının aksiyomlarına burada yer vermiyoruz.
3. Gödel
Kümeler kuramı demişken Gödel'i es geçemeyiz. Gödel'in iki çalışmasına yer vereceğiz.
İlki Cantor'un continuum hipotezi üzerine, ikincisi de kümeler kuramının tutarlılığı üzerine..
Continuum hipotezi nedir? Yazının başlarında iki tür sonsuzluktan söz etmiş ve Cantor'un
bu konuda çalıştığını vurgulamıştık. Cantor, bu iki tür sonsuzluk (sayılabilen sonsuzluk ve
sayılamayan sonsuzluk) arasında başka bir sonsuzluk türü var olup olamayacağınu
araştırıyordu. Bu sonsuzluğa sahip bir küme bulamadı ve böyle bir kümenin var
olamayacağını iddia etti. Gödel ise, continuum hipotezinin ya da bu hipotezin değilinin,
Zermelo - Frænkel kümeler kuramından türetilemeyeceğini göstermiştir. Dikkatinizi
çekerim, Gödel hipotez doğru ya da yanlış demiyor, sadece kümeler kuramından bunun
türetilemeyeceğini söylüyor. Dolayısıyla, artık biliyoruz ki, continuum hipotezi kümeler
kuramının mantıksa bir sonucu değil.
Gödel'in burada anacağımız ikinci çalışması ise seçim aksiyomu üzerine. Nedir seçim
aksiyomu: Verilen bir kümeler topluluğundan/ailesinden öyle bir küme oluşturabiliriz ki, bu
yeni kümede verilmiş kümeler topluluğunun/ailesinin her kümesinden bir eleman bulunur.
Hissetmişsinizdir, bu oldukça tuhaf görünen bir aksiyom. Biraz önce değindiğimiz Peano
aksiyomları gibi sezgisel değil. Öncelikle verili her küme topluluğu için geçerli. Dolayısıyla
bu aksiyomu gerekçelendirmek ve aksiyomun hesabını vermek zor olacak. Bu makalenin
ilerki satırlarında seçim aksiyomunu örneklendirip detaylandıracağız.
Bir çok matematikçi seçim aksiyomunu dışladı. Poincaré, Weyl, Brouwer gibi.. Seçim
aksiyomunun, diğer bir ifadesiyle her kümenin bir seçim fonksiyonu olduğunun, bir
aksiyom olarak, bu matematikçilere göre belirtilmesine gerek yoktu.
Seçim aksiyomunu dışlamış kümeler kuramına 'Sınırladırılmış Kümeler Kuramı' diyelim,
seçim aksiyomlu kümeler kuramı da 'Standart Kümeler Kuramı' olsun bizim buradaki
terminolojimizde. Gödel 1938'te şunu kanıtladı: Eğer sınırlandırılmış kuram tutarlıysa,
standart kuram da tutarlıdır. Gödel bu ispatıyla seçim aksiyomunun diğer aksiyomlardan
daha tehlikeli olmadığını göstermiş oldu. Gödel'in teorisini şu şekilde de okuyabiliriz
elbette: Eğer standart kuramda bie çelişki/tutarsızlık varsa, bu çelişki/tutarsızlık
sınırladırılmış kuramda da var olmalı.
4. Seçim Aksiyomu
Seçim aksiyomunu, biraz önce de belirttik, her kümenin bir seçim fonksiyonu vardır,
şeklinde de ele alabiliriz. Bu bölümde bazı kümler için seçim fonksiyonları belirleyeceğiz.
Öncelikle, seçim aksiyomunun biraz daha net olarak anlaşılması için Russell'dan yardım
alalım. Şöyle bir senaryo sunuyor Russell: Sonsuz çift ayakkabımız ve sonsuzçift
çorabımız olsun. Bu çiftlerden nasıl seçim yapabiliriz.? Örneğin, ayakkabı çiftlerinden sol
tekleri seçebiliriz. Peki, sağını ve solunu ayırdedemeyeceğimiz çorap çiftlerinde böyle bir
seçimi nasıl yapabiliriz? Bu seçimi yapabilecek bir araca ihtiyacımız var, bu da seçim
aksiyomu. Dikkatinizi çekerim, aksiyomla, bu fonksiyonu bulmuş olmuyoruz, sadece böyle
bir seçimin varlığını kabul ediyoruz.
Şimdi de belli başlı örnekleri inceleyelim:
Kullanaağımız notasyon da şu: ℘(X)* := X kümesini tüm altkümelerinin kümesinden boş
kümeyi çıkardığımızda elde edilen küme.
℘(N)*
En küçük elemanı seçeriz, çünkü her doğal sayılar kümesinin bir tane en küçük elemanı
vardır.
℘(Z)*
∅ ≠ x ⊆ Z ise, x'in en büyük elemanını seçeriz, en büyük eleman yoksa, x ∩ N kümesinin
en küçük elemanını alırız.
℘(Q+)*
Bir x kümesi alalım, ve şu kümeyi tanımlayalım: A (x)={ a+b | a/b ∈ x}. A boş olmayan bir
kümedir, ve en küçük elemanı vardır: n.
{a/b ∈ x | a+b=n} kümesini ele alalım. Bu küme sonlu sayıda rasyonel sayıdan oluşuyor,
dolayısıyla en küçük elemanı vardır. İşte x'ten bu elemanı seçelim.
℘(Q)*
Yukarıdakilere oldukça benzer bir şekilde seçebiliriz. Alıştırma!
Gerçel Aralıklar
[a, b] , [a, b) , (a, b] , (a, b): orta nokta (a+b)/2
(- ∞ , a) , (- ∞ , a]: a – 1 noktası
[a, ∞) , (a, ∞ ): a + 1 noktası
(- ∞ , ∞ ): 0
℘(R)*
Alıştırma!
Son alıştırmada, seçim fonksiyonunu yazabilmek mümkün değil. Ama aksiyom, bize ne
olduğunu bilmesek de, bir seçim fonksiyonun var olduğunu söylüyor.
Ayrıca bire-bir fonksiyonların terslerini bulmakta da seçim aksiyomunu kullanıyoruz.
Acısıyla tatlısıyla, bir seçim fonksiyonumuz var. Öyle ki, varlığını kabul ediyoruz ama
gösteremiyoruz.
Peki bu nasıl bir var olmadır?
Kaynakça
M
The Mathematical Experience, Davis, P. J., Hersh, R., Marchisotto, E. A., Birkhäuser
M
Matematiksel Düşünme, Yıldırım, C., Remzi Kitabevi
M
Bilgisayar ve Zeka, Penrose, R., TÜBİTAK yayınları
Routledge Encyclopedia of Philosophy
M
Philosophy of Mathematics – An Introduction to the World of Proofs and Pictures,
Brown, J.R., Routledge
M
Matematik Dünyası
nisan - mayıs 2004, Ankara