sismik verilerde tanjant hiperbolik süzgeçler ile gürültü bastırılması

sisuix veniLeRDETANJeurnipeneor,ix
si.izcEEt,En
tLe ctinrilrri easiinrLr,rAsr
AyHAN6zxax
ytixsnx r,isaNs rgzi
,rnorizix r'ruHeNpisr,itiiaNaeil.im DALr
L992
ANKARA
ANKARA
timivsnsirusi
rnN str,imleni emsrirrisU
sisr'rix veniLuRDETANJaNT
Hipsneoltx
stizcEgi,uniln crintilrti BAsrrRrLMAsr
AYHAN6zxen
ytirsex lisams Tszi
;eopizix MtiHunoisr,iciaNaeit,imDALr
Fll
Bu rez .Q:I-.!1?.3.T a r i h i n d e
,( . . . . . ( . 4. )R. . . . )
r
Agairdaki
Not Takdir Edilerek
Jiiri
Oybirligi
Taraf rndan DOI<S/0N
9Ef
/ Ofg€*J'ugu
ife
Kabul Edilmigtir.
( i m z a)
( i m z a)
D o g .D r . A . T . B a g o k u r
Prof. Dr. T. Kayrran
Danrgman
/A-*,1'E':24>'7
( i m z a)
. Kegeli
iii
6zrr
yrirsnxlisaus rEzi
si smi r ve niLERDETANJANTHipeneol,ix
si i zGE E L Enir ,s cr intilr r i BASTTRTLMAST
Ayhan 6zxaN
Ankara tiniversitesi
Fen Bi I imle ri
Jeofizik
Ensti ti.isi.i
Mtihendisligi
ena Bilim
Danrgman : Dog.Dr.A.Tugrul
Dalr
BA$OKUR
L992, Sayfa z 79
Jiiri
: D o g. D r . A . T . B a g o k u r
prof . Dr . T. Kayrran
prof.Dr.A.KegeIi
Fourier
d o n i i g i . i m u n i . i n6 , r g e k r e m e v e k a y m a 6 z e r l i k l e r i
kulranrrarak,
belirrenen
k e i m e f r e k a n s r n a - k a y' d
iki
i l rer r i * i g
t
a
n
j
a
n
L
f
o
n
k
s
i
y
o
n
u
n
u
n
f
a
r
k
r
irekans
3ggt
!ip"rbolik
a l g a k g- e g i g l i
s i . i z l e'ga n a
o ll iui igxt u r u-l -m; iu; rsa k - v e z a m a n
Fglg"sinde
uQlg"sinde
stiigeg
iont<siyonu
er.de
edilmigtir.
Benzer !9kilde,
belirlenen
iki
f r e k a n s- f . ; kn;oi ;k; tnaul n
au
r rnn a
ravlr rrlan
d6rt
ader ranjant
hiperuorii
'
o
l
a
rak
topranmasryra olugan band geiigri
sijzgeg analitii
zariran
lo:zl ne lLyI tl k! :l el :r.i.n d e n . y a r g r l aonrr rl aarnaik . r ie_l dr ge r rer dkitlimr ii g t i rF. o u r i e r d d n i i g i i m i . i
Tanjant
b6lgesindeki
Eiil
hiperborik
si.izgeglerin
k6srne frekansrarr
egimleri istege Ua$fr olarak deeisti;ii"tirir.
p a r a m e t r e s i , p J g u r .k_9 9 i e f r 5 k a n s r " r i n a " - i ; ' ; i j k ; ; k
kesme
frekanslarrnda farkli
olabilir.
T a n j a n t h i p e r b o l i k s i i z g e g l e r i d e n e m e k a m a c-ri yr "r pa r iy*ai gp a y v e
gergek arazi
verireri
i.izeri"dg. yyguramar.a,
ve
sonuglarr
t a r t r $ r l m r g t'r r .
Analitiiolarak
verilen
bu
siizgegler . _ . f relians
ortanr nda
yada
zaman
ortamr nda
uygulanabilirler.
A N A H T A RK E L T M E L E R: s t i z g e g , t a n j a n t h i p e r b o r i k
fonksiyonu,
Fourier d6ni.igiimii.
1V
ABSTRACT
M A S T E R ST H E S I S
N O I S E S U P P R E S S I O NI N S E I S I " I I C D A T A
BY TANGENT HYPERBOLIC FILTERS
Ayhan 6zxal,t
Ankara University
Graduate school of Natural
and Applied
sciences
Department of Geophysical Engineering
Supervisor
: Assoc.prof .DT.A.T.BASOKUR
L992, page z 79
Jury
: Assoc.prof .Dr.A.T.Bagokur
p:;of . Dr . T. Kayrran
prof.Dr.A.Kegeli
using the scaling and shifting
theorems of the
F,ourier
Transforms,
a low-pats firte:
yas-dg"lgned in t.he frequency
d o r n a i n - b y s h i f t i n g - f rtewoou et n
a cn rqi e n t h y p e r b o l i c f u n c t i o n s
to
the
desired
cut-off
and" the
-orr""ponding
f
i
l
t
e
r
function in the time domaii *u"-rp""ifiJO
analyticallv.
Also a band pass filrer. was besig""d t;--i;;""iiiqr"n"y
domain in a simiiar manner by uri"g-i;;;
rangent hyperboric
functions and two cut-off
freQuenciis.
Time 6omain'i""por""
of the same filter
was specifi;a
;;;in
anarytically
by using
Fourier Transformation tlreorems.
The slopes at
,,?angent
the
cut-off.
regions
of
the
Hyperbolic
Filters"
b
e
.
a
d
j
u
i
i
;
;
t
;
c
h
a
n
g
i
n
g
the srope
-may
parameter and tl."
"rriir,
slopes
at
[rre row'and
iut_off
freguencies may be chosin inaepena""try from
each other.
Tangent Hyperbolic Filter-was tesied on
the
synthetic
and reat
d a t l - e x a m p l e s , a n d t-hae" . i,;"!i ;" g
r i -; - " " j *- ;-;"; i p i ia"ia
i",r"""a.
rhese anatvrical filr;rs may
in
e
e i t h e r t i m e o r f r e q u e n c y d o i r a.i b
n"
"u"""ifu.r.y.
K E Y W O R D S: F i l t e r , t a n g e n !
hyperbolic function,
Fourier transform.
v
6Nsdz
T P A OV e r i - I 9 1 e m
igersinde
jeofizik
Merkezininr
sagladrir
gi rket
uygulanalarrnrn
olmugtur.
Yijksek
hog96rii
lisans
gorevlilerinden
programlarrn
yaztlmast
tegekkiirlerimi
Sevgili
bilgilerinden
A.ii. , si
igin
engin
69retim
galrgmayr
bu
Dog. Dr. A. Tugrul
kuramsal konulardaki
D r . I " l . T . T A N E R ' ed e l e r I i
Veri-i9lem
ve
Bagokur,a
ve uygulanmasrnda biiyiik gaba gosteren
Dog. Dr. E. BAYSAI'a,
TPAO
si.iresince
Dr. Turan Kayrran'a,
yapabilme olanagr verdigi
ve
hazrrlamasrnda
tezinin
yararlandrgrm
Prof.
etkinlikleri
si.ire
roli.i biiyiiktiir.
egitimim
igersinde
egitim
oldugum
kendimi geligtirmemde biiyirk katkrsr
uygulanmasrnda bu katklnrn
Y i . i k s e kl i s a n s
igi
galrgmakta
6neri
agrklamalarryla
ve yardrmlarrnr
Merkezindeki
biiti.in
esirgemeyen
arkadaglarrma
sunarrm.
egim ve gocuklarrma biiyiik sabr rlarrndan
minnet ve gi.ikranlarrnr
sunarrm.
dolayr
v1
KI SALTI{ALAR,
siucnLsnvr sOzr,tix
AGS
algak
YGS
Yiiksek gegigli
siizgeg (High-pass f ilter
BGS
Band
stizgeg (Band-pass filter),
BDS
Band durdurucu si.izgeg (Band-stop f ilter
TF
Transfer
T(m x)
Tarak fonksiyonu (Comb function),
A(w )
Genlik
o (w )
Eaz (Phase),
r(x)
Birim
tanj ant
hipe rbol i k
silzgeg
vektdr (y6ney)
kutupsal
katlanma
do!rusal
yr gma
evri gim
ornekleme
si.irek I i
sayr sa1
g e ci k m e
ayrrmlrlrk
gegigli
gegigli
siizgeg ( Low-pass filter),
fonksiyonu
(Transfer
),
),
functioD),
(tunplitude ) ,
tepki
fonksiyonu
tangent
hype rbol i c
filter
vector
polar
aliasing
linear
stacking
convoluti on
s a m p li n g
analog
di gi ta1
delay
resoluti on
(Impulse response),
vl1
I9INDEKILER
Sayfa
1. cinig
x a v o e o i L E N si si rri x vn n i r.r iN FREKAN'ignniGi
2 . 1 . V e r i T o p l a m a d aS i . i z g e q l e mEe t k i l e r i
2.2. Kaynakbarsacis;-;i;i;;i
...
3 . ZAMAN VE FREKANS ORTAMLARI
3.1. Harmonik Hareket
3 . 2 . Z Doni.igiimi.i
3.3 Fourier Ddntigi.imii
3.4. Evrigim
3 . 5 A yv r rrkkl laag t l r m a
4 . sr.izcEgrER
q
2B
28
33
35
TANJANTHipnnpoi,ix_ srizcngl,pliN ELDE EDiLr,rESi
...
5.1. Kullanrlan Temef roimtiffer :.:.::::.:.
5.2. Alqak Gecirimli stizgefierin OlugturuLnasr
41,
4t
42
UYGULA]'1J\LAR
7 . SoNUgLAR
8 . KAYNAKLAR
9.
7
7
11
t2
zv
23
4.1:. Dogrusal (linear ) Stizgegler
1 . ? . s i . i z g e gg e g i r l e r i
4.3. Kullanr ian Si.izgeg
9e$itleri
s.3. eandcesirimli sti" gJii"ii""oi"iE;;;i;""r ...
6.
4
4
5
6zcngnig
qn
59
77
78
79
cinig
Gi.iniimuzde
petrol
yaprlarrnrn
krrrrma
teknikleri
sismik
veri
dnemli
veri
aramalarr bagta
sismik yanslma ve
etkili
bir
kurlanrlmaktadrr.
gekirde
agamasrndan yorumlamaya kadar sismik
Bu
konurarrndan biri
yerartr
galrgmalarda
g o k a g a m a d a ng e g m e k t e v e
orugturmaktadrr.
i.izere
oldugu
toprama
iglem bir
olmak
galrgmada
sismik
oran si.izgegler ere
geniF
bir
veri
igerik
iglemin
alrnmr$
yeni
ve
ana
bir
si.izgegti.irij 6nerilmigtir.
sismik verileri,
kesitler
haline
y6ntemleri
kesitrerin
bagrnda
siizgegleme
teknikleri
veri
ire
g e g m ig
kullanrlan
sismik
veri-i
stzgegler
verilerde
birrikte
nedeniyre
(filtering)
ve
gegitri
verilerin
denir.
daha
grem
si smik
ydntemlerin
irk
incelenen
istenmeyen
olayrarrnda
sorunlar
olugmaktadrr.
ayrkranmasr
Karmagrk jeolojik
duyarlr
g6ziimti igin
igremine
moderrerin
siizgegleme
gok srkga kullanrlmaktadrr.
siizgegler degigik
olugturul-ur
engok
sisnik
istenmeyen
yakrn
ige
6zellikle
edirmesinde
edirmeleri
Kayrtlardaki
ig
g6steren
oranrdr r.
Jeofizikte
dogruya
r.
gelmektedir.
sinyal-giiriiltO
kayrt
gevi rnede
kullanrlr
elde
jeolojisini
yerartr
fiziksel
ve uygulanr rlar.
parametrelere
baglr
olarak
2
Bunrar arasrnda;
diizenleri
ile
sismik veri
olugturulan
a F a m a s r n d ai s e
frekans
Petrol
veya
dalgacrk;
ve
( source
alrcr
ta rafrndan
f rekans-dalgasayrsrna
( f-X ) baglr
sinyallerle
and
receiver
i.iste
( frekans
yrirrmrg
giiriiltiilerin
veya
dalgasayr sr )
si.izgeglerle giderilirler.
si.izgegler
yapay
fonksiyonunu kurlanarak
veriler
uygulanarak sonugrarr
ve
Stizgeglerin
tepkileri
olarak
anaritik
adrmrnr
olugturur.
ortamrndaki tepkileri
elde
edilen bu stizgeg
tepkisi,
zaman-frekans
olarak
gibi
Fourier
edilebilir.
giriF
siizgeglenrnig glkrg
Tanrmlanan
hiperbolik
verilmigtir.
verireri
hesaplanabirmesi,
HrzIr
elde
edilen
iizerine
orumru ve orumsuz
Bilindigi
zaman ortanrnda
(convolution)
arazi
incelenmig,
tartrgrJ-rnrgtrr.
analitik
edilirler.
Kayrtlardan,
bandlarda
Tanjant hiperbolik
irk
ost
kaynak
dizilinleri
kayr t
gi.iriiltijler
yayrlan
( recorder),
pattern)
olarak
durundadr r.
farkl r
kaynaktan
(geophone), kayrtgr
sinyallerre
( superposition)
sayrlabilir.
yapay
siizgeglenmig
Kayrtlardaki
olanlarr
olugturulan
sismikte,
jeofon
y€r,
veri-iglern
zaman ortamrnda
egim siizgegleri
amaglr
kaynak ve alrcr
dalga boyu siizgecleri,
si.izgegler ve son olarakta
olarak olugturulan
kaydr srrasrnda
yanlarr
ortanrndaki
bu
galrgmanrn
si.izgeglerin f rekans
o6ni.igiimii kullanrlarak
Zaman ortamrnda
verisiyle
verisi
stizgegler
elde
evrigtirirerek
elde edilir.
zaman
ortamrnda
3
Bu
nedenle,
zaman ortamrnda
bulunabilecelinden,
ayrrca
hiperbolik
€limizde
6zelliklerinin
yonlerinin
faz
simetrik
olmasrna,
degigiklige
ugramamasr igin
bir
olmas:,na ve
etkili
geligtirilmesi
Sfizgeg olugtururken
gegi rim
frekans
doni.igiimi.iniin
Bu
ve
faz
tanjant
(phase)
ekonornik olacak
ve sunulmasrdrr.
kaymasr
yaratmanasr
bandrndaki
stizgeg katsayrlarrnrn
spektrumunun istenen
olmasrna 6zen gosterilmelidir.
g a 1r g m a d a
ti.ir siizgeglerle
(amplitude),
genlik
uygulamada
belirlenmesi
diger
bagrntrdan
Fourier
tagrmryacaktr r.
bulunan
stizgeglerinin
verilen
sayrsal
geti recegi olumsuz etkileri
amaglanan,
siizgeg
igin
genliklerin
toplamrnrn
ozelliklerde
4
2.
K A v D E D i L E Ns i s u i x
2.1.
Veri
v e n i l r i N F R E K A N Si E r n i G i
T o p l a m a d a S i . i z g e g l e m eE t k i l e r i
Sismik verinin
(factor)
etkenleri
kaydl sr rasrnda
tarafrndan
krsmr yiiksek frekanslarr,
kontrol
frekans
kontrol
digerleri
igerigi
ise
frekanslarr
algak
Yiiksek frekans bilegenlerini
kontrol
eden etkenler
a) Alrclnln
frekans tepkisi
b) Kayrtgrnrn yi.iksek gegirim siizgegleri
c) Kaynak fonksiyonun frekans kontrollu
II:
Algak frekans bilegenlerini
a
b
c
Gomiilti
sr rasrnda
verilebili
d:
eden etkenler
G6miilii kaynak ( buried source )
(geophone array)
Alrcrlarrn
dizilimi
(source array)
Kaynak dizilimi
kaynak
kullanr Iarak
elde
edilebilecek
Alrcr *
AIrcr *
AIrcr *
dizilimi
Alrcr *
dizilimi
yaprlacak
kontrol
olmasr
yapr lacak
veri
kaydr
kombinasyonlar
g6yle
r
Dinamit
goni.ilii kaynak
g 6 m i i l i . ik a y n a k * a l r e r
gdmiilii kaynak r' alrer
g6miilU kaynak * alrer
* kayrtgr si.izgeci
ti.irii
veri
impalsif
kaydr
kornbinasyonlar 96y1e verilebili
a:
b:
bir
edilir.Bunlardan
etmektedir.
I:
a:
b:
c:
kayr t
Alrcr * alrcr
Alrcr * alrcr
s i i z g ec i
dizilimi
dizilimi
dizilimi
dizilimi
* kaynak
dizilimi
* kaynak
yi.izey
sr rasrnda
kaynagr
kullanrlarak
elde
edilebilecek
r.
* kaynak dizilimi
* kaynak dizilimi
* kayrtgr
Vibro
ttiri.i kaynak
sr rasrnda
elde
frrrffulrlarak
edilebilecek
yaprlacak
veri
dagrlrmr
frekans
kaydr
ise
g6y1e
verilebilir:
a:
Alrcr
dizilimi't
Bijttin bu siizgeglemeler
veri
veri
belirli
bir
r,sweep
kaynak dizilimi
sonucunda elde
veri-iglemde
algak ve yiiksek
sismik
veriye
drgrndaki
sisnrik
frekans bandryla srnr rlanmrg orur.
toplama srrasrnda kaydedilen bazr
gerekse
edilen
giiri.iltiileri
uyguranan gegitri
frekansrr
sinyalin
frekanslarr
iglenrerin
giiriiltiileri
Gerek
siizmek,
yarattrgr
yoketmek
amacryla,
frekans bandrnr gegiren ve bu bandrn
sdniimleyen bant
gegigli
si.izgegler
geligigi.izer
(random)
uygulanr r.
2.2 Kaynak Dalgacrgr Tipleri
sismik
dagrrmrg
izler,
kaynak dalgacr!r
yansrma
katsayrrarrnrn
eklenmesiyle
orugurlar.
arayiizeylerin
zanansal kalrnrrklarr
y6ndeki
( zaman
agrklanmaslnr
sagrar.
evrigimine
Kaynak
boyunca )
ile
giiri.irti.ilerin
dargacrirnrn
arasrndaki
ayrrmlrlrirn
boyu
iligki,
kalrnlrgr
dalgacrk
boyundan
ayrrmrrlrk
sa!1anrr,
ki.igiikse kaynak dalgacrklarr
binmeye baglarlar
yeterince
iyi
ve diigey ayrrmrrrrk
olmayan sismik verinin
dtigey
( resolution )
Tabakararrn (arayiizeylerin)
biiyi.ikse
ire
evrigim
kaybolur.
zamansal
sonucu
ilst iiste
Ayrrmlrlrgr
yorumranmasr zordur.
6
Bu sorun kaynak dalgacr!rnrn
igerisindeki
sinuzoidlerin
siizgeg1er
grkartrlmasryla
olanakl rdr r.
iz,
Sismik
yardrmryla
matenatik
bir
frekanstaki
bazr
ayrr larak
modelle
veriden
gdyle
ifade
r:
edilebili
(2-1)
S(t)=w(t)*R(t)+N(t)
Burada;
W(t),
katsayrlarrnr,
Sisnik
N(t) r geligigiizel
bir
ve diger
olarak,
olay
gibi
kaynagrnrn olugturdugu
dalgacrklarr,
olmak
zaman ortamrnda
krsrmlarrnda
krsrmlarrnda
adr
zaman aralrgrnda
varsayrlrr.
(impulsive)
6rnek
bir
gecikmeli
ayrrlrrlar.
enerji
Kaynak
(minimum delay),
bakrlacak
enbi.iyi.ik
(mixed delay)
FarkIr
olursai
gecikneli
yogunlagnrg
r.
gecikmeleri
enerjinin
dalgacrga en kiigijk gecikmeli,
yogunlagmrg dalgacrga
verili
gegici
spektrumunda oIabilirler.
yogunlagmrg
krsrmlarrnda
bir
oldugu
ve karrgrk
gruba
tig
dalgacrk,
kaynak dalgact!:, verilebilir.
aynr genlik
dalgacrklarrn
belirli
enkiigi.ik gecikmeli
i,izere
dalgacrk
kullanrlan
tepkili
( r n a x i m u md e l a y )
dalgacrklar
orta
olup,
yansrma
R(t),
gi.iri.iltiileri gcisterrnektedir.
zamanlarda srfrr
dinamit
gecikmeli
dalgacrlrnr,
kay:,t kaynagr olarak
(transient)
vardrr
kaynak
en
dargacr!a
Matenatik
(delay)
biiyiik
gecikmeli
karrgrk
olarak
bulunabilir.
bag
son
ve
gecikmeri
z-ddniigi.imiiyle
1
T
ZAMAN VE FREKANS ORTAI'ILARI
3. L.
Harmonik Hareket
sabit
sabit
frekanslr
agrsal
sini.izoidal hareket,
hrzla
d6nen
bir
vekt6rle
daire
tizerinde saat yontintin tersine
olan
vektciri.in hareketi
bize
( geki]
3.1 ) .
bilgiIer
verirler
Donme hareketi
daha
gosterilebilir
pozitif
eksenin
sonraki
($eki1
bir
Vektori.in
t anrnda
yatay
yatay
Herhangibir
vektore
gosterilen
t
donen birim
vektorii,
birim
t-0
dik
degerli
koordinat
anrnda
yatay
vekt6r
wt
vekt6rtin
kadar
yapar.
agr
cos(wt)
ve
sin(wt ) di r.
bilegenreri
karnagrk
96sterilebilir.
- cos(wt)+isin(wt)
vekt6r
deni r .
Eule r
exp(iwL)
, sabit
bilegenleride
fonksiyonu
vekt6riin garprrmasr,
olacakt r r .
faz gibi
w
eksenre
anrndaki vektor
sistem
hrzr
ve d6nmeyebagladrktan
tu gekilde
bi rim
Birim
yer arrr
t anrndaki vekt6r
g6sterirrer.
ve
olarak,
sanal bilegeni
andaki
sayr (complex) olarak
Bu
gosterilir.
eksen i.izerindeki gergel biregeni
diigey eksen iizerindeki
iizerinde
dilgey eksen sanal ormak ijzere
3.1.a),
tarafrnda
daire
d6nen ve agrsal
genlik
basit
sisteminde yatay eksen gergel,
bir
genrik
basit
( 3-1 )
f ormi.iliiyre
agrsal
harmonik
olarak verilen
hrzla
hareketi
orneklerle
ve fazrn degigimine
neden
\ A q , s o lh r r W l e d o n t i s
\
I
D u s e yc i s e n
C o :W l
Giri:: l:l
b.. -f
r . i n;
clwl
gekil 3.1 Sabit hr zla donen bi rim vektor.
a ) Vektoritn
t=l anrndaki yat.ay ve diigey eksenle re olan
b) A=L/2 igin vektori:n genlik ve f azt , c ) B=-l/2 igin
vektoriin genlik ve fazt.
1
tdll
Crlmll
. 1, ,
IIk
ornekte a=l/2
verilirse
:
X (t;:giwt
Y(t)=
bulunabilir.
yerine
ye
grkrg
vektorleri
taradrklarr
ikinci
egit
vektdr
(gekil
olacaktrr
bir
t
genligi
olupr
3.1.b).
anrnda
aynr
birim
Girig
wt
ve
agrsrnr
faz kaymasr olnayacaktrr.
6rnekte b=-l/2
= siwt->
x(t)
donen bir
be1li
igin
(3-3 )
acos(wt) + iasin(wt)
trkrgta
a=l/2
a
b
->
verilirse,
y(t)
- - -
1
iwt
(3-4)
e
2
gaft
-1
:
r-i
1
Y (t) = ---e i (w t+r)= - - - c o s ( w t + t t ) + - - 2
22
$ekiI
iIe
3.1.c'de
grkrgrn
oldugu gibi
genligi
ikinci
sin (wt+7c)
iirnekte
arasrnda fark
girigin
( 3 - s)
genl i gi
olmaz ancak 7r radyanl r k
faz kaymasr olur.
Siizgecin grkrgrnr,
fonksiyonu
elde
fonksiyonlarrnr
transfer
girigine
edili r.
b6lerek
yukardaki
siizgeg
6rneklerin
transfe r
t rans fe r
yazacak olursak;
fonksiyonu - TF = grkrg,zgirig
(3-5)
1
1-
2
2
a:
(3-7)
1
b2
L
iwt+n
---be
/
2
iwt
e
=b=
L
e
2
in (g-a)
L0
n'ci
"iwt
dereceden gecikmeli
--->a620
+ alZI
a1e-iwt
Si.izgecin Z
yerlegtirilirse
fonksiyonunun
Transfer
+ . . . a r . , e i w( t - n )
] /
d d n i . i g i . i m i . i n dZe , y e r i n e
ve
yani
faz davranrglarr
+ anzn
iIe
(3_9)
.iwc
(3_10)
( 3-11 )
+...arre-iwt
transfer
genlik
stizgecin
siizgeg igin
+ a2Z2
Iageiwt'1a1eiw(t-1)
TF-a6
bir
uZ,
=
exp(-iw)"
fonksiyonu elde edirmig olur.
faz
davranrglarr
birinr vekt6re
siizgeg
olan tepkisinin
Bir
transfer
genlik
aynrdrr.
fonksiyonunu
kutupsal
koordinatlarda
(polar )
yazarsak
A(w) :
la (r) 1 eio (w)
6rnek olarakag
A(w)
:
la1wl; =
I
I
\l
( 3 _ 1 2)
+ alZverirsek:
do + a1z-iw :
la1wl; =
do + alcos(w)
(aO + alcos (w) ) 2
(iar
ialsin(w)
s i n ( w ))
(3_L3)
( 3-14 )
II
I
I
\.1
ao2
ve
2a9a1cos (w) + a1-2
-a1sin (w)
|
0(w) = arctan t -----I .o + alcos (w)
la(w)l genlik, e(v/) fazt g6sterir
(3-15)
( 3-16 )
11
3.2.
Z Dontigiimi.i
Z
matematiksel
olarak
(operator)
olarak
n'gecikmeli
iglemcinin
tanrmlanrr
gecikme
birim
ve'z*
olarak
7n
ise
96sterimi
iglemcisi
g6sterilirken,
geklinde verilir.
F(z) -.a6 + a1za +
azz2 +...*anzn
n'gecikmeli
siizgegin
a g 7 a 11 d 2 1 - . . ' a t 1 i s e
Z
dcjniigiimii
stizgecin
( 3-17 )
buradaki
"F(z)",
airrrrk
katsayrrarr
orarak
adlandrrrlrr.
Giri$
"x(t)"
olup gu gekilde
= XO ,Xl_ ,x2
X(t)
verilirse;
1...lXn
z doni.igi.imi.i;
x(z) = xoZo + xlzr + xzz2 +" '+ xnZn
o l a r a k ya zrl rr.
( 3-18 )
Z d d n i igiim tintingenel for mi.ilii ise,
-
x(z) : z
Xp z- k
( 3 - 1 e)
k:-m
geklinde ifade
z
edilir.
d6ni.igiimti si.izgeg diizenlenmesinde,
analizinde
srkga
kayrtrardaki
fizikser
tekrarlr
kullanrran
moderlerin
ayrrk
y6ntemdir.
sismik
olugturulmasrnda
(6rnegin
bir
y a n s r m a l a r ) v e g 6 z i i m l e n m e s i n d ek u l r a n r r r
z d 6 , n i . i g i i m i . j n dze y e r i n e
I
"iwnAt
Biitiin rtwrr agrsal
verilerin
exp (iwnAt) degerini
r.
koyarsak;
= cos (wndt) + isi-n (wndt)
frekanslarr
degigkeni her zaman birim
igin
"lzl-1,'
gember iizerinde olmarrdrr.
( 3 - 2 0)
dir.
t2
w, -oo dan cc degigtikge
diizleminde
birim
ye
gidince
birim
alrr.
gemberde bir
3. 3.
Fourier
zaman
kullanrlarak
olgfilen
igin
ortamrna
verilerin
genli!i
biliyoruz
kullanrlan
6lgtilen
FOURIER
nAt
verinin
Bunl-arrn frekansr
sini.izoidin
parametreler
fiziksel
toplanrndan
sinuzoidlerin
3.2).
(gekiL 3.2.a),da
zaman
ddni.igilmii
zarran ortamrnda
aktarrnada
(€) her bir
ortamrndan
agagrdaki balrntr
Bu
($ekil
Bu parametreler
Frekans
olur.
3.1.'de 96riilmektedir.
aktarrlmasr
degigik
(A) ve fazlarr
grkarlar.
atrlmrg
ya da frekans ortamrnda 6lgiilen
yaprlabilir.
olugtulunu
zn lnAt'
zaman ortamrnda
analizde
ortam:,na aktarrlmasr
verinin
w srfrrdan
z
Doniigtinii
Spektral
frekans
kadarlrk
tur
anrndaki vekt6riin durumu ise gekil
degigkeni
2n /nLL
gernber i.izerinde w'nin
peryodik degerler
deiigimlerinde
(complex)
karmagrk
Z
(f),
tanrmlanmasr
olarak
kargrmrza
goriilebilir.
ortamrna
d6niigi.im
igin
kullanrlrr:
co
( 3-21)
s(t)=ls(t1"iwt61
_co
Z a m a n o r t a m r n d a n f r e k a n s o r t a m r n a d 6 n i . i g i i mi g i n
ba!rntr
ise a$agrdaki
kullanrlrr:
@
s (f ) = J s (t) s-iwt
-cc
at
(3-22l'
13
AnI rr',
4.z\tW\NV\rv
nntnnnn^nr,.n
'uC
,
l
\
gn o-
@
&
"*
-\\
I\
.aman
f
\
-\
-'r.1
I
%
'\
*fl
-
- 3 6 C" l'
In
r Il
r Y/ \ .v\ - - -
(b)
(:)
I
'{1l ' l
u+
@l
cos(lf t )
Jr - - T|
9ekiI
3.2
c,E= 2TIf
Frekans ortamrnda, a) Degigik sini.izoidlerin
otugandalsacri, ul-ojr;;;r;r;-;;;ii;-;;
v1
t! a: tz1 asnp m
e k3t rgurm
l a3r r ,
c) Tek f rekansi,
si,iti"oiO.
t4
Zaman ortamrndan
frekans
f ormi.rl (3-22 ) izleyen
ortamrna
bigimde de yaztlabili
= I s(t)cos (27ttt)dt
s(f)
d6ni,igiim igin
=
s(f)
a(f );
ve
ve
deniri r.
b'ye
a(f)
{.ib(f)
spektrum
s i n i i s d o n t i g i i m i io t a r a k
analizinde
Genlik bagrntr sr (3-23 )
(3-24) numaralr bagrntryla
=
A(f)
e(f)
Fourier
i1e ,
faz
bilinir
katsayrrarr
bagrntr sr
ise
gosterilir.
( 3 - 2 3)
+ b(f)2
a(f)2
I
b(f)
:
ft)clt
-n
K o s i n i . i s d d n i . i g t i r n i ib, ( f ) ;
a
r :
+ i I s(t)sin(2
_co
verilen
(3-24)
arctan
a(f)
Frekans
igersinde
ile
kag
devi r/zaman
bir
yiiksek noktasr
f rekansr
eksenindeki
darganrn
tekrarlandrgr
Frekans
gekil
agrsal
Sintizoidin
kez
olur
kulranrrabilir.
dalganrn
siniizoidar
diger
arasrndaki
belirlenmig
konumubelirlenmig
peryot,da
genlik
birimi
siniizoidal
verilir.
(A) o1up, srf r rIa
g6sterir.
sini.izoidin
o1ur.
bi rirni
(t=L/f)
ile
w=2nf
degerl.eri
oran
ve
96riirdiigii gibi
ise
elemanr
zaman
g6sterilir
yerine
3.2.c,de
frekansr
bi r
fazt
Genlik
ile;
en
ve
zaman
15
Faz agrsr
kargrlrgr
radyan cinsinden verilir
"€=360/ Ztt "
bairntrsr
ve derece
ile
bulunabilir
ortamrnda
sinyali
( complex)
sayrlarla
iglemlerin
yaprlmas:,nr ve gosterilmesini
-
tanrmlayan
gosterimi
.
degigkenlerin
Frekans
karmagrk
spektrum analizde
matemati k
kolaylagt lrtr.
( 3 - 2 s)
isin(wt)
cos(wt)
"-iwt
cinsinden
= \lT_:Tr
1
Cos (wnt)
1 eiwnt + "-iwnt
:
2
( 3 - 2 5)
1
Sin (wnt)
=
-
( siwnt
"-iwnt
2t
Peryodik
olmayan
,sini.izoidrerin
sinyali,
toplamrndan
btitiin
genlik
( 3 - 2 7)
frekanslardaki
olugur ve bunrarrn
b ( t ) ' n i n F o u r i e r d d n i . i S i i m ti il e
spektrunlarr
3.3'de
b( t )
)
spektrumlarrnrn
nasrl
genlik
gekil
verilir.
birer
ve faz
dalgacr!a
ait
oldugunu g6sterir.
@
@
B(f) = J u (tl cos (27rft)dt
_co
iJ
( 3-28 ) numaralr bagrntr, b(t ) sinyalini
olan
bir
siniizoidle
yerine
sini.izoidle,
garprlarak
konuLursa
(3-28)
b(t)cos(znft+eo)dt
-@
sonrada
olugturulur
6 n c e r r 0 r rd e r e c e
r'90rr derece
v e " C o s ( O + 9 0)
fazz
f azt olan bir
=
-sin(O)"
16
-r(
o)
-*.j lOmrl*Frekans
Zaman
Hz
(,o)
Zaman
Frekans
HZ
Zamanortamrnda krsa bir dalgacrk frekans
$ekil 3.3
ortarnrnda genig bir spektruma, uzun bir dalgac:k
frekans ortamrnda dar bir spektruma sahip olur.
I'1
B(f)= i ultlcos(znft)dt
+ i- J u(t)sin(2nfr)dr
-cc
(3-2g)
-@
B(f ) = Re(f ) + rm(f )
Genlik bagrntr sr
B(f)
i
=
faz bagrntr sr
(3-30)
Re(f)2
+ rm(f)2
(3-31)
;
I rm1t1 I
e(f) = arctan [ :-.-^: I
Re(f)
I
geklinde
ifade
edilirse,
t3-32)
I
frekans ortamrnda B(f);
B(f ) = lef r) | eie(f )
olarak
b ( t ) 'yi
(3-33)
verilebilir.
elde etmek igin
sini.izoidler
toplanr r.
@
b(t)
:
! z1n(f) lcos(2nft+0(f) ) df
o
(3-34)
@
b(t)
: i s(r)
-00
Bi r
zaman serisinin
gosterilmesine
deni r.
igin
"-iztft
frekans
frekansrn
ortamrna
Frekans ortamrnda
zaman ortamrna
olugacaktrr.Bu
61
sonsuz
(3-35)
fonksiyonu
d 6 n i i g i . i r ny a
sayrda
da
salrnrmlarrn
spektrum
bilegen
d6ni.igte kagrnrlmaz olarak
olugumuna Gibbs
olarak
orrnadr!r
salrnrmlar
olayr
denir.
18
Bagka bir
deyigle uzaklrk
fonksiyonun
kesilmesi diger
yo1
Frekans
agar.
veya
frekans
ortama gegildiginde
ortamrnda
kesme
fonksiyonu
dikdortgen
fonksiyonunun ddniigiigti olan sinc
yaprlr r
ve
fonksiyonu yerine
Gibbs
olayrna
yumugakbir
inigre
sor
$eklin
At
tarafr
fonksiyonu
olur.
Dikd6rtgen
fonksiyon
ve
gereklidir.
gosterir.
olan
-fn
frekansta
igin
ile
6lgeklemeIer
zaman ortamrna,
sag taraf
gdsterir.
6rnekleme
frekans ortamrnda (t/2tn)
edecekti r , Bunun
ile
kesme yapabilecek
6zerrikreri
fn katlanma frekansrnr
veri
zaman ortamrnda
fonsiyonu bu amagla kullanrlabilecektir.
frekans ortamrna ait
aralrgr
neden
dikdortgen
3.4,de zamanve frekans ortamlarrnda
verilmigtir.
ise
salrnrmlara
meydan vermiyecek bir
Tanjant hiperbolik
$ekil
yapr ldrgrnda,
ile
bir
salrnrmlara
iglemi
(boxcar )
evrigim
ortamrnda
egittir
ve buradaki
Zamanda sorrsuz uzunrukta
fn arasrnda kendisini
6rnekrene
arar r !l
ne
tekrar
kadar
kiigi.ik
segili rse katlanma f rekansrda o kadar biiyiiyecekti r.
Verilerin
enerjileri
veri
zamanve frekans
vardrr
ve birbirine
ortamrnda
egittir.
sonlu
uzunrukta
Buna band srnrrlr
denir.
O
J s(t)2 at
-@
co
: J ls(r) 12 df
-co
<co
( 3 - 3 5)
t9
Prekans
Zaman
-fa
|
-->
X
--*-l 0 ilit
ll11-.--{^'F
fn
?tn
fn
zln
-l-=+Jn
eat
t*
-<-l I
I
l.
--l t-
-
t
rl
t
F
I
f--
++++++l
+++r+rl
lllllll., ------
IIl,||i "'lJll Ill
tl
-fbrr
tl
-?ln -tn
f*
tttt+tl
'lllllll-"lllllll'..
til f l.r
JLItl
tt
I
--._I I 1...1
rL_
J ar I
geki 1 3.4 Zamanve f rekans ortarnr gegiglerindeki
6 n e m li o z e l l i k l e r .
t
l--
20
3.4.
Evrigim
genellikle
Siizgecler
taraflr
sr fr r
dalgacrklarla
degerler
igleme
garprrrp
evrigim
veriligi
fazlt
simetrik
gosterilirler.
toplanarak
denir.
bir
sonraki
ve
Kargrlrklr
adrma
gi ft
gelen
gegiren
bu
E v r i g i m f o r r n i i l i i n i . i nr n a t e m a t i k o l a r a k
96y1edir.
@
y(t)
6ze1 bir
olarak
96sterime sahip
izleyen
veri
olan
( 3 - 3 7)
dr
evrigim
bagrntrsr
simgesel
bigimde yazrlrr:
E
y(t)
Ayrrk
E I x(r).f(t-r)
durumunda evrigim
y( t)
-
( 3-38 )
x(t)*f(t)
t
formiilii
ise
x(r) . f( t-r)
( 3 - 3 9)
T=0
geklinde
verilir.
Evrigimin
bazr
6zelliklerine
bakacak
olursak,
a) Evrigimde-sinyaIle
sonucu degigtirnez
si.izgecin yer degigtirmesi
(commutative) .
x(t)*f(t)=r(t)*x(t)
b) it<iden tu:lg _sinyalin evrigiminde
(associative).
6nemli degildir
iglem sr rasr
lxl ( t) *x2(t) l *x3( t1-*1 ( t) *tx2( t) *x3 ( t ) 1
2t
v/
Ar
t*
/n'
4
i I t?i?
0.6
l? r
w
Jlr
b'/
rYr
9'\P(-50't)*sin(?
.i
0 .4 -
.R(
R(t)
u. i)
i
0 .-2l L
II
o!
-t).:-J
II
i
I
0.
i
0
o5
0
(c)
S(t)=tf(t)'n(t)
,
---------
I'
o.il
l/i"i
..lii^ir1
U;-r
I
-0.51
I'l
j
t
[,,
. y
:'
ti
,i
'i--.
,' '.---l
t
I
,,,,-l'
i
i
U.J
gekil 3.5
Evrigin uygulamalarr , a ) Dalgacrk ile
si,izgegin J b). oalgacrk ile bagka bir dalgaclgrn,
c) Yaratrlan bir dalgacrkla yansrma katsayrlarrnrn
evrigimi sonucu olugan sismiX iz.
tJ-3
22
c) it<i sinyalin toplanr ile si.izgecin evri gimi ,
sinyallerle
siizgecin ayrr ayrt evrigimlerinin
(distributive)
toplanlar rna egittir
.
I *x3( i1-[x1( t) *x3( t) ]+[x2( t) *x3( t) ]
lxl(t)*x2(t)
Zaman ortamrnda
katsayrlarrnrn
artrgla
ters
sismik
Evrigim
si.izgeg agr rlrk
gok uygulanan bir
iz boyunca deligen
Evrigimin
verilebilir;
katsayrlarr
gakrgtrrrlrr.
3.5.c'de
gevrilip
Kargrlrklr
i g l e m s i . i z g e ga g r r l r k
uygulanaya
ve
olarak
yaprlrr.
gdyle
olarak
96riildiigii giLri stizgeg airrlrk
degerler
sinyalin
garprlarak
iIk
son bu1ur.
garprlrr,
(x(t) ) ve siizgecin(f(t)
x(t)
fazla
Bu uygulama sismik
nekanik
katsayrlarrnrn
(anplitude)
zamanla
Birden
yaprlan
baglr
son terimi
yaprlmasryla
terimininde
agrrlrk
uygulamaya
ydntemdir.
hesaplanmasl
ters
siizgeg
si.izgegleme denilir
frekans igerigine
gekil
bir
kullanrlarak
variant)
iglemdir.
bir
s i . i z g e c l e m ed e n i r .
(time
da zamanla degigen
tek
bir
(gekil
olugturulur
yaprlan
katsayrlarr
agrrlrk
ve sabit
(linear)
dogrusal
kullanrlarak
sijzgeg
aralrklarla
gegirilerek
de!igmeyen (tirne invariant)
genlikler
egit
ti.im zamanr boyunca
katsayrlarr
genellikle
siizgegleme,
gevrilip
izlerden
3.5.a,3.5.b).
Sismik izin
sayrsal
fazlar
) Fourier
giftleri
terirni
ilk
ve bu
toplanlr
iIe
ile
terimi
izin
son
Frekans ortamrnda ise
toplanrr.
Girigin
goyle verilirse;
f(r)
Zaman ortamrndaki
evrigim,
frekans
ortamrnda
garpmaya
egdelerdi r.
x(t)*9191
( 3 - 4 0)
zs
3.5.
Ayrrtitagtrrma
Verilen
bi r
noktalarrnda
X( t )
(discrete )
ayrrk
orneklene (sampling)
3.6.b).
zamanrn
fonksiyonun
adr
zamanda 6rnekleme,
(gekil
fonksiyonu
6rneklenmesine frekansta
ornekleme denir.
bilgi
konusunu
analizinin
verilerin
temel
kaydedildigi
3.5.a
olan verilerin
frekansrn
gekil
ve
6rneklenmesine
verilerin
olan
drnekleme sayrsal
olugturdugu
ileri
aletlerde
etmeye
elde
degerlerini
verilir
fonksiyonu
tanrmlanmr g
onceden
igin
bir
sismik
di.izeyde
kullanr Imaktadrr.
6rnekleme
tagrdrgr
de
temel
bi 19i Ie ri
Ayrrklagtr rmada igerik
olmamasr igin
amag;
sayr saI
kaybrnrn
siirekli ( analog )
6rnekleme aralr!r
d6niigti.irmektir.
hale
veya
sinyalin
igerik
eklenmesinin
segirni 6nemlidir,
ve gdyle
verilir.
( 3-41 )
N
6rneklerne aralr!r,
yiiksek
frekansrn
bi r sintisiin
sinyal
iizerinde
fonksiyonudur.
degigik
6rneklerne sayrlarr
2A|'-
6rneklerne
96riilmektedir.
betirlenebilen
$eki1 3.5.c'de
zamanlarryla
elde
en
20 Hz,Iik
edilmig
24
dt=0.001 sn
l
J
I
I
I
I
I
I
I
020
60
(c.
d t = 0 . 0 0 Bs n
lr
dl=0.016 srr
I
0 . 5*
l
ol
- r. ., ,- l1I
-1i
$eki1 3.6 6rnekleme, o) 100 Hz sini.isiin DT=8 Msn ile,
b ) 100 Hz sini.istin DT=4 Msn ile 6rneklenmesi ve katlanma,
c) Belli
bir frekanstaki
sini,isiin degigik
araLrklarda
orneklenmesi.
25
6rnekleme konusu, dolrusal
(Boltim
4.l-'de )
Sismik sinyalin
liniti
500
f ormtillerle
,2 ms
Uygulanada
giiri.iltiller
6rneklenen
sinyalin
belirlenir.
Bu
ise
katlanma
d6rtte
igin
igin
250 Hz,
slnl rlnln
teorj.k
2 ms
altrnda
L25 Hz
frekans
dolayr,
bir
slnr r
yarrst
veya
6rnekleme aralr!r
L ms
frekanslntn
biridir.
r.
L25 Hz olur.
problernlerden
gegitli
ornekleme aralrgrnrn
yijksek
ise
250 Hz ve 4 ms ise
ve
srnr r
1 ms
iginde
galrgrlmrgtr
acrklanmaya
6rnekleme aralr!r
Hz
konusunun
stizgegler
ve
4 ms
igin
62.5 Hz
birinin
segimi
kullanr 1r r.
Kullanrlacak
igin
galrgna
Genelde
edilmesi
1
amacrmrzln
ms
ve
ornekleme
aralrklarrndan
belirlenmig
6rneklemei aralr!ryla
saklanmasr
2 ms
6rnekleme
aralr!r
Sismik veri
kullanrlarak
den ytiksek f rekansa ihtiyag
segilebili
yoksa
veri,
tagrdrgr
kaydr
yaprlrr.
6rnekleme
kayrL
igin
gogunlukla
EQer, G2 Hz
aral:,!r
4 ms
r.
Si.irekIi sinyaller
sinyaller
belirli
spektral
analizde
frekans
alrnan
agrsrndan problenler
ozel galrgmalarda kullanrlrr.
gereklidir.
olmasr
bir
-o<f<+co
srnrra
temer
ortamrna igerigini
eklemeden tag ryabilmekti r.
arasrnda
degigirken
kadar (at=L/2f")bilgi
ilke
sinyari
yitirmeden
zaman
iyrrk
tagrrlar.
ortamrndan
ve gergek drgr
igerik
zo
Bu iglemin dogru
a) Verinin
6rnekleme aralr!rolan
gekilde
b) Veri
igerecek
ti.imbil9ileri
segilrnig olmalrdr r.
algak frekanslarla
c) Verinin
kullanrlan
hale getirilmesinde
sayrsal
verinin
vardr r.
yarar
bilinnesinde
ozelliklerinin
istatistik
igin
yaprlabilmesi
gekilde
bir
m a s k e l e n m e m i go l r n a l r d r r .
getirece!i,
sonlu uzunlukta olmaslnln
spektrumun dtizlenmesi ve verinin
siireksiz
gekilde
problem'lere
kesilmesinden olugacak Gibbs olayr
neden olacaktr r.
Frekans
bilegenlerinden
degigik
analizinde,
bir
siniizoidlerin
verilmigtir.
sinyalin
tanesine
gegitli
sinijzoid denir
frekanslardaki
ve $ekil
toplanmasryla olugturularr
3.7 ile
dalgacrklar
27
oT
I
I 0-
-l
'I
I
-0.
-0.05
0
-0.I
0.05
!
-0.05
0
0.05
Zanlan (sn)
1o\
sinus(31-lJg)
II
ll
i[0T
-
0l
- r. l
,l
I
I0r
'l
al
,,''t,,,
/,'\r,
\
i'-
Zaman (sn)
loi
I
_l
I
1t
0t-
5lI
-l 0l
I
I
-l
c.
I
II
'I
o
srntrsi?l-?7)
I
i
-2n
I
il ,l^
\/
j
J-
L
V'\.^.
I
I
101
-0
-0,1
-0.05
0
0.05
0.1
Z a n - r a n( s n )
l0
c o s {l 0 - 1 5 )
!
-0.05
0
Zaman (sn)
lo
-0.1
0.05
-0.05
0
0.05
0.1
Z i r t r r i r n( s n )
(b)
!oil:)-tul
c o s ( 3 1 - : 1 9)
3
.t0
0
? 0I
I
I
I
-0.1
-0.05
0
Zilnrrllr (sIrl
0.05
Z i r t r r . r t ti ' r r )
$ekiI 3.7 Siniizoidlere 6rnek olarak, a ) Siniislerin
iS-SO Hz) arasr toplanmasrndan olugan, b) Kosiniislerin
( 5-50 Hzl arasr toplanmasrndan olugan dalgacrklar yapay
sijzgeg uygulanalarr igin kullanrlnrgtr r.
28
4.
suzGE9LER
Dogrusal (linear ) Stizgegler
4.1
Jeofizigin
ayr rlmrnr
gegitli
yapabilmek
kullanr rmaktadr r.
olarak
teoriye
a d l a n d : ,r r l r r
verilebili
degigik
genel
en
ise
evrigim
hali
si.izgegler
tig
rlar.
boyutlu
Jeofizikte
verireri
tek boyutlu
iki
si.izgegler
gergeklegtirirrer.
ayrrlmrnl
arasrndaki
veya
ve manyetik
sismik veriler
gi.iri.i1ti.i
ve
6zerrikri
iki
kullanrlr
dayarr gravite
ve
igreni
analitik
iri
s i . i z g e g r e m eo l a r a k
olarak
g6yle
r.
@
@
f (x, y)
:T
-@
verilen
ve
sinyal-giiriilti.i
veriler
sinyar
Bu siizgegler bi r,
stizgegrer,
kullanarak
boyutru
amacryla
olugturulurlar
potansiyel
boyutru
dallarrnda
(4-1)
6rneklenmig
t
I g (a, b)
bagrntrslnln
verirer
evrigim integrali
f(x,y)
elde edilir.
stizgegler
(4-1)
h (x-a, y-b) dadb
.-@
g6zi.inii igin
gerekridir.
it<i
sonlu
uzunlukta
boyutru
anaritik
sayrsal halde yeniden yazrlrrsa,
p-1 r-1
= I
g(a,b)
I
a:O b=0
h(x-a,y-b)
uygurandrklarr
verirerin
i s t e n m e y e nk r s r m l a r r n g r k a r r l n a l a r r n r
( 4- 2)
enerjilerinden
sailarlar.
29
Bu ozellikleri
nedeniyle
olacaklardrr.
$ekil
siizgeg tepki
dogrusal
siizgeglerin
de frekans ve zaman ortamlarrnda
4.L
fonksiyonlarr
bir
Sismik izlerimizi
96riilmektedir.
sistem grkrgr
davranrglarr
azaltmrg
enerjilerini
verilerin
olarak
i1e verilebilir.
integrali
evrigim
Dogrusal
ele alabiliriz.
co
f (x) : I
(4-3 )
g(u) h(x-u)du
-@
f(x)=
( 4-4 )
9(x)*h(x)
Bu formi.illerden de 96ri.ilecegi gibi
grkrgrnr
veren
bir
girigine
bir
sistem
olarak
6ze11ikle
grkrg
do!rusaI
sistem
f (x)
g(x),
diigiiniil ebi 1i r .
Stizgegler
verilerine
sistemin
bir
girig
istenen
verisinin
gevrilmesinde
kullanrIr
pargasr olarak,
dolrusallrk
Dogrusallrk
gartlarr
a: Dolrusal
sistemlerde
9(x)
-
rlar.
Bulunduklarr
gartlarrna
uyarl-ar.
gdyle verilebilir:
girig
yoksa grkrg da yoktur.
r 0
f(x)
b: Girig bir katsayr ile
katsayr iIe toplannrg
toplanmrg ise grkrg da aynr
olarak elde edilir.
a+9L(x)
c: Girig bir katsayr ile garprlmrg ise grkrg da aynr
katsayr ile garprlmrg olarak elde edilir.
ag(x) --->
af(x)
d: Girig bir katsayr kadar kaymrg ise grkrg da aynr
katsayl kadar kaymrg olarak elde edilir.
g(x-a)
--->
f(x-a)
30
I
a.E
l'''1,^,,*F(0\
I
l-------r
----->
|
I .. l-*
-|J|-\-+e ltl l
.---------_-
ij
t l-\)
$eki1.4.1
g r u s a ls t i z g e g l e r , a ) p r e k a n s o r t a m r n d a
g e n l i k v e f_aDz o
-spektrunliri,
l,i Zanan oilirrnda
t e p k i f o n k s i y o n u n u n s t i z g e g i e n m e s i n l e n - o i J i " " a abr gi rii-ni r < .
31
Siizgeg olugturulmasrnda
grkrgrnr
veren
h(x)'in
girlg
9(x)
girigine
f(x)
sayrsal
amaca uygun olarak
Evrigim
sorun
verisi
sayrsal
grkrgrnr
olarak yazrlnrg
gegerlidir.
6rneklenerek
orarak
igin
bir
g(x)'in
noktasrndaki
delerini
x noktasrndaki
sayrsal
gu integral
sayrsal
fonksiyonu
giriginin
grkmaktadrr.
olan denklem
si.irekli
olan fonksiyonlar
sayrsar
orarakr
!ani
yeniden elde edirirrer.
siirekli
tepki
grkar.
g(x)
siizgeg
sijrekli
birirn
herhangi bir
oldulundan,
veren h(x)
fonksiyonun
x=0
karglmtza
onemi ortaya
igin
deieri
olarak
f(x)
adlandrrrlan
6rnekrennesinin
fonksiyonlar
her
,x'in
olarak
Bu durumda 9(x)
zaman aralrklarryla
sayrsal
istenen
saptanrnarrdrr.
integrari
fonksiyonlar
egit
temel
sayrsal
olarak
girigine,
si.izgeg fonksiyonu
saptanmasr
Burada
da
ve
g(x)
fonksiyon
r (x)
fonksiyonu
9(x)
olsun,
ire
integrali
verecektir.
delerini
bu
g(x)'in
erde etmek igin
yaztlabilir.
@
g (A x) =
(4-s)
J g (x) I (x-Ax) dx
-@
g(x)'i
gok
x aralrkrr
bi rim
noktalarda
6rnekreyebirmek
fonksiyonu
bi rrikte
tepki
fonksiyonu olugturularak
yaprlabilir.Tarak
igin
birden
kullanr larak
tarak
fonksiyonu
g6yle
verilir;
@
T(rnAx) = I
r(x-Ax)
m=-co
(4-6)
32
Herhangi
silrekli
bi r
fonksiyonu
sayr sa1
geti recek
hale
formill i se,
g(x)T(rnAx) :Ig(nAx)I(x-mAx)
m:-'o
g(mAx) :
geklinde verilebili
r.
( 4-5) numaralr
ortamrnda evrigime
c(f)
bagrntrdaki
garprm
iglemleri
frekans
d 6 n i . i g e c e k t ir .
* r(k^f)
Buradaki T(kAf ) T(rnAx)'in G(f ) iee g(x),in
dciniigiigi.idiir.
(4-7)
Tarak
fonksiyonuyla
kuramsal
evrigim
o
Fourier
f onksiyonun
tekrarlanmasrna neden olacakt: r.
co
G(f)
=
* T(kAf)
(4-8)
z, G(f-k^f)
k:-cx:
Z a m a no r t a m r n d a " a * "
tekrarlanma
iizerine
nedeniyle
binecek
kalkacaktrr.
kadar kiigi.ik segirmez ise bu
yenilenmig
G(f ) , i
ve
Bu
yeteri
oraya
c(f)
fonksiyonlarr
saptama
olanagr
(ariasing)
katranma
birbiri
ortadan
denir
($ekit
3.5.a-b).
verilen
frekansa
drnekleme
Nyquist
veya
ararrir
ire
katlanma (aliasing)
Bu f rekanstan daha biiyi.ik f rekanslar
yok
olmayrp
bi r
takrm
binmig
faklr
etkiler
oran
bu
belirlenen
frekanslarda
olarak
orumsuz
agamasrndayok edilemezler.
frekansr
cjrnekleme igremi
sinyar
iizerinde
96ri.irecekti r.
etkiler
yi.iksek
veri
denir.
boyunca
istenmeyen
sinyal
tizerine
iglenin
higbir
33
4.2.
Sirzgeg Qegitleri
Si.izgegler degigik
olugturulabilirler.
d:
o
AIgak gegigli
siizgegler
Gegirim bandr 0 -
bir
beg
srfrr
siizgecin
genlik
gekilde
(AGS
(yGS
(BGS
(BDS
( A G S) :
f L arasrnda bi r,
olan bir
ideal
g6yle verebiliriz;
Algak gegigli si.izgeg
Y i . i k s e kg e g i g l i s i i z g e g
Band gegi g1i si.izgeg
Band durdurucu siizgeg
$entik (notch ) siizgeg
a:
krsrmlarrnda
igin
Bu siizgegleri
h
a :
arnaglar
f1
siizgegtir.
den
bi.iyiik olan
Algak gegigli
spektrumu
ideal
4.2.a,
$ekil
rja
g6sterilmigtir.
b :
Y i . i k s e kg e g i g l i
igin
stizgegin genlik
0,
f>f1
srfrr
(f f 1
=
yi.iksek gegigli
yiiksek f rekanslar
yiiksek
olurrar.
spektrumu gekil
H(f)
(4-e)
(yGS):
siizgegin tersine,
f rekansrndan
frekanslar
0<f<f1
siizgegler
Algak gegigri
kesme
L,
E
H(f)
4.2.b,
0,
0<f<f1
L,
fn>f>fl
f1 ; Kesmefrekansr
fni
Katlanma frekansr
igin
gegigri
siizgeg
bi r,
ideal
ki.igi.ik
bir
de 96sterilmigtir.
( Cut-off
( Nyquist
( 4-10 )
frequency )
frequency )
34
Genl ik
(a)
fT-
Frekans
Genli k
(b)
Frekans
f1
G e n Ii k
(c)
Frekans
fi.
fh--
G e n Ii k
(d)
Fr e k a n s
tl
GenIi k
(e)
Frekans
genlik
gekiJ- 4.2 Si.izgeglerde kullanrlan
ideal
a) Algak gegigli,
b) Ytiksek 9egig1i,
spektrumlarr,
c) Band gegigli, d) Band durdurucu, e) Qentik (notch)
35
c :
Band gegigli
siizgegler (BGS):
Band 9egi91i
farkr
ile
gegigli
kesme
siizgegler,
elde
gegigli
algak
edilebilirrer.
it<i
( fh)
frekansrna
durdurma
ve
dersek,
bir
degerini
bandrnr olugturur
idear bir
bu
siizgecin genrik
(f f 1
band
band
ytiksek
ve
( f1-fh)
gegirim
Diger
krsrmlar
arrr.
ve srfrr
siizgecin
kesme frekanslr
si.izgeglerin algak kesme f rekansrna
bandrnr olugturur
gegigli
iki
degerini
alrrrar.
Band
spektrurnu gekiL 4.2.c,
de
gosterilmigtir.
0,
0<f<fl
ve
f>fh
( 4-11 )
(Low cut-off
frequency
(High cut-off
frequeniy
Band durdurucu si.izgegler (BDS):
Band gegigli
durdurucu
ideal
fI<f<fh
; A1gak.kesme frekansr
; Ytiksek kesme frekansr
f}
fh
d :
L,
=
H(f)
bir
siizgeglerin
si.izgeglerin iki
siizgegin
tersi
olarak
elde edilen
gegig bandr vardr r.
genlik
spektrumu
band
Band gegigli
gekil
4.2.d'
de
gosterilmigtir.
0rfl
H(f)
t,
e :
gentik
0< f<fI
(notch)stizgegleri
Verilen
tip
f<fh
-
bir
siizgeglerin
gosterilmigtir.
tek frekansr
ideal
( 4-L2)
ve
f>fh
:
yok etmek igin
genlik
spektrumu
olugturulan
gekil
4 .2.e,
bu
de
35
4.3.
K u l l a n r l a n S i i z g e gg e S i t l e r i
Sismik verilerin
yontemlerin
k u l l a n r l m a sr y l a
azaltrlabilir.
ytizey
gi.iriiltti
kaydr anrnda
6rne!in;
dalgalarr
serimleriyle
srnt rlr
miktar
serimleriyle
degigik
ya da
s6ni.imlenebilir
frekanslarr
bir
belirli
alrcrlarrn
fizikse]
oranr
atr glarrn
degigik
veriler
elde
toplanmasryla
olugan
olan
edilebilmesi.
SinyaI ve giiriilti.i spektrumlarrnrn
verilerde,
frekans
sinyalin
ortamlarrndan birinde
gereklidir.
olmasr
etkili
siizgeglerin
Kayrt
edilen
veri
nedeniyle
birisi
degerlerinin
srfrr
bir
kullanrlan
stzgegler
gelir.
zamandan6ncesinin
fazlr
olugturulabilmesi,
analog
siizgeglere
olarak
bilinmektedir.Bu
baglrca
siizgegler
ve
siizgegler
m i i m k i . i no l m a k t a d l r v e
bilinmemesi
fazlr
ayrrlabilir
ayrrmrnda
ti.p siizgeglerin
yaprlamamasrnrn
anrnda
krsrmlarrn
srfrr
Bu
zaman ya da
igin
faz\r
belirli
si.izgeglerin
iisti.inltiklerinden
6nceki
srfr r
sayr sal olarak bilir:mesiyle
sayr sal
kayrt
bagrnda
bilinnesiyle
olugturulabilirler.
da
istenen
Sinyal-giirilItii
verilerin
sonrastnrn
verinin
gtiglendirilebilmesi
olan
en bilyi.ik
iglemin
nedeni kayrt
veya
yerine
bu
srfr r
anrndan
olmasr
minimum fazlr
siizgegler kullanrlmasrdr r.
Veri-ig1em
Butterworth,
nerkezlerinde
ornsby gibi
gegitri
sinyal-giiriilti.i
ayrrrmrnda
stizgegler kullanrrmaktadrr.
37
F r e k a n s o r t a m r n d a B u t t e r w o r t h s i . i z g e c i n i . ng e n l i k
I
\l
:\
(f)
B
B
geklinde
verilir.
yi.iksek kesme
gegirim
(4-13)
r+ (rr/ f12n
Burada
3,+( f / r z12n
f1
frekansrnr
frekans egimini
algak
n
,
gostermektedir.
b a n dt
20-60 Hz,
ise
elimi
gegigli
band
geki L
dalgacrklarr
ile
paremetrelerle
kurulacak
kargr lagtr rmalar yaprlabili
Ormsby siizgecinin
kesme
frekansrnr,
algak
ve yiiksek kesme
6rnek olarak
uygulanan Butterworth
4 .4
spektrumu;
tanjant
gekil
6,36,72 dBloct
si.izgecinin
ile
olarak
spektrumu,
B e n z er
verilmigtir.
hiperbolik
4.3
t2
si.izgeglerle
r.
spektrumu grafik
olarak
verilirse;
Genli k
,la
/
/l
t\
|
t\
/ll\Frekans
-fI-t-rilf?tOrmsby si.izgecinin zaman ortamr ndaki
o (r)
cos ( 2nf:.t) -cos (2xf2E)
1
F
=
B
-
-
-
-
f ormiilii i se ;
-
f2-fr
zn 2 t2
cos ( 2nf3t-) -cos (znf4|-)
( 4-14 )
f4 -f3
(4-L4)
bandrnr,
frekans
bagrntrsr
fL-f2
iIe
verilir.
Bagrntrda
algak f rekans kesme egimini ,
kesme
egimini
amacryla uygulanalar
g6stermektedir.
daha sonra verilecektir.
t2-f3
gegirirn
f3-f 4 ise yi..iksek
Kargrlagtlrma
38
FILTER
O .t g A W a i + A l
F II-TER
g.|O?@AAE+El
s
s!l
+io-;
f-
((iUJ
C]
l
F
trn
s
s-
NORIIFLIZNTION
ts)T)k(o
(o
c.)
cr;
cr)
LLJ
C
:l
F
J
o_
S
T
CI
a
NORI1RLIZPTION
s-
t
isrTd(o
)(d
(o
cr)
cr-)
ca
co
LLI
O
l
F
-'J
s
t
C
-17
c_ s
so
75
( HZ]
FRIOUENCY
gekil 4. 3 Butterworth
tipi
siizgegin egimleri
6,36,72 dbloct ve gegirim bandt 20-60 Hz olan band
gegigli
siizgeglerin
frekans
spektrumlarr.
39
I U N I T=
9.569126E-A2
cr)
I
trJ
O
:l
Fs
HS
JG;
LtS
t'o.ga
49.98
ts
. a g.
I UIIIT =
€
.og
g.1wtztE-a
ca
tl.l
O
:l
F
J
ml
+l
o_
E
(I
8g
6s.ga
=
I IINIT =
s)
B0.gg
9.356r5/E-8?
9r
(r)
(r)
LTJ
r]
=
F
J
o_
=
I
gg
aa
,au
TTMtr
I I I tL
10.99
(HILS)
o . g Er
*10
89.o0
$eki! 4.4 zaman ortamrndaki dalgacrklar
verilen paremetrel_er1e bulunmug[.ur.
g' e k i l
4.3,de
40
Tanjant hiperbolik
gecigli
siizgeglerin
siizgeg uygulamalarr
Boliim-6'da
verilen
igin
atrgrn
gostermektedir
($ekil
kargr lagtt rma
yapr larak
4.5).
zanan
algak
alrnan
gecigIi
gercek atazi
900-1100
msn'1er
B6ltim-5'deki
ve
ve
frekans
band
verisi,
arasrnr
uygulamalarla
ortamlarrndaki
gozlemlenebilir.
tepkileri
s
s
e
N O R I I F L I Z F T ] O N -F ] L T E R
t U N I T'
E,!8OO66E+O\
L.IJ
=
F
J
o_
t
( HZ)
FREGUENCY
gekil 4.5 Tanjant hiperbolik siizgeglerin test edilmesi
igin alrnan gercek arazi atrg verisi
0.9-1.1 Sn,ler
arasr ve altta
spekrumu gorirlmektedir.
4t
5.
T AN JA N Tn i p sn e o l i x
5.1.
Kullanrlan
sr izcegt,nR
TemeI Formtiller
" F a s t H A N K E LT r a n s f o r m " ( J o h a n s e n a n d S o r o n s e n , t 9 7 g )
tanjant
hiperborik
kullanrlmrg.
fonksiyonlarr
pencerereme
Aynr fonksiyonun siizgeg olarak
diigiiniirmiigttir.
Bu amag igin
'da
amacryla
kullanrlabilecegi
gereken bairntrlar
agagrdaki
gibi
grkarrlabilir.
Frekans ortamrndaki pencereleme fonksiyonu;
L
= --2
P(f)
tanht --- ( f +
a2
)l
tanht --- ( t a2
)l
(s-1)
Zamanortamrndaki pencereleme fonksiyonu ise;
P(t)=
a
I sin
I sinh
geklinde verilmigti
(nt)
(nat
)
]
(s-2)
]
r.
Pencereleme fonksiyonu orarak
(5-1)
bagrntrlar
verilebilir.Bu
formiilrerde
sabit
kesme e!imini
kontrol
orup
srnrrlarr
96yIe verilebilir;
(5-2)
ve
96ri.ilen
eder.
a
numaralr
a, kiigi.ikbir
parametresinin
42
a stizgeci
0
tanh(m1 = 1
ise
(boxcar)
dikd6rtgen
d i . i g e nb i r
ifi
pencereleme
tanrmlanmrg
stizgeglerin
iki
tersi
ve hrzla
konumundaise
kesrneegimine sahip olacaktrr.
fonksiyonunun
band
birbirinden
gegirmek
arasrnr
olugturulmasrnr
Algak Gegirinli
sallar1ar,
olan
igin
farkr,
kullanrLan
bu ti.ir si.izgeglere
band
(l,ow-pass) Siizgeglerin Olugturulmasr:
Pencereleme fonksiyonlarr
diigi.ini.ilebilir.
den
sallernmrg
olur.
fl'ye
siizgeg
iglemler
olugturulmasr
kadar
Verilen
gegi rimli
edilerek
algak gegigli
ASagrdaki forni.illerin
bandr, -f1
alga!<
a'nin
gelir
(band-pass) siizgegler denir.
gegirici
5.2.
hiperbolik
tanjant
fonksiyonu gekline
kesme egimine sahip olur.
y a v a g d i . i g e nb i r
egri,
olacagrndan
olan
bir
olarak
elde edilmesinde
frekans
gegirilmesi
frekanslartn
(ffy
kesme frekansrndan
f rekans
ortamrnda
yaprlr r.
frekans-zaman
stizgegler
Algak
simetrik
gegigli
donUgi.imleri
d 6 n i . i g i . i m t i n i i nk a y m a v e z a m a n 6 l g e k I e n e
6zellikleri
olugan
kabul
si.izgeglerin
iIe
Fourier
kullanrlarak
yaprlabilir.
(s-3)
h(t )
Burada h(t)
zaman ortamrnr,
H(f)
frekans ortamrnr
g6sterrnektedir.
43
(1965) '
BracewelI
zamanve frekans
ortamlarrnr
( s a y f a 3 5 5)
gif tinde
d6ni.igi.im
r,n verdigi
yer degigtirerek,
l_
h(r) :
sinhInt]
elde edilebilir.
k bir
sabit
Fourier
d d n i . i g i i m i i n i i6
nI g e k I e m e o z e l 1 i g i ,
olmak i.izere
I
(kt)
f
(s-s)
k
ba!rntrsr
sayrsr
h(t)
i1e verilir.
ile
:
(5-4) denkleminde frekansr
?rf
ik
---------
elde edilebilir.
iIe
k
k yerine
2afL yazrlrr
ve
her iki
taraf
garprlrrsa,
iaf
h(t)
k
bolerek,
sinh[nkt]
I/2
bir
l-
=
l-
sinh [ 2ratf1 ]
bulunabilir.
ortamlarrna
Algak gegigli
nft
| (s-7)
2af1 |
si.izgeglerin zaman ve frekans
d6ni.igiimleri (5-7) bagrntrsryla
yaprlabilir.
44
Algak gegigli
siizgeg frekans ortamrnda,
ile
-
= H(f+f1)
H (f)
L
verilebilece!inden,
(s-8)
H(f-f1)
Algak gegigli
siizgecin genlik
spekturumunu
H (f)
L2
l_
---
:
I n(f+f]-)l
tanh
- tanh
i n(f-f1)
2af1,
olan algak
Fourier
gekil
5.1'de
sol
yukarrdan agairya
gegi rinli
(s-e)
2afI
geklinde tanrmlayabiliriz.
bandr 0-20 Hz elinleri
l
tarafta
dogru a=0.L,0.5,1..0
si.izgeglerin spektrumlarr
d o n i . i g i . i r n i . i n tki n
ayma ( shift)
gegirim
cizelliii
verilrnigti
r.
;
i2ntf]h(t)e
-i27rf tE
( 5-11 )
h(t)e
kuIIanrlarak,
h (t)
L
olarak
(5-9)
= h(t)
bagrntrslnln
-i2nf 1t
(5-12),
-i2rf
h (t)
L
olur.
=h(t)
- h(r)
e
bulunabilir.
h(t)
1t
[ e
(5-L3) bagrntrsr
zaman ortamrndaki
agrlarak
izTcf]-t
e
( s - 1 2)
parentezine
i2nf r-t
e
yazrlrrsa:
kargrlr!r,
]
alrnrrsa
(5-13)
45
Zaman
Frekans
50
9( " I i 1 ^ 5 : 1 - T a n j a n t ^ h i p e r b o l i k - s i i z g e g l e r i n e g i m l e r i
a 1 = a 2 = Q. 1 , 0 . 5 , 1 . 0 ) b a n d r 0 - 2 0 H ; 6 t a n a l c i k q e c i s I i
siizgegreri..
frekans spekrrumurarrnrn ve aiigaE;ii;irnm
srrayla veriligi.
Hz.
46
(t)
h
= h (t)
L
C o s ( 2 7 t fl t )
(t)
h
isin (znf:.t)
isin (zftf1t)
[ cos (2nf lt)
-cos (2nfLt)
1er bi rbi rini
= h(t)
(-2i)
( 5-14 )
I
g6tiiri.irle r .
(s-1s)
sin(2nfrt)
L
yerine
h( t)
h(r)
konulursa,
( s - 1 5)
sinh [ 2natf1 ]
L
ve
(-2i)sin(znfIt)
iaf1
:
sadelegtirilirse,
(t)
h
:
sin (2rf1t)
L
sinh (2natf1)
bulurrmug olur
( B a g o k u r 1 9 8 4) .
Bulunan (5-17) bagrntrsr
stizgeg
( s - 1 7)
2afA
(5-9)
fonksiyonunu,
algak gegirimli
frekansrnr
bagrntrsr
a ise kesme frekansr
fazh dr r. $eki1
parametrelerle
ise
siizgeg fonksiyonunu g6sterir.
ortamrnda elde edilen
dalgacrklarr
zaman ortamrnda algak
5. f
elde
dalgacrk
in
sol
edilmig
verilmi gti r.
egimini
srfrra
frekans ortamrnda
Burada f1 kesme
96,stermektedir.
g6re simetrik
taraf rnda
olan
gegirimli
algak
yukarrda
gegigli
ve
Zaman
srfrr
verilen
siizgeg
47
$eki1 5.2'de
uygulanarak
yukardan
gegigli
siizgeg
grktrlarda
0-20 Hz gegirim
bandr ve
egimler
d=1.0,0.5,0. L
olarak
arazi verisi
elde
edilen
aSagrya
iizerine
dogru
kullanrlmrgtrr.
Bunlara
ait
algak
spektrumlar
$eki1
5.3,de
verilmigtir.
Eger a katsayrsr
gok
( 5-9 )
ile
olacagrndan,
genlik
stizgecin
ktgiik
degerler
verilen
spektrumu
alrrsa,
tanh(.o)=1
si.izgeg spektrumu,
olan
dikdortgen
ideal
fonksiyonuna
yaklag r r .
Z a m a no r t a m r n d a i s e ,
h (t)
L
igin
( 5-19 )
2natfl-
=
bagrntrsr
( s - 1 8)
0
a n r n k i i g i . i kd e g e r l e r i
(2natf1)
sinh
olaca!rndan,
a --->
E rect(f)
H (f)
L
ideal
siizgecin zaman ifadesine
yaklagr r.
sin ( 2nf1,t)
sin ( 2nfat-)
:
h (t)
--'-
2afl
(5-20)
N
I
6nerilen
si.izgeg ile
kargrlagtrrrlrrsa
srfrr
sinh(2natf1)
ideal
ozellik
t-0
ideal
igin
tarafrndan
fonksiyonu
aynrdrr.
zamanrnrn
btiytiyece!inden, h ( t)'nin
stizgegten gok daha hrzlr
tanjant
siizgeg
Bu
kontrol
t
hiperbolik
sijzgegin Uret j.lmesine izin
a-->0
zaman
sayrsal degerreri
ordugu absis deierreri
fonk si yonu
hrzlr
7tt
s inh ( 2natfL )
L
durum
sin(Znf]-t)
edilmektedi r.
artmasr
gekilde
s i . i z g e gi l e
verir
ve her ikisinin
ile
ossilasyonlarrnrn
bir
b6lgesinde
($ekit
t'den
Ancak,
daha
genlikleri,
s6necektir.
Bu
zamandadaha krsa bir
5-1).
48
$eki1 5.2 Arazi
yar- ijzerine gekil 5-1,de verilen
p a r e m e t r e l e r l e s It u
i z g e g l e r i n u y g u l a m a sr .
49
LI
(:l
l
F
J
F
o_N
t qt
c
L
Lrl
O
l
F
J
o_
T
CI
f--
L.IJ
O
f
F
l19
n(s
t * { q"
;F
(HZ]
FRTOUENCY
$ e ki 1 5 . 3 A r a z i v e r i s i n d e n g e k i l 5 - 1 ' d e k i p a r e n e t r e l e r l e
bulunmug spektrumlar $eki1 5-2'deki srrayla
verilmigtir.
50
5.3
(band-pass) Stizgeglerin Olugturulmasr :
Band Gegirimli
Algak gegigli
band
gegigli
siizgegin frekans ortamrnda farklarr
si.izgegler
igin
yazrlrp
:
(f)
B2
bagrntrsr,
farklarr
1
H
olugturulabilinir.
tanrmlayan ( 5-9 )
stizgegleri
frekans
iki
f rekansrnr,
[7r(f+f1) ]
-2at(f2-il-)
ba!rntrsr
Femasl
tarafta
al"
argak
kesme f rekansr e!imini,
gostermektedi r.
verilen
iki
verilmigtir.
algak frekansrr
band gegigli
siizgeci
algak
$ekil
bandr,
5.5
ile
a1=a2=0.1,0.5,1.0
verilmigtir.
a1=0.1
ve
spektrumlar
( 5-21 )
iIe
gegi 91i
iki
ve
spektrumun
bandr
5.4
siizgeg
eldesi
igin
yiiksek frekansrr, sa!
tarafta
a2=0.5
kesme
a2 ise yiiksek
spektrumun
orugturmaktadrr
gegirim
olan
gekil
gegirimli
Bu
yi.iksek
f2
algak
siizgeg
sor
spektrumu 96riilmektedir.
gegirim
siizgeg tanrmlanabilir.
kesme f rekansrnr,
ile
(s-27)
2a1(f 2-f 1)
algak
spektrumlarrndan band gegigli
akrg
[7r(f-f1_)]
+ tanh
f1
kesrne frekans r egimini
iki
2a2 (fz-f]-)
frekans ortamrnda band gegigli
( gekil 5.4 ) .
Burada
gibi
fZ
Llr(f-f2))
- tanh
2a2(f2-fL)
tanh
ve
alrnrrsa,
[,r(f+f2) ]
tanh
gegigli
algak
f l"
i1e
si.izgecin
gekrin
eldesinde
egirnleri
en altrnda
L0-50 Hz
kullanrlrnrgtrr.
20-60 Hz,
yukarrdan
farkr
eiimleri
agagrya dogru
51
tr[
6l
ru[
el
Nl
I
6l
rl
PI
--t
Nl
^l
I
i1
FI
-l-
+--
ql
;l
;.--l
l
ol
el
I
T--
.L
l_
I
t--
J-I
.r_-
I
r
- F
l -
T--
f - -
+
15.
Y
6tr
J
z
U
6
6-
a
6;-
25
FREXFT\E
gekil 5.4 Frekans ortamrnda band
gegigli tanjant
hiperbolik
siizgeglerin olugturuJ.masrnr g6steren
akrg gemasr.
1e5.
52
NCRrlFi_lz€Tl0fi
FI L T E R
8. [email protected]:
FILTER
g.lgffit+ei
ca
co
a,-)
ttl
C
l
F
__J
L
I s^
It
C
s
tba
atr
c''r
NORI1BIIZATION-
)itcr
(o
(n
co
cr)
u-i
O
-
F
__J
c_
I
C
tt
t Znrt Ot
$ r,rOnrnl
a=
. J
F I LTER
r
aa
ca
i,
CU
Li-l
C
F
) s
L
I
cr-
'-17,
Jr
/:)
F
P F T i l t r N r . Y rt t !t Lt /7 )
rr\LuuLrtut
geki 1 5. 5 Tanjant hiperbolik siizgegin egimleri
( a 1 = a 2 = 0. 1 , 0 . 5 , 1 . 0 ) b a n dt 2 0 - 6 0 H z o l a n b a n d
gegigti si.izgeglerin f rekans spektrumlar r .
53
Eier,
h r -( t ) :
ial- ( fz-f L)
-----a
r€
sinh[2na1t(f2-f1)
2a7(f2-fl-)
]
(5-22)
h2 (t):
ia2 ( fz-f]-)
------
___:t___-_
2 a 2( f 2 - t I )
sinh l2na2t ( f 2-f r.) l
(5-22)
olarak
H (f)
B2
tanrmlantrrsa,
l_
= ---
H 2 ( f + f 2 ) - H 2 ( f - f 2 ) - H 1 ( f + f 1 ) + H 1 (_f - f r _)
(5-23)
olarak verilebili
doniigiikleri hl(t)
r.
H 1 ( f ) v e H 2( f ) i n
ve h2(t)
d 6 n i . i g i . i m i . i n ik. iany m a 6 z e l l i g i
izntrr
hl- (t)e
-izntt:h1(t) e
izntf2
h2 (t) e
-iznttz
h2 (t) e
yazr labiIi
r.
ters
F.ourier
oldugundan, Fourier
kullanrIarak,
54
Bu durumda (5-23 ) bairntr slnrn
(t)
h
:
h2 (t)
-
hl-(t)
Fourier
ters
-i2nEf2
ee
dontigiimii,
i2ntf2
B
-izntrt
olarak bulunabilir.
i2ntf l-
( s - 2 8)
e
| e
EuIer ba!rntrsr
-izxtt
:-2nt-f
e
e
= (2i)
(2ntf)
(5-29)
(-2i) sin (Zntft)
(5-30 )
sin
gere!ince,
h (t):nz (t) (-2i) sin (2nLf2) -h1(t)
B
yazrlabilir.
gi ftinden
(t)
h
=
h1(t)
ve h2(t)
(5-21) ve (5-22) d6ni.igi.im
bulunabileceginden,
(f2-fL)
)_
I 13
I _31I I :::13i:'-:
I li 111:
i: ::1'_i:'_:
I
sinhl2na2t(f2-f1)
B
I
sinh[2na1t(f2-f1) ]
(s-31)
sadelegti
(t)
h
:
rili
rse
2(f2-f1)
B
z a m a no r t a m r n d a b a n d g e g i g l i
[sin (2nf2E) ]
|
t - - - "- ,- - -
lsinnl2na2L(f2-f1) I
stizgeg,
a 1 _f s i n ( 2 r c f 7 t ) )
sinh[2na1t(f2fr-) ]
( s - 3 2)
elde edilmig
olur.
55
Sismik
veriye
yararlrdrr.
parametresi
Egim
yiiksek
farklr,
uygulanr rsa
algak
gegigli
si.izgeglerde de ideal
farklr
elde
(al)
degerlerle
edilmesi
siizgeglerde
tan jant
ktigtildtikge,
olmasr
kesme frekansrnda
(a21
spekturumun
Algak
degigken
egimin
kesrne frekansrnda
istenen
olabilecektir.
delerleri
uygularnada
gibi,
oldugu
hiperbolik
milmktin
band
a
gegigli
siizgeg spektrumuna ve zaman fonksiyonuna
yaklagrlrr.
gekil
gegigli
siizgeg
dalgacr!rnrn
yi:ksek
iki
igin
frekanslr,saq
farkr
en altrnda
$ekil
a1-a2=1.0,0.5r0.1
spektrumlar
verilen
tarafta
geqigli
band
algak frekanslr
band gegigli
d;rlgacr!r
iki
algak
si.izgeg
Sol tarafta
algak gegirimli
olugturmaktadlr
ve
yer almaktadrr.
dalgacrklar
bulunmugtur.
i.izerine band gegigli
gegirim
iIe
akrg gemasr verilmigtir.
5.7'de verilen
parametrelerle
0-20 Hz
bagrntr sr
dalgacrklarrndan
eldesi
dalgacrgrn
geklin
( 5-32 )
5.6'da
$ekiI
gekil
5.5'de
5.8,de gergek arazi verisi
siizgeg uyguranarak elde edilen
bandr
ve
olarak
verilen
yukardan
agagr ya
kullanrlrnrgtrr.
grktrlarda
dogru
Bunlara
daha sonra uygulamalar b6liimiinde verilmigtir.
elimler
ait
56
r
J
z
(l)e
or
rl.
z8rfi{(4 ns)
g e k i l 5 . 6 Z a m a no r t a m r n d a
and gegirli
hiperbolik stzgegleri" ofub
ll,rrur*""rn,
akrg gemasr.
tanjant
gosteren
57
CS
tS
I WIT -
jffi--m
I 0,llT '
t.W9sE-62
€
I ttlll
-
|.WE-S?
co
cr, I
cnl
=ml
:fl
=SI
rsI
o_s l
G'O.
48.09
TiME(H]LS)
8.08
1
,<Ig
$ekil 5 ' 7 zaman ortanrndaki dalgacrklar
verilen parenetrelerle
Uuiunmugiu;:'---
tgs.
g
v ekil
5-5,de
58
|,r,t{t,
geki 1 5.8 Arazi kaydr iizerine $eki1 5-5,de verilen
paremetrelerle siizgeglerin uygulamasr.
59
6.
UYGULAMALAR
si smik veriden
Zamanrn
sinyal
fonksiyonu
fonksiyonuna
orabilir.
orarak
gevirmek
Verinin
f iki r i.iretilebili
igin
61gii1en
sinyal-gi.irijlti..i
spektrumu
ile
ayr rmak
veriyi
Bu
zamanla
Verilen
(Time-invariant)
konusunda
olumsuz
etkinin
frekans
degigken
Bu tiir
si.izgeg
(Time-variant)
si.izgegler
uygulamalarda
igerigi
kaldr rrrabirmesi
zamanla
degigrneyen
siizgegler kullanrlmrgtrr.
Uygulanan siizgegler bdliimiinde 6rnek olarak
stizgegleri
yararlr
sinyal-gtiri.iltil
zarnanla degigen stizgegrer kullanrlrrrar.
deni r .
frekansrn
ayrrrmrnda
istenen yansrmararrn
degigirrer.
uyguramalarrna
zordur .
r.
sismik verirerde
zamanla
gtiriirtiiyi.i
veya
( gekil
gegirim
bandrnda ve
6rnek
gekl inde
4.3 ) verilmigtir.
Bu stizgegler 20_60 Hz
6,36,72 dB/ocl
egimrerinde
gegi riml i
band
Butterworth
orarak
ilg
farkrr
hazr rlanmr gt r r .
spektrumlardan 96zremlenen argak kesme frekansrnda ve yiiksek
kesme
frekansrnda
elimrerin
simetrik
egine sahip
verilen
parametrelerle
aynr
ormadr!r
degerde olmasrna kargrn
gekil
96riirmiigtiir.
olugturulan
dargacrklar
4.3,de
$eki1 4.4,de
g 6 s t e r i l m e kt e d i r .
T a nj a n t
parametrelere
spektrumlarr,
hiperbolik
yakrn
si.izgegrerle
uygulamalar
$eki1 5.5 ile
gekir
yaprlmrg
dalgacrklarr
4.3,de
$eki1
verilerek
verilen
5.5
ile
60
sismik verilere
yeni uygulanan bu siizgegler
yaprlabilmesi
ong6rtilmi.igti.ir.
kargrlagtrrmalr
stizgeg grktrlarr
Tanjant hiperbolik
gegirinli
ve
sunulmugtur.
orarak
olup
geklindedi r.
Burada
a=0.1,0.5r1.0
olarak
speiktrumlarr
a=l.0,0.5,
0.1 olarak
Band
verilere
igin
Arazi verisinden
20-60 Hz
iki
kuramsal
sorda dalgacrklar
0-20 Hz,
Arazi
elimleri
yukarda
verisine
uygulama
egimler
Tanjant
5.2'de
$eki]
yukardan agairya dogru
hiperbolik
yaprlan
ydnde
band
si.izgeglerin
gegirirn bandt 20-60 Hz olup,
0-20 Hz
araslnr
kryaslamak bu
yaprlan
segilen
ters
5.1 ,de
verilmigt.ir.
uygulamasr
grktr larryla
bandr
uygulanmrgtrr.
gegi rimli
uygulamasr
ana b6liim altrnda
siizgeg gekil
gegirim
5.3'de
$ekil
yaprlan
uygulamalar algak
sagda spektrumlar,
paranetrelerle
belirtilen
i1gili
orarak iki
Algak gegirinli
verirmig
verisine
yorum
daha sonra verilecektir.
siizgeglerle
gegirinli
band
Arazi
hakkrnda
gegirimli
algak
kargrlagtr rrlmasr
arasrnr
gegigri
siizgeg
argak
aynl
siizgeg
diigi.iniilmi.igtiir.
gegigri
si.izgegle,
siizgegle ayrrmak ve girigle
grktrsr
hakkrnda
stizgeglerin
band
olumru
bilgi
verecektir.
Tanjant
frekans
ile
hiperbolik
ortamrnda
($ekil
5.4),
akrg gemalarr verilmigtir.
algak
frekans
bilegeninin
farkr
bilegininin,
orugturdugu iki
ise band gegigli
gegigli
zaman ortanrnda
$ekil
sai
5.4'ijn
tarafrnda
algak gegigri
si.izgeci olugtururlar.
olarak
($eki1 5.0)
so1
tarafrnda
yiiksek frekans
siizgeci,
bunrarrn
61
Benzer yol1arla
iIe
olugturulan
verilnigtir.
frekanslr
algak
arasrndaki
fark,
Tanjant
kosintisrerin
oranLarr
altta
elde
siizgeglerin
iist
iiste
toplanarak
L0-40 Hz arasr
dargacrk aga!rda
g6riildiigti
gibi
gegirin
kesme
5.1'de
6.2,de
dalgacrk
yapay veri
55 Hz,e kadar
iistte
dalgacrk
$eki1
segirnig
yukarda
$ekil
6.3,de
verilmigtir.
f rekanslarrnrn
ait
5 Hz,Iik,
b;rndr olarak
spektrumrarr
sai
verilere
verilmigtir.
$ekil
ire
olugturur.
yapay
gekir
5.6
yiiksek
bulunan
5 Hz'den bagrayrp 5,er Hz artarak
spektrumu verilmigtir.
6.3'de
dalgacrk
dalgacr!r
6.!,6.2,6.3'de
$eki1
tarafrnda
biregenden
band gegigli
$ekiI
sol
ediren
frekansrr
hiperbolik
uygulamalar:,
5.6'nrn
$ekil
bilegenden
tarafrndaki
zaman ortamr siizgeci
genlik
degerleri
0.5
yada -5 dB olmaktadrr.
Band gegigli
arazi
verisine
Tanjant hiperborik
20-60 nz
agaglya do$ru eiimleri
uygulamasr gekil
igin
segilen
kesitinde
vardr r.
ve
gergek
( gekil
6.4 )
f rekansr r
olan
ve yukardan
oran
si.izgeglerin
verilnigtir.
siizgeglerin
arazi
uygulamalarlnr
verilerinden
96ri.ildiigii
Yrgrna6ncesi atr glara
ytiksek
bandr
a L = a 2 = 1. 0 , 0 . 5 , 0 . 1
5.8 ile
Tanjant hiperborik
gegirim
si.izgegrere cjrnek olarak
gibi
olugturulan
yapr sa1
bakrldrgrnda
giiriil tijre r
yansrmalarla iist iiste binmig olarak
yapr sar
g6stermek
yrgrna
gidigler
dtigi.ikf rekanslr
gidi gle re
96rillmektedirler.
ai t
62
spektrumdan bakrlarak
frekanslr
yansrmalarrn 20-50 Hz arasrnda,
gtiriiltijlerin
giiri.ilti.iler
Q-20 llz
60 Hz'den
di.igtik
arasrnda, yiiksek frekanslr
katlanma
f rekansrna
kadar
oldu6unu
d i . i g i i n e r e k u y g u l a m a l a r y a p r 1 m rg t r r .
ornek olarak
745
nunaralr
alrnan
ortak
oldugundan yaprsal
temsil
orarak aranan
tanjant
gekil
ilki
$ekil
ikincisi
gekil
gekir
kargrlagtrrrlrrsa
verilen
sahiptir.
aIt
Bu
ile
atrlmrg
yrima
kesitini
girig
atrg
atr ga
verisi
uygulanan
20-60 nz olup
test
edilmigtir.
6.G i1e stizgeg
krsmrnda spektrumu
96riilmektedir.
egiminde olan $ekiL 6.7,de ve sonuncusu
olan
spektrumlarr
5.5
6.5 ile
degigtirilmesi
5.9'un
al=a2=0.5
5.10 iIe
yakragrk
a1=a2-1.0 eliminde olup gekil
al-=a2=0.1 eiiminde
verilrnig,
(cdp)
s i . i z g e c l e r i n g e g i r i n b a n dt
(al ve az)
Bunlardan
yrgrna kesitinin
noktasrnda
olarak
ozelliklere
hiperborik
esimlerin
grktrsr,
derinlik
gidig
etmektedir.
($eki1 6.5),
atrg
$ekir
0.8
ile
siizgeg
yukarrdan agagrya dofru
grktrrarr
olmak irzere
verilmigtir.
ile
gekil
aL=a2=L.0
0.10
arasrnda
egiminde
en
frekansryla
s i i z g e g l e m e , a L = a 2 = 0 .L
frekansryla
siizgegleme yaprrmrg olrnaktadrr.
spektrumun elde edilebirmesi
degi gti ri lebi I i rle r .
igin
egiminde
birlikte
kalan
az
gekiller
egimli
ise
dik
Eginrer
yada
kesme
kesme
istenen
tek
tek
63
Segilen atrgrn
band
gegirirnli
0.9-1.1
Sn,Ieri
siizgeglerin
arasr algak gegirimli
Boriim
5'de
uyguramalarr
bi.ryiiti.ilerek aynr gegi rim bandrnda ve egimlerinde
Kar$rlagtrrmalarda
Bir
bagka
700-800 cdp'1er
$ekil
bu verilerde
siizgeg
arasr
testinde
al rnarak
grktrrarr
si.izgecinin,
verirerek
hakkrnda
fikir
uygulamas r nda
$ekil
ise
yedi
bandlara ait
s i , i z g e gg r k t r l a r r
gerekir.
ormsby
di.igtini.ilmtigti.ir.
Bu
Hz
G.12'de
si..izgecinin
siizgegler
tig
gegi rim
stizgeg
bandr
olan
si.izgeg
soldan saga.dofru yukarrda verilen
birrikte
Ug si.izgegin kesme egimlerinin
96zardr edilnenesi
gekil
hiperborik
1-8,8-12,t2-L8,L8-24,24-36,30-48,48-72,
solda girig,
kesitinin
ayrr bandla siizijrerek
G.13'de
secilen
uygulamalarr
yrgma
siizgeglerin,
okuyucunun tanjant
yiiri.itmesi
sunurmugtu.
kullanrlabilir.
6.11'de Tanjant hiperbolik
Butterworth
ve
verilmigtir.
farklr
farkrr
olaca!rnrn
64
N
s
1 U N I T=
E ,I I B A D B E + A b
S
s
cr)
ca
cn
I
?0.89
f,a
.t+oD . P
V)
TI HTII"1ILS]
S
N O R H F L I Z F T i-O I ;
6g.go
XIV)
I U N I T=
FI LTER
Bg.g8
1AA n
V
UU
L UU.
A .l z g e ? ? a + e )
CU
t--
(o
(c
.-.-;
F
ls,
LS
r-r- -7 L
ac,l
tri.,
r"
L -: ' : , -
l=
-\'
I ,
1a?'
+?
gekil 5.1
5 Hz'den baslayrp 5'er Hz artarak
5 5 H z ' e k a d a r o l a n k o s r n i i s l e r i n t o p l a n m a sr y l a
olugturulan yaPaY ve ri
'i -c
1[,]
65
s
s
I U N I T=
O.?86194E+49
tS
3l. l
cnl
cD-+
Lrl'l
O}
I
icl
--Js
l
o
.s-_-s -+I
aa
a _ ' 9 , (av)
S
2g.gg
N O R X T L I Z S T I 0- N
4s.gg
T I I1E(I"1I
LS)
6s.gg
8s.09
lAA
LUU.
nA
UU
xlu
I UNIT=
FILTTR
O .I C O A A S E * O I
N
.q
CU
:l
-
xcri
co
UJ
l
s
--J5
o
7 F t (-)
5Z
75
(nZ)
FREAUtiTtCY
1 AO,
I U0
gekil 6.2 Egimi a1=a2=0.1 , gegirim bandr 3-8 Hz
sirzgegle, gekil 6-1'de verilen
oI an band gegigli
yapay verinin evrigiminden bulunan dalgacrk ve spektrumu.
65
g.?49637E+AZ
I U N I T=
S
cr)
m
cn
CD
I
t!
C]
:l
F
s
s
J
CS
o_s)
=
G
'g'.gg
20.8O
69.8s
4g.Ag
T I I1E(11I
LS)
s
x1.g
N O R H F L I Z F T -I O N F I L T E R
S
g. lt?AZAi*Ai
I U N I T=
lrl
Lr)
ll
1AA
L UU.
88.gg
lj
-L
I
lllit;
fsrcf)
)(co
I ]t I lt
r(o
(o-
t
ll
Ett
ll
tt
ilt | ||
II
tl
It! I tl
I |
, I I
ll
r tl
t,l
| | l ll
tl
tl
1ilIll
U
O
l
F
|il
II
tt
rl
i
T
f
-T--iI
I
-JN
o_
rt
lt
ft{H}tt$trw
I
I
I
t-)
CJ
=Z
FRtl-:iriY
75
triz )
lgg
LCJ
gekil 6. 3 Egimi a1=a2=0.1
, gegirim bandr 10-40 Hz
,
oI an D
a n d .g e g i g l i s i . i z g e g l e,
9eki1 6-1,de verilen
yapay vertnln evrigiminden
bulunan dalgacrk ve spektrumu.
O,A
UU
67
ul
CDP
!l
Q
qr
6'gBHS
O
Q
g)
g3S
!
!
!
!
!
@
cD
@
cr)
co
(o
(O
ts3 3 B g SS g E3B
(O
S
0.Ea
g.tBe
B,Zg?,
s.343
g.1ge
g.sae
8.6S3
E .l | g
s.898
g.gge
1AA
L
. PU
l.lc0
1 ,2 3 0
l. 3gB
t .10d
t,see
r.604
t.7ss
t.8g?
r.9gB
(.. ga
gekil
6-4
Arazi uygulamasr igin
alrnan yrlma kesiti.
68
cr)
gekil 6.5
Arlzi
igin alrnan atrg.
Y r g m a k e s i t i n i n ( $ e k"iy1g g l q6m. 4a)s r 7 4 3 , i n c i o r t a k
derinlik
noktasrnda ( cdp) atrlmrgtr r.
U]
s
gekil 6.6
Tanjant hiperbolik
siizgegin egirui
aL=a2=1.0 ve bandr 20-50 Hz olan band gegigli
siizgegin arazi verisine uygulanmasr.
70
aan
a. vY)
e .t s z
geki\ 6.7
Tanjant hiperbolik
siizgegin egimi
a1=a2=0.5 ve bandt 20-60 Hz olan band gegigti
siizgegin arazi verisine uygulanmasr.
7t
U
(t
o)
!
CD
aaa
L. LA
g. taa
1AA
Tanjant hiperbolik siizgegin egini
gekil 5.8
a1=a2=0.1 ve bandt 20-60 nz olan band gegigli
siizgegin arazi verisine uygulanasr.
(o
s
72
i l 3 R : l n r i Z F T I 0-l ' l
s
,l
I
F] LTER
!
ltNtT
A.IAAESfrE+AI
-
jilll'i
*:
lrl
d
-ll
F
I
lt
n
cr)
LI]
O
:f
F
,
1i
I
! l
t
N
G]
I
a-
l l
s
o_s
ta
I
ttt
J
I
G
li
l:tr
!l
V
25
- d
rga
75
N O R H R L I Z R T -I O N F I L T E R
I U N I T=
125
0.lfrb60tE+01
tS
LLJ
cf
l
F
-J
0_
I
I
5A
75
FRTQUENIY|:HZ]
rgg
Atazi uygulamasr igin alrnan atrgrn
$ekll 6.9
spektrumu yukarrda, fekil 6.6'daki parennetr6lerle
uygulanan si.izgecin spektrumu altta verilmigtir.
I
t/-
13
s
N C R H F L I Z F T I-O N F I L T E R
S
I U N I T.
A.IEABOAE+O\
s
CU
rL!
cl
:l
F
JS
o_N
LJ-
V)
s
s
NCRI,IFLIZRTION
FILTER
I U N I T=
8.L1EAA4E+OL
S
NP
:(o';
r-.
UJ
O
:l
F
--Js
o_s
ar aAu
50
75
t| r|p\ [ _trrJ \nJ t _t_tt t r N
l aI Yrr . L
r7l
\LJ
I ll_ ,t
agagrda
!"1.i] q.10 yukarrda gekir d.7 ile
-$"i.i1 5.8 i1e verilen-parametreler uygul ana rak
bulunan spektruml_ar.
rcf,
74
!!!{
!
s€Gs
6
@ !
6 N
I
gekil
!
o@
66
I
&
I
!
€
I
!!@{{
o@6N5
FSOee
!
F
!@
@e
eo
:i!!{@
N5OO6
6eo60
J{!:.Jgq
ru!O@S
s6860
:J!!!@
rusO66!
0e9e6
!{<!6
NtOO6
€Og6E
I
6.11 T?njant hiperbolik
si.izgeglere gi.rig so1da,
b a n d l a r r s g j , d a n i a i a d o g i u s i r a s r y l -a:iii99Eil g:qiIi*
1-9,8-12,t2-L8,L8-24,24-36,36_48,
4g:72 v; elimleri'
ai--0.2, a2=0.3 oran uygulamararr topruca suiurrnugtur.
75
!!!!!@<
€Nao@Gtu
SG€SGGE
!
G
I
I
il --;;
cs6SeeE
g il,-
{{
EF
@
6
F
{!!{@
N!O69
F6F6F
!{!{@
Nlo@s
€6Eee
J!{!@
Dlo@o
FEO6E
I
gekil 5.1.2 Butterworth stizgecinin
egimi 72 dB/oct
geqirim bandlarr gekil 6.11, de
v e r i l e n b a n d l a rolup grkrglarr soidan saga dogru verilmigtir.
!!!Q
6
I
EG€E
76
!!!!!&
GruAC€€
eesGsG
!!!
!@
sGe
EG
ttl
!
€
@
G €
s
€
rl
{ { ! ! @ ! !
N 5 0 @ e N !
e e s € e B e
J
o
F
I
6
rl
! { ! {
@
6 S e S
e
,l
@6
6S
F6
6€G6
I
I
lt#ls
:si1
{r"r,.lii
*.A
F " X i l 6 . 1 3 O r r n s b ys i . i z g e c i n i n g e k i l 6 . L 1 , d e v e r i l e n
bandrara ve yaklagrk aynr eQiilere sahip uygulamal-arr
soldan saga dogru-verilmigtir.
77
so N U g
7.
Bu
garr gmada tanjant
kuramsal
ve
iizerinde
yorumlar
uyguramalr
hiperbolik
garrgmalar
yaprlmaya
zamanda ve frekansta
boli.imi.i i1e,
analitik
yolra
toplamr ile
ve sonugrarr
hesaplanabilmesi
T a nj a n t
ortanrnda
ilgiri
siizgegrerin
hiperbolik
siniis ve sinijs hiperbolik
frekans
fonksiyonlarrn
yaprlnrrg
galrgrlmrgtrr.
bi r avanta j r olugturmaktadr r.
zaman ortamrnda
si.izgegrerre
ise
6nemli
si.izgegler
fonksiyonlarlnln
tanjant
tanrmlanrrrar.
hiperbolik
sintis hiperbolik
f onksiyonu zaman ekseninde ilerledikge
h r z l a b t i y i i m e y eb a g l a r
ve
bir
bolen
6ze11ik
olarak kullanmaya erverigli
zaman ortamrnda
si.izgegin olugturulmasrnr
Genlik
istenen
krsa
ise
genliklerin
stitra
gok
bir,
yakrn
Bunu sa!layabirmenin
kontroliinden
gegnektedir.
kontrol
eden
f rekansla r r ndat
kurranr rmaktadr r.
kalmasr
diger
olmasr
yolu
bir
Tanjant hiperbolik
yi.iksek
Beklenen
stizgegin yaratrlabilmesinde
ve
ancak
frekanslarrn
beklenen
bir
ise kesne efiimlerinin
parametre (a!,a2)
d2
olan
Bu
sailar.
ozerriktir.
egimi
daha
spektrumunda ti.im frekanslarrn
banddaki
genlikrerinin
genigrigi
fonksiyondur.
olup,
ke sme
istenen
siizgegler
de
a1 di.igiikkesme
frekanslarrnda
6zellikler
bu parametrelerin
test
de bi r
edilerek
bulunmasrnda yarar vardr r.
T a nj a n t h i p e r b o r i k
(a1, a2 )
degigebilir.
parametresinin
s i . i z g e g l er i n
degeri
elimini
0.1
ile
kontrol
L.0
eden
arasrnda
t6
8.
KAYNAKLAR
Bagokur, A.T.,
1994, The use of Two-electrode
and Schlumberger
filters
for
curves:
computing
G e o p h y si c a l
Bracewell, R. r1965, The Fourier
resistivity
Prospecting
and
EM sounding
32,
Transforn and its
1,32
138
epplications:
Mc Graw Hill
Johansen, H.K. and Sorensen,
R.,
Geophysical
lg7g, Fast Hankel transform:
prospecting
27,
g7O
901.
79
q
o z c n E mgi
1957 yrlrnda
orta
ve lise
girdigi
olarak
Universitesi
Anabilim
irr<
dlrenimini
mezun
ordu.
ugak,ta,
Lg76 yrlrnda
Birirnleri
Bdli.imij'nden 19g1
Fen Bilimleri
Dalr'nda
yer
tiniversitesi
Mi.ihendisligi
Miihendisi
dogdu.
ci$renimini Ki.itahya'da tamamladr.
istanbul
Jeofizik
ugak'ta
Faktittesi
yrrrnda
Jeofizik
Ekim 1989,da
Enstiti.isi.i, Jeofizik
Ankara
lti.ihendisligi
yiiksek
Lisans
69renimini
bagradrgr
ttirkiye
petrolreri
bagladrfr
gubat 1.993,de tamanladr.
L981 yrlrnda
Anonim
Jeofizik
ortaklr!r
galrgmaya
Veri
fii,ihendisi olarak
igrern
Mekezindeki
si.irdtirmektedir.
gorevini
uzman