Türev Uygulamaları Rolle teoremi ve ortalama değer teoreminin

Türev Uygulamaları
Rolle teoremi ve ortalama değer teoreminin uygulamaları yine Calculus1 alt paketi
içerisinde yer alan RollesTheorem ve MeanValueTheorem komutları yardımıyla
yapılır.
> with(Student[Calculus1]):
> RollesTheorem(sin(x),x=1..3*Pi-1,output=points);
  , 3  , 5  
 2 2
2 
> RollesTheorem(sin(x),x=1..3*Pi-1);
> RollesTheorem(x^3-4*x+1,x=-1..1/2+sqrt(13)/2);
Örnek: f(x)=cos(x) için [1,10] aralığında ortalama değer teoremini uygulayınız.
> MeanValueTheorem(cos(x),x=1..10,output=points);
 arcsin 1 cos( 10 )1 cos( 1 ) , arcsin 1 cos( 10 )1 cos( 1 ) 2 ,

 9

 9

9
9
1
1
arcsin  cos( 10 ) cos( 1 ) 3  
9
 9


> MeanValueTheorem(cos(x),x=1..10);
> MeanValueTheorem(cos(x),x=1..10,numeric,output=points);
[ 2.987722440 , 6.437055521 , 9.270907747 ]
Taylor serilerini de türevin bir uygulaması olarak görmek mümkündür. Taylor
polinomu için komutun genel kullanımı TaylorApproximation(f(x),x=c,order=n)
şeklindedir.
sin(x) fonksiyonunun 9. mertebeden Taylor polinomu aşağıdaki şekildedir.
> TaylorApproximation(sin(x),x=0,order=9);
1
1 5
1
1
x x3
x 
x7
x9
6
120
5040
362880
Aynı komut output=plot veya output=animation seçenekleriyle kullanıldığında
Taylor polinomunun fonksiyona nasıl yaklaştığı grafik veya animasyon olarak
görülebilir.
> TaylorApproximation(sin(x),x=-1,order=1..9,output=plot);
> TaylorApproximation(sin(x),x=1,order=1..9,output=plot,view=[-5..3,DEFAULT]);
> TaylorApproximation(sin(x),x=1,order=1..9,output=animation,view=[-5..3,DEFAULT]);
view=[-5..3,DEFAULT] seçeneği grafiğin [-5,3] aralığında görüntülenmesini
sağlar.
D Operatörü İle Türev
> D(sin);
cos
> D(sin)(x);
cos( x )
> D(ln);
z
1
z
> D(ln)(x);
1
x
> D(ln)(x)=diff(ln(x),x);
1 1

x x
> f:=x->x^3/3-x^2+cos(2*x);
1
f := x x3x2cos( 2 x )
3
> D(f);
xx22 x2 sin( 2 x )
> D(f)(0);
0
> D(f)(Pi);
22 
> D(D(f));
> (D@@2)(f);
x2 x24 cos( 2 x )
x2 x24 cos( 2 x )
> (D@@n)(f);
( n)
(D
)( f )
> h:=(x,y)->x^2+y^3-2*x*y;
h := ( x, y )x2y32 x y
> D[](h);
h
> D[1](h);
( x, y )2 x2 y
> D[2](h);
( x, y )3 y22 x
> D[3](h);
Error, (in D/procedure) index out of range: function takes only 2 arguments
> D[1$2](h);
2
> D[1,2](h);
-2
> D[2,1](h);
-2
> f:=(x,y)->x*exp(x*y);
f := ( x, y )x e
( x y)
> D[2$1,1$3](f);
( x, y )6 y e
( x y)
6 x y2 e
( x y)
x2 y3 e
( x y)