5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması

5. Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri Yarışması
PROJENİN ADI
MATEMATİKSEL DÖNÜŞLER
PROJEYİ HAZIRLAYANLAR
Esmanur Taşyüz, Ahmet Tunahan Cinsoy
ÖZEL ÇEKMEKÖY ÇINAR KOLEJİ
Sultan Çiftliği Mahallesi, Atatürk Cad. Duran Sok. Çekmeköy, İSTANBUL
PROJENİN ADI: MATEMATİKSEL DÖNÜŞLER
PROJEYİ HAZIRLAYAN: Esmanur Taşyüz, Ahmet Tunahan Cinsoy
PROJE ÖĞRETMENİ: Serap Aykara
PROJENİN AMACI: Bizim bu projeyi hazırlamaktaki ana amacımız matematiğin gücünü kullanarak
gündelik hayatta çoğumuzun karşısına çıkabilecek olan basit gibi görünen ancak çoğumuz için sıkıntılar
oluşturan sorunlardan birine matematiksel modeller üzerinden çözüm üretmektir.
KULLANILAN YÖNTEM: Bu projeyi hazırlarken lise 2 ders müfredatı konularından temel trigonometri
ve trigonometrik fonksiyonlar kullanılmıştır. Ayrıca lise 4 konusu olan türev ve uygulamalarından da
faydalanılmıştır. Ayrıca bulduğumuz fonksiyonların doğruluğunun tespiti için temel programlama dili ile
Mapple bilgisayar programı ile kod yazılmıştır.
Giriş.
Hayatımızın her alanında eşyalarla iç içeyiz ve okullarda, evlerde ve ofislerde belli nedenlerle eşyaların
yerlerini değiştirmek isteriz. Küçük parçaların taşınmasında pek sıkıntı yaşanmaz. Ancak uzun masaların,
tırabzanların taşınması o kadar da kolay değildir. Koridorlardaki köşelerden geçirirken nasıl tutsak,
nereye eğsek diye düşünür ve denemeler yapmaya başlarız. Tüm bunlar, insan gücü ve zaman kaybına
neden olur. Örneğin uzun bir demir boru taşırken köşelerden nasıl geçer diye düşünülür. Çünkü taşınan
parça uzundur. Biz de “Acaba uzun parçaların koridorlardan hangi şartlarda dönebileceğini
hesaplayabilir miyiz? Diye kendimize soru sorarak yola çıktık. Bu soruya cevap aradığımız süreç
içerisinde “Acaba koridor boyunca taşınacak materyalin mümkün olan maximum uzunluğunu
belirleyebilir miyiz? Sorusuna da cevap bulmaya çalıştık. Aşağıdaki satırlarda bu sorulara bulduğumuz
cevaplar ve kanıtlar bulunmaktadır.
Yöntem.
Çalışmalarımız da üç ayrı durumu göz önüne alarak işlemler yaptık. Konuyu anlatmak için önce
sadeleştirilmiş iki boyutlu bir düzlem düşündük. Daha sonra konuyu, materyalin dikdörtgenler prizması
şeklinde olduğu ve dönme açısının isteğe bağlı olarak değişebildiği daha karmaşık şartlarda inceledik ve
sonunda tamamen reel model üzerinde çalıştık. Aşağıda üç durum için yaptığımız çalışmalar belirtilmiştir.
Bu çalışmalardan hareketle tüm materyallerin nasıl taşınması gerektiğini hesaplayabilirsiniz. Şimdi üç
durum için yaptığımız hesaplamaları anlatalım.
1.DURUM: Dönme açısının 90 derece alındığı ve taşınacak materyalin ince bir doğru olduğu iki boyutlu
bir model.
2.DURUM: Taşınan materyalin ince bir doğru olduğu, dönüşten önce ve sonra koridor genişliğinin farklı
olduğu ve dönüş açısının değişken olduğu iki boyutlu bir model.
3.DURUM: Taşınan materyalin dikdörtgenler prizması şeklinde olduğu, tavanın yüksekliğinin de
hesaplandığı üç boyutlu bir model.
BASİT İKİ BOYUTLU MODEL OLUŞTURULMASI
Öncelikle basitleştirilmiş iki boyutlu model üzerinde çalıştık. Bu model aşağıda belirttiğimiz şartları
içeriyor.
1. Açı 90 derece olarak kabul edilsin.
2. Dönüşten önce ve sonra koridorun genişliği aynı kabul edilsin.
3. Taşınacak materyali ince bir çubuk şeklinde kabul edilsin.
Yaptığımız çalışmada bir köşeden dönecek olan materyalin maximum uzunluğunun belirlenmesini
gerektiğini gördük. Bunun için konuyu daha açık hale getirecek bir çizim üzerinden gittik.
Şekil 1
Materyalin boyuna L diyelim. Yukarıdaki şekle göre
olur. t açısı ile 90 derece arasında
değerler alabilir. t nin 0 dereceye yaklaşan değerleri için materyalin boyunun çok büyük olacağı açıktır. t
nin 90 dereceye yaklaşan değerleri için de aynı durum geçerlidir. Bundan dolayı t açısının aralığını
 0, 2 
olarak aldık. Koridorun verilen genişliğini kullanarak L için açık bir ifade yazabileceğimizi
gördük.
x
a
a
ve y 
cos t
sin t
İfadelerini kullanarak L yi aşağıda belittiğimiz gibi yazdık.
L  x y 
a
a
1 
 1

 a


cos t sin t
 cos t sin t 
Amaçlanan L fonksiyonunun t ye bağlı olduğunu gördük ve bu fonksiyonu minimize etmek için aşağıdaki
matematiksel formülü yazdık ve çözümünü yaptık.
1 
 1
 
L  a

  min, t   0,  .
2
 cos t sin t 

ÇÖZÜM.
L fonksiyonunun en küçük değerini bulmak için türev alım kurallarını kullanarak çözüme başlayalım.
Bunu için L nin birinci türevini bulup 0 a eşitleyelim.
sin 3 t  cos3 t
 sin t cos t 

L  a
 2   a
0
2
sin 2 t  cos 2 t
 cos t sin t 
Türevin olmadığı noktada L fonksiyonunun extremumu olmaz. Yukarıda ki eşitlikte kesrin payını 0’a
eşitledik
Bu noktanın fonksiyonumuzu sağlayan tek minimum nokta olduğunu gördük.
değerler
verdiğimizde
nin
artan
Fonksiyonunu elde ettik. Aynı sebeplerden t ye
fonksiyon
ve
ye
nin
den çok az küçük
azalan
olduğu

den çok az büyük değerler verdiğimizde L  0
4
olduğunu gördük. Sonuçlandırırsak fonksiyonun soldan başlayarak t 

4
e kadar azaldığı ve sonrasında
sağa doğru arttığını söyleyebiliriz. Tüm bahsettiklerimizi aslında aşağıdaki grafikle özetlemiş oluyoruz.
Şekil 2
Bulduğumuz t 

4
minimum noktasını L fonksiyonunda yerine yazdık ve problemimizin çözümü olan
fonksiyonun alacağı minimum değerin
olduğunu göstermiş olduk.
KARMAŞIK İKİ BOYUTLU MODEL OLUŞTURULMASI
Çalışmalarımıza bir önceki modele, değişen bazı parametreler ekleyerek biraz daha karmaşık bir modelle
devam edeceğiz. Bu modelin şartlarını şöyle belirledik:
1. Dönme açısı değişken kabul edelim.
2. Koridorun dönüşten önce ve sonraki genişliği değişken (dönüşten önceki genişliği a,sonraki
genişliği b) olsun.
3. Taşınan material ince bir çubuk olarak kabul edelim.
Oluşturduğumuz bu şartlarda köşeden dönecek materyalin maximum uzunluğunu belirleyeceğiz. Aşağıda
ki şekil bu durumu açık bir şekilde gösteriyor.
Şekil 3
Şekilden
olduğunu görüyoruz. Eğer t nin değeri 0 a yaklaşırsa taşınan eşya köşeden
dönemez ve boyunun oldukça büyük olduğunu söyleyebiliriz.    ya yaklaştıkça da durum aynıdır.
Bundan hareketle t nin aralığını  0,
    belirledik. t, s ve
açılarının doğru açı olmasından dolayı
t    s   eşitliğini yazdık. L yi x ve y cinsinden yazdık. Yukarıdaki şekle göre,
x
a
sin t
ve
y
b
sin(  (  t ))
L
olur. Buradan,
a
b

ve
sin t sin(  (  t ))
L
a
b

sin t sin(  t )
ifadelerini elde ederiz.
Şimdi amacımız L fonksiyonunu en küçük yapan değeri bulmak.
L
a
b

 min,
sin t sin(  t )
t   0,     .
ÇÖZÜM.
Bir önceki çalışmadaki aynı yolu kullanarak problemi çözdük. Fonksiyonun birinci türevini alıp 0 a
eşitledik.
 b cos(  t )sin 2 t  a cos t sin 2 (  t ) 
 a

b
L  




0

sin t  sin(  t )
 sin t sin(  t ) 


b cos(  t )sin 2 t  a cos t sin 2 (  t )  0,
cos(  t )sin 2 t
a
 ,
2
cos t sin (  t )
b
(cos  cos t  sin  sin t )sin 2 t
a
 ,
(sin  cos t  cos  sin t ) cos t
b
Sol taraftaki kesrin her iki tarafını cos2  cos2 t ile bölerek tanjanta bağlı aşağıdaki ifadeyi elde
ettik.
(1  tan  tan t ) tan 2 t
a
 .
2
(tan   tan t ) cos 
b
tan t  y, alınırsa
(1  y tan  ) y 2
a
  denklemini elde ettik.
2
(tan   y ) cos 
b
Bu denklem,sayısal metotlardan biri ile kağıt kalemle çözülebilen 3. dereceden bir
denklemdir.Biz burada teknolojiden faydalanıp bu tür denklemleri otomatik olarak çözen Maple
9.5 bilgisayar programını kullandık.Bunun için önce girdilerin değerlerini belirledik ve Maple’da
aşağıda belirttiğimiz gibi ifade ettik.
> a:=2;
a := 2
> b:=2.2;
b := 2.2
> alpha:=2*Pi/3;
 :=
2
3
Daha sonra aşağıda gösterdiğimiz gibi denklemi kurduk ve çözdük.
 eq:=y^2*(1y*tan(alpha))/(cos(alpha)*(y+tan(alpha))^2)=-a/b;
2 y 2 ( 1y 3 )
eq := 
-0.9090909091
( y 3 ) 2
Çözümü yaptığımız aralık t  (0,    ) olduğundan y nin tanımı y  (0, tan(   )), olarak karşımıza
çıkıyor.Elde edilen değerin minimum değeri verdiğini kolayca görebiliyoruz.Şimdi bulunan değerle L
fonksiyununun değerini hesaplayacağız.T nin arktanjantı t yi de bulmamız gerekiyor.
 L:=evalf(subs(t=arctan(T),a/sin(t)+b/sin(alpha+t)))
;
L := 8.395916079
Böylece, köşeden döndürmeye çalıştığımız bu özelliklerdeki bir materyalin boyunun yaklaşık 8.38 m
olduğunu gördük.Bu hesaplamada bütün ihtiyacımız olan modelin parametrelerinin bilgisayara
girilmesidir.
ÜÇ BOYUTLU MODEL OLUŞTURULMASI
Daha karmaşık yapıya sahip ama aynı zamanda içinde gerçek materyalin olduğu üç boyutlu uzay
düşünelim.Düzeneğin sahip olduğu özellikleri aşağıdaki belirttik.
1.Koridor tavanının yüksekliği H hesaplamalara dahil edilmesi
2.Taşınacak material dikdörtgenler prizması şeklinde ,boyutları KxLxM (uzunluk,genişlik,yükseklik)
Bu şartları içeren düzeneğin şeklini aşağıda gösterdik.
Şekil 4
Şekil 5
Şekilde tavanın yüksekliğini H,materyalin yüksekliğini m,materyalin uzunluğunu k olarak
belirledik.Geometriden yararlanarak materyalin yere yansıması olan L uzunluğunu hesaplamak için DCB
üçgeninden  nın sinüsü yazdık.
sin  
H  AB H  m cos 

k
k
k sin   m cos   H , eşitliğini kullanarak,


k
m
k 2  m2 
sin  
cos    H ,
2
2
k 2  m2
 k m

  arccos
m
k  m2
2
tanımlayarak
sin  sin   cos  cos  
k 2  m2
H
cos     
  arccos
H
k 2  m2
m
k m
2
2
 arccos
H
k  m2
2
  DGT  GDB. olan açıyı kullanarak L nin en son ifadesini aşağıdaki gibi yazdık.
L  ED  DC  m sin   k cos , denkleminde açı yerine yukarıda belirttiğimiz ifadeyi
yazarsak,




m
H
m
H
L  m sin  arccos
 arccos
 arccos
  k cos  arccos 2

2
2
2
2
2
2
2
k m
k m 
k m
k m 


Denklemini elde ederiz.Bu denklemi daha sade hale getirmek için aşağıdaki adımları uyguladık.
m
arccos
k 2  m2
 arccos
H
k 2  m2

2
2




m
H

 1 
 1 

  cos 
2
2
2
2
k 2  m2 k 2  m2
 k m 
 k m 
m
H
cos  
mH  k k 2  m2  H 2
k 2  m2
Eşitliğin her iki tarafının sinüsünü alırsak,
sin  
kH  m k 2  m2  H 2
k 2  m2
Böylece L için aşağıda belirttiğimiz daha kullanışlı bir ifade elde ettik.
Lm

kH  m k 2  m2  H 2
mH  k k 2  m2  H 2

k

k 2  m2
k 2  m2
kmH  (k 2  m2 ) k 2  m2  H 2
k 2  m2
Aşağıda materyalin boyunun L ,genişliğinin l olduğu şekil çizdik.
Şekil 6
Ayrıca bu şekille L yi veren başka bir ifade daha yazabiliyoruz.CED üçgenini düşünelim.Bu üçgenden x i
ve y yi yazarsak
x
a  BC
a  l cos t
veya x 
olur.
sin t
sin t
y
b  l cos s
eşitlikleri elde edilir.
sin s
t ve s arasındaki bağıntıyı kullanıp denklemi düzenlersek ,L için aşağıda gösterdiğimiz ifadeyi elde etmiş
oluyoruz.
L  x y 
a  l cos t b  l cos(  t )

sin t
sin(  t )
Biz L ye bağlı bu ifadeyi kullanarak k materyalinin boyunu hesaplayabiliriz. Amacımız çok zaman
harcamadan istediğimiz sonuca ulaşmak olduğu için verilen aralıklarda denklemlerin sayısal çözümünü
ve türevini bulmamızı sağlayan Maple programını kullanacağız.Bunun için yüksekliği ve genişliği verilen
bir materyalin maksimum uzunluğunu bulmak için girmemiz gereken verileri aşağıda ifade ettik.
1)Parametrelerin değerlerini girdik.
a:=2; a := 2
b:=2.2; b := 2.2
H:=2; H := 2
l:=0.15; l := 0.15
m:=0.2; m := 0.2
alpha:=2*Pi/3;  :=
2
3
2)Materyalin yere yansıyan uzunluğu
Lk[proj]:=(k*m*H+(k^2-m^2)*sqrt(k^2+m^2-H^2))/(k^2+m^2);
Lproj :=
0.4 k( k 20.04 ) k 23.96
k 20.04
3)Materyalin yukarıdan görünen uzunluğu
L:=(a-l*cos(t))/sin(t)+(b+l*cos(t+alpha))/sin(t+alpha);

2.20.15 sin t 
20.15 cos ( t )
6

L :=

sin( t )

cos  t 
6

4)L fonksiyonunun minimize edilmesi
T:=fsolve(diff(L,t)=0,t=0..Pi-alpha);
L[min]:=evalf(subs(t=T,L));
T := 0.5109111011
Lmin := 7.875989766
5) Lmin  L(k ) denkleminin çözümü
fsolve(Lk[proj]=L[min],k=0..100);
8.084857868
Bulduğumuz son satır kesin olarak materyalin aradığımız maksimum uzunluğunu veriyor.Aşağıda
belirttiğimiz grafik ,fonksiyonun minimum olduğu değeri bize gösteriyor.
Şekil 7
Sonuç.
Bu çalışmamızın sonuçlarını daha verimli elde etmek için “Matematiksel Dönüş” projemizi iki
tanesi iki boyutlu ve bir tanesi üç boyutlu 3 farklı durumda ele aldık. Konunun daha iyi anlaşılması için
basitten karmaşığa doğru tüm durumları ayrı ayrı inceledik. Köşeden döndüreceğimiz materyalin
uzunluğunu maksimum yapma probleminin çözümü için şekillerini çizerek yaptığımız hesaplamaların
daha anlaşılır olmasını sağladık. Ayrıca yaptığımız bu hesaplamaları bilgisayar programı Maple da verileri
girerek de yapabileceğimizi gösterdik. Matematiksel Dönüş projesi, üzerinde çalışma yapılacak olan
materyalin matematiksel modellerinin yapısının ve yönteminin bir çalışması oldu.
Tartışma.
Projemizde temel olarak ele aldığımız konu belli bir açıyla yapılmış bir ev bölmesinden ya da yapı
bölmesinden hangi uzunluklarda materyallerin sorunsuz geçirilebileceğini araştırmaktı. Bu çalışmada biz
tek bir dönüş noktası belirledik ve dönüş yaptıracağımız cimi lineer kabul ettik. Peki, dönüş yapılacak
olan köşe parabolik olsaydı bu sefer nasıl bir yöntem geliştirirdik? Veya dönüş yaptıracağımız cisim lineer
bir cisim değil 3 boyutlu platonik veya kübik bir cisim olsaydı hesaplamalar nasıl değişirdi? Biz
araştırmamızın bu sorularında cevabı olacak bir çalışmalara da temel oluşturacağına inanıyoruz.
Teşekkür.
Bu çalışmamızda bize her zaman destek olan okul idarecilerimize ve öğretmenlerimize teşekkür
ederiz. Bilgisayar programı konusundaki yardımlarından dolayı Bilgisayar Öğretmenimiz’e de bize olan
desteğinden dolayı teşekkür ederiz.
Kaynakça
Güyer, T. (1999). Fatih Üniversitesi Web Sitesi. 2013 tarihinde
http://www.fatih.edu.tr/~aserdogan/Matlab/MapleV.pdf adresinden alındı
Komisyon. (2013). Matematik 10. Sınıf Ders Kitabı. Ankara: MEB Yayınları.
Moyer, R. (2012). Schaum's Outline of Trigonometry. Mc Graw Hill.
Silverman, R. (2011). Calculus ve Analitik Geometry. İstanbul: Alkım Kitabevi.
Şahin, M. (2012). Matematik 10. Ankara : Palme Yayınları.
Where we use trigonometry? (2013). University of Regina:
http://mathcentral.uregina.ca/QQ/database/QQ.09.06/s/joyce4.html adresinden alınmıştır