FRAKTALLAR

FRAKTALLAR
1
2
*
3
Boyut: Belirli bir doğrultuda ölçülmüş bir büyüklüğü
ifade etmek için kullanılan geometrik bir terim.
Bir nokta «sıfır boyutlu» ludur.
Doğrusal nokta toplulukları «bir boyutlu» bir doğru
oluştur.
Bir araya getirilen doğrular «iki boyutlu» bir düzlemi,
bir araya getirilen düzlemler ise «üç boyutlu» bir uzam
(bir nesnenin uzayda kapladığı yer) oluşturur.
6
* Kar tanesi eğrisinin boyutu nedir?
Kar tanesinin boyutunu nasıl ölçebiliriz; bir çok boyut
tanımından hangisini kullanmamız gerekir?
7
Alman matematikçi Felix Hausdorff’un fikirleri işte bu
noktada yararlı olmuştur.
«Hausdorff boyutu» normal şekillerin olağan
nomenklaturasıyla (adlar dizgesi, bir bilim dalına ait
terimler, terminoloji) örtüşür; böylece doğrunun boyutu 1,
karenin boyutu 2, küpün boyutu 3’tür. Böyledir, çünkü
Hausdorff boyutu (d) uzunluk ve alanın ölçülmesine
dayanır.
8
*
Fraktal boyut
Bir karenin her kenarı 3 kat büyütülecek olursa ortaya
çıkan yeni alan önceki değerin 9 katı büyüklüğünde
olacaktır. 9=3^2 olduğundan, iki boyutlu bir karenin
Hausdorff boyutu kuvvettir, yani d=2 ‘dir. Bu tabii ki
kareden beklediğimiz değerdir.
Kuvvet, Hausdorff boyutunun anahtarıdır.
10
Kar tanesi eğrisini üreten unsur bir doğru parçasıdır; bu
doğruyu üç kat büyütüp değişiklik olarak ekleyecek
olursak baştakinden dört kat büyük bir doğrumuz olur.
4=3^d olduğunda d’nin değerinin ne olduğunu bulmamız
gerekir. d’nin değerinin 1 ile 2 arasında olması gerekir;
çünkü 4, 3^1 ile 3^2 arasında yer alır ve aslında
d=1,29224…
Bu yeni bir şeydir. Boyutu tam sayı olmayan, kesirli bir
boyutu olan bir eğrimiz var.
11
12
Koch Eğrisi
13
 Fraktal,
Fraktal;
14
*
..."öyle bir cisim olsun ki hangi noktasını alırsak alalım
büyütüp baktığımızda yine başlangıçtaki şekille
karşılaşalım ve bu işleme ne kadar devam edersek
edelim aynı olay tekrarlansın. İşte fraktal , yani
kendine benzerlik kavramının tanımı "...
*
*
*
*
*
*
23
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
‘kendine benzeme’ (self similarity)
iterasyon
*
*
*
*
FRAKTAL = ÖRÜNTÜ ?
1) Bir şeklin belli bir oranda küçültülmüş veya belli bir oranda büyütülmüş
modelleri ile inşa edilen örüntülere FRAKTAL denir. Her örüntü bir fraktal
belirtmez. Her fraktal bir örüntüdür.
2) Bir cismin hangi noktasına bakarsak bakalım aynı şekil büyüyerek veya
küçülerek tekrarlanıyorsa bu şekillere FRAKTAL denir.
Bir örüntünün FRAKTAL belirtmesi için, örüntünün herhangi bir parçasını
küçülttüğümüzde veya büyüttüğümüzde bir önceki veya bir sonraki örüntüyü elde
etmemiz gerekir.
3) FRAKTALIN kuralı ikinci adıma bakılarak bulunur. Bir örüntünün FRAKTAL olup
olmadığını anlamak için 3.adımının da verilmesi gerekir.
41
*ÇOKGENLERDE EŞLİK: İki çokgenin karşılıklı açılarının
ölçüleri ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları eşit ise bu iki
çokgen eştir.
42
ÇOKGENLERDE BENZERLİK: İki çokgenin karşılıklı açılarının
ölçüleri eşit ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları orantılı ise
bu iki çokgen benzerdir. Benzer iki çokgende karşılıklı
kenarların uzunlukları oranına benzerlik oranı denir. ”k”
sembolü ile gösterilir.
43
ÖRÜNTÜLER (DİZİLER): Uygun geometrik şekillerin aralarında
boşluk oluşturmadan bir araya getirilmesi işlemine örüntü, oluşan şekle
süsleme denir.
Örüntü belirli bir kurala göre diziliştir.
Bu diziliş (örüntü), sayı örüntüsü (dizisi) veya şekil örüntüsü (dizisi)
şeklinde olabilir.
Bir örüntünün oluşması için bir araya getirilecek uygun geometrik
şekillerin merkez noktası çevresindeki iç açıların toplamı 360 derece
olmalıdır.
44
ARİTMETİK DİZİLER: Bir dizideki ardışık terimler arasındaki fark sabit ise
bu diziye aritmetik dizi denir. Aritmetik diziler artarak veya azalarak devam
eder.
Bir dizideki ardışık iki terim arasındaki farka ortak fark denir. Ortak fark “r”
ile gösterilir.
1)Aritmetik dizi artarak devam ediyorsa genel terimi bulmak için aşağıdaki
formül kullanılır.
45
ÖRNEK-1: İlk terimi 18,ortak farkı 3 olan ve artarak devam eden bir aritmetik
dizinin 10.terimi kaçtır?
a)76
b)62
c)54
d)45
ÖRNEK-2: İlk terimi 5,ortak farkı 6 olan ve artarak devam eden bir aritmetik dizinin
51.terimi kaçtır?
a)305
b)405
c)205
d)505
46
ÖRNEK-3: 1,4,7,10 , ….. sayı örüntüsünün genel terimi kaçtır?
a)3.n+1
b)3.n-1
c)3.n+2
47
d)3.n-2
ÖRNEK-4: Yandaki örüntü karelerden oluşmuştur.Şekil örüntüsünü
sayı örüntüsü ne çevirdiğimizde aşağıdaki hangi seçenek olur?
a)1,3,7,… b)1,4,8,…
c)1,2,3,… d)1,3,5,…
2)Aritmetik dizi azalarak devam ediyorsa genel terimi bulmak için aşağıdaki formül
kullanılır.
AÇIKLAMA: Bir sayı örüntüsünde ardışık 2 terim arasındaki ortak fark sabit (aynı)
ise bu sayı örüntüsü aritmetik dizidir.
ÖRNEK-1: İlk terimi 48,ortak farkı 3 olan ve azalarak devam eden bir aritmetik
dizinin 11.terimi kaçtır?
a)-16
b)-12
c)-14
49
d)-15
ÖRNEK-2:100 sayısından başlayarak geriye doğru 3’er 3’er saydığımızda
21.olarak hangi sayıyı söyleriz?
a)30
b)60
c)40
d)50
ÖRNEK-3:200 sayısından başlayarak geriye doğru 4’er 4’er saydığımızda
10.olarak hangi sayıyı söyleriz?
a)122
b)136
50
c)148
d)164
3) GEOMETRİK DİZİ: Belirli bir sayı seçilir. Bu sayı ile başka bir sayı
sürekli çarpılarak veya bölünerek bir sayı örüntüsü oluşturulursa böyle
örüntülere geometrik dizi denir.
Geometrik dizide ardışık 2 terimin oranına çarpan sayıya eşittir. Bu sayıya
ortak çarpan denir. Ortak çarpan “r” ile gösterilir.
AÇIKLAMA: Bir dizide ardışık 2 terim arasındaki ortak çarpan sabit (aynı) ise bu
örüntü geometrik dizidir.
51
ÖRNEK-1) 4,12,36,108,…sayı örüntüsü veriliyor. Bu örüntünün 7.terimi
kaçtır?
a)1256
b)4328
c)2916
d)729
ÖRNEK-2) 2,8,32,128,…sayı örüntüsü veriliyor. Bu örüntünün 6.terimi
kaçtır?
a)4096
b)2048
c)1024
52
d)512
53
54
*
*
*
*
*