(a) h

YAVAŞ DEĞİŞEN ÜNİFORM OLMAYAN AKIM
Yavaş değişen akımların analizinde kullanılacak genel
denklem bir kanal kesitindeki toplam enerji yüksekliği:
V2
H=
+h+z
2g
x e göre türevi alınırsa:
dH d  V 2  dh dz

+
=
+


dx dx  2 g  dx dx
ve ifadedeki terimler yerine;
dH / dx = - S , dz / dx = - S0
d  V 2  d  Q2

=

dx  2 g  dx  2 g A 2
 dh dh d  Q2


=
 dh dx dh  2 g A 2


2
2

dh
dA
dh
B
Q
Q
==
dx g A 3
dx g A 3 dh

 Q 2 B  dh
dh Q 2 B dh

-S= +
- S0 = 1 - S0
3
3


dx g A
dx
 g A  dx
dh
S0 - S
=
dx 1 - Q2 B / g A3
veya Q2B/gA3=Fr2 kullanılırsa
dh S0 - S
=
dx 1 - Fr 2
(9.30)
(9.30) ifadesi yavaş değişen akım profillerinin
analizinde kullanılan genel ifadedir.
dh/dx in pozitif olması akımda derinliğin arttığını,
dh/dx in negatif olması derinliğin azaldığını gösterir.
(9.30) denklemi iki özel durumda irdelenirse;
1. dh/dx = 0 : Bu durum aşağıdaki koşullarda oluşur.
(a) S = S0 ve Fr ≠ 1 olması: Bu üniform akım
(b) S = S0 ve Fr =1 olması: dh/dx = 0/0 ≠ 0
Şekil de görülen kritik derinliğin oluştuğu durumdur.
2. dh/dx= ∞ : Bu durum Fr = 1 ve S ≠ S0. için
gerçekleşir. Yani akımda Q2B/gA3 = 1 kritik akım
koşulunun geçerlidir. Şekil de görüldüğü gibi bu
koşulun oluştuğu yüzey eğiminin sonsuza gittiği akım
hali hidrolik sıçramadır.
Akım Profillerinin Sınıflandırılması
dh S0 - S
=
dx 1 - Fr 2
•İfadesi ile üniform olmayan su yüzü profillerinin
sınıflandırılması, yüzey profilinde derinliğin artması
(dh/dx>0) veya azalmasının (dh/dx<0) niteliksel olarak
tespiti, ifadede pay (S0-S) ve paydanın (1-Fr2 )
işaretlerinin tespiti ile yapılabilir.
•S0-S ve 1-Fr2 nin işaretleri akımın derinliği h, normal
derinlik hn ve kritik derinlik hc lerin rölatif
büyüklüklerine bağlıdır. Bu derinliklerin rölatif
büyüklüklerini etkileyen ve sınıflandırmada esas olan
iki temel kriter taban eğimi ve akım derinliğidir.
Taban Eğimine Göre Sınıflandırma
S0 < Sc :Yumuşak eğim-Mild
S0 > Sc :Dik eğim-Steep
S0 = Sc :Kritik eğim -Critical
S0 = 0 :Yatay taban-Horizontal
S0 < 0 :Ters eğim-Adverse
(M) ⇒ hn > hc
(S) ⇒ hn < hc
(C) ⇒ hn = hc
(H) ⇒ hn = ∞(teorik)
(A) ⇒ hn = ∞ (teorik)
Yatay ve ters eğim yumuşak eğimin özel halleridir.
Su Derinliğine Göre Sınıflandırma
Akım profilindeki h su derinliğinin, hn ve hc ye kıyasla
yer alması muhtemel üç bölge için aşağıdaki
eşitsizlikler yazılabilir:
1 Bölgesi (üst) : h > hn > hc veya
2 Bölgesi (orta): hn > h > hc veya
3 Bölgesi (alt) : hn > hc > h veya
h > hc > hn
hc > h > hn
hc > hn > h
Yukarıdaki sınıflandırma kriterlerinin birleştirilmesi
sonucu açık kanallardaki yavaş değişen akımlar için
12 farklı su yüzü profili Tablo da verilmiştir.
Tablo Üniform olmayan akım profilleri
M1
M2
M3
S1
S2
S3
C1
----
C3
----
H2
H3
----
A2
A2
Akım Profillerinin Belirlenmesi
Taban eğimi ve Su derinliği ne göre tespit edilen
sınıflandırma kriterlerine dayanarak tabloda verilen her
bir profil türünün değişim biçimi ile memba ve mansap
sınırları için bölgesel limitler belirlenebilir. Derinliğin
arttığına veya azaldığına karar verebilmek için
dh S0 - S
=
dx 1 - Fr 2
denkleminin pay ve paydasının işaretleri aşağıdaki gibi
bulunur:
Eğer
Eğer
Eğer
Eğer
h > hn
h < hn
h > hc
h < hc
ise
ise
ise
ise
S < S0
S > S0
Fr < 1
Fr > 1
⇒
⇒
⇒
⇒
S0 - S > 0
S0 - S < 0
1 - Fr2 > 0
1 - Fr2 < 0
M1 profili
M Türü Profiller : hn > hc
h > hn > hc ⇒ S0 - S > 0, 1 - Fr2 > 0 ⇒ dh/dx = +/+ = +: derinlik artar.
h → hn için S → S0 ⇒ dh/dx → 0
: su yüzeyi h = hn ye asimptotik.
h → ∞ için S → 0, Fr →0 ⇒ dh/dx →S0 : su yüzeyi yataya asimptotik.
M2 profili
hn > h > hc ⇒ S0 - S < 0, 1 - Fr2 > 0 ⇒ dh/dx = -/+ = - : derinlik azalır.
h → hn için S → S0 ⇒ dh/dx → 0 : su yüzeyi h = hn ye asimptotik.
h → hc için S → S0, Fr → 1 ⇒ dh/dx→
→0/0: belirsiz, gerçekte sonlu bir değer.
M3 profili
hn > hc > h ⇒ S0 - S < 0, 1 - Fr2 < 0 ⇒ dh/dx = -/- = +: derinlik artar.
h → 0 için S → ∞, Fr → ∞ ⇒ dh/dx → ∞/∞
∞ :gerçekte pozitif sonlu bir değer.
h → hc için Fr → 1 ⇒ dh/dx → ∞ : hidrolik sıçrama.
1
Yatay
2
dh/dx sonlu değer
3
dh/dx=∞
dh/dx sonlu değer
M profilleri
S Türü Profiller: hn < hc
S1 profili
h > hc > hn ⇒ S0 - S > 0, 1 - Fr2 > 0 ⇒ dh/dx = +/+ = +: derinlik artar.
h →hc için Fr → 1 ⇒ dh/dx → ∞ : hidrolik sıçrama.
h →∞ için S → 0, Fr → 0 ⇒ dh/dx → S0: su yüzeyi yataya
asimptotik.
S2 profili
hc > h > hn ⇒ S0 - S > 0, 1 - Fr2 < 0 ⇒ dh/dx = +/- = - : derinlik azalır.
h → hc için S → S0, Fr → 1⇒
⇒dh/dx → 0/0: belirsiz, gerçekte sonlu bir değer.
h → hn için S → S0 ⇒ dh/dx → 0 : su yüzeyi h = hn ye asimptotik.
S3 profili
hc > hn > h ⇒ S0 - S < 0, 1 - Fr2 < 0 ⇒ dh/dx = -/- = +: derinlik artar.
h → 0 için S → ∞, Fr → ∞ ⇒ dh/dx →∞/∞
→∞ ∞: gerçekte pozitif sonlu bir değer.
h → hn için S → S0 ⇒ dh/dx → 0 : su yüzeyi h = hn ye asimptotik.
1
dh/dx sonlu değer
2
Yatay
dh/dx=∞
3
dh/dx sonlu değer
S profilleri
C Türü Profiller : hn = hc
Bu tür profillerde hn=hc olduğundan 2 bölgesi kaybolur ve
derinlik için iki bölge tanımlanabilir
C1 profili
h > hn = hc ⇒ S0 - S > 0, 1 - Fr2 > 0 ⇒ dh/dx = +/+ = + : derinlik artar.
h → hn= hc için S→
→S0, Fr→
→1⇒
⇒dh/dx→
→0/0: belirsiz, gerçekte sonlu değer.
h → ∞ için S → 0, Fr →0 ⇒ dh/dx →S0: su yüzeyi yataya asimptotik.
C3 profili
hn = hc > h ⇒ S0 - S < 0, 1 - Fr2 < 0 ⇒ dh/dx = -/- = + : derinlik artar.
h → 0 için S → ∞, Fr → ∞ ⇒ dh/dx →∞/∞
→∞ ∞: gerçekte pozitif sonlu değer.
h → hn= hc için S→
→S0,Fr→
→1⇒
⇒dh/dx→
→0/0: belirsiz,gerçekte sonlu değer.
Yatay
1
dh/dx sonlu değer
3
dh/dx sonlu değer
dh/dx sonlu değer
C profilleri
H ve A Türü Profiller : hn= ∞
H tabanlı kanalda Manning formülüne göre su derinliği
sonsuza gider. Bunun sonucunda 1 bölgesi kaybolur, 2 ve 3
bölgelerindeki profiller ise M2 ve M3 profillerine benzerler. A
∞
tabanındaki profiller için de benzer durum sözkonusudur
2
3
H profilleri
∞
2
3
A profilleri
Akım Profillerinin Ortak Özellikleri
1. Üst bölgede (1 bölgesi) yeralan su yüzü eğrilerinde derinlik artar
(dh/dx>0) ve bu bölgedeki eğriler kabarma eğrileri olarak, orta
bölgede (2 bölgesi) yeralan eğrilerde derinlik azalır (dh/dx<0) ve bu
bölgedeki eğriler alçalma eğrileri olarak adlandırılır. Alt bölgede (3
bölgesi) yer alan eğrilerde derinlik artar (dh/dx>0).
2. Normal derinliğe yaklaşan su yüzü eğrileri hn=hc dışında bu
derinliğe asimptotik olarak yaklaşırlar
3. Kritik derinliğe yaklaşan su yüzü eğrileri bu derinliği oldukça büyük
sonlu bir açı ile geçerler. Hidrolik sıçrama durumunda kritik derinlik
teorik olarak dik açı ile geçilir
4. Yüzey eğrileri kanal tabanına teorik olarak sonlu bir açı ile keserler, ancak
bu durum pratik olarak mümkün değildir.
5. Kritik-altı akım profilleri mansap tarafından, kritik-üstü profiller
memba tarafından kontrol edilirler, yani değiştirilebilirler. Dolayısıyla
bir profilin hesabına ait olduğu kontrol kesitinden başlanır.
Kontrol Kesitleri ve Yüzey Profillerinin Belirlenmesi
Kontrol kesitleri, akım debisi ile su derinliği arasında belirli bir
ilişkinin bulunduğu kesitlerdir. Su yüzü profillerinin hesabına
başlamadan önce, hesapların başlangıç kesitlerini oluşturacak
kontrol kesitlerinin belirlenmesi gerekir. Bir kontrol kesitinde akım
derinliği, kritik derinlik, normal derinlik veya bilinen herhangi bir
derinlik olabilir. Yüzey profillerinin çizimine kontrol kesitlerinden
başlanarak akımın kritik-altı veya kritik-üstü olması durumuna göre
membaya veya mansaba doğru ilerlenir.
Üniform kesitli ve değişken eğimli uzun bir kanal boyunca çeşitli su
yüzü eğrilerinden oluşan akım profilinin belirlenmesi için aşağıdaki
adımlar takip edilir:
(a) Kanal boyunca kritik derinlik ve normal derinlik çizgileri çizilir.
(b) Akım üzerindeki kontrol kesitlerinin yerleri tespit edilir. Kontrol
kesiti bir baraj, bağlama, kontrol kapağı, kanal girişi, kanal çıkışı
veya serbest dökülme şeklinde olabilir.
(c) Herbir kontrol kesitinden başlayan akım profili ait olduğu
sınıflandırma türüne uygun olarak çizilir.
E.Ç.
E.Ç.
Su Yüzü Profillerinin Hesabı
dh S0 - S
=
dx 1 - Fr 2
denklemi ile verilen üniform olmayan akımın genel ifadesi
su yüzü profillerinin hesabında kullanılan yöntemlere temel
teşkil etmektedir.
1 - Sayısal İntegrasyon Yöntemi
Yukarda verilen denklemi aşağıdaki gibi ters olarak yazalım
dx 1 - Q2 B / g A 3
=
dh
S0 - S
Verilen Q ve S0 için denklem h ın fonksiyonudur ve
dx/dh=f(h) şeklinde yazılabilir. Buna göre (9.31) denklemi
Şekil de görülen 1 ve 2 kesitleri arasında integre edilirse:
x2
h2
x1
h1
∫ dx = L = ∫
h2
1 - Q2 B / g A 3
dh = ∫ f (h) dh
S0 - S
h1
Buradan, akım profilinde h1 ve h2 derinlikleri arasındaki
uzunluğun f(h) eğrisi altındaki alana eşit olduğu anlaşılır.
f(h)
f(h)dh
f(h1)
f(h2)
Yöntemin hesap prosedürü aşağıdaki gibidir:
(a) Profilin başında ve sonundaki derinlikler belirlenir.
(b) f(h) eğrisi uygun (dh) derinlik farkları ile hesaplanır.
(c) f(h) eğrisi altındaki alan sayısal integrasyonla adım
adım bulunarak herbir derinlikte başlangıca olan uzaklık
elde edilir.
2 - Doğrudan Adım Yötemi
Adım yönteminde profil hesabı kanal boyunca belli
aralıklarda adım adım yapılır. Doğrudan adım yönteminde
seçilen derinliklerdeki kesit ara mesafeleri bulunur. Bu
yöntem prizmatik kanallara uygulanabilir.
∆x
Kritik altı akım
∆x
∆x
Sıfır düzlemi
Şekil 9.32 de görülen bir hesap adımındaki 1 ve 2 kesitleri arasında
Bernoulli denklemi
V12
V 22
+ h1 + z1 + S ∆ x =
+ h 2 + z2
2g
2g
burada enerji çizgisinin eğimi olarak 1 ve 2 kesitlerinin ortalama değeri
alınıp, z2- z1 = S0∆x ve V2/2g+h=E yazılırsa:
E1 - E 2 = (S0 - S) ∆ x
buradan, hesap adımındaki profil parçasının uzunluğu aşağıdaki gibi
bulunur
∆E
E -E
∆x = 1 2 =
S0 - S S0 - S
Doğrudan adım yönteminin hesap prosedürü aşağıdaki gibidir:
(a) Hesabı yapılacak akım profilinin başında ve sonundaki derinlikler
belirlenir.
(b) Hesap adımları için uygun görülen farklarda ara derinlikler seçilir.
(c) son denklem ile seçilen derinliklerdeki ara mesafeler hesaplanır.
3 - Standart Adım Yöntemi
Standart adım yönteminde kanalın seçilen ∆x aralıklarında akım
derinlikleri hesaplanır. Prizmatik ve prizmatik olmayan kanallara
uygulanabilir.
Prizmatik Kanallar İçin
Son denklemden
E 2 = E1 - (S0 - S) ∆ x
Bu denklemde , 2 kesitinde enerji çizgisi eğimi S2=V22n2/R24/3
değerini de içermekte olup S2 değeri bilinmeyen h2 ye bağlıdır.
Dolayısıyla E2 nin hesabı deneme yanılma işlemini gerektirir.
(a) h2 için bir deneme değeri tahmin edilir ve E2=h2+V22/2g hesaplanır.
(b) (9.33) denkleminden E2 hesaplanır.
(c) Eğer (a) ve (b) de hesaplanan E2 ler kabul edilebilir bir hassasiyet
ölçüsünde eşdeğer değilse hesap prosedürü yeni bir h2 ile tekrarlanır.
Prizmatik Olmayan Kanallar İçin
Standart adım yöntemi akarsular gibi prizmatik olmayan kanallardaki su
yüzü profillerinin analizi için de uygundur. Bunun için profil hesabı
yapılacak uzunluk hidrografik çalışmalar ile uygun hesap aralıklarına
bölünür. Bu aralıkların seçiminde kesit şekli, taban eğimi ve yüzey
pürüzlülüğünün mümkün olduğunca üniforma yakın olmasına özen
gösterilir. Taban düzensizlikleri nedeniyle profil hesabında akım
derinliği yerine su yüzü kotu hesaplanır. Şekil 9.33 teki bir hesap
adımında su yüzü kotları Z1 ve Z2 olarak görülmektedir
∆x
Kritik altı akım
∆x
Sıfır düzlemi
Şekil deki 1 ve 2 kesitleri arasında Bernoulli denklemi:
V12
V 22
+ Z1 + S ∆ x =
+ Z2
2g
2g
H 2 = H1 + S ∆ x
Son denklemindeki , bilinmeyen Z2 değerine bağlı olduğundan H2
nin hesabı deneme yanılma işlemini gerektirir.
Yöntemin hesap prosedürü aşağıdaki gibidir:
(a) Z2 için bir deneme değeri tahmin edilir ve H2=Z2+V22/2g hesaplanır.
(b) (9.34) denkleminden H2 hesaplanır.
(c) Eğer (a) ve (b) de hesaplanan H2 ler kabul edilebilir bir hassasiyet
ölçüsünde eşdeğer değilse hesap prosedürü yeni bir Z2 ile tekrarlanır.