Kalın kuyruklu risk modellerinde iflas olasılığı

www.istatistikciler.org
statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
statistikçiler
Dergisi
Kal n kuyruklu risk modellerinde iflas olas l
Ba ak Bulut
Cenap Erdemir
Hacettepe Üniversitesi
Aktüerya Bilimleri Bölümü
06800-Çankaya, Ankara, Türkiye
[email protected]
Ufuk Üniversitesi
%statistik Bölümü
06520-Çankaya, Ankara, Türkiye
[email protected]
Özet
Bu çal mada, hasar tutarlar n n kal n kuyruklu da l m yap s na uyup uymad , bu da l m yap s n n ko ullar
incelenerek ara t r lm t r. Kal n kuyruklu da l m yap s na sahip risklerin, risk süreci ve iflas olas l klar
üzerindeki etkisi teorik ispatlar e li inde aç klanmaya çal lm t r. Matlab yaz l m nda geli tirilen program
sayesinde, Türkiye Trafik Sigortas veri kümesi kullan larak, hasar büyüklüklerinin kal n kuyruklu da l ma
uyup uymad sorgulanm , uymas halinde ise hangi alt s n fa dahil oldu u ara t r lm t r. Ayr ca belirlenen
dönem için risk süreci incelemesi yap larak, çe itli sermaye miktar ve güvenlik yükleme faktörlerine ba l
olarak iflas olas l klar hesaplanm t r.
Anahtar sözcükler: Kal)n kuyruklu da*)l)mlar; Risk süreci; %flas olas)l)*); Alt-üstel da*)l)mlar.
Abstract
Ruin probability in heavy tailed risk models
In this study, detailed information about heavy tailed distributions and the )ts sub-classes are revieved and the
conditions necessary for any distribution to belonging to one of these special classes of distributions are
explained. It is showed that how the ruin probabilities of a risk process that includes heavy tailed claim severity
amounts, can be calculated with theoretical justifications. An application is provided by using compulsory
traffic insurance data in Turkey in Matlab programming language. It is investigated if the loss severities can be
categorized under the heavy-tailed distribution and also the relevant sub-categorized of the distribution is
determined,too. Moreover, ruin probabilities are calculated in terms of different initial surplus and safety
factors by analyzing the risk process for this particular time.
Keywords: Heavy-tailed distributions, Risk process, Ruin probability, Sub-exponential distributions.
1.Giri
Sigorta irketinin yükümlülüklerini kar layabilmesi ve devaml l n sa layabilmesi aç s ndan
incelenmesi gereken en önemli konulardan birisi, hasar tutar da l mlar n n modellenmesidir. Özellikle
gerçekle me olas l dü ük olmas na ra men yüksek etki içeren do al katastrofik olaylar n sonuçlar n n
incelenmesi ve bu etkileri içeren modellerin geli tirilmesi sigorta uygulamalar nda önemli bir yer
tutmaktad r. Bu tür hasarlar sigorta irketinin, sigortal lar na kar
sorumluluklar n yerine
getirebilmelerini do rudan etkilemektedir. Bu nedenle, gerçekçi ve dengeli bir fiyatland rman n
yap labilmesi, reasürans anla malar nda en do ru saklama pay limitlerininin ve oranlar n n
belirlenebilmesi için hasar tutar da l mlar n n sa kuyruk bölgesinin do ru ekilde modellenmesi
gerekmektedir. Olas l dü ük, ancak kay p de eri yüksek olan risklerin modellenmesinde kal n kuyruklu
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
40
da l mlar n kullan lmas çok daha gerçekçi sonuçlar elde edilmesini sa lamaktad r. Bu da l mlar n
modellenmesi ve uygunluklar n n s nanmas aktüerler için ilginç bir ara t rma alan olu turmu tur.
Çal man n ikinci bölümünde kal n kuyruklu da l mlar ve tüm s n flar ba l olduklar ko ullar
çerçevesinde incelenirken,. üçüncü bölümde kal n kuyruklu da l m yap s na sahip risklerin, risk süreci ve
iflas olas l klar üzerindeki etkisi teorik ispatlar e li inde aç klanmaya çal lm t r. Dördüncü bölümde ise
Türkiye trafik sigortas verisi kullan larak, hasar büyüklüklerinin kal n kuyruklu da l ma uygunlu u
incelenmi , uymas durumunda hangi alt s n fa dahil oldu u ara t r lm t r. Belirlenen dönem için risk
süreci incelemesi yap larak, çe itli sermaye miktar ve güvenlik yükleme faktörü k s tlar alt nda irketin
kar la abilece i iflas olas l klar hesaplanm t r.
2. Kal#n kuyruklu da$#l#mlar
2.1. Kal)n kuyruklu da*)l)mlar tan)m ve temel özellikleri
Olas l k teorisinde kal n kuyruklu da l mlar; kuyruk yap lar s n rland r lmam ve üstel da l ma göre
daha kal n kuyruk yap s na sahip olas l k da l mlar olarak aç klanmaktad r. Kal n kuyruk özelliklerini
ta yan da l mlar n ara t r lmas nda; tehlike h z fonksiyonunun sonlu olmas n ( m( s ) = ) sa layacak
ekilde negatif olmayan rastlant de i kenlerinin da l m s n flar ndan faydalan lmaktad r [5]. 4nce ve
kal n kuyruk yap s na sahip da l mlar aras ndaki temel fark; ince kuyruk yap s na sahip da l mlar n
(
)
pozitif de erli moment ç karan fonksiyonu Bˆ [ s ] = e sx B ( dx ) sonlu bir de er al rken, kal n kuyruklu
da l mlar n moment ç karan fonksiyonun sonsuz de er almas d r[1].
X i ’nin, i N ve x > 0 de erleri için F ( x) < 1 olacak ekilde ayn F da l m fonksiyonuna sahip
ba ms z pozitif rastlant de i kenleri oldu u varsay ls n. Bu durumda ortak bir X rastlant de i keninin
da l m fonksiyonu F ( x) = P( X x) , kuyruk da l m ise (ya da ya am fonksiyonu)
F ( x) = 1 F ( x) = P( X > x) eklinde gösterilmektedir.
Negatif olmayan bir rastlant de i keninin kal n kuyruklu da l m yap s na sahip olabilmesi için gerekli
ko ullar u ekilde verilmektedir.
Ko ul 1: F da l m fonksiyonu, pozitif
de erleri için E[e ] =
x
olmal d r.
Ko ul 2: Pozitif x de erleri için F ( x) > 0 olmal d r.
Ko ul 3: µ( x) tehlike fonksiyonu,
olmak üzere
F
log F ( x) ’ten elde edilmektedir. Buna göre
= 0 olmal d r.
Ko ul 4 s > 0 olmak üzere; lim e sx F ( x ) =
F
= lim sup
x
µ ( x)
x
olmal d r [10].
x
Kal n kuyruklu da l mlar n sahip olduklar ortak özelliklere ba l olarak çe itli alt s n flar
olu turulmu tur. Bunlar, alt-üstel da l mlar (sub-exponential), uzun kuyruklu da l mlar (long tailed),
bask n de i en kuyruklu da l mlar (dominated-varying tailed) ve düzenli de i en kuyruklu da l mlard r
(regularly-varying tailed).
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
41
2.1.1. Alt-üstel da*)l)mlar
Bu da l m s n f na alt-üstel denilmesinin nedeni; bu s n f içerisindeki da l mlar n herhangi bir üstel
da l mdan daha yava azalan bir kuyruk yap s na sahip olmas d r [6].
Alt-üstel da l mlar ilk kez 1964 y l nda Chistyakov taraf ndan, dallanma süreci (branching process)
üzerine yap lan uygulamalarda kullan lm t r. Alt-üstel da l mlara uyan hasar büyüklükleri bir portföyde
kar la labilecek toplam riskleri art rmakta ve irketin risk sürecinde dalgalanmalara neden olmaktad r.
S ile gösterilen alt-üstel da l mlara örnek olarak; log-normal da l m, Pareto da l m ve biçim
parametresi bir de erinden küçük olan Weibull da l m verilebilmektedir [10].
Herhangi bir F da l m fonksiyonunun alt-üstel da l m s n f içerisinde yer alabilmesi için gerekli üç
ko ul bulunmaktad r. Bu ko ullar u ekilde verilmektedir:
0 de erleri için F ( x) > 0 olmal d r.
Ko ul 1: x
n*
Ko ul 2: F ; F da l m fonksiyonunun n katl konvülasyonunun kuyruk da l m n göstermek üzere
F n* = 1 F n* ( x) = P( X 1 + X 2 + ..... X n > x) biçiminde elde edilmektedir. Herhangi bir da l mda n 2
de eri için lim
x
F n* ( x )
= n e itli i sa lanmal d r.
F ( x)
Ko ul 3: X 1 , X 2 ,... ba ms z ve alt-üstel da l m s n f içerisinde yer alan ayn F da l m na sahip
rastlant de i kenleri olmak üzere, tüm n = 2,3,... de erleri için; Sn = X 1 + X 2 + ... + X n olmak üzere;
Pr( Sn > x) = F *n ( x) ~ nF ( x) e itli ini sa lamaktad r.
P( X 1 + X 2 + ...... + X n > x) F n* ( x)
lim
~
x
P(max( X 1 , X 2 ..... X n ) > x) nF ( x)
1 e itli i sa lan yor ise F da l m alt-üstel da l m
s n f na girmektedir.
Ko ul 2’nin ispat Chistyakov [3] taraf ndan; Ko ul 3’ün ispat ise Embrechts ve Goldie [4] taraf ndan
yap lm t r.
Bir da l m n alt-üstel da l m s n f içerisinde yer ald n n ispatlanmas çok kolay olmamaktad r. Bu
nedenle risk teorisindeki uygulamalar için da l m n kendisinden çok, bu da l m n bütünle ik kuyruk
da l m n n alt üstel olmas gerekmektedir.
Sonlu beklenen de ere sahip, negatif olmayan rastlant de i keninin da l m fonksiyonu F ile
gösterilmek üzere, bütünle ik kuyruk da l m FI
0
FI ( x) = 1
µ
e*er x
0
x
F ( y )dy
e*er x > 0
olarak elde edilmektedir.
0
2.1.2. Uzun kuyruklu da*)l)mlar (Long–tailed)
x
iken e x F ( x)
özelli inin sa lanmas
kal n kuyruklu da l mlar n daha geni
s n flar ndan uzun kuyruklu da l m ( L ) s n f için de geçerli olmaktad r. F , (0, ) aral
alt
nda tan ml
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
ve x > 0 de erleri için F ( x) < 1 olan bir da l m fonksiyonu olmak üzere; y
da l m ,
42
0 de erleri için bu F
F ( x + y)
= 1 e itli inin sa lanmas durumunda uzun kuyruklu da l m
F ( x)
s n f nda yer alacakt r. Bu e itli in pay ve paydas ndaki da l mlar a ( x ) ~ b( x ) fonksiyonlar eklinde
gösterildi inde, x
iken a ( x ) / b( x ) 1 olacakt r. Bu durum tüm y 0 de erleri için
F ( x + y ) ~ F ( x) eklinde kullan lmaktad r.
lim P ( X > x + y | X > x ) = lim
x
x
2.1.3. Bask)n de*iAen kuyruklu da*)l)mlar
F da l m , 0 < t < 1 aral ndaki t de eri için; lim sup
x
F (tx)
<
F ( x)
özelli ine sahip ise bu da l m
bask n de i en kuyruklu da l m olarak tan mlanmaktad r. Bask n de i en kuyruklu da l m s n f D
gösterilmektedir.
ile
2.1.4. Düzenli de*iAen kuyruklu da*)l)mlar
Düzenli de i en kuyruklu da l mlar R
ile gösterilmektedir. Bir da l m n bu alt s n fta yer almas için
gerekli ko ullar u ekilde verilmektedir.
0 ve t > 0 de erleri için lim
Ko ul 1: F da l m
x
F (tx)
=t
F ( x)
e itli ini sa lamal d r.
Ko ul 2: Pozitif ölçülebilir fonksiyon f ile gösterilmek üzere
olmas için;
t > 0 için lim
x
olmas durumunda, f
( )
f (tx)
= t e itli inin sa lanmas gerekmektedir.
f ( x)
Ko ul 3: Düzenli de i en kuyruklu da l mlar, uzun kuyruklu da l mlara ba l olarak da
aç klanabilmektedir. l ( x ) ; yava de i en fonksiyon olmak üzere, x > 0 ve l R(0) olmak üzere
0
de erleri için F
(
)
oldu u takdirde; F ( x) = x l ( x) olacakt r. Bu e itlikteki
düzenli de i en kuyruklu da l mlar için
l (tx)
l ( x)
= 0 endeksli
t durumu sa lanmal d r.
Düzenli de i en kuyruklu da l ma örnek olarak bünyesinde l ( x ) = c ln( x ) veya l ( x ) = c ln(ln( x ))
eklindeki dönü üm fonksiyonlar ya da bir sabite yak nsayan l ( x ) fonksiyonunun yer ald
Pareto
da l m örnek olarak verilebilir. Literatürde düzenli de i en fonksiyonlar ile ilgili Bingham, Goldie ve
Teugels [2] ‘in çal malar bulunmaktad r [11].
2.1.5. S * s)n)f)
Da l mlar n ve bu da l mlar n bütünle ik kuyruk da l mlar n n alt üstel da l m s n f nda yer almas için
gerekli ko ullar n belirlenmesinde kar la lan problemlerin biraraya getirilmesiyle Klüppelberg taraf ndan
yeni bir alt s n f olu turulmu tur [8]. Bu alt s n f n en önemli özelli i; bu s n fa dahil olan bir da l m n
hem kendisinin hem de bütünle ik kuyruk da l m n n alt-üstel da l ma uyuyor olmas d r. Bu alt s n f için
temel ko ul F ’nin tüm x > 0 de erleri için F ( x) < 1 ve x 0 de erleri için de F ( x) > 0 olacak
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
43
x
ekilde (0, ) aral
nda tan ml bir da l m fonksiyonu olmak üzere, lim
x
0
F ( x y)
F ( y )dy = 2µ
F ( x)
e itli inin sa lanmas d r [9].
F da l m n n tehlike h z fonksiyonu m( x) olmak üzere, da l m n bu alt s n fta yer almas için gerekli
ko ullar u ekilde s ralanm t r:
a) E er lim sup x m( x) <
(0,1) ve
b)
lim inf x m( x )
1 olacak ekilde tüm x
(2 2 )
x
S * ’d r.
ise F
x
1
ise F
, y
1 de erleri için µ ( x, y)
y µ ( x)
ve
*
S ’dir.
x
c) m( x) fonksiyonu, s f ra do ru azalan bir fonksiyon ise; F
S * olacak ve lim e yq ( x ) F ( y )dy = µ
x
0
e itli i sa layacakt r.
2.2. Kal)n kuyruklu da*)l)m s)n)flar) aras)ndaki iliAkiler
Tüm da l m s n flar n n incelenmesinden sonra kal n kuyruklu da l m s n f ve alt s n flar için a a daki
gibi bir s n fland rman n yap labilmesi sa lanm t r.
K
L
S
R
D
:kal n kuyruklu da l mlar ,
: uzun kuyruklu da l mlar ,
: alt-üstel da l mlar ,
:düzenli de i en da l mlar ,
:bask n de i en da l mlar göstermek üzere (0, ) aral
K = fˆ (
) = e x dF ( x ) =
nda tan ml F da l m ;
> 0 için
0
L = lim
x
R = {F
F ( x y)
=1
F ( x)
x
0 için} ,
R
D = lim sup
y > 0 için ,
F ( x / 2)
<
F ( x)
özelliklerine sahiptir.
Bu s n flar aras ndaki özellikler ise u ekilde verilmektedir;
1. R
2. D
3. D
S
L
L S
S ve S
K
ve R
D
D [5].
2.3. Kal)n kuyruklu da*)l)mlar)n belirlenmesi
“Kuyruk a rl ” bir da l m n kuyruk yap s hakk nda, özellikle de sa kuyruk bölgesinin kal n olup
olmad hakk nda bilgi veren bir ölçüttür. Kuyruk a rl ; incelenen da l mlar aras nda kar la t rma
yap larak, bir da l m n di er da l mdan daha kal n kuyruk yap s na sahip olup olmad n n ara t r ld
iliAkili durum ve kal n kuyruk s n f n n temel özelliklerine sahip olan da l mlar n incelemesinin yap ld
mutlak durum olarak iki ekilde incelenmektedir [7].
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
44
2.3.1. Momentlerin bulunuAu
Sadece pozitif de erlere ba l rastlant de i kenleri için ortalamaya göre k’inci moment; kesikli durum
için
x k f ( x ) ; sürekli durum için ise
0
(x
k
)
f ( x) d x eklinde hesaplanmaktad r. Sürekli durumda,
ortalamaya göre k’inci moment her zaman varolmayabilir. Bunun nedeni, bu integralin sonucunun
yo unluk fonksiyonuna ve k de erine ba l olmas d r. E er yo unluk fonksiyonunun x noktas ndaki
k
de eri çok büyük ise; bu de erin x de eri ile çarp m da daha büyük bir sonuç olu turacak ve integral
sonucunun anlaml bir de er ç kmas n zorla t racakt r. Kal n kuyruklu da l ma göre daha az büyük
hasara sahip da l mlar için integral sonucu elde edilebilece inden tüm pozitif momentlerin varolu u bir
ince sa kuyru u i aret edecektir. Pozitif momentlerin mutlak bir de eri göstermemesi ya da
bulunamamas durumunda ise, incelenen da l m n kal n kuyruklu bir da l ma sahip olaca
dü ünülecektir.
2.3.2. Limit oranlar)
Bir da l m n, herhangi ba ka bir da l ma göre daha kal n kuyruk yap s na sahip olup olmad n n
ara t r lmas nda bu da l mlar n ya am fonksiyonlar n n (survival function) oran na bak larak da
yorumlarda bulunulabilir. 4ncelenen iki da l m n olas l k fonksiyonlar n n limit oranlar na bak lmas nda;
daha kal n kuyruk yap s na sahip olan da l m n limitinin daha h zl
’a yak nsad görülecektir.
2.3.3. Tehlike h)z) ve arda kalan yaAam süresi
Tehlike h z fonksiyonu da da l m n kuyruk yap s hakk nda bilgi vermektedir. Tehlike h z fonksiyonu
azalan bir fonksiyon ise, bu durum da l m n kal n kuyruk yap s na sahip oldu una i aret edecektir. Di er
taraftan, tehlike h z fonksiyonu artan bir fonksiyon ise, daha ince kuyruk yap s na sahip bir da l m
olmas beklenecektir [7].
2.3.4. Büyük hasarlar
Bir portföyde kar la labilecek büyük hasarlar, hasar tutar da l m n n kal n kuyruklu olabilece inin
göstergesi olabilmektedir. Portföydeki bir hasar n büyük hasar olarak nitelendirilebilmesi için bu tür
büyüklükte bir hasar n ancak uzun zaman aral klar yla gerçekle ece inin biliniyor ya da tahmin ediliyor
olmas gerekmektedir. Hasar büyüklü ü da l m n n ortalamas n n ve/veya varyans n n kuyruk bölgesinde
yo unla mas da l m n kal n kuyruklu bir da l m oldu unu dü ündürecektir. S n , toplam hasar
büyüklü ü, belirli bir dönem içerisinde gerçekle en hasarlar n toplam olarak verilmekte olup
min X i = X (1) X ( 2) ....... X ( n ) = max X i olarak dizilen hasarlar içerisinde büyük hasarlar n var
1 i n
1 i n
olmas , toplam hasar büyüklü ünde de do al
da P ( S n > x ) ~ P ( X ( n ) > x ) e itli i sa lanabilecektir.
olarak
art
yaratacakt r.
Buradan
3. Kal#n kuyruklu da$#l#mlarda iflas olas#l#$#
Bir sigorta irketinin uzun süreli yükümlülük kar lama yeterlili inin sa lanabilmesi için risk süreci iyi
tan mlanmal , do ru risk yüklemeleri yap lmal , muafiyet ve saklama pay limitleri çok iyi belirlenmelidir.
Risk süreci; kazan lan primler ile öncelikle sürekli artan , daha sonra ödenen tazminatlar n etkisiyle azalan
bir stokastik süreçtir. Risk sürecinin s f r n alt na dü mesi durumunda ise iflas gerçekle mi olacakt r.
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
45
3.1. Klasik risk modeli ve iflas teorisi
Sigorta irketi, herhangi bir anda meydana gelebilecek bir hasara ili kin ödenecek tazminat n yarataca
finansal sonuçlar en aza indirmek amac yla portföyündeki tüm bireysel riskleri bir araya toplamaktad r.
Bu nedenle de, sigorta irketi her dönem sonunda rezerv ya da art k olarak tabir edilen bir miktar ay rmak
zorundad r. Biriktirilen art k miktarlar ; gelecekte olu abilecek hasar ödemelerinin toplanan primleri a t
riskli dönemler için kullan larak sigorta irketine bir tür koruma sa layacakt r. Böylece sigorta irketi,
sigortal lar na vermi oldu u taahhütleri yerine getirebilecektir.
3.1.1 Klasik risk modeli
Bir sigorta irketinin iki temel nakit ak bulunmaktad r. Bunlar prim ve hasar süreçleridir. Bu nakit
ak lar na ba l olarak olu turulan risk ya da art k süreci olarak da adland r lan sigortac n n klasik risk
modeli;
U (t ) = u + ! (t ) S (t )
t
0
biçimindedir.
Risk sürecinin temel bile enleri;
U (t ) : t an nda sigorta irketinin sermaye miktar ,
u : u > 0 olmak üzere ba lang ç sermayesi,
! (t ) : (0,t] aral nda toplanan prim miktar n gösteren prim süreci,
S (t ) : [0, t ] zaman aral nda gerçekle en hasar say s n gösteren hasar süreci olarak verilmektedir.
3.1.2. Cramer-Lundberg ve yenileme modeli
Cramer-Lundberg modelindeki süreçler;
a. Toplam Hasar süreci; X i , i’nci hasar büyüklü ünü gösteren pozitif ve ayn da l ma sahip rastlant
de i kenleri olmak üzere, ortalamas µ = E[X i ] ve varyans $ 2 = Var ( X i )
de i kenleridir. Toplam hasar süreci S (t ) =
de i keni olup { N (t ) , t
sonlu olan rastlant
N (t )
i =1
X i eklinde tan mlanmaktad r. Burada, N(t) bir rastlant
0} sayma sürecinin ö esidir.
b. Bekleme süresi; Wk , ( k 1) ’inci olay ile k ’inci olay aras nda geçen süreyi göstermektedir. Wk ,
W1 = T1 olmak üzere k = 2, 3,... de erleri için Wk = Tk
Tk
1
biçiminde tan mlanan ayn üstel da l ma
sahip ba ms z rastlant de i kenleri olarak tan mlanmaktad r ve E[W1 ] = 1/
’d r.
c. Hasar zaman); Ti , Hasar n gerçekle ti i andaki zaman noktas n yani i’nci olay n ortaya ç kmas na
kadar geçen süreyi göstermektedir. Hasar n rastgele bir zamanda gerçekle ebildi i varsay m nda s ral
hasar zamanlar aras nda 0 < T1 < T2 < ..... ili kisi verilmektedir.
d.
X k ve Wk birbirlerinden ba ms zd r.
Cramer-Lundberg modelinin temel özellikleri
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
46
{ N (t ) ,
t 0} sayma sürecinde N (t ) rastlant de i keni %t parametresiyle Poisson da l m na sahipse;
süreç, % > 0 ko ulu alt nda, % ortalama ile Poisson sürecidir. Tüm t > 0 , h > 0 ve s t durumlar için;
N (t + h) N (t ) ~ Poisson( % h )’d r.
P { N ( s + t ) N ( s ) = k } = P ( N (t ) = k ) = e
(% t ) k
k!
%t
E [ N (t )] = Var[ N (t )] = % t ’dir.
k = 0,1, 2,...
Bu modelde Poisson sürecinin tercih edilmesi; ba ms z bile enlere ve monoton azalan ortalama de er
fonksiyonuna sahip herhangi bir sürecin, Poisson sürecine çevrilebilir olmas ndan kaynaklanmaktad r [9].
Toplam
hasar
Gt ( x) = P ( S (t )
büyüklü ü
x) =
e
S (t ) ’nin
da l m ,
(%t ) n*
F ( x)
n!
0
x
ve
t
0
olmak
üzere;
n
%t
n =0
eklinde
hesaplanmaktad r.
n
F n* ( x) , F da l m n n n katl konvülasyonu olup, F n * ( x ) = P (
i =1
Xi
Bu
e itlikte
kullan lan
x ) eklinde hesaplanmaktad r.
3.1.3 %flas olas)l)*)
Y ll k primlerin ve hasar süreçlerinin de i mez oldu u varsay m alt nda, iflas olas l
& (u ) ile
gösterilmektedir. Bu olas l k uygun bir ba lang ç sermayesi ile sürece ba lad durumda, sigortac n n
prim ve hasar süreçlerinin do ru hesaplan p hesaplanmad n n bir göstergesi olmaktad r. Yüksek iflas
olas l ; reasürans antla malar n n gündeme gelmesine, riskli görülen poliçelerde prim miktarlar nda
art a gidilmesine ya da sigorta irketinin i letme sermayesinden nakit çekmesine neden olabilmektedir.
S n rl zamanl iflas olas l nda; belirlenen bir zaman aral ndaki risk sürecinin hareketi incelenerek
sigorta irketinin iflas etme olas l
ara t r lmaktad r ve 0 < T < , u 0 olmak üzere;
& (u , T ) = P (U (t ) < 0, baz) t T ) eklinde gösterilmektedir.
Yenileme sayma süreci
Yenileme sayma süreci N (t )t
0
eklinde gösterilmektedir. N (t ) = sup {n 1 : Tn
t} t
0 ve n 1
de erleri için n’nci hasar zaman Tn , n’nci döneme kadarki bekleme sürelerinin (W1 + ... + Wn ) toplam n
göstermektedir. Buna göre bekleme süresinin, ( 1/ % ) ortalama ile üstel da l ma sahip bir rastlant
de i keni olmas durumunda, yenileme sayma sürecinin momentleri;
E[ N (t )] = (% + ' (1))t ve
2
W
= Var (W ) <
E[ N (t )] = %t + ((1) ve Var ( N (t )) =
2
W
olmak üzere; t
3
t + (t ) eklinde bulunmaktad r.
Yenileme modelinin beklenen de eri ise;
E [U (t )] = u + ct
iken;
µ E [ N (t )]
E[U (t )] = u + (c %µ ) t (1 + ' (1))
) c
*
1, %µt (1 + ' (1)) biçiminde elde edilmektedir.
=u ++
- %µ .
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
47
E[U (t )]
/ c %µ olarak bulunmaktad r. Yükümlülük kar lama yeterlili inin ko ulu olarak
t
c %µ > 0 olmas , büyük t de erleri için art k sürecinin pozitif olmas n sa lamaktad r. Bu da yenileme
Buradan da;
modelinde temel net kar ko ulunu olu turmaktad r.
Sigorta irketleri prim üzerine ekledikleri güvenlik yükleme faktörüyle finansal aç dan daha güvenilir bir
duruma geçerler. 0 olarak gösterilen güvenlik yüklemesi risk prim oran anlam na da gelmektedir. Bu
oran, [0, t ] aral ndaki prim gelir oran ndan hesaplanmaktad r: Dolay s yla ct = (1 + 0 ) %µ t olmak
üzere; 0 =
c
1 > 0 olmal d r.
%µ
Risk sürecinin tan m ndan hareketle; u
0 de erleri için iflas n ancak Ti zamanlar nda gerçekle ti i
varsay m alt nda X k , hasar büyüklüklerini; Yk , prim büyüklüklerini göstermek üzere iflas olas l
;
& (u ) = P (u + ct S (t ) < 0 , t 0 )
= P(u + cTn S (Tn ) < 0 , n 1)
= P (u +
n
k =1
X k ) < 0 , n 1)
(cYk
= P(sup( X k
cYk ) > u ) eklinde yaz labilmektedir.
n 1
yönünden de yaz labilir. u
Bu e itlikler iflas n gerçekle meme olas l
gerçekle meme olas l
n
)
1 & (u) = P + sup ( X k
- n 1 k =1
*
cYk ) u , > 0 eklinde gösterilebilir.
.
4flas n gerçekle meme olas l
1 & (u ) , maksimum rasgele yürüyü sürecinin da l m fonksiyonu
yönünden de incelenebilir. k 1 de erleri için Zk = X k
n 1 de erleri için R0 = 0 olmak üzere, Rn =
n
k =1
Zk
cYk olmak üzere, ili kili rasgele yürüyü süreci;
eklinde elde edilmektedir.
Bu e itlik için yenileme modelinin temel kar ko ulundan; E[Z1 ] = µ
1 & (u ) = P(sup Rn
gerçekle meme olas l
0 olmak üzere iflas n
c
%
< 0 olmal d r. Böylece iflas n
u ) ekline dönü türülebilmektedir [5].
n 1
Bu olas l k, genel bir rastgele yürüyü e ili kin nihai supremumlar n da l m n veren Spitzer e itli i ile de
hesaplanabilmektedir. Bu e itlikten yararlanarak bile ik geometrik da l ma ili kin iflas n gerçekle meme
olas l , H bir da l m fonksiyonu ve
(0,1) olmak üzere,
1 & (u ) = (1
n
)
H n* (u ) eklinde elde edilmektedir.
(1)
n =0
Bu e itlik içerisindeki H n* : H ’nin n katl konvülasyonunu göstermektedir.
genellikle, klasik Wiener-Hopf teorisi ile elde edilmektedir .
ve H de erleri,
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
48
(1) e itli indeki gibi fonksiyonel ili kilere çe itli yöntemleri uygulanarak, çok say da modele ili kin & (u )
tahmini hesaplanabilmektedir. & (u ) ’ nun hesaplanmas nda kullan lan Wiener-Hopf yönteminin yan s ra
yenileme teorisi de, ilgili tahminlerin elde edilmesine olanak tan maktad r. 4lgili hesaplamalar yap l rken
Cramer-Lundberg modelinden faydalan lmaktad r. Büyük hasarlara ili kin iflas olas l tahminlerinde bu
iki teoremin birle tirilmesiyle elde edilen e itliklerden yararlan lacakt r.
3.1.4. Cramer-Lundberg tahmini
Yenileme modelinde, iflas olas l
tahmininin elde edilmesinde genel yöntemin kullan m n n d nda
Cramer-Lundberg modeli tahmini de bulunmaktad r. Bu modele göre iflas olas l n n hesaplamas nda,
modele hasar büyüklü ü da l m da dahil edilmektedir. Cramer-Lundberg modelinde güvenlik yüklemesi
c
ko ulu
sa lanmakta
olup,
iflas n
gerçekle meme
olas l ;
için;
1> 0
0=
%µ
0
1 & (u ) =
1+ 0
(1 + 0 ) n FI (u )
n*
n=0
eklinde hesaplanabilmektedir.
(2)
Bu e itlik içerisinde yer alan FI n* ( x) , bütünle ik kuyruk da l m n n n katl konvülasyonunu
göstermektedir. (2) e itli i portföyde büyük hasarlar n bulunmas durumunda iflas olas l n n elde
edilmesinde kullan lmaktad r.
Cramer-Lundberg teoremi
> 0 olmak üzere, Laplace-Stieltjes dönü ümünden yararlanarak, bütünle ik kuyruk da l m n n (- )
de eri için Laplace-Stieltjes dönü ümü;
c
fˆI ( v) = evx dFI ( x) =
= 1 + 0 eklinde elde edilir.
%µ
0
(3)
Bu e itlikten yola ç k larak a a daki özellikler elde edilebilmektedir:
Özellik 1: (3) e itli indeki Laplace-Stieltjes dönü ümü Cramer-Lundberg ko ulundan yararlanarak
c
e1 x F ( x ) dx =
%
0
biçiminde de yaz labilmektedir:
Özellik 2 : u
0 de erleri için; & (u )
e
1u
olmaktad r.
Özellik 3: 4ncelenen da l m n 1/ µ parametresi ile üstel da l ma uymas durumunda iflas olas l
& (u ) =
1
exp
1+ 0
0
u
µ (1 + 0 )
u
0 eklinde elde edilir.
;
(4)
Özellik 4:Bu teoremden
xe x F ( x) dx <
0
(5)
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
& (u ) = C <
1u
e itsizli i elde edilmektedir. Bu e itsizlikten yola ç k larak lim e
u
2
u ekilde hesaplanmaktad r: C = 4
6 0µ
3
xe F ( x ) dx 5
0
7
n
n 1 k =1
1
= P(
= P(
0 olmak üzere ;
cYk ) u ) > 0
(Xk
(u ) = P ( S (t ) ct
olmak üzere C de eri
1x
E itlik (5) ’in ispat n n yap lmas nda (u ) = 1 & (u ) ve u
1 & (u ) = P(sup
49
u
tüm
t > 0 için )
n
k =1
n
k =2
(Xk
cYk ) u
(Xk
cYk ) u + cY1
= P ( S ' (t ) ct
u + cY1
tüm
n 1 için)
X1
X1
tüm n
2 , X 1 cY1
tüm t > 0 , X 1 cY1
u)
u ) e itli i kullan lmaktad r.
3.2. Kal)n kuyruklu da*)l)mlar için iflas teorisi
Kal n kuyruklu da l mlar e itlik (3)’te verilen Cramer-Lundberg ko ulunu sa lamamakta ve bu nedenle
de Cramer-Lundberg Teoremi bu tür hasar büyüklü ü da l mlar na uygulanamamaktad r. Bu durumda (2)
e itli inin, konvülasyon yakla m kullan larak yeniden düzenlenmesi gerekmektedir.
3.2.1. Alt –üstel da*)l)mlar için Cramer-Lundberg teoremi .
Alt-üstel da l ma Cramer-Lundberg teoreminin uygulanabilmesi için, bu da l ma ili kin üç özellik
a a da verilmi tir.
(a)
F da l m alt-üstel da l m s n f içerisinde yer al yor ise, benzer ekilde (0, ) aral ndaki y
F ( x y)
de eri için de lim
= 1 e itli i elde edilir.
x
F ( x)
(b)
Tüm
(c)
F
F n* ( x )
F ( x)
> 0 de erleri için; x
S olmas durumunda, n
K (1 + ) n
x 0
iken e x F ( x )
olmaktad r.
2 de erleri için s f rdan büyük bir
de eri için
e itli i sa lanacakt r.
> 0 de erleri için herhangi bir e x eklinde olan üstel da l mdan daha yava s f ra
F ( x) da l m olarak aç klanmakta olup, tüm
> 0 ve y 0 de erleri için
Alt-üstellik,
yakla an
e x dF ( x )
e y F ( y ) e itsizli i elde edilmektedir. F
S olmas durumunda tüm
> 0 de erleri için
y
fˆ (
olmaktad r. Buna ba l olarak, alt-üstel da l m n Laplace–Stieltjes dönü ümü, s f r durumu
için özel bir tekilli e sahiptir. Bu durum ilk kez Chistyakov (1964) taraf ndan ispatlanm t r. Bu teoremin
)=
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
geni letilmesiyle daha geni da l m s n flar içinde lim
x
F ( x y)
= 1 e itsizli inin sa land
F ( x)
50
durumlar n
oldu u görülmü tür [5].
Cramer-Lundberg modelinin net kâr ko ulu ( 0 > 0 ) ve bütünle ik kuyruk da l m n n alt üstel da l m
snf
içerisinde bulunmas
durumunda u
iken iflas ols l
& (u ) ~ 0 1 F I (u )
eklinde
hesaplanmaktad r. Bu e itli in elde edilmesinde (1 + 0 ) <1 ko ulu oldu undan (1 + 0 ) (1 + ) < 1
e itsizli ini
sa layacak
ekilde
belirlenen
s f rdan
büyük
bir
de eri
için;
1
& (u )
FI (u)
=
(1 + 0 )
& (u )
0
1+ 0
n
=
(1 + 0 )
n
n =0
FIn* (u )
FI (u )
0
FIn* (u )
FI (u )
(1 + 0 ) n K (1 + ) n
(1 + 0 )
n
FI (u) 1 + 0 n =0
0
=
(1 + 0 ) n n = 0
1 + 0 n=0
1
FIn* (u )
FI (u )
u
0.
(6)
1
olarak yaz labilmektedir. Buradan da & (u ) ~ 0 1 F I (u ) e itli inin elde edildi i görülebilmektedir. Altüstel da l m yap s na sahip kal n kuyruklu hasar büyüklü ü da l mlar için, iflas olas l
tahmini
& (u ) ~ 0 1 F I (u ) eklinde hesaplanmaktad r. Ancak & (u ) ~ 0 1 F I (u ) tahmini sadece FI S
ko ulu alt nda gerçekle ebilmektedir. Net kazanç ko uluna ( 0 > 0 ) sahip olan Cramer-Lundberg teoremi
göz önünde bulundurularak alt–üstel da l m üzerine yap lan incelemeler sonucunda a a daki durumlar
kabul edilmi tir.
a) FI
S,
b) 1 & (u ) S ,
c) lim& (u ) / F I (u ) = 0
u
1
[5].
4. Uygulama
4.1. GiriA
Çal man n bu bölümünde, Trafik Sigortalar Bilgi Merkezi’ne (TRAMER) kay tl Karayollar Motorlu
Araçlar Zorunlu Mali Sorumluluk (Trafik) Sigortas verilerinin kullan ld
bir uygulama yap lm t r.
Yap lan hesaplamada, 2009 y l için Ankara ilindeki otomobil araç grubuna ait toplanan net poliçe prim
tutar ve ödenen hasar tutarlar ndan yararlan lm t r. Uygulamada kullan lacak hasar tutarlar n n
da l m na karar verilmesinde hasar büyüklü ünü temsil edecek ekilde Ankara iline ait otomobil s n f
için 300 adet gerçek bireysel hasar tutar ndan olu an örneklem kümesinden yararlan lm t r.
4.2. Risk sürecinin incelenmesi
TRAMER sistemine kay tl 2009 y l için her bir ayda ödenen hasar ve toplanan net prim tutarlar ndan
olu turulan risk sürecinde; primlerin dönem ba nda topland , hasar ödemelerinin ise dönem sonunda
yap ld varsay m alt nda risk sürecinin ilk kez s f r n alt na dü tü ü durum için, iflas n gerçekle me
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
51
olas l klar hesaplanm t r. 2009 y l nda Ankara ilinde otomobil araç grubu için yürürlükteki poliçe adedi,
toplanan net primler ile o y l içerisinde gerçekle en hasar dosya say lar ve hasar tutarlar Yekil 1’de
gösterilmektedir.
,ekil 1. 2009 y l Ankara ili otomobil trafik sigortas nda her bir ayda gerçekle en hasar say lar , hasar
tutarlar , net poliçe say s ve toplanan net poliçe primleri
Risk sürecine U0 ba lang ç sermayesi ile ba lamakta, bu ba lang ç sermayesi ve dönem ba nda toplanan
prim tutarlar dönem sonuna kadar ayl k faiz oran na göre faizlendirilerek dönem sonunda da hasar
ödemeleri yap larak sürdürülmektedir. 4lgili dönem sonunda sistemde kalan tutar, bir sonraki dönemin
ba lang ç sermayesini olu turmaktad r.
Risk süreci, t = 1, 2,...,12 olmak üzere; ! t : prim sürecini; St : hasar sürecini; r: faiz oran n
göstermek üzere Ut = (Ut 1 + !t )(1 + r ) St eklinde gösterilmektedir.
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
52
Uygulamada ayl k faiz oran 0,03 olarak al nm olup, toplam ve ortalama de erlere göre incelenen
süreçlerde farkl ba lang ç sermaye de erleri kullan lm t r.
Kolmogorov–Smirnov, Anderson Darling ve ki-kare uyum iyili i testleri sonucunda hasar tutar n n
µ = 6.1327 ve $ =0,45195 parametreleriyle Log–normal da l ma uydu u %95 güvenilirlik düzeyinde
kabul edilmi tir. Lognormal da l ma uydu u belirlenen hasar tutarlar n n Matlab program nda log-normal
da l ma göre incelemesinin yap lmas nda integral ve limit i lemlerinde kolayl k sa lamas nedeniyle hata
fonksiyonu ve tamamlay c hata fonksiyonu tablo de erlerinden yararlan lm t r (Ek1).
µ = 6.1327 ve $ =0,45195 parametreli Log–normal da lan hasar tutarlar n n s ras yla kümülatif da l m
ve kuyruk da l m grafikleri Yekil 2’de; olabilirlik yo unluk ve tehlike fonksiyonu grafikleri Yekil 3’te ve
son olarak da PP ve QQ grafikleri Yekil 4’te verilmektedir.
,ekil 2. µ = 6.1327 ve $ = 0.45195 parametreli Lognormal da l m n kümülatif ve kuyruk da l m
,ekil 3. µ = 6.1327 ve $ = 0.45195 parametreli Lognormal Da l m n Olabilirlik Yo unluk ve Tehlike
Fonksiyonu
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
53
,ekil 4. µ = 6.1327 ve $ = 0.45195 parametreli Lognormal Da l m n PP ve QQ Grafikleri
Hasar tutar na ili kin yukar da verilen grafikler de, Kolmogorov–Smirnov, Anderson Darling ve ki-kare
uyum iyili i testleriyle de kabul edilen µ = 6.1327 ve $ = 0.45195 parametreli log-normal da l m n
hasar tutar da l m için uygun oldu unu desteklemektedir.
Kal n kuyruklu hasar büyüklü ü da l mlar için iflas olas l klar n n hesaplanmas nda öncelikle incelenen
risk sürecinde iflas durumunun gerçekle mi olmas gerekmektedir. Kal n kuyruklu oldu una karar verilen
hasar tutarlar n n; çal man n ikinci bölümünde verilen ko ullar sa lamas bak m ndan s ras yla uzun
kuyruklu, alt-üstel ya da düzenli de i en kuyruklu da l ma uyup uymad
geli tirilen yaz l m
kullan larak karar verilmi tir.
Kal n kuyruklu da l ma sahip hasar büyüklükleri için iflas olas l n n hesaplanmas nda çal man n
üçüncü bölümünde alt-üstel da l m s n f için elde edilen iflas olas l e itliklerinden yararlan lm t r.
Alt üstel da l ma uyan hasar tutar ile ayl k toplanan prim tutarlar na göre olu turulan risk sürecinin
üçüncü bölümde de inilen alt-üstel da l m s n f için elde edilen iflas olas l
e itliklerinden
yararlan larak farkl ba lang ç sermayeleri ve güvenlik yükleme faktörlerine göre iflas olas l klar
hesaplanm t r. Tüm hesaplamalar Matlab yaz l m kullan larak geli tirilen program arac l
ile
yap lm t r.
20 farkl ba lang ç sermayesi ve sekiz farkl güvenlik yükleme faktörüne göre 0,03 faiz oran na ba l
olarak risk sürecinin s f r n alt na dü tü ü ilk nokta için elde edilen iflas olas l klar Çizelge1’de
gösterilmektedir.
Yaz l mdan elde edilen de erler sonucunda, ba lang ç sermaye miktarlar ndaki ve sistemin uygulayaca
güvenlik yükleme faktörlerindeki art n iflas olas l klar nda azalmaya neden oldu u gözlemlenmi tir.
4flas olas l için en yüksek de er sermaye miktar n n 1 TL ve güvenlik yükleme faktörünün bulunmad
durumda, 0.999999 olarak elde edilirken en dü ük iflas olas l olan 0,493650 de eri ise, sermaye
miktar n n 1.500.000 TL ve güvenlik yükleme faktörünün 1,875 oldu u durum için elde edilmektedir.
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
54
Çizelge 1. 2009 y l otomobil s n f için Ankara ili trafik sigortas n n ödenen tüm hasarlar ve toplanan net
primlere göre olu turulan risk süreci için iflas olas l klar tahmini
Senaryo
Senaryo
1
Senaryo
2
Senaryo
3
Senaryo
4
Senaryo
5
Senaryo
6
Senaryo
7
Senaryo
8
Senaryo
9
Senaryo
10
Senaryo
11
Senaryo
12
Senaryo
13
Senaryo
14
Senaryo
15
Senaryo
16
Senaryo
17
Senaryo
18
Senaryo
19
Senaryo
20
flas
Olas#l#klar#
Sermaye
Miktarlar#
(TL)
Ba lang#ç
Sermayesi =1
Ba lang#ç
Sermayesi
=5.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=10.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=20.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=30.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=40.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=50.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=75.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=100.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=200.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=300.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=400.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=500.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=600.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=700.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=800.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=900.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=1.000.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=1.250.000
Ba lang#ç
Sermayesi
=1.500.000
Güvenlik Yükleme Faktörleri
1
1,125
1,25
1,375
1,5
1,625
1,75
1,875
0,999999
0,888888
0,799999
0,727272
0,666666
0,615384
0,571428
0,533333
0,999752
0,888668
0,799802
0,727092
0,666501
0,615232
0,571287
0,533201
0,999504
0,888448
0,799603
0,726912
0,666336
0,615079
0,571145
0,533069
0,999008
0,888007
0,799206
0,726551
0,666005
0,614774
0,570862
0,532804
0,998511
0,887566
0,798809
0,72619
0,665674
0,614469
0,570578
0,532539
0,998015
0,887125
0,798412
0,725829
0,665343
0,614163
0,570294
0,532275
0,997519
0,886683
0,798015
0,725468
0,665013
0,613858
0,570011
0,53201
0,996278
0,885581
0,797023
0,724566
0,664185
0,613094
0,569302
0,531348
0,995037
0,884478
0,79603
0,723664
0,663358
0,612331
0,568593
0,530687
0,990075
0,880066
0,79206
0,720054
0,66005
0,609277
0,565757
0,52804
0,985112
0,875655
0,788089
0,716445
0,656741
0,606223
0,562921
0,525393
0,980149
0,871243
0,784119
0,712836
0,653433
0,603169
0,560085
0,522746
0,975186
0,866832
0,780149
0,709226
0,650124
0,600114
0,557249
0,520099
0,970223
0,86242
0,776178
0,705617
0,646815
0,59706
0,554413
0,517452
0,96526
0,858009
0,772208
0,702007
0,643507
0,594006
0,551577
0,514805
0,960297
0,853598
0,768238
0,698398
0,640198
0,590952
0,548741
0,512159
0,955334
0,849186
0,764267
0,694789
0,63689
0,587898
0,545905
0,509512
0,950371
0,844775
0,760297
0,691179
0,633581
0,584844
0,543069
0,506865
0,937964
0,833746
0,750371
0,682156
0,625309
0,577209
0,535979
0,500248
0,925557
0,822717
0,740445
0,673132
0,617038
0,569573
0,52889
0,49363
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
55
Bulunan sonuçlar iflas olas l n n güvenlik yükleme faktörü ve ba lang ç sermaye miktarlar na göre
de i ti ini göstermektedir. Güvenlik yükleme faktörü incelenen sistemde daha temkinli bir durumu
yarataca ndan, güvenlik yükleme faktöründeki art beklenildi i gibi iflas olas l n n dü mesine neden
olmu tur. Ba lang ç sermaye miktar ndaki art a ba l olarak da risk sürecinin s f r n alt na dü me olas l
azalm t r.
5. Sonuç ve öneriler
Bu çal mada öncelikle, kal n kuyruklu da l m yap s n n tüm özellikleri ve alt s n flar ara t r lm , her bir
s n f için gerekli ko ullar incelenmi tir. Sigortac l kta irketin devaml l aç s ndan bir yol gösterici olan
risk sürecinin yap s ve özellikleri incelenmi , iflas olas l klar n n sigorta irketi aç s ndan önemine
de inilmi tir. Kal n kuyruklu da l m yap s na sahip oldu una karar verilen hasar büyüklüklerine ili kin
iflas olas l klar n n hesaplanmas nda, kal n kuyruklu da l mlar n alt s n flar ndan alt–üstel da l m
s n f na özel geli tirilen teoriler
nda çe itli formüller elde edilmi tir.
Geli tirilen Matlab program yard m yla herhangi bir da l m n kal n kuyruklu da l ma sahip olup
olmad
ara t r lm , kal n kuyruklu da l ma sahip olmas durumunda hangi alt s n fa dahil oldu u
incelenmi tir. Risk süreç yap s incelenerek, risk sürecinin s f r seviyesinin alt na dü mesi durumunda iflas
olas l kal n kuyruklu da l ma ait formüller kullan larak hesaplanm t r.
Yap lan uygulama ile risk sürecine ba l olarak gerçekle en iflas durumlar n n olu mas nda sermaye
miktar ve güvenlik yükleme faktörlerinin etkili oldu u gözlemlenmi tir. Sermaye miktar ve güvenlik
yükleme faktörü de erinin beklenildi i gibi iflas olas l ile ters orant l oldu u ve bu de erlerdeki art n
iflas olas l n belirgin ekilde dü ürdü ü gözlemlenmi tir.
Bu çal ma ile hayat d sigorta alan nda önemli bir yere sahip olan kal n kuyruklu da l mlar n risk
süreci ve iflas olas l klar üzerindeki etkisi incelenmi ve kal n kuyruklu da l mlara özel iflas
olas l klar n n nas l hesaplanaca incelenmi tir.
Kaynaklar
[1] Asmussen, S., 2000, Ruin probabilities, Advanced Series on Statistical Science and Applied Probability
Vol.2, World Scientific Publishing, Singapore, 385p.
[2] Bingham, N.H., Goldie, C.M., Teugels, J.L., 1987, Regular variation, Cambridge University Press,
Cambridge.
[3] Chistyakov, V.P., 1964, A theorem on sums of independent positive random variables and its applications to
branching random processes, Theory probability Application 9, pp 640-649.
[4] Embrechts, P., Goldie, C.M., 1982, On convolution tails, Stochastic Processes Applied 13, pp 263-278.
[5] Embrechts, P., Klüppelberg C., Mikosch T., 2001, Modelling Extremal Events for Insurance and F nance,
Applications of Mathematics Stochastic Modelling and Applied Probability 33 , Springer, 648p.
[6] Goldie, C. M., Klüppelberg C., 1998, Subexponential Distributions, A practical guide to heavy tails:
statistical techniques and applications, pp 435-460.
[7] Klugman, S.,A., Panjer H.H., Willmot G.,E., 2008, Loss models from data to decisions, Third Edition, John
Wiley and Sons, New Jersey, 726p.
[8] Klüppelberg, C., 1988, Subexponential distributions and integrated tails, Journal of Applied Probability,Vol
25,No:1,pp 132-14.1
[9] Mo, K.C.K., 2002, Ruin probabilities with dependent claims, Actuarial Studies, Faculty of Commerce and
Economics, University of New South Wales, 50p.
[10] Rolski T., Schmidli H., Schmidt V., Teugels J., 1999, Stochastic processes for Insurance and Finance, Wiley
Series in Probability and Statstics, John Wiley and Sons, England, 654p.
[11] Sigman K., 1999, Appendix: A primer on heavy-tailed distributions, Queueing Systems 33, pp 261-275.
B.Bulut, C. Erdemir / statistikçiler Dergisi 4 (2011) 39-56
56
Ekler
Ek-1. Hata fonksiyonu (error function-Erf) ve tamamlay c hata fonksiyonu (complementary error
function-Erfc) tablosu
x
Erf(x)
Erfc(x)
x
Erf(x)
Erfc(x)
0
0
1
1,3
0,9340079
0,0659921
0,05
0,056372
0,943628
1,4
0,9522851
0,0477149
0,1
0,1124629
0,8875371
1,5
0,9661051
0,0338949
0,15
0,167996
0,832004
1,6
0,9763484
0,0236516
0,2
0,2227026
0,7772974
1,7
0,9837905
0,0162095
0,25
0,2763264
0,7236736
1,8
0,9890905
0,0109095
0,3
0,3286268
0,6713732
1,9
0,9927904
0,0072096
0,35
0,3793821
0,6206179
2
0,9953223
0,0046777
0,4
0,4283924
0,5716076
2,1
0,9970205
0,0029795
0,45
0,4754817
0,5245183
2,2
0,9981372
0,0018628
0,5
0,5204999
0,4795001
2,3
0,9988568
0,0011432
0,55
0,5633234
0,4366766
2,4
0,9993115
0,0006885
0,6
0,6038561
0,3961439
2,5
0,999593
0,000407
0,65
0,6420293
0,3579707
2,6
0,999764
0,000236
0,7
0,6778012
0,3221988
2,7
0,9998657
0,0001343
0,75
0,7111556
0,2888444
2,8
0,999925
0,000075
0,8
0,742101
0,257899
2,9
0,9999589
0,0000411
0,85
0,7706681
0,2293319
3
0,9999779
0,0000221
0,9
0,7969082
0,2030918
3,1
0,9999884
0,0000116
0,95
0,8208908
0,1791092
3,2
0,999994
0,000006
1
0,8427008
0,1572992
3,3
0,9999969
0,0000031
1,1
0,8802051
0,1197949
3,4
0,9999985
0,0000015
1,2
0,910314
0,089686
3,5
3,5
0,9999993
0,9999993
0,0000007
0,0000007