astro de ğr ler nn poz tf kartezyendek toplam yay

ASTROİD EĞRİLERİNİN POZİTİF KARTEZYENDEKİ
TOPLAM YAY UZUNLUĞUNUN HESAPLANMASI
NECAT TAŞDELEN
[email protected]
ÖZET
Bu çalışmanın örnek hedefi elips çevre uzunluğunun yaklaşık hesaplanmasıdır. Hiçbir cebirsel işlem yoktur,
grafik yoldan çözülmüştür. Hesap, gerçek graflarla model grafların çakıştırılması esasına dayanır. Bu bir
benzetmedir. Gerçek graflar bilinmektedir [5]. Yalnız elipsin değil, bütün astroidlerin pozitif kartezyendeki
toplam yay uzunluğunun hesabı bu yöntemle yapılabilmektedir. Buradaki çalışmamızda;
(x/a)^r+(y/b)^r=1
(r=2) elips örneği
En büyük hata %
denklemi ele alınacak
işlenecek, hesaplarda
=0.000004753119960…
bulunacak
Günümüzün dünya rekorunda (hata %=0.00145) olduğu hatırlanarak [1] bu sonuca, çarpıcı bir doğrulukla,
nasıl erişildiği görülecek.
Hesabın doğrusu entegrallerle bulunabilirken yaklaşım yöntemlerine neden gerek var?
(r=2) elips hariç, hiçbir astroidin yay uzunluğunun entegral çözümü yoktur. Yapılmamıştır.
Neden yaklaşım?
Kepler, Euler, gibi bilge akademisyenler bilginin halk çoğunluğu tarafından benimsenmesi için yaklaşım
hesapları da vermek gerektiğini görmüşler. Onlardan sonra gelen matematikçiler de bu geleneği sürdürmüşler.
Binlerce yaklaşım formülü üretilmiş. İhtiyaç var ki, üretilmiş. Gerçek değerlere en yakın olan yaklaşım tabii ki
en iyisi. Hintli Ramanujan (ölümü1920) bu konuda Üstat. Nereden çıkarıyorsun bu formülleri diye soranlara,
“bunlar bana gökten iniyor “deyip etrafını çıldırtırmış. Akademisyenler halkla iç içe olmak durumundadırlar.
Halk akademisyenlerin ne dediğini, ne yaptığını anlamalı. İlgisi çekilmeli. İlim o dur.
Buradaki hesaplarda entegral kullanılmadı. Herkesin anlayabilmesi için, düz lise matematiği kullanıldı.
Araştırmanın tarihçesi 1956 yılından başlar.1959 yılında esas yaklaşım formülü olan (a^s+b^s=L^s) tarafımdan
cebirsel yoldan bulunmuş [4] ve İTÜ. arşivlerine kaldırılmıştır [2]. Arşivler kaybedilmiştir. 2000 yılında
formülün irtihale uğradığını fark ettim.Roger Maertens, olaylı bir şekilde formülü kendi adına tescil
ettirmiştir.İtirazlarım üzerine bana aidiyeti küçümsenerek kabul edildi [3]. Ancak formülü yorumlayan kurumlar
2008 senesine kadar, tam 52 yıldır (!), hiçbir ilerleme kaydedemedikleri için, formülün oluşumundaki aşamaları
bilemediklerinden, formüldeki inceliği kavrama imkânları olmadığı için, kendi yorumumu bir toplum
şahitliğinde anlatmaya karar verdim. Bu şahitler sizlersiniz.Umarım gene irtihale uğramaz. İrtihal aşırmak,
yürütmek, çalmak, demektir.
Anahtar sözcükler: şaşırtıcı mantık, yay uzunluğu, doğru yaklaşım
Giriş
Bu araştırma elips çevre uzunluğunun yaklaşık hesaplanmasını hedef almıştır. Sonuçlar
şaşırtıcı bir doğruluktadır. Bu yöntem yalnız elipsin değil, pozitif Kartezyendeki tüm
astroidlerin yay uzunluğunu da hesaplamaya yarar.
(x/a)^r+(y/b)^r=1
astroid denklemini ele alalım
(a,b)
(r)
yarı-eksen uzunluklarını
astroidin kuvvetini
(1)
r=2
r=1
r=2/3
r=9783.01
hali
hali
hali
hali de
bir elipsi
bir doğru parçasını
bildik bir astroidi
bir astroidi tanımlar. Astroid (1) in genel adıdır.
Hesaplarda kullanacağımız yaklaşım formülü
a^s+b^s=L1^s
(2)
bazı matematik kurumlarının zannettiği gibi Gök’ten inmemiştir [3].Formül bir çalışma ürünü
olarak 1956-1959 yıllarında tarafımdan cebirsel yolla bulunmuş [4],tek satır halinde hocam
Ord.Prof.R.Weiyrich’e verilmiş ve reddedilmiştir [2].Özetle formülün oluşumu şöyledir:
(x/a)^r+(y/b)^r=1
f(a,b)=0
(x/A)^t+(y/B)^t=1
t=t(x)
(t=Sabit) olmadıkça
(B/A=E)
(r*t/(t-r))=s
astroid ailesini ele alalım
bağlantısı da var ise
bu aile için bir zarftan bahsedebiliriz.
zarfımızın modeli olsun
olsun
(5) bir astroid değildir
olsun
olsun
(3)
(4)
(5)
(6)
(5) bağlantısı aşağıdaki (8) ifadesi şeklinde ortaya çıkar:
N=(1+(dt/dx)*(x/t^2)*(t*ln(x/A)+(y/x)^t*(A/B)^t*t*ln(y/B))) olmak üzere
(7)
(A^t-x^t*(1-N))^(s/r)*A^t=a^s*N^(s/r)+(b/E)^s
(8)
Şimdi,pozitif Kartezyende eşit yay uzunluğuna sahip (1) astroid ailesinin zarfını düşünelim.
Bu zarfı yaklaşım yöntemiyle bulabiliriz:
dL^2=dx^2+dy^2
klasik segman ifadesini ele alalım
Yaklaşımlarda (d) (delta) oluyor
dL=(1/n)*(a^2+b^2*((n^r-(i+1)^r)^(1/r)-(n^r-i^r)^(1/r))^2)^(1/2)
n=
i=
(9)
yazarız
(10)
Pozitif Kartezyendeki toplam segman sayısıdır
ara segman sayısıdır. Neticede (i=n) olur.
Toplam yay uzunluğu söz konusu olunca (4) ifadesi simetriktir:
- (a ve b) ifade içindeki yerlerini değiştirebilirler.
- (b/a) veya (a/b) sabit ise (4;8) ifadesinin katsayıları değişmez. Zarf ile ailenin değme
noktalarının geometrik yeri bir doğrudur.
(b/a)=TAN olsun. Ve TAN=sabit olsun.O zaman,
dt/dx=dt/dTAN*dTAN/dx=0
N=1
A^s=((a*E)^s+b^s)*E^s
olur
olur (7)
olur (8)
(A=B) halinde, (A=B=K) ve (K/a=L1) olsun,
a^s+b^s=K^s
yazılır, yahut
1+TAN^s=L1^s
yazılır
(11) ifadesinde L1=Pozitif Kartezyendeki toplam yay uzunluğudur
(11)
Bu denklemde (s) kuvveti çeşitli yorumlara açıktır. Ancak,(6) tarifi (t) yi de ihtiva ettiğinden
(s) bir değişkendir. Bu yorum 52 yıldır kimsenin aklına gelmedi.Gelemezdi, çünki Weiyrich
Hocama bile açıklama vermedim.Gelmeliydi,ama bana soran bile olmadı. Sadece oğul
Weiyrich’in tanışları (senaryo !!) Roger Maertens ve şeriki Ronald Rousseau 2000 senesinde,
bir matematik forumunda bu tek satırlık (11) ifadesini “Niye olmasın” rümuzu ile kendi
buluşlarıymış gibi ortaya attılar. Hiçbir açıklama getiremediler. Amerikalılar da buna, itirazım
üzerine, Gök’ten indi dediler.1959 senesinde Weiyrich Hocama, kaba bir yaklaşım için,
a^s+b^s=L^s
ve (a=b=R) halinde
R^s+R^s=(R*L1)^s
ve birim (L1=Pi/2) bilindiği için
s=ln(2)/ln(L1)=1.5349853566138… değerini verdim ve ret edildim [3].
Oysa (6) ifadesi (s)’in değişken olduğunu gösteriyor. Formül iyi yorumlanmadı.
Doğru yorum için (L1) değerini (n) adet segmanla hesaplamak gerekir.
En azından (5 000 000 000) adet segmanla (L1) ve (s) hassas olarak bulunur. Grafiği çıkarılır.
Hiçbir entegral hesabı yoktur. Bu mantık (0<r<sonsuz) aralığı için geçerlidir.
Burada yaklaşım hesabı yapıyoruz. Erişilebilecek gerçekleri arıyoruz. Mutlak Doğruyu
aramıyoruz. Mutlak Doğruyu entegraller verir. O da yalnız elips için yapılmıştır.
1959 senesinde elips için verdiğim (s=ln(2)/ln(Pi/2)= 1.5349853566138….) değeri ile
hesaplanan uzunluklar, gerçek uzunlukları tutmuyordu.Yaklaşıyordu.Graf(I) bu ilk yaklaşımın
(dL1=L1Tahmin-L1Gerçek) değerlerini,Graf(II) hata % sini gösteriyor
En büyük (dL1)
En büyük hata %
=0.034155353209052 ile
=0.003605936813090 ile
TAN=b/a=25.45169958 noktasında
TAN=b/a=5.006784983 noktasında
GRAF(I) 1<TAN<sonsuz
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.015
0.01
0.005
0
-0.005 1
(dL1)0
82
163 244 325 406 487 568 649 730 811 892 973
GRAF (II) 1<TAN<sonsuz
0.0040
(hata %)0
0.0035
0.0030
0.0025
0.0020
0.0015
0.0010
0.0005
0.0000
-0.0005 1
82
163 244 325 406 487 568 649 730 811 892 973
Graf (III) (r=2) elips için (sGerçek) eğrisini gösteriyor.Bu graf bilinir [5]
Graflar basit makro yazılımları ile elde ediliyor [5]. İlgilenenlere gönderilecek.
GRAF (III) 1<TAN<sonsuz
1.750
sGerçek değişmez
1.700
1.650
1.600
1.550
1.500
1.450
1.400
1
81
161 241 321 401 481 561 641 721 801 881 961
Bu graf, bir polinoma oturmuş astroide benziyor. Dolayısıyla, bu graf için astroidal yapıda bir
matematik modeli yazıyoruz. Yazdığımız modelle gerçek grafı çakıştırmayı düşünüyorum
Modelimizin klasik denklemi ve içindeki parametrelerin değerleri şöyle:
sMod=
d1+b1*(1-((x-c1)/a1)^p)^(1/p)+(F+m1*x)
Parametrelerin değerleri çakışma grafiğinden görerek beğeniliyor.
Herhangi bir hesabı yok.Bir Otomat yapılıyor.
Otomattaki değerler değiştirilerek, en iyi çakışma aranıyor.
Beğeniliyor.
parametreler
a1
(sm-sM)=b1
c1
d1
p
sM=F
m1
sm
OTOMAT 1
değerler
1000
-0.193966223722475
0
0.000000000000000
2.980000000000000
1.728894759383850
0.000000000000000
1.534928535661380
Graf (IV) ,görsel olarak seçilen ve beğenilen bu parametrelerle oluşan model grafın gerçek
grafla çakışmasını gösteriyor.(b1 ve F) (5 000 000 000) segmanlık hesaptan geliyor. Biz
yalnız (p=2.98) kuvvetini seçip beğendik. Beğenmek kişiseldir.
GRAF (IV) 1<TAN<sonsuz
1.750
sGerçek değişmez
sMod; (p=2.98) ile
1.700
1.650
1.600
1.550
1.500
1.450
1.400
1
81
161 241 321 401 481 561 641 721 801 881 961
(x) (TAN=b/a) nın açısal absisini ifade eder. Öyle ki:
(TAN=1 iken x=0) ve (TAN=sonsuz iken x=1) dir.
Pratikte (TAN=b/a=sonsuz) iken (x=1000) diyoruz. Bu maksatla
(90o-45o) açı sahasını lineer (1000) [d alfa] ya bölüyoruz.
(alfa açısı=Radyan alfa*180/Pi) ve (x=(alfa-45o)/(45o/1000))
yazılır.
Birim L1 hesabında, (a=1; b=TAN) ve (1<TAN<sonsuz) olduğu da bilinir.
Graf (IV) (p=2.98) ile iyi bir çakışma olduğunu gösteriyor ancak hata % sini de bilmeliyiz.
Hata % si=((L1 Tahmin-L1Gerçek)/L1Tahmin) olarak tarif edilir
Graf(V) bu birinci hesap aşamasındaki hata eğrisini gösteriyor.
Max.hata %=0.000529950426610
Geçerli dünya rekorunda hata %=0.00145 dir [1].Bu sonuç herhalde daha iyi.
Konu ile ilgilenen matematik dünyası 49 yıldır bu sonucu göremedi. Görmezlikten
geldi.Çünkü son 6 senedir devamlı ikaz ettim.Bunun ötesi de var.Burada Şahit olacaksınız.
GRAF (V) 1<TAN<sonsuz
0.0006
0.0005
(hata %)1aşama
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0.0000
-0.0001 1
83
165 247 329 411 493 575 657 739 821 903 985
-0.0002
(p) nin bir başka değeri için, başka bir hata grafı elde ederiz. Dilediğimiz aralıkta hata % sini
azaltır, yahut hata % sini artı-eksi eşit yayabiliriz. Beğenimize kalmıştır.
Graf (VI) fiziki olarak mühim olan (dL1=L1Tahmin-L1Gerçek) eğrisini gösteriyor.
Max.(dL1)aşama1=0.001353949406581
GRAF (VI) 1<TAN<sonsuz
0.002000
0.001500
(dL1)1aşama
0.001000
0.000500
0.000000
-0.000500 1
86
171 256 341 426 511 596 681 766 851 936
-0.001000
-0.001500
-0.002000
-0.002500
Herhangi bir TAN değerinde, mesela (Max.hata %) si noktasında, (dL1 ve hata %si)
biliniyorsa, ki varsa grafikten okuruz, (L1Gerçek ve L1Tahmin) hesaplanabilir.
Max.(hata %)aşama1
O noktada (dL1)aşama1
=0.000529950426610
=0.001294322464019
(max.dL1 değil)
L1Tahmin=(dL1/hata %)
L1Gerçek=(L1Tah-dL1)
=2.44234630076549
=2.4410519783147
(p) ye göre değişir.
(p) ye göre değişmez.
İsterdik ki her noktada ((dL1)aşama1=0) olsun. Hedefimizdir.
(III den VI ya) graflara baktığımızda, her noktada, (dL1=0) olması için (p) nin değişken
olması gerektiğini görürüz. (p) için ((dL1)aşama1=0) yazarız. Bu düşünceden (pGerçek) i
gösteren graf (VII) yi elde ederiz.
GRAF (VII) 1<TAN<sonsuz
3.50
pGerçek
3.00
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
1
79
157 235 313 391 469 547 625 703 781 859 937
Bu graf, bir polinoma oturmuş astroide benziyor. Dolayısıyla, bu graf için astroidal yapıda bir
matematik modeli yazıyoruz. Yazdığımız modelle gerçek grafı çakıştırmayı düşünüyoruz.
Modelimizin klasik denklemi ve içindeki parametrelerin değerleri şöyle:
pMod=
d2+b2*(1-((x-c2)/a2)^q)^(1/q)+(G+m2*x)
sMod=
d1+b1*(1-((x-c1)/a1)^pMod)^(1/pMod)+(F+m1*x)
parametreler
a2
b2
c2
d2
q
G
m2
OTOMAT 2
değerler
500
0.3475
500
0.000
4
1.95
0.000935
Graf (VIII) ,görsel olarak seçilen ve beğenilen bu parametrelerle oluşan model grafın gerçek
grafla çakışmasını gösteriyor. Başka beğenilerle başka bir çakışma görüntüsü oluşurdu.
İyi parametre seçmek, bir an önce (dL1=0) hedefine varmamızı sağlayacaktır.
GRAF (VIII) 1<TAN<sonsuz
3.50
3.00
2.50
pGerçek
pMod
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00
1
79
157 235 313 391 469 547 625 703 781 859 937
(a=1; b=TAN) bilinince,(alfa açısı) ve (x) absisi bilinir. Hesaplanır. Bunların değerleri
(pMod) u verir.(pMod) ile (sMod) hesaplanır.(sMod) ile de (L1Tahmin) bulunur.
L1Tahmin=(1+TAN^sMod)^(1/sMod)
Bu ikinci aşamaya ait (hata %)2 si ve (dL1)2 eğrileri graf (IX ve X) da gösterilmiştir.
Max.(hata %)2aşama
Max.hata noktasında (dL1)2
Max.(dL1)2aşama
Max.(dL1)2 noktasında (hata %)2
=0.000019980316582
=0.000592851604697
=0.001153601015915
=0.000007247479687
1<TAN<sonsuz aralığı
1<TAN<sonsuz aralığı
GRAF (IX) 1<TAN<sonsuz
0.00003
(hata%)aşama2
0.00002
0.00002
0.00001
0.00001
0.00000
-0.00001
-0.00001
1
84
167 250 333 416 499 582 665 748 831 914 997
GRAF (X) 1<TAN<sonsuz
0.0015
0.0010
(dL1)2aşama
0.0005
0.0000
-0.0005 1
82
163 244 325 406 487 568 649 730 811 892 973
-0.0010
-0.0015
-0.0020
-0.0025
Graf (XI) birinci aşama (hata %)1 ile sonraki aşama (hata %)2 karşılaştırmasını gösteriyor.
2.nci aşamada güzel bir hata grafiğine eriştiğimizi söyleyebiliriz.
Parametrelerimizi iyi seçmişiz. Daha iyisi de bulunabilir
Bu hassasiyette bir yaklaşım pratikte yeterlidir
Ancak
Daha hassas yaklaşımlar yapmak da elimizdedir.
GRAF (XI) 1<TAN<sonsuz
0.00060
(hata%)2aşama
(hata %)1aşama
0.00050
0.00040
0.00030
0.00020
0.00010
0.00000
-0.00010 1
83
165 247 329 411 493 575 657 739 821 903 985
-0.00020
Bu maksatla (pMod) un (a2,b2,c2,d2,q,G.m2) parametrelerinin değişken olması gerekir.
En azından (b2,G,m2) parametrelerinden bir tanesi değişken olmalıdır.
Başlarken (b2) parametresini seçiyorum.Başkasını da seçebilirdim
(b2) için (dL1)2=0 olsun diyorum.(b2Gerçek) grafını buluyorum. Modelini yazıyorum.
Gene parametrelerimi beğenip seçiyorum.
b2Mod=
d3+b3*(1-((x-c3)/a3)^r)^(1/r)+(H+m3*x^v3+n3*x^w3))
pMod=
d2+b2Mod*(1-((x-c2)/a2)^q)^(1/q)+(G+m2*x)
sMod=
d1+b1*(1-((x-c1)/a1)^pMod)^(1/pMod)+(F+m1*x)
OTOMAT 3
değerler
parametreler
a3
b3
c3
d3
r
H
m3
v3
n3
w3
500
0.330000
500
0
5
0.650000
0.000038
1
0
1
Graf (XII) (b2Gerçek) ile (b2Mod) çakışmasını gösteriyor.
Grafiğin sonlarında çakışmanın bozulduğu görülüyor.
Modelimizi ve parametrelerimizi daha iyi seçebilseydik, bu bozulma olmazdı.
GRAF (XII) 1<TAN<sonsuz
0.7
0.6
b2Gerçek
b2Mod
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
1
78
155 232 309 386 463 540 617 694 771 848 925
Graf (XIII ve XIV) bu üçüncü aşamadaki (hata %)3 ve (dL1)3 eğrilerini gösteriyor.
Max.(hata %)3
O noktada (dL1)3
=0.000015169457087
=0.000604327055093
Max.(dL1)3
O noktada (hata %)3
=0.00101293826650
=0.000006054146193
GRAF (XIII) 1<TAN<sonsuz
0.00002
0.00002
(hata %)3aşama
0.00001
0.00001
0.00000
-0.00001
1
84
167 250 333 416 499 582 665 748 831 914 997
-0.00001
-0.00002
GRAF (XIV) 1<TAN<sonsuz
0.001500
0.001000
(dL1)3aşama
0.000500
0.000000
-0.000500 1
85
169 253 337 421 505 589 673 757 841 925
-0.001000
-0.001500
-0.002000
-0.002500
Graf (XV), önceki aşama (hata %)2 ile son aşama (hata %)3 karşılaştırmasını, gösteriyor.
(3aşama) grafiğinin (2aşama) grafiğinden daha iyi olduğu söylenemez.
Başlarda ve sonlarda durum iyi,ortalarda fena
Max.( hata %)3
O noktada (dL1)3
=0.000015169457087
=0.000604327055093 oldu.
(b2) için uygun parametreler seçemediğimizi anlıyoruz.
Uygun parametreler vardır. Fakat konumuz sadece uygun parametre aramak değildir.
Konumuz bu hesaplamadaki yöntemi, mantığı tanıtmaktır.
Her ne kadar gayretimiz en az hatalı bir sonuca ulaşmak ise de, daha iyisini ararken daha
fenasına yönlenmek de mümkündür.En az hatanın erişildiği noktada durmalıyız.
GRAF (XV) 1<TAN<sonsuz
(hata %)aşama3
(hata%)aşama2
0.00003
0.00002
0.00001
0.00000
-0.00001
1
83
165 247 329 411 493 575 657 739 821 903 985
-0.00002
Seçip beğendiğimiz parametreler kişisel tercihlerdir. Şimdi, acaba daha hassas bir yaklaşım
bulabilir miyiz diye, (m2,G) parametrelerini de değişken alıp onların gerçek graflarını
bulacağız, model graflarını yazacağız, çakışmaların hassasiyetini göreceğiz.
Bu maksatla:
(m2) için (dL1)3
=0 yazılıp (m2Gerçek) bulunur.
(G) için (dL1)4
=0 yazılıp (GGerçek) bulunur.
(Hata %) sini azaltma gayreti, hatayı arttırıyorsa işlem durdurulur.
Uygun parametreleri bulamıyorsak,işlem durdurulur.
Graf(XVI, XVII, XVIII, XIX) (m2Gerçek)aşama4 eğrilerini gösteriyor.
Denklemlerimiz,parametrelerimiz şöyle:
m2Mod=
d4+b4*(1-((x-c4)/a4)^t)^(1/t)+(J+m4*x^v4+n4*x^w4)
pMod=
d2+b2Mod*(1-((x-c2)/a2)^q)^(1/q)+(G+m2Mod*x)
sMod=
d1+b1*(1-((x-c1)/a1)^pMod)^(1/pMod)+(F+m1*x)
parametreler
a4
b4
c4
d4
t
J
m4(+)
v4
n4(-)
w4
OTOMAT 4
değerler
500
0.0009381
500
0
10
0.000001
0.0000000700
1
-0.000000065
1
GRAF (XVI) 1<TAN<sonsuz
0.0012
0.001
0.0008
m2Gerçek
m2Mod
0.0006
0.0004
0.0002
0
1
82
163 244 325 406 487 568 649 730 811 892 973
GRAF (XVII) 1<TAN<sonsuz
0.00001
hata %)aşama4
0.000005
0
1
86
171 256 341 426 511 596 681 766 851 936
-0.000005
-0.00001
-0.000015
GRAF (XVIII) 1<TAN<sonsuz
0.001
0.0005
0
-0.0005 1
-0.001
-0.0015
-0.002
-0.0025
83
165 247 329 411 493 575 657 739 821 903 985
(dL1)aşama4
GRAF (XIX) 1<TAN<sonsuz
0.000025
0.00002
0.000015
0.00001
0.000005
0
-0.000005 1
-0.00001
-0.000015
-0.00002
hata %)aşama4
(hata %)aşama3
(hata%)aşama2
74
147 220 293 366 439 512 585 658 731 804 877 950
Graf (XIX) dan (hata %) sinin daha iyiye gitmediği görülüyor.
Graf(XX, XXI, XXII, XXIII) (GGerçek)aşama5 eğrilerini gösteriyor.
Denklemler ve parametreler şöyle:
GMod=
d5+b5*(1-((x-c5)/a5)^u)^(1/u)+(K+m5*x^v5+n5*x^w5)
pMod=
d2+b2Mod*(1-((x-c2)/a2)^q)^(1/q)+(GMod+m2Mod*x)
sMod=
d1+b1*(1-((x-c1)/a1)^pMod)^(1/pMod)+(F+m1*x)
OTOMAT 5
değerler
parametreler
a5
500
b5
0.098750000
c5
500
d5
0
u
10
K 1.851440000000000
m5 0.000000010000000
v5
1.2
n5
0
w5
1
GRAF (XX) 1<TAN<sonsuz
2
1.95
Ggerçek
GMod
1.9
1.85
1.8
1.75
1
79
157 235 313 391 469 547 625 703 781 859 937
GRAF (XXI) 1<TAN<sonsuz
0.000006
(hata %)aşama5
0.000004
0.000002
0.000000
-0.000002
1
70
139 208 277 346 415 484 553 622 691 760 829 898 967
-0.000004
-0.000006
GRAF (XXII) 1<TAN<sonsuz
0.0010
0.0005
0.0000
-0.0005 1
-0.0010
-0.0015
-0.0020
-0.0025
(dL1)aşama5
82
163 244 325 406 487 568 649 730 811 892 973
GRAF(XXIII) 1<TAN<sonsuz
(hata %)aşama5
(hata%)aşama4
(hata %)aşama3
(hata%)aşama2
0.000025
0.000020
0.000015
0.000010
0.000005
0.000000
-0.000005 1
85
169 253 337 421 505 589 673 757 841 925
-0.000010
-0.000015
-0.000020
Graf (XXIII) (hata %)5aşama’ nın uygun olduğunu gösteriyor.Üstelik uygunsuz
çakışmalardan, parametrelerden bu eğriye eriştik. Uygun parametrelerle daha da hassas
neticelere erişilebileceği tahmin edilebilir.Varılan durumda
(hata %)aşama5
=0.000004753119960 oldu. Bu iyi bir sonuçtur.
Graf(XXIV) (dL1aşama1; dL1aşama5) karşılaştırmasını gösteriyor
Bu anlamda, (dL1)aşama2 den itibaren hassas neticeler alındığı görülüyor
(dL1)aşama 5 en hassas neticeyi veriyor.
GRAF (XXIV) 1<TAN<sonsuz
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
-0.0005 1
-0.001
-0.0015
-0.002
-0.0025
83
165 247 329 411 493 575 657 739 821 903 985
öceki (dL1)aşama1
(dL1)aşama2
(dL1)5aşama
Bir hesap örneği
(a=15.516948840908 ve b=8.738) olan bir elipsin
çevre uzunluğunu hesaplamak istiyoruz
(a;b) yer değiştirebilir. Bu değişim çevre uzunluğunu etkilemez
(b=15.516948840908 ve a=8.738) yazalım.(b>a) sahasında çalışıyoruz
(b/a=TAN=1.775800966) olur. Bu TAN için (L1Tahmin) hesaplayacağız.
Hesaplarda 5 aşama yaptık. Her aşamanın (L1Tahmin) değeri farklı çıkacaktır.
(L1Gerçek) değişmez.
Burada, örnek olarak, 5’inci aşama işlenecek.
(radyan.alfa=ATAN
(alfa açısı=ATAN*180/Pi
(x=(alfa açısı-45)/0.045)
=1.05793132609935)
=60.6150000001709 o)
=347.000000003798)
değerleri bilinir.
(x) (b2Mod, m2Mod, GMod) denklemlerinde kullanılarak
b2Mod
m2Mod
GMod
=0.333363262814073
=0.000940834324750
=1.75270124988600
bulunur. Makro bulur [4]
Bu değerler (pMod) denkleminde kullanılarak
pModG
=2.411800901234670
bulunur. Makro bulur [4]
Bu değer de (sMod) denkleminde kullanılarak
sModG=1.541339998722620
bulunur. Makro bulur [4]
sModG ile de
(L1Tahmin)aşama5=(1+TAN^sModG)^(1/sModG)=2.221968067865350 bulunur.
2 500 000 000 adet eliptik entegral terimlerinin toplamından
(L1Doğru
=2.222894795365080 )bilinmektedir.
Aslında entegral hesabı yapmayız. Ancak elips için bu değerler hazır olarak vardır. Başka
hiçbir (r) için böyle entegral serisi yoktur. Yapılmasına ihtiyaç duyulmamıştır.Elips özeldir.
Örnek hesabımızda:
L1Doğru
L1Tahmin
(dL1)aşama5
(hata %)aşama5
=2.222894795365080
=2.221968067865350
=-0.000926727499726
=-0.000417075075528
dır.
olmuştur.
Sonuç
Bu bir yaklaşımdır. Grafikler hangi aşamada daha hassas sonuç alınacağını göstermektedir.
5nci aşama genelde uygun.Daha hassasları da olacaktır. Parametre seçimine bağlıdır.
Parametreler uygun seçilemezse hesaplarda iyileşme değil,kötüleşme olur.
Bütün bu hesaplar basit makro programları ile yapılır [5]. İlgilenenlere gönderilir.
Dikkat edilirse, eksantriklik kavramını kullanmadık. TAN esaslı hesap yaptık.
TAN kavramı (0<r<sonsuz) için geçerlidir. Eksantriklik yalnız elipse mahsustur.
Her bir elips için 2 500 000 000 adet entegral terimini hesaplamak,toplamak zorluğu da yok.
(b2Mod,m2Mod,GMod,pMod,sMod) gibi 5 değer hesaplanıyor, istenen (r) için (L1)
bulunuyor.İstenirse hesaplar (b2Mod) aşamasında durdurulur.Yahut (b2Mod,m2Mod)
aşamasında durdurulur.İstenen hassasiyete göre işlemler kısa kesilebilir.
Graf (XXV) (GMod) da ufak bir değişiklik yaparak alınan sonuçları gösteriyor.
Burada Üstat Ramanujan’ın tahminleri ile benim tahminlerim karşılaştırılmıştır.
Grafikte (1<TAN<10) aralığı, Ramanujan’ın TAN>10 için aşırı sapmalarını görmemek
için seçilmiştir.TAN<3.25 için Ramanujan hala Üstatdır
GRAF (XXV) 1<TAN<10
0.00005
0.00000
-0.00005
-0.00010
1
3
5
7
9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37
Nec-L1DOĞRU
Ram-L1DOĞRU
-0.00015
Bu projeye 6 yıldır gösterdiği ilgi dolayısıyla Hocam Sayın Paul Bourke/Avustralya’ya
teşekkür ediyorum.Çok ciddi çalıştı.Web sitesini ziyaret etmenizi dilerim.
http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/ellipsecirc
Notlar:[1] Internet/ Google tıkla/ necat tasdelen yaz/bakınız: Elipse Perimeter
Approximation.www.ebyte.it
[2] Ord.Prof.R.Weiyrich’in ret yazısı.İTÜ arşivlerinde yok olmuştur.
Yaş imzalısı bendedir.
[3] Internet/Google tıkla/necat tasdelen yaz/bakınız:Circumference,Perimeter
of an Elipse.Numericana-Ynot
[4] a^s+b^s=L^s formülünün oluşumu. İlgilenenlere gönderilir
[5] 12 e-mail, tablolar ve makrolar, tüm hesaplar. İngilizce.Toplam (2 MB)
Hesap kolonları ilgilenen alıcı tarafından doldurulacak ve aktive edilecek.
Aslı 75 MB.
Necat Taşdelen
[email protected]