okul matematđğđnđn prensđplerđ ve standartları

Transkript

Hacettepe Üniversitesi Đlköğretim Matematik Eğitimi Anabilim Dalı
www.imo.hacettepe.edu.tr
OKUL MATEMATĐĞĐNĐN
PRENSĐPLERĐ VE STANDARTLARI
*
ÜNĐTE 1
OKUL MATEMATĐĞĐ VĐZYONU
Çev: Oylum AKKUŞ
Bir sınıf ya da bir okul hayal edin. Öyle bir okul ki; tüm öğrenciler matematikle meşgul
oluyorlar, yüksek kalitede matematik öğrenimi görebiliyorlar. Bilgili öğretmenler işlerini
desteklemek için yeterli kaynağa sahipler ve sürekli kendilerini geliştirebiliyorlar. Müfredat
matematik açısından zengin, öğrencilere matematiksel kavramları ve süreçleri anlayarak
öğrenme şansı verilmekte. Teknoloji de bu çevrenin önemli bir bileşeni. Öğrenciler,
öğretmenleri tarafından dikkatlice seçilmiş karmaşık matematiksel etkinliklerle meşgul
oluyorlar. Bazen aynı probleme farklı matematiksel açılardan yaklaşılırken bazen çeşitli
matematiksel başlıklar hakkında bilgi sahibi oluyorlar, bazen de matematiği farklı yollarla
gösteriyorlar. Öğretmenler, öğrencilere matematik yapma, bağlantılar kurma, muhakeme ve
kanıtlama teknikleriyle ilgili yardım ediyorlar. Öğrenciler öğretmenlerin yetenekli
rehberlikleri sayesinde esnekler ve problem çözebiliyorlar. Yalnız ya da grupla ve teknolojiye
erişimli halde üretken ve yansıtıcı olarak öğreniyorlar. Sözel ya da sayıyla, öğrenciler
fikirlerini ve bunun sonuçlarını etkili olarak paylaşabiliyorlar, matematiğe değer veriyorlar ve
onu öğrenmede aktif olarak yer alıyorlar. Kuşkusuz bütün bunlar herkes için çok büyük
istekler.
“Okul Matematiği Đçin Prensipler ve Standartlar” adlı bu kitapta belirtildiği gibi
matematik eğitimcilerin vizyonu hırs dolu. Buna ulaşmak için; matematik programlar kendine
güvenli ve bilgili öğretmenleri, öğrenmeyi destekleyen ve zenginleştiren eğitim politikalarını,
teknolojiye erişimi hazır sınıfları ve eşitlik ve mükemmelliğe ulaşmayı prensip haline
getirmeyi gerektirir. Bu iddia çok büyüktür ama günümüzde bu şartlarla buluşmak ta
gereklidir. Öğrencilerimiz mümkün olan en iyi matematik eğitimini hak ederler ve gereksinim
duyarlar. Bu eğitim de onları değişen dünyada tam donanımlı insan yapmak için gereklidir.
NCTM’ye göre, 1989’da yayımlanan “Curriculum and Evaluation Standards for School
Mathematics” adlı kitabı matematik eğitimi standartlarını belirlemede önemli rol oynamıştır.
Bu organizasyon matematik öğretmenlerini temsil ederken, bunun yanında öğrencilerle, okul
yöneticileriyle, ailelerle kaliteli matematik eğitimi için işbirliği yapmaktadır. Amaç ise yeni
yüzyıla yeni matematik anlayışı ile meydan okumaktır. Bu amaca göre öğrenme anlayarak
olursa anlamlıdır ve öğrenme ortamı teknoloji ile donatılmalıdır.
*
Principles and Standarts for School Mathematics, NCTM, 2000
Değişen dünyadaki matematik gereksinimleri
Sıradan olmayan ve sürekli değişen bir dünyada yaşamaktayız. Yeni bilgiler, araçlar,
matematiği yapmanın ve iletişim kurmanın yolları sürekli değişmekte ve bu değişim
sürmektedir. Örneğin hesap makinelerinin 18. yy da kullanımı çok pahalıydı ama şimdi hem
ucuz, hem yaygın hem de oldukça yararlıdır. Đstatistiksel bilgilere birkaç yıl önce sadece belli
sayıda insan erişebiliyordu ama zamanla popüler medya araçları sayesinde bu erişim düzeyi
arttı.
Günlük yaşamda ve iş yaşamında matematiği kullanabilmek ve anlayabilmek gereksinimi
gitgide önem kazanmakta ve bu gereksinim sürekli artmaktadır. Örneğin;
Yaşam için matematik: Matematik bilmek insanı kişisel olarak tatmin eder.
Günlük
yaşamın tüm ayrıntılarında matematik ve teknoloji vardır. Örneğin; alışveriş yaparken
verilen kararlarda, sağlık ve sigorta planlarını seçerken ve sayısal bilgilere dayalı işler
yaparken…
Kültürel mirasın bir parçası olarak matematik: Matematik insanın yaptığı en büyük
kültürel ve entellektüel iştir, bu nedenle insanlar bu işin gelişimine ve bizzat bu işe saygı
duymalı, takdir etmelidirler. Matematik içinde kültürel ögeleri ve estetiği de barındırır.
Đş yaşamında matematik: Her türlü çalışma alanında sağlıktan grafiğe kadar matematik
bilen, matematiksel düşünen ve problem çözme yetisine sahip olan insanlara gereksinim
vardır. Her iş için temel matematik bilgilerine gereksinim duyulsa da, bazıları matematiğe
çok daha fazla gereksinim duyarlar. Bu insanlar matematiği kendi eğitim çizgileri olarak
benimserler. Örneğin; matematikçiler, bilim insanları, mühendisler ve istatistikçiler.
Değişen bu dünyada, matematiği anlayan ve matematik yapan, geleceğini
şekillendirmede daha fazla seçeneğe ve şansa sahip olacaktır. Matematik alanındaki yeterlik
üretken geleceğin kapısını açmaktadır. NCTM, matematiğin sadece belli bir azınlık için olduğu
fikrine meydan okur. Tam tersine, herkesin matematiği anlayabileceğini savunur. Her
öğrencinin matematiği anlaması için şansı olmalıdır. Mükemmellik ve eşitlik arasında çatışma
yoktur.
“Prensipler ve Standartlar” kitabı tüm öğrenciler tarafından öğrenilecek olan temel
matematik içindir. Ancak bu yaklaşım tüm öğrencilerin aynı olduğu anlamına gelmez.
Öğrencilerin matematikle ilgili farklı yetenekleri, erişileri, gereksinimleri ve ilgileri vardır.
Bunun yanısıra, tüm öğrenciler yüksek kaliteli matematik öğretim programlarına erişim
hakkına sahip olmalıdırlar. Matematiğe derin ilgi duyanların ilgileri ve yeteneklerinin üzerine
gidilmelidir. Bunun yanısıra, özel eğitime gereksinim duyan çocuklar desteklenmeli, onlar için
gerekli olan uygun öğrenme ortamları yaratılmalıdır.
Matematik eğitiminin sürekli gelişimi için duyulan gereksinim
Birçok kaynaktan elde edilen bilgilere göre, çoğu öğrenci gereksinim duyduğu
matematiği ya da öğrenmeleri beklenen matematiği öğrenememektedirler. Bunun birçok
nedeni vardır. Örneğin; öğrencilerin matematiği öğrenmek için şansları olmamıştır. Ya da
uygulanan müfredat onlara uygun nitelikte değildir. Bazen öğrencilerde öğrenme isteği
oluşmaz. Matematik öğretiminin niteliği değişken ve çeşitlidir.
Standartlar gelişim sürecinde merkezi rol oynayabilir. 1989, 1991, 1995 NCTM
standartları, merkezi standartları ve müfredatları da etkilemiştir. Ayrıca; öğretmen
eğitimini, öğretim materyallerini de etkilemektedir. Standartlar
yorumlanmış ve bunların farklı alanlara uygulamaları yapılmıştır.
farklı
biçimlerde
Standartların Rolü ve Amacı
1989 da yayınlanan “Yetişek ve Değerlendirme Standartları”nda standartların
belirlenmesi için 3 sebep belirtilmiştir: kaliteden emin olmak, amaçları belirtmek, değişikliği
sağlayabilmek…
Standart dokümanlarının bu amaçlara yardım etmesinin bir yolu da
matematik eğitimi konuşmalarını şekillendirmesidir. Önceki NCTM standartlarında da olduğu
gibi, “Đlkeler ve Standartlar” insanları üretken diyaloglar ile meşgul edecek ortak dil,
örnekler ve tavsiyeler önerir. Matematik eğitimindeki tüm düşüncelerde bir fikir birliğine
varılmamış olunmasına rağmen, Standartlar öğrencilerin okuldaki matematik eğitimini
geliştirmek için bir kılavuz oluştururlar. Prensipler ve Standartlar yetişekteki özel durumlara
değinmeden genel bir görüş ve kılavuzluk sağlar. Bu doküman şunları içerir;
Önümüzdeki 10 yıl için okul öncesinden 12. seviyeye kadar uyumlu ve kapsamlı amaçlar
ortaya koymak,
Matematik eğitimi programlarının kalitesini inceleyen ve geliştiren kaynak öğretmen,
eğitim lideri ve eğitim politikasını belirleyici olarak hizmet etmek,
Yetişek, değerlendirme ve eğitimsel araç-gereçlerin gelişimine kılavuzluk etmek,
Öğrencilerin matematiği daha iyi anlayabilmeleri için nasıl yardım edebiliriz konusundaki
fikirleri ve ulusal, yerel ve eyaletsel olarak süren tartışmaları uyarmak.
Prensipler ve Standartlara Genel Bakış
Prenspler ve Standartlar daha önceki standartların üzerine kurulmuş ve ondan aldığı
mesajları sağlamlaştırmıştır. Bu doküman aşağıda sıralanan bölümlere ayrılmıştır;
Okul matematiği için prensipler (ünite 2)
Okul öncesinden 12. seviyeye kadar matematik eğitimi standartlarına genelbakış (ünite 3)
Dört farklı seviyede standartlar: okul öncesinden 2. sınıfa (ünite 4), 3-5 seviyeler (ünite
5), 6-8 seviyeler (ünite 6), ve 9-12 seviyeler (ünite 7)
Prensipler ve Standartlardaki bir üst seviyeye çıkmaya yardımcı basamakları tartışmak
(ünite 8)
Prensipler yüksek matematik eğitiminin temel hükümlerini yansıtırlar. Đkinci ünitede
prensiplerin alt yapısını oluşturan varsayımlar, değerler ve ipuçları yer almıştır. Prensipler
okul matematiğini etkileyecek önemli bir perspektiftir. NCTM'in herkes için matematik
taahhütü Eşitlik Prensibinde yer alır. Yetişek prensibinde, yetişek okul matematiğini
geliştirmek için önemli bir yön olarak işlenir. Öğretme prensibi yetenekli öğretmenler
kılavuzluğunda önemli matematiğin öğretilmesi fırsatını yaratır. Dokümanın temeli olan
öğrenme bakış açısı Öğrenme Prensibinde işlenir. Okul matematik programlarında önemli rolü
olan değerlendirme ve teknoloji ise Değerlendirme ve Teknoloji Prensibinde tartışılmıştır.
Ünite 3-7de tüm öğrenciler için kapsamlı standartlar oluşturulmuştur. Standartlar
hangi matematiksel öğretimin öğrencinin neyi bilmesi ve neyi yapmasını sağlaması gerektiğini
tanımlayan, okul matematik eğitiminde neyin değerli olduğunu belirleyen cümlelerdir. Bu
kitaptaki 10 standartın her biri anaokul öncesinde 12. sınıfa kadar bütün yetişeği tararlar.
Đlk beş Standart sayılar ve işlemler, cebir, geometri, ölçme, veri analizi ve olasılık
konularındaki matematiksel içeriği betimler. Sonraki beş Standart ise problem çözme,
nedensellendirme ve ispat, ilişkiler, iletişim yer almaktadır.
Bu dokümanın bir amacı öğretmenlere, yetişek geliştiricilere, yetişek çerçevesinin
oluşturulmasından sorumlu insanlara yetişeğe odaklanmak için bir yol önermektedir. Okul
matematik programı her sene tüm konulara hitap edemez. Bunun yerine öğrenciler belli
kavramsal düzeylere ulaşırlar ve yetişeğin belli noktalarından geçerler. Öğretmenler ders
planlarını yaparken öğrencilerin bazı anlama seviyelerinde olduklarını ve hangi noktaları
bitirmiş olduklarını düşünmelidirler.
ÜNĐTE 2
OKUL MATEMATĐĞĐNĐN PRENSĐPLERĐ
Çev: Asuman DUATEPE
Öğretmenler, okul idarecileri ve profesyonel eğitimcilerin okul matematiğinin içeriği ve
karakteri hakkında aldığı kararların hem öğrenciler hem de toplum üzerinde önemli sonuçları
vardır. Bu kararlar akıllıca profesyonel bakış açısı üzerine kurulmalıdır. Okul Matematiği
Đçin Đlkeler ve Standartlar böyle bir kılavuzluğu amaç edinmiştir. Prensipler yüksek kaliteli
matematik eğitiminin belli özelliklerini gösterirler. Standartlar ise öğrencinin öğrenmesi
gereken matematiksel içerik ve süreçleri betimlerler. Prensipler ve standartlar birlikte
eğitimcilere sınıflarda, okullarda ve eğitim sistemlerinde matematik eğitiminde sürekli bir
gelişme sağlamak için çalışırken kılavuzluk ederler.
Okul matematiği ile ilgili olarak altı prensip vardır;
Eşitlik: Matematik eğitimindeki fırsat eşitliği bütün öğrenciler için yüksek
beklenti ve kuvvetli destek gerektirir.
Yetişek: Yetişek bir araya gelmiş etkinliklerin ötesinde bir şeydir, ahenkli bir
uyum içermeli, önemli matematiğe odaklanmalı, düzeylere göre iyi ayarlanmalıdır.
Öğretme: Etkili matematik öğretimi öğrencinin ne bildiği, neyi bilmeye ihtiyacı
olduğunu anlamayı ve sonra da onları iyi bir şekilde öğrenmekleri için kışkırtmayı ve
desteklemeyi gerektirir.
Öğrenme:Öğrenciler matematiği anlayarak, yeni bilgileri eskilerin üzerine inşaa
ederek öğrenmelidirler.
Değerlendirme: Değerlendirme hem öğretmen hem de öğrenci için önemli
matematiğin öğrenilmesini desteklemeli ve gerekli bilgileri sağlamalıdır.
Teknoloji: Teknoloji matematiğin öğretilmesi ve öğrenilmesi için önemlidir,
öğretilen matematiği etkiler ve öğrencilerin öğrenmesini geliştirir.
Daha sonra tartışılacak bu altı prensip belli matematik içerik ve süreçlerini referans
almaz yani standartlardan oldukça farklıdır. Bu prensipler sadece okul matematiğine özgü
değillerdir ama okul matematiği ile oldukça ilgilidirler. Yetişeğin belirlenmesini, yetişek
araçlarının seçilmesini, öğretim ünitesi ve derslerinin planlanması, değerlendirme şeklini ve
sınıfta alınacak kararları etkiler.
Her prensip ayrı ayrı değerlendirilir ama prensiplerin gücü birbirleriyle olan
ilişkilerinden gelir. Prensipler hep birlikte kullanılırlarsa tümüyle hayata geçirilmiş olurlar.
EŞĐTLĐK (ADALET) PRENSĐBĐ
Matematik eğitimindeki fırsat eşitliği, bütün öğrenciler için yüksek beklenti ve kuvvetli
destek gerektirir.
Prensipler ve Standartları tüm öğrenciler için gündeme getirmek, ana okul öncesinden 12.
sınıfa kadar tüm seviyeler için önemli bir amaçtır. Bu amaca ulaşmak, öğrencilerin
öğrenmeleri için beklentileri yükseltmek, tüm öğrencilerin öğrenmesi için etkili öğretim
yöntemleri geliştirmek, öğrenci ve öğretmenlere ihtiyacı olan kaynakları sağlamaktır.
Eğitimde fırsat eşitliği bu görüşün temel taşıdır. Tüm öğrenciler kişisel özelliklerinden,
alt yapılarından ya da fiziksel zorluklarından bağımsız olarak matematik çalışmak ve
öğrenmek için eşit fırsatlara sahip olmalıdırlar. Eşitlik diğer prensiplerle de ilişkilidir. Tüm
öğrenciler her sene yetenekli ve iyi desteklenmiş öğretmenlerden iyi düzenlemiş yetişeklerle
eğitilmelidirler. Ayrıca öğrencilerin öğrenmeleri ve başarıları ayrı bir dikkatle
değerlendirilmeli ve rapor edilmelidir. Teknoloji eşitliğe ulaşmak için yardımcı olabilir, bu
yüzden bütün öğrenciler teknolojiye ulaşabilmelidir.
Eşitlik herkese yüksek beklentiler ve fırsatlar vermeyi gerektirir.
Matematik eğitiminde fırsat eşitliği görüşü Kuzey Amerika'daki matematik öğrenmede
yalnızca bazı öğrencilerin başarılı olabileceği yönündeki yaygın inanca karşı çıkmıştır. Bu
inanç bazı öğrencilerin erişilerine karşı düşük beklenti içinde olmayı içerir. Genellikle fakir
ailelerden gelen, anadilinin konuşulmadığı okullarda okuyan, bedensel engelli öğrenciler düşük
beklenti kurbanıdırlar. Beklentiler yükseltilmelidir; matematik tüm öğrenciler tarafından
öğrenilebilir ve öğrenilmelidir.
Eşitlik prensibine göre matematik öğreniminde herkes için yüksek beklentiler
öğrencilere sözlü ve eylemsel olarak ifade edilmelidir. Öğretmenler sınıftaki etkinlikler
sırasında, öğrencinin ödev ya da sınav kağıtlarında, bu beklentiyi öğrencilere iletebilirler.
Sınıf dışı etkinliklerde öğrenciyi başka sınıf ya da yetişeklere dahil ederek de bu beklentiler
yansıtılır, ayrıca bu yolla öğrenciye daha ileri öğrenmeler için fırsatlar tanınmış olur. Okullar
öğrencilere matematik öğrenmelerine yardım edecek kuvvetli eğitim programları dayatırlar.
Yüksek beklentiler ancak bu programların öğrencilere ilginç gelmesi, kendisine yardımcı ve
gelecek çalışmaları için gerekli bulması ile sağlanabilir.
Eşitlik, herkesin matematik öğrenmesi için farklı olanlara yardım etmeyi gerektirir.
Yüksek beklentiler gereklidir fakat tüm öğrencilerin eşit düzeyde matematik öğrenimini
sağlamakta yetersizdir. Bütün öğrenciler iyi ve eşit öğrenmelerine olanak verecek destekçi,
önceki bilgilerine, zekalarına ve kişisel ilgilerine uygun olarak düzenlenmiş matematik
programını alabilmelilerdir.
Bazı öğrencilerin ileri matematik beklentilerine ulaşabilmeleri için daha fazla yardıma
gereksinimleri olabilir. Örneğin anadili devam ettiği okuldaki eğitim dili ile aynı olmayan
çocuklara sınıftaki tartışmalara katılabilmesi için ayrı bir ilgi gösterilmesi gerekir. Eğer bu
çocukların matematiksel yeterliliği ana dilleri olmayan dille ölçülüyor ise doğru bir şekilde
ölçülmüş sayılmaz.
Bedensel engelli çocuklarda ödevleri tamamlamak için daha fazla zamana ihtiyaç
duyabilirler. Bazı durumlarda bedensel engelli bir çocuğun ödevlerini yazılı olarak değil sözlü
olarak yapması yerinde olur. Matematikte sorunları olan bir öğrenci daha fazla yardımcı
kaynaklara ihtiyaç duyabilir. Özel ilgileri olan ya da özel yetenekli çocuklar da daha zengin
kaynak ve programlara ihtiyaç duyabilirler. Okullar bu özel durumlara cevap verirken diğer
öğrencileri de unutmamalıdırlar.
Teknoloji, sınıfta eşitliğin sağlanmasına yardımcı olabilir. Örneğin teknolojik aletler ve
ortam tüm öğrencilere karmaşık matematik problemleri ve fikirlerini keşfetmek, beceriler
üzerinde pratik yapmak, ekstra ilgiye ihtiyacı olan öğrencilere yardımcı olmak gibi fırsatlar
sağlarlar. Ses tanıyabilen ya da ses yaratabilen bilgisayarlar başka şekilde düşüncelerini
paylaşamayan öğrenciler için oldukça yararlı olurlar. Ayrıca teknoloji öğrencilerin dikkatini
çekerek onları güdüler. Tüm öğrencilerin ilginç ve matematiksel fikirleri edinmek için
teknolojiyi uygun şekilde kullanabilme şansını yakalaması da önemlidir. Yani teknolojiye
ulaşma, eğitimdeki eşitsizliğin başka bir boyutu olmamalıdır.
Eşitlik bütün sınıflar ve öğrenciler için kaynak ve desteği gerektirir.
Bir çok araştırma göstermiştir ki öğrenmelerine yardımcı olacak yüksek kalite eğitim
programlarına ulaşabilen her öğrenci matematik öğrenebilir (Campbell 1995; Griffin, Case ve
Siegler 1994; Knapp 1995; Silver ve Stein 1996).
Eşitliğe ulaşmak önemli ölçüde sınıftaki ve okuldaki insan kaynakları ve araç gereçleri
sağlanmasına bağlıdır. Diğer bir önemli bileşen ise öğretmenlerin profesyonel gelişimidir.
Öğretmen, farklı dil ve kültür alt yapısına sahip, özel problemleri olan ya da matematiğe
karşı özel yetenek ve ilgisi olan öğrencilerin kuvvetli ve eksik yönlerini fark etmelidirler.
Öğrenciler arasındaki farklılıkların etkili ve duyarlı bir şekilde üstesinden gelebilmek için
öğretmenin önce kendi inanç ve önyargılarıyla yüzleşmesi ve onları aşması gerekir.
YETĐŞEK PRENSĐBĐ
Yetişek etkinliklerin bütününden daha büyük bir şeydir; uyumlu, önemli matematiği odak
almış ve düzeylere göre iyi düzenlenmiş olmalıdır.
Matematik yetişeği öğrencilerin okulda neyi öğrenme fırsatlarının olduğu ve ne
öğrendiklerinin önemli bir belirleyicisidir. Öğrencinin daha derinliğine anlaması ve becerilerini
matematiğin daha geniş alanlarına uygulaması için matematiksel fikirler birbiriyle
bağlantılıdır ve birbirinin üzerine kurulmuştur. Etkili bir matematik eğitimi “önemli
matematiğe” odaklanır. Önemli matematik öğrenciyi okulda, evde ve iş hayatında
karşılaşılacak çeşitli problemleri çözmeye hazırlayan matematiktir. Đyi düzenlenmiş bir
yetişek öğrencinin çalışmaları ilerledikçe daha sofistike bir şekilde öğrenmesine yardım eder.
Matematik Yetişeği Uyumlu Olmalıdır.
Matematik geometri, cebir gibi birbirinden farklı ama birbiriyle oldukça ilişkili
konulardan oluşur. Konuların birbiriyle ilişkisi yetişekte ve öğretim araç-gereçlerinde
gösterilmelidir. Uyumlu bir yetişek, öğrencinin önemli matematiksel fikirleri diğer fikirlerle
ilişkilendirmesini, konuları birbirinin üzerine inşaa ederek öğrenebilmesini, böylece yeni
anlayışlar ve beceriler geliştirebilmesini etkili bir şekilde sağlayabilecek durumda organize
edilmelidir.
Her bir dersi planlarken, öğretmen temel konuları bütün ile entegre etmeye
çalışmalıdır. Terminolojiler, tanımlar, kavramlar, gösterimler ve beceriler tüm konular
incelenirler tutarlı bir şekilde sunulmalıdır. Konuların üniteler halinde yıl boyu verilme sırası
da iyi düzenlenmesi gereken diğer bir unsurdur. Ayrıca öğretmen gerektiğinde konuların
yerini değiştirme ya da beklenmeyen bir yöne doğru ilerlemesi durumlarına karşı da esnek
olmalıdır.
Matematik Müfredatı Önemli Matematiğe Odaklanmalıdır.
Okul matematiği öğrencilerin zamanını ve dikkatini harcamaya değecek konulara
odaklanmalıdır. Matematik konuları diğer matematik düşüncelerinde kullanılması, matematiğin
diğer alanları ile ilgisi, öğrencinin matematiği bir disiplin ve insan yaratımı olarak anlamasına
yardım etmesi gibi çeşitli sebeplerle önemli sayılabilir.
Basamak değeri, eşitlik, orantı, fonksiyon ve değişim oranı konuları matematik
yetişeğinde önemli bir yer tutmalıdır çünkü bu konular öğrencilerin diğer matematik
konularını anlamalarına ve farklı matematik düşünceleri arasında bağlantı kurmalarına
yardımcı olurlar. Matematiksel düşünme ve akıl yürütme becerisi, çıkarım yapma, dedüktif
argümanlar geliştirme, yeni anlama yeteneği geliştirme ve ileri çalışmalara taban oluştururlar.
Simetri ve genelleme yapma gibi matematiksel kavram ve süreçler ise matematiğin doğası ve
güzelliği ile ilgili anlam kazanmasına yardımcı olur. Ayrıca yetişek, öğrencinin modellemelerin
ve matematiğin günlük yaşam olaylarını tahmin etmedeki gücünü anlamasını sağlayacak
tecrübeler içermelidir. Yetişek öğrencilerin niceliksel okur yazarlığını destekleyecek
matematiksel süreç ve becerilere ağırlık vermelidir. Modern toplum insanları iddiaları,
ipuçlarını ve riskleri değerlendirebilecek, eksiklikleri fark edebilecek durumda olmalıdırlar.
Matematik Yetişeği Seviyelere Uygun Olarak Düzenlenmelidir.
Matematik öğrenmek, fikirleri biriktirmek, düzenli şekilde inşaa etmek ve daha rafine
anlayıştan oluşur. Matematik yetişeği öğretmenin öğrencileri daha üst seviyelerde
düşünmesine yardım edecek ve daha derin bilgi seviyesi sağlayacak şekilde bir harita
oluşturmalıdır. Öğretmenin öğrencilere yapacağı bu yardım seviyelere göre uygun şekilde
düzenleme gerektirir. Örneğin öğrenciler K - 2 seviyelerinde iki boyutlu şekillerin benzerlik
ve farklılıklarını incelerler. 3 – 5 seviyelerinde ise çeşitli dörtgenlerin özelliklerini
tanıyabilirler. 6 - 8 seviyelerinde belli dörtgenleri çalışabilir ve bunlardan genellemeler
yapabilirler. 9 - 12 sevilerinde belli poligonlarla ilgili çıkarımları desteklemek için argümanlar
oluşturabilirler. Üst sınıflara geçtikçe, öğrenciler daha derin matematiksel fikirlerle
uğraşırlar.
Eğer yetişek iyi bir şekilde düzenlenmezse uğraşılar tekrarlanmak ve gereksiz
tekrarlar yapılmak zorunda kalınabilinir.
Çev: Oylum AKKUŞ
ÖĞRETME PRENSĐBĐ
Etkili matematik öğretimi, öğrencilerin ne bildiği, neyi öğrenme ihtiyacı olduğunu
anlamayı, sonra da onları iyi öğrenmeleri için kışkırtmayı ve desteklemeyi gerektirir
gerektirir.
Öğrenciler matematiği öğretmenlerin sağladığı deneyimler ile öğrenirler. Böylece,
öğrencilerin matematiği anlayışları, bunu problem çözmede kullanma yetileri, kendilerine
güvenleri, matematiğe karşı tutumları okulda karşılaştıkları öğretimlerle şekillenir. Tüm
öğrenciler için matematik eğitiminin gelişimi, sınıf ortamlarındaki etkili matematik öğretimini
gerektirir.
Matematiği iyi öğretmek karışık bir iştir, bu nedenle tüm öğrencilerin öğrenmesine
yardımcı olacak ya da tüm öğretmenlerin etkin olmasını sağlayacak bir reçete yoktur. Ama
etkili matematik öğretimi ile ilgili çoğu şey bilinmekte ve bu bilgi profesyonel etkinlik
hazırlamada rehber olabilmektedir. Etkili olmak için, öğretmenler öğrettikleri matematiği
derinlemesine anlamak ve bilmek zorunda olup bu bilgilerini öğretim aşamasında
kullanabilmelidirler. Öğrencileri matematik öğrenicileri olarak görmenin yanısıra insan olarak
ta görmeli, öğrencilerin gereksinim duyduğu değerlendirme ve pedagojik stratejileri de
kullanmalıdırlar. Buna ek olarak, etkili öğretim gelişimi yakalamak için, sürekli çabayı
gerektirir. Öğretmenlerin kendi bilgilerini tazelemek ve zenginleştirmek için iyi kaynaklara
gereksinimleri vardır.
Matematik Öğretimi için Profesyonel Standartlar (NCTM, 1991) kitabında
matematik öğretimi için sunulan 6 standart:
1. Yararlı matematiksel işler/etkinlikler(task)
2. Anlatımlarda öğretmenin rolünün önemi
3. Anlatımlarda öğrencinin rolünün önemi
4. Diyalogları zenginleştirme araçları
5. Öğrenme ortamı
6. Öğretme ve öğrenmenin analizi
Öğretmenler farklı çeşitlerde matematiksel bilgiye gereksinim duyarlar. Örneğin;
müfredat amaçları hakkında esnek bilgilere ve bu amaçların sınıf düzeyi ile örtüşmesine,
bilgilerin sınıf ortamında etkili olarak nasıl öğretileceğine ve bu bilgilerin anlaşılıp
anlaşılmadığının nasıl değerlendirileceğine gereksinim duyarlar. Bu bilgiler öğretmene sağlıklı
değerlendirme yapma, öğrencilerin sorularına cevap verme ve sonrasını planlama konularında
yardımcı olur. Pedagojik bilgi ise, en gereklisidir. Öğretme işi, pratik yaptıkça şekillenir.
Öğretmenler, matematiği anlamaya çalışmalı ve matematiği ilişkili bir konu olarak
sunabilmelidirler. Kararları ve sınıftaki hareketleri bu bilgilere dayanmalıdır çünkü
öğretmenle ilgili herşey öğrencinin matematiği öğrenmesini etkiler. Öğretmenlerin
öğrencilerin genellikle güçlük çektiği konuları belirleme ve yanlış anlamalarını gidermek için
köprü kurma yolları bulmaya gereksinimleri vardır.
Etkili matematik öğretimi, öğrencilerin matematik anlamalarının gelişiminin takibini
gerektirir. Çünkü öğrenciler eski bilgilerle yenileri arasında bağlantılar kurarak öğrenirler,
yani öğretmenler öğrencilerin ne biliyor olduklarını bilmek durumundadırlar. Etkili öğretmen,
nasıl soru soracağını, dersi nasıl planlayacağını bilir. Kendi deneyimlerini derse nasıl adapte
edeceğini, bu deneyimler üzerine bilgiyi nasıl kuracağını da bilir.
Öğretmenler matematiksel düşüncenin öğrenciler tarafından öğrenilmesine yardım
ederken farklı stratejiler ve teknikler kullanırlar, çünkü öğretmenin tek bir yolu yoktur.
Etkili öğretmenler verdikleri kararların öğrencilerin matematiksel çözümlemelerini ve onların
öğrenmeye yönelik zengin olanaklara sahip olacaklarının farkındadırlar. Uygun öğretim
materyallerinin seçimi ve kullanımı, uygun öğretim tekniklerinin kullanımı sürekli gelişime
önem vermek, iyi öğretmenlerin hergün yaptıkları etkinliklerdendir.
Matematik öğretmenin karmaşıklıklarından biri, amaçlı ve planlı sınıflar ile öğretmenin
öğrencilerinin durumu karşısında hazırlanmamış anında etkinliklerin devreye sokulması ( ki bu
etkinlikler yanılgıları gidermeye yönelik olacaktır) olayının dengede tutulmasıdır. Đyi
matematik öğretmek; yaratma, zenginleştirme, sürdürme, koruma, matematiksel amaçlara
uygun olarak öğretimi kaydırma, öğrencilerin ilgisine yönelik olma ve öğrencileri matematiksel
anlamalarını inşa etmek için yüreklendirme şeklinde olmalıdır.
Etkili öğretim iddialı ve destekleyici sınıf öğretim ortamlarını gerektirir.
Öğretmenler, hergün öğrenme ortamının nasıl yapılandırılacağı ve hangi matematiğin
aşılanacağı ile ilgili birçok seçim yaparlar. Bu kararlar genel olarak öğrencilerin ne
öğreneceğini belirler. Etkili öğretme, her öğrencinin matematiği anlayabileceğini yayan bir
görüşe sahiptir. Bu nedenle her biri amaca ulaşmak için gösterdikleri çabada
desteklenmelidirler.
Öğretmenler, matematik öğrenme ortamlarını verdikleri kararlar doğrultusunda,
yarattıkları fiziksel oturumlarla kurarlar ve beslerler. Öğretmenler öğrencileri
yüreklendirmek için, onları düşündürür, sorular sorar, problem çözdürür ve fikirlerini,
stratejilerini çözümlerini tartıştırır. Öğretmen ciddi matematiksel düşünmenin şart olduğu
entelektüel ortamları yaratmaktan sorumludur. Sıralarda, tahtadan masadan oluşturulmuş
fiziksel bir ortamın yanında öğrencilerin matematik öğrenmeye değer vermelerini sağlayan
iletişimler de kurulmalıdır. Öğrencilerin tartışmaları ve işbirlikli çalışmaları desteklendi mi?
Öğrenciler düşüncelerini kanıtladılar mı? Eğer öğrenciler ilişki kurma, problem çözmenin
farklı yaklaşımlarını deneme, matematiksel tartışmaları yapılandırma ve diğer argümanlara
cevap verme durumunda ise, bu etkinliklerin desteklendiği ortamlar yaratılmalıdır.
Etkili öğretmede, değerli matematiksel etkinlikler, önemli matematiksel düşünceleri
tanıtmada, çocukları entelektüel açıdan zorlamada kullanılmalıdır. Đyi seçilmiş etkinlikler,
öğrencilerin merakını canlandırır ve matematik yaptıklarında övünmelerini sağlar. Bu
etkinlikler, öğrencilerin gerçek dünya deneyimleriyle ilintili olabilir ya da sadece
matematiksel olabilir. Bağlam dikkate alınarak, değerli etkinlikler geliştirilmeli, öğrencilere
meydan okuyacak ve öğrenciler arasında tartışmalara neden olacak işler yapılmalıdır. Bu gibi
işler birden fazla yollarla yaklaştırılmalı, örneğin; aritmetik sayma yaklaşımını kullanma,
geometrik bir diagram çizme ve cebirsel denklemleri kullanma gibi şeylerle öğrencilerin eski
bilgilerini kullanmalarını sağlayacak etkinlikler verilmiş olur.
Sadece değerli etkinlikler vermek etkili öğretim için yeterli değildir. Öğretmenler
ayrıca etkinliğin hangi yönünün önemli olduğuna, bunu nasıl organize edeceklerine ve
öğrencilerin çalışmalarını nasıl organize edeceklerine, çeşitli düzeylerde öğrencilere nasıl
meydan okuyucu sorular soracaklarına, onların düşünme süreçlerini üstüne almadan, onları
düşünme sürecinden uzaklaştırmadan nasıl destekleyeceklerine de karar vermelidirler.
Etkili öğretim sürekli gelişimi aramayı gerektirir.
Etkili öğretim öğrencileri gözlemlemeyi, onların düşüncelerini ve açıklamalarını
dikkatlice dinlemeyi, matematiksel amaçlara sahip olmayı ve bilgiyi öğretimsel kararlar
vermek için kullanmayı içerir. Bu şekilde pratikler yapan öğretmen öğrencilerini matematiksel
düşünme, usavurma ve öğrencilere tüm anlama düzeyinde meydan okuyan öğrenme fırsatları
verecek şekilde yüreklendirir. Etkili öğretme, öğrenme ve gelişim için sürekli çabayı
gerektirir. Bu çabalar, matematik ve pedagojiyle ilgili öğrenmeyi, iş arkadaşları ve öğrenciler
arasındaki etkileşimlerden yararlanmayı ve devamlı profesyonel gelişim ve kendi kendine
yansıtma içinde bulunmayı içerir.
Matematik öğretmenlerini geliştirmek için, öğretmenler kendilerinin ve öğrencilerinin
ne yaptıklarını analiz etmek ve bu hareketlerin öğrencilerin öğrenmelerini nasıl etkilediklerini
düşünebiliyor olmak zorundadırlar. Çeşitli teknikler kullanarak öğretmenler öğrencilerinin
kapasitelerini, durumlarını analiz etme yetilerinin artışını, problem kurma ve çözme
becerilerini, matematiksel kavramları ve süreçleri anlamlandırmalarını gözlemelidirler. Bu
bilgiyi de öğrencilerin gelişimini değerlendirmek ve matematiksel görevin nasıl işlediğini
anlamak ve takdir etmek, sınıf ortamının öğrencilerin öğrenimini nasıl etkilediğini görmek için
kullanabilirler.
Yansıtma ve analiz genellikle bireysel etkinliklerdir ama deneyimli işi arkadaşlarıyla
çalışılınca ya da yeni mezun bir öğretmenle ya da bir öğretmen grubuyla, bu daha da
zenginleştirilebilir. Amerikan okullarında öğretmenlerin düzenli olarak takım çalışması yapıp,
gözlemeleri, analiz etmeleri ve öğretimi ve öğrencilerin düşüncelerini tartışmaları ya da
"ders çalışması" yapmaları çok güçlü bir profesyonel gelişim biçimi olarak uygulanmaktadır.
Öğretmenlerin çalışmaları için okul içi zamanları da buna göre ayarlanır.
ÖĞRENME PRENSĐBĐ
Öğrenciler matematiği anlayarak deneyimleri kullanarak, eski bilgilerden yeni bilgiyi
etkin olarak kurarak öğrenmek zorundadırlar.
"Prensipler ve Standartlar" adlı kitaptaki okul matematiği vizyonu, öğrencilerin matematiği
anlayarak öğrenmesi temeline dayanır. Maalesef, matematiği anlayamadan öğrenme okul
matematik öğretiminin uzun yıllar boyunca genel bir çıktısı olmuştur. Aslında anlamadan
öğrenme 1930'lardan beri gelen bir problemdir ve eğitimciler-psikologlar arasında yıllarca
tartışılan araştırma yapılan bir konu olmuştur. Matematik öğrenme, anlamayı, kavramları
uygulamayı gerektirir. 21. yy da tüm öğrencilerin matematiği anlayabilmesi ve uygulayabilmesi
beklenmelidir.
Matematiği anlayarak öğrenmek gereklidir.
Son yüzyılda, matematik gibi kompleks konular üzerine olan psikoloji ve eğitim
araştırmaları önemli rol oynamaya başlamıştır. Karışık konularda, yeterli olmak için bilgiyi
esnekçe kullanmak, öğrenilenleri bir oturumdan diğerine uygulayabilmek gerekir.
Araştırmaların en güçlü bulgularından biri, kavramsal anlamanın yeterliğin en önemli
bileşenlerinden olduğudur.
Bilgi, yeterlik ve kavramsal anlama iyi bir şekilde kullanılırsa çok güçlüdür. Kavramları
anlamadan ezberleyen öğrenciler bildiklerini ne zaman ve nasıl kullanacaklarından genellikle
emin değildirler ve bu tip öğrenmeler daha çabuk unutulur. Anlayarak öğrenme sonraki
öğrenmeleri de kolay kılar. Öğrenciler eğer yeni bilgi ile varolan bilgi arasında bir anlam bağı
kurarlarsa matematik anlamlanır ve hatırlanması uygulaması kolaylaşır. Đyi bağlantılı,
kavramsal temelli düşünceler yeni durumlar için kullanılmaya uygundur (Skemp, 76).
Đş dünyası içinde sayısal bilgi kullanılmaktadır. Problemlerle baş etmek için kavramsal
anlama önemlidir. Bunun yanısıra, süreçler ve işlem hamallığı sürekli gelişen şu dünyada
hergün kolaylaşmaktadır ama kavramlar tam oturmalıdır. Örneğin; çoğu aritmetik ve cebirsel
süreçler okul matematiğinde artık hesap makinesiyle yapılmaktadır.
Hayattaki herşey değişim halindedir, o halde anlayarak öğrenme öğrencilerin
öğrendiklerini kullanmaları ve gelecekte karşılaşacakları durumlar için problem çözme yetisi
kazanmaları için daha büyük önem taşımaktadır.
Okul matematik programının temel amacı, kendi kendini idare edebilen öğrenenler
yetiştirmektir. Anlayarak öğrenme de bu amacı destekler. Öğrenciler amaçlarını belirleyip
kendi gelişimlerini izlediklerinde öğrenmenin kontrolünü ellerine alırlar ve böylece daha iyi ve
daha planlı öğrenebilirler. Đyi seçilmiş kışkırtıcı etkinliklerle, öğrenciler güç problemlerle
başedebilme yeteneğine sahip olabilirler, matematiksel düşünceleri ve değişik çözüm yollarını
keşfedebilirler. Etkili öğretmenler, kendi öğrenmelerini yansıtma ve yanlışlarından
öğrenmenin gerekliliğini farkederler. Öğrenciler zor matematiksel araştırmalar karşısında
pes edeceklerine onlara meydan okuyabilmelidirler. Matematiksel bir görev zor olsa da
çocuklar için meşgul edici ve ödüllendirici olabilir. Öğrenciler zor bir problemi çözmek ya da
zor bir düşünceyi anlamak için çok çalışırlarken, başarı duygusunu da tadarlar ve bu onlara
devam etmek için istek verir, onların matematikle olan meşguliyetlerini genişletir.
Öğrenciler matematiği anlayarak öğrenirler
Küçük yaşlardan beri çocuklar matematiksel düşünceler içindedirler. Günlük hayat
deneyimleri boyunca, sayılar örüntüler şekiller miktarlar veriler ve boyutlar hakkında birçok
informal düşünceyi okullarından önce de geliştirirler ve bunların çoğu doğrudur. Böylece
çocuklar okula gelmeden önce birçok matematiksel düşünceyi doğal yollarla öğrenmiş olurlar.
Eski öğrenmeler üzerine yeni öğrenmeleri ve deneyimleri inşa etme işi erken ve sürekli
tekrar içinde olmalıdır, genellikle bu iş okul yıllarında yapılır. Her yaştaki çocukların
üzerlerine kurulabilecek belli bir miktar bilgisi vardır, bu bilgi hem okuldaki öğretimle
kazanılanları, hem de günlük yaşamdan edinilen deneyimleri içerir.
Öğrencilerin öğrenmelerinin genişliği ve kalitesini hesaplamada öğretmenlerin
sağladığı deneyimlerin rolü önemlidir. Eğer öğrenciler okulda iyi etkinliklerle ve deneyimlerle
meşgul edilirlerse ki bu deneyimler bilgiler arası bağlantıları kurabilecek nitelikte olmalıdır,
öğrencilerin matematiksel düşünceleri anlamaları okul yılları boyunca sağlanabilir.
Anlayarak öğrenme, sınıf içi etkileşimlerle zenginleştirilebilir çünkü öğrenciler
matematiksel fikirleri ve bağlantıları önererek, kendi öğrenmelerini değerlendirerek
matematiksel akıl yürütme yetilerini geliştirerek anlarlar. Sınıf içi diyaloglar ve sosyal
etkileşimler, fikirler arasındaki bağlantıların ve bilginin tekrar organize edilmesinin farkına
varılışının aktarılması için kullanılabilir. Öğrencilerle onların formal olmayan stratejileri
hakkında konuşmak, öğretmenlerin onların farkında olmasına yardımcı olur, onların net
olmayan informal bilgilerini yapılandırır.
Çev: C. Harun BÖKE
DEĞERLENDĐRME PRENSĐBĐ
Değerlendirme hem öğretmen hem de öğrenci için önemli matematiğin öğrenilmesini
desteklemeli ve gerekli bilgileri sağlamalıdır.
Değerlendirme matematik eğitiminin tamamlayıcı bir parçası olduğunda tüm öğrencilerin
matematik öğrenimine belirgin bir biçimde katkıda bulunacaktır. Standartlara bağlı kalınarak
tartışıldığında öğrencilerin hedeflere ne kadar ulaşılabildiğini anlamak için sınavlara
odaklanılsa da, aslında değerlendirmenin başka önemli amaçları vardır. Değerlendirme, verilen
eğitimin sonunda öğrencilerin belli koşullar altında ne kadar başarılı olduklarını gösterecek
bir sınavdan çok, öğretmene bilgi vermeye ve verdiği eğitimle ilgili kararlarını etkilemeye
yönelik, eğitimin tamamlayıcı bir parçası olmalıdır. Değerlendirme öğrenciye karşı
yapılmamalıdır, öğrenci için yapılmalıdır.
Değerlendirme öğrencinin öğrenmesini arttırmalıdır
Değerlendirmenin öğrenmeyi arttırması ifadesi şaşırtıcı olabilir. Sonuç olarak, eğer
değerlendirme öğrencinin konuyu ne kadar öğrendiğini ve verilen problemleri ne ölçüde
yapabildiğini gösteriyorsa, öğrenmenin arttırılmasıyla ilgili olumlu sonuçları olabilir mi?
Araştırmalar değerlendirmenin sınıf içi çalışmalarda tamamlayıcı bir rol almasıyla öğrenmenin
artması arasında olumlu bir ilişki olduğunu göstermektedir. Black ve William (1998) 250
kadar araştırmanın sonuçlarını inceledikten sonra, değerlendirmenin tamamlayıcı etkisiyle
öğrencilerde öğrenmenin olumlu yönde geliştiğini bulguladıklarını ifade etmişlerdir.
Đyi değerlendirme öğrenmeyi çeşitli yollar yardımıyla arttırabilir. Öncelikle, bir
değerlendirmede kullanılacak etkinlikler öğrencilere hangi matematik bilgi ve uygulamalarının
değerli olduğunu gösterebilir. Bu da, öğrencinin çalışmak için çaba sarf edip sarf etmemesi
yönünde vereceği kararı olumlu olarak etkiler. Dolayısıyla değerlendirmenin bu şekilde
kullanımı, öğrencinin dikkati ve zamanı açısından önem taşır. Öğretmenler gözlem, sohbet,
öğrencilerle görüşme ya da karşılıklı etkileşimli günlükler gibi değerlendirme tekniklerini
kullanmaya başladıkları zaman, öğrenciler düşüncelerin açıkça ifade edebilme ve öğretmenin
sorularını yanıtlama süreçlerini öğrenmeye başlayacaklardır.
Değerlendirme etkinliklerinden alacakları geri bildirim, öğrencilere kendi
öğrenmelerinin sorumluluğunu üstlenmeleri ve giderek daha bağımsız öğrenciler olmaları
yolunda yardımcı olacaktır. Örneğin puan rehberleri ya da talimatlar, öğretmenlerin
öğrencilerin karmaşık etkinliklere verdikleri tepkileri belirleme ve çözümlemelerine, ayrıca
öğrencilerin ustalık düzeylerini belirlemelerine yardımcı olabilir. Ayrıca öğrenciler tam ve
doğru yanıtların karakteristik özelliklerini anlama olanağı bulurlar. Benzer bir biçimde,
öğrencilerin karmaşık bir problemin çözümü için değişik yaklaşımlar sundukları ve
değerlendirdikleri sınıf tartışmaları, öğrencilerin mükemmel bir yanıt ile vasat bir yanıt
arasındaki farkı anlamalarını da sağlar. Đyi etkinliklerin kullanılması ve iyi yanıtların
tartışılması, öğrencilerin kendi kendini değerlendirme ve bu değerlendirmelerini -ve
arkadaşlarının değerlendirmelerini- işlerine yansıtma kapasitelerini geliştirir. Kendi kendine
değerlendirme ve akran-değerlendirmesinin öğrencilerin öğrenmesine olumlu etkisi olduğu
bilinmektedir.
Değerlendirme öğretimle ilgili kararlar için değerli bir araçtır
Tüm öğrencilerin yüksek nitelikli ve derin öğrenmesini sağlamak için değerlendirme
öğrenimle öyle bir kaynaştırılmalıdır ki, dersin bölünmesinden çok sıradan bir etkinliği haline
gelmelidir. Bu şekilde değerlendirme öğretmenin de öğretimiyle ilgili uygun kararlar
verebilmesine yardımcı olur. Testler ve küçük sınavlar gibi bildik değerlendirmeler dışında,
öğretmenler sürekli olarak sınıfta soru sorma, öğrencilerle bireysel konuşmalar yapma vb
yollarla da öğrencileri hakkında bilgi toplamalıdır.
Öğretmenler öğrencilerinin ne öğrendikleri hakkında işe yarar bir bilgiye sahip
olduklarında,
öğrencilerin
matematiksel
hedefler
doğrultusunda
ilerlemelerini
destekleyebilirler. Öğretimle ilgili kararlar da -eski konuların nasıl ve ne zaman gözden
geçirileceği, zor bir konunun nasıl tekrar anlatılacağı vb-, öğrencilerin ne bildikleri ve neyi
öğrenmeleri gerektiği ile ilgili sonuçlara bakılarak alınabilir. Değerlendirme, bu sonuçların
birincil kaynağıdır ve öğretmenlerin verdikleri kararların niteliği de buna bağlıdır.
Değerlendirme öğrencilerin bilmeleri gereken ve bilebilecekleri matematiği yansıtmalı,
öğrencinin sıralı komutları uygulama becerilerinin yanı sıra, matematiği anlamalarına da
odaklanmalıdır. Öğretmenlerin ne öğretebileceği ve ne öğrenebileceği konusunda kesin
bilgileri olmalı ve değerlendirme öğretmenlerin öğretim hedeflerine uygun olarak
düzenlenmelidir. Değerlendirme öğrencilerin bireysel ve grup içi ilerlemeleri hakkında bilgi
sağlayarak her öğrencinin üretici bir şekilde aynı yönde ilerlediğini gösterebilir.
Etkili kararlar verebilmek için öğretmenler değişik kaynaklar kullanmalıdır. Bildik
değerlendirmeler ancak belirli koşullarda belli bir açıdan öğrenciye bakabilmektedir -bireysel
olarak verdikleri ve zamanla sınırlı sınavlar. Bu değerlendirmelere, öğrencilerin
performansının eksik ve bozuk bir portresini verdiğinden fazlaca güvenmek doğru değildir.
Her öğrenci bildiğini ve yapabildiğini farklı yollarla gösterebilir, dolayısıyla değerlendirmeler
bir çok yaklaşıma izin vermelidir. Böylece her öğrencinin -güçlü ve zayıf yanlarıyla- tam bir
resmi ortaya çıkacaktır.
Matematik öğretmenleri bir çok değerlendirme tekniği kullanabilirler, açık-uçlu
sorular, yanıt-oluşturmaya yönelik etkinlikler, çoktan seçmeli sorular, performans
etkinlikleri, gözlemler, sohbetler, günlükler ve portfolyolar. Bu yöntemlerin tümü sınıf içi
değerlendirmede kullanılabilir.
Đyi uygulandığında öğretmenlerin içerik ya da öğretimin formuyla ilgili kararlarında
etkili olan değerlendirme, öğrencilerin becerilerin değerlendirmek amacıyla da kullanılabilir.
Öğretmenler matematiksel hedeflerini derinlemesine anlamış olmalı, öğrencilerinin
matematik hakkında ne düşünebileceklerini bilebilmeli, öğrencilerin bilgisini değerlendirmenin
değişik anlamlarını kavramalı ve farklı kaynaklardan gelen değerlendirme sonuçlarını
yorumlama yeteneğini geliştirmiş olmalıdır.
TEKNOLOJĐ PRENSĐBĐ
Teknoloji matematiğin öğretilmesi ve öğrenilmesi için önemlidir, öğretilen matematiği
etkiler ve öğrencilerin öğrenmesini geliştirir.
Elektronik teknolojiler -hesap makineleri ve bilgisayarlar- matematiği öğretmek, öğrenmek
ve matematik yapmak için temel araçlardır. Bu araçlar matematiksel ifadelerin görsel
imajlarını yaratma, verileri düzenleme ve çözümleme, etkili ve tam hesap yapma olanağı
sağlarlar. Öğrencilerin matematiğin her alanında araştırma yapmalarına destek olurlar.
Teknolojik araçlar kullanıldığında öğrenciler karar verme, yansıtma, usa vurma ve problem
çözme becerileri üzerinde odaklanabilirler.
Teknolojinin uygun kullanımı söz konusu olduğunda öğrenciler daha çok matematiği
daha derinlemesine öğrenebilirler. Teknoloji şu an geçerli olan temel anlayışların ve kuralların
yerine geçmekten çok, bu anlayışları geliştirmek amacına hizmet etmelidir. Matematik
öğretiminde teknoloji, öğrencilerin öğrenmelerini geliştirmek amacıyla yaygın bir biçimde
kullanılmalıdır.
Teknolojinin varlığı, çok amaçlılığı ve gücü, öğrencilerin en iyi şekilde nasıl
öğreneceklerinin yanı sıra, ne öğrenmeleri gerektiği konusunun da yeniden
değerlendirilmesini olanaklı, hatta gerekli kılar. Bu kitapta belirtilen matematik sınıfı
ortamında her öğrencinin matematiği öğrenmesini kolaylaştırmak için, konusuna hakim bir
öğretmenin yardımıyla teknolojiyi kullanma şansı olmalıdır.
Teknoloji matematik eğitimini geliştirir
Teknoloji öğrencilerin matematik öğrenmelerine yardımcı olabilir. Örneğin hesap
makineleri ve bilgisayarlarla öğrenciler kağıt kalemle yapılamayacak problemlerin üzerinde
çalışabilirler. Teknolojik araçların çizimsel (grafik) gücü, öğrencilerin tek başlarına
yapamayacakları görsel modellerin oluşturulmasını kolaylaştırır. Teknolojik araçların
hesaplama kapasiteleri öğrencilerin uğraşabilecekleri problemlerin türünü arttırır. Ayrıca
sıradan hesaplamaların çabucak ve eksiksiz olarak yapılmasını sağlar. Böylelikle modelleme ve
kavramsallaştırmaya daha çok zaman kalır.
Öğrencilerin soyut matematiği kavramaları teknolojiyle daha kolaylaşır. Teknoloji
öğrencilerin matematiksel düşüncelere olan yaklaşımlarının niteliğini arttırır.
Teknoloji öğretmenlere öğretimi öğrencinin özel ihtiyaçlarını karşılamak için
uyumlulaştırılması şansını verir. Đlgisi çabuk dağılan öğrenciler bilgisayar etkinlikleriyle
ilgilerini canlı tutabilirler.
Teknoloji etkili matematik öğretimini destekler
Teknolojinin matematik dersinde etkili kullanımı öğretmene bağlıdır. Teknoloji her
şeyin çözümü değildir. Diğer öğretim araçları gibi iyi veya kötü kullanılabilir. Öğretmenler
teknolojiyi öğrencilerin öğrenme fırsatlarını zenginleştirecek matematiksel etkinlikler
seçecek ya da yaratacak şekilde kullanmalıdırlar. Örneğin benzetim (simulation) yazılımları
yardımıyla öğrencilere teknoloji olmaksızın yaratılması zor deneyimler yaşatılabilir ya da veri
bankaları veya internet kullanılarak bir takım etkinlikleri tamamlamaları sağlanabilir.
Teknoloji matematik öğretmenlerinin yerini almayacaktır. Öğrenciler teknolojik
araçları kullanırlarken öğretmenden bağımsızmış gibi görünürler, ancak bu tamamen doğru
değildir. Öğretmen teknolojiyle zenginleştirilmiş sınıfta öğrencilerin öğrenmelerini
etkileyecek birçok önemli karar verir. Öğretmen öncelikle teknolojiyi kullanıp
kullanmayacağına, ne zaman ve nasıl kullanacağına karar vermelidir. Öğrenciler sınıfta hesap
makinesi ya da bilgisayar kullanırken öğretmen de öğrencilerin düşünme yöntemlerine
odaklanabilir. Öğrenciler teknolojiyle çalıştıkça, matematik üzerine düşünmenin yeni
yöntemlerini geliştirirler -ki başka koşullarda pek de olası değildir bu. Dolayısıyla teknoloji
değerlendirmeye yardımcı olur diyebiliriz.
Teknoloji hangi matematiğin öğretildiğine etki eder
Teknoloji sadece matematiğin nasıl öğretildiği konusunda değil, hangi bölümlerin
öğretilmesi gerektiği konusunda da etkilidir. Öğrenciler teknolojinin yardımıyla büyük
sayılarla işlem yapmayı veya bir çok veriyi düzenlemeyi ve çözümlemeyi daha erken yaşlarda
öğrenebilirler. Đlköğretim ikinci kademe öğrencileri doğrusal denklemler veya eğimle ilgili
çalışmaları bilgisayar laboratuarlarında yapabilirler. Lise öğrencileri benzetim yazılımları
kullanabilirler, ayrıca cebir yazılımları yardımıyla geleneksel matematik yetişeğinde
öğretilmesi amaçlanan tüm hesaplamaları yapabilirler.
Teknoloji öğretmenlere öğrencilerin matematiği anlayışını daha geniş anlamda
geliştirecek becerileri öğrencilere aktarma şansı verir. Teknolojik araçların varlığı, hesap
yapma, denklem çözme gibi amaçların önemini kaybedip öğrencilerin genelleme ve soyut
düşünme becerilerinin gelişmesi amaçlarını ön plana çıkarmaktadır. Teknoloji sayesinde
matematiğin sınıfta öğretilen bir çok konusu yeni bir önem kazanmakta, matematiksel alanın
sınırları değişmektedir.
ÜNĐTE 3
Anaokulu öncesinden 12. sınıfa kadar
OKUL MATEMATĐĞĐ ĐÇĐN STANDARTLAR
Çev: C. Harun BÖKE
Öğrenciler okula devam ettikleri sürece matematikten hangi konuları öğrenmelidir? "Okul
Matematiği Đçin Đlke ve Standartlar" (Principles & Standards for School Mathematics),
"Matematik Öğretmenleri Ulusal Konseyi"nin (NCTM) okul matematiği eğitiminde nelere
önem verilmesi gerektiğiyle ilgili önerisini sunmaktadır. Matematiksel düşünebilen ve işe
yarar matematiksel bilgi ve becerileri geliştirmiş bir topluma ulaşabilmek için yüksek
standartlar gereklidir.
Bu bölümde verilen on standart, matematiksel anlayış ve yeteneği tamamlamada yardımcı
olacaktır. Standartlar, matematik eğitiminin öğrencilere ne öğreteceğinin ve onların ne
yapabileceğinin tanımlarıdır. Öğrencilerin anaokulu öncesinden 12. sınıfa kadar kavramaları
gereken anlayış, bilgi ve becerileri belirtirler. Đçerik Standartı -sayı ve işlemler, cebir,
geometri, ölçme, veri çözümlemesi ve olasılık- açıkça öğrencilerin öğrenmesi gereken içeriği
tanımlar. Süreç Standartı -problem çözme, usavurma ve gösterim, iletişim, bağlantılar ve
sunma- içerikte yer alan bilgiyi kavrama ve kullanmanın yollarıdır.
Sınıf Sınıf Büyüme: Anlaşılırlığa ve Odaklanmaya Doğru
Bu on standartın her biri anaokulu öncesinden 12. sınıfa kadar tüm sınıflarda uygulanabilir.
Standartlar, fırsatı olan her öğrencinin öğrenebileceği türden matematik önerir. Her
standart her sınıfa uygulanacak az sayıda hedefi içerir.
Öğrenciler konularda belli bir anlayış derinliğine ve yetişekte belirtilen prosedürleri
uygulamada belirli bir akıcılığa sahip olacaktır. Böylelikle öğretimin bir sonraki aşaması bu
anlayış ve akıcılık üzerine bina edilebilecektir.
Bu on standarttan her biri her sınıfa uygulanabilmektedir, ancak ağırlık sınıflar arasında
değişmektedir. Örneğin Sayılar konusuna verilen ağırlık anaokulu öncesinden en üst düzeyde
iken 9. - 12. sınıflarda neredeyse en alt düzeydedir. Ayrıca her sınıfın belirli ihtiyaçları
nedeniyle matematik eğitimindeki toplam zamanın bölünmesi de farklılaşmaktadır. Örneğin
orta sınıflarda, öğretim zamanının büyük çoğunluğunu cebir ve geometri almaktadır.
Bu on standart okul matematik yetişeğini birbirinden ayrı parçalar şeklinde ayırmaz. Bir
disiplin olarak matematik yüksek düzeyde karşılıklı ilişkili alanlardan oluştuğundan,
standartların birbirlerini tekrarladığı ve tamamladığı görülür. Süreçler Đçerik Standartı
dahilinde, içerik de Süreçler Standartı dahilinde öğrenilebilir. Standartlar arasında zengin
bağlantı ve kesişmeler vardır. Örneğin sayılar matematiğin her alanına yayılmışlardır. Veri
çözümlemesindeki bazı konular ölçme konusunun bir parçası sayılabilir. Örüntüler ve
fonksiyonlar geometride boy gösterebilirler. Usavurma, gösterim, problem çözme ve sunuş
süreçleri matematiğin her alanında görülürler.
Bu standartlara göre düzenlenecek yetişeğin anlamlı matematiksel içerik ve süreçlerin tutarlı
bir organizasyonu olması önerilmektedir.
Soyut Matematik Nerede?
1989'daki "Okul Matematiği için Yetişek ve Değerlendirme Standartları", 9. - 12. sınıflar için
Soyut Matematik Standartını getirmiştir. "Đlkeler ve Standartlar" soyut matematiğin ana
konularını içermektedir, ancak standartlar arasında dağıtılmış bir haldedir ve anaokulu
öncesinden 12. sınıfa kadar tüm sınıfları kapsar. Buna ek olarak, matris konusu da 9.-12.
sınıfların yetişeğinde olmalıdır. Kombinasyon sistemli saymanın matematiğidir. Sıralı, aşama
aşama bir değişim için tekrar yöntemi kullanılmıştır. Belirli sayıda nesneler arasındaki ilişki,
ağ ve yolları içeren problemleri çözmek için grafikler kullanılmıştır.
SAYILAR VE ĐŞLEMLER
Sayı ve Đşlemler Standartı sayma, sayılar, aritmetik, sayı sistemleri ve okunuşlarının derin ve
temel anlayışını tanımlar. Temel aritmetiğin algoritmaları ve konuları, sayı kuramının
başlangıcı olan sayı sınıflarının olduğu kadar, sayı ve işlemlerin bir parçasıdır. Bu standartın
merkezinde sayı kavramının geliştirilmesi vardır -sayıları çözümleme, 100 ya da 1/2 gibi
belirli sayıları kullanabilme, aritmetik işlemlerinin arasındaki ilişkileri kullanarak problem
çözme, onluk sayı sistemini anlama vb.
Tarihsel olarak sayı tüm matematik yetişeğinde bir yapıtaşı olmuştur. Anaokulu öncesinden
12. sınıfa kadar tüm sınıfların matematiğinin sayıdan temellenmesi önerilmiştir. Cebirdeki
denklem çözme ilkeleri, sayı sistemlerindeki yapısal özelliklerle aynıdır. Geometri ve ölçmede
nitelikler sayılarla tanımlanır. Tüm veri çözümleme alanı sayı kavramından temellenmiştir.
Problem çözme sürecinde öğrenciler sayı anlayışlarını keşfeder ve somutlaştırırlar. Küçük
çocukların matematiksel usavurmaları daha çok sayıların durumlarıyla ilgilidir, ve
matematiksel ifadeleri sayılarla olacaktır. Araştırmalar sayı ve işlemleri öğrenmenin çocuklar
için karmaşık bir süreç olduğunu göstermiştir.
Bu standartlarda sayı ve işlemler, sayı kavramını geliştirme ve aritmetik hesaplarda akıcılık
kazanma ilk sınıfların matematik eğitiminin temelini oluşturmaktadır. Öğrenciler
anaokulundan 12. sınıfa doğru ilerledikçe sayılarla ilgili zengin bir anlayışa ulaşmalıdırlar sayıların ne oldukları, nesnelerle, rakamlarla ya da sayı çizgisinde nasıl gösterildikleri,
birbirleriyle nasıl ilişkili oldukları, sayıların özellikleri ve yapıları olan sistemlere nasıl
gömüldükleri ve problem çözmede sayıların ve işlemlerin nasıl kullanıldıkları vb.
Tek basamaklı toplama ve çarpma yapılacak sayı çiftleri ve bunların bölme ve çıkarmadaki
eşleri gibi temel sayı birleşimlerini bilmek önemlidir. Hesaplamada akıcılık -hesaplamanın
yöntemlerini etkili ve tam olarak bilme ve kullanmada aynı derecede önemlidir. Akıcılıktan
kasıt, özellikle büyük sayıları kullanırken mantıksal stratejilerin karışımının kullanılması, kağıt
kalemle hesap yapılması ve hızlı bir şekilde tam sonuçlar bulmaktır. Öğrenciler kullandıkları
yöntemi açıklayabilmelidir, böylelikle birçok yöntemin varlığını fark edip hangilerinin etkili,
tam ve genel olduğunu anlayabilirler. Hesaplama akıcılığı işlemlerin rolü ve anlamının
anlaşılmasıyla birlikte gelişmelidir.
Hesap makineleri büyük sayılarla yapılan işlemlerde kullanılmalıdır. Ancak öğretmenler
öğrencilere hesapla ilgili algoritmaları öğretirken hesap makineleri bir kenara bırakılmalıdır.
Bugün hesap makinesi sınıf dışında yaygın bir biçimde kullanılmaktadır ve artık sınıflarda da
kullanılmaya başlanmıştır.
Sayıları, Sayıları Gösterme Yollarını, Sayılar Arası Đlişkileri ve Sayı Sistemlerini Anlama
Sayıların kavranması anaokulu öncesinden 2. sınıfa kadar olan dönemi kapsar. Öğrenciler bu
dönemde saymayı ve bir kümede "kaç" eleman olduğunu bulmayı öğrenirler. Bir anahtar
düşünce, bir sayının birden fazla çözümlemesinin bulunmasıdır. Örneğin 24 sayısı 2 onluk 4
birlik olarak çözümlenebileceği gibi, 2 12'lik olarak da çözümlenebilir. 10 sayısını hem 1 onluk,
hem de 10 birlik olarak görebilmek, onluk sistemi anlayabilmelerinde öğrencilerin kavramaları
gereken ilk basamaktır. Đlk sınıflarda öğrenciler sayı sınıflarını -tek, çift, asal, kare sayılar
vb- ve karakteristik özelliklerini öğrenebiliriler.
Tam sayıların öğrenciler tarafından kavranmasından sonra, basit kesirlere giriş yapılabilir;
bir kekin 1/2'si ya da pizzanın 1/8'i gibi, ve bu kesirler bir bütünün parçaları olarak
tanıtılmalıdır. Öğretmenler öğrencilerin kesirleri sayıların birbirine bölünmesi olarak
algılamalarına yardımcı olmalıdır. Daha sonraki sınıflarda oran ve orantının bir parçası olarak
öğrenciler kesirleri sayı olarak somutlaştırmalıdırlar. Sayıların somut bir biçimde
kavranmasıyla orta okulda öğrenciler sayıları temsilen değişkenleri kullanabileceklerdir.
Đlk sınıfların matematik derslerinde giriş olarak sayıları göstermek amacıyla somut
materyaller kullanılmalıdır. Daha sonraki sınıflarda öğrenciler sayıların birçok farklı biçimde
yazılabildiğini anlamalıdırlar. Böylece, örneğin 1/4, 0.25 ve %25 ifadelerinin aynı sayıyı
nitelediğini görebilirler. Öğrencilerin anlayışları ve usavurmaları kesir ve ondalık sayıları
fiziksel materyaller ve sayı çizgisi kullanarak geliştirecektir.
Öğrenciler sayıları ve nasıl göstereceklerini anladıkça, sayılar arasındaki ilişkileri de
anlamaya başlayacaklardır. 3. sınıftan 5. sınıfa kadar öğrenciler 1/2 gibi temel kesirleri
karşılaştırmayı öğrenebilirler. Sayı kavramına hakim oldukça 1/2 + 3/8 toplamının 1'den
küçük olacağını, çünkü her iki kesrin de 1/2'ye eşit ya da 1/2'den küçük olduğunu
açıklayabilirler. 6-8. sınıflarda öğrencilerin eşit kesirler, ondalıklar ve yüzdelerle
çalışabilmeleri çok önemlidir. Böylelikle kesirli sayıları karşılaştırma ve sıralama becerilerini
geliştirebilirler. Lise öğrencileri de değişkenleri ve fonksiyonları sayı kümeleri arasındaki
ilişkileri göstermek için kullanabilirler.
Diğer matematik konuları 9.-12. sınıflarda sayılardan daha ağırlıklı olarak verilmesine karşın,
bu sınıflarda öğrenciler sayı sistemlerini daha geniş bir açıyla görmelidirler. Sayı sistemleri
arasındaki farkları öğrenmeli ve bir sistemden diğerine geçişte hangi özelliklerin korunup
hangilerinin kaybolduğunu görebilmelidirler.
Đşlemlerin Anlamını ve Birbirleriyle Olan Đlişkilerini Anlama
Đlk sınıflar boyunca öğrenciler toplama ve çıkarma için bir anlam çeşitlemesiyle karşılaşırlar.
Araştırmacılar ve öğretmenler öğrencilerin;
"Bob 2 kek aldı. Şimdi 5 keki var. Bob'un başta kaç keki vardı?"
gibi basit aritmetik problemlerine yaklaşımlarında işlemleri nasıl algıladıklarını
öğrenmişlerdir. Öğrenciler bu problemi çözmek için toplama kullanarak parmaklarıyla ikiden
beşe kadar sayabilirler. Ya da problemi bir çıkarma durumu olarak algılayıp 5 - 2 = 3 işlemini
yapabilirler. Buna benzer düşünme stratejilerini keşfetmek veya 7 + 8'in 7 + 7 + 1 ile aynı
olduğunu anlamak öğrencilerin işlemlerin anlamını görmelerini sağlar. Bu ve benzeri keşifler
öğrencilerin ne düşündüğünü anlamaya yardımcı olur. Çarpma ve bölme işlemleri de
öğrencilerin anaokulu öncesinden 2. sınıfa kadarki dönemde anlayabilecekleri işlemlerdir.
Öğrenciler bir çanta dolusu şekeri eşit olarak nasıl paylaşacakları gibi problemleri
çözerlerken çarpma ve bölmeye aşina olmaya başlarlar.
3.-5. sınıflardaki öğrencilerde tam sayılarla çarpma ve bölmenin anlamını geliştirmeye
çalışmak esas hedef olmalıdır. Diyagram ya da somut nesnelerle çarpma ve bölme üzerinde
çalışmak, öğrencilerin iki işlem arasındaki ilişkiyi anlamalarını sağlayabilir. Öğrenciler bir
problemin çözümünde hangi işlemi yapacaklarına karar verebilmelidir. Bunun için herhangi bir
işlemin sonucunda ne çıkacağını tahmin edebilmeleri gerektiğini anlamalıdırlar.
6.-8. sınıflarda kesirli sayılarla işlemler vurgulanmalıdır. Öğrencilerin işlemlerle ilgili sezgileri
daha geniş sayı sistemlerine uyumlu hale getirilmelidir. Örneğin bir tam sayıyla 0 ve 1
arasındaki bir kesirli sayıyı çarptığımızda sonuç tam sayıdan küçük olur. Bu sonuç,
öğrencilerin daha önceki çarpma deneyimlerine terstir; onlara göre iki sayı çarpıldığında
sonuç çarpılan iki sayıdan da büyük olur.
Standartların lisede odaklandığı konu oran ve orantıdır. Öğrencilerin, aşağıda verilen
problemin benzerleri üzerinde çalışırken sayı çiftlerini karşılaştırmak için oran ve orantıyı
kullanmada ustalaşmaları gerekir;
"Üç paket kakaodan on beş bardak sıcak çikolata yapılabiliyorsa
altmış bardak sıcak çikolata için kaç paket kakaoya ihtiyaç vardır?"
Bu düzeydeki öğrenciler tam sayılarla işlemleri de öğrenmek zorundadır. 9.-12. sınıflarda
öğrenciler vektörlerle matrisleri aritmetik olarak birleştirmeyi öğrenirlerken, yeni özellik ve
örüntülere sahip farklı sayı sistemleriyle ilgili deneyim kazanacaklardır.
Akıcı Hesaplama ve Mantıklı Kestirimlerde Bulunma
Akıcılığı geliştirmek, hesaplamadaki ustalıkla kavramsal anlayış arasında bir denge ve bağlantı
gerektirir. Bir taraftan öğrencilerin anlamaktan çok tekrara dayalı olarak ezberledikleri
hesaplama yöntemleri ya unutulmakta, ya da yanlış hatırlanmakta, diğer taraftan akıcılık
olmadan anlama da problem çözme sürecini engelleyebilmektedir. Anasınıfından 2. sınıfa
kadar öğrenciler sayma sayılarıyla ve toplama çıkarma işlemleriyle ilgili anlayışlarını
geliştirdikçe, öğretim hesaplama yöntemlerine doğru kayabilir. Öğrenciler ilginç ve yararlı
stratejiler geliştirebilirler. 2. sınıfın sonunda öğrenciler temel toplama ve çıkarma
kombinasyonlarını bilmeli, iki basamaklı sayıları akıcı bir biçimde toplayabilmeli ve iki
basamaklı sayılarda çıkarma işlemi için yöntemleri olmalıdır. 3.-5. sınıflarda öğrenciler
çarpma ve bölmede temel sayı kombinasyonlarını geliştirirken, aritmetik problemlerini etkili
ve tam olarak çözebilmek için güvenilir algoritmalar geliştirmeleri gerekir. Bu yöntemler
akıcılığı kazanmak amacıyla daha büyük sayılarla uygulanmalıdır.
Araştırmacılar ve deneyimli öğretmenler, ilk sınıflardaki öğrencilerin bir başkasının problem
çözme yöntemini geliştirme, kaydetme, açıklama ve eleştirmelerinin birçok değişik ve önemli
öğrenmelere yol açtığını bulgulamışlardır. Birçok yöntemin etkililiği tartışılabilir.
Genellenebilirlikleri de tartışılabilir; bu yöntem her sayı için geçerli midir, yoksa sadece
bazıları için mi geçerlidir? Deneyimler göstermiştir ki, yöntemlerin geliştirilip tartışıldığı
sınıflarda birçok standart algoritma kendiliğinden ortaya çıkabilir. Önemli olan öğrencilerin
aritmetik hesabında akıcı olmalarıdır -sayı ve işlemlerin anlaşılmasına dayalı etkili ve güvenilir
yöntemlere sahip olmalıdırlar. Aritmetik hesap için standart algoritmalar bu akıcılığı
kavramak için varolan yolardan birisidir.
3.-5. sınıflarda kesirli sayı kavramının geliştirilmesi en önemli hedeftir. Örneğin 1/4 + 1/2
gibi bir işlem kolaylıkla akıldan çözülebilmelidir, öğrenciler 1/2 ile 1/4'ü şematize edebilirler,
ya da 1/2'yi 1/4 + 1/4 şeklinde ifade edebilirler. Bu düzeylerde ondalıklarla hesaplama
yöntemleri geliştirilmeli ve uygulanmalıdır, ve 6.-8. sınıflarda öğrenciler kesirli ve ondalık
sayılarla işlem yaparken akıcı olmalıdırlar. 12/13 + 7/8 işleminin sonucunu kestirmeleri
istendiğinde 13 yaşındaki öğrencilerin sadece %24'ü yanıtın 2'ye yakın olacağını
belirtebilmiştir. Çoğunluk yanıt olarak 1, 19, ya da 21 sayılarını vermiştir ki, bu yanıtlar
kesirlerle ilgili işlemleri anlamamak ve hesaplama yanlışı yapmaktan kaynaklanmaktadır.
Öğrenciler kesirlerin toplanmasını anlamış olsalar ve sayı kavramları gelişmiş olsa bu
yanlışlıklar olmazdı. Tamsayıların anlamını ve gösterilişini anlamalarını geliştirmekle beraber,
öğrenciler aynı zamanda tam sayılarla hesap yöntemlerini de geliştirmelidirler. 9.-12.
sınıflarda öğrenciler gerçel (reel) sayılarla akıcı bir biçimde hesap yapabilmeli ve vektörlerle
matrislerde de deneyimleri olmalıdır.
Akıcı hesaplamanın bir parçası da, hangi araçların ne zaman kullanılacağı konusunda akıllı
seçimler yapmaktır. Öğrenciler akıldan hesap, kağıt kalem yöntemleri, kestirme ve hesap
makinesi arasından bir seçim yapmayı öğrenecek deneyimler yapmalıdırlar. O anki durum,
problem ve problemdeki sayılar bu seçimde rol oynar. Sayılar akıldan hesap yapmaya elverişli
mi? Kestirmeye mi ihtiyaç var? Problem birçok hesap yapmayı mı gerektiriyor? Öğrenciler
hangi yöntemi ve araçları kullanacaklarına kara vermek için sayı sezgilerini de kullanarak
karar verebilmeli ve verdikleri kararlar için neden gösterebilmelidirler.
CEBĐR
Cebir tarihsel köklerini denklem çözmenin genel yöntemlerine uzatır. Cebir standartı,
fonksiyonlar dahil, miktarlar arası ilişkileri, matematiksel ilişkileri gösterme yöntemlerini ve
değişimin çözümlenmesini vurgular. Fonksiyonel ilişkiler simgesel gösterimle (notasyon) ifade
edilebilir, böylelikle karmaşık matematiksel düşünceler kısaca ifade edilebilir. Bugün cebirin
yöntem ve düşünceleri birçok alanda matematiksel çalışmaları desteklemektedir. Örneğin
dağıtım ve iletişim ağları, fizik kanunları, topluluk modelleri ve istatistiksel yöntemler cebirin
simgesel diliyle ifade edilebilir. Buna ek olarak cebir, soyut yapılar ve bu yapıların ilkelerini
simgelerle ifade edilmiş problemleri çözmektir.
Cebirin simgesel ve yapısal öneminin büyük bölümü öğrencilerin sayılarla ilgili deneyimlerinin
üzerine bina edilebilir. Cebir ayrıca geometri ve veri çözümlemeyle de ilişkilidir. Cebir
standartında bulunan düşünceler okul matematik yetişeğinin en önemli parçasını oluşturur.
Cebirde yeterlilik yetişkin yaşamında, hem iş dünyasında hem de yüksek öğrenime
hazırlanırken önemlidir. Tüm öğrenciler cebir öğrenmelidir.
Cebiri anaokulundan itibaren yetişekte bir temel gibi görürsek, öğretmenler, öğrencilerin
orta sınıflarda ve lisedeki daha üst düzey cebire hazırlanması amacıyla anlayış ve deneyimin
somut bir yapısını oluşturmalarına yardım edebilirler. Örneğin örüntülerle ilgili planlı bir
deneyim fonksiyonları anlamaya yardımcı olabilir, ve sayılarla ve özellikleriyle ilgili
deneyimler de simgeler ve cebirsel ifadelerle çalışmada rol oynayabilir. Durumların sıklıkla
matematik kullanarak ifade edilebildiğini öğrenen öğrenci, yavaş yavaş matematiksel
modellemenin temel bilgilerini öğrenmeye başlar.
Çoğu yetişkin cebiri simgelerle işlem yapmayla bir tutar (karmaşık denklemleri çözmek ve
cebirsel ifadeleri sadeleştirmek). Gerçekten de cebirsel simgeler ve onlarla çalışmak
matematiksel çalışmalarda önemli yer tutar.
Ancak cebir sembolleri eşitliğin bir yanından diğer yanına geçirmekten öte bir şeydir.
Öğrenciler cebir konularını anlamalı, simgelerin kendilerinin düşünceleri kaydetmek için
kullanılabildiğini görmelidirler. Bilgisayar teknolojileri bugün fonksiyon grafiklerini
çizebiliyor, simgelerle işlemler yapabiliyor ve sütunlarca veri üzerinde anında hesap
yapabiliyorlar. Öğrencilerin şimdi teknolojik araçların verdiği sonuçları yorumlamayı ve
teknolojiyi etkili ve akıllıca kullanmayı öğrenmeleri gerekir.
Ortaokul ve lisedeki cebir derslerinin önerilmesine kadar cebir okul matematik yetişeğinde
açıkça yer almıyordu (ABD'de ortaokullardaki matematik dersi Cebir ve Analiz diye ayrılır).
"Đlkeler ve Standartlar" ortaokul ve lise için değişik yetişek olasılıklarını desteklemektedir.
6.-8. sınıflar için standartlar cebire belirli bir önem verirler, aynı şekilde geometri de
normalden daha fazla ders saatini kapsar, ki iki alanın birbirini tamamlamasına -Analitik
Geometriye- geçiş yapılabilsin. 9.-12. sınıflar için standartlar, cebirin güçlü bir yapıya 8.
sınıfın sonunda kavuşturulduğu var sayılarak, cebir, geometri ve veri çözümlemesi ve
istatistiğinde bir program tanımlar, ayrıca bu alanlar arasındaki bağlantılara ve birbirini
tamamlamalarına da önem verir.
- Örüntüleri, Bağlantıları ve Fonksiyonları Anlama
Küçük çocuklar için nesnelerin sınıflandırılması ve sıralanması doğal ve ilginç bir deneyimdir.
Öğretmenler öğrencilerin kırmızı-mavi-mavi-kırmızı-mavi-mavi sıralamasının bir kırmızı-mavimavi dizisiyle devam ettirilebileceğini, ya da 12. nesnenin mavi olacağını tahmin etmelerine
yardımcı olabilirler. Đlk başta öğrenciler örüntüleri matematiksel simgelerden çok sözel
olarak ifade etme eğilimindedirler. 3.-5. sınıflarda örüntüleri tanımlamak ve genişletmek için
değişkenleri ve cebirsel ifadeleri kullanmaya başlarlar. Lisenin bitiminde ilişkileri tanımlamak
için fonksiyonları rahatlıkla kullanabilmeleri gerekir. Küçük sınıflarda öğrenciler 2, 4, 6, 8, ....
gibi örüntüleri, bir terimin bir öncekinden nasıl elde edilebileceğine odaklanarak
tanımlayabilirler -bu örnekte bir önceki terime iki eklenmektedir. Bu tekrarlı düşünmenin
başlangıcıdır. Öğrenciler daha sonra en iyi tekrarlama ile tanımlanmış başka dizilerle
çalışabilirler; örneğin Fibonacci Serisi gibi. Tekrarlayan diziler birçok alanda vardır ve
teknoloji kullanılarak çalışılabilirler.
Öğrenciler okul öncesinden ilkokul ikinci kademeye doğru ilerlerken birçok fonksiyondan
oluşan bir repertuar geliştirmelidir. Orta sınıflarda öğrenciler doğrusal ilişkilerin
anlaşılmasına odaklanmalıdır. Son sınıflarda repertuarlarını genişletmeli ve yeni fonksiyon
tiplerini öğrenmelidirler.
Çoğu öğrenci fonksiyonu bir kural ya da formül olarak algılar. Orta sınıflarda öğrenciler
tablo, grafik ve simgeler arasındaki ilişkileri anlamalı ve yorumlayabilmelidirler.
Fonksiyonların birçok farklı gösterimiyle -sayısal, çizimsel ve simgesel- çalıştıkça öğrenciler
daha geniş bir fonksiyon anlayışı geliştirebileceklerdir.
- Cebirsel simgeler kullanarak matematiksel durum ve yapıları çözümleme ve gösterme
Öğrencilerin sayıların özelliklerini anlamaları okul öncesinden liseye gittikçe gelişir. Küçük
çocuklar ikişer sayma yaparken sayıların 0, 2, 4, 6 ve 8 ile bittiğini fark edebilirler. 3.-5.
sınıflarda öğrenciler örneğin 18 x 14 çarpımını akıldan 18 x 10 ve 18 x 4 çarpımlarının toplamı
şeklinde yapabileceklerini görürler.
Araştırmalar öğrencilerin değişkenlerle ilgili birçok zorlukla karşılaştığını bulgulamıştır, bu
yüzden değişkenleri anlamak önemlidir. Đlk sınıflarda öğrenciler değişkeni belirli bir sayının
yerine konulan bir çizgi olarak algılarlar, örneğin __ + 2 =11. Daha sonraları, örneğin 3x + 2 =
11 denklemindeki değişken x'i öğrenmek zorundadırlar. Ayrıca 3x + 2 = 11 ve A = r2 gibi
ifadelerdeki x ve r değişkenlerinin kullanımlarının farklılığını da görmelidirler. Değişkenleri
tüm yönleriyle öğrenmek zaman alır, ve çok deneyim gerektirir.
Eşitlik konusu yetişekte geliştirilmesi gereken bir konu olarak yerini almalıdır. Aldıkları
eğitim uyarınca küçük öğrenciler "=" işaretini işlemle ilgili olarak; yani "bir şey yapmanın"
işareti olarak algılarlar. "=" işaretinin eşitlik ve dengeyi simgelediği gerçeğini görmelidirler.
Öğrenciler orta sınıflarda eşit ifadeleri üretme ve doğrusal denklemleri çözme becerilerini hem akıldan hem kağıt-kalemle- geliştirmeye başlamalıdırlar. Simgelerle işlem yapma
becerilerinde de -kağıt-kalem, akıldan yada bilgisayar teknolojileri yoluyla- akıcılık
kazanmalıdırlar. Genel anlamda eğer öğrenciler somut bir yapı oluşturmadan simgelerle
çalışmaya başlarlarsa, yaptıkları mekanik hesaplamalardan öteye gitmez. Böyle bir yapı zaman
yayılarak oluşturulmalıdır.
- Sayısal ilişkileri anlamak ve göstermek için matematiksel modeller kullanma
Matematiğin en önemli kullanımlarından biri de olguların matematik modellemesinin
yapılabilmesidir. Her düzeydeki öğrenci kendi düzeyine uygun bir biçimde bir takım olguları
matematiksel olarak modelleyebilmelidir. Đlk sınıflarda öğrenciler nesneleri, resimleri ve
simgeleri toplama ve çıkarmayı modellemek için kullanabilirler. Öğrenciler "Ahmet'in 4 elması
vardı, Leyla ona 5 elma daha verdi" durumunun gösterimini sayı çubuklarını düzenleyerek
yaptıklarında modellemeye başlamışlar demektir.
3.-5. sınıflarda öğrenciler modellerini kestirimde bulunmak, sonuç çıkarmak ya da sayısal
durumları daha iyi anlayabilmek için kullanmalıdırlar. Modellerin bu şekilde kullanımı giderek
daha üst düzey olacaktır. Örneğin meyve suyu kokteyli yapmakla ilgili bir problemde orta
sınıflardaki öğrenciler şöyle bir tanımlamaya gidebilirler;
P = (8 / 3) x J
Burada P kokteyl kupalarının sayısını, J ise meyve suyu şişelerinin sayısını göstermektedir. Bu
matematiksel model yardımıyla, örneğin 50 şişe meyve suyundan kaç kupa meyve kokteyli
yapılabileceği bulunabilir.
Lise öğrencileri fonksiyonlar bilgisine sahip olduklarından birçok model geliştirebilmelidirler
-örneğin bir durumun 1. dereceden veya 2. dereceden bir fonksiyonla nasıl en iyi şekilde
modellenebileceğine karar vermek gibi-, ve modeli çözümleyecek sonuçlar çıkarabilmelidirler.
Bilgisayar teknolojisi öğrencilere modellemede büyük kolaylık sağlar.
- Birçok yönden değişimi çözümleme
Değişimi anlamak fonksiyonları anlamanın temelidir. Matematiksel değişim analizde öğrenciler
türev ile karşılaştıklarında kendini gösterir. Araştırmalara göre öğrenciler daha sonraki
analiz derslerini alsalar dahi bu konuyu derinlemesine öğrenememektedirler. Eğer değişimle
ilgili düşünceler öğrencilere daha erken sınıflarda verilirse öğrenciler analiz dersine daha
güçlü bir temel edinmiş olarak girerler. Örneğin anaokulu öncesinden 2. sınıfa kadarki
dönemde öğrenciler önce niteliksel değişimi öğrenirler -yaz boyunca boyum uzadı-, sonraları
niceliksel değişimi öğrenirler -yaz boyunca 4 cm uzadım. 3.-5.sınıflarda öğrenciler grafik ve
tablolar yardımıyla değişimi fark eder ve tarif etmeye çalışırlar, örneğin bir bitkinin
büyümesini "yavaş büyüyor, sonra hızlı büyüyor, sonra yine yavaşlıyor" gibi. Dizilerle
karşılaştıkça aritmetik büyümeyle geometrik büyümeyi de ayırt etmeyi öğrenirler. Orta
sınıflarda doğrusallığa odaklanılarak öğrencilerin eğimin sabit değişim hızı olduğunu
öğrenmeleri sağlanır, ve sabit olmayan değişim hızını da öğrenmeye hazırlıklı olurlar.
GEOMETRĐ
Geometri dersinde öğrenciler geometrik şekil ve yapılarla bunların karakteristik özelliklerini
ve birbirleriyle olan ilişkilerini öğrenirler. Uzamsal görselleştirme (spatial visualization) -bir
geometrik şekli iki veya üç boyutlu uzayda akıldan oluşturabilmek ve değişik açılardan
bakabilmek- geometrik düşünmenin en önemli parçasıdır. Geometri öğrencilerin usavurma ve
yargılama becerilerini geometrik teoremleri kanıtlayarak geliştirebilecekleri doğal bir
alandır. Geometrik modelleme ve uzamsal usavurma fiziksel ortamları yorumlama ve
betimlemede işe yarar, ayrıca problem çözmede de yararlı araçlardır.
Geometrik düşünceler gerçek hayatla ilgili durumlarda ve matematiğin diğer alanlarında
gösterim ve problem çözmede kullanışlıdır, bu yüzden geometriyle diğer alanlar arasında
mümkün olduğunca çok bağ kurulmalıdır. Geometrik gösterimler öğrencilerin alan ve kesirleri
anlamalarına yardımcı olur, verilerin gösteriminde kullanılan histogram ya da tekerlek grafik
vb.nde işe yarar, ayrıca koordinat grafikleri geometri ile cebiri birleştirmede yardımcıdır.
Somut modeller ve çizimler kullanarak öğrenciler geometrik düşüncelerle etkin bir biçimde
meşgul olurlar. Đyi planlanmış etkinlikler, uygun araçlar ve öğretmen desteğiyle öğrenciler
geometriyle ilgili kuralları yeniden keşfederler, geometrik düşünceleri usavurmayı öğrenirler.
Geometri tanımlardan öte bir alandır; ilişkileri tanımlama ve usavurmadır.
Geometri uzun bir süredir öğrencilerin usavurmayı öğrendikleri ve matematiğin belitsel
(axiomatic) yapısını gördükleri bir ders olarak okul matematik yetişeğindedir. Geometri
Standartı dikkatli usavurmanın geliştirilmesine ve tanım ve gerçeklerden yola çıkarak kanıt
yapılmasına odaklanır. Teknolojinin geometri öğrenimi ve öğretiminde önemli bir yeri vardır.
Teknoloji kullanarak öğrenciler kuralları keşfetmek / oluşturmak amacıyla birçok örnek
ortaya koyabilirler, ancak örnek vermenin bir kanıt olmadığını bilmeleri gerekir.
Đki ve üç boyutlu geometrik şekillerin özelliklerini çözümleme ve geometrik ilişkilerle
ilgili matematiksel argümanlar geliştirme
Küçük öğrenciler kendiliğinden geometrik şekilleri gözlemlemeye, tarif etmeye ve
özelliklerini fark etmeye başlarlar. Şekilleri tanımak önemlidir ama özellikleri ve özellikler
arasındaki ilişkiler daha önemli olmalıdır. Anaokulu öncesinden 2. sınıfa kadarki dönemde
öğrenci örneğin dikdörtgenin iyi bir şekil olduğunu fark eder, çünkü dikdörtgenin dört dik
açısı vardır. Bu düzeylerde öğrenciler geometrik şekilleri böyle öğrenirler. Daha üst
sınıflarda şekillerin özellikleri daha soyut bir biçimde ele alınır. Daha sonraki sınıflardaysa
öğrenciler şeklin açıları ve kenarları y ada diğer özellikleri üzerinde odaklanıp tartışma
yapabilirler.
-
Orta sınıflardan liseye doğru öğrenciler benzerlik ve eşlik gibi konular gördükçe akıl yürütme
ve daha teknik kanıtlama yöntemleri kullanmalıdırlar. Problem çözümünde her düzeydeki
öğrenci çözüm yolu için inandırıcı bir açıklama yapmak zorundadır. Tanımların, belitlerin
(axiom) ve teoremlerin rolünü anlayıp kendi kanıtlarını oluşturmalıdırlar.
Koordinat geometri ve gösterim sistemleri aracılığıyla konumsal ilişkileri tanımlama ve
yer gösterimi
Öğrenciler ilk başta göreceli konumları öğrenirler -yukarı, aşağı, yanında, arasında vb-, daha
sonra noktaların yerlerini belirlemeyi ve noktalar arası uzaklığı bulmayı vb öğrenirler.
Koordinat sistemi ile ilgili problemler çözmek, orta sınıflarda ve lisede geometrik şekilleri
anlayabilmek açısından iyi bir deneyim oluşturur.
-
Đlk sınıflarda sayıları sayı çizgisinde gösterebilmekle başlayan bu deneyimler, daha sonraki
yıllarda sayı çizgisini işlemleri göstermek için kullanma şeklinde devam eder. Daha sonra daha
karmaşık problemlerle uğraşılabilir; örneğin öğrenciler bir ambulansın hastaneye
ulaşabileceği en kısa yol hesaplanabilir vb. Lise öğrencileri benzer problemleri koordinat
ekseninde de çalışabilirler.
Matematiksel durumları çözümlemek amacıyla dönüşümleri uygulayıp simetriyi
kullanma
Küçük çocuklar okula şekillerin hareketleriyle ilgili sezgilerle gelirler. Daha sonra
dönüşümlerle ilgili bilgiler daha sistematikleşir. Şekillerin kaydırılması, dönmesi gibi
hareketlerle ilgili bilgiler daha resmi bir yolla aktarılır. Bir şekli döndürmek için orta
sınıflardaki öğrencilerin dönme merkezi, dönme yönü, dönme açısı vb ile çalışması
gerekmektedir. Lise öğrencileri dönüşümü fonksiyonlar veya matrisler kullanarak vb yollarla
göstermeyi öğrenirler. Ayrıca dönüşümlerin birleşimlerini de öğrenmelidirler. Tüm
düzeylerde öğrenciler düzeylerine uygun olarak simetrinin matematik ve sanatla olan ilişkisini
görmelidirler.
-
Problemleri çözmek için görselleştirme, usavurma, ve geometrik modellemeyi kullanma
Okulun ilk yıllarında itibaren öğrenciler çeşitli geometrik nesnelerin ve teknolojinin
kullanımıyla görselleştirme becerilerini geliştirmeye başlamalıdırlar. Daha sonra nesnelerin
çözümlemesini yapma, perspektifi anlama, şekillerin ve nesnelerin parçalarını görme gibi
becerilerini de geliştirmelidirler. Öğrenciler eşlik, benzerlik, ve dönüşümlerle ilgili
anlayışlarını geliştirdikçe yer değiştirme, oryantasyon, nesnelerin ölçüleri gibi şeyleri fiziksel
ve akılsal olarak sistematik bir şekilde öğrenmelidirler.
ÖLÇME
Ölçülebilecek bir becerinin ne olduğunu anlama konusuna Standartlar önemli bir yer
ayırmıştır. Öğrenciler anaokulu öncesinden 8. sınıfa kadar ölçme araçları, yöntemleri ve
formüllerini kullanmada ustalaşmalıdır.
Ölçme öğrencilerin öğrenme düzeylerini öğrenmek açısından önemli olduğu kadar,
matematiğin uygulanması ya da matematik sosyal bilimler, sanat vb matematik dışı alanlar
arasında bağlantı kurması açısından da önemlidir.
Öğrencilerin fiziksel nesneler olmadan ölçmeyi anlamaları olanaklı değildir, dolayısıyla ölçme
en iyi fiziksel nesnelerin kullanımı ile öğretilebilir. Ölçme konuları basitten karmaşığa doğru
verilmeli ve her düzeydeki yetişekte aynı konular bulunmamalıdır.
Nesnelerin ölçülebilir özelliklerini ve ölçmenin birimlerini, sistemlerini ve süreçlerini
anlama
Bir nesnenin ölçülebilir özelliği, onu sayılarla ifade edilebilen bir karakteristiğidir. Doğru
parçalarının uzunluğu, düzlemlerin alanı ve fiziksel nesnelerin kütlesi vardır. Anaokulu
öncesinden liseye kadar ölçmeyle ilgili bilgi ve deneyimler basamak basamak artmalıdır. Đlk
sınıflarda öğrenciler nesnelerin ölçülebilir özelliklerinin olduğunu görebilmelidirler. Nesneleri
"kısa-uzun" vb özelliklerini değerlendirerek sıralayabilmelidirler. Uzunluk, önemle üzerinde
durulması gereken bir özelliktir, ancak ağırlık, zaman ve hacim de keşfedilmelidir. 3.-5.
sınıflarda öğrenciler çevre, hacim, sıcaklık ve açı ölçülerini öğrenmelidir. Ayrıca yine bu
düzeylerde öğrenciler bu özelliklerin formüllerle hesaplanabildiğini görmelidir. 5.-8.
sınıflarda öğrenciler bu özelliklere ek olarak hız gibi, nesnelerin diğer özellikleriyle
tanımlanan özelliklerin ölçülmesine çalışmalıdır. Lisede öğrenciler birimlerin değişiminin
ölçmeyi nasıl etkilediğini görmelidir. Öğrenciler düzeyleri ilerledikçe sadece nesnelerin
ölçülebilir özelliklerini değil, aralarındaki ilişkileri de öğrenmelidir. Örneğin 5.-8. sınıflarda
hacim sabit olduğu halde bir dikdörtgenler prizmasının yüzey alanının değişebileceği
işlenebilir.
-
Öğrencilerin ölçme için kullandıkları birimler de düzey ilerledikçe genişlemelidir. Anaokulu
öncesinden 2.ç sınıfa kadar öğrenciler karış, parmak, kalem gibi standart dışı birimler
kullanarak ölçme yapar. Yavaş yavaş, farklı öğrencilerin karışlarıyla bir nesnenin boyunun
ölçüsünün farklılaşabildiği gösterilmeli ve kullanılan ölçü birimlerine geçilmelidir. Farklı
özellikleri farklı birimlerle ölçmek düşüncesi öğrenciler tarafından kolayca kavranamayabilir.
Örneğin öğrenciler uzunluk ölçmek için kullandıkları doğrusal nesneleri alan ölçmek için neden
kullanamadıklarını, ya da neden farklı bir biçimde kullandıklarını algılayamayabilirler.
Öğrencilerin görmesi gereken, uzunluk için bir uzunluk birimi (30 cm'lik cetvel), alan için bir
kare (kare bir karton), hacim için bir küp (küp şeklindeki herhangi bir nesne) kullanmak
gerektiğidir. Ayrıca öğrencilerin doğru birimi kullanmalarının yanı sıra, uygun birimi de
seçmeleri gerekir. Bir futbol sahasının uzunluğu cm ile ifade edilebilir, ancak bu sonuç
yorumlanabilir y ada kullanılabilir olmaktan uzaktır.
Ölçme sistemiyle çalışmak, herhangi bir birimde ifade edilmiş bir miktarı başka bir birime
çevirmek vb, öğrencilerin onluk sistemdeki deneyimlerini arttırır.
Öğrencilerin ölçmenin yaklaşık bir değer belirleme olduğunu görmeleri kolay olmayabilir.
Ancak herhangi bir nesneyi ölçüp de diğerlerinin ölçüm sonuçlarıyla karşılaştırıp, birçok
farklı ölçme sonucu olduğunu gördüğünde bunu anlaması kolaylaşır.
- Ölçümleri belirlemek için uygun teknik, alet ve formülleri kullanmak
Ölçme teknikleri, ölçümü belirlemek için sayma, kestirme, formül ve araçlardan yararlanma
gibi yöntemlerdir.
Anaokulu öncesinden 2. sınıfa kadar öğrenciler özellikle sayma ve kestirme yöntemlerini ve
cetvel, saat gibi araçları öğrenmelidirler. Daha sonraki sınıflardaysa bunlara yenileri
eklenmelidir. Alan formülleri, hacim formülleri vb işin içine girmelidir. Bu formüller ilk
sınıflarda keşfedilmeye başlanmalı, sonraki sınıflarda formüle edilmelidir. Bu aşamada
öğrencilerin ne yaptıklarını anlamaları için öğretmenler devreye girip formüllerle geometrik
şekiller arasındaki bağlantıyı göstermelidir. Lisede öğrenciler birimlerin değişken gibi
davrandığını ve hesaplamalarını cebirsel bir temelde yapabileceklerini görmelidirler.
Kestirme de önemli bir ölçme aracıdır. Öğrenciler ilk yıllardan bu araca hakim olmayı
öğrenmelidir. Kestirme anaokulundan 2. sınıfa kadar öğrencilerde ölçmeyi ve ölçü birimlerini
anlamayı sağlayabilir. Daha sonraki sınıflarda öğrenciler, örneğin öğretmenin boyunun
öğrencilerinkinden 1 ila 1,5 kat fazla olduğu şeklinde karşılaştırmalar yaparak kestirme
becerilerini geliştirebilirler.
VERĐ ANALĐZĐ VE OLASILIK ???????
PROBLEM ÇÖZME
Problem çözme, çözüm yolunun bilinmediği bir durumla meşgul olmaktır. Öğrenciler bir çözüm
bulabilmek için bilgilerini kullanmalıdır, böylelikle süreç boyunca yeni matematiksel anlayışlar
geliştirirler. Problem çözme matematiğin tek amacı değildir, ama matematiğin çoğu problem
çözmedir, çünkü bu sayede öğrenciler sistemli bir şekilde problem çözmeyi ve problem
çözerkenki düşüncelerini ortaya koymayı öğrenirler. Yeni yeni düşünme yolları bulurlar ve
tüm bunlar hayatta tanıdık olmadıkları olaylarla karşılaştıklarında kendilerine güven
duymalarını sağlar.
Problem çözme matematiğin tamamlayıcı bir parçasıdır, o yüzden matematiğin konularından
ayrı düşünülmemelidir. Problemlerin yapısı da öğrencilerin yaşamlarındaki bildik olaylardan
okuldaki etkinliklere kadar değişik konulardan oluşturulabilir. Đyi problemler belirli bir
matematik ve birçok konuyu içinde toplamalıdır.
- Problem Çözme yardımıyla yeni matematik bilgisi oluşturma
Đyi problemler öğrencilere bildiklerini somutlaştırma ve arttırma şansı verir. Küçük
öğrencilerde matematik konularının çoğuna yaşamlarındaki bir olaydan kaynaklanan bir
problemle giriş yapılabilir. Örneğin ikinci sınıf öğrencileri sınıfta kızların mı erkeklerin mi çok
olduğu problemini çözmek için bilgi toplamayı, verileri kaydetmeyi vb öğrenmelidirler.
Đlköğretim ikinci kademede ve lisede de birçok konuya problem ile giriş yapıp konunun özünü
yakalamak amacıyla tartışma yürütülebilir.
Problem çözme, öğrencilerin becerilerini geliştirmeye yöneliktir. Örneğin aşağıdaki problemi
ele alalım;
"Cebimde 25 bin liralık, 50 bin liralık ve 100 bin liralık
bozukluklar var. Cebimden üç bozukluk alırsam, kaç lira
almış olabilirim?"
Bu problemi çözmek için bilgiye ihtiyaç vardır -bozuklukların değerleri bilgisi ve toplama
anlayışı. Bu problemin çözümü toplamaya hakim olmayı gerektirir, ancak asıl önemlisi,
öğrencilerin sistemli bir biçimde olasılıklarla ilgilenip düşüncelerini kaydedebilmeleri ve
problemi düzenli bir düşünceyle çözmeleridir.
Problem seçmek öğretmenin önemli görevlerinden biridir. Seçilen problemlerin gerçek
hayatla bağlantısına, ilgi çekiciliğine ve konuyu / tartışmayı ilerletmesine dikkat edilmelidir.
Bir problem gayet ilginç olabilir, ancak konunun anlaşılmasına yararı yoksa bu problemin yanlış
bir seçim olduğu söylenebilir. Problemleri akıllıca seçmek ve öğretim amaçlarına uygun hale
getirmek matematik öğretmenin zor yanlarından biridir.
-
Matematikte ve diğer yapılarda ortaya çıkan problemleri çözme
Dünyayı matematiksel olarak algılayan insanların "matematiksel görüş"leri olduğu söylenir. Đyi
problem çözücüler doğal olarak durumları matematiksel terimlerle ifade etmeye
eğilimlidirler. Daha karmaşık durumlardan ziyade ilk olarak basit durumları göz önüne alırlar.
Örneğin, orta sınıf öğrencileri için hazırlanmış bir etkinlikte iki ambulans şirketi ile ilgili
veriler sunulmakta ve hangi şirketin daha güvenilir olduğu sorulmaktadır. Şirketlerin
ambulanslarının gidiş-gelişlerinin ortalama sürelerine bakarak hızlı bir yanıt vermek yanıltıcı
olabilir. Daha dikkatli bir şekilde, şirketlerin gelen aramalara göre harekete geçme
zamanlarının matematiksel çözümlemesinin yapılması değişik bir yanıt sunabilir. Bu etkinlikte
daha derin matematiksel çözümleme, durumun daha iyi anlaşılmasına ve doğru yanıta yol açar.
Öğretmenler sorularıyla öğrencileri kendi yaşamlarından bu etkinliktekine benzer problemler
oluşturmaları ve bu problemlerle ilgilenmeleri konularında yönlendirebilirler.
Küçük çocuklarda problem oluşturma kendiliğinden ortaya çıkar; 1 milyona kadar saymak ne
kadar sürer? Okul binasını doldurmak için kaç kola kutusuna ihtiyaç vardır? Öğretmenler ve
anne-babalar bu durumdan yararlanıp matematiksel problemler oluşturabilirler. Öğretmenler
öğrencilerin problem çözme becerisini geliştirmelerinde öğrencilerin keşfetmelerine, risk
almalarına, başarı ve başarısızlıkları paylaşmalarına ve birbirlerini sorgulamalarına uygun sınıf
ortamı yaratıp korumak yoluyla önemli bir rol oynarlar. Böyle bir ortamda öğrenciler kendi
becerilerine güven ve problemleri keşfedip çözmekle meşgul olma isteği geliştirirler.
- Problemleri çözmek için birçok uygun yöntemi uyumlu hale getirmek ve uygulamak
Problem çözme yöntemlerinin bazıları Polya'nın çalışmasında bulunabilir. Bunlar arasında
diyagram kullanma, örüntü arama, tüm olasılıkları sıralama, özel değerleri ya da durumları
deneme, tersine çalışma, tahminde bulunma ve kontrol etme, eldekine denk bir problem
yaratma, ve eldekinden basit bir problem yaratma sayılabilir. Açık olan soru, bu yöntemlerin
nasıl öğretileceğidir. Özel bir dikkat mi göstermeli, ve bu yöntemleri matematik yetişeğine
nasıl entegre edeceğiz? Öğrencilerin bu yöntemleri öğrenmelerini istiyorsak, öğretimde bu
yöntemlere önem vermeliyiz. Đlk sınıflarda öğretmenler öğrencilerin kendi yöntemlerini
açıklama, sınıflama ve karşılaştırmalarına yardımcı olurlar. Daha sonraki sınıflarda öğrenciler
hangi durumlarda hangi yöntemleri nasıl kullanacaklarının farkına varabilmelidirler. Orta
okulda öğrenciler birçok yöntemi öğrenmiş, hangisinin kullanılacağına karar verebilme
becerisine sahip, ve yöntemleri kullanma, değiştirme, ve yenilerini bulmaya yetkin
olmalıdırlar.
Küçük öğrencilerin matematikle ilgili ilk deneyimleri problem çözmeyle olur. Öğrenciler
değişik problemlerle karşılaştıkça farklı yöntemleri öğrenmek zorunda kalacaklardır.
Öğrenciler bu yeni yöntemlerle karşılaştıkça öğretmenin de desteğiyle bu yöntemleri
öğreneceklerdir. Örneğin bir öğrenci problemin çözüm yolunu açıkladıktan sonra öğretmen
"öyle görünüyor ki çözümü bulmak için düzenli listeleme yapmışsın. Problemi farklı bir çözüm
yoluyla çözen var mı?1 Bu şekilde dile getirerek öğretmen öğrencilerin ilk öğrencinin ne
yaptığını anlamalarına ve ortak bir ifadeyi -düzenli listeleme- öğrenip kullanmalarına yardımcı
olur.
-
Matematiksel problem çözme sürecini kontrol etmek ve yansıtmak
Etkili problem çözücüler sürekli yaptıklarını kontrol eder ve ayarlamalar yaparlar. Problemi
anladıklarından emin olurlar. Eğer problem yazılı olarak sunulmuşsa dikkatle okurlar, sözel
yolla aktarılıyorsa, problemi anlayana kadar soru sorarlar. Etkili problem çözücüler sıklıkla
plan yaparlar. Đçinde bulundukları süreci inceleyip doğru yolda olup olmadıklarından emin
olurlar. Bir ilerleme kaydetmedikleri kanaatine varırlarsa, seçenekleri göz önüne almayı
bırakırlar ve değişik bir yaklaşımı ele almazlar. Araştırmalar göstermiştir ki, öğrencilerin
problem çözmedeki başarısızlıklar matematiksel bilgilerinin eksikliğinden değil, bu bilgiyi
etkili olarak kullanamamaktan kaynaklanmaktadır.
Đyi problem çözücüler ne yaptıklarının farkındadırlar, sürekli kendilerini denetlerler ve
gerekli ayarlamaları yaparlar. Bu yansıtıcı beceriler uygun sınıf ortamında geliştirilebilir.
Öğretmenler bu yansıtıcı becerilerin geliştirilmesinde "devam etmeden önce, buraya kadar
olan kısmı anladık mı?", "seçenekleriniz nelerdir?", "planımız var mı?", "bir ilerleme
kaydediyor muyuz, yoksa yaptıklarımızı yeniden gözden geçirmeli miyiz?", "bunun doğruluğunu
nereden biliyoruz?" vb sorular sorarak önemli bir rol oynarlar. Bu ve benzeri sorular
öğrencilere yaptıklarını kontrol etme alışkanlığı kazanmalarında yardımcı olur.
USAVURMA VE KANITLAMA
Matematiksel usavurma ve kanıtlama çok geniş bir olaylar yelpazesi hakkında iç görüleri
geliştirip ifade etmenin güçlü yollarını ortaya koyarlar. Çözümlemeci düşünebilen ve usavuran
insanlar gerçek yaşamdaki olaylardaki ya da simgesel nesnelerdeki örüntülere, yapıya ya da
kurallara dikkat ederler; tüm bu örüntülerin kazara mı yoksa belli bir nedenden dolayı mı
ortaya çıktığını sorarlar; ve bağlantı kurup kanıtlarlar. Matematiksel kanıt, usavurma ve
yargılamanın formel yollarla ifade edilmesidir.
Matematiği anlayabilmek için usavurma becerisi esastır. Öğrenciler düşünceler geliştirdikçe,
keşifler yaptıkça, sonuçları değerlendirdikçe, tüm matematiksel alanlarda matematik
önermeler kullandıkça, matematiğin anlamlı olduğunu göreceklerdir. Öğretmenler öğrencilerin
usavurma becerilerini geliştirmede yardımcı olmalıdır. Ortaokulun bitiminde öğrenciler
matematiksel ispatları anlayabilmeli ve yapabilmelidirler, ve böyle argümanların değerini
görebilmelidirler.
Usavurma ve kanıtlama sadece mantık konusunun içinde ya da geometride "ispat teknikleri"
adı altında işlenerek öğretilemez. Đspat öğrenciler için gayet zor bir alandır. Bu yüzden
usavurma ve kanıtlama öğrencilerin anaokulundan 12. sınıfa kadar öğrenecekleri matematiğin
bir parçası olmalıdır.
- Usavurma ve kanıtlamayı matematiğin temel yönleri olarak görme
Çocukların matematikle olan en erken deneyimlerinde matematikteki her şeyin bir nedeninin
olduğu vurgulanmalıdır. "Neden bunun doğru olduğunu düşünüyorsun?" ya da "Yanıtın farklı
olduğunu düşünen var mı, ve neden bu şekilde düşünüyorsun?" gibi sorular öğrencilerin
önerdikleri yanıtları desteklemeleri gerektiğini öğrenmelerini sağlar. "Ablam söyledi" ve
benzeri "destekler" öne sürülebilir, ancak öğrenciler matematik dersindeki bir tartışmada
nelerin geçerli destekler olduğunu öğrenmelidirler.
Matematikte ilginç şeyler olduğunda öğrencilerin ilgisi artar. Örneğin aşağıdaki sihirli hileyi
ele alırsak;
"Yaşınızı yazın. 5 ekleyin. Bulduğunuz sayıyı 2'yle çarpın. 10 ekleyin.
Bu sayıyı 5'le çarpın. Sonucu söyleyin. Size yaşınızı söyleyebilirim."
Yanıtı bulmak için izlenmesi gereken prosedür; verilen sayıdan bir sıfır silip on çıkarmaktır,
çıkan sonuç o kişinin yaşıdır. Bu prosedür neden işlemektedir? Öğrenciler bunun nedenini
keşfedebilirler.
- Matematiksel varsayımda bulunma ve araştırma
Matematik yapmak keşfi de içerir. Varsayım keşifteki en önemli bölümdür. Öğretmenler ve
araştırmacılar öğrencilerin varsayım üretip test etmeyi ilkokulda öğrenebilecekleri
kanaatindedirler. Đlk yıllarda öğretmenler öğrencilerin varsayımlarda bulunmayı
öğrenmelerine yardımcı olmak amacıyla soru sormaya teşvik edebilir; bir sonraki aşamada ne
olacağını düşünüyorsun? Örüntü nedir? Her zaman doğru mudur? Öğrencilere verilen
ödevlerde de basit değişiklikler, onların varsayımda bulunmayı öğrenmelerini sağlayabilir.
Örneğin öğretmen “veri kümesindeki tüm verilerin değerleri iki katına çıkarıldığında verilerin
ortalama değerinin de iki katına çıkacağını gösterin” demek yerine, “bir örnek kümedeki tüm
değerlerin iki katına çıktığını düşünün, örnek kümenin ortalama değerinde, varsa, ne gibi bir
değişiklik olur? Neden?” demesi olasıdır. Öğrencilerin varsayımlar oluşturabilmesi için birçok
fırsata ve zengin içerikli metinlere ihtiyaçları vardır.
Küçük öğrenciler varsayımlarını kendi cümleleriyle ifade ederler ve varsayımlarını
araştırırken somut materyal ve örneklerden yararlanırlar. Her düzeydeki öğrenci herhangi
bir varsayımın doğruluğunu araştırma yollarını öğrenmeli ve düzey yükseldikçe varsayımın
ifade edilmesi de matematiksel simgelerle olmalıdır.
Öğretmenler öğrencilerin bilinen varsayımları yeni durumlarla tekrar gözden geçirmeye
teşvik etmelidir. Örneğin “çarpım sayıyı büyültür” varsayımı, 1’den büyük doğal sayılarla
çalışan öğrenciler için uygundur. Kesirleri öğrendiklerinde bu varsayım yeniden gözden
geçirilmelidir.
- Matematiksel iddiaları ve kanıtlarını geliştirme ve değerlendirme
Varsayımları oluşturur ve araştırırken öğrenciler “neden işe yarıyor?” sorusunun yanıtını
bulmayı da öğrenmelidirler. Đlk sınıflardaki öğrenciler genel varsayımları özel durumları
inceleyerek değerlendirirler. Örneğin öğrenciler 9 sayısını aşağıdaki şekildeki gibi
gösterirler
ve “tek sayı, ikili gruplandığında hep 1 kalanını veren sayıdır” şeklinde bir genellemeye
ulaşırlar. Öğrenciler daha sonra iki tek sayının toplamının çift olduğunu, çünkü her iki tek
sayıda olan fazlalıkların bir ikili edeceğini gösterebilirler. Daha sonraki sınıflarda öğrenciler
daha genel ifadelerle ispat yapmalıdırlar.
Öğrenciler usavurma ve ispatı birbirlerinin iddialarını sınıfta tartışarak da öğrenebilirler.
Örneğin “eğer bir sayı 6’ya ve 4’e tam bölünebiliyorsa, 24’e de tam bölünebilir” önermesi
birçok değişik şekilde irdelenebilir. 12’nin 6 ve 4’e bölündüğü halde 24’e bölünmediği karşıörnek olarak gösterilebilir. Tersinin düşünülüp gösterilmesi de mümkündür. Benzer bir
varsayım asal sayılarla kurulup ispatlanabilir. Tüm bunlar sınıfta bir tartışma ortamı doğurur.
Öğrencilerin düşüncelerini açıkladığı, ve birbirlerinin düşüncelerini tartışıp değerlendirdiği
sınıflar matematiksel usavurmanın öğrenilebileceği zengin ortamlardır.
- Çeşitli usavurma ve kanıt yöntemlerini seçip kullanma
Öğrencilerin ilk sınıflardayken öğrendikleri ve kullandıkları usavurma matematikçinin
kullandığından farklıdır. Yıllar geçtikçe öğrenciler usavurmayı, kanıtlama yöntemlerini ve
matematiksel gösterimi öğrenirler.
Küçük öğrenciler bildiklerinden neden-sonuç ilişkisi çıkarmaya teşvik edilmelidir. Kullandıkları
bilgi hakkında tartıştıkça bilgiyi daha açık ve anlaşılır yapabilirler.
Öğrencilerin ilk değerlendirme ve usavurma çabaları deneme-yanılma yönteminden ya da olası
seçeneklerin rasgele denenmesinden oluşacaktır. Bir miktar yönlendirmeyle öğrenciler
sistemli değerlendirme yöntemlerini keşfedecek ve kullanacaklardır.
ĐLETĐŞĐM
Đletişim matematik ve matematik eğitiminin önemli bir parçasıdır. Düşünceleri paylaşma ve
anlama, onları belirginleştirmenin bir yoludur. Đletişimle fikirler birer yansıtma, iyileştirme,
tartışma ve düzeltme nesneleri haline gelir. Đletişim süreci yanı zamanda fikirlerin anlam
kazanması ve kalıcı hale gelerek kamulaştırılmasını sağlar. Öğrenciler matematik hakkında
düşünmeye ve düşündüklerini sözlü ya da yazılı olarak ifade etmeye teşvik edildiklerinde açık
ve ikna edici olmayı öğrenirler. Matematiksel fikirlerin birden fazla bakış açısıyla tartışıldığı
konuşmalar katılımcıların fikirlerini keskinleştirmelerini ve bağlantılar kurmalarını sağlar.
Sonuçların ve çözüm yollarının karşılaştırıldığı tartışmalara katılan öğrenciler –özellikle
anlaşmazlık karşısında- çalışma grubundaki arkadaşlarını ikna etmeye çalışırken daha iyi bir
matematik anlayışı kazanacaklardır. Böyle bir etkinlik aynı zamanda öğrencilere matematiksel
fikirleri ifade etmekte kullanılan bir dil geliştirmeyi ve bu dilde olması gereken hassaslığı
takdir etmeyi öğretecektir. Matematik sınıflarında konuşma, yazma, okuma ve dinleme için
fırsatı, cesareti ve desteği olan öğrenciler bu durumdan iki fayda görür; matematik
öğrenmek için iletişim kurarlar, ve matematiksel olarak iletişim kurmayı öğrenirler.
Matematik çoğu zaman semboller ile aktarıldığından, matematiksel düşünceler hakkında sözlü
ve yazılı iletişim her zaman için matematik eğitiminin önemli bir parçası sayılmaz. Öğrenciler
matematik hakkında çok konuşamaz ve öğretmenler bunun nasıl yapılacağını öğretmek ihtiyacı
duyabilirler. Öğrenciler sınıf olarak ilerledikçe iletişim konusu olarak matematik de daha
karmaşık hale gelmektedir. Öğrencilerin iletişim kurma yöntemleri ve iletişimi destekleyen
matematik mantıkları da olduğunca ileri düzeye gelmelidir. Öğrenci için destek yaşamsaldır.
Öğrenciler tartışmaya değer matematiksel ödevlerde çalışmaya ihtiyaç duyar. Đyi
geliştirilmiş algoritmik yaklaşımların uygulandığı prosedüre dayalı görevler bunun için iyi
adaylar değildirler. Matematiksel olarak “bir yerlere giden” ilginç problemler zengin
tartışmalar için katalizör olarak görev yapabilirler.
Teknoloji iletişim için başka bir iyi temeldir. Öğrenciler hesap makinesi ya da bilgisayar
ekranındaki nesne ve sayılarla karşılaştıkça matematiksel fikirleri için tartışmalara ortak bir
referans noktası elde ederler.
- Öğrencilerin matematiksel düşüncelerini iletişim ile organize edin ve sıkılaştırın
Öğrenciler problem çözme yöntemlerini sunarken, bir sınıf arkadaşına ya da öğretmenine
mantıklarını açıklarken, ya da kendilerine karışık gelen bir soruyu formüle ederken,
düşüncelerine dair bir görüş kazanırlar. Đletişim öğrencilerin bir durumu anlatırken, çizerken,
yazarken ve açıklarken, yani matematiksel kavramları öğrenmelerine destek olabilir. Yanlış
kavramlar belirlenmelidir. Bir yan faydası ise, onlara sınıftaki öğrenmenin sorumluluğunu
öğretmen ile paylaştıklarını hatırlatmasıdır.
Yansıma ve iletişim matematik eğitiminde birbirine sıkı sıkıya bağlı işlemlerdir.
Öğretmenlerin açık dikkat ve planlaması ile, yansıma amaçlı iletişim matematik eğitiminin
doğal bir parçası olabilir.
Küçük sınıflardaki öğrenciler, cevaplarını ve stratejilerini
açıklamayı öğrenebilir. Küçük öğrencilerden “yüksek sesle düşünmeleri” istenebilir ve
öğretmenleri ya da arkadaşları tarafından sorulacak mantıklı sorular düşünme biçimlerini
gözden geçirmelerini sağlayabilir. Deneyimle öğrenciler düşünmelerini düzenlemekte yeterlik
kazanacaktır.
Yazmak da öğrencilerin düşüncelerini sağlamlaştırmada yardımcı olabilir, çünkü yazmak
sınıfta geliştirilen düşünceler hakkındaki düşüncelerini açıklaştırmayı ve yansıtmayı
gerektirir. Daha sonraları kendi düşüncelerini tekrardan okumak yardımcı olabilir.
- Matematiksel düşünceleri anlamlı ve açık bir şekilde diğerlerine aktarma
Bir matematiksel sonucun doğru olarak kabul edilmesi için teklif edilen ispatın profesyonel
matematikçiler tarafından onaylanması gerekir. Öğrenciler düşüncelerinin anlaşılırlığını ve
ikna ediciliklerini sınıf gibi bir matematik toplumunda test edebilirler. Böylesi düşünceler
toplum içinde çalışılırsa, öğrenciler tartışmanın bir parçası olmaktan yarar sağlayabilirler ve
öğretmenler onları gözlemleyebilir.
Sınıf çalışmalarını etkili bir şekilde yürütebilmek için öğretmenler öğrencilerin düşüncelerini
rahatça dile getirebilecekleri bir ortam yaratmalıdırlar. Küçük sınıflardaki öğrenciler
düşüncelerini diğerlerinin rahat anlayabileceği bir şekilde aktarabilmek için öğretmenlerin
yardımına ihtiyaç duyar. Bu sınıflarda, konuları diğerlerinin bakış açısından görebilmeyi
öğrenmek öğrenciler için bir fırsattır. Düşük sınıflardan başlayarak öğrenciler, sınıf
tartışmalarında yer almayı ve birbirleriyle doğrudan düşünce alışverişinde bulunmayı
öğrenmeye başlamalıdır. Bu sayede dinlemek, özetlemek, soru sormak ve başkalarının
fikirlerini aktarmak konusunda daha iyi olabilirler. Bazı öğrenciler için sınıf tartışmalarına
katılmak bir fırsattır, örneğin orta sınıflardaki öğrenciler grup çalışmalarına karşı
çekingendir. Buna karşın öğretmenler zengin bir tartışma ortamı yaratabilir. Öğrenciler
liseden mezun olana kadar diyalog ve tartışma standartlarını içselleştirmiş olmalıdır ki her
zaman açık ve belirli bir noktayı görebilsinler ve gerektiğinde onun üzerinde daha çok
çalışabilsinler. Modelleme ve dikkatli seçilmiş sorular öğrenci çalışmalarında yaşlarına uygun
beklentilerin açıklanmasında yardımcı olur.
Yazılı iletişim de buna benzer sürdürülmelidir. Öğrenciler okula pek az yazma yeteneği ile
başlar. Đlk sınıflarda resim çizmek gibi diğer iletişim araçlarına güvenirler. 3.-5. Sınıflarda
yazıları daha yeterli olmalıdır. Orta sınıflarda yazdıklarını bir dinleyici topluluğu ve amaç göz
önüne alarak yazabilmelidirler. Bazı amaçlar için düşüncelerini daha resmi olmayan biçimlerde
açıklamak öğrenciler için daha uygun olabilir, fakat orta sınıflardan itibaren daha resmi ve
klasik matematiksel biçimler ile iletişimi öğrenmelidirler. Lise yıllarının sonuna kadar öğrenci
iyi düzenlenmiş matematiksel konuları resmi bir şekilde yazabilmeyi öğrenmiş olmalıdır.
Matematiksel yazımın açık ve sorunlu kısımlarını incelemek ve tartışmak tüm sınıflarda
faydalıdır. Matematiksel yazmayı öğrenme prosedürü diğer konuları yazmayı öğrenmek ile
aynıdır. Rehberlik edilen bir pratik yapma süreci önemlidir. Aynı zamanda matematiksel
konunun özellikleri ve açıklama ile ispatın sunum standartlarına da önem verilmelidir.
Öğrenciler iletişimi öğrendikçe kendilerini daha açık ve anlaşılır ifade edebilmelidirler. Aynı
zamanda matematiksel tartışma şekillerini de öğrenmelidirler. Sınıflar büyüdükçe
tartışmaları daha da bütünleşmeli ve sınıftaki ortak bilgilere dayanmalıdır. Zamanla
öğrenciler matematik sınıflarında düşüncelerini açıkladıkça dinleyicilerine karşı daha sorumlu
olmalıdır. Kendilerinin yeterince ikna edici olup olmadığını ve düşüncelerinin anlaşılıp
anlaşılmadığının farkında olmayı öğrenmelidirler. Öğrenciler olgunlaştıkça iletişim yolları,
prosedürlerini ve sonuçlarını açıklayacak değişik yolları yansıtabilmelidir. Küçük sınıflarda
birkaç örnek ya da ampirik deliller sunmak yeterli olabilir. Daha sonraları, öğrencilerin
önceden edinilmiş bilgilerle sonuca ulaşması umulmalıdır. Orta sınıflarda ve lisede açıklamalar
matematiksel açıdan açık olmalı ve öğrenciler tartışma konusunda kullandıkları matematiksel
özellikleri belirtebilmelidir.
- Başkalarının matematiksel düşünce ve stratejilerinin analizi ve değerlendirilmesi
Problemler üzerinde diğer öğrencilerle beraber çalışma sırasında çalışanlar birkaç fayda
edinebilir. Sıklıkla, bir öğrenci problemi başka bakış açılarından görmeyi öğrenebilir. Örneğin
aşağıdaki problemi cebirsel olarak çözmeye çalışan öğrenciler denklemleri kurmakta zorluk
çekebilir ve problemi görsel tanımlamalarla çözmeyi seçen öğrencilerin düşüncelerinden
yararlanabilirler.
"Sayısı belli olmayan tavşan ve kafesler vardır. Her kafese bir tavşan
konursa, bir tavşan açıkta kalmaktadır. Eğer her kafese iki tavşan konursa
bir kafes boş kalmaktadır. Kaç tavşan ve kafes vardır?"
Öğrenciler için diğerlerinin düşünce şekillerini değerlendirmek, özellikle grup arkadaşları
kendi matematik anlayışlarını geliştirmeye çalışıyorsa, zordur. Küçük öğrencilerin
arkadaşlarının stratejilerini paylaşma ve anlamaları için iyi bir yol, öğrencilerin kendi
buldukları stratejilerin tartışma konusu olduğu aritmetik problemlerin çözümü olabilir. Aynı
zamanda öğrenciler arkadaşlarının düşünce tarzını tam gelişmemiş düşünceleri açıklığa
kavuşturmak amacıyla sorgulamayı da öğrenmelidirler. Tüm yöntemler aynı olmadığı için
öğrenciler diğerlerinin yöntemlerini ve düşüncelerini -gücü ve sınırlamalarını belirleyebilmek
için- incelemeyi öğrenmelidir. Başkaları tarafından anlatılanları dikkatlice dinleyerek ve
üzerinde düşünerek öğrenciler matematiksel düşünmeyi öğrenirler.
- Matematiksel düşüncelerin hassas ifadesi için matematik dili kullanımı
Küçük sınıflarda öğrenciler matematiksel anlayışlarını günlük, resmi olmayan dil ile dile
getirirler. Bu, resmi matematik diline bağlantı olacak bir temel oluşturur. Öğretmenler,
benzeri faktör, alan, fonksiyon gibi günlük sözcüklerin matematikte farklı ya da daha kesin
anlamları olduğunu öğrencilere gösterebilir. Bu gözlem, matematiksel tanımların kavramlarını
anlamakta bir temel oluşturur. Öğrencilere matematik dilinin gücü ve kesinliğini takdir
etmeyi öğretecek deneyimler sunmak önemlidir. Orta sınıfların başından itibaren öğrenciler
matematiksel tanımların rolünü anlamalı ve matematiksel işlerde kullanabilmelidir. Bu durum
lisede daha etkin hale gelmelidir. Yine de, öğrencilere gereğinden önce resmi matematik dilini
empoze etmekten kaçınmalıdır; öğrenciler öncelikle bu kesin tanımları takdir etmeyi
öğrenmeli ve kendi günlük dilleri ile iletişim kurmalıdırlar. Öğrencilere kendi düşüncelerine
sahip olma ve onları kendi resmi olmayan dilleri ile açıklama konusunda izin vermek, gelişmeyi
sağlayan etkili bir yol olabilir. Teknoloji, diğer fırsatları ile dilin çözümlemesini sağlayabilir.
Bir çalışma kağıdında kullanılan simgeler, aynı olmamakla birlikte, cebirsel simgelere
benzerlik gösterebilir. Öğrenciler standart matematiksel terimlerde kullanılan ve çalışma
kağıtlarında ya da hesap makinesi gibi popüler araçlarda kullanılan terimlerin
karşılaştırılmasını gerektiren deneyimlerden yarar sağlayacaktır.
BAĞLANTILAR
Öğrenciler matematiksel düşünceler arasında bağlantı kurabilirse, konuyu daha iyi kavrarlar
ve akıllarına daha iyi yerleşir. Öğrenciler, matematiksel bağlantıları, matematik konuları
arasındaki etkileşimde, matematiğin başka konularla ilişkisinde ve kendi ilgi ve
deneyimlerinde görebilirler. Matematiksel düşüncelerin arasındaki bağlantıların öğretilirken
uygulanması sayesinde öğrenciler sadece matematiği değil, matematiğin yararlarını da
öğrenirler.
Matematik ayrı ayrı parça ya da standartların bir bileşimi değildir; her ne kadar bu şekilde
bölünüp sunulsa bile. Aslında matematik bütünleşmiş bir alandır. Matematiği bir bütün olarak
görmek, disiplinler arasındaki bağlantıyı düşünmek ve üzerinde çalışmak için bir gerekliliğin
önemini vurgular. Bu, gerek belli bir sınıf düzeyinde, gerekse düzeyler arasındaki yetişekte
de görülür. Bu bağlantıları vurgulayabilmek için, öğretmenin öğrencilerinin ihtiyaçlarını
bilmesi ve ayrıca daha önceki sınıfta ya da bundan sonraki sınıflarda matematik ile ilgili ne
gördüklerini bilmesi gerekir. Öğrenme Đlkesi'nin de vurguladığı gibi, öğrenmek ve kavramak,
bağlantı kurabilmeyi gerektirir. Öğretmenler, öğrencilerin daha önceki bilgileri üzerine yeni
bilgiler katmalı, öğrencilerin önceden edindikleri bilgileri tekrarlamamalıdırlar. Bu yaklaşım,
öğrencilerin öğrendiklerinden kendilerinin sorumlu olmasını ve yeni bilgilerin anlaşılıp
özümsenmesi için öğrendikleri bilgileri kullanmalarını gerektirir.
- Matematiksel konular arasındaki bağlantıyı görüp kullanabilmek
Matematiksel bağlantıları vurgulamakla öğretmenler öğrencilerinin matematiği birbirinden
bağımsız ayrı parçalar olarak değil de, matematiksel problemleri çözerken bu bağlantıların
bir düzen oluşturduğunu görmelerini sağlayabilirler. Bu düzen öğretmenin soracağı
yönlendirici sorularla oluşturulabilir, örneğin "bugün benzer üçgenlerle yaptığımız çalışmayla
geçen hafta ölçek çizimi üzerine yaptığımız tartışma arasında ne gibi benzerlikler var?".
Öğrenciler matematiksel bağlantıların açıkça farkında olmalıdır.
Matematiksel düşüncelerin bağlantılı olduğu düşüncesi, okuldaki tüm düzeylerde yayılmalıdır
/ hissedilmelidir. Okula yeni başlayan çocuklarda matematik bilgileri kategorilere
ayrılmamıştır ve matematiğin değişik alanlardaki bu bütünlüğü okul öğrenimi süresince devam
etmelidir. Çocuklar, söyledikleri şarkıların ritminde matematiksel kalıpları öğrenebilir, arı
peteğinin altıgen şeklini fark edebilir, ve kaç kere ip atladıklarını sayabilirler. Öğrenciler 3.5. sınıfa geçtiğinde matematiksel etkinlikleri daha soyut alanlara yayılmalıdır. Yine bu
sınıflarda öğrenciler aritmetik problemlerde işlemlerin birbirleriyle ilişkisini görmeye
başlarlar, örneğin çarpmanın nasıl toplamanın tekrarlanması olduğunu anlarlar. 6.-8. sınıflarda
öğrenciler matematiği birbiriyle ilişkili bir alan olarak görebilmelidirler. Orta sınıflarda
matematik konuları zaten birbiriyle yakından ilişkilidir ve kesirli sayılarla oran ve doğrusal
ilişkiler, onların matematiksel ve günlük etkinliklerinde sıkça rastlanır. 9.-12.sınıflarda
öğrencilerden sadece bu bağlantıları öğrenmeleri değil, bunlardan yararlanmaları da beklenir.
Bütün K-12 dönemi öncesi, öğrenciler rutin olarak kendilerine şu soruyu sormalıdırlar; "bu
problem veya matematik konusuyla daha önce öğrendiklerim arasında ne gibi bir ilişki var?"
Bağlantılar açısından bakılırsa, yeni konular daha önce öğrenilen matematiğin bir uzantısı
olarak görülür. Öğrenciler daha önceki bilgilerini yeni durumlar karşısında kullanmayı
öğrenirler. Đlk sınıflardaki çocuklar tam sayılarda çıkarma işlemi hakkında bildiklerini
ondalıklı ve kesirli sayılarda çıkarma işlemi yaparken kullanırlar. Orta sınıflarda öğrenciler
aynı matematik konusunun birçok şekilde ifade edilebileceği bağlantısını kurarlar; örneğin
değişimi gösteren oran ve doğrunun eğimi konuları. Lise öğrencileri de cebir ve geometri
arasında bağlantı kurarlar -analitik geometri.
Bazı etkinlikler özellikle matematiksel bağlantıları belirtmek için faydalı olabilir. Örneğin bir
dairenin çevresi ve çapı arasındaki ilişki, değişik boyutlardaki dairesel cisimlerin çevrelerini
ve çaplarını ölçerek gösterilebilir. Orta sınıflardaki öğrenciler dairenin çevresi ve çapı
hakkında bilgi toplayıp bunu grafikte gösterebilirler. Çevreyi "c", çapı da "d" değişkeniyle
gösterdiklerinde grafiğin vereceği "c/d" oranı yaklaşık 3,1 ile 3,2 arasında olacaktır.
sayısının değerini bulmayla ilgili olan bu problem ölçme, bilgi çözümlemesi, geometri, cebir ve
sayılar konularında bilgi sahibi olmayı gerektirir.
Matematiksel konuların nasıl kesiştiğini ve tutarlı bir bütün oluşturmak için nasıl
birbiri üzerine bindiğini anlama
Öğrencilerin okulda gördükleri matematik konuları artıkça aynı matematik yapısının farklı
alanlarda kullanıldığını daha iyi görürler. Anaokulu öncesinden 2. sınıfa kadar olan çocuklar,
sayma, rakamlar ve şekiller konusunda, 3.-5, sınıf öğrencileri aritmetik problemlerde ve 6.-8.
sınıf öğrencileri de kesirli sayılar, orantı ve doğrusal ilişkiler konularındaki örnekleri
incelerler. Lise öğrencileri karşılaştıkları birçok matematik konuları arasındaki ilişkileri
ararlar.
-
Öğrenciler matematiği birbiriyle ilişkili bir bütün halinde görmeye başladıkça, matematiksel
beceri ve örüntüleri ayrı ayrı görmeyi bırakacaklardır. Okullarda matematik öğretiminde bu
örüntülerin ve prosedürlerin bir bütünlük kazanmasına birinci derecede önem verilmelidir.
- Matematiği matematik dışındaki alanlarda algılayıp uygulamak
Okullarda her düzeyde öğretilen matematik, matematik dışı alanlarda oluşabilecek
problemler üzerinde çalışmak için fırsat yaratmalıdır. Bu ilişkiler başka derslerle olabileceği
gibi, öğrencilerin günlük yaşamlarıyla da ilgili olabilir. Anaokulu öncesinden 2. sınıfa kadar
olan çocuklar, matematiği çoğunlukla gerçek hayatla olan ilişkisi sayesinde öğrenirler. 3.-5.
sınıflarda öğrenciler önemli matematik konularını başka derslerde uygulayabilmeyi
öğrenmelidirler. Bu konular 6.-8. sınıflarda daha da genişlemeli ve 9.-12. sınıflarda öğrenciler
matematiği rahatlıkla dış dünyadaki karmaşık uygulamaları açıklamak için kullanabilmelidirler.
Öğrencilerin matematiği bir bağlamda incelemeleri önemlidir. Matematik bilimde, sosyal
bilimlerde, tıpta ve ticarette kullanılmaktadır. Matematik ile bilim arasındaki ilişki sadece
içerik olarak değil, aynı zamanda yöntem olarak da mevcuttur. Bilimin içeriği ve yöntemi
matematikte bir problem çözme yaklaşımına ilham olabilir. Ulusal Bilim Eğitimi
Standartları'nda (National Science Education Standards), hava durumu hakkında tüm yıl
süren bir ilkokul fen etkinliği anlatılmıştır. Bu etkinlikte matematikle olan ilişkiler oldukça
önemlidir; öğrenciler hava durumunu ölçmek için çeşitli aletler tasarlamakta ve bulgularını
nasıl düzenleyeceklerini planlamaktadırlar.
Bulguların çözümlenmesi ve istatistikler, öğrencilerin kendi özel hayatlarıyla ilgili konulara
açıklık getirmede yardımcı oluyor. Anaokulu öncesinden 2. sınıfa kadar olan öğrenciler takvim
etkinliğiyle hava durumu hakkında bulgular edinebilirler. Bunu, havanın yağmurlu, güneşli ya da
bulutlu olduğunu kaydederek yaşayabilirler. Edindikleri verileri kaydedebilir, günleri
sayabilir, genellemeler yapabilir, ve gelecek hakkında tahminlerde bulunabilirler. 3.-5.
sınıflardaki öğrenciler asit yağmurları, ağaçlandırma ve diğer konularda diğer sınıflardaki
öğrencilerle internet üzerinden iletişim kurup, veri toplayıp analiz edebilirler. 9.-12. sınıfa
gelene kadar öğrencilerin veri çözümlemesi ve matematiksel modelleme hakkında edindikleri
bilgileri, toplumsal konuları ve iş problemlerini derinlemesine anlamakta kullanmaları
beklenilebilir.

okul matematđğđnđn prensđplerđ ve standartları

Transkript

Benzer belgeler

IB İlk Yıllar Programı - International Baccalaureate

PDF İndir - Eskişehir Osmangazi Üniversitesi

REGIONAL TREASURE HUNT IN EUROPE (Avrupa`da Bölgesel

Son yıllarda neredeyse her öğretim dönemine yeni bir sistemle

Bruner`in Öğrenme Kuramı

Ayrıntısı için Tıklayın

T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı

IB Diploma Programı - International Baccalaureate

PROJEMİZİN ÖZÜ

TOEFL ve IELTS - enka okulları