Logaritma 1.Bölüm

LOGARİTMA
( ÜSTEL FONKSİYON − LOGARİTMA FONKSİYONU )
LOGARİTMA
Örnek...3 :
f : ℝ→ℝ , f (x)=2 x f o nk s i yo n u n a a i t t a b l o yu
doldurup
oluşan
x
-2 -1 0 1
2 3 4
ikililere göre
y
grafiğini
ç i zi n i z ?
a b=c e ş i t l i ğ i n i d ü ş ü n e l i m .
M ü m k ü n o l a n d u r um l a r d a ;
D u r u m 1 : a v e b b i l i n i yo r s a c ü s a lm a
i ş l e m i yl e b u l u n a b i l i r. Ö r n e ğ i n 25=c i s e
c = 3 2 d i r.
D u r u m 2 : b v e c b i l i n i yo r s a a k ök a lm a
i ş l e m i yl e b u l u n a b i l i r. Ö r n e ğ i n a 2=7 i s e
a= √ 7 d i r.
B u i ş l e m l e r i d a h a ö n c e d e n g ö r m ü ş t ük .
D u r u m 3 : a v e c b i l i n i yo r s a b l o g a r i t m a
a l m a i ş l e m i yl e b u l u n a b i l i r. 2b =7
e ş i t l i ğ i n i n ç ö zü m ü l o g a r i t m a yl a b=log2 7
o l a r a k e l d e e d i l i r. ( B a z ı ö ze l d u r u m l a r d a
l o g a r i t m a i ş l em i ya p m a ya g e r e k
k al m a d a n d a ç ö z üm b u l u n a b i l i r. Ö r n e ğ i n
b
2 =8 g i b i . )
GENELLEME
y
x
L o g a r i t m a d a h a ö n c e d e n ç ö ze m e d i ğ im i z
x
a = b g i b i d e nk l em l e r i ç ö zm e n i n a r a c ı d ır.
L o g a r i t m a a lm a i ş l em i k a b a c a ü s a l m a
i ş l e m i n i n t e r s i o l a r ak d ü ş ü n ü l e b i l i r.
L o g a r i t m a a lm a i ş l em i n e b a ş l a m a d a n
ö n c e ü s t e l f o nk s i yo n l a r ı i n c e l e ye l im .
ÜSTEL FONKSİYON
www.matbaz.com
SONUÇ
f : ℝ→ℝ , f (x)=a
f o nk s i yo n u a > 1
i ç i n a r t a n d ı r.
Ş ek l i i n c e l e yi n i z .
f(x)=a
x
a>1 ise
1
x
0
Örnek...4 :
1 x
f : ℝ→ℝ , f (x)=( ) f on k s i yo n u n a a i t t a b l o yu
2
doldurup oluşan
x
-2 -1 0 1
2
ikililere göre
g r a f i ğ i n i ç i zi n i z?
y
a ∈ℝ+ −{1} o l m a k ü ze r e , f : ℝ→ℝ , f (x)=a x
fonksiyonuna üstel fonksiyon denir.
Örnek...1 :
+
f : ℝ→ℝ , f(x)=2
kaçtır?
x
ü s t e l f o nk s i yo n u i ç i n f ( 5 )
Örnek...2 :
f : ℝ→ℝ+ , f(x)=ax ü s t e l f o n k s i yo n u i ç i n
f ( 5 )= 2 4 3 t ü r. B u n a g ö r e , a k aç t ı r ?
GENELLEME
f : ℝ→ℝ+ , f(x)=ax
f on k s i yo n u
0<a<1 için
a za l a n d ır.
Ş e k l i i n c e l e yi n i z.
f(x)=a
x
y
a<1 ise
1
x
0
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
1/6
3
4
LOGARİTMA
( ÜSTEL FONKSİYON − LOGARİTMA FONKSİYONU )
ÖZET OLARAK
+
a ∈ℝ −{1} f : ℝ→ℝ , f (x)=a
f on k s i yo n u ;
1 ) a > 1 için artandır.
x
d i ye r ek l o g a r i t m a v e ü s t e l if a d e yi
b i r b i r i n e b a ğ l a ya n loga y=x a x= y
e ş i t l i ğ i n d e n yo l a ç ık a r 2 x =8 d e nk l e m i n i
m üm k ü n s e ç ö ze r v e x ' i b u l u r u z. ( D a h a
s o n r a l o g a r i t m a ö ze l l i k l e r i n i ö ğ r e n d i ğ i m i zd e f a r k l ı b i r d ü ş ü n ü ş l e d e s o n u c a
gidebiliriz.)
üstel
2) 0<a<1 için azalandır.
3) Bire bir fonksiyondur.
+
4) Değer kümesi ℝ alınırsa örtendir. Bundan
dolayı f : ℝ→ℝ+ , f(x)=ax için f-1(x) ters
fonksiyonu tanımlıdır ve bu ters fonksiyona
logaritma fonksiyonu denir.
Örnek...5 :
log2 x=4 o l d u ğ u n a g ö r e , x k aç t ır ?
LOGARİTMA FONKSİYONU
Örnek...6 :
f : ℝ→ℝ+ , f(x)=ax f on k s i yo n u n u n t e r s
f on k s i yo n a s a h i p o l d u ğ u n u b i l i yo r u z. S ö z
k on u s u t e r s f o nk s i yo n a l o g a r i t m a
f on k s i yo n u d e n i r v e f : ℝ+ →ℝ , f(x)=loga x
i l e g ö s t e r i l i r. Ş ek l i i n c e l e yi n i z .
•
•
y=f(x)=ax
x=logay
−1
f (x)=logax
yukarıdaki eşlemeyi sembolik olarak
y=ax  x=log a y
olarak yazabiliriz.
k a ç t ır ?
Örnek...7 :
B
www.matbaz.com
f(x)=ax
A
log5 3025
logk 9=2 o l d u ğ u n a g ö r e , k k a ç t ır ?
Örnek...8 :
log2 (x+5)=7 o l d u ğ u n a g ö r e , x k aç t ır ?
Örnek...9 :
log4 (16)=x o l d u ğ u n a g ö r e , x k a ç t ır ?
Örneğin uygun şartlarda tanımlı f (x)=2x ve
g(x)=log2 x fonksiyonları birbirlerinin tersleridir.
Örnek...10 :
UYARI 1
log√2 (8)=x o l d u ğ u n a g ö r e , x k aç t ır ?
1 ) l o g a x if a d e s i " a t a b a n ı n d a x i n
l o g a r i t m a s ı " d i ye ok u n u r.
2 ) l o g a x ya z ı l ı ş ı a ' n ı n h a n g i k u v v e t i x
o l u r ş e k i l i n d e yo r u m l a n a b i l i r.
Örnek...11 :
log 1 (125)=x o l d u ğ u n a g ö r e , x k aç t ır ?
25
Ö r n e ğ i n log2 8
if a d e s i n i n e ş i t i n i b u l m ak
i ç i n ya 2 s a yı s ı n ı n h a n g i k u v v e t i 8 ya p a r
d i ye d ü ş ü n ü r ü z ya d a log2 8=x o l s u n
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
2/6
LOGARİTMA
( ÜSTEL FONKSİYON − LOGARİTMA FONKSİYONU )
Örnek...12 :
Örnek...18 :
7x+ 2=15 o l d u ğ u n a g ö r e , x k aç t ır ?
log3 81=2 x−3 o l d u ğ u n a g ö r e , x k a ç t ı r ?
Örnek...13 :
2
log3 1= −3 o l d u ğ u n a g ö r e , x k a ç t ı r ?
x
Örnek...19 :
62x+5 −2=17 o l d u ğ u n a g ö r e , x k a ç t ır ?
Örnek...14 :
x−1
=−1 o l d u ğ u n a g ö r e , x k aç t ı r ?
x−2
log5
Örnek...15 :
log2 [3+2log3(x+1)]=1 o l d u ğ u n a g ö r e , x k a ç t ır ?
www.matbaz.com
Örnek...20 :
U yg u n ş a r t l a r d a f (x)=5x +1−2
f on k s i yo n u n u n t e r s f on k s i yo n u n u b u l u n u z ?
Örnek...16 :
4
x
−2
3
=128 o l d u ğ u n a g ö r e , x k aç t ı r ?
Örnek...21 :
U yg u n ş a r t l a r d a f (x)=3x−2+4
f on k s i yo n u n u n t e r s f on k s i yo n u n u b u l u n u z ?
Örnek...17 :
5x =8 o l d u ğ u n a g ö r e , x k aç t ı r ?
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
3/6
LOGARİTMA
( ÜSTEL FONKSİYON − LOGARİTMA FONKSİYONU )
Örnek...22 :
U yg u n ş a r t l a r d a f (x)=7 2 x−3+5
v e r i l i yo r. f −1 (12)=?
Örnek...25 :
f :(−3 ,∞)→ℝ , f (x)=log2(2x +6)−2
f on k s i yo n u i ç i n f −1 (4)=?
f on k s i yo n u
UYARI 2
Örnek...23 :
Ta b a n ı 1 0 o l a n l o g a r i tm a f o n k s i yo n u n a
o n l uk ( b a ya ğ ı ) l o g a r i t m a f o nk s i yo n u
d e n i r.
f : ℝ→ℝ+ , f(x)=log10 x f o nk s i yo n u f (x ) = l o g x
i l e d e g ö s t e r i l e b i l i r. ( Ya n i t a b a n
b e l i r t i lm e m i ş s e 1 0 a l ın ı r )
www.matbaz.com
f :(3,∞)→ℝ , f (x)=log2(x−3)
f o nk s i yo n u n u n t e r s f o nk s i yo n u n u b u l u n u z?
Örnek...26 :
l o g 1 0 0 = x i s e x k aç t ır ?
Örnek...27 :
l o g ( 0 , 0 0 1 ) = 2 x + 7 i s e x k aç t ır ?
Örnek...24 :
f :(−5,∞)→ℝ , f (x)=log2 (x+5)−2
f o nk s i yo n u n u n t e r s f o nk s i yo n u n u b u l u n u z?
Örnek...28 :
f :(4,∞)→ ℝ , f(x)=log10 (2x −8)
f on k s i yo n u n u n t e r s f on k s i yo n u n u b u l u n u z ?
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
4/6
LOGARİTMA
( ÜSTEL FONKSİYON − LOGARİTMA FONKSİYONU )
UYARI 3
Ta b a n ı e (Euler sayısı) değeri 2,7182.. olan
irrasyonel sayı o l a n l o g a r i t m a f o nk s i yo n u n a
d o ğ a l l o g a r i t m a f o n k s i yo n u d e n i r v e
f : ℝ→ℝ+ , f(x)=loge x=lnx i l e g ö s t e r i l i r.
Örnek...29 :
ln(logx)=0 ise x kaçtır?
,4
)→ ℝ , f(x)=ln(4−3x)−2
3
f o nk s i yo n u n u n t e r s f o nk s i yo n u n u b u l u n u z?
f :(−∞
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
www.matbaz.com
Örnek...30 :
5/6
LOGARİTMA
( ÜSTEL FONKSİYON − LOGARİTMA FONKSİYONU )
DEĞERLENDİRME
1)
f : ℝ→ℝ+ , f(x)=(a +2)x üstel fonksiyonu için
f(3)=1331 dir. Buna göre, a kaçtır?
2)
log√5 (125)=x ve log2 (x−2)=a ise x, a nın kaç
katıdır?
5)
3)
4)
log[8+log2 [3+2log3 (x−1)]]=1 olduğuna göre, x
kaçtır?
www.matbaz.com
6)
7)
f : ℝ→ℝ+ , f(x)=53x+2 −7 fonksiyonunun ters
fonksiyonunu bulunuz?
2
f :(− ,∞)→ ℝ , f(x)=log2 (5x +2)+7
5
f o nk s i yo n u n u n t e r s f o nk s i yo n u n u
bulunuz?
f : ℝ→ℝ+ , f(x)=4e x−2 +3 f o nk s i yo n u n u n
t e r s f o n k s i yo n u n u b u l u n u z?
7 x+ 5−2=13 olduğuna göre, x kaçtır?
11. Sınıf Matematik Konu Anlatımı 2014−2015
6/6